Parabol denkleminin genel görünümü. Hiperbol ve kanonik denklemi

Parabol, bir düzlemde belirli bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesidir(odak)ve belirli bir noktadan geçmeyen belirli bir çizgiden (müdireler), aynı düzlemde bulunan(Şekil 5).

Bu durumda koordinat sistemi eksene göre seçilir.
Odak boyunca doğrultmana dik olarak geçer, pozitif yönü doğrultmandan odağa doğru seçilir. Ordinat ekseni, direktrix ile odak noktasının ortasında, direktrix'e paralel uzanır, dolayısıyla directrix denklemi
, odak koordinatları
. Orijin parabolün tepe noktasıdır ve x ekseni simetri eksenidir. Parabol eksantrikliği
.

Bazı durumlarda denklemlerle tanımlanan paraboller dikkate alınır.

A)

B)
(tüm durumlar için
)

V)
.

a) durumunda parabol eksene göre simetriktir
ve negatif yönde yönlendirilir (Şekil 6).

b) ve c) durumlarında simetri ekseni eksendir
(Şekil 6). Bu durumlar için odak koordinatları:

A)
B)
V)
.

Directrix denklemi:

A)
B)
V)
.

Örnek 4. Tepe noktası orijinde olan bir parabol bir noktadan geçer
ve eksene göre simetrik
. Denklemini yazın.

Çözüm:

Parabol eksene göre simetrik olduğundan
ve noktadan geçer pozitif bir apsis ile, Şekil 5'te gösterilen forma sahiptir.

Nokta koordinatlarını değiştirme böyle bir parabolün denklemine
, alıyoruz
, yani
.

Bu nedenle gerekli denklem

,

bu parabolün odağı
, doğrultman denklemi
.

4. İkinci mertebeden doğru denkleminin kanonik forma dönüştürülmesi.

İkinci derecenin genel denklemi şu şekildedir:

katsayılar nerede
aynı anda sıfıra gitmeyin.

Denklem (6) ile tanımlanan herhangi bir çizgiye ikinci dereceden çizgi denir. Koordinat sisteminin bir dönüşümü kullanılarak, ikinci dereceden bir çizginin denklemi en basit (kanonik) forma indirgenebilir.

1. Denklemde (6)
. Bu durumda denklem (6) şu şekle sahiptir:

Formüllere göre koordinat eksenlerinin paralel ötelenmesi kullanılarak en basit biçimine dönüştürülür.

(8)

Nerede
– yeni başlangıcın koordinatları
(eski koordinat sisteminde). Yeni akslar
Ve
eskilere paralel. Nokta
bir elipsin veya hiperbolün merkezi ve bir parabol durumunda tepe noktasıdır.

Bir daire için yapıldığına benzer şekilde, tam kareleri ayırma yöntemini kullanarak denklemi (7) en basit formuna indirmek uygundur.

Örnek 5.İkinci dereceden doğru denklemini en basit şekline indirgeyin. Bu hattın tipini ve yerini belirleyin. Odakların koordinatlarını bulun. Çizim yapmak.

Çözüm:

Yalnızca aşağıdakileri içeren üyeleri gruplandırıyoruz: ama sadece katsayılarını çıkararak Ve braketin arkasında:

Kareleri tamamlamak için parantez içindeki ifadeleri tamamlıyoruz:

Böylece bu denklem şu forma dönüştürülür:

biz belirleriz

veya

Denklem (8) ile karşılaştırıldığında bu formüllerin koordinat eksenlerinin noktaya paralel transferini belirlediğini görüyoruz.
. Yeni koordinat sisteminde denklem şu şekilde yazılacaktır:

Serbest terimi sağa kaydırıp ona bölersek şunu elde ederiz:

.

Yani bu ikinci dereceden çizgi yarı eksenli bir elipstir
,
. Elipsin merkezi yeni başlangıç ​​noktasındadır
ve odak ekseni eksendir
. Odakların merkezden uzaklığı, dolayısıyla doğru odaklamanın yeni koordinatları
. Aynı odağın eski koordinatları paralel öteleme formüllerinden bulunur:

Benzer şekilde sol odağın yeni koordinatları
,
. Eski koordinatları:
,
.

Yorum. Çizimi netleştirmek için bu doğrunun (7) eski koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmakta fayda var. Bunu yapmak için önce formül (7)'yi koymalıyız.
, ve daha sonra
ve elde edilen denklemleri çözün.

