Bir üçgene dar üçgen denir. Bacak ve hipotenüs nedir? Üçgenler nelerdir?

Üçgen - tanımı ve genel kavramlar

Üçgen, üç kenardan oluşan ve aynı sayıda açıya sahip basit bir çokgendir. Düzlemleri 3 nokta ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan 3 doğru parçası ile sınırlıdır.

Herhangi bir üçgenin tüm köşeleri, türüne bakılmaksızın, büyük Latin harfleriyle gösterilir ve kenarları, yalnızca büyük harflerle değil, küçük harflerle karşıt köşelerin karşılık gelen adlarıyla gösterilir. Örneğin, köşeleri A, B ve C olan bir üçgenin kenarları a, b, c'dir.

Öklid uzayında bir üçgen düşünürsek, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parça kullanılarak oluşturulan geometrik bir şekildir.

Yukarıda gösterilen resme dikkatlice bakın. Üzerinde A, B ve C noktaları bu üçgenin köşeleridir ve parçalarına üçgenin kenarları denir. Bu çokgenin her köşesi, içinde açılar oluşturur.

Üçgen türleri

Üçgenler açılarının büyüklüğüne göre şu çeşitlere ayrılır: Dikdörtgen;
Akut açısal;
Geniş.

Dikdörtgen üçgenler, bir dik açısı ve diğer ikisinin dar açısı olan üçgenleri içerir.

Dar üçgenler, tüm açılarının dar olduğu üçgenlerdir.

Ve eğer bir üçgenin bir geniş açısı ve diğer iki dar açısı varsa, o zaman böyle bir üçgen geniş olarak sınıflandırılır.

Her biriniz tüm üçgenlerin kenarlarının eşit olmadığını çok iyi anlıyorsunuz. Ve kenarlarının uzunluğuna göre üçgenler şu şekilde ayrılabilir:

İkizkenar;
Eşkenar;
Çok yönlü.

Ödev: Farklı türde üçgenler çizin. Onları tanımlayın. Aralarında ne gibi bir fark görüyorsunuz?

Üçgenlerin temel özellikleri

Bu basit çokgenler, açılarının veya kenarlarının boyutları açısından birbirlerinden farklı olabilseler de, her üçgen, bu şeklin karakteristik özelliği olan temel özelliklere sahiptir.

Herhangi bir üçgende:

Tüm açılarının toplamı 180°'dir.
Eşkenarlara aitse açılarının her biri 60°'dir.
Eşkenar üçgenin açıları eşit ve eşittir.
Çokgenin kenarı ne kadar küçük olursa, karşısındaki açı da o kadar küçük olur ve bunun tersi de, büyük açı, büyük kenarın karşısındadır.
Kenarlar eşitse, karşılarında eşit açılar vardır ve bunun tersi de geçerlidir.
Bir üçgeni alıp kenarını uzatırsak bir dış açı elde ederiz. İç açıların toplamına eşittir.
Herhangi bir üçgende, hangisini seçerseniz seçin, kenarı diğer 2 kenarın toplamından az ama farklarından fazla olacaktır:

1 A< b + c, a >M.Ö;
2.b< a + c, b >AC;
3.c< a + b, c >a-b.

Egzersiz yapmak

Tablo üçgenin halihazırda bilinen iki açısını göstermektedir. Tüm açıların toplamını bilerek üçgenin üçüncü açısının neye eşit olduğunu bulun ve tabloya girin:

1. Üçüncü açı kaç derecedir?
2. Hangi üçgene aittir?

Üçgenlerin denkliği testleri

İmzalıyorum

II işareti

III işareti

Bir üçgenin yüksekliği,ortayı ve ortancası

Bir üçgenin yüksekliği - şeklin tepe noktasından karşı kenara çizilen dikmeye üçgenin yüksekliği denir. Bir üçgenin tüm yükseklikleri bir noktada kesişir. Bir üçgenin 3 yüksekliğinin de kesişme noktası diklik merkezidir.

