Ortalama değer teoremi. Eğer f(x) aralıkta sürekli ise, öyle bir nokta vardır ki 
. Doktor. Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon, bu parça üzerinde en küçük m ve en büyük M değerlerini alır. Daha sonra 
. Sayı 
segmentteki fonksiyonun minimum ve maksimum değerleri arasında sonuçlandırılır. Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun özelliklerinden biri de bu fonksiyonun m ile M arasında bulunan herhangi bir değeri almasıdır. Dolayısıyla öyle bir nokta vardır ki 
. Bu özelliğin basit bir geometrik yorumu vardır: segment üzerinde sürekli ise, o zaman eğrisel yamuk ABCD'nin alanı, tabanı ve yüksekliği f(c) olan dikdörtgenin alanına eşit olacak şekilde bir nokta vardır (vurgulanmıştır) Şekilde).
7. Değişken üst limitli integral. Sürekliliği ve farklılaşabilirliği.
aralığında Riemann integrali alınabilen bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. üzerinde integrallenebilir olduğundan, ∀x ∈ üzerinde de integrallenebilir. O halde her x ∈ için ifade anlamlıdır ve her x için belirli bir sayıya eşittir.
Böylece her x ∈ belirli bir sayıyla ilişkilendirilir,
onlar. fonksiyon verilmiştir:
(3.1)
Tanım:
(3.1)'de tanımlanan F(x) fonksiyonuna ve ifadenin kendisine denir.
değişken üst limitli integral. Tüm segment boyunca tanımlanır
f(x) fonksiyonunun integrallenebilirliği.
Koşul: f(t) üzerinde süreklidir ve F(x) fonksiyonu formül (3.1) ile verilir.
Açıklama: F(x) fonksiyonu üzerinde türevlenebilir ve F(x) = f(x).
(a noktasında sağa türevlenebilir, b noktasında sola türevlenebilir.)
Kanıt:
Tek değişkenli bir fonksiyon için F(x) türevlenebilirliği tüm noktalarda (sağda a noktasında ve solda b noktasında) bir türevin varlığına eşdeğer olduğundan, F(x)'in türevini bulacağız. . Farkı göz önünde bulunduralım
Böylece,
bu durumda ξ noktası parçanın üzerinde yer alır (ya da ∆x ise)< 0).
Şimdi F(x) fonksiyonunun belirli bir x ∈ noktasındaki türevinin fark oranının limitine eşit olduğunu hatırlayın: . Elde ettiğimiz eşitlikten:
,
Şimdi ∆x → 0'ı yönlendirerek, bu eşitliğin sol tarafında F'(x) elde ederiz ve sağ tarafta
f(t) fonksiyonunun x noktasındaki sürekliliğinin tanımını hatırlayalım:
Bu tanımda x1 ξ'ya eşit olsun. ξ ∈ (ξ ∈ ) olduğundan ve
∆x → 0 ise |x − ξ| → 0 ve sürekliliğin tanımı gereği, f (ξ) → f (x). Buradan elimizde:
F'(x) = f(x).
Sonuçlar:
Koşul: f(x) üzerinde süreklidir.
Açıklama: f(x) fonksiyonunun herhangi bir terstürevi şu formdadır:
burada C ∈ R bir sabittir.
Kanıt. Teorem 3.1'e göre fonksiyon için bir ters türevdir f(x). G(x)'in f(x)'in başka bir terstürevi olduğunu varsayalım. O zaman G’(x) = f(x) ve F(x) − G(x) fonksiyonu için şunu elde ederiz: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Dolayısıyla F (x)−G fonksiyonunun türevi (X)
sıfıra eşit olduğundan bu fonksiyon sabittir: F(x) − G(x) = sabit.
8. Belirli bir integral için Newton-Leibniz formülü.
Teorem:
Durum: f(t) üzerinde süreklidir ve F(x) bunun herhangi bir antitürevidir.