Karmaşık köklerin ortaya çıkması, çizginin (7) karşılık gelen koordinat ekseniyle kesişmediği anlamına gelecektir.

Örneğin, az önce tartışılan problemin elipsi için aşağıdaki denklemler elde edilir:

Bu denklemlerden ikincisinin karmaşık kökleri vardır, dolayısıyla elips ekseni
geçmiyor. İlk denklemin kökleri:

noktalarda
Ve
elips eksenle kesişiyor
(Şekil 7).

Örnek 6.İkinci dereceden bir doğrunun denklemini en basit şekline indirgeyin. Çizginin tipini ve yerini belirleyin, odak koordinatlarını bulun.

Çözüm:

Üye olduğundan beri eksikse, tam bir kareyi yalnızca şu şekilde seçmeniz gerekir: :

Ayrıca katsayıyı da çıkarıyoruz.

.

biz belirleriz

veya

Bu, koordinat sisteminin noktaya paralel aktarımıyla sonuçlanır.
. Çeviriden sonra denklem şu şekli alacaktır:

.

Bu nedenle odağın yeni koordinatları var

.

Eski koordinatları

Bu denklemi yerine koyarsak
veya
sonra parabolün eksenle kesiştiğini buluruz
noktada
ve eksen
karşıya geçmiyor.

2. Denklemde (1)
. İkinci dereceden genel denklem (1), forma (2) dönüştürülür, yani; paragraf 1'de tartışılanlara. durumda, koordinat eksenlerini bir açıyla döndürerek
formüllere göre

(9)

Nerede
– yeni koordinatlar. Köşe
denklemden bulunur

Koordinat eksenleri, yeni eksenler olacak şekilde döndürülür.
Ve
ikinci dereceden doğrunun simetri eksenlerine paraleldir.

bilmek
, bulunabilir
Ve
trigonometri formüllerini kullanma

,
.

Dönme açısı ise
akut olarak kabul edilmeyi kabul edersek, bu formüllerde artı işaretini almalıyız ve
denklem (5)'e de pozitif bir çözüm almalıyız.

Özellikle ne zaman
koordinat sistemi bir açıyla döndürülmelidir
. Kömürlerin rotasyon formülleri şöyle görünür:

(11)

Örnek 7.İkinci dereceden doğru denklemini en basit şekline indirgeyin. Bu hattın türünü ve konumunu ayarlayın.

Çözüm:

Bu durumda
, 1
,
yani dönüş açısı
denklemden bulunur

.

Bu denklemin çözümü
Ve
. Dar bir açıyla sınırlama
, bunlardan ilkini ele alalım. Daha sonra

,

,
.

Bu değerleri değiştirme Ve bu denklemin içine

Parantezleri açıp benzerlerini getirerek şunu elde ederiz:

.

Son olarak kukla terime bölerek elipsin denklemine ulaşırız

.

Şunu takip ediyor
,
ve elipsin ana ekseni eksen boyunca yönlendirilir
ve küçük olanı – eksen boyunca
.

Bir puan aldın
, kimin yarıçapı
eksene eğimli
bir açıyla
, hangisi için
. Dolayısıyla bu noktadan
ve yeni bir x ekseni geçecek. Sonra eksenleri işaretliyoruz
Ve
elipsin köşelerini çizin ve bir elips çizin (Şek. 9).

Bu elipsin eski koordinat eksenlerini ikinci dereceden denklemlerden bulunan noktalarda kestiğine dikkat edin (eğer bu denklemi koyarsak)
veya
):

Ve
.

Bir parabol nasıl inşa edilir? İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizmenin birkaç yolu vardır. Her birinin artıları ve eksileri vardır. İki yolu ele alalım.

y=x²+bx+c ve y= -x²+bx+c formunda ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizerek başlayalım.

Örnek.

y=x²+2x-3 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y=x²+2x-3 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları yukarı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

Tepe noktasından (-1;-4) y=x² parabolünün bir grafiğini oluşturuyoruz (koordinatların kökeninden itibaren. (0;0) - köşe noktası (-1;-4) yerine. (-1;'den; -4) 1 birim sağa ve 1 birim yukarıya, sonra 1 birim sola ve 1 birim yukarıya gidiyoruz; sonra: 2 - sağa, 4 - yukarı, 2 - sola, 3 - yukarıya; sola, 9 - yukarı Bu 7 puan yeterli değilse, o zaman 4 sağa, 16 üste vb.).

