Birim çember cinsinden trigonometrik fonksiyonların tanımı. Kosinüs fonksiyonunun grafiği, y = cos x

Temel trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant) arasındaki ilişkiler verilmiştir. trigonometrik formüller. Trigonometrik fonksiyonlar arasında oldukça fazla bağlantı olduğu için bu, trigonometrik formüllerin bolluğunu açıklamaktadır. Bazı formüller aynı açının trigonometrik fonksiyonlarını birbirine bağlar, diğerleri - çok açılı fonksiyonlar, diğerleri - dereceyi azaltmanıza izin verir, dördüncü - tüm fonksiyonları yarım açının tanjantı ile ifade eder, vb.

Bu yazıda trigonometri problemlerinin büyük çoğunluğunu çözmeye yeterli olan tüm temel trigonometrik formülleri sırayla listeleyeceğiz. Ezberleme ve kullanım kolaylığı açısından bunları amaçlarına göre gruplandırıp tablolara koyacağız.

Sayfada gezinme.

Temel trigonometrik kimlikler

Temel trigonometrik kimlikler Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bunlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımlarının yanı sıra birim çember kavramından kaynaklanmaktadır. Bir trigonometrik fonksiyonu diğerine göre ifade etmenize izin verirler.

Bu trigonometri formüllerinin ayrıntılı bir açıklaması, bunların türetilmesi ve uygulama örnekleri için makaleye bakın.

Azaltma formülleri

Azaltma formülleri sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın özelliklerinden kaynaklanır, yani trigonometrik fonksiyonların periyodiklik özelliğini, simetri özelliğini ve ayrıca belirli bir açıyla kayma özelliğini yansıtırlar. Bu trigonometrik formüller, rastgele açılarla çalışmaktan sıfır ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçiş yapmanızı sağlar.

Bu formüllerin mantığı, bunları ezberlemek için anımsatıcı bir kural ve uygulama örnekleri makalede incelenebilir.

Toplama formülleri

Trigonometrik toplama formülleriİki açının toplamı veya farkının trigonometrik fonksiyonlarının bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu formüller aşağıdaki trigonometrik formüllerin türetilmesi için temel oluşturur.

İkili, üçlü vb. formüller. açı

İkili, üçlü vb. formüller. açı (bunlara çoklu açı formülleri de denir) ikili, üçlü vb. trigonometrik fonksiyonların nasıl olduğunu gösterir. açılar (), tek bir açının trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade edilir. Bunların türetilmesi toplama formüllerine dayanmaktadır.

Daha ayrıntılı bilgi ikili, üçlü vb. için makale formüllerinde toplanmıştır. açı

Yarım açı formülleri

Yarım açı formülleri yarım açının trigonometrik fonksiyonlarının tam açının kosinüsü cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu trigonometrik formüller çift açı formüllerinden kaynaklanmaktadır.

Sonuçları ve uygulama örnekleri makalede bulunabilir.

Derece azaltma formülleri

Dereceleri azaltmak için trigonometrik formüller trigonometrik fonksiyonların doğal kuvvetlerinden birinci dereceden sinüs ve kosinüslere, ancak çoklu açılara geçişi kolaylaştırmak için tasarlanmıştır. Başka bir deyişle trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerini birinciye düşürmenize olanak tanırlar.

Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller

Asıl amaç trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller Trigonometrik ifadeleri basitleştirirken çok yararlı olan fonksiyonların çarpımına gitmektir. Bu formüller aynı zamanda sinüs ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpanlara ayırmanıza olanak tanıdığından trigonometrik denklemlerin çözümünde de yaygın olarak kullanılır.

Sinüs, kosinüs ve sinüs-kosinüs çarpımı için formüller

Trigonometrik fonksiyonların çarpımından bir toplam veya farka geçiş, sinüs, kosinüs ve sinüs kosinüs çarpımı formülleri kullanılarak gerçekleştirilir.

Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir

Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. www.site'nin hiçbir kısmı, iç materyaller ve görünüm de dahil olmak üzere, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz veya kullanılamaz.

Merkezi orijinde olacak şekilde bir birim çember oluşturursak ve argüman için isteğe bağlı bir değer belirlersek x 0 ve eksenden sayın Öküz köşe X 0, o zaman birim çember üzerindeki bu açı belirli bir noktaya karşılık gelir A(Şekil 1) ve eksene izdüşümü Ah bir nokta olacak M. Bölüm uzunluğu OM noktanın apsisinin mutlak değerine eşit A. Verilen argüman değeri x 0 işlev değeri eşlendi sen=çünkü X 0 apsis noktaları gibi A. Buna göre nokta İÇİNDE(X 0 ;en 0) fonksiyonun grafiğine aittir en=çünkü X(İncir. 2). Eğer nokta A eksenin sağındadır kuruluş birimi, Mevcut sinüs pozitif olacaktır, ancak sola doğru ise negatif olacaktır. Ama yine de, dönem Açemberden ayrılamaz. Bu nedenle kosinüs -1 ila 1 aralığındadır:

–1 = çünkü X = 1.

Herhangi bir açıda ek dönüş, 2'nin katı P, dönüş noktası A aynı yere. Bu nedenle fonksiyon y =çünkü XP:

çünkü( X+ 2P) = çünkü X.

Argümanın mutlak değerde eşit, ancak işarette zıt iki değerini alırsak, X Ve - X, Çember üzerinde karşılık gelen noktaları bulun bir x Ve A -x. Şekil 2'de görülebileceği gibi. 3 eksene izdüşümleri Ah aynı nokta M. Bu yüzden

çünkü(– X) = çünkü ( X),

onlar. kosinüs çift bir fonksiyondur, F(–X) = F(X).

Bu, fonksiyonun özelliklerini keşfedebileceğimiz anlamına gelir sen=çünkü X segmentte , ve sonra paritesini ve periyodikliğini hesaba katın.

Şu tarihte: X= 0 puan A eksende yatıyor Ah, apsisi 1'dir ve bu nedenle cos 0 = 1'dir. X nokta A daire etrafında yukarı ve sola doğru hareket ettiğinden, izdüşümü doğal olarak sadece sola doğru ve x = noktasındadır. P/2 kosinüs 0'a eşit olur. Nokta Aşu anda maksimum yüksekliğine yükseliyor ve sonra sola doğru hareket etmeye devam ediyor, ancak zaten alçalıyor. Apsisi -1'e eşit en küçük değere ulaşana kadar azalır. X= P. Böylece, aralıkta fonksiyon en=çünkü X monoton olarak 1'den -1'e azalır (Şekil 4, 5).

Kosinüs paritesinden şu aralıkta şunu takip eder: [– P, 0] fonksiyon monoton olarak –1'den 1'e artar ve sıfır değerini alır. x =–P/2. Birkaç periyot alırsanız dalgalı bir eğri elde edersiniz (Şek. 6).

Yani fonksiyon sen=çünkü X noktalarda sıfır değer alır X= P/2 + kp, Nerede k- herhangi bir tamsayı. 1'e eşit maksimumlara noktalarda ulaşılır X= 2kp, yani 2'li adımlarla P ve minimumlar noktalarda -1'e eşittir X= P + 2kp.

Fonksiyon y = sin x.

Birim daire köşesinde X 0 bir noktaya karşılık gelir A(Şekil 7), ve eksene izdüşümü kuruluş birimi bir nokta olacak N.Z fonksiyon değeri y 0 = günah x 0 bir noktanın koordinatı olarak tanımlanır A. Nokta İÇİNDE(köşe X 0 ,en 0) fonksiyonun grafiğine aittir sen= günah X(Şekil 8). Fonksiyonun olduğu açıktır. y= günah X periyodik, periyodu 2 P:

günah( X+ 2P) = günah ( X).

İki bağımsız değişken değeri için, X Ve - , karşılık gelen noktaların projeksiyonları bir x Ve A -x eksen başına kuruluş birimi noktaya göre simetrik olarak yerleştirilmiş HAKKINDA. Bu yüzden

günah(- X) = –sin ( X),

onlar. sinüs tek bir fonksiyondur, f(– X) = –f( X) (Şekil 9).

Eğer nokta A bir noktaya göre döndürme HAKKINDA bir açıyla P/2 saat yönünün tersine (başka bir deyişle, eğer açı X kadar artmak P/2), o zaman yeni konumdaki koordinatı eski konumdaki apsise eşit olacaktır. Bunun anlamı

günah( X+ P/2) = çünkü X.

Aksi takdirde sinüs, şu kadar "geç" bir kosinüs olur: P/2, argüman arttığında herhangi bir kosinüs değeri sinüste "tekrarlanacağından" P/2. Ve bir sinüs grafiği oluşturmak için kosinüs grafiğini kaydırmak yeterlidir. P/2 sağa (Şek. 10). Sinüsün son derece önemli bir özelliği eşitlikle ifade edilir

Eşitliğin geometrik anlamı Şekil 2'de görülebilir. 11. Burada X - bu yarım yay AB, de olduğu gibi X - karşılık gelen akorun yarısı. Noktalar yaklaştıkça belli oluyor A Ve İÇİNDE akorun uzunluğu giderek yayın uzunluğuna yaklaşıyor. Aynı şekilden eşitsizliği elde etmek kolaydır

|günah X| x|, herhangi biri için doğru X.

Matematikçiler formül (*)'a kayda değer bir limit diyorlar. Bundan özellikle şu günah çıkar: X» X küçük X.

Fonksiyonlar en= tg x, y=ctg X. Diğer iki trigonometrik fonksiyon, teğet ve kotanjant, en kolay şekilde bizim tarafımızdan bilinen sinüs ve kosinüs oranları olarak tanımlanır:

Sinüs ve kosinüs gibi, tanjant ve kotanjant da periyodik fonksiyonlardır ancak periyotları eşittir P, yani sinüs ve kosinüsün yarısı kadardırlar. Bunun nedeni açıktır: Eğer sinüs ve kosinüs her ikisi de işaret değiştirirse, oranları değişmeyecektir.

Teğetin paydası bir kosinüs içerdiğinden, kosinüsün 0 olduğu noktalarda teğet tanımlanmaz; X= P/2 +kp. Diğer tüm noktalarda monoton olarak artar. Doğrudan X= P/2 + kp teğet için dikey asimptotlardır. noktalarda kp teğet ve eğim sırasıyla 0 ve 1'dir (Şekil 12).

Kotanjant, sinüsün 0 olduğu yerde tanımlanmamıştır (ne zaman x = kp). Diğer noktalarda monoton bir şekilde azalır ve düz çizgiler çizilir. x = kp – dikey asimptotları. noktalarda x = p/2 +kp kotanjant 0 olur ve bu noktalardaki eğim –1 olur (Şekil 13).

Parite ve periyodiklik.

Bir fonksiyon çağrılsa bile F(–X) = F(X). Kosinüs ve sekant fonksiyonları çifttir ve sinüs, teğet, kotanjant ve kosekant fonksiyonları tektir:

Parite özellikleri noktaların simetrisinden kaynaklanır P bir ve R- A (Şekil 14) eksene göre X. Böyle bir simetriyle noktanın ordinatı işaret değiştirir (( X;en) gider ( X; –y)). Periyodik, sinüs, kosinüs, sekant ve kosekant gibi tüm fonksiyonların periyodu 2'dir. P, ve teğet ve kotanjant - P:

Sinüs ve kosinüsün periyodikliği, tüm noktaların P a+2 kp, Nerede k= 0, ±1, ±2,…, çakışır ve teğet ve kotanjantın periyodikliği noktaların P bir + kp dönüşümlü olarak dairenin taban tabana zıt iki noktasına düşerek teğet ekseninde aynı noktayı verir.

