Doğrusal bağımlılığın belirlenmesi. Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı

Bu yazıda şunları ele alacağız:

• eşdoğrusal vektörler nelerdir;
• vektörlerin eşdoğrusallık koşulları nelerdir;
• eşdoğrusal vektörlerin hangi özellikleri mevcuttur;
• Doğrusal vektörlerin doğrusal bağımlılığı nedir?

Doğrusal vektörler, bir doğruya paralel olan veya bir doğru üzerinde yer alan vektörlerdir.

Örnek 1

Vektörlerin eşdoğrusallık koşulları

Aşağıdaki koşullardan herhangi biri doğruysa iki vektör eşdoğrusaldır:

• durum 1 . a ve b vektörleri, a = λ b olacak şekilde bir λ sayısı varsa doğrusaldır;
• durum 2 . a ve b vektörleri eşit koordinat oranlarıyla aynı doğrultudadır:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• durum 3 . Çapraz çarpım ve sıfır vektörünün eşit olması koşuluyla, a ve b vektörleri eşdoğrusaldır:

bir ∥ b ⇔ a, b = 0

Not 1

Durum 2 vektör koordinatlarından birinin sıfır olması durumunda geçerli değildir.

Not 2

Durum 3 yalnızca uzayda belirtilen vektörlere uygulanır.

Vektörlerin doğrusallığını incelemek için problem örnekleri

Doğrusallık açısından a = (1; 3) ve b = (2; 1) vektörlerini inceliyoruz.

Nasıl çözülür?

Bu durumda 2. doğrusallık koşulunun kullanılması gerekmektedir. Verilen vektörler için şöyle görünür:

Eşitlik yanlıştır. Bundan a ve b vektörlerinin doğrusal olmadığı sonucuna varabiliriz.

Cevap : bir | | B

Örnek 2

Vektörlerin doğrusal olması için a = (1; 2) ve b = (- 1; m) vektörünün hangi m değeri gereklidir?

Nasıl çözülür?

İkinci eşdoğrusallık koşulunu kullanarak, koordinatları orantılıysa vektörler eşdoğrusal olacaktır:

Bu m = - 2 olduğunu gösterir.

Cevap: m = - 2 .

Vektör sistemlerinin doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı için kriterler

Bir vektör uzayındaki bir vektör sistemi, yalnızca sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin geri kalan vektörleri cinsinden ifade edilebilmesi durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt

Sistem e 1 , e 2 , olsun. . . , e n doğrusal olarak bağımlıdır. Bu sistemin sıfır vektörüne eşit doğrusal birleşimini yazalım:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

kombinasyon katsayılarından en az birinin sıfıra eşit olmadığı durum.

a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , olsun. . . , N.

Eşitliğin her iki tarafını da sıfır olmayan bir katsayıya bölüyoruz:

a k - 1 (ak - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) ek + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Şunu belirtelim:

A k - 1 a m , burada m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Bu durumda:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

veya e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) ek + 1 + . . . + (- β n) e n

Buradan sistemin vektörlerinden birinin sistemin diğer tüm vektörleri aracılığıyla ifade edildiği sonucu çıkar. Kanıtlanması gereken şey buydu (vb.).

Yeterlilik

Vektörlerden birinin sistemin diğer tüm vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilmesine izin verin:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

e k vektörünü bu eşitliğin sağ tarafına taşırız:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

e k vektörünün katsayısı - 1 ≠ 0'a eşit olduğundan, e 1, e 2, vektörlerinden oluşan bir sistemle sıfırın önemsiz olmayan bir temsilini elde ederiz. . . , e n ve bu da bu vektörler sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir. Kanıtlanması gereken şey buydu (vb.).

Sonuçlar:

• Bir vektör sistemi, vektörlerinden hiçbiri sistemin diğer tüm vektörleri cinsinden ifade edilemediğinde doğrusal olarak bağımsızdır.
• Sıfır vektör veya iki eşit vektör içeren bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Doğrusal bağımlı vektörlerin özellikleri

1. 2 ve 3 boyutlu vektörler için aşağıdaki koşul karşılanır: doğrusal olarak bağımlı iki vektör aynı doğrultudadır. İki eşdoğrusal vektör doğrusal olarak bağımlıdır.
2. 3 boyutlu vektörler için aşağıdaki koşul karşılanır: doğrusal olarak bağımlı üç vektör eş düzlemlidir. (3 eş düzlemli vektör doğrusal olarak bağımlıdır).
3. N boyutlu vektörler için aşağıdaki koşul sağlanır: n + 1 vektör her zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığını veya doğrusal bağımsızlığını içeren problemlerin çözümüne örnekler

Doğrusal bağımsızlık için a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 vektörlerini kontrol edelim.

Çözüm. Vektörler doğrusal olarak bağımlıdır çünkü vektörlerin boyutu vektör sayısından azdır.

Örnek 4

Doğrusal bağımsızlık için a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 vektörlerini kontrol edelim.

Çözüm. Doğrusal kombinasyonun sıfır vektörüne eşit olacağı katsayıların değerlerini buluyoruz:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektör denklemini doğrusal biçimde yazıyoruz:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Bu sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözüyoruz:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2. satırdan 1'inciyi, 3'üncü - 1'inci satırdan çıkarıyoruz:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1. satırdan 2.yi çıkarıyoruz, 3. satıra 2.yi ekliyoruz:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Çözümden sistemin birçok çözümü olduğu sonucu çıkar. Bu, a, b, c'nin doğrusal kombinasyonunun sıfır vektörüne eşit olduğu x 1, x 2, x 3 gibi sayıların sıfır olmayan bir değer kombinasyonunun olduğu anlamına gelir. Bu nedenle a, b, c vektörleri doğrusal bağımlı.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Tarafımızca tanıtılan vektörler üzerinde doğrusal işlemler için çeşitli ifadeler oluşturmayı mümkün kılar vektör miktarları ve bu işlemler için ayarlanan özellikleri kullanarak bunları dönüştürün.

Belirli bir a 1, ..., a n vektör kümesine dayanarak, formun bir ifadesini oluşturabilirsiniz.

burada a 1, ... ve n keyfi gerçek sayılardır. Bu ifade denir vektörlerin doğrusal kombinasyonu a 1, ..., a n. α i, i = 1, n sayıları temsil eder doğrusal kombinasyon katsayıları. Bir vektör kümesine de denir vektör sistemi.

Tanıtılan vektörlerin doğrusal birleşimi kavramıyla bağlantılı olarak, belirli bir a 1, ..., a n vektör sisteminin doğrusal bir birleşimi olarak yazılabilen bir vektörler kümesini tanımlama sorunu ortaya çıkar. Ek olarak, bir vektörün doğrusal kombinasyon biçiminde temsil edildiği koşullar ve böyle bir temsilin benzersizliği hakkında doğal sorular vardır.

Tanım 2.1. a 1, ... ve n vektörlerine denir doğrusal bağımlı, eğer α 1 , ... , α n katsayıları kümesi varsa, öyle ki

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2,2)

ve bu katsayılardan en az biri sıfır değildir. Belirtilen katsayılar kümesi mevcut değilse, vektörlere çağrılır. doğrusal bağımsız.

Eğer α 1 = ... = α n = 0 ise, o zaman açıkça α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 olur. Bunu aklımızda tutarak şunu söyleyebiliriz: a 1, ..., ve vektörleri Eşitlik (2.2)'den tüm α 1 , ... , α n katsayılarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkarsa n doğrusal olarak bağımsızdır.

Aşağıdaki teorem, yeni kavrama neden "bağımlılık" (veya "bağımsızlık") terimi denildiğini açıklar ve doğrusal bağımlılık için basit bir kriter sağlar.

Teorem 2.1. a 1, ... ve n, n > 1 vektörlerinin doğrusal bağımlı olabilmesi için, bunlardan birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

◄ Gereklilik. a 1, ... ve n vektörlerinin doğrusal olarak bağımlı olduğunu varsayalım. Doğrusal bağımlılığın Tanım 2.1'ine göre, soldaki eşitlikte (2.2) sıfır olmayan en az bir katsayı vardır, örneğin α 1. İlk terimi eşitliğin sol tarafında bırakıp geri kalanını her zamanki gibi işaretlerini değiştirerek sağ tarafa taşıyoruz. Ortaya çıkan eşitliği α 1'e bölerek şunu elde ederiz:

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

onlar. a 1 vektörünün geri kalan a 2, ..., a n vektörlerinin doğrusal birleşimi olarak temsili.

