T anındaki ivmeyi bulun. Karmaşık nokta hareketi

Hız, yalnızca bir parçacığın yörünge boyunca hareket hızını değil, aynı zamanda parçacığın zamanın her anında hareket ettiği yönü de karakterize eden bir vektör miktarıdır.

Zaman içindeki ortalama hız itibaren t 1 önce t 2 bu zaman içindeki hareketin, bu hareketin gerçekleştiği zaman dilimine oranına eşittir:

Ortalama değeri köşeli parantez içine alarak bunun ortalama hız olduğunu not edeceğiz:<...>yukarıda yapıldığı gibi.

Ortalama hız vektörü için yukarıdaki formül, ortalama değerin genel matematiksel tanımının doğrudan bir sonucudur.<f(x)> keyfi işlev f(x) aralıkta [ a,b]:

Gerçekten

Ortalama hız çok kaba bir hareket ölçüsü olabilir. Örneğin, bir salınım periyodu boyunca ortalama hız, bu salınımların doğasından bağımsız olarak her zaman sıfırdır; bunun basit nedeni, bir periyot boyunca - periyodun tanımı gereği - salınan cismin başlangıç noktasına geri dönmesi ve dolayısıyla periyot boyunca yer değiştirme her zaman sıfırdır. Bu ve diğer birçok nedenden ötürü, anlık hız devreye giriyor; yani zamanın belirli bir andaki hızı. Gelecekte, anlık hız anlamında basitçe "hız" yazacağız, "anlık" veya "zamanın belirli bir anında" sözcüklerini, yanlış anlaşılmalara yol açmayacak şekilde atlayarak, zamanın belirli bir anında hız elde etmek için yazacağız. T bariz olanı yapmamız gerekiyor: zaman aralığı ilerledikçe oranın sınırını hesaplamak t 2 – t 1 sıfıra. Bazı yeniden düzenlemeler yapalım: t1 = t Ve t2 = t + ve üst ilişkiyi şu şekilde yeniden yazın:

Zamanında hız T zaman içindeki hareketin, bu hareketin gerçekleştiği zaman periyoduna oranının sınırına eşittir, çünkü ikincisi sıfıra eğilimlidir

Pirinç. 2.5. Anlık hızın tanımına doğru.

Şu anda bu sınırın var olduğu sorusunu, var olduğunu varsayarak ele almıyoruz. Sonlu bir yer değiştirme ve sonlu bir zaman periyodu varsa, o zaman ve bunların sınır değerleridir: sonsuz küçük bir yer değiştirme ve sonsuz küçük bir zaman periyodu. Yani hız tanımının sağ tarafı

kesirden başka bir şey değildir - bölme bölümü, bu nedenle son ilişki yeniden yazılabilir ve sıklıkla formda kullanılır

Türevin geometrik anlamına göre, yörüngenin her noktasındaki hız vektörü, hareket yönünde bu noktada yörüngeye teğet olarak yönlendirilir.

Video 2.1. Hız vektörü yörüngeye teğet olarak yönlendirilir. Bir kalemtıraşla denemeler yapın.

Herhangi bir vektör bir tabana genişletilebilir (tabanın birim vektörleri için, başka bir deyişle eksenlerin pozitif yönlerini tanımlayan birim vektörler için) ÖKÜZ,OY,OZ sırasıyla , , veya notasyonunu kullanırız). Bu genişlemenin katsayıları, vektörün karşılık gelen eksenlere izdüşümleridir. Şu önemli: Vektör cebirinde tabana göre açılımın tek olduğu kanıtlanmıştır. Hareketli bir madde noktasının yarıçap vektörünü bir tabana genişletelim

Kartezyen birim vektörlerin sabitliğini hesaba katarak bu ifadenin zamana göre türevini alırız

Öte yandan hız vektörü bazında genişleme şu şekildedir:

herhangi bir vektörün tabana göre genişlemesinin benzersizliği dikkate alınarak son iki ifadenin yan yana getirilmesi şu sonucu verir: hız vektörünün Kartezyen eksenleri üzerindeki izdüşümleri karşılık gelen koordinatların zaman türevlerine eşittir; dır-dir

Hız vektörünün büyüklüğü şuna eşittir:

Hız vektörünün büyüklüğü için başka, önemli bir ifade elde edelim.

|| değerinin ne zaman olacağı zaten belirtilmişti. karşılık gelen yoldan giderek daha az farklılık gösterir (bkz. Şekil 2). Bu yüzden

ve limitte (>0)

Başka bir deyişle hız modülü zamana göre kat edilen mesafenin türevidir.

