Bir tarafının her yüzeyi gözlemciye doğru yönlendirilebilir ve daha sonra bu taraf görünür olacaktır. Aksi halde gözlem noktasından yüzeyin kenarı görünmeyecektir. Yüzeyin yalnızca bir tarafının görülebileceği durumlar olabilir. Bu durumda yüzeye görünen ve görünmeyen yüzeyleri ayıran bir çizgi çizilebilir. Çizim çizgisi, yüzeyin veya yüzün görünen kısmını görünmeyen kısmından ayıran, yüzey üzerindeki bir çizgidir.

Pirinç. 9.5.1. Yüzey anahat çizgilerinin projeksiyonları

Pirinç. 9.5.2. Çokgenler ve çizim çizgilerinden oluşan bir ızgaranın projeksiyonları

İncirde. 9.5.1 yüzeyin ana hatlarını göstermektedir. İncirde. 9.5.2 çizim çizgilerini yüzey ağıyla birlikte göstermektedir.

Çizim çizgisinden geçerken yüzey normali görüş hattına göre yön değiştirir. Çizim çizgisinin noktalarında, yüzey normali görüş çizgisine diktir. Genel olarak yüzeyde birden fazla ana hat çizgisi bulunabilir. Bir çizimin her çizgisi uzaysal bir eğridir. Ya kapalıdır ya da yüzeyin kenarlarında biter. Farklı görüntüleme yönleri kendi ana hat çizgilerine sahiptir, dolayısıyla yüzey döndürüldüğünde ana hat çizgilerinin yeniden oluşturulması gerekir.

Paralel projeksiyonlar.

Bazı yüzeyler için, örneğin bir küre, silindir, koni, ana hatlar oldukça basit bir şekilde oluşturulmuştur. Yüzey anahat çizgilerini oluşturmanın genel durumunu ele alalım.

Yarıçap vektörü tarafından tanımlanan bir yüzeyin anahat çizgilerinin bulunması gereksin. Düzlem (9.2.1) üzerine paralel bir projeksiyon için anahat çizgisinin her noktası denklemi karşılamalıdır.

çizim çizgisinin oluşturulduğu yüzeye normal nerede. Yarıçap vektörüyle tanımlanan bir yüzey için normal, aynı zamanda ve parametrelerinin bir fonksiyonudur. Skaler denklem (9.5.1) istenen iki parametre u, v'yi içerir. Parametrelerden birini ayarlarsanız diğeri denklem (9.5.1)'den bulunabilir, yani parametrelerden biri diğerinin fonksiyonudur. Parametrelerin eşitliğini sağlamak için bunlar bazı ortak parametrelerin fonksiyonları olarak temsil edilebilir.

Denklemin (9.5.1) çözülmesinin sonucu iki boyutlu bir çizgidir

yüzeyde Bu çizgi yüzeyin anahat çizgisidir.

Denklemi (9.5.1) karşılayan sıralı bir dizi noktadan bir çizim çizgisi oluşturacağız. Noktalara, parametrik bir düzlem üzerindeki iki boyutlu noktaların koordinatları olan bir çift yüzey parametresi diyoruz. Çizim çizgisinin takip ettikleri sıraya göre ve birbirlerinden belirli bir mesafede bulunan ayrı ayrı noktalarına sahip olduğunuzda, çizgi üzerinde her zaman başka bir nokta bulabilirsiniz. Örneğin, bir çizim çizgisinin verilen iki bitişik noktası arasında kalan bir noktayı bulmak için, bitişik noktaları birleştiren doğru parçasına dik bir düzlem çizeriz ve üç skaler kesişim denklemini denklemle birlikte çözerek yüzey ve düzlem için ortak bir nokta buluruz. (9.5.1). Düzlemin segment üzerindeki konumu line parametresi ile belirlenebilir. Segmentin uç noktalarına göre istenilen noktaya sıfır yaklaşımı belirlenir. Böylece, yüzey anahat çizgisinin bireysel iki boyutlu noktaları kümesi, bu çizginin bir tür sıfır yaklaşımı olarak hizmet eder; buradan, sayısal yöntemlerden birini kullanarak noktanın tam konumu her zaman bulunabilir. Yüzey anahat çizgilerinin oluşturulmasına yönelik algoritma iki aşamaya ayrılabilir.

İlk aşamada çizimin her satırında en az bir nokta bulacağız. Bunu yapmak için yüzey boyunca yürüyüp komşu noktalardaki skaler çarpımın işaretini inceleyerek işaretin değiştiği yüzey noktası çiftlerini bulacağız. Bu noktaların parametrelerinin ortalama değerlerini sıfır yaklaşımı olarak alarak, sayısal yöntemlerden birini kullanarak çizim çizgisi noktasının parametrelerini bulacağız. Örneğin bir noktadan ona yakın bir noktaya giderken işaret değişsin. Daha sonra Newton yönteminin yinelemeli sürecini kullanarak

veya yinelemeli süreç

Çizim çizgisinin noktalarından birinin parametrelerini bulalım. Türetilen normaller Weingarten formülleri (1.7.26), (1.7.28) ile belirlenir. Bu şekilde anahat çizgilerinin bir dizi noktasını elde ederiz. İlk aşamada elde edilen setten alınan noktalar hiçbir şekilde birbiriyle ilişkili değildir ve çizimin farklı çizgilerine ait olabilir. Sadece çizimin her satırından sette en az bir nokta olması önemlidir.

İkinci aşamada, mevcut kümeden herhangi bir noktayı alıyoruz ve ondan belirli bir adımla önce bir yönde, sonra diğer yönde hareket ederek, çizim çizgisi üzerinde istenilen nokta kümesini nokta nokta buluyoruz. Hareketin yönü vektör tarafından verilir

burada - parametrelere göre yüzeyin yarıçap vektörünün normal - kısmi türevlerinin kısmi türevleri.

Terimin önündeki işaret, skaler çarpımın işareti ile çakışmaktadır. Formül (9.4.7) veya formül (9.4.8)'i kullanarak hareketin adımını mevcut noktadaki yüzeylerin eğriliğine göre hesaplıyoruz. Eğer

daha sonra (9.4.7) formülünü kullanarak u parametresine bir artış vereceğiz ve (9.5.4) formülünü kullanarak yüzeyin karşılık gelen v parametresini bulacağız. Aksi takdirde, (9.4.8) formülünü kullanarak parametreye bir artış vereceğiz ve (9.5.5) formülünü kullanarak karşılık gelen parametreyi ve yüzeyi bulacağız. Yüzeylerden birinin kenarına ulaştığımızda veya çizgi kapandığında eğri boyunca ilerlemeyi bitireceğiz (yeni nokta, geçerli adımın başlangıç ​​noktasına olan mesafesinde olacaktır).

Hareket sırasında ilk etapta elde edilen setteki noktaların rotaya yakın olup olmadığını kontrol edeceğiz. Bunu yapmak için yol boyunca, anahat eğrisinin mevcut noktasından ilk aşamada elde edilen setten her bir noktaya kadar olan mesafeyi hesaplayacağız. Setteki herhangi bir noktaya hesaplanan mesafe, mevcut hareket adımıyla orantılıysa bu durumda bu nokta artık ihtiyaç duyulmadığından setten kaldırılacaktır. Bu şekilde bir çizim çizgisinin bireysel noktalarından oluşan bir set elde ederiz. Bu durumda ilk aşamada elde edilen noktalar kümesi bu doğrunun tek bir noktasını içermeyecektir. Kümede hala noktalar kalmışsa, bu yüzeyin en az bir anahat çizgisi daha vardır.

Pirinç. 9.5.3. Gövde anahat çizgileri

Pirinç. 9.5.4. Devrimin bedeni

Kümeden herhangi bir noktayı alıp inşaatın ikinci aşamasını tekrarlayarak noktalarının kümesini bulacağız. Sette tek bir nokta kalmadığında doğruların yapımını bitireceğiz. Açıklanan yöntemi kullanarak modelin tüm yüzlerinin ana hatlarını oluşturacağız.

Yüzlerin ana hatları, yüzeylerinin ana hatlarıdır. Gözlem noktasına daha yakın bir yüz tarafından örtülmediği takdirde vücudun ana hatları görünür olacaktır. İncirde. 9.5.3, Şekil 9.5.3'te gösterilen dönme gövdesinin ana hatlarını göstermektedir. 9.5.4. Çizim çizgisinin izdüşümünde kırılmalar ve çıkıntılar olabilir ancak çizim çizgisinin kendisi düzgündür.

Projeksiyondaki kırılma noktaları, dış hattın teğet çizgisinin vektörle eşdoğrusal olduğu yerde meydana gelir

Çizim çizgisinin izdüşümünü oluşturmak için, izdüşümünü çizim çizgisinin izdüşümü olarak alacağımız çokgenini oluşturacağız.

Merkezi projeksiyonlar.

Merkezi projeksiyonlardaki çizim çizgileri denklemi karşılar

(9.5.7)

nerede - yüzey normali - gözlem noktasının yarıçap vektörü. Merkezi projeksiyonun çizim çizgisi, paralel projeksiyonun çizim çizgisinden farklıdır, ancak bunların yapımına yönelik algoritmalar benzerdir. (9.5.7)'de sabit bir vektör yerine, yönü izdüşümü noktasına bağlı olan bir vektör vardır. Merkezi projeksiyonun çizim çizgisi aynı zamanda yüzey üzerinde bağımlılıklar (9.5.3) ile tanımlanan belirli bir eğriyi temsil eder ve uzaysal bir eğridir. Bu çizgi, uzaysal çizginin merkezi izdüşümü oluşturma kurallarına göre düzlem üzerine yansıtılmalıdır.

İncirde. Şekil 9.5.5, torusun ana hat çizgilerinin paralel bir projeksiyonunu göstermektedir ve Şekil 9.5.5'te Karşılaştırma amacıyla, Şekil 9.5.6 simitin anahat çizgilerinin merkezi izdüşümünü göstermektedir. Gördüğünüz gibi bu tahminler farklı.

Pirinç. 9.5.5. Torus anahat çizgilerinin paralel projeksiyonu

Pirinç. 9.5.6. Torus anahat çizgilerinin merkezi projeksiyonu

Yarıçap vektörü tarafından tanımlanan bir yüzeyin merkezi projeksiyonu için çizim çizgileri oluşturma algoritması, bu yüzeyin paralel projeksiyonu için çizim çizgileri oluşturma algoritmasından farklıdır, çünkü ilk aşamada skaler çarpımın uygulandığı yüzey noktalarını arayacağız. işareti değiştirir. Bu noktaları belirlemek için (9.5.4) ve (9.5.5) formülleri yerine formüller kullanılmalıdır.

ve formüller

sırasıyla. Aksi takdirde, bir yüzeyin merkezi projeksiyonu için anahat çizgileri oluşturma algoritması, paralel bir projeksiyon için anahat çizgileri oluşturma algoritmasından farklı değildir.

Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı

Saratov Devlet Teknik Üniversitesi

YÜZEYLER

Görev 2'yi tamamlama yönergeleri

uzmanlık öğrencileri için
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Onaylı

yazı işleri ve yayın konseyi

Saratov Eyaleti

teknik Üniversite

Saratov 2003

GİRİİŞ

Makine mühendisliği uygulamalarında silindirik, konik, küresel, simit ve helisel yüzeylere sahip parçalar yaygındır. Ürünlerin teknik formları genellikle çakışan, kesişen ve kesişen eksenlere sahip devrim yüzeylerinin bir kombinasyonudur. Bu tür ürünlerin çizimlerini yaparken, geçiş çizgileri olarak da adlandırılan yüzeylerin kesişme çizgilerini tasvir etmek gerekli hale gelir.