İkinci dereceden y= -x²+bx+c fonksiyonunun grafiği, dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür. Bir grafik oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını ararız ve bundan bir y= -x² parabolünü oluştururuz.

Örnek.

y= -x²+2x+8 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y= -x²+2x+8 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları aşağı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

Yukarıdan bir y= -x² parabol oluşturuyoruz (1 - sağa, 1 - aşağı; 1 - sola, 1 - aşağı; 2 - sağa, 4 - aşağı; 2 - sola, 4 - aşağı, vb.):

Bu yöntem hızlı bir şekilde parabol oluşturmanıza olanak tanır ve y=x² ve y= -x² fonksiyonlarının grafiğini nasıl çizeceğinizi biliyorsanız zor değildir. Dezavantaj: Tepe noktasının koordinatları kesirli sayılar ise, grafik oluşturmak pek uygun değildir. Grafiğin Ox ekseni ile kesişme noktalarının kesin değerlerini bilmeniz gerekiyorsa, ek olarak x²+bx+c=0 (veya -x²+bx+c=0) denklemini çözmeniz gerekecektir, bu noktalar doğrudan çizimden belirlenebilse bile.

Bir parabol oluşturmanın başka bir yolu da noktalardır, yani grafikte birkaç nokta bulabilir ve bunların içinden bir parabol çizebilirsiniz (x=xₒ çizgisinin simetri ekseni olduğunu dikkate alarak). Genellikle bunun için parabolün tepe noktasını, grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını ve 1-2 ek noktayı alırlar.

y=x²+5x+4 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y=x²+5x+4 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları yukarı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

yani parabolün tepesi (-2,5; -2,25) noktasıdır.

Arıyoruz. Ox ekseni ile kesişme noktasında y=0: x²+5x+4=0. İkinci dereceden denklemin kökleri x1=-1, x2=-4 yani grafikte (-1; 0) ve (-4; 0) olmak üzere iki nokta elde ettik.

Grafiğin Oy ekseni x=0 ile kesiştiği noktada: y=0²+5∙0+4=4. (0; 4) noktasını aldık.

Grafiği netleştirmek için ek bir nokta bulabilirsiniz. X=1 alalım, sonra y=1²+5∙1+4=10 yani grafikteki bir diğer nokta (1; 10) olur. Bu noktaları koordinat düzleminde işaretliyoruz. Parabolün tepe noktasından geçen çizgiye göre simetrisini dikkate alarak iki noktayı daha işaretliyoruz: (-5; 6) ve (-6; 10) ve bunların içinden bir parabol çiziyoruz:

y= -x²-3x fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y= -x²-3x ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları aşağı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

Tepe noktası (-1,5; 2,25) parabolün ilk noktasıdır.

Grafiğin apsis ekseni y=0 ile kesiştiği noktalarda yani -x²-3x=0 denklemini çözüyoruz. Kökleri x=0 ve x=-3'tür, yani (0;0) ve (-3;0) - grafikte iki nokta daha. (o; 0) noktası aynı zamanda parabolün ordinat ekseniyle kesişme noktasıdır.

x=1 y=-1²-3∙1=-4'te, yani (1; -4) çizim için ek bir noktadır.

Noktalardan parabol oluşturmak ilkine göre daha emek yoğun bir yöntemdir. Parabol Ox eksenini kesmiyorsa daha fazla ek noktaya ihtiyaç duyulacaktır.

y=ax²+bx+c formundaki ikinci dereceden fonksiyonların grafiklerini oluşturmaya devam etmeden önce, geometrik dönüşümleri kullanarak fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasını ele alalım. Ayrıca bu dönüşümlerden birini (paralel çeviri) kullanarak y=x²+c formundaki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak en uygunudur.

Bu bölüm boyunca düzlemde (aşağıda ele alınan tüm şekillerin yer aldığı) belirli bir ölçeğin seçildiği varsayılmaktadır; Yalnızca bu ölçeğe sahip dikdörtgen koordinat sistemleri dikkate alınır.

§ 1. Parabol

Bir okul matematik dersindeki okuyucu, bir parabolün, bir fonksiyonun grafiği olan bir eğri olduğunu bilir.

(Şek. 76). (1)

Herhangi bir ikinci dereceden üç terimlinin grafiği

aynı zamanda bir paraboldür; koordinat sistemini basitçe değiştirerek (bir OO vektörüyle), yani dönüştürerek mümkündür

fonksiyonun grafiğinin (ikinci koordinat sisteminde) grafik (2) (birinci koordinat sisteminde) ile çakıştığından emin olun.

Aslında (3)'ü eşitlik (2)'ye koyalım. Aldık

Bu eşitliğin sağ tarafındaki polinomun ('ye göre) katsayısı ve serbest terimi sıfıra eşit olacak şekilde seçim yapmak istiyoruz. Bunu yapmak için denklemden belirleriz

hangi verir

Şimdi duruma göre belirliyoruz

bunun içine zaten bulunan değeri koyarız. Aldık

Yani (3) kaydırması ile

parabol denkleminin (2) şu şekli aldığı yeni bir koordinat sistemine geçtik

(Şek. 77).

Denkleme (1) dönelim. Bir parabolün tanımı olarak hizmet edebilir. En basit özelliklerini hatırlayalım. Eğrinin bir simetri ekseni vardır: eğer bir nokta denklemi (1) karşılıyorsa, o zaman ordinat eksenine göre M noktasına simetrik olan bir nokta da denklemi (1) karşılar - eğri ordinat eksenine göre simetriktir (Şekil 76) .

Eğer , o zaman parabol (1), apsis ekseni ile tek bir ortak noktaya sahip olan üst yarı düzlemde yer alır.

Apsis'in mutlak değerindeki sınırsız artışla birlikte ordinat da sınırsız olarak artar. Eğrinin genel görünümü Şekil 2'de gösterilmektedir. 76, a.

Eğer (Şekil 76, b), o zaman eğri, eğrinin apsis eksenine göre simetrik olarak alt yarı düzlemde bulunur.

Ordinat ekseninin pozitif yönünü tersiyle değiştirerek eskisinden elde edilen yeni bir koordinat sistemine geçersek, eski sistemde y denklemine sahip olan parabol, yeni sistemde y denklemini alacaktır. koordinat sistemi. Bu nedenle parabolleri incelerken kendimizi denklemler (1) ile sınırlandırabiliriz; burada .

Son olarak eksenlerin isimlerini değiştirelim, yani ordinat ekseninin eski apsis ekseni ve apsis ekseninin eski ordinat ekseni olacağı yeni bir koordinat sistemine geçeceğiz. Bu yeni sistemde denklem (1) şu şekilde yazılacaktır:

Veya sayı formda ile gösteriliyorsa

Denklem (4) analitik geometride bir parabolün kanonik denklemi olarak adlandırılır; belirli bir parabolün denklem (4)'e sahip olduğu dikdörtgen koordinat sistemine kanonik koordinat sistemi (bu parabol için) denir.

Şimdi katsayının geometrik anlamını kuracağız. Bunu yapmak için konuyu ele alıyoruz

parabolün (4) odağı ve denklemle tanımlanan d düz çizgisi olarak adlandırılır

Bu çizgiye parabolün (4) doğrultmanı denir (bkz. Şekil 78).

Parabolün (4) keyfi bir noktası olsun. Denklem (4)'ten şu sonuç çıkar: Bu nedenle, M noktasının d doğrultucusundan uzaklığı sayıdır

M noktasının F odağından uzaklığı

Ama bu nedenle

Dolayısıyla, parabolün tüm M noktaları odak noktasından ve doğrultusundan eşit uzaklıktadır:

Tersine, koşulu (8) karşılayan her M noktası parabol (4) üzerinde yer alır.

Aslında,

Buradan,

ve parantezleri açıp benzer terimleri getirdikten sonra,

Her parabolün (4), F odağından ve bu parabolün d doğrultmanından eşit uzaklıktaki noktaların yeri olduğunu kanıtladık.

Aynı zamanda denklem (4)'teki katsayının geometrik anlamını da belirledik: sayı, odak noktası ile parabolün doğrultmanı arasındaki mesafeye eşittir.

Şimdi düzlemde bir F noktası ve bu noktadan geçmeyen bir d çizgisinin keyfi olarak verildiğini varsayalım. Odak noktası F ve doğrultmanı d olan bir parabolün var olduğunu kanıtlayalım.

Bunu yapmak için, F noktasından (Şekil 79) d çizgisine dik bir g çizgisi çizin; her iki doğrunun kesişim noktasını D ile gösterelim; mesafe (yani F noktası ile d düz çizgisi arasındaki mesafe) ile gösterilecektir.

g düz çizgisini üzerindeki DF yönünü pozitif alarak bir eksene çevirelim. Bu ekseni, orijini doğru parçasının orta O'su olan dikdörtgen bir koordinat sisteminin apsis ekseni yapalım.