Sonunda elimizde:

Hız vektörünün ortalama büyüklüğü, aşağıdaki gibi tanımlanır:

Hız vektör modülünün ortalama değeri, kat edilen mesafenin bu yolun kat edildiği süreye oranına eşittir:

Burada s(t 1 , t 2)- zaman içindeki yol t 1önce t 2 ve buna bağlı olarak, s(t 0, t 2)- zaman içindeki yol t 0önce t 2 Ve s(t 0, t 2)- zaman içindeki yol t 0önce t 1.

Ortalama hız vektörü veya yukarıda belirtildiği gibi basitçe ortalama hız

Her şeyden önce bunun bir vektör olduğunu, onun modülünün - ortalama hız vektörünün modülünün, hız vektörü modülünün ortalama değeri ile karıştırılmaması gerektiğini unutmayın. Genel durumda eşit değillerdir: ortalama vektörün modülü, bu vektörün ortalama modülüne hiç eşit değildir. İki işlem: modülün hesaplanması ve ortalamanın hesaplanması genel durumda değiştirilemez.

Bir örneğe bakalım. Noktanın bir yönde hareket etmesine izin verin. İncirde. 2.6. kat ettiği yolun grafiğini gösterir S zamandan beri (zamandan itibaren 0 önce T). Hızın fiziksel anlamını kullanarak, noktanın hareketinin ilk saniyelerindeki anlık hızın ortalama yer hızına eşit olduğu anı bulmak için bu grafiği kullanın.

Pirinç. 2.6. Bir cismin anlık ve ortalama hızının belirlenmesi

Belirli bir zamanda hız modülü

Yolun zamana göre türevi olduğundan, zamanın anına karşılık gelen noktanın bağımlılığı grafiğine salınımın açısal katsayısına eşittir. T*. Belirli bir süre boyunca ortalama hız modülü 0 önce T* aynı grafiğin başlangıca karşılık gelen noktalarından geçen sekantın açısal katsayısıdır t = 0 ve son t = t* Zaman aralığı. Böyle bir anı bulmamız lazım T* Her iki eğim çakıştığında. Bunu yapmak için, başlangıç noktasından yörüngeye teğet düz bir çizgi çizin. Şekilden de görülebileceği gibi bu düz grafiğin teğet noktası s(t) ve verir T*. Örneğimizde ortaya çıkıyor

Talimatlar

Yönünü belirleyeceğiniz koordinat sistemini girin ve modül. Görev zaten bağımlılıklar içeriyorsa hız zaman zaman bir koordinat sistemine girmeye gerek yoktur - zaten var olduğu varsayılır.

Mevcut bağımlılık fonksiyonuna göre hız zamanla değerini bulabilirsin hız herhangi bir zamanda. Örneğin v=2t²+5t-3 olsun. Eğer bulman gerekiyorsa modül hız t=1 anında bu değeri yerine koyun ve v'yi hesaplayın: v=2+5-3=4.

Kaynaklar:

zamana göre yol bağımlılığı nasıl bulunur

Modül sayılar n, başlangıç noktasından n noktasına kadar birim segment sayısını temsil eder. Üstelik bu mesafenin hangi yönde sayılacağı önemli değil - sıfırın sağına veya soluna.

Talimatlar

Modül sayılar buna mutlak değer de denir sayılar. Sağa ve sola çizilen kısa dikey çizgilerdir. sayılar. Örneğin, modül sayılar 15 şu şekilde yazılır: |15|.

Modülün yalnızca pozitif bir sayı veya olabileceğini unutmayın. Modül pozitif sayılar sayısına eşittir. Modül sıfır. Yani herkes için sayılar Sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olan n için aşağıdakiler doğru olacaktır |n| = n. Örneğin, |15| = 15, yani modül sayılar 15, 15'e eşittir.

Negatif modül sayılar aynı sayı olacak, ancak zıt işaretli olacaktır. Yani herhangi biri için sayılar sıfırdan küçük olan n, |n| formülü = -n. Örneğin, |-28| = 28. Modül sayılar-28, 28'e eşittir.