Kesişme çizgileri oluşturmanın yaygın bir yolu, bazen "aralar" olarak adlandırılan bazı yardımcı kesme düzlemleri veya yüzeyleri kullanarak bu çizginin noktalarını bulmaktır.

Bu yönergeler, iki yüzeyin kesişim çizgilerinin inşasına ilişkin genel ve özel durumları ve yüzey geliştirmelerini inşa etme yöntemlerini tartışmaktadır.

1. TEMEL HÜKÜMLER.

Tanımlayıcı geometride, bir yüzey, uzayda hareket eden bir çizginin ardışık konumlarının bir kümesi olarak kabul edilir ve buna generatrix adı verilir.

Yüzey çizgilerinden biri kılavuz olarak alınırsa Q ve generatrix'i belirli bir yasaya göre hareket ettirin ben, yüzeyi tanımlayan bir yüzey oluşturucu ailesi elde ederiz (Şekil 1).

Bir çizimde bir yüzeyi belirlemek için yüzey determinantı kavramı tanıtılmıştır.

Belirleyici, bir yüzeyi benzersiz bir şekilde tanımlamak için gerekli ve yeterli bir dizi koşuldur.

Determinant, geometrik şekiller ve yüzey oluşumu yasasını içeren geometrik bir kısımdan oluşur. Örneğin, şeklin determinantının geometrik kısmı A(ben,Q)Şekil 1'deki jeneratör ben ve rehber Q konumu çizimde belirtilmiştir. Eğitim Hukuku: Doğrudan ben, uzayda hareket ediyor, her zaman dokunuyor Q yönüne paralel kalarak S. Bu koşullar benzersiz bir şekilde silindirik bir yüzeyi tanımlar. Uzaydaki herhangi bir nokta için yüzeyinin o noktaya ait olup olmadığı sorusunu çözebilirsiniz. (AÎ bir, içindeÏ A).

Konik bir yüzeyin determinantının geometrik kısmı B(Q,S) bir rehberden oluşur Q ve zirveler S(İncir. 2). Konik bir yüzeyin oluşum yasası: genel düz çizgi ben Q, her zaman tepe noktasından geçer S konik yüzeyin sürekli bir dizi düz çizgisini oluşturur.

Sürekli hareketle elde edilen yüzeylere kinematik denir. Bu tür yüzeyler düzensiz veya rastgele olmaktan ziyade doğru ve düzenlidir.

Düz bir çizginin hareketiyle oluşan yüzeylere çizgili, eğri bir çizginin oluşturduğu yüzeylere ise kuralsız denir.

Generatrix'in hareket yasasına göre, generatrix'in translasyon hareketi olan yüzeyler, generatrix'in dönme hareketi - dönme yüzeyleri, generatrix'in sarmal hareketi - sarmal yüzeyler ile ayırt edilir.

Yüzeyler bir çerçeveyle tanımlanabilir. Tel çerçeve, böyle bir yüzeye ait belirli sayıda çizgiyle tanımlanan bir yüzeydir (Şekil 3).

Çizgilerin kesişme noktalarının koordinatlarını bilerek çerçeve yüzeyinin bir çizimini oluşturabilirsiniz.

1.2. Dönme yüzeyleri.

Kavisli yüzeyler arasında dönme yüzeyleri yaygındır. Bir devrim yüzeyi, herhangi bir generatrix'in sabit bir düz çizgi (yüzeyin ekseni) etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir yüzeydir.

Bir dönüş yüzeyi, eğri bir çizginin (küre, simit, paraboloit, elipsoid, hiperboloit, vb.) dönmesi ve düz bir çizginin (dönüş silindiri, dönüş konisi, tek tabakalı devrim hiperboloidi) dönmesiyle oluşturulabilir. ).

Bir dönme yüzeyinin tanımından, determinantın geometrik kısmının şu şekilde olduğu sonucu çıkar: A(Ben,ben) devrimin yüzeyleri A bir dönme ekseninden oluşmalıdır Ben ve şekillendirme ben. Yüzey oluşumu kanunu, dönme ben etrafında BEN dönme yüzeyinin generatrisinin sürekli bir dizi sıralı konumunu oluşturmanıza olanak sağlar.

Dönel yüzeylere çizilebilecek birçok çizgi arasında paraleller (ekvator) ve meridyenler (ana meridyen) özel bir konuma sahiptir. Bu çizgilerin kullanılması konumsal problemlerin çözümünü büyük ölçüde basitleştirir. Şimdi bu satırlara bakalım.

Generatrix'in her noktası ben(Şekil 4) eksen etrafında açıklanmaktadır Ben dönme eksenine dik bir düzlemde uzanan bir daire. Bu daire, bir yüzeyin belirli bir düzlemle kesişme çizgisi olarak temsil edilebilir (B), dönme yüzeyinin eksenine dik. Bu tür çevrelere paraleller denir (R). Paralelliklerin en büyüğüne ekvator, en küçüğüne ise boğaz denir.

Pirinç. 5 Şek. 6

İncirde. 5. paralel RA puan A– ekvator, paralel Karavan puan R-boğaz yüzeyi.

Yüzey ekseni ise Ben projeksiyon düzlemine dikse, paralel bu düzleme bir daire tarafından gerçek değere yansıtılır. (P1A) ve eksene paralel projeksiyon düzlemine - düz bir çizgi (P2A) paralelin çapına eşittir. Bu durumda konumsal problemlerin çözümü basitleşir. Yüzeydeki herhangi bir noktayı bağlayarak (örneğin İLE) bir paralel ile paralelin izdüşümlerinin konumunu ve üzerindeki noktayı kolayca bulabilirsiniz. İncirde. 5 projeksiyona göre C2 puan İLE, yüzeye ait A, paralel kullanarak Rs yatay projeksiyon bulundu C1.

Dönme ekseninden geçen düzleme meridyen denir. İncirde. 4 bir uçaktır G. Dönme yüzeyinin meridyen düzlemi ile kesişme çizgisine yüzeyin meridyeni denir. İzdüşüm düzlemine paralel bir düzlemde yer alan meridyene asıl denir ( m0 incirde. 4.5). Bu pozisyonda meridyen düzleme yansıtılır. P2 distorsiyon olmadan, ancak açık P1– eksene düz paralel X12. Silindir ve koni için meridyenler düz çizgilerdir.

Ekvator P2(Şekil 6) ve ana meridyenler (M) yüzeyi görünür ve görünmez kısımlara ayırın.

İncirde. 6 yüzey ekvatoru A yüzeyin bir düzlemle kesilmesiyle elde edilir d(P=a∩D) ve ana meridyen bir düzlemdir G(m=a∩G).

1.3. Yüzeyin taslağı.

Verilen birini çevreleyen çıkıntılı yüzey, çıkıntı düzlemini, yüzey çıkıntısının ana hatları adı verilen bir çizgi boyunca keser. Başka bir deyişle, yüzeyin ana hatları, şeklin izdüşümünü çizim alanının geri kalanından ayıran çizgidir. Bir makale oluşturmak için aşırı sınır taslak oluşturucularını oluşturmak gerekir. Anahat oluşturucuları projeksiyon düzlemine paralel bir düzlemde bulunur.

Devrimin yüzeyinin herhangi bir meridyeni onun doğuşu olarak alınabilir. Ana meridyen projeksiyon düzlemine paralel düz bir eğri (düz çizgi) olduğundan ve bozulma olmadan üzerine yansıtıldığından, ana meridyeni bir jeneratör olarak alırsak makalenin yapısı basitleşecektir.

Örnek 1: Silindir A A(Ben,ben). Yüzeyin bir taslağını oluşturun (Şekil 7).

Bu eksen düzenlemesi ile Ben yatay taslak yarıçaplı bir daireyi temsil eder R(R=i1l1). Eksen boyunca çizelim Ben meridyen düzlemi b||P2. Önden bir taslak oluşturmak için, ana meridyen düzleminde yer alan cinslerin ana hatlarının yatay izdüşümlerini buluyoruz. (l1',l1") ve onlardan ön projeksiyonları belirliyoruz l2' Ve l2".

Silindir ana hatlarının ana meridyeninin önden projeksiyonu l2' Ve l2". Dikdörtgen bir yüzeyin ön taslağıdır.

Örnek 2. Koni A determinantın geometrik kısmı tarafından verilir A(Ben,ben). Yüzeyin bir taslağını oluşturun (Şekil 8).

https://pandia.ru/text/78/241/images/image008_8.gif" width="612" height="400">

Geometrik şekillerin konumundan ben, Ben incirde. Şekil 9'da verilen yüzeyin tek tabakalı bir devrim hiperboloidi olduğu açıktır. Generatrix'in her noktası (A, B, C vesaire. ) bir eksen etrafında dönerken Ben bir daireyi (paralel) tanımlar. Şu tarihte: Ben ^ P1 uçağa P1 paraleller, paralel yarıçapın gerçek değerine eşit bir yarıçapa sahip daireler olarak yansıtılır. Nokta İLE generatrix üzerinde ben en küçük paraleli, yani boğaz paralelini tanımlar. Bu, dönme ekseni ile generatrix arasındaki en kısa mesafedir. ben. Bulmak RC bir dik çizgi çiz Benİle l1. i1C1=RC– yüzey boğazının yarıçapı.

Bir hiperboloidin yatay izdüşümü üç eşmerkezli daireden oluşacaktır.

Yüzeyin ön taslağı ana meridyenin taslağına sahip olmalıdır.

Eksen boyunca çizelim Ben ana meridyen düzlemi B ve paralel noktaların yatay izdüşümlerini oluşturun A, B, C. Paralellikler bir düzlemle kesişir B Yüzeyin ana meridyenine ait A', B', C' noktalarında. Bu paralelliklerden oluşan sürekli bir dizi, yüzeyin çerçevesini ve düzlemle kesişme noktalarını oluşturur. B– ana meridyen m0 yüzeyler. Ana meridyen, paralellerin bir düzlemle kesişme noktalarının bir taslağı olarak oluşturulabilir. B. Şekil bir noktanın yapısını göstermektedir İLE Ve D.

Örnek 4. Eğik bir silindir çizin A(ben,M). Silindirin jeneratörü ben, kılavuz boyunca hareket ederek M, kendine paralel kalır. Yüzeyin ana hatları Şekil 2'de gösterilmektedir. 10. Bir silindirin yüzeyindeki herhangi bir nokta, onun içinden bir genatrix çizilerek (noktayı generatrix'e "bağlayarak") belirlenir. İncirde. 10a noktanın ön izdüşümüne göre A2 yüzeye ait yatay izdüşümü bulunur A1.

1.4. Paralellik düzlemine sahip çizgili yüzeyler.

Paralellik düzlemine sahip kurallı yüzeyler, doğrusal bir generatrisin iki kılavuz boyunca hareket ettirilmesiyle oluşturulur. Bu durumda, generatrix tüm pozisyonlarında paralellik düzlemi adı verilen belirli bir düzleme paralelliği korur.

Determinantın geometrik kısmı A(M,N,B) böyle bir yüzey A iki kılavuz ve bir paralellik düzlemi içerir. Kılavuzların şekline bağlı olarak bu yüzeyler şu şekilde ayrılır: silindiroidler - her iki kılavuz eğrisi; konoidler – bir kılavuz düz, diğeri kavisli; eğik düzlem - her iki kılavuz da düzdür.

Örnek: bir yüzey çerçevesi oluşturun A(M,N,B)(Şekil 10b).

Bu durumda projeksiyonların yatay düzlemi paralellik düzlemi olarak alınır. Çizgi oluşturmak, eğriyi kesmek M ve doğrudan N, herhangi bir pozisyonda düzleme paralel kalır P1.

Paralellik düzlemine paralel her düzlem bu yüzeyleri düz bir çizgide keser. Bu nedenle, eğer bir yüzeyin herhangi bir generatrisini oluşturmak istiyorsanız, yüzeyi bir düzlemle kesmeniz gerekir (örneğin B), paralellik düzlemine paralel olarak yüzey kılavuz çizgilerinin bu düzlemle kesişme noktalarını bulun. (b∩n=1;b∩m=2; pirinç. 10b) ve bu noktalardan düz bir çizgi çizin.

Şekil 2'deki konoidi oluşturmak için Şekil 10b'de, genatrislerin ön çıkıntılarının eksene paralel olması gerektiğinden yardımcı kesme düzlemleri olmadan yapabilirsiniz. X12. Önden projeksiyondaki çerçeve çizgilerinin yoğunluğu keyfi olarak ayarlanır. Aidiyet özelliğini kullanarak verilen jeneratörlerin iletişim hattı boyunca yatay izdüşümlerini oluşturuyoruz.

Bir noktanın izdüşümünü bulmanız gerekiyorsa A projeksiyon tarafından verilen A2, yüzeyi bir düzlemle kesmek gerekir G, noktadan geçerek A ve paralellik düzlemine paralel (Şekil 10b'de) g//P1), düzlemin kesişme çizgisi olarak jeneratörü bulun G yüzeyli A(a∩g=3, 4),ön projeksiyonu (32, 42) kullanarak yatay olanı (31, 41) bulun ve üzerinde belirleyin A1.

1.5. Bir çizginin yüzeyle buluşma noktasının oluşturulması.

Eğrinin buluşma noktasını bulun ben yüzeyli a(P,S).

Çözüm 1. Eğriyi sonlandırın ben(Şekil 11) yardımcı projeksiyon yüzeyine B^P1. Projeksiyon b1 projeksiyonla örtüşüyor l1. 2. Kesişme hattının oluşturulması A yüzeyler α yüzeyli b', (αÇ b=e). Bu çizginin yatay izdüşümü a1 biliniyor, örtüşüyor b1. Yatay projeksiyon a1önden projeksiyon oluşturmak a2(Şekil 1 Eğrinin kesişiminde istenen noktayı belirleyin ben yüzeyli a..K=benÇ A bir buluşma noktası var ben Ve A. Bir tarafta ben Ve A ait olmak B Ve benÇ a=k. Diğeriyle birlikte AÌ A, buradan İleÌ α , yani İle buluşma noktaları var ben yüzeyli α .

https://pandia.ru/text/78/241/images/image011_6.gif" width="607" height="242">

1.6. Yüzeylerin kesişme çizgisinin oluşturulması.

Bir yüzeyin diğeriyle kesişme çizgisi oluşturma problemini çözerken, konumsal problemleri çözmenin ana yöntemi olan bölüm yöntemi kullanılır. Bu durumda verilen yüzeyler yardımcı düzlemler veya kavisli yüzeyler (örneğin küreler) tarafından parçalara ayrılır.

Yardımcı kesme yüzeylerine bazen "ara maddeler" adı verilir.

1.5.1. Genel dava.

Genel durumda, iki yüzeyin kesişme çizgisini belirleme problemini çözmek için, yüzeylerden birinde bir jeneratör ailesi belirleyebilir (Şekil 12), bu jeneratörlerin ikinci yüzeyle buluşma noktasını aşağıdakileri kullanarak bulabilirsiniz: Şekil 2'deki problemin çözümü için algoritma. 11 ve ardından buluşma noktalarını takip edin.

İki kavisli yüzeyin kesişim çizgilerini oluşturmak için bu yöntemi kullanarak yardımcı düzlemleri veya kavisli yüzeyleri kesen "aracılar" olarak kullanabiliriz.

Mümkünse, verilenlerle kesiştiğinde oluşturulması kolay çizgiler (düz çizgiler veya daireler) veren yardımcı yüzeyler seçmelisiniz.

1.5.2. Devrim yüzeylerinin eksenleri çakışıyor
(koaksiyel yüzeyler).

İncirde. 13 yüzey A Ve B ortak bir eksen tarafından belirlenir Ben ve ana meridyenler m0m0’.

Ana meridyenler bir noktada kesişir A(B). Nokta A(B) meridyenlerin bir eksen etrafında dönerken kesişmesi bir paraleli tanımlayacaktır R Her iki yüzeye de ait olacak olan , bu nedenle onların kesişme çizgisi olacaktır.

Böylece, iki eş eksenli dönme yüzeyi, meridyenlerinin kesişme noktalarını tanımlayan paraleller boyunca kesişir. İncirde. 13 yüzey ekseni paraleldir P2. Yüzeylerin eksenlerinin paralel olduğu projeksiyon düzleminde kesişme çizgisi P2 Konumu ana meridyenlerin kesişme noktaları tarafından belirlenen düz bir çizgi yansıtılır. A Ve İÇİNDE.

1.5.3. Düzlem kesme yöntemi.

Dönme yüzeylerinin eksenlerinin paralel olması durumunda, en basit yapılar kesme düzlemlerinin ara olarak kullanılmasıyla elde edilir. Bu durumda yardımcı kesme düzlemleri, daireler boyunca her iki yüzeyi kesecek şekilde seçilir.

İncirde. 14, iki devrim yüzeyinin izdüşümünün çizimleriyle verilmiştir. α Ve B, onların eksenleri Ben Ve J paralel. Bu durumda yüzeylerin eksenlerine dik kesme düzlemlerinin kullanılması soruna basit bir çözüm sağlar. Yüzeylerin sonuçta ortaya çıkan kesişme çizgileri, önden çıkıntıları paralelin çapına eşit düz çizgiler olan ve yatay çıkıntıları tam boyutlu daireler olan paraleller olacaktır.

Kesişme çizgilerinin noktalarını oluştururken öncelikle referans ve karakteristik noktaları bulmalısınız. Referans noktaları ana meridyen (3) ve ekvator (4, 5) üzerinde yer alan noktalardır. Bu noktaların bulunması ek yapılarla ilişkili değildir ve üyelik özelliklerinin kullanımına dayanmaktadır.

Şekil 2'de belirtilmiştir. 14 yüzeyin ana meridyenin ortak bir düzlemi, eksenleri vardır ^ P1üsler düzlemde bulunur P1. Kesişme çizgisinin referans noktaları, ana meridyenlerin kesiştiği nokta 3 ve yüzeylerin tabanlarının paralellerinin kesiştiği nokta 4 ve 5'tir. Üyelik özelliklerini kullanarak, bilinen 32, 41 ve 51 projeksiyonlarını kullanarak 31, 42 ve 52'yi buluruz.

Kalan kesişim noktalarını yardımcı kesme düzlemlerini kullanarak buluyoruz. Yüzeyleri keselim α Ve B yatay düzlem G. Çünkü G^ eksenler Ben Ve J, daha sonra yüzeyler α Ve B bir düzlemle kesişmek G paralelliklere göre ra Ve RB. Ve eksenlerden beri Ben Ve J^P1, daha sonra bu paralellikler yansıtılır P1 daireler ra, RB gerçek değere ve P2 dümdüz P2a, P2B paralelin çapına eşittir.

1 ve 2 numaralı paralellerin kesişme noktaları istenilen noktalardır. Aslında paralelin bir tarafında ra Ve RB aynı düzleme ait G ve 2 ve 1 noktalarında kesişir. Öte yandan, ra Ve RB farklı yüzeylere ait α Ve B. Bu nedenle 2 ve 1 noktaları aynı anda yüzeylere aittir. A Ve B yani yüzeylerin kesişim çizgisinin noktalarıdır. Bu noktaların 21 ve 11 numaralı yatay çıkıntıları kesişme noktasındadır P1a, P1B ve üyelik özelliğini kullanarak ön olanları oluşturuyoruz.

Bu tekniği tekrarlayarak gerekli sayıda puanı elde ederiz. Kesme düzlemleri, eğrinin (32) en yüksek yükseliş noktasından ana şekle kadar olan aralıkta eşit olarak dağıtılır.

Kesişme çizgisinin ve dolayısıyla kesme düzlemlerinin nokta sayısı, grafik yapıların gerekli doğruluğuna göre belirlenir. Kesişme çizgisinin projeksiyonları, noktalarının projeksiyonlarının ana hatları olarak oluşturulur. İncirde. 4, 1, 3, 2, 5 noktalarında 14 doğru.

Sorunları çözmenin ele alınan örneğine düzlemleri kesme yöntemi denir.

1.5.4. Küreler yöntemi.

Bu teknik, devrim yüzeylerinin eksenleri kesiştiğinde kullanılır. Şekil 2'de tartışılana dayanmaktadır. 13 koaksiyel yüzeylerin kesişme durumu.

İncirde. Şekil 15 kesişen eksenlere sahip bir koni ve bir silindiri göstermektedir Ben Ve J. Eksenleri düzleme paraleldir P2. Ana meridyenin düzlemi her iki yüzey için de ortaktır.

). Ana meridyen düzleminin ortak olması nedeniyle inşaat basitleştirilmiştir. Bir kürenin aynı anda iki yüzeyle kesiştiği daireler ( Ra, RbPB"), düzlem üzerine yansıtılır P2 düz çizgiler şeklinde ( P2a, P2b, P2B") paralellerin çaplarına eşittir.

Bu dairelerin kesişimi, her iki yüzey için ortak olan ve dolayısıyla kesişme çizgisine ait olan (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82) noktaları üretir. Aslında paralellikler Ra, Rb, PB", bir yandan tek bir yüzeye - küreye aittir ve ortak noktalara (5, 6, 7, 8) sahiptir, diğer yandan farklı yüzeylere aittirler A Ve B. Yani 5, 6, 7, 8 noktaları her iki yüzeye veya yüzeylerin kesişim çizgisine aittir.

İstenilen kesişim çizgisini çizmeye yetecek kadar puan elde etmek için birkaç küre çizilir.

En büyük kürenin yarıçapı ( Rmaks) merkezden uzaklığa eşittir O2 anahat oluşturucuların en uzak kesişme noktasına (bu durumda 32 ve 42 numaralı noktalar, Rmaks= 0232=0242. Bu durumda yüzeylerin küre ile kesiştiği her iki çizgi ( ra Ve RB) kürenin yarıçapı daha büyük olan 3 ve 4 noktalarında birbirleriyle kesişecek, kesişme olmayacaktır.

En küçük kürenin yarıçapı ( Rmin) merkezden uzaklığa eşittir 02 en uzaktaki taslak oluşturucuya ( Rmin=02A2). Bu durumda küre, çevresi boyunca koniye temas edecek ve silindir iki kez kesişerek 5, 6, 7, 8 noktalarını verecektir. Kürenin yarıçapı daha küçük olduğunda koni ile kesişme olmayacaktır.

Şimdi geriye kalan tek şey, 1, 5, 4, 6, 1 ve 2, 7, 3, 8, 2 noktalarından yüzeylerin kesiştiği kavisli çizgiler çizmek.

