Uzayda dik doğru ve düzlemlerin belirlenmesi. Dik doğru ve düzlem, doğru ve düzlemin dikliğinin işareti ve koşulları

10. sınıfta “Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği” konulu geometri dersinin taslağı

Dersin Hedefleri:

eğitici

bir çizginin ve bir düzlemin diklik işaretinin tanıtılması;

öğrencilerin düz bir çizginin ve düzlemin dikliği ve özellikleri hakkında fikirlerini oluşturmak;

öğrencilerin bir konudaki tipik problemleri çözme yeteneğini, ifadeleri kanıtlama yeteneğini geliştirmek;

gelişen

bağımsızlık ve bilişsel aktiviteyi geliştirmek;

Alınan bilgileri analiz etme, sonuç çıkarma, sistematikleştirme yeteneğini geliştirmek,

mantıksal düşünmeyi geliştirmek;

mekansal hayal gücünü geliştirin.

eğitici

öğrencilerin konuşma kültürünü ve azmini beslemek;

öğrencilere konuya ilgi aşılayın.

Ders türü:Çalışma dersi ve bilginin birincil pekiştirilmesi.

Öğrenci çalışma biçimleri:ön anket.

Teçhizat: bilgisayar, projektör, ekran.

Edebiyat:"Geometri 10-11", Ders Kitabı. Atanasyan L.S. ve benzeri.

(2009, 255 s.)

Ders planı:

Organizasyon anı (1 dakika);

Bilginin güncellenmesi (5 dakika);

Yeni materyal öğrenme (15 dakika);

Çalışılan materyalin birincil konsolidasyonu (20 dakika);

Özetle (2 dakika);

Ödev (2 dakika).

Dersler sırasında.

Organizasyon anı (1 dakika)

Öğrencileri selamlıyorum. Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarını kontrol etmek: defterlerin ve ders kitaplarının kullanılabilirliğini kontrol etmek. Ders devamsızlıklarının kontrol edilmesi.

Bilgiyi güncelleme (5 dakika)

Öğretmen. Hangi doğruya düzleme dik denir?

Öğrenci. Bu düzlemde yer alan herhangi bir doğruya dik olan doğruya bu düzleme dik doğru denir.

Öğretmen. Üçüncüye dik iki paralel çizgiyle ilgili lemma nedir?

Öğrenci. İki paralel çizgiden biri üçüncü doğruya dik ise, diğer doğru da bu doğruya diktir.

Öğretmen. İki paralel doğrunun bir düzleme dikliği ile ilgili teorem.

Öğrenci. İki paralel çizgiden biri bir düzleme dik ise, ikinci doğru bu düzleme diktir.

Öğretmen. Bu teoremin tersi neye benziyor?

Öğrenci. İki doğru aynı düzleme dikse paraleldirler.

Ödev kontrol ediliyor

Ödevleri çözmekte zorluk çeken öğrenciler varsa kontrol edilir.

Yeni materyal öğrenme (15 dakika)

Öğretmen. Siz ve ben, eğer bir çizgi bir düzleme dikse, o zaman bu düzlemde bulunan herhangi bir çizgiye dik olacağını biliyoruz, ancak tanımda bir çizginin bir düzleme dikliği bir gerçek olarak verilmiştir. Uygulamada çoğu zaman düz bir çizginin düzleme dik olup olmayacağının belirlenmesi gerekir. Bu tür örnekler hayattan verilebilir: Binaların inşası sırasında kazıklar dünya yüzeyine dik olarak çakılır, aksi takdirde yapı çökebilir. Bu durumda düz dik düzlem tanımını kullanmak mümkün değildir. Neden? Bir düzlemde kaç tane düz çizgi çizilebilir?

Öğrenci. Bir düzlemde sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.

Öğretmen. Sağ. Ve düz bir çizginin her bir düzleme dikliğini kontrol etmek imkansızdır çünkü bu sonsuz uzun bir zaman alacaktır. Bir doğrunun bir düzleme dik olup olmadığını anlamak için bir doğrunun ve bir düzlemin diklik işaretini tanıtıyoruz. Not defterinize yazın. Bir doğru, bir düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye dik ise, o zaman bu düzleme diktir.

Bir not defterine yazmak. Bir doğru, bir düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye dik ise, o zaman bu düzleme diktir.

Öğretmen. Bu nedenle, her bir düz düzlem için bir düz çizginin dikliğini kontrol etmemize gerek yoktur; bu düzlemin yalnızca iki düz çizgisinin dikliğini kontrol etmek yeterlidir.

Öğretmen. Bu işareti kanıtlayalım.