Trigonometrik fonksiyonların temel özellikleri bir tabloda özetlenebilir:

Azaltma formülleri.

Bu formüllere göre a argümanının trigonometrik fonksiyonunun değeri, burada P/2 a p , a argüman fonksiyonunun değerine indirgenebilir; burada 0 a p /2, onunla aynı veya tamamlayıcıdır.

Argüman b	-A	+ bir	P-A	P+ bir	+ bir	+ bir	2P-A
günah b	çünkü bir	çünkü bir	günah işlemek	–sin a	–çünkü bir	–çünkü bir	–sin a
çünkü b	günah işlemek	–sin a	–çünkü bir	–çünkü bir	–sin a	günah işlemek	çünkü bir

Bu nedenle trigonometrik fonksiyon tablolarında değerler yalnızca dar açılar için verilmiştir ve kendimizi örneğin sinüs ve teğet ile sınırlamak yeterlidir. Tablo sinüs ve kosinüs için yalnızca en sık kullanılan formülleri gösterir. Bunlardan teğet ve kotanjant formülleri elde etmek kolaydır. Formun bir argümanından bir fonksiyon oluştururken kp/2 ± a, burada k– a argümanının bir fonksiyonuna ait bir tamsayı:

1) aşağıdaki durumlarda fonksiyon adı kaydedilir: k eşit ve eğer "tamamlayıcı" olarak değişir k garip;

2) sağ taraftaki işaret, noktadaki indirgenebilir fonksiyonun işareti ile çakışmaktadır. kp/2 ± a eğer a açısı dar ise.

Örneğin, ctg (a – P/2) şunu garanti ederiz: a – P/2, 0'da a p /2, kotanjantın negatif olduğu dördüncü çeyrekte yer alır ve kural 1'e göre fonksiyonun adını değiştiririz: ctg (a – P/2) = –tg a .

Toplama formülleri.

Çoklu açı formülleri.

Bu formüller doğrudan toplama formüllerinden türetilir:

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

günah 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a ;

çünkü 3a = 4 çünkü 3 a – 3 çünkü a;

Cos 3a formülü kübik denklemi çözerken François Viète tarafından kullanıldı. Çünkü ifadesini ilk bulan oydu N bir ve günah N a, daha sonra Moivre formülünden daha basit bir şekilde elde edildi.

Çift bağımsız değişkenli formüllerde a'yı a /2 ile değiştirirseniz, bunlar yarım açı formüllerine dönüştürülebilir:

Evrensel ikame formülleri.

Bu formülleri kullanarak, aynı argümanın farklı trigonometrik fonksiyonlarını içeren bir ifade, tek bir tg (a /2) fonksiyonunun rasyonel ifadesi olarak yeniden yazılabilir, bu, bazı denklemleri çözerken faydalı olabilir:

Toplamları ürünlere ve ürünleri toplamlara dönüştürmek için formüller.

Bilgisayarların ortaya çıkmasından önce bu formüller hesaplamaları basitleştirmek için kullanılıyordu. Hesaplamalar logaritmik tablolar ve daha sonra bir sürgülü hesap cetveli kullanılarak yapıldı, çünkü logaritmalar sayıları çarpmak için en uygun olanıdır, bu nedenle tüm orijinal ifadeler logaritma için uygun bir forma getirildi; örneğin işe:

2 günah A günah b = çünkü ( a-b) – çünkü ( a+b);

2cos Açünkü B=çünkü( a-b) + çünkü ( a+b);

2 günah Açünkü B= günah( a-b) + günah ( a+b).

Teğet ve kotanjant fonksiyonlarına ilişkin formüller yukarıdan elde edilebilir.

Derece indirgeme formülleri.

Çoklu argüman formüllerinden aşağıdaki formüller türetilir:

Bu formülleri kullanarak trigonometrik denklemler daha düşük dereceli denklemlere indirgenebilir. Aynı şekilde sinüs ve kosinüsün daha yüksek güçleri için indirgeme formülleri türetebiliriz.

Tanım alanının her noktasındaki her trigonometrik fonksiyon süreklidir ve sonsuz şekilde türevlenebilir. Ayrıca trigonometrik fonksiyonların türevleri trigonometrik fonksiyonlardır ve entegre edildiklerinde trigonometrik fonksiyonlar veya logaritmaları da elde edilir. Trigonometrik fonksiyonların rasyonel kombinasyonlarının integralleri her zaman temel fonksiyonlardır.

Trigonometrik fonksiyonların kuvvet serileri ve sonsuz çarpımlar şeklinde gösterimi.

Tüm trigonometrik fonksiyonlar kuvvet serilerinde genişletilebilir. Bu durumda fonksiyonlar günah işler. X bcos X satırlar halinde sunulmaktadır. tüm değerler için yakınsak X:

Bu seriler günah için yaklaşık ifadeler elde etmek için kullanılabilir. X ve çünkü X küçük değerlerde X:

| x| p/2;

0x'de| P

(B n – Bernoulli sayıları).

günah fonksiyonları X ve çünkü X sonsuz ürünler olarak temsil edilebilir:

Trigonometrik sistem 1, çünkü X,günah X, çünkü 2 X, günah 2 X,¼,çünkü nx,günah nx, ¼, segmentte oluşur [– P, P] fonksiyonların trigonometrik seriler biçiminde temsil edilmesini mümkün kılan ortogonal bir fonksiyon sistemi.

gerçek argümanın karşılık gelen trigonometrik fonksiyonlarının karmaşık düzlemdeki analitik devamları olarak tanımlanır. Evet günah z ve çünkü z günah serileri kullanılarak belirlenebilir X ve çünkü X, bunun yerine X koymak z:

Bu seriler tüm düzlem üzerinde yakınsaktır, dolayısıyla günah z ve çünkü z- tüm işlevler.

Teğet ve kotanjant aşağıdaki formüllerle belirlenir:

tg fonksiyonları z ve ctg z– meromorfik fonksiyonlar. tg direkleri z ve saniye z– basit (1. dereceden) ve noktalarda bulunur z = p/2 + pn, CTG direkleri z ve cosec z– aynı zamanda basit ve noktalarda yer alıyor z = pn, n = 0, ±1, ±2,…

Gerçek bir argümanın trigonometrik fonksiyonları için geçerli olan tüm formüller, karmaşık bir argüman için de geçerlidir. Özellikle,

günah(- z) = –sin z,

çünkü(– z) = çünkü z,

tg(– z) = –tg z,

ctg(– z) = –ctg z,

onlar. çift ​​ve tek parite korunur. Formüller de kaydedilir

günah( z + 2P) = günah z, (z + 2P) = çünkü z, (z + P) = tg z, (z + P) = ctg z,

onlar. periyodiklik de korunur ve dönemler gerçek bir argümanın işlevleriyle aynıdır.

Trigonometrik fonksiyonlar tamamen hayali bir argümanın üstel fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir:

Geri, e iz cos cinsinden ifade edilir z ve günah z formüle göre:

e iz=çünkü z + Ben günah z

Bu formüllere Euler formülleri denir. Leonhard Euler bunları 1743'te geliştirdi.

Trigonometrik fonksiyonlar aynı zamanda hiperbolik fonksiyonlar cinsinden de ifade edilebilir:

z = –Benş iz, çünkü z = ch iz, z = –i th iz.

burada sh, ch ve th hiperbolik sinüs, kosinüs ve tanjanttır.

Karmaşık argümanın trigonometrik fonksiyonları z = x + iy, Nerede X Ve sen– gerçek sayılar, gerçek argümanların trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonları aracılığıyla ifade edilebilir, örneğin:

günah( x + iy) = günah X ch sen + Bençünkü Xş sen;

çünkü( x + iy) = çünkü X ch sen + Ben günah Xş sen.

Karmaşık bir argümanın sinüs ve kosinüsü, mutlak değer olarak 1'den büyük gerçek değerler alabilir. Örneğin:

Bilinmeyen bir açı, trigonometrik fonksiyonların argümanı olarak bir denkleme girerse, o zaman denklem trigonometrik olarak adlandırılır. Bu tür denklemler o kadar yaygındır ki yöntemleri çözümler oldukça detaylı ve dikkatli bir şekilde geliştirildi. İLEÇeşitli teknikler ve formüller kullanılarak trigonometrik denklemler formdaki denklemlere indirgenir. F(X)= bir, Nerede F– en basit trigonometrik fonksiyonlardan herhangi biri: sinüs, kosinüs, teğet veya kotanjant. Daha sonra argümanı ifade edin X bu fonksiyon bilinen değeriyle A.

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan aynı A değer aralığından bağımsız değişkenin sonsuz sayıda değeri vardır ve denklemin çözümleri tek bir fonksiyon olarak yazılamaz A. Bu nedenle temel trigonometrik fonksiyonların her birinin tanım alanında her birinin bir kez olmak üzere tüm değerlerini aldığı bir bölüm seçilir ve bu bölümde bunun tersi olan fonksiyon bulunur. Bu tür işlevler, orijinal işlevin adına yay (yay) önekinin eklenmesiyle gösterilir ve ters trigonometrik olarak adlandırılır. fonksiyonlar veya basitçe yay fonksiyonları.

Ters trigonometrik fonksiyonlar.

Günah için X, çünkü X, tg X ve ctg X Ters fonksiyonlar tanımlanabilir. Buna göre arcsin ile gösterilirler. X("arksin" okuyun X"), arcos X, arktan X ve arcctg X. Tanım gereği arksin X böyle bir sayı var sen, Ne

günah en = X.

Diğer ters trigonometrik fonksiyonlar için de benzer şekilde. Ancak bu tanımda bazı yanlışlıklar bulunmaktadır.

Eğer günahı yansıtırsan X, çünkü X, tg X ve ctg X Koordinat düzleminin birinci ve üçüncü çeyreğinin açıortayına göre, bu durumda fonksiyonlar periyodiklikleri nedeniyle belirsiz hale gelir: sonsuz sayıda açı aynı sinüse (kosinüs, teğet, kotanjant) karşılık gelir.

Belirsizliği ortadan kaldırmak için eğrinin genişliği P Bu durumda argüman ile fonksiyonun değeri arasında bire bir yazışmanın sürdürülmesi gerekir. Koordinatların başlangıç ​​noktasına yakın alanlar seçilir. sinüs girişi için “Bire bir aralık” olarak segmenti alıyoruz [– P/2, P/2], burada sinüs monoton olarak –1'den 1'e yükselir, kosinüs için – segment, sırasıyla teğet ve kotanjant için aralıklar (– P/2, P/2) ve (0, P). Aralıktaki her eğri açıortaya göre yansıtılır ve artık ters trigonometrik fonksiyonlar belirlenebilir. Örneğin, argüman değeri verilsin x 0,öyle ki 0 Ј X 0 Ј 1. Daha sonra fonksiyonun değeri sen 0 = arksin X 0 tek bir anlamı olacak en 0 , öyle ki - P/2 Ј en 0 Ј P/2 ve X 0 = günah sen 0 .

Dolayısıyla arksinüs arksinin bir fonksiyonudur A, [–1, 1] aralığında tanımlanır ve her biri için eşittir A böyle bir değere a , – P/2 a p /2 günah a = A. Birim daire kullanarak temsil etmek çok uygundur (Şekil 15). Ne zaman | a| 1 Bir daire üzerinde koordinatları olan iki nokta vardır A, eksene göre simetrik sen. Bunlardan biri açıya karşılık gelir A= arksin A, diğeri ise köşe p-a. İLE sinüsün periyodikliğini dikkate alarak, günah denklemini çözer X= Aşu şekilde yazılır:

x =(–1)N arksin A + 2pn,

Nerede N= 0, ±1, ±2,...