İncirde. 15 tüm yapılar tek bir projeksiyonda yapılır. Yarıçapları arasında değişen sekant kürelerin sayısı Rmaksönce Rmin, gerekli inşaat doğruluğuna bağlıdır. Kesişme çizgisinin yatay izdüşümü üyelik özelliği kullanılarak 1, 5, 4, 6, 1 ve 2, 7, 3, 8, 2 ön çizgileri boyunca oluşturulur.

1.5.5. Kesme düzlemi yönteminin uygulanması
paralellik düzlemine sahip kurallı yüzeyler durumunda.

Belirleyicinin geometrik kısmı tarafından iki yüzey belirtilir: A (ben,Ben) Ve B(M,n, P1). Yüzeylerin ana hatlarını oluşturmak ve kesişme çizgisini bulmak gereklidir (Şekil 16).

Çözüm: 1. Yüzeyin bir taslağını oluşturun A, n determinantının geometrik kısmının yüzeyinin olduğu açıktır A- küre. Yatay ve ön hatları yarıçaplı dairelerdir R. 2. Çizgili yüzeyin çerçevesini oluşturuyoruz. Düzlem paralel olduğundan P1, o zaman generatrislerin ön projeksiyonları eksene paraleldir X12. Ön projeksiyonda belirli bir çizgi düzleminin çerçevesini tanımladıktan sonra (Şekil 16'da dört çizgi vardır), bu jeneratörlerin yatay projeksiyonlarını oluşturuyoruz. 3. Yüzeylerin kesişim hattını oluşturmak için kesme düzlemlerini aracı olarak kullanırız. Kesme düzlemlerinin konumu, verilen yüzeyleri oluşturulması kolay çizgiler (düz çizgiler veya daireler) boyunca kesecek şekilde seçilmelidir. Bu koşul yatay düzlemlerle sağlanır. Yatay düzlemler konoidin paralellik düzlemine paraleldir ( P1), böylece konoidi düz çizgiler halinde geçecekler. Bu tür düzlemler küreyi paraleller boyunca keser.

,A" paralel boyunca küre RA. Paralelin önden projeksiyonu ( P2A) paralelin çapına ve yatay çıkıntıya eşit düz bir çizgidir ( P1A) - daire. Bir paralelin kesiştiği noktada yatay bir çıkıntı üzerinde P1A ve generatrix 1, 11", yüzey kesişim çizgisinin iki noktasının izdüşümüyle belirlenir A Ve B. Noktaların yatay projeksiyonlarına dayalı A1 Ve 1'DE onların ön projeksiyonlarını oluşturuyoruz. İşlemi tekrarlayarak, ana hatları kesişim çizgisini verecek olan kesişme çizgisinin bir dizi noktasını elde ederiz.

Ekvator ve kürenin ana meridyeni, çizgiyi görünür ve görünmez kısımlara ayırır.

1.6.Geliştirmelerin inşası.

Bir yüzeyin gelişimi, geliştirilmekte olan yüzeyin bir düzlemle birleştirilmesiyle elde edilen bir şekildir.

Geliştirilebilir yüzeyler, kırılma veya kıvrım olmaksızın düzlemle aynı hizada olan yüzeylerdir.

Geliştirilebilir yüzeyler, yönlü yüzeyleri içerir ve kavisli yüzeyler yalnızca silindirik, konik ve gövde yüzeylerini içerir.

Gelişmeler kesin (yönlü yüzeylerin gelişimi), yaklaşık (silindir, koni, gövde gelişimi) ve koşullu (küre ve diğer geliştirilemeyen yüzeylerin gelişimi) olarak ikiye ayrılır.

1.6.1. Yönlü yüzeylerin geliştirilmesi.

Şekil 17'deki çıkıntılarla belirtilen piramidin gelişimini gerçekleştirin.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image017_5.gif" width="588" height="370">

Yuvarlama yöntemi, prizmanın kenarları projeksiyon düzlemine paralelse ve tabanlardan birinin kenarlarının gerçek boyutu biliniyorsa uygulanabilir (Şekil 18).

Bir şeklin açılması, bir prizmanın yüzlerini bir düzlemle birleştirme işlemini temsil eder; burada her bir yüzün gerçek görünümü, kenarı etrafında döndürülerek elde edilir.

Yuvarlanırken A, B, C noktaları, prizma kenarlarının çıkıntılarına dik olarak P2 düzleminde düz çizgiler olarak gösterilen dairesel yaylar boyunca hareket eder. Gelişimin köşeleri şu şekilde inşa edilir: R1=A1B1 yarıçaplı (gerçek uzunluk AB) A2 noktasından itibaren, B2B0 düz çizgisi üzerinde B2B2¢'ye dik bir çentik açıyoruz. Yarıçapı R2=B1C1 olan oluşturulmuş B0 noktasından C2C0^C2C2¢ düz çizgisi üzerinde bir çentik açılır. Daha sonra A2A0^A2A2¢ düz çizgisi üzerinde R3=A1C1 yarıçaplı C0 noktasından bir çentik. A0 noktasını alıyoruz. A2B0C0A0 noktaları düz çizgilerle bağlanır. A0B0C0 noktalarından kenarlara paralel çizgiler çizeriz (A2 A2¢) ve üzerlerine A2A¢, B2B¢, C2C¢ yan kenarlarının gerçek değerlerini çizeriz. A¢B¢C¢A¢ noktalarını doğru parçalarıyla birleştiriyoruz.

1.6.2. Kavisli yüzeylerin geliştirilmesi.

Teorik olarak doğru bir geliştirme, yani geliştirilmekte olan yüzeyin boyutlarını tam olarak tekrarlayan bir geliştirme elde etmek mümkündür. Uygulamada, çizimler yaparken, bireysel yüzey elemanlarının düzlem kesitlerle yaklaşık olarak tahmin edildiğini varsayarsanız, soruna yaklaşık bir çözüm bulmanız gerekir. Bu koşullar altında, bir silindir ve koninin yaklaşık geliştirmelerinin gerçekleştirilmesi, bunların içine yazılan (veya açıklanan) prizmaların ve piramitlerin geliştirmelerinin inşasına indirgenir.

Şekil 19, koni taraması gerçekleştirmenin bir örneğini göstermektedir.

Koninin içine çokyüzlü bir piramit yerleştiriyoruz. S noktasından, koninin (S212) generatrisinin gerçek değerine eşit yarıçaplı bir yay çizeriz ve yay üzerine 1121 akorlarını çizeriz; 2, yayların değiştirilmesi 1121;2

Gelişimdeki herhangi bir noktayı bulmak için, belirli bir (A) noktasından bir generatris çizmek, bu generatrisin gelişim üzerindeki konumunu bulmak (2B=21B1), SA veya AB segmentinin gerçek değerini belirlemek ve grafiğini çizmek gerekir. gelişimin generatrisinde. Bir yüzey üzerindeki herhangi bir çizgi sürekli bir nokta kümesinden oluşur. A noktası için anlatılan yöntemi kullanarak taramada gerekli sayıda noktayı bulduktan ve bu noktaları takip ettikten sonra taramada bir çizgi elde edeceğiz. Eğimli silindirik yüzeylerin gelişimlerini inşa ederken normal kesit ve yuvarlanma yöntemleri uygulanabilir.

Geliştirilemeyen herhangi bir yüzeye, herhangi bir doğrulukla çokyüzlü bir yüzeyle de yaklaşılabilir. Ancak böyle bir yüzeyin gelişimi sürekli düz bir şekil olmayacaktır, çünkü bu yüzeyler kırılmalar ve kıvrımlar olmadan gelişmez.

1.6.3. Teğet bir düzlem oluşturmak
Belirli bir noktada yüzeye.

Belirli bir noktada yüzeye teğet bir düzlem oluşturmak için (Şekil 20'de A noktası), yüzeyde A noktasından geçen iki keyfi a ve b eğrisi çizmek, ardından A noktasında iki teğet t ve t¢ oluşturmak gerekir. a ve b eğrilerine. Teğetler, a yüzeyinin b yüzeyine olan teğet düzleminin konumunu belirleyecektir.

Şekil 21'de dönme yüzeyi a oluşturulmuştur. A noktasına ait a noktasına teğet bir düzlem çizilmesi gerekmektedir.

Sorunu çözmek için, A noktasından geçen bir paralel çizeriz ve buna A noktasında (t1;t2) bir teğet çizeriz.

Meridyeni A noktasından geçen ikinci eğri olarak alalım. Şekil 21'de gösterilmemiştir. Meridyen A noktasıyla birlikte ana meridyenle çakışıncaya kadar eksen etrafında döndürülürse çözüm basitleşecektir. Bu durumda A noktası A¢ konumunu alacaktır. Daha sonra, A¢ noktasından, B noktasındaki eksenle kesişene kadar ana meridyene t¢¢ teğet çizin. Meridyeni önceki konumuna döndürdükten sonra, bu meridyene A noktasından ve sabit B noktasından geçen t¢ teğetini çizin. dönme ekseni (t1¢;t2 ¢). Teğetler t ve t¢ teğet düzlemi tanımlayacaktır.

Kurallı bir yüzeye teğet bir düzlem çizerken, teğet düzlemi tanımlayan teğetlerden biri yüzeyin üreteci t olarak alınabilir (Şekil 22). İkincisi olarak, paralele (silindir veya koni ise) t¢ teğetini veya bir konoid, silindirik veya eğik düzlemin belirli bir noktasından çizilen herhangi bir eğriye teğet alabilirsiniz. Yüzeyi belirli bir noktadan geçen çıkıntılı bir düzlemle keserek kolayca bir eğri oluşturulabilir.

2.1. Çalışmanın amacı:

“Yüzey” ve “Gelişmeler” bölümlerindeki program materyalini güçlendirin ve eskizler, kesişim çizgileri ve yüzey geliştirme problemlerini çözme becerisi kazanın.

2.2. Egzersiz yapmak:

Çizimde kesişen iki yüzey bulunmaktadır. Yüzeyler, determinantın geometrik kısmının koordineli izdüşümleri ile tanımlanır.

Gerekli:

Belirleyicinin geometrik kısmının koordinatlarını kullanarak, determinantın izdüşümlerini çizim üzerine çizin, determinantın geometrik şekillerini elde etmek için gerekli noktaları birleştirin;

Belirleyicinin geometrik kısmının izdüşümlerine dayanarak verilen yüzeylerin çizimlerini oluşturun;

Yüzeylerin bir kesişme çizgisi oluşturun;

Bir kesişim çizgisi çizerek (öğretmenin yönlendirdiği şekilde) yüzeylerden birinin gelişimini oluşturun;

Öğretmenin belirttiği noktada yüzeylerden birine teğet bir düzlem çizin;

Kesişen yüzeylerin bir düzenini yapın.

Çalışma önce A2 grafik kağıdına, ardından A2 Whatman kağıdına yapılıyor. Çizim GOST ESKD'ye uygun olarak hazırlanmalıdır. Ana yazıt form 1'e göre yapılmıştır.

Çalışmayı yaparken dersler, pratik materyaller ve önerilen literatür kullanılır.

Görevlere ilişkin seçenekler ekte verilmiştir.

2.3. Görevin sırası.

Öğrenci, grup günlüğündeki listedeki numaraya karşılık gelen ödevin bir versiyonunu alır ve dört hafta boyunca ödev üzerinde çalışır.