Yalnızca tam sayıları değil aynı zamanda sayıları da bulabilirsiniz. Ayrıca kesirli sayılar için de aynı kurallar geçerlidir. Örneğin, |0,25| = 25 yani modül sayılar 0,25, 0,25'e eşit olacaktır. bir |-¾| = ¾, yani modül sayılar-¾ ¾'e eşit olacaktır.

Çalışırken modüllerin her zaman birbirine eşit olduğunu yani |n| =|-n|. Bu ana özelliktir. Örneğin, |10| = |-10|. Modül sayılar 10, tıpkı modül gibi 10'a eşittir sayılar-10. Ayrıca |a - b| = |b - a|, çünkü a noktasından b noktasına olan mesafe ve b'den a'ya olan mesafe birbirine eşittir. Örneğin, |25 - 5| = |5 - 25|, yani |20| = |- 20|.

Değişikliği bulmak için hız vücut hareketinin türüne karar verin. Eğer vücut düzgün hareket ediyorsa değiştirmek hız sıfıra eşittir. Bir cisim ivmeyle hareket ediyorsa, o zaman değiştirmek onun hız anlık değerlerden çıkarırsak zamanın her anını bulabiliriz hız zamanın belirli bir anında başlangıç hızı.

İhtiyacın olacak

kronometre, hız göstergesi, radar, şerit metre, ivmeölçer.

Talimatlar

change'un tanımı hız keyfi olarak hareket eden yörünge Bir hız göstergesi veya radar kullanarak, yol bölümünün başında ve sonunda vücudun hızını ölçün. Daha sonra ilk sonucu nihai sonuçtan çıkarın, bu şu şekilde olacaktır: değiştirmek hız bedenler.

change'un tanımı hızİvmeyle hareket eden bir cismin ivmesini bulunuz. Bir ivmeölçer veya dinamometre kullanın. Cismin kütlesi biliniyorsa, cisme etki eden kuvveti kütlesine bölün (a=F/m). Bundan sonra değişikliklerin meydana geldiği zamanı ölçün hız. Bulmak değiştirmek hız, ivme değerini bunun gerçekleştiği zamanla çarpın değiştirmek(Δv=a t). Hızlanma saniye başına metre cinsinden ölçülürse ve zaman saniye cinsinden ölçülürse, hız saniyede metre cinsinden ölçülür. Zamanı ölçmek mümkün değilse ancak yolun belirli bir bölümü boyunca hız değiştiyse, bir hız göstergesi veya radar kullanın, bu bölümün başlangıcındaki hızı ölçün, ardından bir şerit metre veya uzaklık ölçer kullanarak yolun uzunluğunu ölçün. bu yol. Yukarıda açıklanan yöntemlerden herhangi birini kullanarak vücuda etki eden ivmeyi ölçün. Bundan sonra yolun sonunda vücudun son hızını bulun. Bunu yapmak için, başlangıç hızını yükseltin, kesit çarpı ivmeyi ve 2 sayısını buna ekleyin. Sonuçtan çıkarın. Bulmak değiştirmek hız elde edilen sonuçtan başlangıçtaki değeri çıkarın hız.

change'un tanımı hız dönerken cisimler Sadece büyüklük değil, aynı zamanda yön de hız, o zaman onu bul değiştirmek başlangıç ve bitişin vektör farkı hız. Bunu yapmak için vektörler arasındaki açıyı ölçün. Daha sonra, hızların karelerinin toplamından, aralarındaki açının kosinüsü ile çarpılan çift çarpımını çıkarın: v1²+v2²-2v1v2 Cos(α). Ortaya çıkan sayının karekökünü alın.

Konuyla ilgili video

Çeşitli türlerin hızını belirlemek için hareket farklı formüllere ihtiyacınız olacak. Belirlemek, birsey belirlemek hız Tekdüze hareket, mesafeyi seyahat için gereken süreye bölün. Vücudun geçtiği tüm bölümleri toplam hareket süresine ekleyerek ortalama hareket hızını bulun. Düzgün hızlanan hareket durumunda, vücudun hareket ettiği ivmeyi bulun ve serbest düşme durumunda hareket etmeye başladığı yüksekliği bulun.

İhtiyacın olacak

telemetre, kronometre, ivmeölçer.

