Bir dörtgenin tanımı, bir dörtgenin iç açılarının toplamıdır. Dörtgenler

YAZILI VE DAİRESEL ÇOKGONLAR,

§ 106. YAZILAN VE AÇIKLANAN DÖRTGENLERİN ÖZELLİKLERİ.

Teorem 1. Döngüsel bir dörtgenin zıt açılarının toplamı 180°.

O merkezli bir dairenin içine ABCD dörtgeninin yazılmasına izin verin (Şekil 412). Bunu kanıtlamak gerekli / A+ / C = 180° ve / B + / D = 180°.

/ A, O dairesinde yazılı olduğu gibi, 1/2 BCD'yi ölçer.
/ Aynı daire içinde yazılı olan C, 1/2 KÖTÜ'yü ölçer.

Sonuç olarak, A ve C açılarının toplamı BCD ve BAD yaylarının yarı toplamı ile ölçülür; toplamda bu yaylar bir daire oluşturur, yani 360°'ye sahiptirler.
Buradan / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki / B + / D = 180°. Ancak bu başka bir şekilde de çıkarılabilir. Dışbükey bir dörtgenin iç açılarının toplamının 360° olduğunu biliyoruz. A ve C açılarının toplamı 180°'ye eşittir, yani dörtgenin diğer iki açısının toplamı da 180° kalır.

Teorem 2(tersi). Bir dörtgende karşılıklı iki açının toplamı eşitse 180° O zaman böyle bir dörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir.

ABCD dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamı 180° olsun.
/ A+ / C = 180° ve / B + / D = 180° (çizim 412).

Böyle bir dörtgenin etrafında bir dairenin tanımlanabileceğini kanıtlayalım.

Kanıt. Bu dörtgenin herhangi 3 köşesinden bir daire çizebilirsiniz, örneğin A, B ve C noktalarından geçen bir daire. D noktası nerede olacak?

D noktası şu üç konumdan yalnızca birini alabilir: Çemberin içinde olmak, Çemberin dışında olmak, Çemberin çevresinde olmak.

Tepe noktasının dairenin içinde olduğunu ve D" konumunu aldığını varsayalım (Şekil 413). O zaman ABCD" dörtgeninde şunu elde ederiz:

/ B + / D" = 2 D.

AD" kenarını E noktasındaki çemberle kesişme noktası ve E ile C noktalarını birleştiren döngüsel ABCE dörtgenini elde ederiz; burada doğrudan teoremi ile

/ B+ / E = 2 D.

Bu iki eşitlikten şu sonuç çıkar:

/ D" = 2 D - / B;
/ e=2 D - / B;

/ D" = / E,

ama bu olamaz çünkü / CD"E üçgenine göre dışta olan D", E açısından büyük olmalıdır. Bu nedenle D noktası dairenin içinde olamaz.

Ayrıca D tepe noktasının dairenin dışında D" konumunu alamayacağı da kanıtlanmıştır (Şekil 414).

Geriye, D tepe noktasının dairenin çevresi üzerinde yer alması gerektiği, yani E noktasıyla çakışması gerektiği, bunun da ABCD dörtgeni etrafında bir dairenin tanımlanabileceği anlamına geldiği kabul edilmektedir.

Sonuçlar. 1. Herhangi bir dikdörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir.

2. Bir ikizkenar yamuğun etrafında bir daire tanımlanabilir.

Her iki durumda da zıt açıların toplamı 180°'dir.

Teorem 3. Sınırlandırılmış bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşittir. ABCD dörtgeninin bir daire etrafında tanımlanmasına izin verin (Şekil 415), yani onun AB, BC, CD ve DA kenarları bu daireye teğettir.

AB + CD = AD + BC'nin kanıtlanması gerekmektedir. Teğet noktalarını M, N, K, P harfleriyle gösterelim. Bir daireye bir noktadan çizilen teğetlerin özelliklerine dayanarak (§ 75), elimizde:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Bu eşitlikleri terim terim toplayalım. Şunu elde ederiz:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

yani AB + CD = AD + BC, bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Egzersizler.