Belirli bir tepe noktasından çizilen ve onu karşı tarafın ortasına bağlayan bir segment medyandır. Medyanlar ve bir üçgenin yükseklikleri, üçgenin veya ağırlık merkezinin ağırlık merkezi adı verilen ortak bir kesişme noktasına sahiptir.

Bir üçgenin açıortayı, bir açının tepe noktasını karşı taraftaki bir noktaya bağlayan ve aynı zamanda bu açıyı ikiye bölen bir segmenttir. Bir üçgenin tüm açıortayları, üçgenin içine yazılan dairenin merkezi adı verilen bir noktada kesişir.

Bir üçgenin 2 kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta çizgi denir.

Tarihsel referans

Üçgen gibi bir figür Antik çağlarda biliniyordu. Bu figür ve onun özelliklerinden dört bin yıl önce Mısır papirüslerinde bahsediliyordu. Kısa bir süre sonra Pisagor teoremi ve Heron formülü sayesinde üçgenin özelliklerinin incelenmesi daha yüksek bir seviyeye taşındı, ancak yine de bu iki bin yıldan fazla bir süre önce gerçekleşti.

15. – 16. yüzyıllarda üçgenin özellikleri üzerine pek çok araştırma yapılmaya başlandı ve bunun sonucunda “Yeni Üçgen Geometrisi” adı verilen planimetri gibi bir bilim ortaya çıktı.

Rus bilim adamı N.I. Lobachevsky, üçgenlerin özelliklerinin bilgisine büyük katkı yaptı. Çalışmaları daha sonra matematik, fizik ve sibernetik alanlarında uygulama buldu.

Üçgenlerin özelliklerinin bilgisi sayesinde trigonometri gibi bir bilim ortaya çıktı. Haritaları hazırlarken, alanları ölçerken ve hatta çeşitli mekanizmaları tasarlarken kullanımı basitçe gerekli olduğundan, bir kişinin pratik ihtiyaçlarında gerekli olduğu ortaya çıktı.

Bildiğiniz en ünlü üçgen nedir? Bu elbette Bermuda Şeytan Üçgeni! Bu adı 50'li yıllarda, mevcut teoriye göre kendisiyle ilişkili anormalliklerin ortaya çıktığı noktaların (üçgenin köşeleri) coğrafi konumu nedeniyle almıştır. Bermuda Şeytan Üçgeni'nin köşeleri Bermuda, Florida ve Porto Riko'dur.

Ödev: Bermuda Şeytan Üçgeni hakkında hangi teorileri duydunuz?

Lobaçevski'nin teorisinde bir üçgenin açıları toplandığında bunların toplamının her zaman 180°'den küçük olduğunu biliyor muydunuz? Riemann geometrisinde bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180 dereceden büyüktür ve Öklid'in eserlerinde 180 dereceye eşittir.

Ev ödevi

Belirli bir konuyla ilgili bir bulmaca çözün

Bulmaca soruları:

1. Üçgenin köşesinden karşı taraftaki düz çizgiye çizilen dikmenin adı nedir?
2. Bir üçgenin kenarlarının uzunluklarının toplamını tek kelimeyle nasıl adlandırabilirsiniz?
3. İki kenarı eşit olan bir üçgen söyleyin?
4. Bir açısı 90° olan bir üçgen söyler misiniz?
5. Üçgenin en büyük kenarının adı nedir?
6. İkizkenar üçgenin kenarının adı nedir?
7. Herhangi bir üçgende her zaman üç tane bulunur.
8. Açılarından birinin ölçüsü 90°'yi geçen üçgene ne ad verilir?
9. Şeklimizin üst kısmını karşı tarafın ortasıyla birleştiren parçanın adı?
10. Basit bir ABC çokgeninde büyük A harfi...?
11. Bir üçgenin açısını ikiye bölen doğru parçasının adı nedir?