Talimatlar

Düzgün hareket hızı ve ortalama hız Bir uzaklık ölçer kullanarak vücudun kat ettiği mesafeyi ve bir kronometre kullanarak bu mesafeyi kat etmek için geçen süreyi ölçün. Daha sonra cismin kat ettiği mesafeyi kat ettiği süreye bölün, sonuç düzgün hareket hızı olacaktır (v=S/t). Vücut dengesiz hareket ediyorsa, aynı ölçümleri yapın ve aynı formülü uygulayın - o zaman vücudun ortalama hızını elde edersiniz. Bu, eğer bir cisim yolun belirli bir bölümü boyunca elde edilen hızla hareket ederse, ölçülen süreye eşit bir süre boyunca yolda olacağı anlamına gelir. Cisim hareket ediyorsa, onu ve bir dönüşü tamamlamak için gereken süreyi ölçün, ardından yarıçapı 6,28 ile çarpın ve süreye bölün (v=6,28 R/t). Her durumda sonuç saniyede metre cinsinden olacaktır. Saate dönüştürmek için bunu 3,6 ile çarpın.

Düzgün hızlandırılmış hareketin hızı Vücudun kütlesi biliniyorsa, bir ivmeölçer veya dinamometre kullanarak vücudun ivmesini ölçün. Bir kronometre kullanarak, vücut dinlenme durumundan hareket etmeye başlamazsa, vücudun hareket süresini ve başlangıç hızını ölçün. Vücut dinlenme durumundan hareket ederse sıfıra eşittir. Daha sonra ivme ve zamanın çarpımını (v=v0+at) başlangıç hızına ekleyerek cismin hızını bulun.

Serbest düşen bir cismin hızı Bir uzaklık ölçer kullanarak cismin hızını metre cinsinden ölçün. Dünya yüzeyine ulaşacağı hızı bulmak için (sürüklemeyi göz ardı ederek), yüksekliği 2 ve 9,81 sayısıyla (yerçekimi ivmesi) çarpın. Sonuçtan kareyi çıkarın. Herhangi bir yükseklikte bir cismin hızını bulmak için aynı tekniği kullanın, yalnızca başlangıçtaki teknikten mevcut olanı çıkarın ve sonuç değerini yükseklik yerine değiştirin.

Konuyla ilgili video

Bir kişi kavramı algılamaya alışkındır " hız"gerçekte olduğundan daha basit bir şeymiş gibi. Gerçekten de, bir kavşaktan hızla geçen bir araba belirli bir hızla hareket eder." hız kişi ayakta durup onu izlerken. Ancak bir kişi hareket halindeyse, mutlak hızdan değil, göreceli değerinden bahsetmek daha mantıklı olur. Akraba bul hızçok kolay.

Talimatlar

Bir kavşağa doğru hareket eden bir araba konusunu düşünmeye devam edebilirsiniz. Kırmızı ışıkta duran bir kişi aynı zamanda yoldan geçen bir arabanın da yanında duruyor. Kişi hareketsizdir, bu yüzden onu referans çerçevesi olarak alalım. Bir referans sistemi, herhangi bir cismin veya başka bir maddi noktanın kendisine göre hareket ettiği sistemdir.

Diyelim ki bir araba hareket ediyor hız 50 km/saat. Ama diyelim ki bir arabanın peşinden koştu (örneğin araba yerine bir minibüs ya da yoldan geçen bir insanı hayal edebilirsiniz). Koşu hızı 12 km/saat. Böylece, hız Bu mekanik aracın hızı eskisi kadar hızlı görünmeyecek! Göreceli hızın asıl amacı budur. hız her zaman hareketli bir referans çerçevesine göre ölçülür. Böylece, hız 50 km/saat hızla giden bir yaya için araba olmayacak, ancak 50 - 12 = 38 km/saat.

Bir tane daha düşünebilirsiniz. Bir otobüsün camında oturan bir kişinin hızla geçip giden arabaları izlediği anlardan herhangi birini hatırlamak yeterlidir. Gerçekten de otobüsün penceresinden hızÇok etkileyici görünüyor. Ve bu şaşırtıcı değil çünkü otobüsü referans sistemi olarak alırsak, o zaman hız araba ve hız otobüsün katlanması gerekecek. Otobüsün hareket ettiğini varsayalım. hız 50 km/saat ve 60 km/saat. O halde 50 + 60 = 110 km/saattir. Tam olarak bununla hız Aynı arabalar otobüsün ve içindeki yolcuların yanından hızla geçiyor.
Bu aynı hız Otobüslerin önünden geçen arabalardan herhangi biri referans sistemi olarak alınsa dahi adil ve geçerli olacaktır.