Yeterlilik. Örneğin, ilk a 1 vektörünün geri kalan vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebildiğini varsayalım: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Tüm terimleri sağ taraftan sola aktararak 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 elde ederiz, yani. a 1, ..., a n vektörlerinin α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n katsayılarına sahip doğrusal bir kombinasyonu, eşittir sıfır vektör. Bu doğrusal kombinasyonda tüm katsayılar sıfır değildir. Tanım 2.1'e göre a 1, ... ve n vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Doğrusal bağımlılığın tanımı ve kriteri, iki veya daha fazla vektörün varlığını ima edecek şekilde formüle edilmiştir. Ancak bir vektörün doğrusal bağımlılığından da söz edebiliriz. Bu ihtimali gerçekleştirmek için “vektörler doğrusal olarak bağımlıdır” yerine “vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır” demek gerekir. "Bir vektörden oluşan bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır" ifadesinin bu tek vektörün sıfır olduğu anlamına geldiğini görmek kolaydır (doğrusal bir kombinasyonda yalnızca bir katsayı vardır ve sıfıra eşit olmamalıdır).

Doğrusal bağımlılık kavramının basit bir geometrik yorumu vardır. Aşağıdaki üç ifade bu yorumu açıklamaktadır.

Teorem 2.2.İki vektör ancak ve ancak şu durumda doğrusal olarak bağımlıdır: eşdoğrusal.

◄ Eğer a ve b vektörleri doğrusal olarak bağımlıysa, bunlardan biri, örneğin a, diğeri aracılığıyla ifade edilir; a = λb, bazı λ gerçek sayıları için. Tanım 1.7'ye göre çalışır sayı başına vektörler, a ve b vektörleri doğrusaldır.

Şimdi a ve b vektörleri eşdoğrusal olsun. Her ikisi de sıfır ise, bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonu sıfır vektörüne eşit olduğundan, bunların doğrusal olarak bağımlı oldukları açıktır. Bu vektörlerden birinin, örneğin b vektörünün 0'a eşit olmamasına izin verin. Vektör uzunluklarının oranını λ ile gösterelim: λ = |a|/|b|. Doğrusal vektörler şunlar olabilir: tek yönlü veya zıt yönlü. İkinci durumda λ'nın işaretini değiştiririz. Daha sonra Tanım 1.7'yi kontrol ederek a = λb olduğuna ikna olduk. Teorem 2.1'e göre a ve b vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Açıklama 2.1.İki vektör durumunda, doğrusal bağımlılık kriteri dikkate alınarak kanıtlanmış teorem şu şekilde yeniden formüle edilebilir: iki vektör ancak ve ancak bunlardan birinin diğerinin bir sayı ile çarpımı olarak temsil edilmesi durumunda eşdoğrusaldır. Bu, iki vektörün doğrusallığı için uygun bir kriterdir.

Teorem 2.3.Üç vektör ancak ve ancak aşağıdaki durumlarda doğrusal olarak bağımlıdır: eş düzlemli.

◄ Eğer üç vektör a, b, c doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman Teorem 2.1'e göre bunlardan biri, örneğin a, diğerlerinin doğrusal bir birleşimidir: a = βb + γc. b ve c vektörlerinin kökenlerini A noktasında birleştirelim. O zaman βb, γс vektörleri A noktasında ve boyunca ortak bir kökene sahip olacaktır. paralelkenar kuralına göre bunların toplamı onlar. a vektörü A kökenli bir vektör olacaktır ve son bileşen vektörleri üzerine kurulu bir paralelkenarın tepe noktasıdır. Böylece tüm vektörler aynı düzlemde, yani aynı düzlemde yer alır.