İfade:
Kanıt: f(x) fonksiyonunun bazı antiderivatif F(x)'lerini düşünün. “Değişken üst limitli bir integralin türevlenebilirliği üzerine” Teoreminden çıkan sonuca göre (önceki soruya bakınız), şu şekildedir: . Buradan
=>
C=
F(A)
, Ve
Son eşitlikte F(a)'yı sol tarafa taşıyalım, integral değişkenini tekrar x ile yeniden tanımlayalım ve Newton-Leibniz formülünü elde edelim:
Teorem. Eğer fonksiyon f(x) aralıkta integrallenebilir [ a, b], Nerede A< b ve herkes için x ∈ eşitsizlik geçerli
Teoremdeki eşitsizlikler kullanılarak belirli integral tahmin edilebilir; anlamının kapsandığı sınırları gösterir. Bu eşitsizlikler belirli integralin bir tahminini ifade eder.
Teorem [Ortalama Teoremi]. Eğer fonksiyon f(x) aralıkta integrallenebilir [ a, b] ve herkes için x ∈ eşitsizlikler giderildi m ≤ f(x) ≤ M, O
Nerede m ≤ μ ≤ M.
Yorum. Fonksiyonun olması durumunda f(x) aralıkta süreklidir [ a, b], teoremden eşitlik şu şekli alır:
Nerede c ∈. Sayı μ=f(c) Bu formülle tanımlanana denir ortalama değer işlevler f(x) segmentte [ a, b] Bu eşitlik aşağıdakilere sahiptir geometrik anlamı: sürekli bir çizgiyle sınırlanan kavisli bir yamuğun alanı y=f(x) (f(x) ≤ 0), aynı tabana ve yüksekliğe sahip bir dikdörtgenin alanına, bu doğru üzerindeki bir noktanın koordinatına eşittir.
Sürekli bir fonksiyonun antiderivatifinin varlığı
İlk olarak üst limiti değişken olan integral kavramını tanıtıyoruz.
Fonksiyona izin ver f(x) aralıkta integrallenebilir [ a, b] O zaman sayı ne olursa olsun X itibaren [ a, b], işlev f(x) aralıkta integrallenebilir [ a, b] Bu nedenle aralıkta [ a, b] fonksiyon tanımlı
buna değişken üst limitli integral denir.
Teorem. İntegral aralıkta sürekli ise [ a, b], bu durumda değişken bir üst limite sahip belirli bir integralin türevi vardır ve bu limit için integralin değerine eşittir, yani
Sonuçlar. Değişken üst limitli belirli bir integral, sürekli bir integralin antiderivatiflerinden biridir. Başka bir deyişle, bir aralıkta sürekli olan herhangi bir fonksiyonun bir antiderivatifi vardır.
Not 1. Fonksiyonun f(x) aralıkta integrallenebilir [ a, b] ise, üst sınırı değişken olan integral, bu parça üzerinde sürekli olan üst sınırın bir fonksiyonudur. Aslında, St.2'den ve sahip olduğumuz ortalama değer teoreminden
Not 2. Değişken üst limitli integral, birçok yeni fonksiyonun tanımında kullanılır, örneğin, 
. Bu işlevler temel değildir; daha önce belirtildiği gibi, belirtilen integrallerin ters türevleri temel işlevler aracılığıyla ifade edilmez.
Entegrasyonun temel kuralları
Newton-Leibniz formülü
Herhangi iki antiderivatif fonksiyon olduğundan f(x) bir sabit kadar farklılık gösteriyorsa, önceki teoreme göre herhangi bir antiderivatifin olduğu iddia edilebilir. Φ(x) segmentte sürekli [ a, b] işlevler f(x) benziyor
Nerede C- biraz sabit.
Bu formülde varsayarsak x=a Ve x=b, St.1 belirli integrallerini kullanarak şunu buluruz:
Bu eşitlikler ilişkiyi ima eder
buna denir Newton-Leibniz formülü.
