Homojen olmayan bir sistemin genel çözümü, homojen bir sistemin genel çözümü ile homojen olmayan bir sistemin bazı özel çözümlerinin toplamıdır.
Homojen olmayan bir sisteme genel bir çözüm bulmak için, keyfi sabitlerin değişimine ilişkin Lagrange yöntemini uygulayabilirsiniz.
Şeklindeki sıradan diferansiyel denklemlerin doğrusal homojen bir sistemini ele alalım.
vektör formunda şu şekilde yazılır:
Matris Φ Sütunları homojen bir doğrusal sistemin Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) n adet doğrusal bağımsız çözümü olan Y" = A(x)Y'nin çözümlerinin temel matrisi olarak adlandırılır. sistem:
Homojen bir doğrusal sistemin Y" = A(x)Y çözümlerinin temel matrisi, Φ" = A(x)Φ matris denklemini karşılar.
Doğrusal bağımsız Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) çözümlerinin Wronski determinantının sıfırdan farklı olduğunu hatırlayın.
N'inci dereceden diferansiyel denklemlerden oluşan doğrusal bir sistem düşünün:
Doğrusal bir sistemin x = φ(t) çözümlerinin her biri t ≥ t0 için Lyapunov kararlı ise t ≥ t0 için Lyapunov kararlıdır.
Doğrusal bir sistem, x = φ(t) çözümlerinin her biri t → ∞ kadar Lyapunov kararlı ise, t → ∞ olarak asimptotik olarak Lyapunov kararlıdır.
Doğrusal bir sistemin çözümlerinin ya hepsi aynı anda kararlıdır ya da hepsi kararsızdır. Aşağıdaki ifadeler doğrudur.
Doğrusal bir diferansiyel denklem sisteminin çözümlerinin kararlılığı üzerine teorem. Homojen olmayan doğrusal sistemde x" = A(t)x + b(t) A(t) matrisi ve b(t) vektör fonksiyonu ) aralığında sürekli olsun