O halde d düz doğrusu da denklemi alır.

Artık parabolün kanonik denklemini seçilen koordinat sisteminde yazabiliriz:

F noktası odak noktası olacak ve d düz çizgisi parabolün (4) doğrultmanı olacaktır.

Yukarıda bir parabolün, F noktası ve d doğrusundan eşit uzaklıktaki M noktalarının geometrik yeri olduğunu tespit etmiştik. Böylece bir parabolün böyle geometrik (yani herhangi bir koordinat sisteminden bağımsız) tanımını verebiliriz.

Tanım. Bir parabol, sabit bir noktadan (parabolün “odak noktası”) ve sabit bir çizgiden (parabolün “doğrultmanı”) eşit uzaklıktaki noktaların yeridir.

Bir parabolün odak noktası ile doğrultmanı arasındaki mesafeyi ifade ederek, her zaman belirli bir parabol için kanonik olan, yani parabol denkleminin kanonik forma sahip olduğu dikdörtgen bir koordinat sistemi bulabiliriz:

Tersine, dikdörtgen bir koordinat sisteminde böyle bir denklemi olan herhangi bir eğri bir paraboldür (şimdi kurulan geometrik anlamda).

Bir parabolün odak noktası ile doğrultmanı arasındaki mesafeye odak parametresi veya basitçe parabolün parametresi denir.

Odaktan parabolün doğrultusuna dik olarak geçen çizgiye odak ekseni (veya basitçe eksen) adı verilir; parabolün simetri eksenidir - bu, parabolün ekseninin, parabol denkleminin (4) formuna sahip olduğu koordinat sistemindeki apsis ekseni olduğu gerçeğinden kaynaklanır.

Bir nokta denklem (4)'ü sağlıyorsa, o zaman apsis eksenine göre M noktasına simetrik olan bir nokta da bu denklemi karşılar.

Bir parabolün ekseniyle kesişme noktasına parabolün tepe noktası denir; belirli bir parabol için kanonik koordinat sisteminin kökenidir.

Parabol parametresinin başka bir geometrik yorumunu verelim.

Parabolün odağından geçen ve parabolün eksenine dik olan düz bir çizgi çizelim; parabolü iki noktada kesecek (bkz. Şekil 79) ve parabolün sözde odak kirişini (yani parabolün doğrultusuna paralel olarak odak noktasından geçen kirişi) belirleyecektir. Odak akorunun uzunluğunun yarısı parabolün parametresidir.

Aslında, odak akorunun uzunluğunun yarısı, her birinin apsisi odağın apsisine eşit olan herhangi bir noktanın koordinatının mutlak değeridir, yani. Bu nedenle, sahip olduğumuz her noktanın koordinatı için

Q.E.D.

- (Yunanca parabol, parabollonun birbirine yaklaşmasından). 1) alegori, benzetme. 2) bir koninin bir bölümünden, onu oluşturan düzlemlerden bazılarına paralel bir düzlemle başlayan eğri bir çizgi. 3) Bir bombanın, top güllesinin vb. uçuşu sırasında oluşan eğri bir çizgi. Sözlük... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

Alegori, benzetme (Dahl) Örneğe bakınız... Eşanlamlılar sözlüğü

- (Yunan parabolü) düz eğri (2. dereceden). Bir parabol, belirli bir F noktasına (odak) ve belirli bir D1D2 düz çizgisine (doğrultman) mesafeleri eşit olan bir M noktaları kümesidir. Uygun koordinat sisteminde parabolün denklemi şu şekildedir: y2=2px, burada p=2OF.… … Büyük Ansiklopedik Sözlük

PARABOLA, matematiksel eğri, bir noktanın sabit bir noktaya yani odağa olan mesafesi, sabit bir düz çizgiye olan doğrultmana olan mesafesine eşit olacak şekilde hareket etmesiyle oluşan KONİK KESİT. Koni kesildiğinde parabol oluşur... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

Kadın, Yunanca alegori, benzetme. | mat. konik bölümler arasından kavisli çizgi; Şeker somununu karşı tarafa paralel olarak eğik olarak kesin. Parabolik hesaplamalar. Parabolik konuşma, heterolog, yabancı konuşma, mecazi... ... Dahl'ın Açıklayıcı Sözlüğü

parabol- y, w. parabol f. gr. parabol. 1. modası geçmiş Benzetme, alegori. BAS 1. Rus'un Paris'e gelmesine gülmek isteyen Fransız, sordu: Parabol, faribol ve obol ne anlama geliyor? Ama çok geçmeden ona cevap verdi: Parabolus, anlamadığın bir şey var;... ... Rus Dilinin Galyacılığın Tarihsel Sözlüğü