Böylece aşağıdaki teoremi kanıtladık:
Teorem. Sürekli bir fonksiyonun belirli integrali, üst ve alt entegrasyon limitleri için antitürevlerinden herhangi birinin değerleri arasındaki farka eşittir.
Newton-Leibniz formülü şu şekilde yeniden yazılabilir:
Belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme
Teorem. Eğer
- işlev f(x) aralıkta süreklidir [ a, b];
- çizgi segmenti [ a, b] fonksiyon değerlerinin kümesidir φ(t), segmentte tanımlanmış α ≤ t ≤ β ve üzerinde sürekli bir türev bulunan;
- φ(α)=a, φ(β)=b
o zaman formül doğrudur
Parçalara göre entegrasyon formülü
Teorem. Eğer işlevler u=u(x), v=v(x) aralıkta sürekli türevler var [ a, b] ise formül geçerlidir
Uygulama değeri ortalama değer teoremleri
belirli bir integralin değerini hesaplamadan niteliksel bir tahmin elde etme olasılığında yatmaktadır. Hadi formüle edelim
: Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise, o zaman bu aralığın içinde öyle bir nokta vardır ki 
.
Bu formül, karmaşık veya hantal bir fonksiyonun integralini kabaca tahmin etmek için oldukça uygundur. Formülü oluşturan tek nokta yaklaşık bir zorunluluktur bağımsız seçim noktalar En basit yolu - entegrasyon aralığının ortasını - seçersek (bazı ders kitaplarında önerildiği gibi), o zaman hata oldukça önemli olabilir. Daha doğru bir sonuç elde etmek için öneririz hesaplamayı aşağıdaki sırayla gerçekleştirin:
Aralıktaki bir fonksiyonun grafiğini oluşturun;
Fonksiyon grafiğinin kesilen kısımları eşit olacak şekilde dikdörtgenin üst sınırını çizin. alan olarak yaklaşık olarak eşit (yukarıdaki şekilde gösterilen şey tam olarak budur - iki eğrisel üçgen neredeyse aynıdır);
Şekilden belirleyin;
Ortalama değer teoremini kullanın.
Örnek olarak basit bir integrali hesaplayalım:
Kesin değer ;
Aralığın ortası için 
aynı zamanda yaklaşık bir değer de elde ederiz; açıkça yanlış sonuç;
Önerilere uygun olarak dikdörtgenin üst kenarı çizilen bir grafik oluşturarak , dolayısıyla yaklaşık değerini elde ederiz. Oldukça tatmin edici bir sonuç, hata %0,75'tir.
Yamuk formülü
Ortalama değer teoremini kullanan hesaplamaların doğruluğu, gösterildiği gibi, önemli ölçüde şunlara bağlıdır: görsel amaç puan çizelgesine göre. Nitekim aynı örnekte veya noktalarını seçerek integralin diğer değerlerini elde edebilirsiniz ve hata artabilir. Öznel faktörler, grafiğin ölçeği ve çizimin kalitesi sonucu büyük ölçüde etkiler. Bu kabul edilemez kritik hesaplamalarda, dolayısıyla ortalama değer teoremi yalnızca hızlı hesaplamalara uygulanır kalite integral tahminleri.
Bu bölümde yaklaşık integralin en popüler yöntemlerinden birini ele alacağız - yamuk formülü . Bu formülü oluşturmanın ana fikri, şekilde gösterildiği gibi eğrinin yaklaşık olarak kesikli bir çizgi ile değiştirilebileceği gerçeğine dayanmaktadır.