Ödevi aldıktan bir hafta sonra öğrenci, verilen yüzeylerin belirleyicilerinin geometrik kısmının yapılarını ve verilen yüzeylerin ana hatlarını A2 formatında grafik kağıdı üzerinde tamamlayarak öğretmene sunar.

İki hafta sonra, yüzeylerin kesişme çizgisinin ve teğet düzlemin oluşturulmasıyla desteklenen bir çizim sunulur.

Üçüncü hafta A4 grafik kağıdı üzerindeki çalışma, yüzeylerden birinin geliştirmesi oluşturularak ve üzerine yüzeylerin kesişim çizgisi çizilerek tamamlanır.

Dördüncü haftada kesişen yüzeylerin yerleşimi tamamlanır.

Yapılacak çalışma uygulamalı dersi yürüten öğretmene sunulur. Grafik kağıdı üzerinde tamamlanan yapıya dayanarak öğrencinin çalışılan materyali özümsemesi kontrol edilir.

Yüzeylerin kesişme çizgisinin oluşturulmasına ilişkin konum problemini çözerken kesit yöntemi kullanılır. Kesme düzlemleri veya küreler “aracı” olarak seçilir. Soruna en basit çözümü sağlayan yukarıda tartışılan özel durumlara (düzlemleri kesme yöntemi ve küre yöntemi) dikkat etmelisiniz. Gerekirse bu yöntemlerin bir kombinasyonunu kullanın.

Bir yüzey geliştirme gerçekleştirirken, normal kesit yöntemi ve haddeleme yöntemiyle gerçekleştirilen yapıların yanı sıra yaklaşık ve koşullu geliştirmeleri oluşturma yöntemlerini incelemek ve işte en rasyonel yöntemi kullanmak gerekir.

Belirli bir noktada bir yüzeye teğet bir düzlem çizerken, noktadan geçen yüzey üzerinde iki eğri çizgi oluşturmak ve belirli bir noktada bu çizgilere teğetler çizmek yeterlidir; düz bir eğri çizgiye teğetin yansıtıldığını hatırlayın. projeksiyonuna teğet olarak.

EDEBİYAT.

1. Vinitsky geometrisi. M.: Yüksekokul, 1975.

2. Gordon geometrisi. M.: Nauka, 1975.

3. Yüzeyler. Metodik talimatlar. /Derlendi, / Saratov, SSTU, 1990.

GÖREV SEÇENEKLERİ

Temel kavramlar ve tanımlar

Mühendislik araştırmasının bir nesnesi olarak yüzey aşağıdaki ana yollarla belirlenebilir: a) denklem; b) çerçeve; c) jel ile belirlemek; d) bir makale.

Analitik geometri yüzey denklemlerinin derlenmesiyle ilgilenir; yüzeyi, koordinatları F(x, y, z) = 0 formundaki bir denklemi sağlayan bir noktalar kümesi olarak kabul eder.

Tanımlayıcı geometride çizimdeki yüzey bir çerçeve, bir determinant ve bir taslakla belirtilir.

Tel kafes yönteminde yüzey, yüzeye ait belirli sayıda çizgiden oluşan bir takımla tanımlanır. Kural olarak çerçeveyi oluşturan çizgiler, bir yüzeyin bir dizi paralel düzlemle kesişmesinden kaynaklanan bir çizgi ailesidir. Bu yöntem araba gövdelerinin tasarımında, uçak ve gemi yapımında, topografyada vb. kullanılır.

Uzayda hareket eden bir çizginin oluşturduğu yüzey, bir çizimde bir yüzey belirleyicisi ile belirlenebilir.

Bir yüzeyin belirleyicisi bir dizi geometrik şekil ve bunlar arasındaki bağlantılardır. uzayda açık bir şekilde bir yüzey oluşturmanıza ve onu çizimde tanımlamanıza olanak tanır.

Yüzeyde hareket eden bir çizginin yüzey oluşturma yöntemine kinematik denir.

Uzaydaki hareketi sırasında belirli bir yüzeyi oluşturan çizgiye generatrix (üreten) adı verilir.

Generatrix hareket ederken şeklini değiştirebilir veya değişmeden kalabilir. Generatriksin hareket yasası, özellikle, hareketi sırasında generatrisin dayandığı sabit çizgilerle belirlenebilir. Bu çizgilere kılavuz denir.

Çizimde, bir yüzeyi determinantıyla belirlerken, kılavuz çizgilerin çıkıntıları oluşturulur ve generatrix çizgisinin çıkıntılarının nasıl yerleştirildiği gösterilir. Generatrix çizgisinin bir dizi konumunu oluşturarak bir yüzey çerçevesi elde ederiz. Kinematik yöntem kullanılarak yüzey oluşumunun bir örneği Şekil 1'de gösterilmektedir. 96.

Bu yüzeyin genel matrisi olarak bir düzlem eğrisi alınır. Generatrix'in hareket yasası iki kılavuz tarafından verilir m ve n ve uçak A. Biçimlendirici A kılavuzlar boyunca kayar ve her zaman düzleme paralel kalır A.

Yüzey determinantının geometrik ve algoritmik kısımları vardır. Determinant aşağıdaki gösterime sahiptir: F(G) [A], Nerede F- yüzey tanımı; (G)- determinantın geometrik kısmı, yüzeyin oluşumunda yer alan tüm geometrik şekilleri ve çizimdeki atamalarını listeler; [A] determinantın algoritmik kısmıdır - yüzey oluşumu algoritması içine yazılmıştır.

Bir yüzeyin belirleyicisi, yüzeyin oluşum yöntemleri veya temel özellikleri analiz edilerek belirlenir. Genel olarak aynı yüzey çeşitli şekillerde oluşturulabilir ve bu nedenle birden fazla belirleyiciye sahip olabilir. Genellikle bir yüzey oluşturmanın tüm yöntemlerinden en basit olanı seçilir. Örneğin, dik dairesel bir silindirin yan yüzeyi dört şekilde oluşturulabilir (Şekil 97):

a) bir çizgi boşluğunda kalan iz olarak A bir eksen etrafında döndüğünde M(Şekil 97, a).

Yüzey belirleyici - Ф (а,m) [A 1 ]:

b) Eğri bir çizginin uzayda bıraktığı iz olarak B bir eksen etrafında döndüğünde M(Şekil 97.6).

Yüzey belirleyici - Ф (b,m) [A 2];

c) bir dairenin uzayda bıraktığı iz olarak İle merkezi ileriye doğru hareket ettiğinde HAKKINDA eksen boyunca M. bu durumda dairenin düzlemi her zaman bu eksene dik kalır (Şekil 97, c).

Yüzey belirleyici - Ф (а,m) [A 3 ]:

d) küresel bir yüzeyin tüm konumlarını kapsayan bir zarf olarak R merkezi eksen boyunca hareket eden sabit yarıçap M(Şekil 97, d).

Yüzey belirleyici - Ф (p,m) [A 4].

Dikkate alınanların en basiti determinanttır Ф (а,m) [A 1 ].

Çizimde bir yüzeyin çerçeve veya belirleyici ile tanımlanması her zaman görüntünün netliğini garanti etmez. Bazı durumlarda yüzeyi taslak olarak tanımlamak daha uygundur.

Bir yüzeyin ana hatları, belirli bir yüzeyi saran çıkıntılı silindirik bir yüzeyin izdüşümüdür.

Bir yüzeyin bilinen bir denklemini veya onun determinantını veya taslağını kullanarak, bir yüzeyin iskeletini oluşturmak her zaman mümkündür.

Yüzeylerin çeşitliliği bunların sistemleştirilmesini gerektirir. Kinematik yöntemle oluşturulan yüzeyler için sistemleştirme onların belirleyicisine dayanır.

Generatrix türüne bağlı olarak yüzeyler iki sınıfa ayrılır:

sınıf 1 - kuralsız yüzeyler (jeneratör - eğri çizgi);

sınıf 2 - çizgili yüzeyler (jeneratör - düz çizgi).

Kuralsız yüzeyler

Kuralsız yüzeyler, değişken tipte bir generatrise sahip yüzeylere (hareket sırasında şeklini değiştiren) ve sabit tipte bir generatrise sahip yüzeylere ayrılır.

Değişken generatrix'e sahip kuralsız yüzeyler

Değişken tipte bir generatrise sahip doğrusal olmayan yüzeyler şunları içerir:

1. Genel yüzey . Böyle bir yüzey, değişken tipte bir generatrisin kavisli bir kılavuz t boyunca hareket ettirilmesiyle oluşturulur (Şekil 98).

2. Kanal yüzeyi . Bu yüzey, düzlemi uzayda belirli bir şekilde yönlendirilmiş düz bir kapalı çizginin hareketiyle oluşturulur (Şekil 99).

Generatrix tarafından sınırlanan alan, kılavuz boyunca hareket ettikçe monoton bir şekilde değişir. Örneğin bir kanal yüzeyi, farklı şekillerdeki iki boru hattını birbirine bağlayan bir geçiş bölümüne sahiptir.

3. Döngüsel yüzey - genatrix, yarıçapı monoton olarak değişen bir daire olduğunda, kanal yüzeyinin özel bir durumu (Şekil 100).

Döngüsel bir yüzeye örnek olarak nefesli bir müzik aletinin gövdesi verilebilir.

Sabit bir genetik yapıya sahip kuralsız yüzeyler

Sabit bir genetik yapıya sahip doğrusal olmayan yüzeyler şunları içerir:

1.Genel yüzey . Böyle bir yüzey keyfi bir eğri çizginin hareketiyle oluşturulabilir A rehber boyunca M(Şekil 101).

2. Boru şeklindeki yüzey . Boru şeklindeki yüzeyin genel yapısı sabit yarıçaplı bir dairedir. Hareketi sırasında dairenin düzlemi kılavuza dik kalır (Şek. 102).

Boru şeklindeki yüzeye bir örnek, dairesel bir telin yüzeyi olabilir.

Kurallı yüzeyler

Kurallı yüzeyler, belirli bir yasaya göre düz bir çizginin (jeneratörün) hareketi ile oluşur. Generatrix'in hareket yasasına bağlı olarak çeşitli çizgili yüzeyler elde ederiz.

Üç kılavuzlu çizgili yüzeyler

Üç kılavuzlu çizgili yüzeyler şunları içerir:

1. Eğik bir silindirin yüzeyi . Böyle bir yüzey, doğrusal bir generatrisin üç kavisli kılavuz boyunca hareket etmesiyle oluşturulabilir (Şekil 103).

2. Çift eğik bir silindirik yüzey . Bu yüzey iki kılavuz eğri ve üçüncüsü düz bir çizgi olduğunda oluşur (Şekil 104).

3. Çift eğik bir konoidin yüzeyi Kılavuzlardan biri kavisli, diğer ikisi ise düz çizgiler olduğunda ortaya çıkıyor (Şek. 105).

4.Tek yapraklı bir hiperboloidin yüzeyi kılavuzlar bir düzleme paralel kesişen üç düz çizgi olduğunda oluşturulur. Örnek. Noktaların eksik projeksiyonlarını bulun A" Ve İÇİNDE" tek yapraklı bir hiperboloitin yüzeyine aittir (Şekil 106).

P e r e n t. Bir noktanın eksik izdüşümünü belirlemek için onun bir yüzeye ait olduğu işaretini kullanırız: nokta yüzeye aittir; bu yüzeyin herhangi bir çizgisine aitse.