Üçgenler konusuyla ilgili sorular:

1. Tanımlayın.
2. Kaç yüksekliği var?
3. Bir üçgenin kaç tane bisektörü vardır?
4. Açılarının toplamı nedir?
5. Bu basit çokgenin hangi türlerini biliyorsunuz?
6. Üçgenlerin dikkat çekici denilen noktalarını isimlendiriniz.
7. Açıyı ölçmek için hangi cihazı kullanabilirsiniz?
8. Saatin ibreleri saat 21'i gösteriyorsa. Saat ibreleri hangi açıyı yapıyor?
9. Bir kişiye "sola", "daire" komutu verilirse hangi açıyla döner?
10. Üç açısı ve üç kenarı olan bir şekille ilgili başka hangi tanımları biliyorsunuz?

Konular > Matematik > Matematik 7. sınıf

Üçgenüç tarafı (veya üç açısı) olan bir çokgendir. Bir üçgenin kenarları genellikle küçük harflerle (a, b, c) gösterilir; bu harfler, zıt köşeleri (A, B, C) gösteren büyük harflere karşılık gelir.

Bir üçgenin üç açısı da dar ise o zaman dar üçgen.

Bir üçgenin açılarından biri dik ise dik üçgen. Dik açıyı oluşturan kenarlara denir bacaklar. Dik açının karşısındaki kenara denir hipotenüs.

Bir üçgenin açılarından biri geniş ise geniş açılı üçgen.

İkizkenar üçgen, eğer iki tarafı eşitse; bu eşit kenarlara yanal, üçüncü kenara ise üçgenin tabanı denir.

Eşkenar üçgen eğer bütün kenarları eşitse.

Üçgenlerin temel özellikleri

Herhangi bir üçgende:

1. Büyük tarafın karşısında daha büyük açı bulunur ve bunun tersi de geçerlidir.

2. Eşit açılar eşit kenarların karşısında yer alır ve bunun tersi de geçerlidir.
Özellikle eşkenar üçgenin tüm açıları eşittir.

3. Bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir.
Son iki özellikten eşkenardaki her açının olduğu sonucu çıkar.
üçgen 60°'dir.

4. Üçgenin kenarlarından birine devam ederek dış tarafı elde ederiz.
köşe. Üçgenin dış açısı iç açılarının toplamına eşittir,
yanında değil.

5. Üçgenin herhangi bir kenarı diğer iki kenarın toplamından küçük ve büyüktür
onların farklılıkları.

Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri.

Üçgenler sırasıyla eşitse eştir:

A) iki taraf ve aralarındaki açı;
b) iki köşe ve onlara bitişik olan taraf;
c) üç taraf.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri.

Aşağıdaki koşullardan biri doğruysa iki dik üçgen eştir:

1) bacakları eşittir;
2) bir üçgenin kenarı ve hipotenüsü diğerinin kenarı ve hipotenüsüne eşittir;
3) bir üçgenin hipotenüsü ve dar açısı diğerinin hipotenüsüne ve dar açısına eşittir;
4) bir üçgenin bacağı ve bitişik dar açısı diğerinin bacağına ve bitişik dar açısına eşittir;
5) Bir üçgenin bacağı ve karşı dar açısı diğerinin bacağına ve karşı dar açısına eşittir.

Üçgen yüksekliği herhangi bir tepe noktasından karşı tarafa (veya onun devamına) bırakılan dikey bir çizgidir. Bu tarafa üçgenin tabanı denir. Bir üçgenin üç yüksekliği her zaman adı verilen bir noktada kesişir. üçgenin diklik merkezi. Dar bir üçgenin diklik merkezi üçgenin içinde bulunur ve geniş bir üçgenin diklik merkezi dışarıdadır; Bir dik üçgenin diklik merkezi, dik açının tepe noktasıyla çakışır.

Medyan Bir üçgenin herhangi bir köşesini karşı kenarın ortasıyla birleştiren doğru parçasıdır. Bir üçgenin üç kenarortayı her zaman üçgenin içinde yer alan bir noktada kesişir ve bu nokta ağırlık merkezi. Bu nokta, her medyanı tepe noktasından itibaren sayarak 2:1 oranında böler.

Bir ikizkenar üçgenin medyanının özelliği. Bir ikizkenar üçgende tabana çizilen kenarortay açıortay ve yüksekliği verir.