Verilen: P Ve Q- dümdüz, P ∩ Q = Ö, A⊥ P, A⊥ Q, P ϵ α, Q ϵ α.

Kanıtlamak: A⊥ α.

Öğretmen. Yine de bunu kanıtlamak için bir düzleme dik olan düz çizginin tanımını kullanacağız, kulağa nasıl geliyor?

Öğrenci. Bir doğru bir düzleme dikse, o zaman bu düzlemde yer alan herhangi bir doğruya da diktir.

Öğretmen. Sağ. α düzleminde herhangi bir m düz çizgisini çizelim. O noktasından geçen l ║ m düz bir çizgi çizelim. A doğrusu üzerinde, O noktası AB doğru parçasının orta noktası olacak şekilde A ve B noktalarını işaretleyin. p, q, l çizgileriyle kesişecek şekilde bir z düz çizgisi çizelim; bu çizgilerin kesişme noktaları sırasıyla P, Q, L ile gösterilecektir. AB doğru parçasının uçlarını P,Q ve L noktalarına bağlayalım.

Öğretmen. ∆APQ ve ∆BPQ üçgenleri hakkında ne söyleyebiliriz?

Öğrenci. Bu üçgenler eşit olacaktır (üçgenlerin 3. eşitlik işaretine göre).

Öğretmen. Neden?

Öğrenci. Çünkü p ve q çizgileri dik açıortaylardır, bu durumda AP = BP, AQ = BQ ve PQ tarafı ortaktır.

Öğretmen. Sağ. ∆APL ve ∆BPL üçgenleri hakkında ne söyleyebiliriz?

Öğrenci. Bu üçgenler de eşit olacaktır (üçgenlerin eşitliğinin 1 işaretine göre).

Öğretmen. Neden?

Öğrenci. Erişim noktası = B.P., P.L.– genel taraf, APL =  BPL(eşitlikten ∆ APQ ve ∆ B.P.Q.)

Öğretmen. Sağ. Bu AL = BL anlamına gelir. Peki ∆ALB ne olacak?

Öğrenci. Bu, ∆ALB'nin ikizkenar olacağı anlamına gelir.

Öğretmen. LO, ∆ALB'deki medyandır, peki bu üçgende ne olacak?

Öğrenci. Bu, LO'nun aynı zamanda yükseklik olacağı anlamına gelir.

Öğretmen. Bu nedenle düzbençizgiye dik olacakA. Ve düz olduğundanbenα düzlemine ait herhangi bir düz çizgidir, o zaman tanımı gereği düz bir çizgidirA⊥ α. Q.E.D.

Sunumla kanıtlandı

Öğretmen. A doğrusu O noktasıyla kesişmiyor ancak p ve q doğrularına dik kalıyorsa ne yapmalı? Ya düz bir çizgi verilen düzlemin herhangi bir başka noktasıyla kesişirse?

Öğrenci. Düz bir çizgi oluşturabilirsiniz 1 a doğrusuna paralel olacak olan O noktasıyla kesişecektir ve üçüncüye dik iki paralel çizgi hakkındaki lemmayı kullanarak şunu kanıtlayabiliriz:A 1 ⊥ P, A 1 ⊥ Q.

Öğretmen. Sağ.

Çalışılan materyalin birincil konsolidasyonu (20 dakika)

Öğretmen. İncelediğimiz materyali pekiştirmek için 126 sayısını çözeceğiz. Görevi okuyun.

Öğrenci. MB düz çizgisi ABC üçgeninin AB ve BC kenarlarına diktir. D'nin AC doğrusu üzerinde rastgele bir nokta olduğu МВD üçgeninin türünü belirleyin.

Çizim.

Verilen: ∆ ABC, M.B.⊥ B.A., M.B.⊥ M.Ö., D ϵ AC..

Bul: ∆ MBD.

Çözüm.

Öğretmen. Bir üçgenin köşelerinden geçen bir düzlem çizmek mümkün mü?

Öğrenci. Evet yapabilirsin. Düzlem üç nokta boyunca çizilebilir.

Öğretmen. BA ve NE düz çizgileri bu düzleme göre nasıl konumlandırılacak?

Öğrenci. Bu çizgiler bu düzlemde uzanacak.

Öğretmen. Görünüşe göre bir uçağımız var ve içinde kesişen iki çizgi var. Doğrudan MV'nin bu doğrudan hatlarla ilişkisi nedir?

Öğrenci. Doğrudan MV⊥ VA, MV ⊥ VS.

Tahtaya ve not defterlerine yazın. Çünkü OG⊥ VA, MV ⊥ VS

Öğretmen. Bir çizgi, bir düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye dikse, çizgi bu düzlemle ilişkili olur mu?