Belirli bir çizgili yüzey için, generatrix'in projeksiyonlarını oluştururken, önce yatay projeksiyonu belirlenir ve daha sonra ön kısım bulunur. Bu nedenle, noktanın bilinen yatay izdüşümü yoluyla A" generatrix'in projeksiyonunu gerçekleştiriyoruz bir" 2, ön projeksiyonunu belirliyoruz 2", üzerinde iletişim hattı boyunca noktanın istenen ön projeksiyonunu buluyoruz A".

Bir noktanın eksik yatay izdüşümünü belirlemek için İÇİNDE" Aşağıdaki yapıları gerçekleştirelim:

1. Belirli bir yüzeyin bir dizi jeneratörünü oluşturun bir 1, bir 2, bir 3, bir 4.

2. Bir noktanın bilinen bir projeksiyonu yoluyla projeksiyonların ön düzleminde İÇİNDE" yardımcı çizginin bir izdüşümünü çizelim B" Belirli bir yüzeye ait olan ve jeneratörlerle kesişen.

3. Çizgi projeksiyonunun kesişme noktalarının bilinen ön projeksiyonlarına dayanarak B" jeneratörlerle a 1", a 2", a 3", a 4" Bu noktaların yatay izdüşümlerini bulalım. Bunları düzgün bir çizgiyle bağlayarak yardımcı hattın yatay bir çıkıntısını oluşturacağız. B"üzerinde iletişim hattı boyunca noktanın istenen projeksiyonunu buluyoruz İÇİNDE".

Üç kılavuzlu çizgili yüzeyler örneğin gemi pervanelerinin ve uçak pervanelerinin yüzeylerini içerir. Mimarlık ve inşaat alanında stadyumlar, marketler ve tren istasyonları için iç mekan binalarının yapımında kullanılırlar.

İki kılavuzlu ve paralellik düzlemli çizgili yüzeyler (Katalan yüzeyleri)

İki paralel düzlem kılavuzuna sahip çizgili yüzeyler şunları içerir:

1. Düz bir silindirin yüzeyi . Böyle bir yüzey, doğrusal bir generatrisin iki kılavuz boyunca hareket etmesiyle oluşturulabilir. M Ve N bunların düzgün kavisli çizgiler olması ve bunlardan birinin düzlemi düz bir eğri olması durumunda β paralellik düzlemine dik a (n ⊂ β, β ⊥ a)(Şekil 107).

2. Düz bir konoidin yüzeyi . Bu yüzey, bir kılavuz eğri bir çizgi, ikincisi düz bir çizgi olduğunda ve paralellik düzlemine dik olduğunda elde edilir.

a(n ⊥ a)(Şekil 108). Düz bir konoidin yüzeyi, hidrolik mühendisliğinde köprü ayaklarının dayanaklarının yüzeyini oluşturmak için kullanılır.

3. . Böyle bir yüzey, iki kılavuz düz çizgileri geçtiğinde oluşur (Şekil 109). Eğik bir düzlemin yüzeyi, mühendislik ve inşaat uygulamalarında, eğimlerin, setlerin, demiryollarının ve otoyolların, setlerin, farklı eğim açılarına sahip bağlantı noktalarındaki hidrolik yapıların yüzeylerini oluşturmak için kullanılır.

Tek kılavuzlu (torsi) çizgili yüzeyler

Gövdeler geliştirilebilir yüzeylerdir; kıvrım veya yırtık olmadan bir düzlemle birleştirilebilirler. Gövde yüzeyleri şunları içerir:

1. Dönüş kaburga yüzeyi . Bu yüzey, doruk adı verilen uzaysal eğriye teğet olan tüm pozisyonlarda doğrusal bir generatriksin hareketi ile oluşturulur.

2. Silindirik yüzey . Bu yüzey, kavisli bir kılavuz boyunca kayan ve orijinal durumuna paralel kalan doğrusal bir generatrisin hareketi ile oluşturulur (Şekil 110).

3. Konik yüzey . Bu yüzey, kavisli bir kılavuz boyunca kayan ve tüm konumlarında aynı sabit noktadan geçen doğrusal bir generatrix'in hareketi ile oluşturulur. S(Şek. 111).

Devrimin yüzeyleri

Dönen yüzey, herhangi bir üretici çizginin sabit bir düz çizgi (yüzeyin dönme ekseni) etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir yüzeydir..

Dönme eksenine dik düzlemler, yüzeyi daireler - paraleller boyunca keser. En küçük paralele boğaz, en büyüğü ise ekvator denir.

Pa şekil. 112 devrimin yüzeyini gösteriyor. Burada jeneratör düz bir eğridir ABCD, dönme ekseni Ben bu eğri ile aynı düzlemde yer almaktadır.

Dönme ekseninden geçen düzlemlerin yüzeyle kesiştiği çizgilere meridyen denir. Her meridyen, yarım meridyen adı verilen, dönme eksenine göre simetrik iki çizgiye bölünmüştür. Ön projeksiyon düzlemine paralel bir düzlemde bulunan meridyene ana meridyen denir.

Devrim yüzeyinin temel özellikleri:

1. Bir yüzeydeki iki nokta arasındaki meridyen segmenti, bu noktalar arasındaki en kısa mesafedir.

2. Tüm meridyenler birbirine eşittir.

3. Dönme yüzeyinin paralellerinden her biri meridyenleri dik açıyla keser.

4. Dönme yüzeyinin normallerinden herhangi biri, yüzeyin dönme ekseniyle kesişir.

Bir çizimdeki dönüş yüzeylerini, karakteristik çizgilerinin ve noktalarının ana hatları ve izdüşümleri ile tanımlamak uygundur. Dönme yüzeyinin ön taslağı ana meridyenin ön izdüşümüdür ve yatay taslak ekvatorun yatay izdüşümüdür.

Devrimin ana yüzey türlerini ele alalım:

1. Dönme silindiri . Bu yüzey, dönme eksenine paralel bir düz çizginin döndürülmesiyle elde edilebilir. Ben(Şek. 113).

2. Dönme konisi . Bir dönme konisinin yüzeyi, dönme eksenini kesen bir doğrunun döndürülmesiyle elde edilebilir. Ben(Şekil 114).

3. Küre . Bir kürenin türevi, merkezi bir daire olan bir dairedir. HAKKINDA dönme ekseninde bulunur Ben(Şek. 115).

4. Üst. Bir torusun generatrisi bir daire veya onun yayıdır. Dönme ekseni Ben bu dairenin düzleminde yer alır ancak merkezinden geçmez (Şekil 116, 117).

Açık torus (dairesel halka) (Şekil 116, 117, a), kapalı (Şekil 117, b), kendi kendine kesişen (Şekil 117, c, d) vardır.

Açık (Şekil 116,117,a) ve kapalı bir torusun (Şekil 117,6) genel yapısı bir dairedir, kendi kendine kesişen bir simit için (Şekil 117, c, d) bir daire yayı.

5. Dönme paraboloidi . Böyle bir yüzey, bir parabolün kendi ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulur (Şekil 118). Paraboloidin yüzeyi parabolik antenlerde ve reflektör aynalarda kullanılır.

6. Dönme hiperboloidi . Bu yüzey bir hiperbolün bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşturulur. Ayırt etmek çift ​​boşluk Ve devrimin tek sayfalık hiperboloidi. İki yapraklı bir hiperboloid devrimi için, dönme ekseni hiperbolün gerçek eksenidir (Şekil 119),

tek yapraklı bir hiperboloit için (Şekil 120) - hayali ekseni. Generatrix ve dönme ekseni düz çizgilerle kesişiyorsa, tek sayfalık bir devrim hiperboloidi düz bir çizginin döndürülmesiyle de oluşturulabilir.

Dönme yüzeyindeki bir noktanın konumu, dönme yüzeyinde bu noktadan geçen bir daire kullanılarak belirlenir (bkz. Şekil 114-116). Dönen regüleli yüzeyler (silindir, koni) durumunda, bu amaç için doğrusal genatrilerin kullanılması mümkündür (bkz. Şekil 113,114).

Helisel kurallı yüzeyler

Helisel çizgili yüzeye yüzey denir. düz bir çizginin vida hareketi ile oluşur.

Generatrix'in sarmal hareketi AB bir eksen etrafında dönmesiyle karakterize edilir Ben ve bu eksene paralel eşzamanlı öteleme hareketi (Şekil 121). Generatrix'in hareket yasası, sarmalın tipine (yönünü, çapına ve eğimine) ve generatrix'in kılavuz boyunca hareketinin doğasına göre belirlenir.

Uygulamada, kılavuz çizgisinin sabit bir eğime sahip helisel çizgili yüzeylerle sıklıkla karşılaşılmaktadır. Bu tür sarmal yüzeylere helikoid denir.

Generatrisin dönme eksenine eğim açısı 90 ° ise, helikoid sağa denir; eğer bu açı keyfi ise, 0 ve 90 ° 'den farklıysa, o zaman helikoid eğik (eğik) olarak adlandırılır. Düz ve eğik helikoidler açık veya kapalı olabilir. Açık bir helikoid için, generatriks ve dönme ekseni düz çizgilerle kesişirken, kapalı bir helikoid için kesişen düz çizgiler vardır. İncirde. 121 düz kapalı bir sarmaldan oluşan bir çerçeve inşa edildi.

Helisel yüzeyler teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır. Vidalar, yaylar, matkaplar, dökme malzemeleri taşımak için helezonlar, spiral merdivenler; bunların hepsi sarmal yüzeylere sahiptir.

Pirinç. 3.15

Dönme yüzeyleri teknolojinin her alanında çok geniş bir uygulamaya sahiptir. Dönme yüzeyi, belirli bir üretim hattının dönmesinden kaynaklanan bir yüzeydir. 1 sabit bir hat etrafında Ben- yüzeyin dönme ekseni (Şekil 3.15). Çizimde dönme yüzeyi ana hatlarıyla belirtilir. Bir yüzeyin ana hatları, çıkıntılarının alanlarını sınırlayan çizgilerdir. Dönme sırasında, generatrisin her noktası, düzlemi eksene dik olan bir daireyi tanımlar. Buna göre dönme yüzeyinin eksene dik bir düzlemle kesişme çizgisi bir dairedir. Bu tür dairelere paraleller denir (Şekil 3.15). En büyük yarıçapın paraleline ekvator, en küçüğüne ise boğaz denir. Dönme yüzeyinin ekseninden geçen düzleme meridyen, dönme yüzeyi ile kesiştiği çizgiye meridyen denir. Projeksiyon düzlemine paralel bir düzlemde yer alan meridyene ana meridyen denir. Çizim pratiğinde en sık aşağıdaki dönme yüzeyleriyle karşılaşılır: silindirik, konik, küresel, torus.

Pirinç. 3.16

Silindirik dönme yüzeyi. Rehber olarak A bir daire almalı ve düz bir çizgi olarak B- eksen Ben(Şekil 3.16). Daha sonra jeneratörün ben, eksene paralel Ben, ikincisinin etrafında döner. Dönme ekseni projeksiyonların yatay düzlemine dik ise, o zaman P 1 silindirik yüzey bir daire şeklinde yansıtılır ve üzerine P 3 - bir dikdörtgene. Silindirik bir yüzeyin ana meridyeni iki paralel çizgidir.