Diğer basit trigonometrik denklemler aynı şekilde çözülebilir:

çünkü X = A, –1 =A= 1;

x =±arcos A + 2pn,

Nerede P= 0, ±1, ±2,... (Şekil 16);

tg X = A;

X= arktan A + P N,

Nerede n = 0, ±1, ±2,... (Şek. 17);

ctg X= A;

X= arkctg A + P N,

Nerede n = 0, ±1, ±2,... (Şek. 18).

Ters trigonometrik fonksiyonların temel özellikleri:

arksin X(Şekil 19): tanım alanı – segment [–1, 1]; menzil - [- P/2, P/2], monoton olarak artan fonksiyon;

Arcco'lar X(Şekil 20): tanım alanı – segment [–1, 1]; değer aralığı – ; monoton olarak azalan fonksiyon;

arktg X(Şekil 21): tanım alanı – tüm gerçek sayılar; değer aralığı – aralık (– P/2, P/2); monoton olarak artan fonksiyon; dümdüz en= –P/2 ve y = p /2 – yatay asimptotlar;

arkctg X(Şekil 22): tanım alanı – tüm gerçek sayılar; değer aralığı – aralık (0, P); monoton olarak azalan fonksiyon; dümdüz sen= 0 ve y = p– yatay asimptotlar.

Herkes için z = x + iy, Nerede X Ve sen gerçek sayılardır, eşitsizlikler geçerlidir

½| e\e y–e-e| ≤|günah z|≤½( e y + e-y),

½| e y–e-e| ≤|çünkü z|≤½( e y +e -y),

hangisinin sen® Ґ asimptotik formüller aşağıdaki gibidir (eşit olarak X)

|günah z| » 1/2 e |y| ,

|çünkü z| » 1/2 e |y| .

Trigonometrik fonksiyonlar ilk olarak astronomi ve geometri araştırmalarıyla bağlantılı olarak ortaya çıktı. Esasen trigonometrik fonksiyonlar olan üçgen ve daire içindeki bölümlerin oranları 3. yüzyılda zaten bulunmuştur. M.Ö e. Antik Yunan matematikçilerinin eserlerinde – Öklid, Arşimet, Pergeli Apollonius ve diğerleri, ancak bu ilişkiler bağımsız bir çalışma konusu değildi, bu nedenle trigonometrik fonksiyonları bu şekilde incelemediler. Başlangıçta segmentler olarak kabul edilmişler ve bu formda Aristarchus (M.Ö. 4. yüzyılın sonları - 2. yüzyıl, MÖ 3. yüzyıl), Hipparchus (M.Ö. 2. yüzyıl), Menelaus (MS 1. yüzyıl) ve Ptolemy (MS 2. yüzyıl) tarafından kullanılmıştır. küresel üçgenlerin çözümü. Ptolemy, her 30 inçlik dar açılar için 10 –6 doğrulukla ilk akor tablosunu derledi. Bu ilk sinüs tablosuydu. Oran olarak sin a fonksiyonu Aryabhata'da (5. yüzyılın sonu) zaten bulunuyor. tg a ve ctg a işlevleri el-Battani (9. yüzyılın 2. yarısı - 10. yüzyılın başları) ve Abul-Vefa'da (10. yüzyıl) bulunur; o da sec a ve cosec a Aryabhata'yı zaten biliyordu (sin 2 a) + cos 2 a) = 1 ve ayrıca yarım açının sin ve cos formülleri, bunun yardımıyla 3°45"'e kadar olan açılar için sinüs tabloları oluşturdum; en basit argümanlar için trigonometrik fonksiyonların bilinen değerlerine dayanmaktadır. Bhaskara (12. yüzyıl), toplama formüllerini kullanarak 1'e göre tablolar oluşturmak için bir yöntem verdi. Çeşitli argümanların trigonometrik fonksiyonlarının toplamını ve farkını bir ürüne dönüştürmek için formüller, Regiomontanus (15. yüzyıl) ve J. Napier tarafından, logaritmaların icadıyla (1614) bağlantılı olarak türetilmiştir. Regiomontan, 1" cinsinden sinüs değerleri tablosunu verdi. Trigonometrik fonksiyonların güç serilerine genişletilmesi I. Newton (1669) tarafından elde edildi. Trigonometrik fonksiyonlar teorisi, L. Euler ( 18. yüzyıl), üstel fonksiyon ve sinüs ve kosinüs sisteminin ortogonalliği ile bağlantılar kuran, artık sembolizm olarak kabul edilen gerçek ve karmaşık argümanların tanımına sahiptir.

Wikipedia'dan materyal - özgür ansiklopedi

Trigonometrik fonksiyonlar- dik üçgenler dikkate alındığında tarihsel olarak ortaya çıkan ve bu üçgenlerin kenarlarının hipotenüsteki dar açılara bağımlılığını (veya eşdeğer olarak akorların ve yüksekliklerin bir daire içindeki merkezi açıya (yay) bağımlılığını) ifade eden temel işlevler. Bu işlevler bilimin çeşitli alanlarında geniş uygulama alanı bulmuştur. Daha sonra trigonometrik fonksiyonların tanımı genişletildi; argümanları artık isteğe bağlı bir gerçek veya hatta karmaşık bir sayı olabilir. Trigonometrik fonksiyonların özelliklerini inceleyen bilime trigonometri denir.

Trigonometrik fonksiyonlar şunları içerir:

Doğrudan trigonometrik fonksiyonlar

• sinüs ( $\backslash sin\; x$)
• kosinüs ( $\backslash çünkü\; x$)

• teğet ( $\backslash mathrm(tg)\backslash ,\; x$)
• kotanjant ( $\backslash mathrm(ctg)\backslash ,\; x$)

• sekant ( $\backslash sn\; x$)
• kosekant ( $\backslash mathrm(cosec)\backslash ,\; x$)

Batı literatüründe teğet, kotanjant ve kosekant ifade edilir $\backslash tan\; x,\; \backslash cot\; x,\; \backslash csc\; x$.

Bu altısının yanı sıra, ayrı makalelerde ele alınan, nadiren kullanılan bazı trigonometrik fonksiyonlar (versinus vb.) ve ters trigonometrik fonksiyonlar (arksinüs, arkkosinus vb.) de vardır.

Gerçek argümanın sinüsü ve kosinüsü periyodik ve sonsuz gerçek değerli fonksiyonlardır. Gerçel eksende kalan dört fonksiyon da gerçel değerlidir, periyodiktir ve tanım alanında sonsuz şekilde türevlenebilir, ancak sürekli değildir. Teğet ve sekant noktalarda ikinci tür süreksizliklere sahiptir. $\backslash pm\; \backslash pi\; n\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(2)$ ve kotanjant ve kosekant noktalardadır $\backslash pm\backslash pi\; n$.
Trigonometrik fonksiyonların grafikleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.

Belirleme yöntemleri

Geometrik tanım

Tipik olarak trigonometrik fonksiyonlar geometrik olarak tanımlanır. Bize bir düzlem üzerinde Kartezyen koordinat sistemi verilsin ve yarıçapı bir daire oluşturalım. $R$ orijin merkezli $Ö$. Herhangi bir açı, x ekseninin pozitif yönünden herhangi bir ışına doğru bir dönme olarak düşünülebilir. $O.B.$, saat yönünün tersine dönüş yönü pozitif kabul edilirken saat yönü negatif kabul edilir. Apsis noktaları $B$ hadi belirtelim $x\_B$, koordinatı belirtiyoruz $y\_B$(resmi görmek).

• Sinüs orandır $\backslash sin\; \backslash alpha=\backslash frac(y\_B)(R).$
• Kosinüs orandır $\backslash cos\; \backslash alpha=\backslash frac(x\_B)(R).$
• Teğet şu şekilde tanımlanır: $\backslash operatöradı(tg)\; \backslash alpha=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(y\_B)(x\_B).$
• Kotanjant şu şekilde tanımlanır: $\backslash operatöradı(ctg)\; \backslash alpha=\backslash frac(\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(x\_B)(y\_B).$
• Sekant şu şekilde tanımlanır: $\backslash sec\; \backslash alpha=\backslash frac(1)(\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(R)(x\_B).$
• Kosekant şu şekilde tanımlanır: $\backslash operatöradı(cosec)\; \backslash alpha=\backslash frac(1)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(R)(y\_B).$

Trigonometrik fonksiyonların değerlerinin dairenin yarıçapının boyutuna bağlı olmadığı açıktır. $R$ Benzer figürlerin özellikleri nedeniyle. Çoğunlukla bu yarıçap bir birim parçanın boyutuna eşit olarak alınır, ardından sinüs basitçe ordinatına eşittir. $y\_B$ ve kosinüs apsistir $x\_B$. Şekil 3 birim çember için trigonometrik fonksiyonların büyüklüklerini göstermektedir.

Trigonometrik fonksiyonlar periyotlu fonksiyonlardır $2\backslash pi\; ~\; (360^\backslash circ)$ sinüs, kosinüs, sekant ve kosekant için ve $\backslash pi~(180^\backslash circ)$ teğet ve kotanjant için.
Herhangi bir açının trigonometrik fonksiyonları, periyodiklikleri ve sözdeleri kullanılarak dar bir açının trigonometrik fonksiyonlarına indirgenebilir. Tablolar genellikle yalnızca dar açılar için değerler verdiğinden, örneğin trigonometrik fonksiyonların değerlerini tablolardan bulmak için bu gereklidir.

Matematiksel analizde fonksiyonların incelenmesi

Diferansiyel denklemlerin çözümleri olarak trigonometrik fonksiyonların tanımı

Fonksiyonlar kosinüs Ve sinüs diferansiyel denklemin çift (kosinüs) ve tek (sinüs) çözümleri olarak tanımlanabilir

$\backslash frac(d^2)(d\backslash varphi^2)R(\backslash varphi)\; =\; -\; R(\backslash varphi),$

ek koşullarla $R(0)\; =\; 1$ kosinüs için ve $R"(0)\; =\; 1$ sinüs için, yani, ikinci türevi eksi işaretiyle alınan fonksiyonun kendisine eşit olan bir değişkenin fonksiyonları olarak:

$\backslash \; \backslash sol(\backslash çünkü\; x\backslash sağ)$= - \cos x, $\backslash \; \backslash sol(\backslash sin\; x\backslash sağ)$= - \sin x.