Kinematik farklı hareket türlerini inceler vücut belirli bir hız, yön ve yörünge ile. Yolun başlangıç noktasına göre konumunu belirlemek için şunu bulmanız gerekir: hareketli vücut.

Talimatlar

Hareket vücut belli bir yörüngede gerçekleşir. Doğrunun doğrusal hareketi durumunda, bu nedenle bulun hareketli vücut oldukça basit: kat edilen mesafeye eşittir. Aksi halde uzaydaki başlangıç ve son konumlara göre belirlenebilir.

Genel amaçlar için, bir nesnenin hızını (v) bulmak basit bir iştir: belirli bir zaman (lar) sırasındaki yer değiştirmeyi (ler) bu zamana (t) bölmeniz gerekir, yani v = s formülünü kullanmanız gerekir. /T. Ancak bu şekilde vücudun ortalama hızı elde edilir. Bazı hesaplamaları kullanarak yol boyunca herhangi bir noktada vücudun hızını bulabilirsiniz. Bu hıza denir anlık hız ve formülle hesaplanır v = (ds)/(dt) yani bir cismin ortalama hızını hesaplamak için kullanılan formülün bir türevidir. .

Adımlar

Bölüm 1

Anlık hızın hesaplanması

Anlık hızı hesaplamak için, bir cismin hareketini (belirli bir andaki konumu) tanımlayan denklemi, yani bir tarafında s (vücudun hareketi) bulunan bir denklemi bilmeniz gerekir. diğer tarafta ise t (zaman) değişkenine sahip terimler var. Örneğin:

s = -1,5t 2 + 10t + 4
- Bu denklemde: Yer Değiştirme = S. Yer değiştirme, bir nesnenin kat ettiği yoldur. Örneğin, eğer bir cisim 10 m ileri ve 7 m geri hareket ederse, o zaman cismin toplam yer değiştirmesi 10 - 7 = 3 m (ve 10 + 7 = 17 m) olur. Zaman = T. Genellikle saniye cinsinden ölçülür.
Yer değiştirmesi yukarıdaki denklemle tanımlanan bir cismin anlık hızını bulmak için bu denklemin türevini hesaplamanız gerekir. Türev, bir grafiğin eğimini herhangi bir noktada (zamanın herhangi bir noktasında) hesaplamanıza olanak tanıyan bir denklemdir. Türevi bulmak için fonksiyonun türevini şu şekilde alın: y = a*x n ise türev = a*n*x n-1. Bu kural polinomun her terimi için geçerlidir.
- Başka bir deyişle, t değişkenli her bir terimin türevi, faktörün (değişkenin önündeki) çarpımı ile değişkenin gücünün değişkenle çarpımına, orijinal güç eksi 1'e eşit bir güce eşittir. serbest terim (değişkeni olmayan terim yani sayı) 0 ile çarpıldığı için ortadan kalkar. Örneğimizde:
  
  s = -1,5t 2 + 10t + 4
  (2)-1,5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
  -3t 1 + 10t 0
  -3t+10
Yeni denklemin orijinal denklemin türevi olduğunu (yani s'nin t'ye göre türevi) olduğunu göstermek için "s"yi "ds/dt" ile değiştirin. Türev, grafiğin belirli bir noktada (zamanda belirli bir noktada) eğimidir. Örneğin, t = 5'te s = -1,5t 2 + 10t + 4 fonksiyonu tarafından tanımlanan doğrunun eğimini bulmak için türev denkleminde 5'i yazmanız yeterlidir.
- Örneğimizde türev denklemi şöyle görünmelidir:
  
  ds/dt = -3t + 10
Zamanın belirli bir noktasındaki anlık hızı bulmak için uygun t değerini türev denkleminde yerine koyun. Örneğin, t = 5'teki anlık hızı bulmak istiyorsanız, ds/dt = -3 + 10 türev denklemine 5'i (t yerine) yazın. Sonra denklemi çözün:

ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 m/sn
- Lütfen anlık hız için ölçü birimine dikkat edin: m/s. Yer değiştirme değeri metre, zaman saniye cinsinden verildiğine ve hız yer değiştirmenin zamana oranına eşit olduğuna göre ölçü birimi m/s doğrudur.
Bölüm 2
Anlık hızın grafiksel değerlendirmesi
1. Vücudun yer değiştirmesinin bir grafiğini oluşturun.Önceki bölümde, bir formülü (bir grafiğin belirli bir noktadaki eğimini bulmanızı sağlayan bir türev denklemi) kullanarak anlık hızı hesaplamıştınız. Bir cismin hareketinin grafiğini çizerek, onun herhangi bir noktadaki eğimini bulabilir ve dolayısıyla zamanın belirli bir noktasındaki anlık hızını belirleyebilirsiniz.
  - Y ekseni yer değiştirmeyi, X ekseni ise zamanı temsil eder. (x, y) noktalarının koordinatları, çeşitli t değerlerinin orijinal yer değiştirme denklemine yerleştirilmesi ve karşılık gelen s değerlerinin hesaplanmasıyla elde edilir.
  - Grafik X ekseninin altına düşebilir. Vücudun hareketinin grafiği X ekseninin altına düşerse bu, vücudun hareketin başlangıç noktasından ters yönde hareket ettiği anlamına gelir. Tipik olarak grafik Y ekseninin ötesine uzanmaz (negatif x değerleri) - zamanda geriye doğru hareket eden nesnelerin hızlarını ölçmüyoruz!
2. Grafikte (eğri) P noktasını ve ona yakın Q noktasını seçin. Grafiğin P noktasındaki eğimini bulmak için limit kavramını kullanırız. Limit – eğri üzerinde yer alan 2 P ve Q noktasından çizilen sekant değerinin sıfıra yöneldiği bir durum.
  - Örneğin, P(1,3) ve Q(4,7) noktalarını göz önünde bulundurun ve P noktasındaki anlık hızı hesaplayın.
3. PQ segmentinin eğimini bulun. PQ segmentinin eğimi, P ve Q noktalarının “y” koordinatlarının değerlerindeki farkın, P ve Q noktalarının “x” koordinatlarının değerlerindeki farka oranına eşittir. Başka bir deyişle, H = (y Q - y P)/(x Q - x P), burada H – PQ bölümünün eğimi. Örneğimizde PQ segmentinin eğimi şöyledir:
  
  H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
  H = (7 - 3)/(4 - 1)
  H = (4)/(3) = 1.33
4. Q noktasını P noktasına yaklaştırarak işlemi birkaç kez tekrarlayın.İki nokta arasındaki mesafe ne kadar küçük olursa, ortaya çıkan parçaların eğimi grafiğin P noktasındaki eğimine o kadar yakın olur. Örneğimizde (2,4.8), (1.5,3.95) koordinatlarıyla Q noktası için hesaplamalar yapacağız. ) ve (1.25,3.49) (P noktasının koordinatları aynı kalır):
  
  S = (2,4.8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
  H = (1,8)/(1) = 1.8
  S = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
  H = (.95)/(.5) = 1.9
  S = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
  H = (.49)/(.25) = 1.96
5. P ve Q noktaları arasındaki mesafe ne kadar küçük olursa, H'nin değeri grafiğin P noktasındaki eğimine o kadar yakın olur. P ve Q noktaları arasındaki mesafe çok küçükse, H'nin değeri grafiğin P noktasındaki eğimine eşit olacaktır. İki nokta arasındaki çok küçük mesafeyi ölçemediğimiz veya hesaplayamadığımız için, grafik yöntemi şu tahmini verir: Grafiğin P noktasındaki eğimi.
  - Örneğimizde Q, P'ye yaklaştıkça aşağıdaki H değerlerini elde ettik: 1,8; 1.9 ve 1.96. Bu sayılar 2'ye eğilimli olduğundan grafiğin P noktasındaki eğiminin 2 olduğunu söyleyebiliriz.
  - Bir grafiğin belirli bir noktadaki eğiminin, o noktadaki fonksiyonun (grafiğin çizildiği) türevine eşit olduğunu unutmayın. Grafik bir cismin zaman içindeki hareketini gösterir ve önceki bölümde belirtildiği gibi bir cismin anlık hızı, bu cismin yer değiştirme denkleminin türevine eşittir. Böylece t = 2 anında anlık hızın 2 m/s olduğunu söyleyebiliriz (bu bir tahmindir).
Bölüm 3
Örnekler
1. Eğer cismin hareketi s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9 denklemiyle tanımlanıyorsa, t = 4'teki anlık hızı hesaplayın. Bu örnek, ilk bölümdeki soruna benzer; tek fark, burada (ikinciden ziyade) üçüncü dereceden bir denklemin olmasıdır.
  - Öncelikle bu denklemin türevini hesaplayalım:
    
    s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
    s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
    15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
    15t (2) - 6t + 2
    t = 1,01: s = 4(1,01) 2 - (1,01)
    4(1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, yani S = (1.01,3.0704)
  - Şimdi H'yi hesaplayalım:
    