Şekil 3.17

Konik dönme yüzeyi doğrusal generatrisi döndürerek elde ederiz ben eksen etrafında Ben. Bu durumda generatrix ben ekseni geçiyor Ben noktada S, koninin tepesi olarak adlandırılır (Şekil 3.17). Konik bir yüzeyin ana meridyeni kesişen iki düz çizgidir. Jeneratör olarak düz bir çizgi parçasını alırsak ve koninin ekseni dik ise P 1, sonra P 1 konik yüzey bir daire şeklinde yansıtılır ve üzerine P 2 - bir üçgene.

Küresel yüzey dairenin merkezinden geçen ve kendi düzleminde yer alan bir eksen etrafında dairenin dönmesi nedeniyle oluşur (Şekil 3.18). Küresel bir yüzeyin ekvator ve meridyenleri eşit dairelerdir. Bu nedenle, herhangi bir düzleme dik olarak izdüşümü yapıldığında, küresel yüzey daireler halinde izdüşümü yapılır.

Pirinç. 3.18 Bir daire, bu dairenin düzleminde yer alan ancak merkezinden geçmeyen bir eksen etrafında döndüğünde simit adı verilen bir yüzey oluşur (Şekil 3.19).

Pirinç. 3.19

11. BİR YÜZEYİN DOĞRUSUNA AİT KONUM SORUNLARI. Konumsal altındaçözümü, bir elemanın (nokta) mı yoksa alt kümenin mi (çizginin) bir kümeye (yüzeye) ait olduğu konusunda cevap elde etmemizi sağlayan problemleri ifade eder. Konumsal görevler aynı zamanda çeşitli geometrik şekillere ait ortak elemanların belirlenmesine yönelik görevleri de içerir. Birinci grup sorunları üyelik sorunu genel adı altında birleştirmek mümkündür. Bunlar özellikle şunları belirlemeye yönelik görevleri içerir: 1) bir noktanın bir çizgiye ait olup olmadığı; 2) bir noktanın bir yüzeye ait olup olmadığı; 3) bir çizginin bir yüzeye ait olup olmadığı. Bu grup aynı zamanda üç tür problem içerir: 1) bir çizginin bir çizgiyle kesişmesiyle ilgili; 2) bir yüzeyin bir yüzeyle kesişmesiyle ilgili; 3) bir çizginin bir yüzeyle kesişmesiyle ilgili; Bir noktanın bir yüzeye ait olması . Bu aksesuar seçeneğiyle ilgili sorunları çözerken ana nokta şudur: : Bir nokta bu yüzeyin herhangi bir çizgisine aitse bu yüzeye de aittir. Bu durumda, böyle bir çizginin çıkıntılarını oluşturmayı kolaylaştırmak için çizgiler mümkün olduğunca basit seçilmeli, daha sonra yüzeyde yatan bir noktanın çıkıntılarının bu çizginin aynı çıkıntılarına ait olması gerektiği gerçeğinden yararlanılmalıdır. yüzey . Bu soruna örnek bir çözüm şekilde gösterilmiştir.. Konik yüzeye ait iki basit çizgi çizilebildiği için burada iki çözüm vardır. İlk durumda, düz bir çizgi çizilir - S1 konik yüzeyinin genel matrisi, böylece C noktasının herhangi bir belirli izdüşümünden geçer. Böylece C noktasının S1 konik yüzeyinin genel matrisine ve dolayısıyla konik yüzeyin kendisi. Bu durumda, C noktasının aynı adı taşıyan çıkıntıları, bu generatrix'in karşılık gelen çıkıntıları üzerinde yer almalıdır. Bir başka en basit çizgi, 1-2 çapında bir dairedir (bu dairenin yarıçapı, koninin ekseninden ölçülür). anahat generatrix'e). Bu gerçek bir okul geometri dersinden bilinmektedir: Dairesel bir koni, tabanına paralel veya eksenine dik bir düzlemle kesiştiğinde, kesitte bir daire elde edilecektir. İkinci çözüm yöntemi, üçüncü bir çıkıntı oluşturmadan, koninin yüzeyine ait olan ve çizimde koninin dönme ekseni ile çakışan, önden projeksiyonu ile belirtilen C noktasının eksik projeksiyonunu bulmanızı sağlar. Bir koninin yüzeyinde bulunan bir noktanın görünür mü yoksa görünmez mi olduğunu her zaman aklınızda bulundurmalısınız (eğer görünmüyorsa, noktanın karşılık gelen izdüşümü parantez içine alınacaktır). Sorunumuzda C noktasının yüzeye ait olduğu açıktır, çünkü noktanın izdüşümleri hem birinci hem de ikinci çözüm yöntemlerinde çözüm için kullanılan aynı isimli çizgilerin izdüşümlerine aittir. Bir yüzey çizgisine ait. Ana nokta: Doğrunun tüm noktaları belirli bir yüzeye aitse, çizgi o yüzeye aittir. Bu, üyelik durumunda bir noktanın bir yüzeye ait olup olmadığı probleminin birkaç kez çözülmesi gerektiği anlamına gelir. Torema Monge: eğer iki ikinci dereceden yüzey üçte biri civarında tanımlanmışsa veya içine yazılmışsa, bunların kesişme çizgisi iki ikinci dereceden eğriye bölünür; bunların düzlemleri, teğet dairenin kesişme noktalarını birleştiren düz çizgiden geçer.

12. PROJEKSİYON DÜZLEMLERİNE GÖRE DÖNME KONİSİNİN BÖLÜMLERİ . Yüzeyleri geçerken gövdeleri çıkıntılı düzlemlerle çizerken, bölümün bir izdüşümü çıkıntılı düzlemin izdüşümüne denk gelir. Bir koninin beş farklı kesit şekli olabilir. Üçgen- kesme düzlemi koniyi iki jeneratör boyunca tepe noktasından geçiyorsa. Daire- düzlem koniyi tabana paralel (eksene dik) kesiyorsa. Elips- eğer düzlem tüm genatrileri belirli bir açıda kesiyorsa. Parabol- eğer düzlem koninin cinslerinden birine paralel ise. Abartı- Düzlem koninin eksenine veya iki generatrisine paralel ise. Bir yüzeyin düzlemle kesiti tüm noktaları hem kesme düzlemine hem de yüzeye ait olan kapalı bir çizgiyle sınırlanmış düz bir şekildir. Bir düzlem bir çokyüzlüyü kesit olarak kestiğinde, köşeleri çokyüzlünün kenarlarında bulunan bir çokgen elde edilir. Örnek. Bir dik dairesel koni ω yüzeyinin β düzlemi ile kesiştiği L çizgisinin izdüşümlerini oluşturun. Çözüm. Bu bölüm, tepe noktası A (A′, A′′) noktasına yansıtılan bir parabol üretir. Kesişme çizgisinin A, D, E noktaları uç noktalardır. İncirde. İstenilen kesişme çizgisinin inşası, koninin yüzeyini pi paralelleri boyunca kesen αi seviyesinin yatay düzlemleri ve önden çıkıntı yapan düz çizgilerin bölümleri boyunca β düzlemi kullanılarak gerçekleştirilir. Kesişme çizgisi L düzlemlerde tamamen görülebilir.

№13.Koaksiyel yüzeyler. Eşmerkezli küreler yöntemi.

Yüzeylerin bir kesişme çizgisi inşa edilirken, eş eksenli dönme yüzeylerinin kesişme özellikleri, bu yüzeylerle eş eksenli kürelerin yardımcı ara yüzeyler olarak kullanılmasına izin verir. Koaksiyel dönme yüzeyleri, ortak bir dönme eksenine sahip yüzeyleri içerir. İncirde. Şekil 134, bir eş eksenli silindir ve küreyi (Şekil 134, a), bir eş eksenli koni ve küreyi (Şekil 134, b) ve bir eş eksenli silindir ve koniyi (Şekil 134, c) göstermektedir.

Koaksiyel dönme yüzeyleri her zaman düzlemleri dönme eksenine dik olan daireler boyunca kesişir. Yüzeylerin ana hat çizgilerinin kesişme noktaları olduğu kadar, her iki yüzey için de ortak olan bu dairelerin sayısı vardır. Şekil 2'deki yüzeyler 134, ana meridyenlerinin kesişimindeki 1 ve 2 noktalarının oluşturduğu daireler boyunca kesişir. Yardımcı bir ara küre, verilen yüzeylerin her birini, kesişme noktasında diğer yüzeye ve dolayısıyla kesişme çizgisine ait noktaların elde edildiği bir daire boyunca keser. Yüzeylerin eksenleri kesişirse, yardımcı küreler bir merkezden - eksenlerin kesişme noktasından - çizilir. Bu durumda yüzeylerin kesişme çizgisi yardımcı eşmerkezli küreler yöntemi kullanılarak oluşturulur. Yardımcı eşmerkezli küreler yöntemini kullanmak için yüzeylerin kesişme hattını oluştururken, aşağıdaki koşulların karşılanması gerekir: 1) dönüş yüzeylerinin kesişimi 2) yüzeylerin eksenleri - kesişen düz çizgiler - bunlardan birine paraleldir; projeksiyon düzlemleri, yani ortak bir simetri düzlemi vardır; 3) yüzeyler üzerinde grafiksel olarak basit çizgiler sağlamadıkları için yöntem yardımcı kesme düzlemleri kullanılamaz. Tipik olarak yardımcı küre yöntemi, yardımcı kesme düzlemi yöntemiyle birlikte kullanılır. İncirde. 135, F (Ф1) seviyesinin ön düzleminde kesişen dönme eksenleri ile iki konik dönme yüzeyinin kesişme çizgisi inşa edilmiştir. Bu, bu yüzeylerin ana meridyenlerinin kesiştiği ve kesişme noktalarında P2 düzlemine veya en yüksek A ve en alçak B noktalarına göre kesişme çizgisinin görünürlük noktasını verdiği anlamına gelir. Yatay meridyen h ile paralel h"nin kesiştiği noktada, bir yardımcı kesme düzlemi Г(Г2) içinde yer alır, kesişme çizgisinin P1 düzlemine göre görünürlük noktaları C ve D belirlenir. Yardımcı kesmenin kullanılması uygun değildir. F'ye paralel düzlemler hiperboller boyunca her iki yüzeyi keseceğinden ve Г'ye paralel düzlemler yüzeylerin kesişiminde daireler ve hiperboller üreteceğinden, kesişim çizgisinin ek noktalarını oluşturmak için düzlemler kullanılır. Birinin tepe noktası boyunca çizilen yardımcı yatay veya önden çıkıntılı düzlemler. Yüzeylerin eksenleri, kesişme çizgisinin noktalarını oluşturmak için yardımcı kürelerin kullanılmasına izin veren genel çizgiler ve elipsler boyunca kesişecektir. Dönen yüzeylerin eksenleri, yardımcı kürenin merkezi olan O (O1; O2) noktasında kesişir. küreler, kürenin yarıçapı Rmin dahilinde değişir.< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); E2E1 || A2A1; E2E1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 R yarıçaplı bir ara küre, h4 ve h5 daireleri boyunca yüzeylerle kesişir; bunların kesişme noktasında Mie noktaları N bulunur: h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || A2A1, M2M1 ^ h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 Oluşturulan noktaların izdüşümlerini aynı adla birleştirerek görünürlüklerini dikkate alarak yüzeylerin kesişme çizgisinin izdüşümlerini elde ederiz.

14 numara. en az biri çıkıntı yapıyorsa yüzeylerin kesişme çizgisinin oluşturulması. Kesişme çizgisinin karakteristik noktaları.