Kesinlik sağlamak için (ve şekle uygun olarak) integrasyon aralığının aşağıdakilere bölündüğünü varsayalım: eşit (bu isteğe bağlıdır, ancak çok kullanışlıdır) parçalar. Bu parçaların her birinin uzunluğu formülle hesaplanır ve denir. adım . Bölme noktalarının apsisleri, eğer verilmişse, formülle belirlenir; burada . Bilinen apsisleri kullanarak koordinatları hesaplamak kolaydır. Böylece,
Bu durum için yamuk formülüdür. Parantez içindeki ilk terimin, tüm ara koordinatların eklendiği başlangıç ve son koordinatların yarı toplamı olduğuna dikkat edin. Entegrasyon aralığının isteğe bağlı sayıda bölümü için yamuk için genel formül şu forma sahiptir: karesel formüller: dikdörtgenler, Simpson, Gaussian, vb. Çeşitli şekillerdeki temel alanlarla eğrisel bir yamuğu temsil etme fikrine dayanırlar, bu nedenle yamuk formülüne hakim olduktan sonra benzer formülleri anlamak zor olmayacaktır. Pek çok formül yamuk formülü kadar basit değildir ancak az sayıda bölmeyle yüksek doğrulukta sonuçlar elde etmenize olanak sağlar.
Yamuk formülünü (veya benzerlerini) kullanarak, hem "gerçekleştirilemeyen" integralleri hem de karmaşık veya hantal fonksiyonların integrallerini pratikte gereken doğrulukla hesaplamak mümkündür.
Belirli bir integralle sürekli bir fonksiyondan F(X) son segmentte [ A, B] (burada ) bu segmentteki bazı antitürevlerinin artışıdır. (Genel olarak belirsiz integral konusunu tekrarlarsanız anlayış gözle görülür şekilde daha kolay olacaktır) Bu durumda notasyon kullanılır
Aşağıdaki grafiklerde görülebileceği gibi (antiderivatif fonksiyonun artışı ile gösterilir), Belirli bir integral pozitif ya da negatif bir sayı olabilir(Anttürevin üst limitteki değeri ile alt limitteki değeri arasındaki fark olarak hesaplanır; F(B) - F(A)).
Sayılar A Ve B sırasıyla entegrasyonun alt ve üst sınırları olarak adlandırılır ve segment [ A, B] – entegrasyon segmenti.
Böylece eğer F(X) – bazı antiderivatif fonksiyonlar F(X), o zaman tanıma göre,
(38)
Eşitlik (38) denir Newton-Leibniz formülü . Fark F(B) – F(A) kısaca şu şekilde yazılır:
Bu nedenle Newton-Leibniz formülünü şu şekilde yazacağız:
(39)
Belirli integralin, hesaplanırken integralin hangi antitürevinin alındığına bağlı olmadığını kanıtlayalım. İzin vermek F(X) ve F( X) integralin keyfi antitürevleridir. Bunlar aynı fonksiyonun ters türevleri olduğundan sabit bir terimle farklılık gösterirler: Ф( X) = F(X) + C. Bu yüzden
Bu, segmentte şunu belirler: [ A, B] fonksiyonun tüm ters türevlerinin artışları F(X) eşleştir.
Bu nedenle, belirli bir integrali hesaplamak için integralin herhangi bir antitürevini bulmak gerekir; İlk önce belirsiz integrali bulmanız gerekir. Devamlı İLE sonraki hesaplamalara dahil edilmemiştir. Daha sonra Newton-Leibniz formülü uygulanır: üst limitin değeri ters türev fonksiyonuna yerleştirilir B , ayrıca - alt sınırın değeri A ve fark hesaplanır F(b) - F(a) . Ortaya çıkan sayı belirli bir integral olacaktır..
Şu tarihte: A = B tanım gereği kabul edildi
Örnek 1.
Çözüm. İlk önce belirsiz integrali bulalım:
Newton-Leibniz formülünün antiderivatife uygulanması
(saatte İLE= 0), şunu elde ederiz
Ancak belirli bir integral hesaplanırken antiderivatifi ayrı ayrı bulmak değil, integrali hemen (39) formuna yazmak daha iyidir.
Örnek 2. Belirli integrali hesaplayın
Çözüm. Formülü kullanma
Belirli integralin özellikleri
Teorem 2.Belirli integralin değeri, integral değişkeninin tanımına bağlı değildir, yani
(40)
İzin vermek F(X) – için antiderivatif F(X). İçin F(T) antiderivatif aynı fonksiyondur F(T), burada bağımsız değişken yalnızca farklı şekilde belirtilir. Buradan,
Formül (39)'a göre son eşitlik, integrallerin eşitliği anlamına gelir.
