Koni. Hayal kırıklığı

Konik yüzey belirli bir eğrinin her noktasından ve eğrinin dışındaki bir noktadan geçen tüm düz çizgilerin oluşturduğu yüzeydir (Şekil 32).

Bu eğri denir rehber , dümdüz - şekillendirme , nokta - tepe konik yüzey.

Düz dairesel konik yüzey Belirli bir dairenin her noktasından geçen tüm düz çizgilerin ve dairenin düzlemine dik olan ve merkezinden geçen düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın oluşturduğu yüzeydir. Aşağıda bu yüzeyi kısaca adlandıracağız. konik yüzey (Şek. 33).

Koni (düz dairesel koni ) denir geometrik gövde konik bir yüzey ve kılavuz dairenin düzlemine paralel bir düzlem ile sınırlıdır (Şekil 34).

Pirinç. 32 Şek. 33 Şek. 34

Koni, dönme yoluyla elde edilen bir cisim olarak düşünülebilir. dik üçgenüçgenin bacaklarından birini içeren bir eksen etrafında.

Bir koniyi çevreleyen daireye denir temel . Konik bir yüzeyin tepe noktasına denir tepe koni Koninin tepe noktası ile tabanının merkezini birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? yükseklik koni Segmentler oluşturan konik yüzey, arandı şekillendirme koni Eksen Bir koninin üst kısmından ve tabanının merkezinden geçen düz bir çizgidir. Eksenel bölüm koninin ekseninden geçen bölüme denir. Yan yüzey geliştirme bir koninin yarıçapı olan bir sektördür uzunluğa eşit koninin generatrix'i ve sektörün yayının uzunluğu, koninin tabanının çevresine eşittir.

Bir koni için doğru formüller şunlardır:

Nerede R– taban yarıçapı;

H- yükseklik;

ben– generatrix'in uzunluğu;

S tabanı– üs alanı;

S tarafı

S dolu

V– koninin hacmi.

Kesik koni koninin taban ile kesme düzlemi arasında kalan kısmına denir, tabana paralel koni (Şek. 35).

Kesik bir koni, döndürülerek elde edilen bir cisim olarak düşünülebilir. dikdörtgen yamuk içeren bir eksen etrafında taraf tabanlara dik yamuk.

Bir koniyi çevreleyen iki daireye onun adı verilir. sebepler . Yükseklik kesik koninin tabanları arasındaki mesafedir. Kesik bir koninin konik yüzeyini oluşturan parçalara denir. şekillendirme . Tabanların merkezlerinden geçen doğruya denir eksen kesik koni. Eksenel bölüm kesik koninin ekseninden geçen kesite denir.

Kesik koni için doğru formüller şunlardır:

(8)

Nerede R– alt tabanın yarıçapı;

R– üst tabanın yarıçapı;

H– yükseklik, l – generatriksin uzunluğu;

S tarafı– yan yüzey alanı;

S dolu- kare tam yüzey;

V– kesik koninin hacmi.

Örnek 1. Koninin tabana paralel kesiti, yüksekliği üstten sayılarak 1:3 oranında böler. Tabanın yarıçapı ve koninin yüksekliği 9 cm ve 12 cm ise kesik koninin yan yüzey alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 36).

Kesik koninin yan yüzeyinin alanını hesaplamak için formül (8) kullanıyoruz. Tabanların yarıçaplarını bulalım Yaklaşık 1A Ve Yaklaşık 1V ve şekillendirme AB.

Hadi düşünelim benzer üçgenler SO2B Ve SO 1 A, benzerlik katsayısı, o zaman

Buradan

O zamandan beri

Kesik bir koninin yan yüzey alanı şuna eşittir:

Cevap: .

Örnek 2.Çeyrek yarıçaplı daire konik bir yüzeye katlanır. Tabanın yarıçapını ve koninin yüksekliğini bulun.

Çözüm.Çemberin çeyreği koninin yan yüzeyinin gelişimidir. Haydi belirtelim R– tabanının yarıçapı, H - yükseklik. Yan yüzey alanını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayalım: . Çeyrek dairenin alanına eşittir: . İki bilinmeyenli bir denklem elde ediyoruz R Ve ben(bir koni oluşturarak). İÇİNDE bu durumda jeneratör çeyrek dairenin yarıçapına eşittir R, sonra elde ederiz aşağıdaki denklem: , buradan tabanın ve jeneratörün yarıçapını bilerek koninin yüksekliğini buluruz:

Cevap: 2cm, .