Fonksiyonel denklemlerin çözümleri olarak trigonometrik fonksiyonların tanımı

Fonksiyonlar kosinüs Ve sinüsçözümler olarak tanımlanabilir ( $F$ Ve $G$ sırasıyla) fonksiyonel denklem sistemleri:

ek koşullar altında

$f(x)^2\; +\; g(x)^2\; =\; 1,$ $g(\backslash pi/2)\; =\; 1,$ Ve

Seriler aracılığıyla trigonometrik fonksiyonları tanımlama

Geometri ve limitlerin özellikleri kullanılarak sinüs türevinin kosinüse eşit olduğu ve kosinüs türevinin eksi sinüse eşit olduğu kanıtlanabilir. Daha sonra Taylor serisi teorisini kullanabilir ve sinüs ile kosinüsü güç serisi olarak temsil edebilirsiniz:

$\backslash sin\; x=x-\backslash frac(x^3)(3+\backslash frac\{x^5\}\{5!\}-\backslash frac\{x^7\}\{7!\}+\backslash frac\{x^9\}\{9!\}-\backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^nx^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\},!\}$ $\backslash cos\; x=1-\backslash frac(x^2)(2+\backslash frac\{x^4\}\{4!\}-\backslash frac\{x^6\}\{6!\}+\backslash frac\{x^8\}\{8!\}-\backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^nx^\{2n\}\}\{(2n)!\}.!\}$

Bu formüllerin ve eşitliklerin kullanılması $\backslash operatöradı(tg)\backslash ,x=\backslash frac(\backslash sin\; x)(\backslash cos\; x),$ $\backslash operatöradı(ctg)\backslash ,x=\backslash frac(\backslash cos\; x)(\backslash sin\; x),$ $\backslash sec\; x=\backslash frac(1)(\backslash cos\; x)$ Ve $\backslash operatöradı(cosec)\backslash ,x=\backslash frac(1)(\backslash sin\; x),$ Diğer trigonometrik fonksiyonların seri açılımlarını bulabilirsiniz:

$\backslash int\backslash sin\; x\backslash ,\; dx\; =\; -\backslash cos\; x\; +\; C\backslash ,$

$\backslash int\backslash cos\; x\backslash ,\; dx\; =\; \backslash sin\; x\; +\; C\backslash ,$

$\backslash int\backslash mathop(\backslash operatöradı(tg))\backslash ,\; x\backslash ,\; dx\; =\; -\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash çünkü\; x\backslash sağ|\; +C\backslash ,$

$\backslash int\backslash mathop(\backslash operatöradı(ctg))\backslash ,\; x\backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln\; \backslash left|\; \backslash sin\; x\; \backslash sağ|\; +C\backslash ,$

$\backslash int\backslash sec\; x\backslash ,\; dx=\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash ,\; \backslash left(\backslash frac\; (\backslash pi)(4)+\backslash frac(x)(2)\backslash right)\; \backslash right|+\; C\; \backslash ,$

$\backslash int\; \backslash operatöradı(cosec)~\; x\backslash ,\; dx=\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash ,\; \backslash frac(x)(2)\; \backslash right|+\; C.$

Bazı açılar için trigonometrik fonksiyonların değerleri

Bazı açılara ait sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant değerleri tabloda verilmiştir. (“∞”, fonksiyonun belirtilen noktadaki tanımlı olmadığı ancak yakınında sonsuza doğru yöneldiği anlamına gelir).

Standart olmayan açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri

Diğer bazı açılar için trigonometrik fonksiyonların değerleri

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 87^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)-1)-2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)$

}{16},

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 87^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 87^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(2(\backslash sqrt(5)+2)-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3)+(2-\backslash sqrt(3))(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt\; (5)+1)-2)\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 87^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1)\; +2)\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 84^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(6(5)\; -\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(5)-1)(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 84^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5)\; -\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1))(8),$

$\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 84^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1))(2),$

$\backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 84^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 81^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(5)+1)-2\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 81^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(5)+1)+2\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 81^\; \backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)+1-\backslash sqrt(5+2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 81^\; \backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)+1+\backslash sqrt(5+2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 78^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5)\; +\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 78^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(6(5)\; +\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(5)-1)(8),$

$\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 78^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5))-\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 78^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1)+\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt)\; (2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5))))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5))))(16),$

$\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; )\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)-2)-\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; +1)-2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(tg\; )\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)-2)+\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; +1)+2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 3)(\backslash sqrt(5)+1)-\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 5)+1+\backslash sqrt(6(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; )\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5))+\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(tg\; )\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 63^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt)\; (2)(\backslash sqrt(5)-1)+2\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 63^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(5)-1)+2\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; )\; 63^\backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)-1-\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(tg\; )\; 63^\backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)-1+\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash sin\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5))))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt)\; (2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5))))(16),$

$\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; )\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5))+(2-\backslash sqrt(3))(\backslash sqrt(3)\; )(\backslash sqrt(5)+1)-2)\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(tg\; )\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; )-1)+2)\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)+1)-2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5))))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5))))(16),$

$\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; )\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)-2)+\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; )+1)+2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(tg\; )\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)-2)-\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; )+1)-2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-(\backslash \; sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(6(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 3)(\backslash sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; )\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1)-\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(tg\; )\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5))+\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(120)\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; \backslash frac(59\backslash ,\backslash pi)(120)\; =\; \backslash operatöradı(tg)\; 1,5^\backslash circ\; =\; \backslash operatöradı(ctg)\; 88,5^\; \backslash circ\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac(8-\backslash sqrt(2(2-\backslash sqrt(3))(3-\backslash sqrt(5))))\; -\; \backslash sqrt(\; 2(2+\backslash sqrt(3))(5\; +\backslash sqrt(5))))(8+\backslash sqrt(2(2-\backslash sqrt(3))(3-\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(2(2+\backslash sqrt(3))(\; 5+\backslash sqrt(5))))\; ))$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(240)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(119\backslash ,\backslash pi)(240)\; =\; \backslash cos\; 0,75^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 89,25^\backslash circ\; =\; \backslash frac(1)(16)\; \backslash \; left(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2)))\; \backslash left(\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(1-\backslash sqrt(5)\; )\; \backslash sağ)\; +\; \backslash sağ.$ $\backslash sol.\; +\; \backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2)))\; \backslash left\; (\backslash sqrt(6(5+\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(5)\; -\; 1\; \backslash right)\; \backslash right),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(17)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(15\backslash ,\backslash pi)(34)\; =\; \backslash frac(1)(8)\backslash sqrt(2\; \backslash left(2\backslash sqrt(3\backslash sqrt()\; 17)-\backslash sqrt(2(85+19\backslash sqrt(17)))\; +17)+\backslash sqrt(2(17-\backslash sqrt(17))))+\backslash sqrt(17)+15\; \backslash right))$

$\backslash sin(\backslash pi\backslash over2^(n+1))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(2))))\_(n),\; n\backslash \; \backslash mathbb\; N\text{'}de$

$\backslash cos(\backslash pi\backslash over2^(n+1))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(2))))\_(n),\; n\backslash \; \backslash mathbb\; N\text{'}de$

$\backslash sin(\backslash pi\backslash over3\backslash cdot2^(n))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(3))))\_(n),\; n\backslash \; geq2$

$\backslash cos(\backslash pi\backslash over3\backslash cdot2^(n))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(3))))\_(n),\; n\backslash \; geq2$ }}

Trigonometrik fonksiyonların özellikleri

En basit kimlikler

Sinüs ve kosinüs, birim çember üzerindeki α açısına karşılık gelen noktanın sırasıyla ordinatı ve apsisi olduğundan, birim çember denklemine veya Pisagor teoremine göre elimizde:

$\backslash sin^2\; \backslash alpha\; +\; \backslash cos^2\; \backslash alpha\; =\; 1.$

Bu orana denir temel trigonometrik kimlik.

Bu denklemi sırasıyla kosinüs ve sinüsün karesine böldüğümüzde aşağıdakileri elde ederiz:

$1\; +\; \backslash mathop(\backslash mathrm(tg))\backslash ,^2\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac(1)(\; \backslash cos^2\; \backslash alpha),$ $1\; +\; \backslash mathop(\backslash mathrm(ctg))\backslash ,^2\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac(1)(\; \backslash sin^2\; \backslash alpha),$ $\backslash mathop(\backslash mathrm(tg))\backslash ,\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash mathop(\backslash mathrm(ctg))\backslash ,\backslash alpha=1.$

Süreklilik

Yarım açı formülleri:

$\backslash sin\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1-\backslash cos\backslash alpha)(2)),\backslash quad\; 0\; \backslash leqslant\; \backslash alpha\; \backslash leqslant\; 2\backslash pi,$ $\backslash cos\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1+\backslash cos\backslash alpha)(2)),\backslash quad\; -\backslash pi\; \backslash leqslant\; \backslash alpha\; \backslash leqslant\; \backslash pi,$ $\backslash operatöradı(tg)\backslash ,\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash frac(1-\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(1+\backslash cos\backslash alpha)\; ,$ $\backslash operatöradı(ctg)\backslash ,\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(1-\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(1+\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)\; ,$

İşler

İki açılı fonksiyonların çarpımları için formüller:

$\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash cos\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash operatöradı(tg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatöradı(tg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash cos(\backslash alpha-\; \backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta)),$ $\backslash operatöradı(tg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatöradı(ctg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash \; beta)\; -\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)),$ $\backslash operatöradı(ctg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatöradı(ctg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash cos(\backslash alpha-\; \backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta)).$

Üç açının sinüs ve kosinüslerinin çarpımları için benzer formüller:

$\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; \backslash sin\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash sin(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; -\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(-\backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash cos(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash \; gamma)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; -\; \backslash sin(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; -\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash cos\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash cos(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4).$

Üç açının teğet ve kotanjantlarının çarpımlarına ilişkin formüller, yukarıda sunulan karşılık gelen eşitliklerin sağ ve sol taraflarının bölünmesiyle elde edilebilir.

Dereceler

Tutarlar

Bir temsil var:

$A\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; B\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)\backslash ;\backslash sin(\backslash alpha\; +\; \backslash phi),$

açı nerede $\backslash phi$ ilişkilerden bulunur:

$\backslash sin\; \backslash phi\; =\; \backslash frac(B)(\backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)),\; \backslash quad\; \backslash cos\; \backslash phi\; =\; \backslash frac(A)(\backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)).$

Evrensel trigonometrik ikame

Tüm trigonometrik fonksiyonlar yarım açının tanjantı cinsinden ifade edilebilir.

$\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; x)(1)\; =\; \backslash frac(2\backslash sin\; \backslash frac(x)(2)\backslash cos\; \backslash frac(x)(2))(\backslash sin^2\; \backslash frac(x)\; (2)\; +\; \backslash cos^2\; \backslash frac(x)(2))\; =\backslash frac(2\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(x)(2))(1\; +\; \backslash operatöradı(tg)^2\; \backslash frac(x)\; )(2))$

$\backslash cos\; x\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; x)(1)\; =\; \backslash frac(\backslash cos^2\; \backslash frac(x)(2)\; -\; \backslash sin^2\; \backslash frac(x)(2))(\backslash cos^2\; \backslash \; frac(x)(2)\; +\; \backslash sin^2\; \backslash frac(x)(2))\; =\backslash frac(1\; -\; \backslash operatöradı(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(1\; +\; \backslash operatöradı(tg)\; )^2\; \backslash frac(x)(2))$

$\backslash operatöradı(tg)~x\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; x)(\backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac(2\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(x)(2))(1\; -\; \backslash operatöradı(tg)^2\; \backslash \; kesir(x)(2))$

$\backslash operatöradı(ctg)~x\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; x)(\backslash sin\; x)\; =\; \backslash frac(1\; -\; \backslash operatöradı(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(2\backslash operatöradı(tg)\; \backslash \; kesir(x)(2))$

$\backslash sec\; x\; =\; \backslash frac(1)(\backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac(1\; +\; \backslash operatöradı(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(1\; -\; \backslash operatöradı(tg)^2\; \backslash frac(x)\; )(2))$

$\backslash operatöradı(cosec)~x\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sin\; x)\; =\; \backslash frac(1\; +\; \backslash operatöradı(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))\; (2\backslash operatöradı(tg)\; \backslash frac(\; x)(2))$

Karmaşık argümanın trigonometrik fonksiyonları

Tanım

Karmaşık argümanların trigonometrik fonksiyonlarını üstel olarak veya (serileri kullanarak) gerçek analoglarının analitik bir devamı olarak tanımlamanıza olanak tanır:

