Dağıtım işlevini kullanma. Sürekli rastgele değişken, dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu

Bir özelliğin varyasyonunu bir bütün olarak popülasyonun tamamında incelemenin yanı sıra, genellikle izini sürmek de gereklidir. niceliksel değişiklikler Nüfusun bölündüğü gruplara ve gruplara göre özellikler. Bu varyasyon çalışması hesaplama ve analiz yoluyla gerçekleştirilir. çeşitli türler farklılıklar.
Toplam, gruplar arası ve grup içi varyanslar vardır.
Toplam varyans σ 2 Bir özelliğin tüm popülasyondaki değişimini, bu varyasyona neden olan tüm faktörlerin etkisi altında ölçer.

Gruplar arası varyans (δ) sistematik varyasyonu karakterize eder, yani. Grubun temelini oluşturan faktör özelliğinin etkisi altında ortaya çıkan, incelenen özelliğin değerindeki farklılıklar. Aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
.

Grup içi varyans (σ) rastgele değişimi yansıtır, yani hesaba katılmayan faktörlerin etkisi altında ortaya çıkan ve grubun temelini oluşturan faktör özelliğine bağlı olmayan varyasyonun bir kısmı. Aşağıdaki formülle hesaplanır:
.

Grup içi varyansların ortalaması: .

3 çeşit dağılımı birbirine bağlayan bir yasa vardır. Toplam varyans grup içi ortalamanın toplamına eşittir ve gruplar arası varyans: .
Bu orana denir varyans ekleme kuralı.

Analizde yaygın olarak kullanılan bir gösterge, gruplar arası varyansın toplam varyansa oranıdır. Buna denir ampirik belirleme katsayısı (η 2): .
Ampirik belirleme katsayısının kareköküne denir ampirik korelasyon oranı (η):
.
Grubun temelini oluşturan özelliğin, ortaya çıkan özelliğin değişimi üzerindeki etkisini karakterize eder. Ampirik korelasyon oranı 0 ile 1 arasında değişir.
Hadi gösterelim pratik kullanım Açık aşağıdaki örnek(Tablo 1).

Örnek No.1. Tablo 1 - NPO Cyclone atölyelerinden birinde iki grup işçinin emek verimliliği

Grup içi ve gruplar arası varyansın ortalamasını hesaplamak için ilk veriler tabloda sunulmaktadır. 2.
Tablo 2
İki işçi grubu için hesaplama ve δ 2.

Niceliksel özelliklerdeki çeşitliliğin yanı sıra, çeşitlilik de gözlemlenebilir. niteliksel işaretler. Bu varyasyon çalışması, aşağıdaki varyans türlerinin hesaplanmasıyla gerçekleştirilir:

Payın grup içi dağılımı aşağıdaki formülle belirlenir:

Bu varyans ilişkisine özellik payının varyanslarının eklenmesi teoremi denir.

Bir önceki bölümde, argümanların dağılım yasaları bilindiğinde fonksiyonların sayısal özelliklerini bulmamızı sağlayan bir dizi formül sunmuştuk. Ancak çoğu durumda, fonksiyonların sayısal özelliklerini bulmak için argümanların dağılım yasalarını bilmek bile gerekli değildir, yalnızca bazı sayısal özelliklerini bilmek yeterlidir; aynı zamanda genellikle herhangi bir dağıtım kanunu olmadan da bunu yaparız. Verilen fonksiyonların sayısal özelliklerinin belirlenmesi sayısal özellikler argümanlar olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılır ve bir dizi sorunun çözümünü önemli ölçüde basitleştirebilir. Bu basitleştirilmiş yöntemlerin çoğu doğrusal fonksiyonlarla ilgilidir; ancak bazı temel doğrusal olmayan fonksiyonlar da benzer bir yaklaşıma izin verir.

Şu anda, fonksiyonların sayısal özellikleri üzerine, bu özelliklerin hesaplanması için çok çeşitli koşullara uygulanabilen çok basit bir cihazı temsil eden bir dizi teorem sunacağız.

1. Matematiksel beklenti rastgele değişken

Formüle edilen özellik oldukça açıktır; rastgele olmayan bir değişkenin özel bir rastgele türü olarak ele alınmasıyla kanıtlanabilir; olası anlam bir olasılıkla; daha sonra genel formüle göre matematiksel beklenti:

.