Açıortay- bu, tepe noktasından karşı tarafla kesişme noktasına kadar olan açının açıortay segmentidir. Bir üçgenin üç açıortayı her zaman üçgenin içinde olan bir noktada kesişir ve yazılı dairenin merkezi. Açıortay, karşı tarafı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

Ortanca dik bir parçanın (yan) orta noktasından çizilen bir diktir. Bir üçgenin birbirine dik üç kenarortayı bir noktada kesişir; bu çevrelenmiş dairenin merkezi. Dar bir üçgende bu nokta üçgenin içinde yer alır; geniş bir açıyla - dışarıda; dikdörtgen şeklinde - hipotenüsün ortasında. Diklik merkezi, ağırlık merkezi, çevre merkezi ve yazılı daire yalnızca eşkenar üçgende çakışır.

Üçgenin orta çizgisi iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir.

Bir üçgenin orta çizgisinin özelliği. Verilen iki kenarın orta noktalarını birleştiren üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paralel ve yarısına eşittir.

Pisagor teoremi. Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. c2 = a2 + b2 .

Pisagor teoreminin kanıtları görebilirsin Burada.

Sinüs teoremi. Üçgenin kenarları karşıt açıların sinüsleriyle orantılıdır .

Kosinüs teoremi. Bir üçgenin herhangi bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamına, bu kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsü olmadan eşittir. .

Sinüs teoremi ve kosinüs teoreminin kanıtları görebilirsin Burada.

Bir üçgende açıların toplamı ile ilgili teorem.Üçgenin iç açılarının toplamı 180°dir.

Üçgen Dış Açı Teoremi. Bir üçgenin bir dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Okul öncesi çocuklar bile bir üçgenin neye benzediğini biliyor. Ancak çocuklar zaten okulda nasıl olduklarını anlamaya başlıyorlar. Bir tür geniş üçgendir. Ne olduğunu anlamanın en kolay yolu resmini görmektir. Ve teoride buna üç kenarı ve köşeleri olan "en basit çokgen" denir, bunlardan biri

Kavramları anlamak

Geometride üç tarafı olan bu tür şekiller vardır: dar, dik ve geniş üçgenler. Üstelik bu en basit çokgenlerin özellikleri hepsi için aynıdır. Böylece listelenen tüm türler için bu eşitsizlik gözlenecektir. Herhangi iki kenarın uzunluklarının toplamı mutlaka üçüncü kenarın uzunluğundan daha büyük olacaktır.

Ancak bir dizi bireysel köşeden değil, tam bir rakamdan bahsettiğimizden emin olmak için, ana koşulun karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmek gerekir: geniş bir üçgenin açılarının toplamı 180 dereceye eşittir . Aynı durum üç tarafı olan diğer figür türleri için de geçerlidir. Doğru, geniş bir üçgende açılardan biri 90°'den daha büyük olacak ve geri kalan ikisi kesinlikle dar olacaktır. Bu durumda en uzun kenarın karşısında olacak olan en büyük açıdır. Doğru, bunların hepsi geniş bir üçgenin özellikleri değil. Ancak okul çocukları yalnızca bu özellikleri bilseler bile geometrideki birçok problemi çözebilirler.

Üç köşeli her çokgen için, kenarlardan herhangi birini devam ettirerek, boyutu bitişik olmayan iki iç köşenin toplamına eşit olacak bir açı elde ettiğimiz de doğrudur. Geniş bir üçgenin çevresi diğer şekillerle aynı şekilde hesaplanır. Tüm kenarlarının uzunluklarının toplamına eşittir. Bunu belirlemek için matematikçiler başlangıçta hangi verinin mevcut olduğuna bağlı olarak çeşitli formüller geliştirdiler.