PARABOL- (1) düzlem üzerinde 2. dereceden açık eğri bir çizgi, bu y2 = 2px fonksiyonunun grafiğidir, burada p parametredir. Dairesel bir düzlem (bkz.), tepe noktasından geçmeyen ve jeneratörlerinden birine paralel olan bir düzlemle kesiştiğinde bir parabol elde edilir.... ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi

- (Yunan parabolünden), herhangi bir M noktasının belirli bir F noktasına (odak) ve belirli bir D 1D1 düz çizgisine (doğrultman) uzaklıkları eşit olan düz bir eğri (MD=MF) ... Modern ansiklopedi

PARABOLA, paraboller, kadınlar. (Yunanca: parabol). 1. Generatrislerden birine (mat.) paralel bir düzlem tarafından sağ dairesel bir koninin konik bir bölümünü temsil eden ikinci dereceden bir eğri. || Altına atılan ağır bir cismin (örneğin bir kurşunun) çizdiği yol... ... Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü

PARABOLA, s, dişi. Matematikte: Bir düzlem konik bir yüzeyle kesiştiğinde oluşan, bir daldan oluşan açık bir eğri. | sıfat parabolik, ah, ah. Ozhegov'un açıklayıcı sözlüğü. Sİ. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992… Ozhegov'un Açıklayıcı Sözlüğü

- “PARABOLA”, Rusya, 1992, renkli, 30 dk. Belgesel yazısı. Volga bölgesindeki küçük bir halk olan Udmurtların masallarının mistik özünü anlama çabası. Yönetmen: Svetlana Stasenko (bkz. Svetlana STASENKO). Senarist: Svetlana Stasenko (bkz. STASENKO... ... Sinema Ansiklopedisi

Kitabın

• Rüya iş arama planının parabolü. İK yöneticilerinin arketipleri..., Marina Zorina. Marina Zorina'nın “Rüyadaki İş Arama Planının Parabolü” adlı kitabı, yazarın gerçek deneyimine dayanmaktadır ve şirket içi işe alım sürecinin kalıplarına ilişkin faydalı bilgilerle doludur…
• Hayatımın parabolü Titta Ruffo. Kitabın yazarı, dünyanın önde gelen opera binalarının solisti olan en ünlü İtalyan şarkıcıdır. Titta Ruffo'nun canlı ve doğrudan yazılmış anıları, ilk dönemin tiyatro yaşamının taslaklarını içeriyor...

Sınıf 10 . İkinci dereceden eğriler.

10.1. Elips. Kanonik denklem. Yarı eksenler, dışmerkezlik, grafik.

10.2. Hiperbol. Kanonik denklem. Yarı eksenler, dışmerkezlik, asimptotlar, grafik.

10.3. Parabol. Kanonik denklem. Parabol parametresi, grafik.

Bir düzlem üzerindeki ikinci dereceden eğriler, örtülü tanımı şu şekilde olan çizgilerdir:

Nerede
- gerçek sayılar verildiğinde,
- eğri noktalarının koordinatları. İkinci dereceden eğriler arasında en önemli çizgiler elips, hiperbol ve paraboldür.

10.1. Elips. Kanonik denklem. Yarı eksenler, dışmerkezlik, grafik.

Bir elipsin tanımı.Elips, iki sabit noktaya olan uzaklıklarının toplamı olan bir düzlem eğridir.
herhangi bir noktaya düzlem

(onlar.). Puanlar
elipsin odak noktaları denir.

Kanonik elips denklemi:
. (2)

(veya eksen
) hilelerden geçer
ve köken noktadır - segmentin merkezinde yer alır
(Şekil 1). Elips (2), koordinat eksenlerine ve orijine (elipsin merkezi) göre simetriktir. Kalıcı
,
arandı elipsin yarı eksenleri.

Elips denklem (2) ile verilirse elipsin odakları şu şekilde bulunur.

1) İlk önce odakların nerede olduğunu belirleriz: odaklar, ana yarı eksenlerin bulunduğu koordinat ekseninde bulunur.

2) Daha sonra odak uzaklığı hesaplanır (odaklardan orijine olan mesafe).