a, b, c vektörleri eş düzlemli olsun. Bu vektörlerden biri sıfır ise diğerlerinin doğrusal birleşimi olacağı açıktır. Doğrusal bir kombinasyonun tüm katsayılarını sıfıra eşit almak yeterlidir. Bu nedenle üç vektörün de sıfır olmadığını varsayabiliriz. Uyumlu başladı Bu vektörlerin ortak bir noktası O'dur. Uçları sırasıyla A, B, C noktaları olsun (Şekil 2.1). C noktasından O, A ve O, B nokta çiftlerinden geçen çizgilere paralel çizgiler çizeriz. Kesişme noktalarını A" ve B" olarak belirleyerek bir OA"CB" paralelkenarı elde ederiz, dolayısıyla OC" = OA" + OB". OA" vektörü ve sıfır olmayan vektör a = OA eşdoğrusaldır ve bu nedenle bunlardan ilki, ikincinin α:OA" = αOA gerçek sayısıyla çarpılmasıyla elde edilebilir. Benzer şekilde, OB" = βOB, β ∈ R. Sonuç olarak OC" = α OA + βOB elde ederiz, yani c vektörü a ve b vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir. Teorem 2.1'e göre a, b, c vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Teorem 2.4. Herhangi dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır.

◄ İspatı Teorem 2.3'teki şemaya göre gerçekleştiriyoruz. Rastgele dört a, b, c ve d vektörünü düşünün. Dört vektörden biri sıfırsa veya aralarında iki eşdoğrusal vektör varsa veya dört vektörden üçü aynı düzlemdeyse, bu dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır. Örneğin, a ve b vektörleri eşdoğrusal ise, sıfır olmayan katsayılarla bunların doğrusal kombinasyonunu αa + βb = 0 yapabilir ve ardından katsayı olarak sıfırları alarak geri kalan iki vektörü bu kombinasyona ekleyebiliriz. Sıfır olmayan katsayıların bulunduğu, 0'a eşit dört vektörün doğrusal bir kombinasyonunu elde ederiz.

Böylece, seçilen dört vektör arasında hiçbir vektörün sıfır olmadığını, hiçbir ikisinin eşdoğrusal olmadığını ve hiçbir üçünün eşdüzlemsel olmadığını varsayabiliriz. Ortak başlangıç ​​noktası olarak O noktasını seçelim. O zaman a, b, c, d vektörlerinin uçları A, B, C, D noktaları olacaktır (Şekil 2.2). D noktasından OBC, OCA, OAB düzlemlerine paralel üç düzlem çizeriz ve bu düzlemlerin sırasıyla OA, OB, OS düz çizgileriyle kesişme noktaları A", B", C" olsun. Bir paralelyüz elde ederiz. OA" C "B" C" B"DA" ve a, b, c vektörleri O tepe noktasından çıkan kenarlarında bulunur. OC"DC" dörtgeni bir paralelkenar olduğundan, OD = OC" + OC" Buna karşılık, OC" segmenti bir köşegen paralelkenar OA"C"B"dir, dolayısıyla OC" = OA" + OB" ve OD = OA" + OB" + OC" .

OA ≠ 0 ve OA", OB ≠ 0 ve OB", OC ≠ 0 ve OC" vektör çiftlerinin eşdoğrusal olduğunu ve bu nedenle α, β, γ katsayılarını şu şekilde seçmek mümkündür: OA" = αOA, OB" = βOB ve OC" = γOC. Sonunda OD = αOA + βOB + γOC elde ederiz. Sonuç olarak, OD vektörü diğer üç vektör aracılığıyla ifade edilir ve Teorem 2.1'e göre dört vektörün tümü doğrusal olarak bağımlıdır.

A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Çözüm. Denklem sistemine genel bir çözüm arıyoruz

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

Gauss yöntemi. Bunu yapmak için bu homojen sistemi koordinatlara yazıyoruz:

Sistem Matrisi

İzin verilen sistem şu şekildedir: (r bir = 2, N= 3). Sistem işbirlikçi ve belirsizdir. Genel çözümü ( X 2 – serbest değişken): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Örneğin sıfır olmayan özel bir çözümün varlığı, vektörlerin olduğunu gösterir. A 1 , A 2 , A 3 doğrusal bağımlı.

Örnek 2.

Belirli bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı mı yoksa doğrusal olarak bağımsız mı olduğunu öğrenin:

1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.