Örnek 3. Dikdörtgen yamuk dar açı 45 Ah daha az temel 3 cm'ye eşit eğimli bir kenar, tabanlara dik olan kenar etrafında dönmektedir. Ortaya çıkan dönme gövdesinin hacmini bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 37).

Döndürme sonucunda hacmini bulmak için kesik bir koni elde ederiz, yarıçapını hesaplarız; daha büyük taban ve yükseklik. Trapezde Ç 1 Ç 2 AB biz yöneteceğiz AC^O 1B. B elimizde: bu, bu üçgenin ikizkenar olduğu anlamına gelir AC.=M.Ö.=3cm.

Cevap:

Örnek 4. Kenar uzunlukları 13 cm, 37 cm ve 40 cm olan bir üçgen paralel bir dış eksen etrafında dönmektedir. daha büyük taraf ve ondan 3 cm uzaklıkta bulunur (eksen üçgen düzleminde bulunur). Ortaya çıkan devrim gövdesinin yüzey alanını bulun.

Çözüm . Bir çizim yapalım (Şek. 38).

Ortaya çıkan dönüş gövdesinin yüzeyi, iki kesik koninin yan yüzeylerinden ve bir silindirin yan yüzeyinden oluşur. Bu alanları hesaplamak için koninin ve silindirin tabanlarının yarıçaplarını bilmek gerekir ( OLMAK Ve OC), konileri oluşturan ( M.Ö. Ve AC.) ve silindir yüksekliği ( AB). Bilinmeyen tek şey CO. bu, üçgenin kenarından dönme eksenine olan mesafedir. Bulacağız DC. Kare ABC üçgeni bir tarafta AB kenarının yarısı ile ona çizilen yüksekliğin çarpımına eşittir DCÖte yandan üçgenin tüm kenarlarını bildiğimiz için alanını Heron formülünü kullanarak hesaplıyoruz.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızdan toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde - kanuna, adli prosedüre, hukuki işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Ders: Koni. Taban, yükseklik, yan yüzey, generatrix, gelişim

Koni- bu, tabanda bulunan, daire üzerindeki tüm noktalardan eşit uzaklıktaki bir noktadan ve bu noktayı (tepe noktası) daire üzerinde bulunan tüm noktalara bağlayan düz çizgilerden oluşan bir daireden oluşan bir gövdedir.

Birkaç soru önce piramide baktık. Yani koni özel durum tabanında daire bulunan bir piramit. Bir piramidin hemen hemen tüm özellikleri bir koni için geçerlidir.

Bir koniyi nasıl alabilirsin? Hatırlamak son soru ve silindiri nasıl elde ettiğimizi. Şimdi al ikizkenar üçgen ve onu kendi ekseni etrafında döndürün - bir koni elde edeceksiniz.

Koni jeneratörleri- bunlar dairenin noktaları ile koninin tepe noktası arasında kalan bölümlerdir. Koninin jeneratörleri birbirine eşittir.

Generatrix uzunluğunu bulmak için aşağıdaki formülü kullanmalısınız:

Eğer tüm jeneratörler birbirine bağlanırsa, Yanal yüzey koni Genel yüzeyi bir yan yüzey ve daire şeklinde bir tabandan oluşur.

Koni var yükseklik. Bunu elde etmek için dikey olanı üstten doğrudan tabanın merkezine indirmek yeterlidir.

Yan yüzey alanını bulmak için aşağıdaki formülü kullanın:

Bulmak tam alan Koninin yüzeyi için aşağıdaki formülü kullanın.

Koni kesilirse kesik bir koni elde edilir daha küçük koni tabana paralel düzlem (Şekil 8.10). Kesik bir koninin iki tabanı vardır: "alt" - orijinal koninin tabanı - ve "üst" - kesik koninin tabanı. Bir koninin kesiti ile ilgili teoreme göre, kesik koninin tabanları benzerdir. .

