Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir, çok daha fazla güncel sorunçizim konusundaki bilginiz ve becerileriniz olacaktır. Bu bakımdan ana grafiklerin hafızanızı tazelemesinde fayda var. temel işlevler ve en azından düz bir çizgi ve hiperbol oluşturabilmeli.

Kavisli yamuk denir düz şekil, eksenle sınırlı, düz çizgiler ve bu aralıkta işareti değişmeyen parça üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiği. İzin vermek bu figür bulunan Az değil x ekseni:

Daha sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır.

Geometri açısından kesin integral- burası bir ALAN.

Yani, belirli bir integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak alana eşit karşılık gelen kavisli yamuk.

örnek 1

Bu tipik bir atama ifadesidir. İlk ve en önemli ançözümler - çizim çizimi. Ayrıca çizimin yapılması gerekir SAĞ.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha karlı noktadan noktaya.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Segment üzerinde fonksiyonun grafiği bulunur eksenin üstünde, Bu yüzden:

Cevap:

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. İÇİNDE bu durumdaÇizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabı alırsak, tamamen açıktır: 20 birim kareler, o zaman bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücre açıkça söz konusu rakama uymuyor, en fazla bir düzine. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 3

Şeklin alanını hesaplayın, çizgilerle sınırlı, Ve koordinat eksenleri.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Eğer kavisli yamuk bulunan aksın altında(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden belirli bir integrali herhangi bir değer olmadan çözmeniz istenirse geometrik anlamı, o zaman negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basitinden okul sorunları Daha anlamlı örneklere geçelim.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırının olduğu anlamına gelir üst sınır entegrasyon

Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir..

Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Yine de, analitik metodÖrneğin, grafik oldukça büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya koymuyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Ve şimdi çalışma formülü: Segment üzerinde sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyon, sonra şeklin alanı, programlarla sınırlı Verilen fonksiyonlar ve düz çizgiler , aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu düşünmenize gerek yok - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak, Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
Buna göre segmentte karşılık gelen formül:

Cevap:

Örnek 4

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:

Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, gölgeli bir şeklin alanını bulmanız gereken bir "aksaklık" sıklıkla ortaya çıkar. yeşil!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır.

Gerçekten:

1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Uygulamalara geçelim Integral hesabı. Bu derste tipik ve en yaygın görevi analiz edeceğiz. belirli bir integral kullanarak düzlemsel bir şeklin alanının hesaplanması. Sonunda anlam arayan herkes yüksek Matematik- onu bulabilirler mi? Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonları kullanarak bir yazlık arsaya yaklaşmanız ve belirli bir integral kullanarak alanını bulmanız gerekecektir.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) Anlayın belirsiz integral en azından ortalama düzeyde. Bu nedenle aptallar önce dersi okumalı Olumsuz.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Sayfadaki belirli integrallerle sıcak, dostane ilişkiler kurabilirsiniz. Kesin integral. Çözüm örnekleri. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir yani bilginiz ve çizim becerileriniz de önemli bir konu olacaktır. En azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilmeniz gerekir.

Kavisli bir yamukla başlayalım. Kavisli bir yamuk, bazı fonksiyonların grafiğiyle sınırlanan düz bir şekildir. sen = F(X), eksen ÖKÜZ ve çizgiler X = A; X = B.

Eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir

Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştik. Şimdi bir şeyi daha belirtmenin zamanı geldi faydalı gerçek. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır. Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Belirli integrali düşünün

İntegrand

düzlemde bir eğri tanımlar (istenirse çizilebilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.

örnek 1

, , , .

Bu tipik bir atama ifadesidir. Kararda en önemli nokta çizimin yapımıdır.. Ayrıca çizimin yapılması gerekir SAĞ.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra– paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Teknoloji ile nokta nokta inşaat Içinde bulunabilir referans malzemesi Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada dersimiz için de çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.

Çizimi yapalım (denklemin sen= 0 ekseni belirtir ÖKÜZ):

Kavisli bir yamuğu gölgelemeyeceğiz, burada hangi alan olduğu belli; Hakkında konuşuyoruz. Çözüm şu şekilde devam ediyor:

[-2; 1] fonksiyon grafiği sen = X 2+2 konumlu eksenin üstündeÖKÜZ, Bu yüzden:

Cevap: .