Şu tarihte:
odaklar eksen üzerinde yer alır
;
;
.

Şu tarihte:
odaklar eksen üzerinde yer alır
;
;
.

Eksantriklik elipse miktar denir: (saatte
);(saatte
).

Elips her zaman
. Eksantriklik, elipsin sıkıştırılmasının bir özelliği olarak hizmet eder.

Elips (2), elipsin merkezi noktaya çarpacak şekilde hareket ettirilirse

,
, o zaman ortaya çıkan elipsin denklemi şu şekle sahiptir:

.

10.2. Hiperbol. Kanonik denklem. Yarı eksenler, dışmerkezlik, asimptotlar, grafik.

Abartılılığın tanımı.Bir hiperbol, iki sabit noktaya olan uzaklıkların farkının mutlak değerinin olduğu bir düzlem eğrisidir.
herhangi bir noktaya düzlem
bu eğri noktadan bağımsız olarak sabit bir değere sahiptir
(onlar.). Puanlar
hiperbolün odak noktaları denir.

Kanonik hiperbol denklemi:
veya
. (3)

Bu denklem, koordinat ekseninin
(veya eksen
) hilelerden geçer
ve köken noktadır - segmentin merkezinde yer alır
. Hiperboller (3) koordinat eksenlerine ve orijine göre simetriktir. Kalıcı
,
arandı hiperbolün yarı eksenleri.

Bir abartının odakları bu şekilde bulunur.

Abartılı bir şekilde
odaklar eksen üzerinde yer alır
:
(Şekil 2.a).

Abartılı bir şekilde
odaklar eksen üzerinde yer alır
:
(Şekil 2.b)

Burada - odak uzaklığı (odaklardan orijine olan mesafe). Aşağıdaki formülle hesaplanır:
.

Eksantriklik hiperbol miktardır:

(İçin
);(İçin
).

Abartı her zaman vardır
.

Hiperbollerin asimptotları(3) iki düz çizgidir:
. Hiperbolün her iki dalı da asimptotlara artan oranlarda sınırsız olarak yaklaşır. .

Bir hiperbol grafiğinin oluşturulması şu şekilde yapılmalıdır: önce yarı eksenler boyunca
kenarları koordinat eksenlerine paralel olan yardımcı bir dikdörtgen oluşturuyoruz; daha sonra bu dikdörtgenin zıt köşelerinden düz çizgiler çizin, bunlar hiperbolün asimptotlarıdır; son olarak hiperbolün dallarını tasvir ediyoruz, yardımcı dikdörtgenin karşılık gelen kenarlarının orta noktalarına dokunuyorlar ve büyümeyle yaklaşıyorlar asimptotlara (Şekil 2).

Eğer hiperboller (3), merkezleri noktaya çarpacak şekilde hareket ettirilirse
ve yarı eksenler eksenlere paralel kalacaktır
,
, daha sonra ortaya çıkan hiperbollerin denklemi şu şekilde yazılacaktır:

,
.

10.3. Parabol. Kanonik denklem. Parabol parametresi, grafik.

Bir parabolün tanımı.Parabol, herhangi bir nokta için bir düzlem eğrisidir.
bu eğri uzaklıktır
sabit bir noktaya düzlem (parabolün odağı olarak adlandırılır) uzaklığa eşittir
düzlemde sabit bir düz çizgiye(bir parabolün doğrultmanı denir) .

Kanonik parabol denklemi:
, (4)

Nerede - adı verilen bir sabit parametre paraboller.

Nokta
parabol (4)'e parabolün tepe noktası denir. Eksen
simetri eksenidir. Parabolün (4) odağı şu noktadadır
, doğrultman denklemi
. Anlamlarıyla birlikte parabol grafikleri (4)
Ve
Şekil 2'de gösterilmektedir. Sırasıyla 3.a ve 3.b.

Denklem
ayrıca düzlemde bir parabol tanımlar
eksenleri parabol (4) ile karşılaştırıldığında,
,
yer değiştirdik.

Parabol (4), tepe noktası noktaya çarpacak şekilde hareket ettirilirse
ve simetri ekseni eksene paralel kalacaktır
, o zaman ortaya çıkan parabolün denklemi şu şekildedir:

.

Örneklere geçelim.

örnek 1. İkinci dereceden eğri denklemle verilir
. Bu eğriye bir isim verin. Odaklarını ve eksantrikliğini bulun. Bir düzlemde bir eğri ve odak noktalarını çizin
.