Öğrenci. MV düz çizgisi ABC düzlemine dik olacaktır.

⊥ABC.

Öğretmen. D noktası AC doğru parçası üzerinde rastgele bir noktadır, öyleyse BD düz çizgisinin ABC düzlemiyle ilişkisi nasıl olacaktır?

Öğrenci. Bu, BD'nin ABC düzlemine ait olduğu anlamına gelir.

Tahtaya ve not defterlerine yazın. Çünkü BD ϵ ABC

Öğretmen. Doğrudan MV ve BD birbirlerine göre ne olacak?

Öğrenci. Bu çizgiler, düzleme dik bir çizginin tanımı gereği dik olacaktır.

Tahtaya ve not defterlerine yazın. ↔ MV⊥ BD

Öğretmen. Eğer MB BD'ye dik ise MBD üçgeni ne olacaktır?

Öğrenci. MBD üçgeni dikdörtgen olacaktır.

Tahtaya ve not defterlerine yazın. ↔ ∆MBD – dikdörtgen.

Öğretmen. Sağ. 127 sayısını çözelim. Görevi okuyun.

Öğrenci. Bir üçgendeABC açıların toplamı A Ve B90°'ye eşittir. DümdüzBDdüzleme dikABC. Kanıtla CD⊥ AC.

Öğrenci tahtaya çıkar. Bir çizim çizer.

Tahtaya ve not defterinize yazın.

Verilen: ∆ ABC,  A +  B= 90°, BD⊥ ABC.

Kanıtlamak: CD⊥ AC..

Kanıt:

Öğretmen. Bir üçgenin açılarının toplamı nedir?

Öğrenci. Bir üçgende açıların toplamı 180°'dir.

Öğretmen. ABC üçgenindeki C açısı ne olacaktır?

Öğrenci. ABC üçgenindeki C açısı 90°'ye eşit olacaktır.

Tahtaya ve not defterlerine yazın. C = 180° - A- B= 90°

Öğretmen. C açısı 90° ise AC ve BC düz çizgileri birbirine göre nasıl konumlandırılacaktır?

Öğrenci. Yani AC⊥ Güneş.

Tahtaya ve not defterlerine yazın. ↔ Klima⊥ Güneş

Öğretmen. BD doğrusu ABC düzlemine diktir. Bundan ne sonuç çıkıyor?

Öğrenci. Yani BD ABC'den gelen herhangi bir doğruya diktir.

BD⊥ ABC ↔ BDherhangi bir düz çizgiye dikABC(a-tarikat)

Öğretmen. Buna göre BD ile AC'yi nasıl yönlendirecek?

Öğrenci. Bu, bu çizgilerin dik olacağı anlamına gelir.

BD⊥ AC.

Öğretmen. AC, DBC düzleminde bulunan kesişen iki çizgiye diktir, ancak AC kesişme noktasından geçmez. Nasıl düzeltilir?

Öğrenci. B noktasından AC'ye paralel bir çizgi çiziyoruz. AC, BC ve BD'ye dik olduğundan, a, BC ve BD'ye lemma ile dik olacaktır.

Tahtaya ve not defterlerine yazın. B noktasından a ║AC ↔ a düz bir çizgi çiziyoruz⊥ M.Ö., ve ⊥ BD

Öğretmen. Eğer a düz çizgisi BC ve BD'ye dikse, a düz çizgisinin ve BDC düzleminin göreceli konumu hakkında ne söylenebilir?

Öğrenci. Bu, a düz çizgisinin BDC düzlemine dik olacağı ve dolayısıyla AC düz çizgisinin BDC'ye dik olacağı anlamına gelir.

Tahtaya ve not defterlerine yazın. ↔ bir⊥ BDC↔ AC ⊥ BDC.

Öğretmen. Eğer AC, BDC'ye dikse, AC ve DC düz çizgileri birbirine göre nasıl konumlandırılacaktır?

Öğrenci. AC ve DC, düzleme dik bir çizginin tanımı gereği dik olacaktır.

Tahtaya ve not defterlerine yazın. Çünkü AC⊥ BDC↔ AC ⊥ DC

Öğretmen. Tebrikler. 129 sayısını çözelim. Ödevi okuyun.

Öğrenci. Dümdüzsabahkare düzlemine dikABCDköşegenleri O noktasında kesişiyor. Aşağıdakileri kanıtlayın: a) düz çizgiBDdüzleme dikAMO; B)M.O.⊥ BD.

Bir öğrenci tahtaya gelir. Bir çizim çizer.

Tahtaya ve not defterinize yazın.