Yüzeylerin kesişme çizgisini oluşturmaya başlamadan önce problemin koşullarını dikkatlice incelemek gerekir; hangi yüzeylerin kesiştiği. Yüzeylerden biri çıkıntı yapıyorsa sorunun çözümü basitleşir çünkü çıkıntılardan birinde kesişme çizgisi yüzey çıkıntısıyla çakışır. Ve görev ikinci projeksiyon çizgisini bulmaya geliyor. Bir problemi çözerken öncelikle “karakteristik” noktalara ya da “özel” noktalara dikkat etmelisiniz. Bu:

· Ekstrem jeneratörlere ilişkin noktalar

· Bir çizgiyi görünen ve görünmeyen kısımlara bölen noktalar

· Üst ve alt noktalar vb. Daha sonra, yüzeylerin kesişim çizgisini oluştururken kullanacağımız yöntemi akıllıca seçmelisiniz. İki yöntem kullanacağız: 1. Yardımcı kesme düzlemleri. 2. yardımcı sekant küreler. Projeksiyon yüzeyleri şunları içerir: 1) ekseni projeksiyon düzlemine dik ise bir silindir; 2) prizmanın kenarları projeksiyon düzlemine dik ise prizma. Projeksiyon yüzeyi, projeksiyon düzlemi üzerine bir çizgi halinde yansıtılır. Çıkıntılı silindirin veya çıkıntılı prizmanın yan yüzeyine ait tüm noktalar ve çizgiler, silindirin ekseninin veya prizmanın kenarının dik olduğu düzlem üzerine bir çizgi halinde yansıtılır. Yüzeylerin kesişim çizgisi aynı anda her iki yüzeye de aittir ve eğer bu yüzeylerden biri çıkıntı yapıyorsa, kesişim çizgisini oluşturmak için aşağıdaki kural kullanılabilir: eğer kesişen yüzeylerden biri çıkıntı yapıyorsa, kesişim çizgisinin bir çıkıntısı çizimde bitmiş formdadır ve çıkıntı yapan yüzeyin (silindirin yansıtıldığı daire veya prizmanın yansıtıldığı çokgen) izdüşümüne denk gelir. Kesişme çizgisinin ikinci izdüşümü, bu doğrunun noktalarının çıkıntı yapmayan başka bir yüzeye ait olması şartına göre oluşturulur.

Karakteristik noktaların dikkate alınan özellikleri, keyfi olarak seçilen noktalar kullanılarak oluşturulmuşsa, yüzeylerin kesişme çizgisinin yapımının doğruluğunu kontrol etmeyi kolaylaştırır. Bu durumda kesişim çizgisinin düzgün izdüşümlerini çizmek için on nokta yeterlidir. Gerektiğinde herhangi bir sayıda ara nokta oluşturulabilir. İnşa edilen noktalar, konumlarının ve görünürlüklerinin özellikleri dikkate alınarak düzgün bir çizgiyle birbirine bağlanır. Yüzeylerin kesişme çizgisini oluşturmak için genel bir kural formüle edelim: yardımcı yüzeylerin tipini seçin; yardımcı yüzeylerin belirli yüzeylerle kesişme çizgilerini oluşturmak; Oluşturulan çizgilerin kesişme noktalarını bulun ve bunları birbirine bağlayın. Yardımcı kesme düzlemlerini, verilen yüzeylerle kesişme noktasında geometrik olarak basit çizgiler (düz çizgiler veya daireler) elde edilecek şekilde seçiyoruz. Yardımcı kesme düzlemlerinin seçilmesi. Çoğunlukla projeksiyon düzlemleri, özellikle de seviye düzlemleri yardımcı kesme düzlemleri olarak seçilir. Bu durumda yüzeyin bir düzlemle kesişmesi sonucu yüzeyde elde edilen kesişim çizgilerinin dikkate alınması gerekir. Yani koni, üzerinde elde edilen çizgi sayısı bakımından en karmaşık yüzeydir. Yalnızca koninin tepe noktasından geçen veya koninin eksenine dik olan düzlemler onu sırasıyla düz bir çizgide ve bir dairede (geometrik olarak en basit çizgiler) keser. Bir generatrice'e paralel uzanan bir düzlem onu ​​bir parabol boyunca keser, koninin eksenine paralel bir düzlem onu ​​bir hiperbol boyunca keser ve tüm generatrisleri kesen ve koninin eksenine eğimli bir düzlem onu ​​bir elips boyunca keser. Bir küre üzerinde, onu bir düzlemle keserken her zaman bir daire elde edilir ve onu düz bir düzlemle keserse, bu daire projeksiyon düzlemine sırasıyla düz bir çizgi ve bir daire şeklinde yansıtılır. Bu nedenle, yardımcı düzlemler olarak hem koniyi hem de küreyi daireler halinde kesen yatay seviye düzlemlerini seçiyoruz (en basit çizgiler). Yüzey kesişmelerinin bazı özel durumları Bazı durumlarda kavisli yüzeylerin konumu, şekli veya boyut oranları öyledir ki, bunların kesişim çizgisini tasvir etmek için hiçbir karmaşık yapıya gerek yoktur. Bunlar arasında paralel genatrisli silindirlerin kesişimi, ortak bir tepe noktası olan koniler, eş eksenli dönüş yüzeyleri, bir küre etrafında açıklanan dönüş yüzeyleri bulunur.

Denemeler

Kavisli kenarları olan bir nesneyi yansıtmayı belirlerken, projeksiyon nesnesinin bir dizi noktasını, kenarlarını ve yüzlerini tanımlamanın yanı sıra, kavisli kenarları için bir dizi anahat tanımlamak da gereklidir.

Kavisli bir yüzeyin ana hatları, o kavisli yüzey üzerindeki, yüzeyi görünmeyen kısımlara ve projeksiyon düzleminde görülebilen kısımlara bölen çizgilerdir. Bu durumda, yalnızca söz konusu kavisli yüzeyin izdüşümünden bahsediyoruz ve bu yüzeyin diğer ön plan yüzeyleri tarafından olası gölgelenmesi dikkate alınmıyor.

Eğri bir yüzeyin ana hatlara bölündüğü parçalara denir. bölmeler.

Eğrisel yüzlerin ana hatlarının konumu projeksiyon parametreleri tarafından belirlenir, dolayısıyla ana hatların görünüm koordinat sistemine geçiş tamamlandıktan sonra belirlenmesi gerekir.

Genel durumda kavisli bir yüzeyin ana hatlarını belirlemek nispeten zor bir iştir. Bu nedenle, kural olarak, belirli bir kavisli yüzeye, aşağıdakileri içeren tipik kavisli yüzeylerden biri kullanılarak yaklaşılır:

Silindirik yüzey;

Küresel yüzey;

Konik yüzey.

Bu tür kavisli yüzeylerin ana hatlarını bulmayı düşünelim.

Bulma küresel bir yüzeyin çizimleriŞekil 2'de gösterilmiştir. 6.6‑7.

Şekilde aşağıdaki tanımlamalar kullanılmıştır:

O - kürenin merkezi;

O p – kürenin merkezinin izdüşümü;

GM – belirli bir kürenin ana meridyeni;

Pl1, projeksiyon düzlemine paralel olarak kürenin merkezinden geçen bir düzlemdir;

X in , Y in , Z in – görünüm koordinat sisteminin koordinat eksenleri;

X p , Y p – projeksiyon düzlemindeki koordinat eksenleri.

Bir kürenin yüzeyindeki bir özelliği bulmak için, kürenin merkezinden geçen, projeksiyon düzlemine paralel bir düzlem çizmek gerekir (Şekil 6.6-7'de pl1). Bu yüzey ile daire şeklindeki kürenin kesişim çizgisine küresel yüzeyin ana meridyeni (PM) adı verilir. Bu ana meridyen arzu edilen taslaktır.

Bu makalenin izdüşümü aynı yarıçapa sahip bir daire olacaktır. Bu dairenin merkezi, orijinal kürenin merkezinin projeksiyon düzlemine izdüşümüdür (Şekil 6.7-1'de O p).

Pirinç.6.7 ‑ 1

Belirlemek için silindirik bir yüzeyin ana hatları, belirli bir o 1 o 2 silindirinin ekseni boyunca (Şekil 6.7‑2), projeksiyon düzlemine dik bir Pl1 düzlemi çizilir. Daha sonra Pl2 düzlemi silindir ekseni boyunca Pl1 düzlemine dik olarak çizilir. Silindirik yüzeyle kesişme noktaları, silindirik yüzeyin ana hatları olan 1 ve 2 ve 3 ve 4 numaralı iki düz çizgiyi oluşturur. Bu çizimlerin izdüşümü, Şekil 2'de gösterilen o h 1p och 2p ve o h 3po h 4p düz çizgileridir. 6.7‑2.

Makalelerin oluşturulması konik yüzeyŞekil 2'de gösterilmiştir. 6.7‑3.

Şekilde aşağıdaki tanımlamalar kullanılmıştır:

O - koninin tepe noktası;

OO 1 - koni ekseni;

X in , Y in , Z in – tür koordinat sistemi;

PP – projeksiyon düzlemi;

X p , Y p , – projeksiyon düzleminin koordinat sistemi;

Lp – projeksiyon çizgileri;

O 1 - bir koninin içine yazılmış bir kürenin merkezi;

O 2 - O 1 noktasında bir merkeze ve orijinal konik yüzeye sahip yazılı kürenin teğet çemberi;

O ch 1, O ch 1 – konik yüzeyin ana hatlarında yer alan noktalar;

O ch 1p, O ch 1p - konik yüzeyin konturlarının çıkıntılarına karşılık gelen çizgilerin geçtiği noktalar.

Konik yüzeyin düz çizgiler şeklinde iki taslağı vardır. Bu çizgilerin O koni noktasının köşelerinden geçtiği açıktır. Taslağı net bir şekilde tanımlamak için, bu nedenle her taslak için bir nokta bulmak gerekir.

Konik bir yüzeyin ana hatlarını oluşturmak için aşağıdaki adımları izleyin.

Belirli bir konik yüzeye (örneğin merkezi O1 noktasında olan) bir küre yazılır ve bu kürenin konik yüzeye teğeti belirlenir. Şekilde ele alınan durumda, teğet çizgisi, merkezi koninin ekseni üzerinde bulunan O2 noktasında olan bir daire şeklinde olacaktır.

Açıkçası, küresel yüzeyin tüm noktalarından ana hatlara ait noktalar yalnızca teğet daireye ait noktalar olabilir. Öte yandan bu noktaların yazılı kürenin başlangıç ​​meridyeninin çevresi üzerinde yer alması gerekir.

Bu nedenle gerekli noktalar, yazılı kürenin başlangıç ​​meridyeninin dairesi ile teğet dairenin kesişme noktaları olacaktır. Bu noktalar, teğet dairenin ve izdüşüm düzlemine paralel olarak yazılı O1 küresinin merkezinden geçen düzlemin kesişme noktaları olarak tanımlanabilir. Verilen şekildeki bu noktalar O ch 1 ve O ch 2'dir.

Eskizlerin projeksiyonlarını oluşturmak için, bulunan Och 1 ve Och 2 noktalarının projeksiyonları olan Och 1p ve Och 2p noktalarını bulmak yeterlidir. projeksiyon düzlemine ve bu noktaları ve koninin tepe noktasının izdüşümünün O p noktasını kullanarak, belirli bir konik yüzeyin ana hatlarının izdüşümlerine karşılık gelen iki düz çizgi oluşturun (bkz. Şekil 6.7-3).