Doğru stil

Geometri problemlerini çözmenin en önemli koşullarından biri doğru çizimdir. Matematik öğretmenleri sıklıkla bunun sadece verileni ve sizden ne istendiğini görselleştirmenin değil, aynı zamanda doğru cevaba %80 yaklaşmanıza da yardımcı olacağını söylerler. Bu nedenle geniş bir üçgenin nasıl oluşturulacağını bilmek önemlidir. Sadece varsayımsal bir şekle ihtiyacınız varsa, açılardan biri 90 dereceden büyük olacak şekilde üç tarafı olan herhangi bir çokgen çizebilirsiniz.

Kenar uzunluklarının veya açı derecelerinin belirli değerleri verilmişse, bunlara uygun olarak geniş bir üçgen çizmek gerekir. Bu durumda açıları olabildiğince doğru bir şekilde tasvir etmeye çalışmak, iletki kullanarak hesaplamak ve kenarları görevde verilen koşullarla orantılı olarak görüntülemek gerekir.

Ana hatlar

Çoğu zaman okul çocukları için yalnızca belirli figürlerin neye benzemesi gerektiğini bilmek yeterli değildir. Sadece hangi üçgenin geniş, hangisinin dik olduğu bilgisiyle kendilerini sınırlayamazlar. Matematik dersi, şekillerin temel özelliklerine ilişkin bilgilerinin daha eksiksiz olmasını gerektirir.

Bu nedenle, her okul çocuğu açıortay, ortanca, dik açıortay ve yüksekliğin tanımını anlamalıdır. Ayrıca temel özelliklerini de bilmelidir.

Böylece açıortaylar açıyı ikiye, karşı tarafı da bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

Medyan herhangi bir üçgeni alan açısından iki eşit parçaya böler. Kesiştikleri noktada her biri çıktığı tepe noktasından bakıldığında 2:1 oranında 2 parçaya bölünür. Bu durumda büyük medyan her zaman en küçük tarafına doğru çekilir.

Yüksekliğe daha az dikkat edilmez. Bu köşenin karşısındaki kenara diktir. Geniş bir üçgenin yüksekliğinin kendine has özellikleri vardır. Keskin bir tepe noktasından çizilirse, bu en basit çokgenin kenarında değil, onun devamında biter.

Dik açıortay, üçgenin yüzünün merkezinden uzanan çizgi parçasıdır. Üstelik ona dik açıyla yerleştirilmiştir.

Çevrelerle Çalışmak

Geometriye çalışmanın başlangıcında çocukların geniş bir üçgenin nasıl çizileceğini anlaması, onu diğer türlerden ayırmayı öğrenmesi ve temel özelliklerini hatırlaması yeterlidir. Ancak lise öğrencileri için bu bilgi artık yeterli değildir. Örneğin, Birleşik Devlet Sınavında sıklıkla çevrelenmiş ve yazılı dairelerle ilgili sorular vardır. Bunlardan ilki üçgenin üç köşesine de dokunuyor, ikincisi ise tüm kenarlarla ortak bir noktaya sahip.

Yazılı veya çevrelenmiş geniş bir üçgen oluşturmak çok daha zordur, çünkü bunu yapmak için önce dairenin merkezinin ve yarıçapının nerede olması gerektiğini bulmanız gerekir. Bu arada, bu durumda sadece cetvelli bir kalem değil, aynı zamanda bir pusula da gerekli bir araç haline gelecektir.

Aynı zorluklar, üç tarafı yazılı çokgenler inşa edilirken de ortaya çıkar. Matematikçiler, konumlarını olabildiğince doğru bir şekilde belirlemelerine olanak tanıyan çeşitli formüller geliştirdiler.

Yazılı üçgenler

Daha önce de belirtildiği gibi, eğer bir daire üç köşenin hepsinden geçiyorsa buna çevrel daire denir. Başlıca özelliği benzersiz olmasıdır. Geniş bir üçgenin çevrelenmiş dairesinin nasıl konumlandırılması gerektiğini bulmak için merkezinin, şeklin kenarlarına giden üç orta dikmenin kesişme noktasında olduğunu hatırlamanız gerekir. Üç köşeli dar açılı bir çokgende bu nokta onun içinde yer alacaksa, geniş açılı bir çokgende bunun dışında olacaktır.

Örneğin geniş bir üçgenin kenarlarından birinin yarıçapına eşit olduğunu bilerek, bilinen yüzün karşısındaki açıyı bulabilirsiniz. Sinüsü, bilinen tarafın uzunluğunun 2R'ye bölünmesinin sonucuna eşit olacaktır (burada R, dairenin yarıçapıdır). Yani açının günahı ½'ye eşit olacaktır. Bu, açının 150°'ye eşit olacağı anlamına gelir.

Geniş bir üçgenin çevre yarıçapını bulmanız gerekiyorsa, kenarlarının uzunluğu (c, v, b) ve alanı S hakkında bilgiye ihtiyacınız olacaktır. Sonuçta yarıçap şu şekilde hesaplanır: (c x v x b) : 4 x S. Bu arada, ne tür bir şekle sahip olduğunuz önemli değil: çeşit çeşit geniş üçgen, ikizkenar, dik veya dar açılı. Her durumda, yukarıdaki formül sayesinde belirli bir çokgenin alanını üç kenarlı olarak öğrenebilirsiniz.

Çevrelenmiş üçgenler

Ayrıca sıklıkla yazılı çevrelerle çalışmanız gerekir. Bir formüle göre, böyle bir şeklin yarıçapı çevresinin ½'si ile çarpıldığında üçgenin alanına eşit olacaktır. Doğru, bunu anlamak için geniş bir üçgenin kenarlarını bilmeniz gerekir. Sonuçta, çevrenin ½'sini belirlemek için uzunluklarını toplayıp 2'ye bölmeniz gerekir.

Geniş bir üçgenin içine yazılan bir dairenin merkezinin nerede olması gerektiğini anlamak için üç açıortay çizmek gerekir. Bunlar köşeleri ikiye bölen çizgilerdir. Çemberin merkezi onların kesişme noktasında yer alacaktır. Bu durumda her iki tarafa eşit uzaklıkta olacaktır.

Geniş bir üçgenin içine yazılan böyle bir dairenin yarıçapı (p-c) x (p-v) x (p-b) bölümüne eşittir: p. Bu durumda p üçgenin yarı çevresi, c, v, b kenarlarıdır.

Okulda incelenen en basit çokgen bir üçgendir. Öğrenciler için daha anlaşılır ve daha az zorlukla karşılaşılır. Özel özelliklere sahip farklı üçgen türleri olmasına rağmen.

Hangi şekle üçgen denir?

Üç nokta ve parçadan oluşur. Birincisine köşeler, ikincisine kenarlar denir. Ayrıca, üç bölümün de aralarında açı oluşacak şekilde bağlanması gerekir. Dolayısıyla “üçgen” figürünün adı.

Köşelerdeki adlardaki farklılıklar

Dar, geniş ve düz olabildikleri için üçgenlerin türleri bu isimlerle belirlenir. Buna göre bu tür figürlerin üç grubu vardır.

Birinci. Bir üçgenin tüm açıları dar ise buna dar denir. Her şey mantıklı.

Saniye. Açılardan biri geniş, yani üçgen geniş. Daha basit olamazdı.

Üçüncü. 90 dereceye eşit bir açı vardır ve buna dik açı denir. Üçgen dikdörtgen olur.

Yanlardaki isim farklılıkları

Kenarların özelliklerine bağlı olarak aşağıdaki üçgen türleri ayırt edilir:

genel durum, tüm kenarların keyfi uzunlukta olduğu eşkenar dörtgendir;

iki tarafı aynı sayısal değerlere sahip olan ikizkenarlar;

eşkenar dörtgen olduğundan tüm kenarlarının uzunlukları aynıdır.

Sorun belirli bir üçgen türünü belirtmiyorsa, keyfi bir tane çizmeniz gerekir. Tüm köşelerin keskin olduğu ve kenarların farklı uzunluklarda olduğu.