2. Rastgele olmayan bir değişkenin dağılımı

Rastgele olmayan bir değerse, o zaman

3. Matematiksel beklenti işaretinin yerine rastgele olmayan bir değer koymak

, (10.2.1)

yani rastgele olmayan bir değer matematiksel beklentinin işareti olarak alınabilir.

Kanıt.

a) Süreksiz miktarlar için

b) Sürekli miktarlar için

.

4. Dağılım ve standart sapma işaretinden rastgele olmayan bir değerin çıkarılması

Rastgele olmayan bir miktarsa ​​ve rastgele ise, o zaman

, (10.2.2)

yani dağılımın işaretinin karesi alınarak rastgele olmayan bir değer çıkarılabilir.

Kanıt. Varyansın tanımı gereği

Sonuçlar

,

yani rastgele olmayan bir değer standart sapmanın işaretinin ötesine alınabilir mutlak değer. Kanıtı (10.2.2) formülünden karekök alarak ve r.s.o.'yu hesaba katarak elde ederiz. - önemli ölçüde pozitif bir değer.

5. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi

Herhangi iki rastgele değişken için bunu kanıtlayalım ve

yani iki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Bu özellik matematiksel beklentilerin eklenmesi teoremi olarak bilinir.

Kanıt.

a) Süreksiz rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem olsun. Rastgele değişkenlerin toplamına uygula Genel formül(10.1.6) iki argümanlı bir fonksiyonun matematiksel beklentisi için:

.

Ho, miktarın şu değeri alacağı toplam olasılıktan başka bir şeyi temsil etmez:

;

buradan,

.

Benzer şekilde bunu kanıtlayacağız

,

ve teorem kanıtlanmıştır.

b) Sürekli rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem olsun. Formül (10.1.7)'ye göre

. (10.2.4)

İntegrallerden (10.2.4) ilkini dönüştürelim:

;

benzer şekilde

,

ve teorem kanıtlanmıştır.

Matematiksel beklentilerin eklenmesine ilişkin teoremin hem bağımlı hem de bağımsız herhangi bir rastgele değişken için geçerli olduğuna özellikle dikkat edilmelidir.

Matematiksel beklentilerin eklenmesine ilişkin teorem şu şekilde genelleştirilmiştir: Rasgele sayışartlar:

, (10.2.5)

yani, birkaç rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Bunu kanıtlamak için yöntemi uygulamak yeterlidir. tam indüksiyon.

6. Matematiksel beklenti doğrusal fonksiyon

Birkaç tanenin doğrusal bir fonksiyonunu düşünün rastgele argümanlar :

rastgele olmayan katsayılar nerede. Hadi bunu kanıtlayalım

, (10.2.6)

yani doğrusal bir fonksiyonun matematiksel beklentisi, argümanların matematiksel beklentilerinin aynı doğrusal fonksiyonuna eşittir.

Kanıt. M.o.'nun toplama teoremini kullanarak. ve m.o. işaretinin dışına rastgele olmayan bir miktar yerleştirme kuralını elde ederiz:

.

7. Gösterimepbu rastgele değişkenlerin toplamı

İki rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyanslarının toplamı artı korelasyon momentinin iki katına eşittir:

Kanıt. Haydi belirtelim

Matematiksel beklentilerin eklenmesi teoremine göre

Rastgele değişkenlerden karşılık gelen merkezli değişkenlere geçelim. Eşitlik (10.2.9) terimini eşitlikten (10.2.8) terim terim çıkararak şunu elde ederiz:

Varyansın tanımı gereği

Q.E.D.

Toplamın varyansına ilişkin formül (10.2.7), herhangi bir sayıda terime genelleştirilebilir:

, (10.2.10)

miktarların korelasyon momenti nerede, toplamın altındaki işaret, toplamın rastgele değişkenlerin tüm olası ikili kombinasyonlarına kadar uzandığı anlamına gelir .

Kanıt öncekine benzer ve bir polinomun karesi formülünden gelir.

Formül (10.2.10) başka bir biçimde yazılabilir:

, (10.2.11)

çift ​​toplamın tüm öğelere uygulandığı yer korelasyon matrisi miktar sistemleri , hem korelasyon momentlerini hem de varyansları içerir.