Çözüm. Bu eğri, bu noktada merkezli bir elipstir.
ve aks milleri
. Bu, değiştirilerek kolayca doğrulanabilir
. Bu dönüşüm, belirli bir Kartezyen koordinat sisteminden geçiş anlamına gelir
yeni bir Kartezyen koordinat sistemine
, kimin ekseni
eksenlere paralel
,
. Bu koordinat dönüşümüne sistem kayması denir
Kesinlikle . Yeni koordinat sisteminde
eğrinin denklemi elipsin kanonik denklemine dönüştürülür
, grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 4.

Püf noktaları bulalım.
yani hileler
eksen üzerinde bulunan elips
.. Koordinat sisteminde
:
. Çünkü
, eski koordinat sisteminde
Odakların koordinatları vardır.

Örnek 2. İkinci dereceden eğrinin adını verin ve grafiğini sağlayın.

Çözüm. Değişken içeren terimlere göre tam kareleri seçelim Ve .

Şimdi eğrinin denklemi şu şekilde yeniden yazılabilir:

Bu nedenle verilen eğri, bu noktada merkezli bir elipstir.
ve aks milleri
. Elde edilen bilgiler grafiğini çizmemizi sağlar.

Örnek 3. Çizginin adını ve grafiğini verin
.

Çözüm. . Bu, merkezli bir elipsin kanonik denklemidir.
ve aks milleri
.

Çünkü,
şu sonuca varıyoruz: verilen denklem düzlemde belirlenir
elipsin alt yarısı (Şek. 5).

Örnek 4. İkinci dereceden eğrinin adını verin
. Odaklarını, eksantrikliğini bulun. Bu eğrinin grafiğini verin.

- yarı eksenli bir hiperbolün kanonik denklemi
.

Odak uzaklığı.

Eksi işareti terimden önce gelir yani hileler
hiperboller eksen üzerinde yer alır
:. Hiperbolün dalları eksenin üstünde ve altında bulunur
.

- hiperbolün dışmerkezliği.

Bir hiperbolün asimptotları: .

Bu hiperbolün grafiğinin oluşturulması yukarıda belirtilen prosedüre uygun olarak gerçekleştirilir: yardımcı bir dikdörtgen oluştururuz, hiperbolün asimptotlarını çizeriz, hiperbolün dallarını çizeriz (bkz. Şekil 2.b).

Örnek 5. Denklemde verilen eğri tipini bulun
ve planlayın.

- merkezi bir noktada olan hiperbol
ve aks milleri.

Çünkü , şu sonuca varıyoruz: verilen denklem hiperbolün düz çizginin sağında kalan kısmını belirler
. Yardımcı koordinat sisteminde hiperbol çizmek daha iyidir
koordinat sisteminden elde edilen
vardiya
ve ardından hiperbolün istenen kısmını kalın bir çizgiyle vurgulayın

Örnek 6. Eğrinin türünü bulun ve grafiğini çizin.

Çözüm. Değişkenin terimlerine göre tam bir kare seçelim :

Eğrinin denklemini yeniden yazalım.

Bu, tepe noktası noktada olan bir parabolün denklemidir.
. Bir kaydırma dönüşümü kullanılarak parabol denklemi kanonik forma getirilir
Buradan bunun bir parabol parametresi olduğu açıktır. Odak sistemdeki paraboller
koordinatları var
, ve sistemde
(vardiya dönüşümüne göre). Parabol grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 7.

Ev ödevi.

1. Denklemlerin verdiği elipsleri çizin:
Yarı eksenlerini, odak uzaklığını, dışmerkezliğini bulun ve odak noktalarının yerlerini elips grafikleri üzerinde belirtin.

2. Denklemlerin verdiği hiperbolleri çizin:
Yarı eksenlerini, odak uzunluklarını, dışmerkezliklerini bulun ve hiperbol grafikleri üzerinde odaklarının yerlerini belirtin. Verilen hiperbollerin asimptotları için denklemler yazın.

3. Denklemlerin verdiği parabolleri çizin:
. Parametrelerini, odak uzaklığını bulun ve parabol grafiklerinde odağın konumunu belirtin.

4. Denklem
eğrinin 2. dereceden kısmını tanımlar. Bu eğrinin kanonik denklemini bulun, adını yazın, grafiğini çizin ve eğrinin orijinal denkleme karşılık gelen kısmını vurgulayın.