Çözüm. Homojen bir denklem sistemi düşünün A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

veya genişletilmiş biçimde (koordinatlara göre)

Sistem homojendir. Dejenere değilse benzersiz bir çözümü vardır. Homojen bir sistem durumunda sıfır (önemsiz) çözüm vardır. Bu, bu durumda vektörler sisteminin bağımsız olduğu anlamına gelir. Sistem dejenere ise sıfırdan farklı çözümlere sahiptir ve dolayısıyla bağımlıdır.

Sistemi dejenerasyon açısından kontrol ediyoruz:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistem dejenere değildir ve dolayısıyla vektörler A 1 , A 2 , A 3 doğrusal bağımsız.

Atamalar. Belirli bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı mı yoksa doğrusal olarak bağımsız mı olduğunu öğrenin:

1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.

2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.

6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.

7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Aşağıdakileri içeriyorsa bir vektör sisteminin doğrusal bağımlı olacağını kanıtlayın:

a) iki eşit vektör;

b) iki orantılı vektör.

Görev 1. Vektör sisteminin doğrusal bağımsız olup olmadığını öğrenin. Vektör sistemi, sütunları vektörlerin koordinatlarından oluşan sistemin matrisi tarafından belirlenecektir.

.

Çözüm. Doğrusal kombinasyona izin verin sıfıra eşittir. Bu eşitliği koordinatlarda yazdıktan sonra aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

.

Böyle bir denklem sistemine üçgen denir. Onun tek bir çözümü var . Bu nedenle vektörler doğrusal bağımsız.

Görev 2. Vektör sisteminin doğrusal bağımsız olup olmadığını öğrenin.

.

Çözüm. Vektörler doğrusal olarak bağımsızdır (bkz. Problem 1). Vektörün, vektörlerin doğrusal birleşimi olduğunu kanıtlayalım. . Vektör genişleme katsayıları denklem sisteminden belirlenir

.

Bu sistemin üçgen gibi benzersiz bir çözümü var.

Bu nedenle vektör sistemi doğrusal bağımlı.

Yorum. Problem 1'deki ile aynı tipteki matrislere denir. üçgen ve problem 2'de – kademeli üçgen . Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı sorunu, bu vektörlerin koordinatlarından oluşan matris adım üçgen ise kolayca çözülür. Matrisin özel bir formu yoksa, o zaman kullanılır. temel dize dönüşümleri Sütunlar arasındaki doğrusal ilişkiler korunarak basamaklı üçgen forma indirgenebilir.

Temel dize dönüşümleri Matrisler (EPS) Bir matris üzerinde aşağıdaki işlemlere denir:

1) hatların yeniden düzenlenmesi;

2) bir dizgiyi sıfır olmayan bir sayıyla çarpmak;

3) bir dizeye rastgele bir sayıyla çarpılarak başka bir dize eklemek.

Görev 3. Maksimum doğrusal bağımsız alt sistemi bulun ve vektörler sisteminin sıralamasını hesaplayın

.

Çözüm. Sistemin matrisini EPS kullanarak basamaklı üçgen forma indirgeyelim. Prosedürü açıklamak için dönüştürülecek matrisin numarasının bulunduğu satırı sembolüyle belirtiyoruz. Oktan sonraki sütun, yeni matrisin satırlarını elde etmek için dönüştürülmekte olan matrisin satırları üzerindeki eylemleri gösterir.

.

Açıkçası, ortaya çıkan matrisin ilk iki sütunu doğrusal olarak bağımsızdır, üçüncü sütun bunların doğrusal birleşimidir ve dördüncüsü ilk ikisine bağlı değildir. Vektörler temel denir. Sistemin maksimum doğrusal olarak bağımsız bir alt sistemini oluştururlar. ve sistemin rütbesi üçtür.

Temel, koordinatlar

Görev 4. Koordinatları koşulu karşılayan geometrik vektörler kümesinde bu tabandaki vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun. .

Çözüm. Küme orijinden geçen bir düzlemdir. Bir düzlemdeki keyfi bir temel, doğrusal olmayan iki vektörden oluşur. Seçilen bazdaki vektörlerin koordinatları, karşılık gelen doğrusal denklem sisteminin çözülmesiyle belirlenir.