Eğer tüm rastgele değişkenler Sisteme dahil olan , korelasyonsuzsa (yani , olduğunda), formül (10.2.10) şu şekli alır:

, (10.2.12)

yani ilişkisiz rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, terimlerin varyanslarının toplamına eşittir.

Bu pozisyon varyansların toplamı teoremi olarak bilinir.

8. Doğrusal bir fonksiyonun varyansı

Birkaç rastgele değişkenin doğrusal bir fonksiyonunu ele alalım.

rastgele olmayan miktarlar nerede.

Bu doğrusal fonksiyonun dağılımının formülle ifade edildiğini kanıtlayalım.

, (10.2.13)

büyüklüklerin korelasyon momenti nerede , .

Kanıt. Gösterimi tanıtalım:

. (10.2.14)

Toplamın ifadenin (10.2.14) sağ tarafına dağılımı için formül (10.2.10)'u uygulayarak ve bunu dikkate alarak şunu elde ederiz:

büyüklüklerin korelasyon momenti nerede:

.

Bu anı hesaplayalım. Sahibiz:

;

benzer şekilde

Bu ifadeyi (10.2.15)'te yerine koyarsak (10.2.13) formülüne ulaşırız.

Tüm miktarların olduğu özel durumda korelasyonsuzsa formül (10.2.13) şu şekli alır:

, (10.2.16)

yani, ilişkisiz rastgele değişkenlerin doğrusal bir fonksiyonunun varyansı, katsayıların karelerinin ve karşılık gelen argümanların varyanslarının çarpımlarının toplamına eşittir.

9. Rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi

İki rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentileri artı korelasyon momentinin çarpımına eşittir:

Kanıt. Tanımdan başlayacağız korelasyon anı:

Bu ifadeyi matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak dönüştürelim:

bu açıkça formül (10.2.17)'ye eşdeğerdir.

Rastgele değişkenler korelasyonsuzsa formül (10.2.17) şu formu alır:

yani, ilişkisiz iki rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Bu konum matematiksel beklentilerin çarpımı teoremi olarak bilinir.

Formül (10.2.17), sistemin ikinci karma merkezi momentinin ikinci karma merkezi momentinin ifadesinden başka bir şey değildir. başlangıç ​​anı ve matematiksel beklentiler:

. (10.2.19)

Bu ifade, pratikte korelasyon momentini hesaplarken, bir rastgele değişken için varyansın çoğunlukla ikinci başlangıç ​​momenti ve matematiksel beklenti yoluyla hesaplanmasıyla aynı şekilde kullanılır.

Matematiksel beklentilerin çarpımı teoremi, keyfi sayıda faktöre genelleştirilir, ancak bu durumda, uygulaması için, miktarların korelasyonsuz olması yeterli değildir, ancak sayısı bağlı olan bazı daha yüksek karışık momentlerin olması gerekir. çarpımdaki terimlerin sayısına bağlı olarak kaybolur. Çarpımdaki rastgele değişkenlerin bağımsız olması durumunda bu koşullar kesinlikle karşılanır. Bu durumda

, (10.2.20)

yani bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Bu önerme tam tümevarımla kolayca kanıtlanabilir.

10. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının varyansı

Bağımsız nicelikler için bunu kanıtlayalım.

Kanıt. belirtelim. Varyansın tanımı gereği

Büyüklükler bağımsız olduğundan ve

Şu tarihte: bağımsız miktarlar aynı zamanda bağımsız; buradan,

,

Ancak büyüklüğün ikinci başlangıç ​​anından başka bir şey yoktur ve bu nedenle dağılım yoluyla ifade edilir:

;

benzer şekilde

.

Bu ifadeleri formül (10.2.22)'de yerine koymak ve getirmek benzer üyeler, (10.2.21) formülüne ulaşıyoruz.

Merkezi rastgele değişkenlerin (matematiksel beklentileri sıfıra eşit olan değişkenler) çarpılması durumunda formül (10.2.21) şu şekli alır:

, (10.2.23)

yani bağımsız merkezli rastgele değişkenlerin çarpımının varyansı, varyanslarının çarpımına eşittir.

11. Rastgele değişkenlerin toplamının daha yüksek momentleri

Bazı durumlarda bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının en yüksek momentlerini hesaplamak gerekir. İlgili bazı ilişkileri kanıtlayalım.

1) Büyüklükler bağımsız ise, o zaman

Kanıt.

matematiksel beklentilerin çarpımı teoremine göre

Ancak herhangi bir miktar için ilk merkezi an sıfıra eşit; ortadaki iki terim kaybolur ve formül (10.2.24) kanıtlanır.

İlişki (10.2.24), tümevarım yoluyla keyfi sayıda bağımsız terime kolayca genelleştirilir:

. (10.2.25)

2) İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının dördüncü merkezi momenti aşağıdaki formülle ifade edilir:

miktarların varyansları nerede ve .

Kanıt öncekine tamamen benzer.

Tam tümevarım yöntemini kullanarak, formül (10.2.26)'nın keyfi sayıda bağımsız terime genellenmesini kanıtlamak kolaydır.

Varyans, veri değerleri ile ortalama arasındaki karşılaştırmalı sapmayı tanımlayan bir dağılım ölçüsüdür. İstatistiklerde en çok kullanılan dağılım ölçüsü olup, her bir veri değerinin ortalama boyut. Varyansın hesaplanmasına ilişkin formül aşağıda verilmiştir:

s 2 – örneklem varyansı;

x av—örnek ortalama;

N — örneklem büyüklüğü (veri değerlerinin sayısı),

(x i – x ort) veri setinin her bir değeri için ortalama değerden sapmadır.

Formülü daha iyi anlamak için bir örneğe bakalım. Yemek yapmayı gerçekten sevmiyorum, bu yüzden nadiren yapıyorum. Ancak aç kalmamak için ara sıra sobanın yanına gidip vücudumu protein, yağ ve karbonhidratla doyurma planını uygulamak zorunda kalıyorum. Aşağıdaki veri seti Renat'ın her ay kaç kez yemek pişirdiğini göstermektedir:

Varyansı hesaplamanın ilk adımı, örneğimizde ayda 7,8 kez olan örnek ortalamasını belirlemektir. Hesaplamaların geri kalanı aşağıdaki tablo kullanılarak daha kolay yapılabilir.

Varyansı hesaplamanın son aşaması şuna benzer:

Tüm hesaplamaları tek seferde yapmayı sevenler için denklem şu şekilde görünecektir:

Ham sayım yöntemini kullanma (yemek pişirme örneği)

Fazlası var etkili yöntem"ham sayma" yöntemi olarak bilinen varyansın hesaplanması. Denklem ilk bakışta oldukça hantal görünse de aslında o kadar da korkutucu değil. Bundan emin olabilir ve ardından hangi yöntemi en çok beğendiğinize karar verebilirsiniz.

karesi alındıktan sonra her veri değerinin toplamıdır,

tüm veri değerlerinin toplamının karesidir.

Hemen aklınızı kaybetmeyin. Tüm bunları bir tabloya koyalım ve önceki örnekte olduğundan daha az hesaplama yapıldığını göreceksiniz.

Gördüğünüz gibi sonuç, önceki yöntemi kullanırkenkiyle aynıydı. Avantajları Bu methodörneklem büyüklüğü (n) arttıkça belirginleşir.

Excel'de varyans hesaplaması

Muhtemelen zaten tahmin ettiğiniz gibi, Excel'in varyansı hesaplamanıza olanak tanıyan bir formülü vardır. Üstelik Excel 2010'dan başlayarak 4 tür varyans formülü bulabilirsiniz:

1) VARIANCE.V – Örneğin varyansını döndürür. Boole değerleri ve metin dikkate alınmaz.

2) DISP.G - Varyansını döndürür nüfus. Boole değerleri ve metin dikkate alınmaz.

3) VARYANS - Boolean ve metin değerlerini dikkate alarak örneğin varyansını döndürür.

4) VARYANS - Mantıksal ve metinsel değerleri dikkate alarak popülasyonun varyansını döndürür.

Öncelikle örnek ve popülasyon arasındaki farkı anlayalım. Amaç tanımlayıcı istatistikler tabiri caizse genel bir resmi, genel bir bakışı hızlı bir şekilde elde etmek için verileri özetlemek veya görüntülemektir. İstatistiksel çıkarım, bir popülasyondan alınan bir veri örneğine dayanarak bir popülasyon hakkında çıkarımlar yapmanızı sağlar. Nüfus bizi ilgilendiren tüm olası sonuçları veya ölçümleri temsil eder. Örnek, bir popülasyonun alt kümesidir.