Teorem 3.Sabit faktör belirli integralin işaretinden çıkarılabilir, yani
(41)
Teorem 4.Sonlu sayıda fonksiyonun cebirsel toplamının belirli integrali, bu fonksiyonların belirli integrallerinin cebirsel toplamına eşittir, yani
(42)
Teorem 5.Bir integral parçası parçalara ayrılırsa, parçanın tamamı üzerindeki belirli integral, parçaları üzerindeki belirli integrallerin toplamına eşittir, yani Eğer
(43)
Teorem 6.İntegral limitleri yeniden düzenlenirken belirli integralin mutlak değeri değişmez, yalnızca işareti değişir, yani
(44)
Teorem 7(ortalama değer teoremi). Belirli bir integral, integral parçasının uzunluğu ile integralin içindeki bir noktadaki değerinin çarpımına eşittir., yani
(45)
Teorem 8.İntegralin üst sınırı alt sınırdan büyükse ve integral negatif değilse (pozitif), o zaman belirli integral de negatif değildir (pozitif), yani. Eğer
Teorem 9.İntegralin üst sınırı alt sınırdan büyükse ve fonksiyonlar sürekli ise eşitsizlik
dönem dönem entegre edilebilir, yani
(46)
Belirli integralin özellikleri, integrallerin doğrudan hesaplanmasını basitleştirmeyi mümkün kılar.
Örnek 5. Belirli integrali hesaplayın
Teorem 4 ve 3'ü kullanarak ve antitürevleri - tablo integralleri (7) ve (6) bulurken, şunu elde ederiz:
Değişken üst limitli belirli integral
İzin vermek F(X) – segmentte sürekli [ A, B] işlevi ve F(X) onun terstürevidir. Belirli integrali düşünün
(47)
Ve aracılığıyla T entegrasyon değişkeni üst sınırla karıştırılmayacak şekilde belirlenir. Değiştiğinde X belirli integral (47) de değişir, yani. entegrasyonun üst sınırının bir fonksiyonudur X ile gösterdiğimiz F(X), yani.
(48)
Fonksiyonun olduğunu kanıtlayalım F(X) için bir ters türevdir F(X) = F(T). Aslında farklılaşan F(X), elde ederiz
Çünkü F(X) – için antiderivatif F(X), A F(A) sabit bir değerdir.
İşlev F(X) – sonsuz sayıda antiderivatiften biri F(X), yani X = A sıfıra gider. Bu ifade, (48) eşitliğini koyarsak elde edilir. X = A ve önceki paragraftaki Teorem 1'i kullanın.
Belirli integrallerin parçalara göre entegrasyon yöntemi ve değişken değişimi yöntemiyle hesaplanması
tanım gereği nerede, F(X) – için antiderivatif F(X). İntegraldeki değişkeni değiştirirsek
o zaman formül (16)'ya uygun olarak şunu yazabiliriz:
Bu ifadede
için antiderivatif fonksiyon
Aslında ona göre onun türevi karmaşık fonksiyonların farklılaşma kuralı, eşittir
α ve β değişkenin değerleri olsun T, bunun için fonksiyon
değerleri buna göre alır A Ve B, yani
Ancak Newton-Leibniz formülüne göre fark F(B) – F(A) Orada
Yamuk yöntemi
Ana makale:Yamuk yöntemi
Kısmi parçaların her birindeki fonksiyona sonlu değerlerden geçen bir doğru ile yaklaşılırsa yamuk yöntemi elde edilir.
Her segmentteki yamuğun alanı:
Her segmentteki yaklaşım hatası:
Nerede 
Tüm entegrasyon aralığının eşit uzunlukta parçalara bölünmesi durumunda yamukların tam formülü:
Nerede
Yamuk formül hatası:
Nerede 
Simpson'ın yöntemi.