$\backslash sin\; z\; =\; \backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^(n))((2n+1)z^\{2n+1\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; z\}\; -\; e^\{-i\; z\}\}\{2i\}\backslash ,\; =\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{sh\}\; i\; z\; \}\{i\};\; !\}$ $\backslash cos\; z\; =\; \backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^(n))((2n)z^\{2n\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; z\}\; +\; e^\{-i\; z\}\}\{2\}\backslash ,\; =\; \backslash operatorname\{ch\}\; i\; z;\; !\}$ $\backslash operatöradı(tg)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; z)(\backslash cos\; z)\; =\; \backslash frac(e^(i\; z)\; -\; e^(-i\; z))(i(e^(i\; z)\; +\; e^(\; -i\; z)));$ $\backslash operatöradı(ctg)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; z)(\backslash sin\; z)\; =\; \backslash frac(i(e^(i\; z)\; +\; e^(-i\; z)))(e^(i\; z)\; -\; e^\; (-i\; z));$ $\backslash sec\; z\; =\; \backslash frac(1)(\backslash cos\; z)\; =\; \backslash frac(2)(e^(i\; z)\; +\; e^(-i\; z));$ $\backslash operatöradı(cosec)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sin\; z)\; =\; \backslash frac(2i)(e^(i\; z)\; -\; e^(-i\; z))$ Nerede $i^2=-1.$

Buna göre gerçek anlamda X,

$\backslash cos\; x\; =\; \backslash operatörün\; adı(Re)(e^(i\; x))$ $\backslash sin\; x\; =\; \backslash operatörün\; adı(Im)(e^(i\; x))$

Karmaşık sinüs ve kosinüs hiperbolik fonksiyonlarla yakından ilişkilidir:

$\backslash sin\; (x\; +\; iy)\; =\; \backslash sin\; x\backslash ,\; \backslash operatöradı(ch)\backslash ,\; y\; +\; i\; \backslash cos\; x\backslash ,\; \backslash operatöradı(sh)\backslash ,\; y,$ $\backslash cos\; (x\; +\; iy)\; =\; \backslash cos\; x\backslash ,\; \backslash operatöradı(ch)\backslash ,\; y\; -\; i\; \backslash sin\; x\backslash ,\; \backslash operatöradı(sh)\backslash ,\; y.$

Trigonometrik fonksiyonların yukarıdaki özelliklerinin çoğu karmaşık durumda korunur. Bazı ek özellikler:

• karmaşık sinüs ve kosinüs, gerçek olanlardan farklı olarak mutlak değerde keyfi olarak büyük değerler alabilir;
• karmaşık sinüs ve kosinüsün tüm sıfırları gerçek eksende bulunur.

Karmaşık grafikler

Aşağıdaki grafikler karmaşık düzlemi göstermekte ve fonksiyon değerlerini renkli olarak vurgulamaktadır. Parlaklık mutlak değeri yansıtır (siyah - sıfır). Haritaya göre argüman ve açıya göre renk değişir.

$$ \sin\,z	$$ \çünkü\,z	$$ \operatöradı(tg)\, z	$$ \operatöradı(ctg)\, z	$$ \sn\, z	$$ \operatöradı(cosec)\, z

İsimlerin tarihi

Sinüs çizgisi(AB çizgisi açık) Hintli matematikçiler başlangıçta “arha-jiva” (“yarım tel”, yani yarım akor) adını verdiler, daha sonra “archa” kelimesi atıldı ve sinüs çizgisi basitçe “jiva” olarak adlandırılmaya başlandı. Arapça çevirmenler “jiva” kelimesini Arapça tel ve akor anlamına gelen “vatar” kelimesiyle tercüme etmediler, Arap harfleriyle yazıya döktüler ve sinüs çizgisine “jiba” adını vermeye başladılar. Arapçada kısa ünlüler belirtilmediğinden ve "jiba" sözcüğündeki uzun "i", yarı ünlü "y" ile aynı şekilde belirlendiğinden, Araplar sinüs çizgisinin adını şu şekilde telaffuz etmeye başladılar: Arap . جيب ‎ - “jaib”, kelimenin tam anlamıyla “içi boş”, “sinüs” anlamına gelir. Avrupalı ​​çevirmenler Arapça yazıları Latince'ye çevirirken "jaib" kelimesini Latince lat kelimesine çevirdiler. sinüs - "sinüs", aynı anlama sahiptir. Terim "kosinüs"(lat. kosinüs) Lat kelimesinin kısaltmasıdır. tamamlayıcı sinüs- ek sinüs.

Modern steno notasyonları $\backslash sin,\; ~\; \backslash cos$ B. Cavalieri ve William Oughtred tarafından tanıtılmış ve Euler'in eserlerinde yer almıştır.

Daha sonra ters trigonometrik fonksiyonlar için terimler tanıtıldı - arksinüs, arkkosinüs, arktanjant, arkkotanjant, arksekant, arkkozekant- bir önek ekleyerek "kemer"(lat. arkus- ark), - J. Lagrange ve ark.

Ayrıca bakınız

• Dört basamaklı matematiksel tablolar (Bradis tabloları)

"Trigonometrik fonksiyonlar" makalesi hakkında yorum yazın

Edebiyat

• Bermant A.F. Lyusternik L.A. Trigonometri. - M.: Nauka, 1967.
• Trigonometrik fonksiyonlar- Büyük Sovyet Ansiklopedisi'nden makale. - M .: “Sovyet Ansiklopedisi”, 1977. - T. 26. - s. 204-206.
• Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Doğrusal trigonometri // Matematik el kitabı. - Ed. 7. basmakalıp. - M .: Teknik ve Teorik Literatür Devlet Yayınevi, 1967. - S. 179-184.
• Vygodsky M. Ya.. - M.: Bilim, 1978.
  • Yeniden basım: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 s.
• Dwight G.B. Trigonometrik fonksiyonlar // İntegral tabloları ve diğer matematiksel formüller. - 4. baskı. - M .: Bilim, 1973. - S. 70-102.
• Kozheurov P.A. Trigonometri. - M.: Fizmatgiz, 1963.
• Markushevich A.I. Harika sinüsler. - M.: Nauka, 1974.
• Matematik Ansiklopedisi / Böl. ed. I. M. Vinogradov. - M .: “Sovyet Ansiklopedisi”, 1984. - .
• Trigonometrik fonksiyonlar // Genç Matematikçiler Ansiklopedik Sözlüğü / Ed. üniversite, Gnedenko BV. (baş editör), Savin AP. ve diğerleri - M.: Pedagoji, 1985 (1989). - S.299-301-305. - 352 s., hasta. ISBN 5-7155-0218-7 (sayfa , - 0°-90° trigonometrik fonksiyon tabloları, radyan dahil)
• Trigonometrik fonksiyonlar // Matematik el kitabı (orta öğretim kurumları için) / Tsypkin A. G., ed. Stepanova S.A. - 3. baskı. - M .: Bilim, Bölüm. fizik ve matematik yazı işleri ofisi. literatür, 1983. - s. 240-258. - 480 sn.

Bağlantılar

• - birim çember, trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar açıklandı (Java Web Start)
• Weisstein, Eric W.(İngilizce) Wolfram MathWorld web sitesinde.
• - makalenin çevirisi (İngilizce)

Notlar

Trigonometrik fonksiyonları karakterize eden bir alıntı

Mola sırasında Helen'in locasında soğuk bir koku vardı, kapı açıldı ve eğilip kimseyi yakalamamaya çalışan Anatole içeri girdi.
Helen, gözlerini gergin bir şekilde Natasha'dan Anatole'ye kaydırarak, "Seni kardeşimle tanıştırayım," dedi. Natasha güzel başını çıplak omzunun üzerinden yakışıklı adama çevirdi ve gülümsedi. Uzaktan olduğu kadar yakından da yakışıklı olan Anatole, yanına oturdu ve bu zevki, sahip olmadığı Naryshkin Balosundan beri uzun zamandır yaşamak istediğini söyledi. onu görmeyi unuttum. Kuragin, kadınlara karşı erkek toplumuna göre çok daha akıllı ve basitti. Cesur ve basit bir şekilde konuşuyordu ve Natasha, hakkında bu kadar çok konuştukları bu adamda o kadar korkunç bir şey olmadığı, aynı zamanda tam tersine en saf, neşeli ve iyi adama sahip olduğu gerçeğinden garip ve hoş bir şekilde etkilendi. doğal gülümseme.
Kuragin, performansın izlenimini sordu ve son performansta Semenova'nın oynarken nasıl düştüğünü anlattı.
Birdenbire sanki eski bir tanıdıkmış gibi ona hitap ederek, “Biliyor musunuz Kontes,” dedi, “kostümlerle bir atlıkarınca düzenliyoruz; buna katılmalısın: çok eğlenceli olacak. Herkes Karagin'lerde toplanıyor. Lütfen gelin, değil mi? - dedi.
Bunu söylerken gülümseyen gözlerini Natasha'nın yüzünden, boynundan ve çıplak kollarından ayırmadı. Natasha şüphesiz onun kendisine hayran olduğunu biliyordu. Bundan memnundu ama bir nedenden dolayı onun varlığı ona sıkışık ve ağır hissettiriyordu. Ona bakmadığı zamanlarda omuzlarına baktığını hissetti ve gözlerine daha iyi bakabilmek için istemsizce bakışlarını yakaladı. Ancak gözlerinin içine baktığında, kendisi ile diğer erkekler arasında her zaman hissettiği gibi, onunla onun arasında kesinlikle hiçbir alçakgönüllülük engelinin olmadığını korkuyla hissetti. Nasıl olduğunu bilmeden, beş dakika sonra kendini bu adama çok yakın hissetti. Arkasını döndüğünde çıplak elini arkadan tutup boynunu öpmesinden korktu. En basit şeylerden konuşuyorlardı ve sanki hiç bir erkekle birlikte olmamış gibi yakın olduklarını hissetti. Natasha sanki onlara bunun ne anlama geldiğini sorarmış gibi Helen ve babasına baktı; ama Helen bir generalle konuşmakla meşguldü ve bakışlarına yanıt vermedi ve babasının bakışları ona her zaman söylediği şeyden başka bir şey anlatmıyordu: "Eğlenceli, peki, buna sevindim."
Anatole'un sakin ve inatla ona şişkin gözleriyle baktığı garip sessizlik anlarından birinde, Natasha bu sessizliği bozmak için ona Moskova'yı nasıl sevdiğini sordu. Natasha sordu ve kızardı. Onunla konuşurken sürekli olarak uygunsuz bir şey yapıyormuş gibi görünüyordu. Anatole sanki onu cesaretlendiriyormuş gibi gülümsedi.
– İlk başta pek hoşuma gitmedi çünkü bir şehri keyifli yapan şey, ce sont les jolies femmes, [güzel kadınlar] değil mi? Eh, şimdi gerçekten hoşuma gitti," dedi ona anlamlı bir şekilde bakarak. – Atlıkarıncaya gider misiniz Kontes? "Git" dedi ve elini buketine uzatıp sesini alçaltarak şöyle dedi: "Vous serez la plus jolie." Venez, chere comtesse, ve comme gage donnez moi cette fleur. [Sen en güzeli olacaksın. Git sevgili Kontes ve bu çiçeği bana rehin olarak ver.]
Natasha, tıpkı kendisi gibi onun ne dediğini anlamadı, ancak anlaşılmaz sözlerinde uygunsuz bir niyet olduğunu hissetti. Ne diyeceğini bilemedi ve sanki söylediklerini duymamış gibi arkasını döndü. Ama arkasını döner dönmez onun arkasında, kendisine çok yakın olduğunu düşündü.
“O şimdi ne? Kafası mı karıştı? Sinirli? Bunu düzeltmeli miyim? diye sordu kendine. Arkasına bakmadan edemedi. Doğrudan gözlerinin içine baktı, yakınlığı ve güveni ve gülümsemesindeki iyi huylu şefkat onu mağlup etti. Tıpkı onun gibi gülümsedi ve doğrudan gözlerinin içine baktı. Ve yine kendisi ile onun arasında hiçbir engel olmadığını dehşetle hissetti.
Perde yeniden açıldı. Anatole sakin ve neşeli bir şekilde kutuyu terk etti. Natasha, kendisini içinde bulduğu dünyaya tamamen boyun eğmiş bir halde babasının locasına döndü. Önünde olup biten her şey ona zaten tamamen doğal görünüyordu; ama bunun için damat hakkında, Prenses Marya hakkında, köy hayatı hakkında önceki düşünceleri sanki çok çok uzun zaman önceymiş gibi aklına bir kez bile gelmedi.
Dördüncü perdede şarkı söyleyen bir tür şeytan vardı, tahtalar altındaki tahtalar çekilinceye kadar elini sallıyordu ve o da oraya oturuyordu. Natasha dördüncü perdeden sadece bunu gördü: Bir şey onu endişelendiriyor ve ona eziyet ediyordu ve bu heyecanın nedeni, istemsizce gözleriyle takip ettiği Kuragin'di. Tiyatrodan ayrılırken Anatole onlara yaklaştı, arabalarını çağırdı ve onları aldı. Natasha'yı yere oturturken elini dirseğinin üzerinden sıktı. Heyecanlı ve kırmızı Natasha ona baktı. Ona baktı, gözleri parlıyordu ve şefkatle gülümsüyordu.