Koordinatları kullanarak temeli bulabileceğinizde bu sorunu çözmenin başka bir yolu var.

Koordinatlar uzaylar düzlemdeki koordinatlar değildir, çünkü bunlar ilişkiyle ilişkilidir yani bağımsız değillerdir. Bağımsız değişkenler (serbest olarak adlandırılırlar) düzlemdeki bir vektörü benzersiz bir şekilde tanımlarlar ve bu nedenle de koordinatlar olarak seçilebilirler. Daha sonra temel serbest değişken kümelerinin içinde yer alan ve bunlara karşılık gelen vektörlerden oluşur Ve yani.

Görev 5. Tek koordinatları birbirine eşit olan uzaydaki tüm vektörler kümesinde bu tabandaki vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun.

Çözüm. Önceki problemde olduğu gibi uzaydaki koordinatları seçelim.

Çünkü , ardından serbest değişkenler vektörü benzersiz bir şekilde belirler ve bu nedenle koordinatlardır. Karşılık gelen taban vektörlerden oluşur.

Görev 6. Formun tüm matrisleri kümesinde bu temelde vektörlerin temelini ve koordinatlarını bulun , Nerede – keyfi sayılar.

Çözüm. Her matris aşağıdaki biçimde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir:

Bu ilişki vektörün tabana göre açılımıdır.
koordinatlarla .

Görev 7. Bir vektör sisteminin doğrusal gövdesinin boyutunu ve tabanını bulun

.

Çözüm. EPS'yi kullanarak matrisi sistem vektörlerinin koordinatlarından adım üçgen formuna dönüştürüyoruz.

.

Sütunlar son matrisler doğrusal olarak bağımsızdır ve sütunlar bunlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Bu nedenle vektörler bir temel oluşturmak , Ve .

Yorum. Temel belirsiz bir şekilde seçilmiştir. Örneğin, vektörler aynı zamanda bir temel oluşturur .

Vektörler, özellikleri ve bunlarla ilgili eylemler

Vektörler, vektörlerle eylemler, doğrusal vektör uzayı.

Vektörler sonlu sayıda gerçek sayıların sıralı bir koleksiyonudur.

Eylemler: 1.Bir vektörü bir sayıyla çarpmak: lambda*vektör x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Vektörlerin toplamı (aynı vektör uzayına ait) vektör x + vektör y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektör 0=(0,0…0)---n E n – n boyutlu (doğrusal uzay) vektör x + vektör 0 = vektör x

Teorem. n boyutlu bir doğrusal uzay olan n vektörden oluşan bir sistemin doğrusal bağımlı olabilmesi için, vektörlerden birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

Teorem. Olayların n boyutlu doğrusal uzayının n+ 1. vektörlerinin herhangi bir kümesi. doğrusal bağımlı.

Vektörlerin toplanması, vektörlerin sayılarla çarpılması. Vektörlerin çıkarılması.

İki vektörün toplamı, başlangıcın vektörün sonu ile çakışması koşuluyla, vektörün başlangıcından vektörün sonuna doğru yönlendirilmiş bir vektördür. Vektörler temel birim vektörlerdeki açılımlarıyla veriliyorsa, vektörler eklenirken karşılık gelen koordinatları da eklenir.

Bunu Kartezyen koordinat sistemi örneğini kullanarak ele alalım. İzin vermek

Hadi bunu gösterelim

Şekil 3'ten açıkça görülüyor ki

Herhangi bir sonlu sayıda vektörün toplamı, çokgen kuralı kullanılarak bulunabilir (Şekil 4): sonlu sayıda vektörün toplamını oluşturmak için, sonraki her vektörün başlangıcını bir öncekinin sonuyla birleştirmek yeterlidir. ve ilk vektörün başlangıcını sonuncunun sonuna bağlayan bir vektör oluşturun.

Vektör toplama işleminin özellikleri:

Bu ifadelerde m, n sayılardır.

Vektörler arasındaki farka vektör denir. İkinci terim, vektörün yönüne zıt fakat uzunluğu ona eşit olan bir vektördür.