Verilen:ABCD- kare,sabah⊥ ABCD, AC. ∩ BD = Ö

Kanıtlamak:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Kanıt:

Öğretmen. Doğrunun doğru olduğunu kanıtlamamız gerekiyorBD⊥ AMO. Bunun gerçekleşmesi için hangi koşulların gerçekleşmesi gerekir?

Öğrenci. Düz olması gerekiyor BD düzlemden en az iki kesişen düz çizgiye dikti AMO.

Öğretmen. Şart şunu söylüyor BD kesişen iki çizgiye dik AMO mu?

Öğrenci. HAYIR.

Öğretmen. Ama bunu biliyoruz sabah dik ABCD . Bundan ne gibi bir sonuç çıkarılabilir?

Öğrenci. Ne demek sabah bu düzlemden herhangi bir düz çizgiye dik olan, yani sabah dik B.D.

sabah⊥ ABCD ↔ sabah⊥ BD(a-tarikat).

Öğretmen. Bir doğru diktir BD Orada. Kareye, düz çizgilerin birbirine göre nasıl yerleştirileceğine dikkat edin Klima ve BD?

Öğrenci. AC. dik olacak BD karenin köşegenlerinin özelliği ile.

Tahtaya ve not defterinize yazın. ÇünküABCD- kare, o zamanAC.⊥ BD(bir karenin köşegenlerinin özelliği ile)

Öğretmen. Düzlemde kesişen iki çizgi bulduk AMO düz bir çizgiye dik BD . Bundan ne sonuç çıkıyor?

Öğrenci. Ne demek BD düzleme dik AMO.

Tahtaya ve not defterlerine yazın. ÇünküAC.⊥ BDVesabah⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(özelliğe göre)

Öğretmen. Hangi doğruya düzleme dik olan doğru denir?

Öğrenci. Bir düzlemden herhangi bir doğruya dik olan bir doğruya bu düzleme dik denir.

Öğretmen. Bu, hatların birbirine nasıl bağlandığı anlamına gelir BD ve OM?

Öğrenci. Yani BD dik OM . Q.E.D.

Tahtaya ve not defterlerine yazın. ↔BD⊥ M.O.(a-tarikat). Q.E.D.

Özetleme (2 dakika)

Öğretmen. Bugün bir doğrunun ve bir düzlemin diklik işaretini inceledik. Ne gibi geliyor?

Öğrenci. Bir çizgi, bir düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye dikse, o zaman bu çizgi bu düzleme diktir.

Öğretmen. Sağ. Sorunları çözerken bu özelliği kullanmayı öğrendik. Kurulda cevap veren ve anında yardım edenlere aferin.

Ödev (2 dakika)

Öğretmen. Paragraf 1, paragraf 15-17, öğretin: lemma, tanım ve tüm teoremler. 130, 131 numara.

Bu yazıda bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinden bahsedeceğiz. Öncelikle düzleme dik doğrunun tanımı verilmiş, grafiksel gösterimi ve örneği verilmiş, düzleme dik doğrunun tanımı gösterilmiştir. Bundan sonra düz bir çizginin ve bir düzlemin diklik işareti formüle edilir. Daha sonra, üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sisteminde düz bir çizgi ve düzlem belirli denklemlerle belirtildiğinde, bir düz çizginin ve bir düzlemin dikliğini kanıtlamayı mümkün kılan koşullar elde edilir. Sonuç olarak tipik örneklere ve sorunlara ayrıntılı çözümler gösterilmektedir.

Sayfada gezinme.

Dik düz çizgi ve düzlem - temel bilgiler.

Bir düzleme dik olan bir doğrunun tanımı, doğruların dikliği üzerinden verildiği için, öncelikle dik doğruların tanımını tekrarlamanızı öneririz.

Tanım.

Bunu söylüyorlar doğru düzleme diktir, eğer bu düzlemde yer alan herhangi bir çizgiye dik ise.

Ayrıca bir düzlemin bir çizgiye dik olduğunu veya bir doğru ile bir düzlemin dik olduğunu da söyleyebiliriz.

Dikliği belirtmek için “” gibi bir simge kullanın. Yani c doğrusu düzleme dik ise kısaca yazabiliriz.

Bir düzleme dik bir çizgiye örnek olarak, bir odanın iki bitişik duvarının kesiştiği çizgi verilebilir. Bu çizgi düzleme ve tavan düzlemine diktir. Spor salonundaki bir ip, zemin düzlemine dik bir düz çizgi parçası olarak da düşünülebilir.

Makalenin bu paragrafının sonucunda, düz bir çizginin bir düzleme dik olması durumunda, düz çizgi ile düzlem arasındaki açının doksan dereceye eşit kabul edildiğini not ediyoruz.