Natasha ancak eve geldikten sonra başına gelen her şeyi net bir şekilde düşünebildi ve aniden Prens Andrei'yi hatırlayarak dehşete düştü ve tiyatrodan sonra herkesin oturduğu çay içerken yüksek sesle nefesi kesildi ve dışarı çıktı. oda kızarmıştı. - "Tanrım! Ben ölüyüm! dedi kendi kendine. Bunun olmasına nasıl izin verebilirim?” düşündü. Uzun bir süre, kızarmış yüzünü elleriyle kapatarak, başına gelenleri kendine net bir şekilde anlatmaya çalışarak oturdu ve ne başına ne geldiğini, ne hissettiğini anlayamadı. Ona her şey karanlık, belirsiz ve korkutucu geliyordu. Orada, Duport'un pullu bir ceket, kızlar ve yaşlı adamlarla çıplak bacaklarla ıslak tahtaların üzerine müziğe atladığı ve Helen'in sakin ve gururlu bir gülümsemeyle çıplak olarak "bravo" diye bağırdığı bu devasa, ışıklı salonda. zevk içinde - orada, bu Helen'in gölgesi altında, orada her şey açık ve basitti; ama şimdi tek başına, kendisiyle birlikteyken bunu anlamak mümkün değildi. - "Ne olduğunu? Ona karşı hissettiğim bu korku neydi? Şimdi hissettiğim bu pişmanlık nedir? düşündü.
Natasha, geceleri yatakta tek başına yaşlı kontese düşündüğü her şeyi anlatabilecekti. Sert ve bütünsel bakışlarıyla Sonya'nın ya hiçbir şey anlamayacağını ya da itirafından dehşete düşeceğini biliyordu. Natasha tek başına ona eziyet eden şeyin ne olduğunu çözmeye çalıştı.
“Prens Andrei'nin aşkı için öldüm mü ölmedim mi? diye sordu kendi kendine ve güven veren bir gülümsemeyle kendi kendine cevap verdi: Bunu soracak kadar ne tür bir aptalım ben? Bana ne oldu? Hiç bir şey. Ben buna sebep olacak hiçbir şey yapmadım, hiçbir şey yapmadım. Kimse bilmeyecek ve onu bir daha asla göremeyeceğim, dedi kendi kendine. Hiçbir şeyin olmadığı, tövbe edilecek bir şeyin olmadığı, Prens Andrei'nin beni bu şekilde sevebileceği ortaya çıktı. Ama ne tür? Aman Tanrım, Tanrım! O neden burada değil?” Natasha bir anlığına sakinleşti, ama sonra bir içgüdü ona, tüm bunların doğru olmasına ve hiçbir şey olmamasına rağmen, Prens Andrey'e olan sevgisinin tüm eski saflığının yok olduğunu söyledi. Ve yine hayalinde Kuragin'le olan tüm konuşmasını tekrarladı ve bu yakışıklı ve cesur adamın elini sıkarken yüzünü, jestlerini ve nazik gülümsemesini hayal etti.

Anatol Kuragin, babası onu St. Petersburg'dan gönderdiği için Moskova'da yaşıyordu; burada yılda yirmi binden fazla para ve aynı miktarda alacaklıların babasından talep ettiği borçlarla yaşıyordu.
Baba, oğluna son kez borçlarının yarısını ödediğini duyurdu; ama yalnızca kendisi için temin ettiği başkomutanın yaverliği görevine Moskova'ya gitmek ve sonunda orada iyi bir eşleşme yapmaya çalışmak için. Onu Prenses Marya ve Julie Karagina'ya işaret etti.
Anatole kabul etti ve Pierre'le birlikte kaldığı Moskova'ya gitti. Pierre ilk başta Anatole'u isteksizce kabul etti, ancak sonra ona alıştı, bazen eğlencelerine onunla birlikte gitti ve kredi bahanesiyle ona para verdi.
Anatole, Shinshin'in onun hakkında haklı olarak söylediği gibi, Moskova'ya geldiğinden beri tüm Moskova kadınlarını çılgına çevirdi, özellikle de onları ihmal ettiği ve açıkça çingeneleri ve Fransız aktrisleri onlara tercih ettiği için, başkanı Matmazel Georges'du, dedikleri gibi: yakın ilişkiler içindeydi. Danilov ve Moskova'nın diğer neşeli arkadaşlarıyla tek bir eğlenceyi bile kaçırmadı, bütün gece içti, herkesten daha çok içti ve sosyetenin tüm akşamlarına ve balolarına katıldı. Onun Moskova hanımlarıyla olan entrikalarından bahsettiler ve balolarda bazılarıyla kur yaptı. Ancak kızlarla, özellikle de çoğu kötü olan zengin gelinlerle, özellikle de en yakın arkadaşları dışında kimsenin tanımadığı Anatole'nin iki yıl önce evlendiğinden beri yakınlaşmıyordu. İki yıl önce, alayı Polonya'da konuşlanmışken, fakir bir Polonyalı toprak sahibi, Anatole'u kızıyla evlenmeye zorladı.
Anatole çok geçmeden karısını terk etti ve kayınpederine göndermeyi kabul ettiği para karşılığında bekar bir adam olarak görülme hakkını kendisi için müzakere etti.
Anatole, konumundan, kendisinden ve diğerlerinden her zaman memnundu. Yaşadığından farklı yaşayamayacağına, hayatında hiç kötü bir şey yapmadığına içgüdüsel olarak tüm varlığıyla ikna olmuştu. Yaptığı davranışın başkalarını nasıl etkileyeceğini, şu veya bu eylemin sonucunun ne olabileceğini düşünemiyordu. Ördek nasıl sürekli suda yaşayacak şekilde yaratılmışsa, kendisinin de Allah tarafından otuz bin liralık bir gelirle yaşaması ve toplumda her zaman en üst sıralarda yer alması için yaratıldığına inanıyordu. . Buna o kadar sıkı bir şekilde inanıyordu ki, ona bakarken diğerleri buna ikna oldular ve ne dünyadaki daha yüksek bir konumu ne de tanıştığı kişilerden ve onunla tanışanlardan karşılıksız olarak ödünç aldığı parayı inkar etmediler.
O bir kumarbaz değildi, en azından hiçbir zaman kazanmayı istemedi. O kibirli değildi. İnsanların onun hakkında ne düşündüğünü hiç umursamıyordu. Hırs konusunda daha az suçlu olabilir. Babasıyla birkaç kez dalga geçerek kariyerini mahvetti ve tüm onurlara güldü. Cimri değildi ve kendisine soran hiç kimseyi geri çevirmedi. Sevdiği tek şey eğlence ve kadındı ve kendi kavramlarına göre bu zevklerde aşağılık bir şey bulunmadığından ve kendi zevklerini başkaları için tatmin etmenin ne getireceğini düşünemediğinden, ruhunda kendini düşündüğüne inandı. alçakları ve kötü insanları içtenlikle küçümseyen, vicdan rahatlığıyla başını dik tutan kusursuz bir insandı.
Bu erkek Magdalene'ler, aynı bağışlanma umuduna dayanan, kadın Magdalene'lerle aynı olan gizli bir masumiyet bilinci duygusuna sahiptirler. "Ona her şey affedilecek çünkü çok seviyordu ve ona da her şey affedilecek çünkü çok eğleniyordu."
Sürgün ve İran maceralarının ardından bu yıl yeniden Moskova'da ortaya çıkan ve lüks bir kumar ve eğlence hayatı süren Dolokhov, eski St. Petersburg yoldaşı Kuragin ile yakınlaştı ve onu kendi amaçları için kullandı.
Anatole, zekası ve cüretkarlığı nedeniyle Dolokhov'u içtenlikle seviyordu. Zengin gençleri kumar toplumuna çekmek için Anatoly Kuragin'in ismine, soyluluğuna ve bağlantılarına ihtiyaç duyan Dolokhov, bunu hissetmesine izin vermeden Kuragin'i kullandı ve onunla eğlendi. Anatol'a ihtiyaç duyduğu hesaplamanın yanı sıra, başkasının iradesini kontrol etme süreci de Dolokhov için bir zevk, bir alışkanlık ve bir ihtiyaçtı.
Natasha, Kuragin üzerinde güçlü bir izlenim bıraktı. Tiyatrodan sonraki akşam yemeğinde bir uzmanın teknikleriyle Dolokhov'un önünde kollarının, omuzlarının, bacaklarının ve saçlarının saygınlığını inceledi ve kendisini onun peşinden sürüklemeye karar verdiğini duyurdu. Bu flörtten ne çıkabilir - Anatole, tıpkı her eyleminden ne çıkacağını asla bilemediği gibi, bunu düşünemez ve bilemezdi.
Dolokhov ona "Bu iyi kardeşim ama bizimle ilgili değil" dedi.
Anatole, "Kız kardeşime onu akşam yemeğine aramasını söyleyeceğim" dedi. - A?
- Evlenene kadar beklesen iyi olur...
“Biliyor musun,” dedi Anatole, “j”adore les petites filles: [Kızlara bayılıyorum:] - şimdi kaybolacak.
Anatole'un evliliğini bilen Dolokhov, "Sen zaten küçük bir kıza aşık oldun" dedi. - Bakmak!
- Bunu iki kez yapamazsın! A? – dedi Anatole, iyi huylu bir şekilde gülerek.