Örneğin, bir grup öğrencinin tamamıyla ilgileniyoruz. Rus üniversiteleri ve grubun ortalama puanını belirlememiz gerekiyor. Öğrencilerin ortalama performansını hesaplayabiliriz ve hesaplamalarımıza tüm nüfus dahil olacağından ortaya çıkan rakam bir parametre olacaktır. Ancak ülkemizdeki tüm öğrencilerin genel not ortalamasını hesaplamak istersek o zaman bu grup bizim örneklemimiz olacaktır.

Bir numune ile popülasyon arasındaki varyansı hesaplamaya yönelik formüldeki fark, paydadır. Örneklem için (n-1)'e eşit olacaktır ve genel nüfus için yalnızca n'ye eşit olacaktır.

Şimdi sonlarla varyansı hesaplamak için kullanılan işlevlere bakalım A, hesaplamada metin ve mantıksal değerlerin dikkate alındığını belirten açıklama. İÇİNDE bu durumda belirli bir veri dizisinin varyansını hesaplarken, burada sayısal değerler Excel, metin ve yanlış Boolean değerlerini 0'a, gerçek Boolean değerlerini ise 1'e eşit olarak yorumlayacaktır.

Dolayısıyla, bir veri diziniz varsa yukarıda listelenen Excel işlevlerinden birini kullanarak varyansını hesaplamak zor olmayacaktır.

Dağılım BEN Dispersiyon (Latince dispersio'dan - saçılma)

V matematiksel istatistik ve olasılık teorisi, en sık kullanılan dağılım ölçüsü, yani ortalamadan sapma. İstatistiksel anlamda D.

değerlerin kare sapmalarının aritmetik ortalamasıdır x ben aritmetik ortalamalarından

Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin D.'si X Matematiksel beklenti E ( X - m x) 2 kare sapma X matematiksel beklentisinden m x= E ( X). D. rastgele değişken X D ile gösterilir ( X) veya σ aracılığıyla 2 KERE. Kare kök D.'den (yani σ, eğer D. σ 2 ise) ortalama olarak adlandırılır kare sapma(Bkz. Standart Sapma).

Rastgele bir değişken için Xİle sürekli dağıtım olasılık yoğunluğu ile karakterize edilen olasılıklar (Bkz. Olasılık yoğunluğu) R(X), D. formülle hesaplanır

Olasılık teorisinde büyük önem teoremi vardır: D. bağımsız terimlerin toplamı, D'lerinin toplamına eşittir. Chebyshev eşitsizliği daha az önemli değildir; bu, rastgele bir değişkenin büyük sapma olasılığını tahmin etmeye izin verir. X matematiksel beklentisinden.

Büyük Sovyet ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde “Varyans”ın ne olduğuna bakın:

dağılım- Bir şey saçıyorum. Matematikte dağılım, niceliklerin ortalama değerden sapmasını tanımlar. Beyaz ışığın dağılması, bileşenlere ayrışmasına yol açar. Sesin dağılması yayılmasına neden olur. Saklanan verilerin dağıtılması... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Modern ansiklopedi

- (varyans) Veri dağılımının ölçüsü. N üyeden oluşan bir kümenin varyansı, ortalamadan sapmalarının kareleri toplanıp N'ye bölünerek bulunur. Bu nedenle, i = 1, 2,..., N için üyeler xi ise ve ortalamaları m ise , varyans... ... Ekonomik sözlük

Dağılım- (Latince dağılım saçılımından) dalgaların, bir maddedeki dalgaların yayılma hızının dalga boyuna (frekans) bağımlılığı. Varyans belirlendi fiziki ozellikleri dalgaların yayıldığı ortam. Örneğin, boşlukta... ... resimli ansiklopedik sözlük

- (Latince dağılım saçılımından) matematiksel istatistik ve olasılık teorisinde, dağılım ölçüsü (ortalamadan sapma). İstatistikte dağılım, rastgele bir sayının gözlenen değerlerinin (x1, x2,...,xn) sapmalarının karelerinin aritmetik ortalamasıdır. Büyük Ansiklopedik Sözlük

Olasılık teorisinde ortalamadan sapmanın en yaygın kullanılan ölçüsü dağılım ölçüsüdür. İngilizce: Dispersiyon Eşanlamlılar: İstatistiksel dağılım İngilizce eşanlamlılar: İstatistiksel dağılım Ayrıca bakınız: Örnek Popülasyonlar Parasal... ... Finansal Sözlük