    S = (2.14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
    H = (11)/(1) = 11
    S = (1.5,7.5): H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
    H = (4,5)/(,5) = 9
    S = (1.1,3.74): H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
    H = (.74)/(.1) = 7.3
    S = (1.01,3.0704): H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
    H = (.0704)/(.01) = 7.04
  - Elde edilen H değerleri 7'ye doğru gittiği için cismin (1.3) noktasındaki anlık hızının 7 m/s'ye (tahmini değer) eşit olduğunu söyleyebiliriz.
- İvmeyi (hızın zaman içindeki değişimi) bulmak için, yer değiştirme fonksiyonunun türevini elde etmek amacıyla birinci bölümdeki yöntemi kullanın. Daha sonra elde edilen türevin türevini tekrar alın. Bu size belirli bir zamandaki ivmeyi bulma denklemini verecektir; tek yapmanız gereken zamanın değerini girmektir.
- Y'yi (yer değiştirme) x'e (zaman) karşı açıklayan denklem çok basit olabilir, örneğin: y = 6x + 3. Bu durumda eğim sabittir ve onu bulmak için türev almanıza gerek yoktur. Doğrusal grafikler teorisine göre eğimleri x değişkeninin katsayısına eşittir, yani örneğimizde = 6.
- Yer değiştirme mesafe gibidir ancak belirli bir yönü vardır ve bu da onu vektörel bir büyüklük yapar. Yer değiştirme negatif olabilirken mesafe yalnızca pozitif olabilir.

Son makalede mekaniğin ne olduğu ve neden gerekli olduğu hakkında biraz bilgi sahibi olduk. Referans sisteminin, hareketin göreliliğinin ve maddi bir noktanın ne olduğunu zaten biliyoruz. Pekala, devam etme zamanı! Burada kinematiğin temel kavramlarına bakacağız, kinematiğin temelleri için en kullanışlı formülleri bir araya getireceğiz ve problemin çözümüne yönelik pratik bir örnek vereceğiz.

Aristoteles kinematik okudu. Doğru, o zaman buna kinematik denmiyordu. Daha sonra cisimlerin serbest düşüşünü ve eylemsizliğini inceleyen Galileo Galilei, mekaniğin ve özellikle kinematiğin gelişimine çok büyük bir katkı yaptı.

Böylece kinematik şu soruyu çözer: Bir bedenin nasıl hareket ettiği. Harekete geçmesinin nedenleri onu ilgilendirmiyor. Kinematik, arabanın kendi kendine mi gittiği yoksa dev bir dinozor tarafından mı itildiğiyle ilgilenmiyor. Hiç önemli değil.

Yörünge, yarıçap vektörü, vücut hareketi kanunu

Şimdi en basit kinematiği, yani bir noktanın kinematiğini ele alacağız. Cismin (maddi noktanın) hareket ettiğini hayal edelim. Nasıl bir beden olduğu önemli değil, yine de onu maddi bir nokta olarak görüyoruz. Belki gökyüzündeki bir UFO'dur, belki de pencereden fırlattığımız kağıttan bir uçak. Daha da iyisi, seyahate çıkacağımız yeni bir araba olsun. A noktasından B noktasına hareket eden noktamız, hareketin yörüngesi adı verilen hayali bir çizgiyi tanımlar. Bir yörüngenin başka bir tanımı, bir hodograf, yarıçap vektörü, yani hareket sırasında maddi bir noktanın yarıçap vektörünün ucunun tanımladığı çizgidir.

Yarıçap vektörü - uzayda bir noktanın konumunu belirten bir vektör .

Herhangi bir zamanda bir cismin uzaydaki konumunu bulmak için, vücut hareketi yasasını - koordinatların (veya bir noktanın yarıçap vektörünün) zamana bağımlılığını bilmeniz gerekir.

Cisim A noktasından B noktasına hareket etmiştir. Bu durumda, bu noktaları doğrudan bağlayan bir parça olan cismin hareketi bir vektör miktarıdır. Vücudun kat ettiği yol, yörüngesinin uzunluğudur. Açıkçası, hareket ve yol karıştırılmamalıdır. Yer değiştirme vektörünün büyüklüğü ve yol uzunluğu yalnızca doğrusal hareket durumunda çakışır.

SI sisteminde yer değiştirme ve yol uzunluğu metre cinsinden ölçülür.

Yer değiştirme, başlangıç ve son zamanlardaki yarıçap vektörleri arasındaki farka eşittir. Başka bir deyişle vektörün yarıçapının artmasıdır.

Hız ve ivme

Ortalama hız, yer değiştirme vektörünün meydana geldiği zaman dilimine oranına eşit bir vektör fiziksel miktarıdır

Şimdi zaman periyodunun azaldığını, azaldığını, çok kısaldığını, sıfıra doğru yöneldiğini düşünelim. Bu durumda ortalama hızdan bahsetmeye gerek kalmıyor, hız anlık oluyor. Matematiksel analizin temellerini hatırlayanlar, gelecekte türev olmadan yapamayacağımızı hemen anlayacaklardır.

Anlık hız, yarıçap vektörünün zamana göre türevine eşit bir vektör fiziksel miktarıdır. Anlık hız her zaman yörüngeye teğet olarak yönlendirilir.

SI sisteminde hız saniyede metre cinsinden ölçülür.

Eğer bir cisim düzgün ve doğrusal olarak hareket etmiyorsa, o zaman sadece hızı değil aynı zamanda ivmesi de vardır.

İvme (veya anlık ivme) bir vektör fiziksel miktarıdır, yarıçap vektörünün zamana göre ikinci türevi ve buna göre anlık hızın birinci türevidir

İvme, bir cismin hızının ne kadar hızlı değiştiğini gösterir. Doğrusal hareket durumunda hız ve ivme vektörlerinin yönleri çakışır. Eğrisel hareket durumunda ivme vektörü iki bileşene ayrılabilir: teğetsel ivme, Ve hızlanma normaldir .

Teğetsel ivme, bir cismin hızının büyüklüğünün ne kadar hızlı değiştiğini ve yörüngeye teğetsel olarak yönlendirildiğini gösterir.

Normal hızlanma, hızın yöndeki değişim hızını karakterize eder. Normal ve teğetsel ivme vektörleri karşılıklı olarak diktir ve normal ivme vektörü, noktanın hareket ettiği dairenin merkezine doğru yönlendirilir.

Burada R, vücudun hareket ettiği dairenin yarıçapıdır

Burada - x sıfırdır - başlangıç koordinatıdır. v sıfır - başlangıç hızı. Zamana göre farklılaşıp hızı alalım

Hızın zamana göre türevi, bir sabit olan ivme a değerini verecektir.

Sorun çözümü örneği

Artık kinematiğin fiziksel temellerini incelediğimize göre, bilgimizi pratikte pekiştirme ve bazı problemleri çözme zamanı geldi. Üstelik ne kadar hızlı olursa o kadar iyi.

Örneğin bu: bir nokta yarıçapı 4 metre olan bir daire içinde hareket ediyor. Hareket kanunu S=A+Bt^2 denklemiyle ifade edilir. A=8m, B=-2m/s^2. Zamanın hangi noktasında bir noktanın normal ivmesi 9 m/s^2'ye eşittir? Zamandaki bu an için noktanın hızını, teğetselini ve toplam ivmesini bulun.

Çözüm: Hızı bulmak için hareket yasasının birinci zaman türevini almamız gerektiğini ve normal ivmenin, hızın karesi ile noktanın üzerinde bulunduğu dairenin yarıçapının bölümüne eşit olduğunu biliyoruz. taşınıyor. Bu bilgiyle donanmış olarak gerekli miktarları bulacağız.

Sevgili dostlar, tebrikler! Kinematiğin temelleri hakkındaki bu makaleyi okuduysanız ve ayrıca yeni bir şeyler öğrendiyseniz, zaten iyi bir iş yapmışsınız demektir! “Aptallar için kinematiklerimizin” sizin için yararlı olacağını içtenlikle umuyoruz. Cesaret edin ve unutmayın - sinsi ucuz tuzaklarla zorlu bulmacaları çözmenize yardımcı olmaya her zaman hazırız. . Mekaniği öğrenmede iyi şanslar!