Böylece vektörleri çıkarma işleminin yerini toplama işlemi alır

Başlangıcı orijinde ve sonu A noktasında (x1, y1, z1) olan bir vektöre A noktasının yarıçap vektörü denir ve basitçe gösterilir. Koordinatları A noktasının koordinatlarıyla çakıştığı için birim vektörlerdeki açılımı şu şekildedir:

A(x1, y1, z1) noktasında başlayıp B(x2, y2, z2) noktasında biten bir vektör şu şekilde yazılabilir:

burada r2, B noktasının yarıçap vektörüdür; r 1 - A noktasının yarıçap vektörü.

Bu nedenle, vektörün birim vektörlerdeki açılımı şu şekildedir:

Uzunluğu A ve B noktaları arasındaki mesafeye eşittir

ÇARPLAMA

Yani bir düzlem problemi durumunda, bir vektörün a = (ax; ay) ile b sayısının çarpımı formülle bulunur

a b = (ax b; ay b)

Örnek 1. a = (1; 2) vektörünün 3'e çarpımını bulun.

3 bir = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Yani uzaysal bir problem durumunda a = (ax; ay; az) vektörünün b sayısıyla çarpımı formülle bulunur.

a b = (ax b; ay b; az b)

Örnek 1. a = (1; 2; -5) vektörünün 2'ye çarpımını bulun.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Vektörlerin nokta çarpımı ve ve vektörleri arasındaki açı nerede; eğer öyleyse, o zaman

Skaler çarpımın tanımından şu sonuç çıkar:

örneğin vektörün vektör yönüne izdüşümünün büyüklüğü buradadır.

Skaler kare vektör:

Nokta çarpımın özellikleri:

Koordinatlarda nokta çarpımı

Eğer O

Vektörler arasındaki açı

Vektörler arasındaki açı - bu vektörlerin yönleri arasındaki açı (en küçük açı).

Çapraz çarpım (İki vektörün çapraz çarpımı.) - bu, üç boyutlu Öklid uzayındaki vektörler üzerinde "vektör çarpımı" ikili işleminin sonucu olan, iki faktörden oluşturulmuş bir düzleme dik bir sözde vektördür. Çarpım ne değişmeli ne de birleşmeli (anti-değişmeli) ve vektörlerin nokta çarpımından farklıdır. Birçok mühendislik ve fizik probleminde, mevcut iki vektöre dik bir vektör oluşturabilmeniz gerekir; vektör çarpımı bu fırsatı sağlar. Çapraz çarpım, vektörlerin dikliğini "ölçmek" için kullanışlıdır - iki vektörün çapraz çarpımının uzunluğu, bunlar dikse uzunluklarının çarpımına eşittir ve vektörler paralel veya antiparalelse sıfıra düşer.

Çapraz çarpım yalnızca üç boyutlu ve yedi boyutlu uzaylarda tanımlanır. Bir vektör çarpımının sonucu, tıpkı bir skaler çarpım gibi, Öklid uzayının metriğine bağlıdır.

Üç boyutlu dikdörtgen koordinat sistemindeki koordinatlardan skaler çarpım vektörlerini hesaplama formülünün aksine, çapraz çarpım formülü dikdörtgen koordinat sisteminin yönüne veya başka bir deyişle "kiralliğine" bağlıdır.

Vektörlerin doğrusallığı.

Sıfır olmayan (0'a eşit olmayan) iki vektör, paralel çizgiler üzerinde veya aynı çizgide yer alıyorsa eşdoğrusal olarak adlandırılır. Kabul edilebilir ancak tavsiye edilmeyen bir eşanlamlı "paralel" vektörlerdir. Doğrusal vektörler aynı şekilde yönlendirilmiş ("eş-yönlü") veya zıt yönlü olabilir (ikinci durumda bunlara bazen "antikoldoğrusal" veya "antiparalel" denir).

Vektörlerin karışık çarpımı( a, b, c)- a vektörünün skaler çarpımı ile b ve c vektörlerinin vektör çarpımı:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

bazen vektörlerin üçlü nokta çarpımı olarak adlandırılır, çünkü görünüşe göre sonuç bir skalerdir (daha kesin olarak bir sözde skaler).