İntegrand f(x) ikinci dereceden bir enterpolasyon polinomu ile değiştirilir P(x)– örneğin şekilde gösterildiği gibi üç düğümden geçen bir parabol ((1) – fonksiyon, (2) – polinom).
Entegrasyonun iki adımını ele alalım ( H= sabit = x i+1 – x i), yani üç düğüm x 0, x 1, x 2 Newton denklemini kullanarak bir parabol çiziyoruz:
İzin vermek z = x - x 0,
Daha sonra
Şimdi elde edilen ilişkiyi kullanarak bu aralıktaki integrali hesaplıyoruz:
.
İçin üniforma örgü Ve çift adım sayısı n Simpson formülü şu şekli alır:
Burada 
, A 
integralin dördüncü türevinin sürekliliği varsayımı altında.
[düzenlemek] Arttırılmış doğruluk
Bir fonksiyonun tüm entegrasyon aralığı boyunca tek bir polinomla yaklaşımı, kural olarak, integralin değerinin tahmin edilmesinde büyük bir hataya yol açar.
Hatayı azaltmak için entegrasyon segmenti parçalara bölünür ve her birinin üzerindeki integrali değerlendirmek için sayısal bir yöntem kullanılır.
Bölümlerin sayısı sonsuza doğru yöneldikçe, integralin tahmini, herhangi bir sayısal yöntem için analitik fonksiyonlar için gerçek değerine doğru yönelir.
Yukarıdaki yöntemler, adımın yarıya indirilmesine yönelik basit bir prosedüre izin verir; her adım, işlev değerlerinin yalnızca yeni eklenen düğümlerde hesaplanmasını gerektirir. Hesaplama hatasını tahmin etmek için Runge kuralı kullanılır.
Runge kuralının uygulanması
düzenle]Belirli bir integralin hesaplanmasının doğruluğunun değerlendirilmesi
İntegral, seçilen formül (dikdörtgenler, yamuklar, Simpson parabolleri) kullanılarak adım sayısı n'ye eşit ve ardından adım sayısı 2n'ye eşit olacak şekilde hesaplanır. 2n'ye eşit adım sayısıyla integralin değerinin hesaplanmasındaki hata Runge formülü ile belirlenir:
, dikdörtgen ve yamuk formülleri ve Simpson formülü için.
Böylece integral, adım sayısının ardışık değerleri için hesaplanır; burada n 0, başlangıç adım sayısıdır. Hesaplama işlemi, ε'nun belirtilen doğruluk olduğu bir sonraki N değeri için koşul sağlandığında sona erer.
Hata davranışının özellikleri.
Basitçe entegrasyon adım boyutunu azaltarak yüksek doğruluk elde edebileceksek neden farklı entegrasyon yöntemlerini analiz edelim? Bununla birlikte, son hatanın davranışının grafiğini göz önünde bulundurun R sayısal hesaplamanın sonuçları 
ve numaradan N aralığın bölümleri (yani, adım . Bölüm (1)'de, adım h'deki bir azalmaya bağlı olarak hata azalır. Ancak bölüm (2)'de, çok sayıda aritmetik işlemin sonucu olarak biriken hesaplama hatası hakim olmaya başlar. , her yöntemin kendine ait bir yöntemi var Rmin, birçok faktöre bağlıdır, ancak öncelikle yöntem hatasının önsel değerine bağlıdır R.
Romberg'in açıklayıcı formülü.
Romberg'in yöntemi, integralin değerini, bölüm sayısında çoklu bir artışla sıralı olarak hassaslaştırmaktan oluşur. Düzgün adımlarla yamuk formülü temel alınabilir H.
İntegrali bölüm sayısıyla gösterelim N= 1 olarak 
.
Adımı yarı yarıya azaltarak şunu elde ederiz: 
.
Adımı art arda 2 n kat azaltırsak, hesaplama için bir yineleme ilişkisi elde ederiz.