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler

,

derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri. Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - yaklaşık 9 tane olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın xy = 4, X = 2, X= 4 ve eksen ÖKÜZ.

Bu bir örnektir bağımsız karar. Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.

Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altındaÖKÜZ?

Örnek 3

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın sen = eski, X= 1 ve koordinat eksenleri.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli bir yamuk ise tamamen eksenin altında yer alır ÖKÜZ ise alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

.

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan basit bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını bulun sen = 2X – X 2 , sen = -X.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişim noktalarını bulalım sen = 2X – X 2 ve düz sen = -X. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırının A= 0, entegrasyonun üst sınırı B= 3. Çizgileri noktadan noktaya oluşturmak genellikle daha karlı ve daha hızlıdır ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla “otomatik olarak” belirlendiğini tekrarlayalım.

Ve şimdi çalışma formülü:

Eğer segmentteyse [ A; B] bazı sürekli fonksiyonlar F(X) büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar G(X), o zaman karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu düşünmenize gerek yok - eksenin üstünde veya eksenin altında, ancak Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

Söz konusu örnekte, segment üzerinde parabolün düz çizginin üzerinde olduğu ve dolayısıyla 2'den itibaren olduğu açıktır. X – X 2 çıkarılmalıdır – X.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen rakam bir parabol ile sınırlıdır sen = 2X – X 2 üstte ve düz sen = -X altında.

2. bölümde X – X 2 ≥ -X. İlgili formüle göre:

Cevap: .

Aslında, okul formülü alt yarı düzlemdeki kavisli bir yamuğun alanı için (bkz. örnek No. 3) – özel durum formüller

.

Çünkü eksen ÖKÜZ denklem tarafından verilen sen= 0 ve fonksiyonun grafiği G(X) eksenin altında bulunur ÖKÜZ, O

.

Şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını bulun

Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten... Yanlış şeklin alanı bulundu.

Örnek 7

İlk önce bir çizim yapalım:

Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte insanlar genellikle dikkatsizlik nedeniyle şeklin yeşil renkle gölgelenen alanını bulmaları gerektiğine karar verirler!

Bu örnek aynı zamanda iki belirli integrali kullanarak bir şeklin alanını hesapladığı için de faydalıdır. Gerçekten mi:

1) [-1; 1] eksenin üstünde ÖKÜZ grafik düz sen = X+1;

2) Eksenin üzerindeki bir segmentte ÖKÜZ bir hiperbolün grafiği bulunur sen = (2/X).

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Örnek 8

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Denklemleri “okul” formunda sunalım

ve noktadan noktaya çizim yapın:

Çizimden üst sınırımızın “iyi” olduğu açıkça görülüyor: B = 1.

Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir?

Belki, A=(-1/3)? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede? A=(-1/4). Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?

Bu gibi durumlarda harcamanız gerekir Ekstra zaman ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirin.

Grafiklerin kesişim noktalarını bulalım

Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:

.

Buradan, A=(-1/3).

Diğer çözüm önemsizdir. Önemli olan, oyuncu değişikliği ve işaretlerde kafanızın karışmamasıdır. Buradaki hesaplamalar en basit değil. Segmentte

, ,

uygun formüle göre:

Cevap:

Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: Bu şekli çizimde gösterelim.

Nokta nokta çizim çizmek için bilmeniz gerekenler dış görünüş sinüzoidler. Genel olarak, bazı sinüs değerlerinin yanı sıra tüm temel fonksiyonların grafiklerini bilmek faydalıdır. Değerler tablosunda bulunabilirler trigonometrik fonksiyonlar . Bazı durumlarda (örneğin, bu durumda), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde görüntülenmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.