Ertesi gün tiyatrodan sonra Rostov'lar hiçbir yere gitmediler ve onlara kimse gelmedi. Natasha'dan bir şeyler saklayan Marya Dmitrievna babasıyla konuşuyordu. Natasha, yaşlı prens hakkında konuştuklarını ve bir şeyler uydurduklarını tahmin etti ve bu onu rahatsız etti ve gücendirdi. Her dakika Prens Andrei'yi bekledi ve o gün iki kez kapıcıyı gelip gelmediğini öğrenmek için Vzdvizhenka'ya gönderdi. O gelmedi. Artık onun için gelişinin ilk günlerine göre daha zordu. Onun hakkındaki sabırsızlığına ve üzüntüsüne, Prenses Marya ve eski prens ile karşılaşmasının hoş olmayan hatırası ve nedenini bilmediği korku ve endişe eşlik ediyordu. Ona ya hiç gelmeyecekmiş ya da o gelmeden başına bir şey gelecekmiş gibi geliyordu. Daha önce olduğu gibi sakin ve sürekli olarak kendisiyle yalnız başına onu düşünemiyordu. Onu düşünmeye başlar başlamaz, eski prensin, Prenses Marya'nın, son gösterinin ve Kuragin'in anısına onun anısına katıldı. Bir kez daha kendisinin suçlu olup olmadığını, Prens Andrey'e olan sadakatinin ihlal edilip edilmediğini merak etti ve kendini yine bu adamın yüzündeki her kelimeyi, her hareketi, her ifade oyununu en ince ayrıntısına kadar hatırlarken buldu. onun için anlaşılmaz bir şeyi ve korkunç bir duyguyu nasıl uyandıracağını. Ailesinin gözünde Natasha her zamankinden daha canlı görünüyordu ama eskisi kadar sakin ve mutlu olmaktan çok uzaktı.
Pazar sabahı Marya Dmitrievna, misafirlerini Mogiltsy'nin Göğe Kabulü cemaatinde ayin yapmaya davet etti.
Özgür düşüncesinden gurur duyduğu belli olan "Bu moda kiliseleri sevmiyorum" dedi. - Her yerde tek bir Tanrı vardır. Rahibimiz harikadır, düzgün bir şekilde hizmet eder, çok asildir ve diyakoz da öyle. Bu, insanların koroda konser vermesini bu kadar kutsal mı kılıyor? Bundan hoşlanmıyorum, bu sadece zevke düşkünlük!
Marya Dmitrievna pazar günlerini severdi ve onları nasıl kutlayacağını biliyordu. Cumartesi günü evinin tamamı yıkanıp temizlendi; insanlar ve o çalışmıyordu, herkes tatil için giyinmişti ve herkes ayine katılıyordu. Ustanın yemeğine yemek eklendi ve insanlara votka ve kızarmış kaz veya domuz verildi. Ancak evin hiçbir yerinde bu tatil, Marya Dmitrievna'nın o gün değişmeyen bir ciddiyet ifadesine bürünen geniş, sert yüzünden daha belirgin değildi.
Ayinden sonra, örtüleri çıkarılmış oturma odasında kahve içtiklerinde, Marya Dmitrievna'ya arabanın hazır olduğu bilgisi verildi ve o, ziyaretlerde kullandığı tören şalını giyerek sert bir bakışla ayağa kalktı ve şöyle dedi: Natasha'yı açıklamak için Prens Nikolai Andreevich Bolkonsky'ye gideceğini söyledi.
Marya Dmitrievna gittikten sonra Madame Chalmet'ten bir şapkacı Rostov'lara geldi ve oturma odasının yanındaki odanın kapısını kapatan Natasha, eğlenceden çok memnun kalarak yeni elbiseler denemeye başladı. Henüz kolsuz ekşi kremalı korseyi giyip başını eğip aynada sırtın nasıl oturduğuna bakarken, oturma odasında babasının sesinin ve başka bir kadın sesinin hareketli seslerini duydu ve bu da onu heyecanlandırdı. kızarmak. Bu Helen'in sesiydi. Natasha'nın denediği korsajı çıkarmaya zaman bulamadan kapı açıldı ve Kontes Bezukhaya, koyu mor, yüksek yakalı kadife elbiseli, iyi huylu ve şefkatli bir gülümsemeyle ışıl ışıl odaya girdi.
- Ah, tatlım! [Ah, benim büyüleyici adamım!] - dedi kızaran Natasha'ya. -Charmante! [Büyüleyici!] Hayır, bu hiçbir şeye benzemiyor sevgili Kontum,” dedi kendisinden sonra gelen Ilya Andreich'e. – Moskova'da nasıl yaşanır ve hiçbir yere seyahat edilmez? Hayır, seni yalnız bırakmayacağım! Bu akşam M lle Georges okuyor ve bazı insanlar toplanacak; ve eğer M lle Georges'tan daha iyi olan güzellerinizi getirmezseniz, o zaman sizi tanımak istemiyorum. Kocam gitti, Tver'e gitti, yoksa onu senin için gönderirdim. Kesinlikle saat dokuzda gelmeyi unutmayın. “Kendisine saygılı bir şekilde oturan tanıdığı şapkacıya başını salladı ve kadife elbisesinin kıvrımlarını pitoresk bir şekilde açarak aynanın yanındaki bir sandalyeye oturdu. Natasha'nın güzelliğine sürekli hayranlık duyarak iyi huylu ve neşeyle sohbet etmeyi bırakmadı. Elbiselerini inceleyip övdü ve Paris'ten aldığı en gaz metallique [metal renkli gazdan yapılmış] yeni elbisesi ile övündü ve Natasha'ya da aynısını yapmasını tavsiye etti.
“Ama sana her şey yakışıyor güzelim” dedi.
Zevk gülümsemesi Natasha'nın yüzünden hiç ayrılmadı. Daha önce kendisine bu kadar ulaşılmaz ve önemli bir hanımefendi gibi görünen ve şimdi ona karşı çok nazik olan bu sevgili Kontes Bezuhova'nın övgüleri altında kendini mutlu ve çiçek açmış hissetti. Natasha kendini neşeli hissetti ve bu kadar güzel ve bu kadar iyi huylu bir kadına neredeyse aşık oldu. Helen ise Natasha'ya içtenlikle hayrandı ve onu eğlendirmek istiyordu. Anatole ondan Natasha'yı ayarlamasını istedi ve bunun için Rostov'lara geldi. Kardeşini Natasha'ya ayarlama düşüncesi onu eğlendiriyordu.
Daha önce Boris'i St. Petersburg'da kendisinden aldığı için Natasha'ya kızmış olmasına rağmen, şimdi bunu düşünmüyordu ve kendi yolunda tüm ruhuyla Natasha'ya iyi dilekler diledi. Rostov'ları terk ederek himayesindeki kişiyi bir kenara çekti.
- Dün ağabeyim benimle yemek yedi - gülmekten ölüyorduk - hiçbir şey yemedi ve senin için iç çekti kıymetlim. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chere. [Deliriyor ama sana duyduğu aşktan deliriyor canım.]
Natasha bu sözleri duyunca kıpkırmızı oldu.
- Nasıl da kızarıyor, nasıl da kızarıyor, ma delicieuse! [kıymetlim!] - dedi Helen. - Kesinlikle gel. Eğer lezzetli olmayı hedefliyorsanız, giyinmenizin bir nedeni olamaz. Eğer söz verirsen, je suis que votre promis aurait arzu que vous alliez dans le monde en son none plutot que de deperir d'ennui [Birini seviyorsun diye güzelim, bir rahibe gibi yaşamamalısın. Eğer gelin iseniz eminim ki damatınız can sıkıntısından ölmektense onun yokluğunda sosyeteye çıkmanızı tercih eder.]
Natasha, "Demek benim bir gelin olduğumu biliyor, bu yüzden o ve kocası, Pierre'le, bu güzel Pierre'le" diye düşündü, bunun hakkında konuştu ve güldü. Yani hiçbir şey değil." Ve yine Helen'in etkisi altında, daha önce korkunç görünen şey basit ve doğal görünüyordu. Natasha, "Ve o çok büyük bir kadın, [önemli bir hanımefendi], çok tatlı ve açıkça beni tüm kalbiyle seviyor," diye düşündü. Peki neden eğlenmiyorsunuz? diye düşündü Natasha, şaşkınlıkla açılmış gözlerle Helen'e bakarken.
Marya Dmitrievna, yaşlı prense mağlup olduğu belli olan sessiz ve ciddi bir halde akşam yemeğine döndü. Hikayeyi sakin bir şekilde anlatamayacak kadar çarpışmadan dolayı hâlâ heyecanlıydı. Kont'un sorusuna her şeyin yolunda olduğunu ve bunu ona yarın söyleyeceğini söyledi. Kontes Bezukhova'nın ziyaretini ve akşama davetini öğrenen Marya Dmitrievna şunları söyledi:
“Bezukhova ile takılmayı sevmiyorum ve tavsiye etmem; Peki, eğer söz verdiysen git, dikkatin dağılır," diye ekledi Natasha'ya dönerek.

