y x fonksiyonunun en küçük değeri 2'dir. Bir fonksiyonun açık aralıktaki en büyük ve en küçük değeri

Konuyla ilgili ders: "Bir segmentte sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometri problemlerini çözüyoruz. 7-10. Sınıflar için etkileşimli inşaat görevleri
Geometri problemlerini çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler

Neyi inceleyeceğiz:

Bir fonksiyonun grafiğinden en büyük ve en küçük değeri bulma

Arkadaşlar daha önce bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmuştuk. Bir fonksiyonun grafiğine baktık ve fonksiyonun en büyük değerine nerede, en düşük değerine nerede ulaştığını çıkardık.
Tekrar edelim:

Fonksiyonumuzun grafiğinden görülebileceği gibi en yüksek değer x= 1 noktasında ulaşılır, 2'ye eşittir. En küçük değere x= -1 noktasında ulaşılır ve -2'ye eşittir. Bu yöntemle en büyük ve en küçük değerleri bulmak oldukça kolaydır ancak bir fonksiyon grafiği çizmek her zaman mümkün değildir.

Türev kullanarak en büyük ve en küçük değeri bulma

Arkadaşlar sizce türev kullanılarak en büyük ve en küçük değer nasıl bulunur?

Cevap bir fonksiyonun konu ekstremlerinde bulunabilir. Orada sen ve ben maksimum ve minimum noktalarını bulduk, terimler benzer değil mi? Ancak en büyük ve en küçük değerleri bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri ile karıştırmamak gerekir; bunlar farklı kavramlardır.

O halde kuralları tanıtalım:
a) Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise bu aralıkta maksimum ve minimum değerlerine ulaşır.
b) Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine hem segmentlerin uçlarında hem de kendi içinde ulaşabilir. Bu noktaya daha detaylı bakalım.

Şekil a'da fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine doğru parçalarının uçlarında ulaşmaktadır.
Şekil b'de fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine segment içerisinde ulaşmaktadır. Şekil c'de minimum nokta doğru parçasının içinde, maksimum noktası ise parçanın sonunda, b noktasındadır.
c) Segment içinde maksimum ve minimum değerlere ulaşılmışsa, o zaman yalnızca sabit veya kritik noktalarda.

Bir parça üzerinde sürekli bir y= f(x) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulma algoritması

• f"(x) türevini bulun.
• Sabit hatları bulun ve kritik noktalar segmentin içinde.
• Fonksiyonun değerini durağan ve kritik noktalarda, ayrıca f(a) ve f(b)'de hesaplayın. En küçük ve en büyük değerleri seçin; bunlar fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerinin noktaları olacaktır.

Bir fonksiyonun açık aralıktaki en büyük ve en küçük değeri

Arkadaşlar, açık aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini nasıl buluyorsunuz? Bunu yapmak için yüksek matematik dersinde kanıtlanmış önemli bir teoremi kullanacağız.

Teorem. y= f(x) fonksiyonunun x aralığında sürekli olmasına ve bu aralığın içinde benzersiz bir durağan veya kritik noktaya x= x0 sahip olmasına izin verin, o zaman:
a) eğer x= x0 maksimum nokta ise y maksimumdur. = f(x0).
b) eğer x= x0 minimum nokta ise, o zaman y isimdir. = f(x0).

Örnek

Segment üzerinde y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulun
a) [-9;-1], b) [-3;3], c) .
Çözüm: Türevi bulun: y"= x 2 + 4x + 4.
Türev tüm tanım alanı boyunca mevcuttur, o zaman durağan noktaları bulmamız gerekir.
y"= 0, x= -2'de.
Gerekli segmentler için ilave hesaplamalar yapacağız.
a) Fonksiyonun değerlerini doğru parçasının uçlarında ve durağan noktada bulun.
O zaman adınızı söyleyin. = -122, x= -9'da; y maks. = y = -7$\frac(1)(3)$, x= -1 ile.
b) Segmentin uçlarında ve noktasında fonksiyonun değerlerini bulun. sabit nokta. En yüksek ve en düşük değerler segmentin uçlarında elde edilir.
O zaman adınızı söyleyin. = -8, x= -3'te, y maks. = 34, x= 3'te.
c) Durağan nokta bizim doğru parçasına düşmez; doğru parçasının uçlarındaki değerleri bulalım.
O zaman adınızı söyleyin. = 34, x= 3 ile, y maks. = 436, x= 9'da.

Örnek

y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulun. segmentte.
Çözüm: Modülü genişletelim ve fonksiyonumuzu dönüştürelim:
x ≤ 1 için y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x.
x ≥ 1 için y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x.