Düz bir çizginin ve bir düzlemin dikliği - dikliğin işareti ve koşulları.

Uygulamada sıklıkla şu soru ortaya çıkıyor: "Verilen düz çizgi ve düzlem dik mi?" Buna cevap vermek için var Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için yeterli koşul yani yerine getirilmesi düz çizgi ile düzlemin dikliğini garanti eden bir koşuldur. Bu yeterli koşula bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin işareti denir. Bunu bir teorem şeklinde formüle edelim.

Teorem.

Belirli bir doğru ve düzlemin dik olması için, doğrunun bu düzlemde kesişen iki doğruya dik olması yeterlidir.

10-11. sınıflar için geometri ders kitabında bir doğrunun ve bir düzlemin diklik işaretinin kanıtına bakabilirsiniz.

Bir çizginin ve bir düzlemin dikliğini oluşturma problemlerini çözerken, aşağıdaki teorem de sıklıkla kullanılır.

Teorem.

İki paralel çizgiden biri bir düzleme dik ise, ikinci doğru da düzleme diktir.

Okulda, çözümü için bir çizginin ve bir düzlemin diklik işaretinin ve son teoremin kullanıldığı birçok problem göz önünde bulundurulur. Biz burada bunların üzerinde durmayacağız. Makalenin bu bölümünde bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için aşağıdaki gerekli ve yeterli koşulun uygulanmasına odaklanacağız.

Bu koşul aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir.

İzin vermek a çizgisinin yön vektörüdür ve düzlemin normal vektörüdür. A doğrusunun ve düzlemin dik olması için gerekli ve yeterlidir. Ve : burada t bir reel sayıdır.

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için bu gerekli ve yeterli koşulun kanıtı, bir doğrunun yön vektörü ve bir düzlemin normal vektörünün tanımlarına dayanmaktadır.

Açıkçası, bu koşulun, sabit bir üç boyutlu uzayda çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları ve düzlemin normal vektörünün koordinatları kolayca bulunabildiğinde, bir çizginin ve bir düzlemin dikliğini kanıtlamak için kullanılması uygundur. . Bu, düzlemin ve doğrunun geçtiği noktaların koordinatlarının verildiği durumlar için olduğu kadar, çizginin uzaydaki bir doğrunun bazı denklemleriyle belirlendiği ve düzlemin bir denklemle verildiği durumlar için de geçerlidir. bir tür uçak.

Birkaç örneğin çözümlerine bakalım.

Örnek.

Doğrunun dikliğini kanıtlayın ve uçaklar.

Çözüm.

Uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemlerinin paydalarındaki sayıların, bu doğrunun yön vektörünün karşılık gelen koordinatları olduğunu biliyoruz. Böylece, - doğrudan vektör .

Bir düzlemin genel denklemindeki x, y ve z değişkenlerinin katsayıları bu düzlemin normal vektörünün koordinatlarıdır, yani, düzlemin normal vektörüdür.

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için gerekli ve yeterli koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim.

Çünkü , sonra vektörler ve ilişkiyle ilişkilidir yani eşdoğrusaldırlar. Bu nedenle düz çizgi düzleme dik.

Örnek.

Çizgiler dik mi? ve uçak.

Çözüm.

Doğrunun düzleme dikliği için gerekli ve yeterli koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek için verilen bir doğrunun yön vektörünü ve düzlemin normal vektörünü bulalım.

Yön vektörü düzdür dır-dir

Uzaydaki düz bir çizginin düzlem olabilmesi için, diyagramda çizginin yatay izdüşümünün yatayın yatay izdüşümü olması ve ön izdüşümünün bunun ön kısmının ön izdüşümü olması gerekli ve yeterlidir. uçak.

Bir noktadan düzleme olan mesafeyi belirleme(Şekil 19)

1. Bir noktadan bir düzleme dik bir açı indirin (bunu düzlemde yapmak için)

h,f'yi basılı tutun);

2. Düz çizginin düzlemle kesişme noktasını bulun (bkz. Şekil 18);

3. N.v.'yi bulun. dikey bölüm (bkz. Şekil 7).

İkinci bölüm Projeksiyon düzlemlerini değiştirme yöntemi

(görev 5, 6,7 için)

Bu geometrik şekil projeksiyon düzlemleri sisteminde hareketsiz bırakılmıştır. Yeni projeksiyon düzlemleri, üzerlerinde elde edilen projeksiyonların söz konusu soruna rasyonel bir çözüm sunması için kurulur. Bu durumda, projeksiyon düzlemlerinin her yeni sistemi dik bir sistem olmalıdır. Nesneleri düzlemlere yansıttıktan sonra, her bir karşılıklı dik düzlem çiftinin ortak düz çizgileri (izdüşüm eksenleri) etrafında döndürülerek birleştirilirler.