Kont Ilya Andreich kızlarını Kontes Bezukhova'ya götürdü. Akşam saatlerinde oldukça fazla insan vardı. Ancak tüm toplum Natasha'ya neredeyse yabancıydı. Kont Ilya Andreich, tüm bu toplumun esas olarak tedavi özgürlüğüyle tanınan erkek ve kadınlardan oluştuğunu hoşnutsuzlukla kaydetti. Gençlerle çevrili M lle Georges oturma odasının köşesinde duruyordu. Birkaç Fransız vardı ve aralarında Helene'nin gelişinden beri ev arkadaşı olan Metivier de vardı. Kont Ilya Andreich kartlara oturmamaya, kızlarını terk etmemeye ve Georges'un performansı biter bitmez ayrılmaya karar verdi.
Anatole belli ki kapıda Rostov'ların içeri girmesini bekliyordu. Kontu hemen selamladı, Natasha'ya yaklaştı ve onu takip etti. Natasha onu görür görmez, tıpkı tiyatroda olduğu gibi, ondan hoşlandığına dair boş bir zevk duygusu ve kendisiyle arasında ahlaki engellerin bulunmamasından duyulan korku onu bunalttı. Helen, Natasha'yı sevinçle karşıladı ve onun güzelliğine ve elbisesine yüksek sesle hayran kaldı. Onların gelişinden kısa bir süre sonra M lle Georges giyinmek için odadan çıktı. Oturma odasında sandalyeleri düzenleyip oturmaya başladılar. Anatole, Natasha için bir sandalye çekti ve yanına oturmak istedi ama gözlerini Natasha'dan ayırmayan kont onun yanına oturdu. Anatole arkaya oturdu.
Çıplak, gamzeli, kalın kollu, tek omzuna kırmızı bir şal takan M lle Georges, sandalyelerin arasında kendisine bırakılan boş alana doğru yürüdü ve doğal olmayan bir pozla durdu. Coşkulu bir fısıltı duyuldu. M lle Georges seyircilere sert ve üzgün bir ifadeyle baktı ve oğluna olan suç dolu aşkını konu alan Fransızca birkaç şiir okumaya başladı. Bazı yerlerde sesini yükseltti, bazılarında başını ciddiyetle kaldırarak fısıldadı, bazılarında ise durdu ve gözlerini devirerek hırıldadı.
- Çok güzel, muhteşem, nefis! [Keyifli, ilahi, harika!] - her taraftan duyuldu. Natasha, şişman Georges'a baktı ama hiçbir şey duymadı, önünde olup bitenleri görmedi ve anlamadı; bir öncekinden çok uzakta, neyin iyi, neyin kötü, neyin makul, neyin çılgın olduğunu bilmenin imkansız olduğu o tuhaf, çılgın dünyada, yalnızca geri dönülemez bir şekilde yeniden hissetti. Anatole onun arkasında oturuyordu ve onun yakınlığını hissederek korkuyla bir şey bekliyordu.
İlk monoloğun ardından tüm topluluk ayağa kalktı ve M lle Georges'un etrafını sararak ona duydukları memnuniyeti dile getirdi.
- Ne kadar iyi! - Natasha, diğerleriyle birlikte ayağa kalkıp kalabalığın arasından oyuncuya doğru ilerleyen babasına dedi.
Natasha'yı takip eden Anatole, "Sana baktığımda bunu anlayamıyorum" dedi. Bunu sadece kendisinin duyabileceği bir zamanda söyledi. "Çok güzelsin... seni gördüğüm andan beri durmadım..."
Kont, kızı için geri dönerek, "Hadi gidelim, Nataşa," dedi. - Ne kadar iyi!
Natasha hiçbir şey söylemeden babasının yanına yürüdü ve ona sorgulayıcı, şaşkın gözlerle baktı.
Birkaç kez okunan resepsiyonun ardından M lle Georges ayrıldı ve Kontes Bezukhaya salonda kendisine eşlik edilmesini istedi.
Kont ayrılmak istedi ama Helen, doğaçlama balosunu mahvetmemesi için ona yalvardı. Rostov'lar kaldı. Anatole, Natasha'yı valse davet etti ve vals sırasında belini ve elini sıkarak ona ravissante [çekici] olduğunu ve onu sevdiğini söyledi. Kuragin ile tekrar dans ettiği eko-seans sırasında yalnız kaldıklarında Anatole ona hiçbir şey söylemedi ve sadece ona baktı. Natasha, vals sırasında kendisine söylediklerini bir rüyada görüp görmediğinden şüphe ediyordu. İlk figürün sonunda tekrar elini sıktı. Natasha korkmuş gözlerini ona kaldırdı ama şefkatli bakışlarında ve gülümsemesinde o kadar kendine güvenen, şefkatli bir ifade vardı ki, ona bakıp söyleyeceklerini söyleyemedi. Gözlerini indirdi.
“Bana böyle şeyler söyleme, ben nişanlıyım ve başkasını seviyorum” dedi hızlıca... “Ona baktı. Anatole onun söylediklerinden ne utandı ne de üzüldü.
- Bana bundan bahsetme. Ne umurumda? - dedi. "Sana delicesine aşık olduğumu söylüyorum." Harika olman benim suçum mu? Hadi başlayalım.
Canlı ve endişeli Natasha, geniş, korkmuş gözlerle etrafına baktı ve her zamankinden daha neşeli görünüyordu. O akşam olanların neredeyse hiçbirini hatırlamıyordu. Ecossaise ve Gros Vater dansı yaptılar, babası onu gitmeye davet etti, o da kalmak istedi. Nerede olursa olsun, kiminle konuşursa konuşsun, onun bakışlarını üzerinde hissediyordu. Sonra elbisesini düzeltmek için soyunma odasına gitmek için babasından izin istediğini, Helen'in onu takip ettiğini, ona gülerek kardeşinin aşkını anlattığını, küçük kanepede tekrar Anatole ile karşılaştığını, Helen'in bir yerlerde kaybolduğunu hatırladı. yalnız kaldılar ve Anatole elini tutarak yumuşak bir sesle şöyle dedi:
- Sana gidemem ama seni gerçekten hiç göremeyecek miyim? Seni delice seviyorum. Gerçekten asla mı?...” ve onun yolunu keserek yüzünü onunkine yaklaştırdı.
Onun parlak, iri, erkeksi gözleri gözlerine o kadar yakındı ki, bu gözlerden başka hiçbir şeyi göremiyordu.
-Natalie mi? - sesi sorgulayıcı bir şekilde fısıldadı ve biri acı verici bir şekilde ellerini sıktı.
-Natalie mi?
"Hiçbir şey anlamıyorum, söyleyecek hiçbir şeyim yok" dedi bakışıyla.
Sıcak dudakları onunkilere değdi ve o anda kendini yeniden özgür hissetti ve Helen'in adımlarının ve elbisesinin sesi odada duyuldu. Natasha tekrar Helen'e baktı, sonra kızararak ve titreyerek ona korku dolu bir soruyla baktı ve kapıya doğru gitti.
Anatole, "Un mot, un seul, au nom de Dieu," dedi Anatole.
Durdu. Olanları kendisine açıklayacak ve kendisinin de ona cevap vereceği bu sözü söylemesine gerçekten ihtiyacı vardı.
"Nathalie, un mot, un seul," diye tekrarlamaya devam etti, görünüşe göre ne diyeceğini bilmiyordu ve Helen onlara yaklaşana kadar bunu tekrarladı.
Helen ve Natasha tekrar oturma odasına çıktılar. Rostov'lar akşam yemeğine kalmadan ayrıldılar.
Eve dönen Natasha bütün gece uyumadı: Kimi sevdiği, Anatole'un mu yoksa Prens Andrei'nin mi çözülemeyen sorusu ona eziyet etti. Prens Andrei'yi seviyordu - onu ne kadar sevdiğini açıkça hatırlıyordu. Ama Anatole'u da seviyordu, bu kesindi. “Aksi halde tüm bunlar nasıl olabilirdi?” düşündü. “Bundan sonra onunla vedalaştığımda gülümsemesine gülümseyerek karşılık verebilseydim, buna izin verebilseydim, ona ilk dakikadan itibaren aşık oldum demektir. Bu onun nazik, asil ve güzel olduğu anlamına gelir ve onu sevmemek imkansızdır. Onu sevdiğimde ve başkasını sevdiğimde ne yapmalıyım? bu korkunç soruların cevabını bulamayınca kendi kendine söyledi.

Sabah endişeleri ve telaşıyla geldi. Herkes ayağa kalktı, etrafta dolaştı, konuşmaya başladı, şapkacılar tekrar geldi, Marya Dmitrievna tekrar dışarı çıktı ve çay istedi. Natasha, sanki kendisine yöneltilen her bakışı engellemek istiyormuş gibi iri açık gözlerle, huzursuzca herkese baktı ve her zaman olduğu gibi görünmeye çalıştı.
Kahvaltıdan sonra Marya Dmitrievna (bu onun en iyi zamanıydı) sandalyesine oturarak Natasha'yı ve eski kontu ona çağırdı.
"Evet dostlarım, şimdi tüm meseleyi düşündüm ve işte size tavsiyem," diye başladı. – Dün bildiğiniz gibi Prens Nikolai'nin yanındaydım; Neyse onunla konuştum... Bağırmaya karar verdi. Beni susturamazsın! Ona her şeyi söyledim!
- O nedir? - sayımı sordu.
- O nedir? çılgın adam... duymak istemiyor; Peki, ne diyebilirim ki, zavallı kıza eziyet ettik” dedi Marya Dmitrievna. "Ve sana tavsiyem şu işleri bitirip Otradnoye'deki evine git... ve orada bekle...
- Oh hayır! – Natasha çığlık attı.
Marya Dmitrievna, "Hayır, gidelim" dedi. - Ve orada bekle. "Damat şimdi buraya gelirse kavga olmaz ama burada yaşlı adamla her şeyi tek başına konuşacak ve sonra sana gelecek."
Ilya Andreich bu teklifi onayladı ve makul olduğunu hemen anladı. Yaşlı adam pes ederse, daha sonra Moskova'ya ya da Kel Dağlar'a gelmesi daha iyi olacaktır; değilse, onun iradesi dışında evlenmek ancak Otradnoye'de mümkün olacaktır.
"Ve gerçek gerçek" dedi. Eski sayım, "Ona gidip onu götürdüğüme pişmanım" dedi.
- Hayır, neden pişman oluyorsun? Burada bulunduktan sonra saygı göstermemek mümkün değildi. Eh, istemiyorsa bu onun bileceği iş,” dedi Marya Dmitrievna, retikülde bir şey arayarak. - Evet, çeyiz de hazır, daha ne bekleyeceksin? ve hazır olmayanı sana göndereceğim. Senin adına üzülsem de, Tanrı'nın yolunda gitmek daha iyidir. “Retikülde aradığını bulduktan sonra onu Natasha'ya verdi. Prenses Marya'dan bir mektuptu. - Sana yazıyor. Ne kadar acı çekiyor, zavallı şey! Seni sevmediğini düşünmenden korkuyor.
Natasha, "Evet, beni sevmiyor" dedi.
Marya Dmitrievna, "Saçma, konuşma" diye bağırdı.
- Kimseye güvenmeyeceğim; Natasha mektubu alırken cesurca, "Beni sevmediğini biliyorum" dedi ve yüzünde kuru ve öfkeli bir kararlılık ifade edildi, bu da Marya Dmitrievna'nın ona daha yakından bakmasına ve kaşlarını çatmasına neden oldu.
"Böyle cevap verme anne" dedi. – Söylediklerim doğrudur. Bir cevap yazın.
Natasha cevap vermedi ve Prenses Marya'nın mektubunu okumak için odasına gitti.
Prenses Marya, aralarında yaşanan yanlış anlaşılma nedeniyle umutsuzluğa kapıldığını yazdı. Prenses Marya, babasının duyguları ne olursa olsun, Natasha'dan, mutluluğu için her şeyi feda etmeye hazır olduğu, kardeşi tarafından seçilen kişi olarak onu sevmekten başka çaresi olmadığına inanmasını istedi.
"Ancak" diye yazdı, "babamın sana karşı kötü niyetli olduğunu düşünme. O, mazur görülmesi gereken hasta ve yaşlı bir adamdır; ama naziktir, cömerttir ve oğlunu mutlu edecek kişiyi sevecektir.” Prenses Marya ayrıca Natasha'dan kendisini tekrar görebileceği bir zaman belirlemesini istedi.
Mektubu okuduktan sonra Natasha bir yanıt yazmak için masaya oturdu: "Chere prensese" [Sevgili prenses], hızlı, mekanik bir şekilde yazdı ve durdu. “Dün olanlardan sonra bundan sonra ne yazabilirdi? Evet, evet, bunların hepsi oldu ve şimdi her şey farklı” diye düşündü, başladığı mektubun üzerine otururken. “Onu reddetmeli miyim? Gerçekten gerekli mi? Bu korkunç!”... Ve bu korkunç düşünceleri düşünmemek için Sonya'nın yanına gitti ve onunla birlikte kalıpları çözmeye başladı.
Akşam yemeğinden sonra Natasha odasına gitti ve yine Prenses Marya'nın mektubunu aldı. - “Gerçekten her şey bitti mi? düşündü. Bütün bunlar gerçekten bu kadar çabuk mu oldu ve daha önce olan her şeyi yok etti mi? Prens Andrei'ye olan sevgisini tüm eski gücüyle hatırladı ve aynı zamanda Kuragin'i sevdiğini hissetti. Kendisini Prens Andrei'nin karısı olarak canlı bir şekilde hayal etti, onunla birlikte mutluluk tablosunun defalarca tekrarlandığını hayal etti ve aynı zamanda heyecandan kızararak, Anatole ile dünkü görüşmesinin tüm ayrıntılarını hayal etti.
“Neden birlikte olamıyor? bazen, tam bir güneş tutulması halinde, diye düşündü. Ancak o zaman tamamen mutlu olabilirdim ama şimdi bir seçim yapmam gerekiyor ve ikisi de olmadan mutlu olamam. Prens Andrei için ne anlama geldiğini söylemenin ya da bunu saklamanın aynı derecede imkansız olduğunu düşündü. Ve bununla hiçbir şey bozulmaz. Peki, Prens Andrey'in uzun zamandır birlikte yaşadığım aşkının bu mutluluğundan sonsuza kadar ayrılmak gerçekten mümkün mü?"
"Genç hanım," dedi kız gizemli bir bakışla fısıldayarak odaya girerken. – Bir kişi bana bunu söylememi söyledi. Kız mektubu uzattı. Natasha, hiç düşünmeden, mekanik bir hareketle mührü kırdığında ve Anatole'nin aşk mektubunu okuduğunda, kız hala "Tanrı aşkına," diyordu; tek kelimesini bile anlamadan tek bir şeyi anladı - bu mektubun ondan geldiğini sevdiği adamdan. “Evet seviyor, yoksa olanlar nasıl olabilir? Elinde ondan gelen bir aşk mektubu olabilir mi?”