Kesik bir koninin yüksekliği, bir tabanın bir noktasından diğerinin düzlemine çizilen diktir. Bu tür dikmelerin tümü eşittir (bkz. bölüm 3.5). Yüksekliğe uzunlukları da denir, yani. tabanların düzlemleri arasındaki mesafe.

Kesik dönüş konisi, dönüş konisinden elde edilir (Şekil 8.11). Bu nedenle, tabanları ve bunlara paralel tüm bölümleri, eksen üzerinde aynı düz çizgide merkezleri olan dairelerdir. Kesik bir dönüş konisi, dikdörtgen bir yamuğun tabanlara dik tarafı etrafında döndürülmesiyle veya döndürülerek elde edilir.

simetri ekseni etrafında ikizkenar yamuk (Şekil 8.12).

Kesik bir devrim konisinin yan yüzeyi

Bu, türetildiği devrim konisinin yan yüzeyinin bir parçasıdır. Kesik bir dönüş konisinin yüzeyi (veya tam yüzeyi), tabanlarından ve yan yüzeyinden oluşur.

8.5. Devrim konilerinin ve kesik devrim konilerinin görüntüleri.

Bu şekilde düz dairesel bir koni çizilir. İlk önce tabanın dairesini temsil eden bir elips çizin (Şekil 8.13). Daha sonra taban noktası olan O'nun merkezini bulurlar ve koninin yüksekliğini gösteren dikey bir PO parçasını çizerler. P noktasından, elipse teğet (referans) çizgiler çizin (pratikte bu, bir cetvel uygulayarak gözle yapılır) ve bu çizgilerin RA ve PB parçalarını P noktasından A ve B teğet noktalarına kadar seçin. Lütfen AB parçasının şuna dikkat edin: taban konisinin çapı değildir ve ARV üçgeni koninin eksenel kesiti değildir. Koninin eksenel bölümü bir APC üçgenidir: AC segmenti O noktasından geçer. Görünmez çizgiler vuruşlarla çizilir; OP segmenti genellikle çizilmez, ancak P konisinin tepesini doğrudan O taban noktasının merkezinin üzerinde göstermek için yalnızca zihinsel olarak ana hatları çizilir.

Kesik bir dönüş konisini tasvir ederken, ilk önce kesik koninin elde edildiği koniyi çizmek uygundur (Şekil 8.14).

8.6. Konik bölümler. Düzlemin dönme silindirinin yan yüzeyini bir elips boyunca kestiğini daha önce söylemiştik (bölüm 6.4). Ayrıca, bir dönme konisinin yan yüzeyinin, tabanıyla kesişmeyen bir düzlem tarafından kesiti bir elipstir (Şekil 8.15). Bu nedenle elipse konik bölüm adı verilir.

Konik bölümler ayrıca diğer iyi bilinen eğrileri de içerir - hiperboller ve paraboller. Dönme konisinin yan yüzeyinin uzatılmasıyla elde edilen sınırsız bir koniyi ele alalım (Şekil 8.16). Onu tepe noktasından geçmeyen bir a düzlemiyle kesiştirelim. Eğer a koninin tüm jeneratörlerini keserse, daha önce de söylediğimiz gibi bölümde bir elips elde ederiz (Şekil 8.15).

OS düzlemini döndürerek, biri hariç (OS'nin paralel olduğu) K konisinin tüm genatrileriyle kesişmesini sağlayabilirsiniz. Daha sonra kesitte bir parabol elde ederiz (Şekil 8.17). Son olarak, OS düzlemini daha da döndürerek, onu öyle bir konuma aktarıyoruz ki, K konisinin generatrislerinin kesişen kısmı artık kesişmiyor sonsuz küme diğer bileşenleri ve ikisine paraleldir (Şekil 8.18). Daha sonra K konisinin a düzlemli bölümünde hiperbol adı verilen bir eğri (daha doğrusu onun "dalından" biri) elde ederiz. Dolayısıyla, bir fonksiyonun grafiği olan bir hiperbol, bir hiperbolün özel bir durumudur - bir eşkenar hiperbol, tıpkı dairenin bir elipsin özel bir durumu olması gibi.

Bir elipsin elde edilmesine benzer şekilde, projeksiyon kullanılarak eşkenar hiperbollerden herhangi bir hiperbol elde edilebilir. paralel tasarım daireler.