Daha sonra fonksiyonumuz şu şekli alacaktır:
\begin(equation*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad for\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad for\quad x ≥ 1 \end(case) \end(equation*) Kritik noktaları bulalım: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad for\quad x ≥ 1 \end(case) \end(denklem*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad for\quad x= \begin(case) 2,\ quad for \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for\quad x ≥ 1 \end(case) \end(equation*) Yani iki durağan noktamız var ve fonksiyonumuzun farklı konumlar için iki fonksiyondan oluştuğunu unutmayalım. X.
Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım; bunun için fonksiyonun sabit noktalardaki ve parçanın uçlarındaki değerlerini hesaplıyoruz:
Cevap: Fonksiyon minimum değerine x= 1 noktasında ulaşır, y en küçüktür. = 3. Fonksiyon en büyük değerine parçanın sonunda x = 4, y max noktasında ulaşır. = 12.

Örnek

y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ fonksiyonunun en büyük değerini ışın üzerinde bulun: , b) , c) [-4;7].
b) y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulun. [-1;5] segmentinde.
c) (0;+∞) ışınındaki y= $-2x-\frac(1)(2x)$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulun.

Pratik açıdan bakıldığında en büyük ilgi, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için türevi kullanmaktır. Bunun neyle bağlantısı var? Kârı en üst düzeye çıkarmak, maliyetleri en aza indirmek, optimum ekipman yükünü belirlemek... Başka bir deyişle, hayatın birçok alanında bazı parametreleri optimize etme sorunlarını çözmek zorundayız. Bunlar da bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma görevleridir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin genellikle, ya fonksiyonun tüm alanı ya da tanım alanının bir parçası olan belirli bir X aralığında arandığına dikkat edilmelidir. X aralığının kendisi bir parça, açık bir aralık olabilir , sonsuz bir aralık.

Bu yazımızda en büyük ve en küçük değerlerin açık bir şekilde bulunmasından bahsedeceğiz. verilen fonksiyon bir değişken y=f(x) .

Sayfada gezinme.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri - tanımlar, çizimler.

Kısaca ana tanımlara bakalım.

Fonksiyonun en büyük değeri bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Fonksiyonun en küçük değeri X aralığında y=f(x)'e böyle bir değer denir bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Bu tanımlar sezgiseldir: Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsiste söz konusu aralıkta kabul edilen en büyük (en küçük) değerdir.

Sabit noktalar– bunlar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu argümanın değerleridir.

En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden sabit noktalara ihtiyacımız var? Bu sorunun cevabı Fermat teoremi ile verilmektedir. Bu teoremden, türevlenebilir bir fonksiyonun bir ekstremuma sahip olması durumunda ( yerel minimum veya yerel maksimum) belirli bir noktada ise bu nokta durağandır. Bu nedenle, fonksiyon çoğu zaman en büyük (en küçük) değerini X aralığında bu aralığın durağan noktalarından birinde alır.

Ayrıca bir fonksiyon çoğu zaman en büyük ve minimum değerlerini bu fonksiyonun birinci türevinin bulunmadığı ve fonksiyonun kendisinin tanımlandığı noktalarda alabilir.

Bu konuyla ilgili en sık sorulan sorulardan birine hemen cevap verelim: “Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek her zaman mümkün müdür?” Hayır, her zaman değil. Bazen X aralığının sınırları, fonksiyonun tanım bölgesinin sınırlarıyla çakışır veya X aralığı sonsuzdur. Ve sonsuzdaki ve tanım alanının sınırlarındaki bazı fonksiyonlar hem sonsuz büyük hem de sonsuz küçük değerler alabilir. Bu durumlarda fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri hakkında bir şey söylenemez.

Netlik sağlamak için grafiksel bir gösterim vereceğiz. Resimlere baktığınızda pek çok şey daha net hale gelecektir.

Segmentte

İlk şekilde fonksiyon [-6;6] segmenti içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

İkinci şekilde gösterilen durumu düşünün. Segmenti olarak değiştirelim. Bu örnekte, fonksiyonun en küçük değeri sabit bir noktada, en büyüğü ise aralığın sağ sınırına karşılık gelen apsisin olduğu noktada elde edilir.

Şekil 3'te [-3;2] doğru parçasının sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaların apsisleridir.

Açık bir aralıkta

Dördüncü şekilde fonksiyon, açık aralık (-6;6) içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

Aralıkta en büyük değer hakkında hiçbir sonuç çıkarılamaz.

sonsuzlukta

Yedinci şekilde sunulan örnekte fonksiyon, apsis x=1 olan durağan bir noktada en büyük değeri (max y) almakta ve en küçük değere (min y) aralığın sağ sınırında ulaşmaktadır. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır.

Aralık boyunca fonksiyon ne en küçük ne de en büyük değere ulaşır. x=2 sağdan yaklaştıkça fonksiyon değerleri eksi sonsuza doğru yönelir (x=2 düz çizgisi dikey asimptot) ve apsis artı sonsuza doğru yöneldiğinden fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. Bu örneğin grafiksel gösterimi Şekil 8'de gösterilmektedir.

Bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma algoritması.

Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmamızı sağlayan bir algoritma yazalım.