Burada entegrasyon sınırlarıyla ilgili hiçbir sorun yok; bunlar doğrudan şu durumdan kaynaklanıyor:

– “x” sıfırdan “pi”ye değişir. Bir karar daha verelim:

Bir segment üzerinde bir fonksiyonun grafiği sen= günah 3 X eksenin üstünde bulunur ÖKÜZ, Bu yüzden:

(1) Derste sinüs ve kosinüslerin tek kuvvetlere nasıl entegre edildiğini görebilirsiniz. Trigonometrik fonksiyonların integralleri. Bir sinüsü sıkıştırıyoruz.

(2) Formdaki ana trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz

(3) Değişkeni değiştirelim T=çünkü X, o zaman: eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

.

.

Not: Küpteki tanjantın integralinin nasıl alındığına dikkat edin; burada ana integralin bir sonucu kullanılmıştır; trigonometrik özdeşlik

.

A)

Çözüm.

Kararın ilk ve en önemli noktası çizimin yapımıdır..

Çizimi yapalım:

Denklem y=0 “x” eksenini ayarlar;

- x=-2 Ve x=1 - düz, eksene paralel kuruluş birimi;

- y=x 2 +2 - tepe noktası (0;2) noktasında olan, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş bir parabol.

Yorum. Bir parabol oluşturmak için koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmak yeterlidir; koyarak x=0 eksenle kesişimi bulun kuruluş birimi ve buna göre karar vermek ikinci dereceden denklem, eksenle kesişimi bulun Ah .

Bir parabolün tepe noktası aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

Nokta nokta çizgiler de oluşturabilirsiniz.

[-2;1] aralığında fonksiyonun grafiği y=x 2 +2 bulunan eksenin üstünde Öküz , Bu yüzden:

Cevap: S =9 metrekare birim

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altında Ah?

B)Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın y=-ex , x=1 ve eksenleri koordine edin.

Çözüm.

Bir çizim yapalım.

Kavisli bir yamuk ise tamamen eksenin altında yer alır Ah , daha sonra alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Cevap: S=(e-1) metrekare birimler" 1,72 metrekare birimler

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan basit bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur.

İle)Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını bulun y=2x-x 2, y=-x.

Çözüm.

İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulalım ve düz Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir.

Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırının a=0 , entegrasyonun üst sınırı b=3 .

Nokta nokta çizgiler çizebilirsiniz ve entegrasyonun sınırları "kendiliğinden" netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir.

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.

Segmentte karşılık gelen formüle göre:

Cevap: S =4,5 metrekare birim

Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır

İntegral hesabının uygulamalarını ele almaya devam edelim. Bu derste tipik ve en yaygın görevi analiz edeceğiz. – bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için belirli bir integralin nasıl kullanılacağı. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayanlar, onu bulsunlar. Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonları kullanarak bir yazlık arsaya yaklaşmanız ve belirli bir integral kullanarak alanını bulmanız gerekecektir.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) Belirsiz integrali en azından orta düzeyde anlayın. Bu nedenle aptallar önce dersi okumalı Olumsuz.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Sayfadaki belirli integrallerle sıcak, dostane ilişkiler kurabilirsiniz. Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir yani bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha acil bir konu olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerine ilişkin hafızanızı tazelemek ve en azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilmek faydalıdır. Bu, kullanılarak yapılabilir (çoğu için gereklidir) metodolojik materyal ve grafiklerin geometrik dönüşümleri üzerine makaleler.

Aslında herkes belirli bir integral kullanarak alan bulma işine okuldan beri aşinadır ve biz de bundan daha ileri gitmeyeceğiz. Okul müfredatı. Bu makale hiç mevcut olmayabilir, ancak gerçek şu ki sorun, bir öğrencinin nefret ettiği bir okuldan muzdarip olduğu ve yüksek matematik dersinde şevkle ustalaştığı 100 vakadan 99'unda ortaya çıkıyor.

Malzemeler bu çalıştayın Basitçe, ayrıntılı olarak ve minimum düzeyde teoriyle sunulmuştur.

Kavisli bir yamukla başlayalım.

Eğrisel yamuk bir eksenle sınırlanmış düz bir şekil, düz çizgiler ve bu aralıkta işareti değişmeyen bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun grafiğidir. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil x ekseni:

Daha sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştim. Şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.

Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir atama ifadesidir. Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimin yapımıdır.. Ayrıca çizimin yapılması gerekir SAĞ.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra– paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha karlı nokta nokta, noktadan noktaya inşaat tekniği referans malzemesinde bulunabilir Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada dersimiz için de çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Kavisli yamuğu gölgelemeyeceğim; burada hangi alandan bahsettiğimiz belli oluyor. Çözüm şu şekilde devam ediyor:

Segment üzerinde fonksiyonun grafiği bulunur eksenin üstünde, Bu yüzden:

Cevap:

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - yaklaşık 9 tane olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 2

Çizgiler ve eksenlerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altında mı?

Örnek 3

Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli bir yamuk bulunuyorsa aksın altında(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan basit bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir..

Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Çeşitli grafikler için noktadan noktaya oluşturma tekniği yardımda ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik olarak" belirlendiğini tekrar ediyorum.

Ve şimdi çalışma formülü: Segment üzerinde sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar varsa, bu fonksiyonların grafikleri ve çizgileri ile sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu düşünmenize gerek yok - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak, Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Aslında, alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bakınız basit örnek No. 3), formülün özel bir halidir . Eksen denklemle belirtildiğinden ve fonksiyonun grafiği bulunduğundan daha yüksek değil eksenler, o zaman

Şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Şeklin çizgilerle sınırlanan alanını bulun.

Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten... yanlış şeklin alanı bulundu, bu, mütevazi hizmetkarınızın birkaç kez işleri batırmasının aynısıydı. Burada gerçek durum hayattan:

Örnek 7

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:

...Eh, çizim berbat çıktı ama her şey okunaklı görünüyor.

Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle sıklıkla bir şeklin yeşil gölgeli alanını bulmanızı gerektiren bir "aksaklık" meydana gelir!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır. Gerçekten mi:

1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Başka bir anlamlı göreve geçelim.

Örnek 8

Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri “okul” formunda sunalım ve nokta nokta çizim yapalım:

Çizimden üst limitimizin “iyi” olduğu açıkça görülüyor: .
Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir? Belki ? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, pekala ortaya çıkabilir... Veya kök. Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?

Böyle durumlarda ek zaman harcamanız ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirmeniz gerekir.

Düz bir çizgi ile parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:


,

Gerçekten mi, .

Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele, ikamelerde ve işaretlerde kafanızın karışmamasıdır; buradaki hesaplamalar en basit değildir.

Segmentte karşılık gelen formüle göre:

Cevap:

Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,

Çözüm: Bu figürü çizimde tasvir edelim.

Lanet olsun, programı imzalamayı unuttum ve üzgünüm, resmi yeniden yapmak istemedim. Çizim günü değil kısacası bugün o gün =)

Nokta nokta inşaat için sinüzoidin görünümünü bilmek gerekir (ve genel olarak bilmek faydalıdır) tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, bunlar da bulunabilir. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.

Burada integralin sınırlarıyla ilgili bir sorun yok; bunlar doğrudan "x"in sıfırdan "pi"ye değişmesi koşulundan kaynaklanıyor. Bir karar daha verelim:

Segmentte fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Bu makalede integral hesaplamalarını kullanarak çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz. Böyle bir problemin formülasyonuyla ilk kez lisedeyken, belirli integraller konusunu henüz bitirdiğimizde ve başlama zamanı geldiğinde karşılaşıyoruz. geometrik yorumlama pratikte bilgi sahibi oldu.

Öyleyse, integralleri kullanarak bir şeklin alanını bulma problemini başarıyla çözmek için gerekenler:

• Yetkili çizimler yapabilme becerisi;
• Belirli bir integrali kullanarak çözebilme ünlü formül Newton-Leibniz;
• Daha kârlı bir çözüm seçeneğini “görme” yeteneği - ör. Bir durumda entegrasyonu gerçekleştirmenin nasıl daha uygun olacağını anladınız mı? X ekseni (OX) veya y ekseni (OY) boyunca mı?
• Peki, doğru hesaplamalar olmasaydı nerede olurduk?) Bu, diğer türdeki integrallerin nasıl çözüleceğini ve doğru sayısal hesaplamaları nasıl çözeceğimizi anlamayı da içerir.