1. Yazılı bir dörtgende karşılıklı iki açının oranı 3:5'tir.
diğer ikisi ise 4:5 oranındadır. Bu açıların büyüklüğünü belirleyiniz.

2. Tarif edilen dörtgende karşılıklı iki kenarın toplamı 45 cm'dir. Geriye kalan iki kenar oranı 0,2: 0,3'tür. Bu kenarların uzunluğunu bulun.

Çokgen kavramı

Tanım 1

Çokgençiftler halinde birbirine bağlanan bölümlerden oluşan bir düzlemdeki geometrik bir şekildir, bitişik olanlar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz.

Bu durumda segmentlere denir. çokgenin kenarları, ve onların uçları - çokgenin köşeleri.

Tanım 2

$n$-gon, $n$ köşeleri olan bir çokgendir.

Çokgen türleri

Tanım 3

Bir çokgen kenarlarından geçen herhangi bir doğrunun her zaman aynı tarafında yer alıyorsa bu çokgene denir. dışbükey(Şekil 1).

Şekil 1. Dışbükey çokgen

Tanım 4

Bir çokgen, kenarlarından geçen en az bir düz çizginin karşıt taraflarında yer alıyorsa, bu çokgene dışbükey olmayan denir (Şekil 2).

Şekil 2. Dışbükey olmayan çokgen

Bir çokgenin açılarının toplamı

Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin bir teorem sunalım.

Teorem 1

Dışbükey bir üçgenin açılarının toplamı aşağıdaki şekilde belirlenir

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Kanıt.

Bize $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ dışbükey çokgen verilsin. $A_1$ köşesini bu çokgenin diğer tüm köşelerine bağlayalım (Şekil 3).

Figür 3.

Bu bağlantıyla $n-2$ üçgeni elde ederiz. Açılarını toplayarak belirli bir -gon'un açılarının toplamını elde ederiz. Bir üçgenin açılarının toplamı $(180)^0,$'a eşit olduğundan, dışbükey bir üçgenin açılarının toplamının formülle belirlendiğini elde ederiz.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorem kanıtlandı.

Dörtgen kavramı

$2$ tanımını kullanarak dörtgen tanımını tanıtmak kolaydır.

Tanım 5

Dörtgen, köşeleri $4$ olan bir çokgendir (Şekil 4).

Şekil 4. Dörtgen

Bir dörtgen için, dışbükey dörtgen ve dışbükey olmayan dörtgen kavramları benzer şekilde tanımlanır. Dışbükey dörtgenlerin klasik örnekleri kare, dikdörtgen, yamuk, eşkenar dörtgen, paralelkenardır (Şekil 5).

Şekil 5. Dışbükey dörtgenler

Teorem 2

Dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı $(360)^0$'dır

Kanıt.

$1$ Teoreminden, bir dışbükey -gon'un açılarının toplamının aşağıdaki formülle belirlendiğini biliyoruz:

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Bu nedenle, dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı şuna eşittir:

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorem kanıtlandı.

Okul dersindeki en ilginç geometri konularından biri “Dörtgenler” (8. sınıf). Bu tür figürlerin ne türleri var, hangi özel özelliklere sahipler? Doksan derecelik açılara sahip dörtgenlerin benzersiz yanı nedir? Her şeyi çözelim.

Hangi geometrik şekle dörtgen denir?

Dört kenardan ve buna bağlı olarak dört köşeden (açıdan) oluşan çokgenlere Öklid geometrisinde dörtgenler denir.

Bu tür bir figürün adının tarihi ilginçtir. Rus dilinde “dörtgen” ismi “dört köşe” ifadesinden oluşur (tıpkı “üçgen” - üç köşe, “beşgen” - beş köşe vb. gibi).

Ancak Latince'de (dünyanın çoğu diline birçok geometrik terimin geldiği) buna dörtgen denir. Bu kelime quadri (dört) rakamı ile latus (yan) isminden oluşmuştur. Buradan eskilerin bu çokgeni "dörtgen"den başka bir şey olarak adlandırmadığı sonucuna varabiliriz.