1. Fonksiyonun tanım alanını buluyoruz ve tüm segmenti içerip içermediğini kontrol ediyoruz.
2. Birinci türevin bulunmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktalar, modül işareti altında argümanı olan fonksiyonlarda bulunur ve güç fonksiyonları kesirli-rasyonel bir üs ile). Eğer böyle bir nokta yoksa, bir sonraki noktaya geçin.
3. Segment içerisine düşen tüm sabit noktaları belirliyoruz. Bunu yapmak için onu sıfıra eşitliyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Durağan nokta yoksa veya hiçbiri doğru parçasına girmiyorsa bir sonraki noktaya geçin.
4. Fonksiyonun değerlerini seçilen sabit noktalarda (varsa), birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) ve ayrıca x=a ve x=b'de hesaplıyoruz.
5. Fonksiyonun elde edilen değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçiyoruz - bunlar sırasıyla fonksiyonun gerekli en büyük ve en küçük değerleri olacak.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmaya yönelik bir örneği çözmek için algoritmayı analiz edelim.

Örnek.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulma

• segmentte;
• [-4;-1] segmentinde.

Çözüm.

Bir fonksiyonun etki alanı kümenin tamamıdır gerçek sayılar, sıfır hariç, yani . Her iki segment de tanım alanına girer.

Fonksiyonun türevini aşağıdakilere göre bulun:

Açıkçası, fonksiyonun türevi doğru parçalarının tüm noktalarında ve [-4;-1]'de mevcuttur.

Denklemden sabit noktaları belirliyoruz. Tek gerçek kök x=2'dir. Bu durağan nokta ilk segmente girer.

İlk durumda fonksiyonun değerlerini parçanın uçlarında ve sabit noktada yani x=1, x=2 ve x=4 için hesaplıyoruz:

Bu nedenle fonksiyonun en büyük değeri x=1'de elde edilir ve en küçük değer – x=2'de.

İkinci durumda, fonksiyon değerlerini yalnızca [-4;-1] segmentinin uçlarında hesaplıyoruz (çünkü tek bir durağan nokta içermemektedir):

Fonksiyona izin ver y =F(X) aralıkta süreklidir [ a, b] Bilindiği üzere böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu segmentte ulaşmaktadır. Fonksiyon bu değerleri de alabilir iç nokta bölüm [ a, b] veya segmentin sınırında.

Bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ a, b] gerekli:

1) fonksiyonun kritik noktalarını ( a, b);

2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;

3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani X=A ve x = B;

4) fonksiyonun hesaplanan tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma

segmentte.

Kritik noktaları bulma:

Bu noktalar segmentin içinde yer alır; sen(1) = ‒ 3; sen(2) = ‒ 4; sen(0) = ‒ 8; sen(3) = 1;

bu noktada X= 3 ve bu noktada X= 0.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.

İşlev sen = F (X) isminde dışbükey arada (A, B) grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen teğetin altında bulunuyorsa ve denirse aşağı dışbükey (içbükey) grafiği tanjantın üzerinde yer alıyorsa.

Dışbükeyliğin yerini içbükeyliğin aldığı veya bunun tersinin gerçekleştiği noktaya ne ad verilir? dönüm noktası.

Dışbükeylik ve bükülme noktasını incelemek için algoritma:

1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.

2. Sayı doğrusu üzerinde kritik noktaları aralıklara bölerek çizin. Her aralığın ikinci türevinin işaretini bulun; eğer ise fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir, eğer ise fonksiyon aşağıya doğru dışbükeydir.

3. İkinci türden bir kritik noktadan geçerken işaret değişirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta bükülme noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlar için bir fonksiyonun incelenmesi.

Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotuna denir dümdüz, grafikteki herhangi bir noktadan bu çizgiye olan mesafenin, grafikteki nokta başlangıç ​​noktasından süresiz olarak hareket ettikçe sıfıra doğru gitmesi özelliğine sahiptir.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.

Tanım. Düz çizgiye denir dikey asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani

fonksiyonun süreksizlik noktası nerede yani tanım alanına ait değil.

Örnek.

D ( sen) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – kırılma noktası.

Tanım. Dümdüz y =A isminde yatay asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) eğer

Örnek.

Tanım. Dümdüz y =kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) nerede

Fonksiyonları incelemek ve grafik oluşturmak için genel şema.

Fonksiyon Araştırma Algoritmasıy = f(x) :

1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun D (sen).

2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun (eğer mümkünse) X= 0 ve sen = 0).

3. Fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini inceleyin ( sen (‒ X) = sen (X) ‒ parite; sen(‒ X) = ‒ sen (X) ‒ garip).

4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.

6. Fonksiyonun ekstremumunu bulun.

7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.

8. Yapılan araştırmaya dayanarak fonksiyonun grafiğini oluşturunuz.

Örnek. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini çizin.

1) D (sen) =

X= 4 – kırılma noktası.

2) Ne zaman X = 0,

(0; ‒ 5) – ile kesişme noktası ah.

Şu tarihte: sen = 0,

3) sen(‒ X)= işlev genel görünüm(ne çift ne de tek).

4) Asimptotları inceliyoruz.

a) dikey

yatay

c) eğik asimptotları bulun;

‒eğik asimptot denklemi

5)B verilen denklem fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmaya gerek yoktur.

6)

Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm tanım alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığına böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmak uygundur.