Örneğin, P 1 ve P 2 düzlemlerinden oluşan bir sistemde A noktası belirtilsin. Sistemi başka bir P 4 (Şekil 20), P 1 P 4 düzlemiyle tamamlayalım. P 1 düzlemi ile ortak bir X 14 çizgisine sahiptir. A 4'ün P 4'e bir projeksiyonunu oluşturuyoruz.

AA 1 =A 2 A 12 =A 4 A 14.

İncirde. P 1, P 2 ve P 4 düzlemlerinin aynı hizaya getirildiği Şekil 21'de bu gerçek, A 1 A 4 X 14 ve A 14 A 4 A 2 A 12 sonucuyla belirlenir.

Noktanın yeni projeksiyonunun yeni projeksiyon eksenine (A 4 A 14) olan mesafesi, noktanın değiştirilen projeksiyonundan değiştirilen eksene (A 2 A 12) olan mesafeye eşittir.

Tanımlayıcı geometrinin çok sayıda metrik problemi aşağıdaki dört probleme dayanarak çözülür:

1. Genel konum düz çizgisinin düz düz çizgiye dönüştürülmesi (Şekil 22):

a) P 4 || AB (eksen X 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14 ;

c) A 4 A 14 = A 12 A 2;

V4V14 = V12V2;

A 4 B 4 - n.v.

2. Genel bir çizgiyi çıkıntılı bir çizgiye dönüştürme (Şekil 23):

a) P 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14 ;

bir 14 bir 4 = bir 12 bir 2;

V14V4 = V12V2;

A 4 B 4 - mevcut;

b) P 5 AB (X 45 A 4 B 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45;

A 45 A 5 =B 45 V 5 =A 14 A 1 =B 14 V 1;

3. Genel konum düzlemini çıkıntı konumuna dönüştürme (Şek. 24):

Düzlemin bir düz çizgisi çıkıntılı hale getirilirse düzlem çıkıntılı bir konuma getirilebilir. ABC düzleminde, tek bir dönüşümle çıkıntı yapılabilecek yatay bir çizgi (h 2, h 1) çiziyoruz. Yataya dik P 4 düzlemini çizelim; bu düzlem üzerine bir nokta olarak yansıtılacak ve üçgenin düzlemi de düz bir çizgi olarak yansıtılacaktır.

4. Genel konum düzleminin seviye düzlemine dönüştürülmesi (Şekil 25).

İki dönüşümü kullanarak düzlemi düz bir düzlem haline getirin. Öncelikle düzlem çıkıntılı hale getirilmeli (bkz. Şekil 25) ve ardından P 5 || çizilmelidir. A 4 B 4 C 4, A 5 B 5 C 5 - n.v.

Sorun #5

Genel konumda C noktasından düz bir çizgiye olan mesafeyi belirleyin (Şek. 26).

Çözüm 2. ana soruna geliyor. Daha sonra diyagramdaki mesafe iki nokta arasındaki mesafe olarak tanımlanır.

A 5 B 5 D 5 ve C 5.

Projeksiyon C 4 D 4 || X 45.

Sorun #6

()D'den A, B, C noktalarıyla belirtilen düzleme olan mesafeyi belirleyin (Şekil 27).

Sorun 2. ana problem kullanılarak çözüldü. ()D4'ten ABC düzleminin yansıtıldığı A 4 C 4 B 4 düz çizgisine olan mesafe (E 4 D 4), ED doğru parçasının doğal değeridir.

Projeksiyon D 1 E 1 || X 14;

E 2 E X12 = E 4 E X14.

Kendiniz inşa edin D 1 E 1.

Kendiniz inşa edin D 2 E 2.

Sorun No. 7

ABC üçgeninin gerçek boyutunu belirleyin (4. ana problemin çözümüne bakın) (Şekil 25)