Geometrik anlam: Karışık çarpımın modülü sayısal olarak vektörlerin oluşturduğu paralelyüzün hacmine eşittir. (ABC) .

Özellikler

Karma bir ürün, tüm argümanlarına göre çarpık simetriktir: yani. e. herhangi iki faktörün yeniden düzenlenmesi çarpımın işaretini değiştirir. Bundan, sağ Kartezyen koordinat sistemindeki (ortonormal temelde) Karışık çarpımın, vektörlerden oluşan bir matrisin determinantına eşit olduğu sonucu çıkar ve:

Sol Kartezyen koordinat sistemindeki (ortonormal temelde) karışık çarpım, vektörlerden oluşan matrisin determinantına eşittir ve eksi işaretiyle alınır:

özellikle,

Herhangi iki vektör paralelse, herhangi bir üçüncü vektörle sıfıra eşit bir karma çarpım oluştururlar.

Üç vektör doğrusal olarak bağımlıysa (yani aynı düzlemde bulunuyorsa), bunların karışık çarpımı sıfıra eşittir.

Geometrik anlam - Karışık ürün, mutlak değer olarak vektörlerin oluşturduğu paralel borunun (şekle bakın) hacmine eşittir ve; işaret, bu vektör üçlüsünün sağ el veya solak olmasına bağlıdır.

Vektörlerin eş düzlemliliği.

Üç vektör (veya daha büyük bir sayı), ortak bir orijine indirgenerek aynı düzlemde yer alıyorsa eş düzlemli olarak adlandırılır.

Eş düzlemliliğin özellikleri

Üç vektörden en az biri sıfır ise, bu durumda üç vektör de aynı düzlemde kabul edilir.

Bir çift doğrusal vektör içeren üçlü bir vektör aynı düzlemlidir.

Eş düzlemli vektörlerin karışık çarpımı. Bu, üç vektörün eş düzlemliliği için bir kriterdir.

Eş düzlemli vektörler doğrusal olarak bağımlıdır. Bu aynı zamanda eş düzlemlilik için de bir kriterdir.

3 boyutlu uzayda eş düzlemli olmayan 3 vektör bir temel oluşturur

Doğrusal bağımlı ve doğrusal bağımsız vektörler.

Doğrusal bağımlı ve bağımsız vektör sistemleri.Tanım. Vektör sistemi denir doğrusal bağımlı, eğer bu vektörlerin sıfır vektörüne eşit en az bir önemsiz olmayan doğrusal kombinasyonu varsa. Aksi takdirde, yani Verilen vektörlerin yalnızca önemsiz bir doğrusal kombinasyonu boş vektöre eşitse, vektörlere denir. doğrusal bağımsız.

Teorem (doğrusal bağımlılık kriteri). Doğrusal uzaydaki bir vektörler sisteminin doğrusal bağımlı olabilmesi için bu vektörlerden en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

1) Vektörler arasında en az bir sıfır vektör varsa, o zaman tüm vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Aslında, örneğin , varsayalım ki, önemsiz olmayan bir doğrusal birleşimimiz var.▲

2) Vektörlerden bazıları doğrusal bağımlı bir sistem oluşturuyorsa sistemin tamamı doğrusal bağımlıdır.

Aslında, vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin. Bu, sıfır vektörüne eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonun olduğu anlamına gelir. Ama sonra varsayarsak Ayrıca sıfır vektörüne eşit önemsiz bir doğrusal kombinasyon da elde ederiz.

2. Temel ve boyut. Tanım. Doğrusal bağımsız vektörler sistemi vektör uzayı denir temel Bu uzayın herhangi bir vektörü, bu sistemin vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebiliyorsa, yani; her vektör için gerçek sayılar vardır eşitliği sağlayacak şekildedir. Bu eşitliğe denir. vektör ayrışması esasa ve sayılara göre denir vektörün tabana göre koordinatları(veya temelde) .

Teorem (tabana göre genişlemenin benzersizliği üzerine). Uzaydaki her vektör bir tabana genişletilebilir tek şekilde, yani tabandaki her vektörün koordinatları açık bir şekilde belirlenir.