Bu arada, bu isim (bu tür figürlerde köşelerden ziyade dört tarafın varlığına vurgu yapılarak) bazı modern dillerde korunmuştur. Örneğin, İngilizce'de - dörtgen ve Fransızca'da - quadrilatère.

Üstelik çoğu Slav dilinde söz konusu şeklin türü hâlâ kenar sayısıyla değil, açı sayısıyla belirleniyor. Örneğin, Slovakça'da (štvoruholník), Bulgarca'da ("chetirigalnik"), Belarusça'da ("chatyrokhkutnik"), Ukraynaca'da ("chotirikutnik"), Çekçe'de (čtyřúhelník), ancak Lehçe'de dörtgen, sayısına göre adlandırılır. taraflar - czworoboczny.

Okul müfredatında ne tür dörtgenler inceleniyor?

Modern geometride dört kenarı olan 4 çeşit çokgen vardır.

Ancak bazılarının aşırı karmaşık özellikleri nedeniyle okul çocukları geometri derslerinde yalnızca iki türle tanışır.

• Paralelkenar. Böyle bir dörtgenin karşıt kenarları çiftler halinde birbirine paraleldir ve buna göre çiftler halinde de eşittir.
• Yamuk (yamuk veya yamuk). Bu dörtgen birbirine paralel iki karşıt kenardan oluşur. Ancak diğer çift tarafta bu özellik yoktur.

Okul geometri dersinde işlenmeyen dörtgen türleri

Yukarıdakilere ek olarak, özel karmaşıklıkları nedeniyle okul çocuklarına geometri derslerinde tanıtılmayan iki tür dörtgen daha vardır.

• Deltoid (uçurtma)- iki bitişik kenar çiftinin her birinin uzunluğunun eşit olduğu bir şekil. Bu dörtgen, görünüş olarak Yunan alfabesinin "delta" harfine oldukça benzemesi nedeniyle adını almıştır.
• Antiparalelkenar- bu rakam, adı kadar karmaşıktır. İçinde iki karşıt taraf eşittir, ancak aynı zamanda birbirlerine paralel değildirler. Ayrıca bu dörtgenin karşıt uzun kenarları, diğer iki kısa kenarın uzantıları gibi birbiriyle kesişir.

Paralelkenar türleri

Ana dörtgen türlerini ele aldıktan sonra alt türlerine dikkat etmeye değer. Böylece tüm paralelkenarlar da dört gruba ayrılır.

• Klasik paralelkenar.
• Eşkenar dörtgen- kenarları eşit olan dörtgen bir şekil. Köşegenleri dik açılarla kesişerek eşkenar dörtgeni dört eşit dik açılı üçgene böler.
• Dikdörtgen. Adı kendisi için konuşur. Açıları dik olan bir dörtgen olduğundan (her biri doksan dereceye eşittir). Karşıt kenarları yalnızca birbirine paralel değil aynı zamanda eşittir.
• Kare. Dikdörtgen gibi, açıları dik olan bir dörtgendir ancak tüm kenarları eşittir. Bu şekilde bu rakam eşkenar dörtgene yakındır. Yani karenin eşkenar dörtgen ile dikdörtgenin kesişimi olduğunu söyleyebiliriz.

Dikdörtgenin özel özellikleri

Kenarlar arasındaki açıların her birinin doksan dereceye eşit olduğu şekilleri ele alırken dikdörtgene daha yakından bakmakta fayda var. Peki onu diğer paralelkenarlardan ayıran hangi özel özellikleri var?

Söz konusu paralelkenarın dikdörtgen olduğunu iddia etmek için köşegenlerinin birbirine eşit olması ve açılarının her birinin dik olması gerekir. Ayrıca köşegenlerinin karesi, bu şeklin bitişik iki tarafının karelerinin toplamına karşılık gelmelidir. Başka bir deyişle, klasik bir dikdörtgen iki dik üçgenden oluşur ve bilindiği gibi, söz konusu dörtgenin köşegeni hipotenüs görevi görür.