Yapı belirli bir düzlemin dışından alınan bir noktadan bu düzleme dik olan düz çizgi.
İzin vermek A- düzlem, A – dikeyin indirilmesi gereken nokta. Düzlemde düz bir çizgi çizelim A. A noktasından ve düz çizgiden A hadi bir uçak çizelim B(düz bir çizgi ve bir nokta bir düzlemi tanımlar ve yalnızca bir tanesi). Uçakta B A noktasından düz bir çizgiye iniyoruz A dik AB. B noktasından uçağa A Dikliği yeniden oluşturalım ve bu dikmenin ötesinde bulunduğu düz çizgiyi gösterelim. İle. AB segmenti ve düz çizgi boyunca İle hadi bir uçak çizelim G(kesişen iki çizgi bir düzlemi tanımlar ve yalnızca bir tanesi). Uçakta G A noktasından düz bir çizgiye iniyoruz İle AC'ye dik. AC doğru parçasının düzleme dik olduğunu kanıtlayalım. B. Kanıt. Dümdüz A düz çizgilere dik İle ve AB (yapısal olarak), yani düzlemin kendisine dik olduğu anlamına gelir G, bu iki kesişen çizginin bulunduğu yer (çizginin ve düzlemin dikliğine bağlı olarak). Ve bu düzleme dik olduğu için bu düzlemdeki herhangi bir doğruya da diktir, yani düz bir çizgidir A AC'ye dik. AC çizgisi, α düzleminde yer alan iki çizgiye diktir: İle(inşaat yoluyla) ve A(kanıtlanmış olana göre), α düzlemine dik olduğu anlamına gelir (doğrunun ve düzlemin dikliğine göre)

Teorem 1 . Kesişen iki çizgi iki dik çizgiye paralelse, bunlar da diktir.
Kanıt. İzin vermek A Ve B- Dikey çizgiler, A 1 ve B 1 - onlara paralel kesişen çizgiler. Düz çizgilerin olduğunu kanıtlayalım A 1 ve B 1 diktir.
Düz ise A, B, A 1 ve B 1 aynı düzlemde bulunuyorsa planimetriden bilindiği gibi teoremde belirtilen özelliğe sahiptirler.
Şimdi çizgilerimizin aynı düzlemde olmadığını varsayalım. Sonra düz A Ve B bir α düzleminde yer alır ve düz çizgiler A 1 ve B 1 - bazı β düzlemlerinde. Düzlemlerin paralelliğine göre α ve β düzlemleri paraleldir. Doğruların kesişme noktası C olsun A Ve B ve C 1 - çizgilerin kesişimleri A 1 ve B 1. Paralel doğruların düzlemini çizelim A Ve A A Ve A A ve A 1 noktalarında 1. Paralel doğrular düzleminde B Ve B CC 1 düz çizgisine paralel 1 çizgi. Çizgileri aşacak B Ve B B ve B 1 noktalarında 1.
CAA 1 C 1 ve SVV 1 C 1 dörtgenleri, karşıt kenarları paralel olduğundan paralelkenarlardır. ABC 1 A 1 dörtgeni de bir paralelkenardır. AA 1 ve BB 1 kenarları paraleldir çünkü her biri CC 1 çizgisine paraleldir. Dolayısıyla dörtgen, AA 1 ve BB 1 paralel çizgilerinden geçen düzlemde yer alır. Ve AB ve A 1 B 1 paralel düz çizgileri boyunca paralel α ve β düzlemleriyle kesişir.
Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit olduğundan AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Üçüncü eşitlik işaretine göre ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri eşittir. Yani, ACB açısına eşit olan A 1 C 1 B 1 açısı düzdür, yani. dümdüz A 1 ve B 1 diktir. Vesaire.

Özellikler bir doğruya ve bir düzleme diktir.
Teorem 2 . Bir düzlem iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir.
Kanıt. İzin vermek A 1 ve A 2 - iki paralel çizgi ve α - çizgiye dik bir düzlem A 1. Bu düzlemin düz çizgiye dik olduğunu kanıtlayalım. A 2 .
A noktasından geçen bir doğrunun 2 kesişim noktasını çizelim. A 2 düzlemi α ile keyfi bir düz çizgi İleα düzleminde 2. α düzleminde A1 noktasından geçen doğrunun kesişimini çizelim. A 1 düzlemi α düz olan İle 1 doğruya paralel İle 2. Düz olduğundan A 1, α düzlemine dik, ardından düz çizgilerdir A 1 ve İle 1 diktir. Ve Teorem 1'e göre bunlara paralel kesişen doğrular A 2 ve İle 2'si de diktir. Böylece düz A 2 herhangi bir doğruya diktir İleα düzleminde 2. Ve bu şu anlama geliyor: düz A 2, α düzlemine diktir. Teorem kanıtlandı.

Teorem 3 . Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir.
Bir α düzlemimiz ve ona dik iki çizgimiz var A Ve B. Hadi bunu kanıtlayalım A || B.
Düzlemin düz çizgilerinin kesişme noktalarından düz bir çizgi çizin İle. Aldığımız özelliğe göre A ^ C Ve B ^ C. Düz çizgiler boyunca A Ve B Bir düzlem çizelim (iki paralel çizgi bir düzlemi tanımlar ve yalnızca bir tanesi). Bu düzlemde iki paralel çizgimiz var A Ve B ve sekant İle. Tek taraflı iç açıların toplamı 180° ise doğrular paraleldir. Tam da böyle bir durumumuz var - iki dik açı. Bu yüzden A || B.