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplama problemini çözmek için algoritma:

1. Bir çizim yapıyoruz. Bunu kareli bir kağıt parçası üzerinde yapmanız tavsiye edilir. Büyük bir boyutta. Her grafiğin üstüne bu fonksiyonun adını kurşun kalemle imzalıyoruz. Grafiklerin imzalanması yalnızca daha sonraki hesaplamaların kolaylığı için yapılır. İstenilen rakamın grafiğini aldıktan sonra çoğu durumda hangi entegrasyon sınırlarının kullanılacağı hemen anlaşılacaktır. Sorunu bu şekilde çözüyoruz grafiksel yöntem. Ancak limitlerin değerlerinin kesirli veya irrasyonel olması da mümkündür. Bu nedenle ek hesaplamalar yapabilir, ikinci adıma geçebilirsiniz.

2. İntegral sınırları açıkça belirtilmemişse grafiklerin birbirleriyle kesişme noktalarını buluruz ve grafik çözümü analitik ile.

3. Daha sonra çizimi analiz etmeniz gerekiyor. Fonksiyon grafiklerinin nasıl düzenlendiğine bağlı olarak Farklı yaklaşımlar bir şeklin alanını bulmak için. Hadi düşünelim farklı örneklerİntegralleri kullanarak bir şeklin alanını bulma konusunda.

3.1. Sorunun en klasik ve basit versiyonu, kavisli bir yamuğun alanını bulmanız gerektiği zamandır. Kavisli yamuk nedir? Bu, x ekseniyle sınırlı düz bir şekildir (y = 0), dümdüz x = a, x = b ve aralıkta sürekli olan herhangi bir eğri Aönce B. Üstelik bu rakam negatif değildir ve x ekseninin altında yer almaz. Bu durumda, eğrisel yamuğun alanı, Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanan belirli bir integrale sayısal olarak eşittir:

örnek 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Şekil hangi çizgilerle sınırlanmıştır? Bir parabolümüz var y = x2 – 3x + 3 eksenin üzerinde yer alan AH negatif değildir, çünkü Bu parabolün tüm noktaları pozitif değerler. Daha sonra verilen düz çizgiler x = 1 Ve x = 3 eksene paralel uzanan kuruluş birimi, şeklin sol ve sağdaki sınır çizgileridir. Kuyu y = 0, aynı zamanda şekli alttan sınırlayan x eksenidir. Ortaya çıkan şekil, soldaki şekilde görülebileceği gibi gölgelidir. Bu durumda hemen sorunu çözmeye başlayabilirsiniz. Önümüzde Newton-Leibniz formülünü kullanarak daha da çözdüğümüz kavisli bir yamuğun basit bir örneği var.

3.2. Önceki paragraf 3.1'de, kavisli bir yamuğun x ekseninin üzerinde yer aldığı durumu inceledik. Şimdi, fonksiyonun x ekseninin altında olması dışında problemin koşullarının aynı olduğu durumu düşünün. İLE standart formül Newton-Leibniz eksi eklenir. Nasıl karar verilir? benzer görev Daha ayrıntılı olarak bakalım.

Örnek 2 . Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

İÇİNDE bu örnekte bir parabolümüz var y = x2 + 6x + 2 eksenden kaynaklanan AH, dümdüz x = -4, x = -1, y = 0. Burada y = 0İstenilen rakamı yukarıdan sınırlar. Doğrudan x = -4 Ve x = -1 bunlar belirli integralin hesaplanacağı sınırlardır. Bir şeklin alanını bulma problemini çözme ilkesi neredeyse tamamen 1 numaralı örnekle örtüşmektedir. Tek fark şu ki Verilen fonksiyon pozitif değil ve aralıkta hala sürekli [-4; -1] . Ne demek olumlu değil? Şekilden de görülebileceği gibi, verilen x'lerin içinde yer alan şekil yalnızca “negatif” koordinatlara sahiptir ve sorunu çözerken görmemiz ve hatırlamamız gereken şey budur. Şeklin alanını Newton-Leibniz formülünü kullanarak, yalnızca başında eksi işaretiyle arıyoruz.

Makale tamamlanmadı.