Bu figürün sıralanan özelliklerinden sonuncusu aynı zamanda onun özel özelliğidir. Bunun yanında başkaları da var. Örneğin dörtgenin tüm kenarlarının dik açılarla incelenmesi aynı zamanda onun yükseklikleridir.

Ayrıca herhangi bir dikdörtgenin çevresine bir daire çizilirse çapı, yazılı şeklin köşegenine eşit olacaktır.

Bu dörtgenin diğer özellikleri arasında düz olması ve Öklid dışı geometride mevcut olmaması yer almaktadır. Bunun nedeni, böyle bir sistemde açıların toplamı üç yüz altmış dereceye eşit olan dörtgen şekillerin bulunmamasıdır.

Kare ve özellikleri

Bir dikdörtgenin işaretlerini ve özelliklerini anladıktan sonra, bilim tarafından bilinen dik açılı ikinci dörtgene (bu bir kare) dikkat etmeye değer.

Aslında aynı dikdörtgen olan ancak kenarları eşit olan bu şekil tüm özelliklere sahiptir. Ancak bundan farklı olarak, Öklid dışı geometride kare mevcuttur.

Ayrıca bu figürün kendine has başka ayırt edici özellikleri de var. Örneğin bir karenin köşegenlerinin sadece birbirine eşit olması değil aynı zamanda dik açılarda kesişmesi gibi. Böylece, bir eşkenar dörtgen gibi, bir kare de köşegenlerin onu böldüğü dört dik üçgenden oluşur.

Ayrıca bu şekil tüm dörtgenler arasında en simetrik olanıdır.

Bir dörtgenin açılarının toplamı nedir?

Öklid geometrisinin dörtgenlerinin özelliklerini göz önünde bulundururken açılarına dikkat etmek gerekir.

Yani yukarıdaki şekillerin her birinde, dik açılı olsun veya olmasın, toplamları her zaman aynıdır - üç yüz altmış derece. Bu, bu tür bir figürün benzersiz bir ayırt edici özelliğidir.

Dörtgenlerin çevresi

Bir dörtgenin açılarının toplamının neye eşit olduğunu ve bu tür şekillerin diğer özel özelliklerini bulduktan sonra, çevrelerini ve alanlarını hesaplamak için hangi formüllerin en iyi şekilde kullanıldığını bulmaya değer.

Herhangi bir dörtgenin çevresini belirlemek için tüm kenarlarının uzunluklarını toplamanız yeterlidir.

Örneğin, KLMN şeklinde çevresi şu formül kullanılarak hesaplanabilir: P = KL + LM + MN + KN. Buradaki sayıları yerine koyarsanız şunu elde edersiniz: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Söz konusu şeklin eşkenar dörtgen veya kare olması durumunda, çevreyi bulmak için, bir kenar uzunluğunu dört ile çarparak formülü basitleştirebilirsiniz: P = KL x 4. Örneğin: 6 x 4 = 24 (cm).

Alanı olan dörtgen formülleri

Dört köşesi ve kenarı olan herhangi bir şeklin çevresini nasıl bulacağınızı anladıktan sonra, alanını bulmanın en popüler ve basit yollarını düşünmeye değer.

Dörtgenlerin diğer özellikleri: iç çemberler ve çevrel çemberler

Bir dörtgenin özelliklerini ve özelliklerini Öklid geometrisinin bir şekli olarak göz önünde bulundurarak, etrafındaki daireleri tanımlama veya içine daire yazma yeteneğine dikkat etmeye değer:

• Bir şeklin karşıt açılarının toplamı yüz seksen derece ise ve çiftler halinde eşitse, o zaman böyle bir dörtgenin etrafında bir daire serbestçe tanımlanabilir.
• Batlamyus teoremine göre, dört kenarlı bir çokgenin dışında bir daire çevrelenmişse, köşegenlerinin çarpımı, verilen şeklin karşıt kenarlarının çarpımlarının toplamına eşittir. Böylece formül şu şekilde görünecektir: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Karşılıklı kenarların toplamlarının birbirine eşit olduğu bir dörtgen oluşturursanız, içine bir daire yazabilirsiniz.