Hiperbolün her iki dalını elde etmek için, iki "boşluğa" sahip bir koninin bir bölümünü almak gerekir, yani ışınlar tarafından değil, koninin yan yüzeylerinin cinslerini içeren düz çizgilerle oluşturulan bir koni. devrim (Şekil 8.19).

Konik kesitler antik Yunan geometricileri tarafından incelendi ve onların teorisi antik geometrinin zirve noktalarından biriydi. En tam çalışma Antik çağda konik kesitler Pergalı Apollonius (M.Ö. III. Yüzyıl) tarafından yapılmıştır.

Bir numara var önemli özellikler elipsleri, hiperbolleri ve parabolleri tek bir sınıfta birleştiriyor. Örneğin, bir düzlem üzerinde tanımlanan "dejenere olmayan", yani bir noktaya, bir doğruya veya bir çift doğruya indirgenemeyen eğrileri tüketirler. Kartezyen koordinatları formun denklemleri

Konik bölümler oynatılıyor önemli rol doğada: cisimler yerçekimi alanında eliptik, parabolik ve hiperbolik yörüngelerde hareket eder (Kepler yasalarını hatırlayın). Olağanüstü özellikler Konik kesitler bilim ve teknolojide, örneğin bazı malzemelerin imalatında sıklıkla kullanılmaktadır. Optik enstrümanlar veya spot ışıkları (spot ışığındaki aynanın yüzeyi, bir parabolün yayının parabolün ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir). Yuvarlak abajurların gölgesinin sınırları olarak konik kesitler görülebilir (Şekil 8.20).

Koni (Yunanca "konos"tan)- Çam kozalağı. Koni eski çağlardan beri insanlar tarafından bilinmektedir. 1906 yılında Arşimet'in (M.Ö. 287-212) yazdığı "Yöntem Üzerine" kitabı keşfedildi; bu kitap, kesişen silindirlerin ortak kısmının hacmi sorununa bir çözüm sunuyor. Arşimet, bu keşfin eski Yunan filozofu Demokritos'a (MÖ 470-380) ait olduğunu söylüyor. bu prensip bir piramidin ve bir koninin hacmini hesaplamak için formüller aldı.

Bir koni (dairesel koni), bir daire - koninin tabanı, bu dairenin düzlemine ait olmayan bir nokta - koninin tepe noktası ve koninin tepe noktasını ve noktalarını birleştiren tüm bölümlerden oluşan bir gövdedir. taban çemberi. Koninin tepe noktasını taban dairesinin noktalarına bağlayan bölümlere koninin üreteçleri denir. Koninin yüzeyi bir taban ve bir yan yüzeyden oluşur.

Koninin tepesini tabanın merkezine bağlayan düz çizgi taban düzlemine dik ise koniye düz denir. Dik dairesel bir koni, dik bir üçgenin bacağı etrafında eksen olarak döndürülmesiyle elde edilen bir cisim olarak düşünülebilir.

Bir koninin yüksekliği, tepesinden taban düzlemine inen dik açıdır. Düz bir koni için yüksekliğin tabanı tabanın merkezine denk gelir. Sağ koninin ekseni, yüksekliğini içeren düz çizgidir.

Bir koninin, koninin generatrisinden geçen ve ona dik olan bir düzlemle kesiti eksenel bölüm bu generatrix boyunca çizilen koninin teğet düzlemi denir.

Koni eksenine dik bir düzlem, koniyi bir daire içinde keser ve yan yüzey, koni eksenini merkezleyen bir daireyle kesişir.

Koninin eksenine dik bir düzlem ondan daha küçük bir koniyi keser. Geriye kalan kısma kesik koni denir.

Bir koninin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir. Böylece, belirli bir taban üzerinde duran ve tabana paralel belirli bir düzlemde yer alan bir tepe noktasına sahip olan tüm koniler, eşit hacimçünkü boyları eşit.

Koninin yan yüzey alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

S tarafı = πRl,

Koninin toplam yüzey alanı aşağıdaki formülle bulunur:

S con = πRl + πR 2,

burada R, tabanın yarıçapıdır, l, generatrix'in uzunluğudur.

Dairesel koninin hacmi eşittir

V = 1/3 πR2H,

burada R, tabanın yarıçapıdır, H, koninin yüksekliğidir

Kesik bir koninin yan yüzey alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir: