Hacmi 8π olan bir küre bir küpün içine yazılmıştır. Küpün hacmini bulun.
Çözüm
Küpün bir kenarı a olsun. O zaman küpün hacmi V = a 3 olur.
Top bir küpün içine yazıldığı için topun yarıçapı yarıya eşit küpün kenarları, yani R = a/2 (şekle bakın).
Topun hacmi V w = (4/3)πR 3'e ve 8π'ye eşittir, dolayısıyla
(4/3)πR3 = 8π,
Ve küpün hacmi V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48'dir.
Görev B9 ( Tipik seçenekler 2015)
Koninin hacmi 32'dir. Koninin tabanı olan yüksekliğin ortasından paralel bir kesit çizilir. daha küçük koni aynı üst kısımla. Küçük koninin hacmini bulun.
Çözüm
Görevleri ele alalım:
72353. Koninin hacmi 10'dur. Tepe noktası aynı olan daha küçük bir koninin tabanı olan koninin tabanına paralel yüksekliğin ortasından bir kesit çizilir. Küçük koninin hacmini bulun.
Hemen belirtelim ki orijinal ve kesik koni benzerdir ve kesme konisini orijinaline göre düşünürsek şunu söyleyebiliriz: Küçük olan koni büyük olana yarım veya 0,5 katsayılı olarak benzerdir. . Şunları yazabiliriz:
Şunu yazabiliriz:
Öyle düşünülebilir!
Orijinal koniyi kesik olana göre ele alalım. Büyük koninin kesiğe benzer olduğunu ve katsayısının ikiye eşit olduğunu söyleyebiliriz, yazalım:
Şimdi benzerlik özelliklerini kullanmadan çözüme bakın.
Bir koninin hacmi, tabanının alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir:
Belirtilen kesite sahip yanal projeksiyonu (yan görünüm) düşünün:
Büyük koninin yarıçapı R'ye, yüksekliği de H'ye eşit olsun. Kesit (küçük koninin tabanı) yüksekliğin ortasından geçer, yani yüksekliği H/2 olacaktır. Ve tabanın yarıçapı R/2'ye eşittir, bu üçgenlerin benzerliğinden kaynaklanır.
Orijinal koninin hacmini yazalım:
Kesme konisinin hacmi şuna eşit olacaktır:
Bu yüzden detaylı çözümler muhakemenin nasıl oluşturulabileceğini görebilmeniz için sunulmuştur. Herhangi bir şekilde hareket edin - asıl önemli olan, kararın özünü anlamanızdır. Seçtiğiniz yol rasyonel olmasa bile sonuç (doğru sonuç) önemlidir.
Cevap: 1.25
318145. Koni şeklindeki bir kapta sıvı seviyesi yüksekliğin yarısına ulaşır. Sıvının hacmi 70 ml'dir. Kabın tamamen dolması için kaç mililitre sıvı eklenmesi gerekir?
Bu görev bir öncekine benzer. Her ne kadar burada bir sıvıdan bahsediyor olsak da çözümün prensibi aynıdır.
İki konimiz var - bu kabın kendisi ve "küçük" koni (sıvı ile dolu), benzerler. hacimlerin olduğu bilinmektedir. benzer organlarşu şekilde ilişkilidir:
Başlangıçtaki koni (kap), sıvı seviyesinin yarı yüksekliğe ulaştığı söylendiğinden katsayısı 2 olan sıvıyla dolu bir koniye benzer. Daha detaylı yazabilirsiniz:
Hesaplıyoruz:
Bu nedenle şunları eklemeniz gerekir:
Sıvılarla ilgili diğer problemler.
74257. Generatrisi 44'e eşit olan ve taban düzlemine 30 0 açıyla eğimli olan bir koninin V hacmini bulun. Lütfen cevabınızda V/Pi'yi belirtin.
Koni hacmi:
Koninin yüksekliğini dik üçgen özelliğini kullanarak buluruz.
30° açının karşısındaki bacak hipotenüsün yarısına eşittir. Hipotenüs bu durumda, koninin jeneratörüdür. Buna göre koninin yüksekliği 22'dir.
Pisagor teoremini kullanarak tabanın yarıçapının karesini buluyoruz:
*Yarıçapın kendisine değil, yarıçapın karesine ihtiyacımız var.
Okulda incelenen dönme cisimleri silindir, koni ve toptur.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavı ile ilgili bir problemde, bir koninin hacmini veya bir kürenin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, kendinizi şanslı sayın.
Silindir, koni ve kürenin hacim ve yüzey alanı formüllerini uygulayın. Hepsi masamızda. Ezbere öğrenin. Burası stereometri bilgisinin başladığı yerdir.
Bazen manzarayı yukarıdan çizmek iyi olur. Veya bu problemde olduğu gibi aşağıdan.
2. Bir koninin hacmi doğru çevrenin etrafında kaç kez tanımlanır? dörtgen piramit, bu piramidin içine yazılan koninin hacminden daha mı büyük?
Çok basit; görünümü aşağıdan çizin. Büyük dairenin yarıçapının küçük dairenin yarıçapından kat daha büyük olduğunu görüyoruz. Her iki koninin yüksekliği aynıdır. Bu nedenle büyük koninin hacmi iki kat daha büyük olacaktır.
Bir diğer önemli nokta. B kısmındaki problemlerde şunu unutmayın Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri matematikte cevap tam sayı veya sonlu sayı olarak yazılır ondalık. Bu nedenle B kısmındaki cevabınızda veya olmamalıdır. Sayının yaklaşık değerini değiştirmeye de gerek yoktur! Kesinlikle küçülmeli! Bu amaçla bazı problemlerde görev şu şekilde formüle edilmiştir: "Silindirin yan yüzeyinin alanını bölerek bul."
Devrim cisimlerinin hacmi ve yüzey alanı formülleri başka nerede kullanılıyor? Elbette problem C2'de (16). Bunu da size anlatacağız.
Hacmi 8π olan bir küre bir küpün içine yazılmıştır. Küpün hacmini bulun.
Çözüm
Küpün bir kenarı a olsun. O zaman küpün hacmi V = a 3 olur.
Top bir küpün içine yazıldığı için topun yarıçapı küpün kenarının yarısına eşittir, yani R = a/2 (şekle bakın).
Topun hacmi V w = (4/3)πR 3'e ve 8π'ye eşittir, dolayısıyla
(4/3)πR3 = 8π,
Ve küpün hacmi V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48'dir.
Görev B9 (Tipik seçenekler 2015)
Koninin hacmi 32'dir. Yüksekliğin ortasından, koninin tabanına paralel, aynı tepe noktasına sahip daha küçük bir koninin tabanı olan bir kesit çizilir. Küçük koninin hacmini bulun.
Çözüm
Büyük koninin hacmi V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32'ye eşittir.
Küçük koninin hacmi şuna eşittir: V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3 )π(OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .
Bu, daha küçük olan koninin hacminin 8 kat daha az olduğu ve 4'e eşit olduğu anlamına gelir.
Görev B9 (Tipik seçenekler 2015)
Koninin hacmi 40'tır. Yüksekliğin ortasından, koninin tabanına paralel, aynı tepe noktasına sahip daha küçük bir koninin tabanı olan bir kesit çizilir. Küçük koninin hacmini bulun.
Çözüm
Kesit koninin yüksekliğinin ortasından çizildiği için AP = 1/2 AO ve PK = 1/2 OB olur. Yani, küçük koninin yüksekliği ve yarıçapı, büyük koninin yüksekliğinden ve yarıçapından sırasıyla 2 kat daha azdır.
Büyük koninin hacmi V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 40'a eşittir.
Küçük koninin hacmi şuna eşittir: V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3 )π(OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .
Bu, daha küçük olan koninin hacminin 8 kat daha az olduğu ve 5'e eşit olduğu anlamına gelir.
Görev B9 (Tipik seçenekler 2015)
ABCDA1B1C1D1 küpünde E,F noktaları, E1 ve F1 sırasıyla BC, DC, B1C1 ve D1C1 kenarlarının orta noktalarıdır. EFF1 düzlemiyle küpten kesilen prizmanın hacmi 15'tir. Küpün hacmini bulun.
Çözüm
Prizmanın hacmi V = S ana H =S CEF *CC1 = 15'tir.
Küpün kenarını a ile gösterelim. O halde prizmanın hacmi şuna eşittir: V = 1/2 * a/2 * a/2 * a = 1/8 a 3 = 15.
Küpün hacmi V = a 3 = 15*8 = 120'dir.
Cevap: 120.
Görev B9 (Tipik seçenekler 2015)
Koninin hacmi 152'dir. Yüksekliğin ortasından, koninin tabanına paralel, aynı tepe noktasına sahip daha küçük bir koninin tabanı olan bir kesit çizilir. Küçük koninin hacmini bulun.
Bir koninin hacmi. Artık konilere ve silindirlere ulaştık. Daha önce yayınlanmış olanlara ek olarak yaklaşık dokuz makale olacak, her türlü görevi ele alacağız. Eğer yıl içinde açık banka Yeni görevler eklenecek elbette, onlar da blogda yayınlanacak. Bu makale teoriyi ve kullanıldığı örnekleri sunmaktadır. Bu arada koninin hacminin formülünü bilmek yeterli değil;
Şunları yazabiliriz:
Bazı örnekleri çözmek için benzer cisimlerin hacimlerinin nasıl bir ilişki içinde olduğunu anlamanız gerekir. Önemli olan formülü öğrenmek değil, anlamaktır:
Yani, cismin doğrusal boyutlarını k kat arttırırsak (azaltırsak), ortaya çıkan cismin hacminin orijinalin hacmine oranı k3'e eşit olacaktır.
LÜTFEN AKLINIZDA BULUNDURUN! Hacimleri nasıl tanımladığınız önemli değildir:
Gerçek şu ki, benzer cisimler göz önüne alındığında problem çözme sürecinde, bazılarının k katsayısı ile kafası karışabilir. Şu soru ortaya çıkabilir: Neye eşittir?
(koşulda belirtilen değere bağlı olarak)
Her şey “hangi tarafa” baktığınıza bağlı. Bunu anlamak önemlidir! Bir örneğe bakalım: Bir küp verildiğinde ikinci küpün kenarı üç kat daha büyüktür:
Bu durumda benzerlik katsayısı üç olur (kenar üç kat artırılır), bu da oranın şu şekilde görüneceği anlamına gelir:
Yani ortaya çıkan (daha büyük) küpün hacmi 27 kat daha büyük olacaktır.
Diğer taraftan bakabilirsiniz.
Bir küp verildiğinde ikinci küpün kenarı üç kat daha küçüktür:
Benzerlik katsayısı üçte bire eşittir (kenar üç kat azaltılır), bu da oranın şöyle görüneceği anlamına gelir:
Yani ortaya çıkan küpün hacmi 27 kat daha az olacaktır.
Çözüm! Hacimleri belirtirken indeksler önemli değildir; cisimlerin birbirlerine göre nasıl görüldüğünü anlamak önemlidir.
Şu açıktır:
— orijinal gövde artarsa katsayı birden büyük olacaktır.
— orijinal gövde azalırsa katsayı birden az olacaktır.
Hacim oranları hakkında aşağıdakiler söylenebilir:
- eğer problemde hacmi bölersek daha büyük vücut daha küçük olursa, benzerlik katsayısının küpünü elde ederiz ve katsayının kendisi birden büyük olacaktır.
— daha küçük bir cismin hacmini daha büyük bir cisme bölersek, benzerlik katsayısının küpünü elde ederiz ve katsayı birden küçük olur.
Hatırlanması gereken en önemli şey, benzer cisimlerin HACMİ söz konusu olduğunda benzerlik katsayısının alanlarda olduğu gibi ikinci derece değil ÜÇÜNCÜ dereceye sahip olmasıdır.
İlgili bir nokta daha.
Durum, bir koninin generatrisi gibi bir kavramı içerir. Bu, koninin tepesini taban dairesinin noktalarına bağlayan bir segmenttir (şekilde L harfiyle gösterilmiştir).
Burada sadece düz bir koni (bundan sonra sadece bir koni olarak anılacaktır) ile ilgili sorunları analiz edeceğimizi belirtmekte fayda var. Jeneratörler düz koni eşit
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.