Karşılıklı dik çizgilerin ve düzlemlerin oluşturulması, metrik problemlerin çözümünde önemli bir grafik işlemidir.

Bir çizgiye veya düzleme dik olanın yapısı, aşağıdaki şekilde formüle edilen dik açının özelliğine dayanmaktadır: dik açının kenarlarından biri projeksiyon düzlemine paralel ise diğeri ona dik değilse, daha sonra açı bu düzleme tam boyutta yansıtılır.

Şekil 28

Şekil 28'de gösterilen ABC dik açısının BC kenarı P 1 düzlemine paraleldir. Sonuç olarak, ABC açısının bu düzleme izdüşümü bir A 1 B 1 C 1 =90 dik açısını temsil edecektir.

Bir doğru, bu düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye dik ise, bu düzleme diktir. Düzleme ait bir dizi düz çizgiden bir dik oluştururken, yatay ve önden düz düz çizgiler seçin. Bu durumda dikeyin yatay izdüşümü yataya dik olarak gerçekleştirilir ve önden izdüşümü öne dik olur. Şekil 29'da gösterilen örnek, K noktasından ABC üçgeni ile tanımlanan düzleme dik olanın yapımını göstermektedir. Bunu yapmak için önce düzlemdeki yatay ve ön çizgileri çizin. Daha sonra, K noktasının ön izdüşümünden, ön tarafın ön izdüşümüne dik ve noktanın yatay izdüşümünden - yatayın yatay izdüşümüne dik bir çizeriz. Daha sonra yardımcı kesme düzlemi Σ'yi kullanarak bu dikmenin düzlemle kesişme noktasını oluştururuz. Gerekli nokta F'dir. Böylece elde edilen KF parçası ABC düzlemine diktir.

Şekil 29

Şekil 29 ABC düzlemine dik bir KF'nin yapısını göstermektedir.

Bir düzlemde yer alan bir doğru diğer düzlemin kesişen iki doğrusuna dik ise iki düzlem birbirine diktir. Bu ABC düzlemine dik bir düzlemin yapısı Şekil 30'da gösterilmektedir. M noktasından ABC düzlemine dik bir MN düz çizgisi çizilir. Bu çizginin yatay izdüşümü AC'ye diktir, çünkü AC yataydır ve ön izdüşüm AB'ye diktir, çünkü AB öndendir. Daha sonra M noktasından keyfi bir EF düz çizgisi çizilir. Dolayısıyla düzlem ABC'ye diktir ve kesişen iki doğru EF ve MN ile tanımlanır.

Şekil 30

Bu yöntem, bölümlerin genel konumdaki doğal değerlerinin yanı sıra projeksiyon düzlemlerine olan eğim açılarını belirlemek için kullanılır. Bu yöntemi kullanarak bir doğru parçasının doğal boyutunu belirlemek için, parçanın çıkıntılarından birine dik bir üçgen tamamlamak gerekir. Diğer bacak ise doğru parçasının uç noktalarının yükseklik veya derinlik farkı olacak ve hipotenüs doğal değer olacaktır.

Bir örnek düşünelim: Şekil 31 bir AB doğru parçasını genel konumda göstermektedir. Doğal boyutunun ve çıkıntıların ön ve yatay düzlemlerine olan eğim açılarının belirlenmesi gerekmektedir.

Yatay bir düzlemde parçanın uçlarından birine dik çiziyoruz. Segmentin uçlarının yükseklik farkını (ZA-ZB) üzerine çizip dik üçgenin yapımını tamamlıyoruz. Hipotenüsü, parçanın doğal değeridir ve doğal değer ile parçanın izdüşümü arasındaki açı, parçanın P 1 düzlemine eğim açısının doğal değeridir. Ön düzlemdeki yapım sırası aynıdır. Dikey boyunca segmentin uçlarının derinliklerindeki farkı (YA-YB) çiziyoruz. Segmentin doğal boyutu ile önden izdüşümü arasında ortaya çıkan açı, segmentin P2 düzlemine eğim açısıdır.

Şekil 31

1. Dik açıların özelliği ile ilgili bir teorem belirtin.

2. Düz bir çizgi hangi durumda bir düzleme dik olur?

3. Uzaydaki bir noktadan geçen kaç tane düz çizgi ve belirli bir düzleme dik kaç tane düzlem çizilebilir?

4. Dik üçgen yöntemi ne için kullanılır?

5. Genel konumdaki bir parçanın projeksiyonların yatay düzlemine olan eğim açısını belirlemek için bu yöntem nasıl kullanılır?