Dörtgenin ne olduğunu, ne türlerinin var olduğunu, hangilerinin kenarları arasında sadece dik açıların olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduklarını anladıktan sonra tüm bu materyali hatırlamaya değer. Özellikle çokgenlerin çevresini ve alanını bulmaya yönelik formüller dikkate alınmıştır. Sonuçta, bu şekle sahip rakamlar en yaygın olanları arasındadır ve bu bilgi, gerçek hayattaki hesaplamalar için yararlı olabilir.

Bugün geometrik bir şekli ele alacağız - bir dörtgen. Bu şeklin adından bu şeklin dört köşesi olduğu zaten anlaşılıyor. Ancak aşağıda bu şeklin kalan özelliklerini ve özelliklerini ele alacağız.

Dörtgen nedir

Dörtgen, dört noktadan (köşelerden) ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan dört bölümden (kenarlardan) oluşan bir çokgendir. Bir dörtgenin alanı, köşegenlerinin çarpımının ve aralarındaki açının yarısına eşittir.

Dörtgen, üçü düz bir çizgi üzerinde olmayan dört köşesi olan bir çokgendir.

Dörtgen türleri

• Karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan dörtgene paralelkenar denir.
• Karşılıklı iki kenarı paralel, diğer ikisi paralel olmayan dörtgenlere yamuk denir.
• Tüm açıları dik olan bir dörtgen bir dikdörtgendir.
• Tüm kenarları eşit olan bir dörtgen eşkenar dörtgendir.
• Tüm kenarları eşit ve tüm açıları dik olan dörtgenlere kare denir.

Bir dörtgen şöyle olabilir:

Kendiliğinden kesişen

Dışbükey olmayan

Dışbükey

Kendiyle kesişen dörtgen herhangi bir tarafının kesişme noktasına sahip olduğu bir dörtgendir (şekilde mavi renktedir).

Dışbükey olmayan dörtgen iç açılarından birinin 180 dereceden fazla olduğu bir dörtgendir (şekilde turuncu renkle gösterilmiştir).

Açıların toplamı kendisiyle kesişmeyen herhangi bir dörtgen her zaman 360 dereceye eşittir.

Özel dörtgen türleri

Dörtgenler, özel geometrik şekiller oluşturan ek özelliklere sahip olabilir:

• Paralelkenar
• Dikdörtgen
• Kare
• Yamuk
• Deltoid
• Karşıparalelkenar

Dörtgen ve daire

Bir daire etrafında çevrelenmiş bir dörtgen (bir dörtgen içine yazılmış bir daire).

Tanımlanan dörtgenin ana özelliği:

Bir dörtgen, ancak ve ancak karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamı eşitse bir dairenin çevresine çizilebilir.

Bir daire içine yazılan dörtgen (bir dörtgen etrafında çevrelenen daire)

Yazılı bir dörtgenin ana özelliği:

Bir daireye bir dörtgen ancak ve ancak karşıt açıların toplamı 180 dereceye eşitse yazılabilir.

Bir dörtgenin kenar uzunluklarının özellikleri

Bir dörtgenin herhangi iki tarafı arasındaki farkın modülü diğer iki kenarının toplamını geçmez.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Önemli. Eşitsizlik bir dörtgenin kenarlarının herhangi bir kombinasyonu için geçerlidir. Çizim yalnızca algılama kolaylığı sağlamak amacıyla sağlanmıştır.

Herhangi bir dörtgende üç kenarının uzunluklarının toplamı dördüncü kenarın uzunluğundan az değildir.

Önemli. Okul müfredatındaki sorunları çözerken katı eşitsizliği kullanabilirsiniz (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.