- [enlem. dağılmış, dağılmış] 1) saçılma; 2) kimya, fizik. bir maddenin çok küçük parçacıklara ayrılması. D. beyaz ışığın bir prizma kullanılarak bir spektruma ayrıştırılması; 3) mat. ortalamadan sapma. Sözlük yabancı kelimeler. Komlev N.G.,... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

dağılım- Bu verilerin aritmetik ortalamadan sapmasının ortalama karesine karşılık gelen veri dağılımının (varyans) göstergesi. kareye eşit standart sapma. Sözlük pratik psikolog. M.: AST, Hasat. S.Yu. 1998... Büyük psikolojik ansiklopedi

Saçılma, saçılma Rusça eşanlamlılar sözlüğü. dispersiyon adı, eşanlamlı sayısı: 6 nanodispersiyon (1) ... Eş anlamlılar sözlüğü

Dağılım- ortalama değerden sapmalarının karesi ile ölçülen (d2 ile gösterilir) rastgele bir değişkenin değerlerinin dağılımının karakteristiği. D. teorik (sürekli veya ayrık) ve ampirik (aynı zamanda sürekli ve... ... Ekonomik ve matematiksel sözlük

Dağılım- * dağılım * dağılım 1. Dağılım; dağılım; varyasyon (bkz.). 2. Teorik olarak olasılık kavramı Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapma ölçüsünü karakterize eden. Biyometrik uygulamada kullanılır örnek varyans s2... Genetik. ansiklopedik sözlük

Kitabın

• Geniş soğurma bantlarında anormal dağılım, D.S. Noel. Orijinal yazarın 1934 baskısının yazımıyla çoğaltılmıştır ('SSCB Bilimler Akademisi İzvestia' yayınevi). İÇİNDE…

Popülasyon incelenen özelliğe göre gruplara ayrılırsa, bu popülasyon için aşağıdaki varyans türleri hesaplanabilir: toplam, grup (grup içi), grup ortalaması (grup içi ortalama), gruplar arası.

Başlangıçta, incelenen özelliğin toplam varyasyonunun ne kadarının gruplar arası varyasyon olduğunu gösteren belirleme katsayısını hesaplar; gruplandırma özelliğinden dolayı:

Ampirik korelasyon ilişkisi, gruplama (faktöriyel) ile performans özellikleri arasındaki bağlantının yakınlığını karakterize eder.

Ampirik korelasyon oranı 0'dan 1'e kadar değerler alabilir.

Ampirik korelasyon oranına dayalı olarak bağlantının yakınlığını değerlendirmek için Chaddock ilişkilerini kullanabilirsiniz:

Örnek 4. Tasarım ve araştırma kuruluşlarının iş performansına ilişkin aşağıdaki veriler mevcuttur: farklı şekiller mülk:

Tanımlamak:

1) toplam varyans;

2) grup farklılıkları;

3) grup varyanslarının ortalaması;

4) gruplar arası varyans;

5) varyansların eklenmesi kuralına dayalı toplam varyans;

6) belirleme katsayısı ve ampirik korelasyon oranı.

Sonuca varmak.

Çözüm:

1. Tanımlayalım ortalama hacim iki tür mülkiyete sahip işletmeler tarafından iş performansı:

Toplam varyansı hesaplayalım:

2. Grup ortalamalarını belirleyin:

milyon ruble;

milyon ruble

Grup farklılıkları:

;

3. Grup varyanslarının ortalamasını hesaplayın:

4. Gruplar arası varyansı belirleyelim:

5. Varyans ekleme kuralına göre toplam varyansı hesaplayın:

6. Belirleme katsayısını belirleyelim:

.

Böylece tasarım ve etüt kuruluşlarının gerçekleştirdiği iş hacmi %22 oranında işletmelerin mülkiyet şekline bağlıdır.

Ampirik korelasyon oranı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

.

Hesaplanan göstergenin değeri, iş hacminin işletmenin mülkiyet biçimine bağımlılığının küçük olduğunu gösterir.

Örnek 5.İnceleme sonucunda teknolojik disiplinüretim tesisleri aşağıdaki verileri aldı:

Belirleme katsayısını belirleyin