Tüm üçgenlerde ortak olan özellikler

Bir üçgenin tüm açılarını toplarsanız 180 dereceye eşit bir sayı elde edersiniz. Ve ne tür olduğu önemli değil. Bu kural her zaman geçerlidir.
Bir üçgenin herhangi bir kenarının sayısal değeri diğer iki kenarın toplamından küçüktür. Üstelik aralarındaki farktan daha büyük.
Her dış açının, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplanmasıyla elde edilen bir değeri vardır. Üstelik her zaman yanındaki iç mekandan daha büyüktür.
En küçük açı her zaman üçgenin küçük tarafının karşısındadır. Ve tam tersi, eğer kenar büyükse, açı en büyük olacaktır.

Problemlerde ne tür üçgenler dikkate alınırsa alınsın bu özellikler her zaman geçerlidir. Geri kalan her şey belirli özelliklerden kaynaklanır.

İkizkenar üçgenin özellikleri

Tabana bitişik açılar eşittir.
Tabana çizilen yükseklik aynı zamanda ortanca ve açıortaydır.
Üçgenin yan kenarlarına inşa edilen yükseklikler, kenarortaylar ve açıortaylar sırasıyla birbirine eşittir.

Eşkenar üçgenin özellikleri

Böyle bir rakam varsa, yukarıda biraz anlatılan tüm özellikler doğru olacaktır. Çünkü eşkenar her zaman ikizkenar olacaktır. Ancak bunun tersi geçerli değildir; ikizkenar üçgenin mutlaka eşkenar olması gerekmez.

Bütün açıları birbirine eşit olup değeri 60°'dir.
Eşkenar üçgenin herhangi bir medyanı onun yüksekliği ve açıortayıdır. Üstelik hepsi birbirine eşittir. Değerlerini belirlemek için, tarafın çarpımı ve 3'ün karekökünün 2'ye bölünmesinden oluşan bir formül vardır.

Dik üçgenin özellikleri

İki dar açının toplamı 90°'ye eşittir.
Hipotenüsün uzunluğu her zaman herhangi bir bacağın uzunluğundan daha büyüktür.
Hipotenüse çizilen medyanın sayısal değeri yarısına eşittir.
Bacak 30°'lik bir açının karşısında yer alırsa aynı değere eşittir.
Tepe noktasından 90° değeriyle çizilen yüksekliğin bacaklara belirli bir matematiksel bağımlılığı vardır: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Burada: a, b - bacaklar, n - yükseklik.

Farklı üçgen türleriyle ilgili problemler

1 numara. Bir ikizkenar üçgen verildiğinde. Çevresi biliniyor ve 90 cm'ye eşit. Kenarlarını bulmamız gerekiyor. Ek bir koşul olarak: yan taraf tabandan 1,2 kat daha küçüktür.

Çevrenin değeri doğrudan bulunması gereken miktarlara bağlıdır. Üç tarafın toplamı 90 cm verecektir. Şimdi ikizkenar olan üçgenin işaretini hatırlamanız gerekiyor. Yani iki taraf eşittir. İki bilinmeyenli bir denklem oluşturabilirsiniz: 2a + b = 90. Burada a kenar, b ise tabandır.

Şimdi sıra ek bir şarta geldi. Bunu takiben ikinci denklem elde edilir: b = 1.2a. Bu ifadeyi ilkinin yerine koyabilirsiniz. Görünüşe göre: 2a + 1,2a = 90. Dönüşümlerden sonra: 3,2a = 90. Dolayısıyla a = 28,125 (cm). Artık temelini bulmak çok kolay. Bu en iyi şekilde ikinci koşuldan yapılır: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Kontrol etmek için üç değer ekleyebilirsiniz: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Bu doğru.

Cevap: Üçgenin kenarları 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm'dir.

2 numara. Eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğu 12 cm'dir. Yüksekliğini hesaplamanız gerekir.

Çözüm. Cevabı bulmak için üçgenin özelliklerinin anlatıldığı ana dönmek yeterli. Bu, bir eşkenar üçgenin yüksekliğini, kenarortayını ve açıortayını bulma formülüdür.

n = a * √3 / 2, burada n yükseklik ve a kenardır.

Değiştirme ve hesaplama şu sonucu verir: n = 6 √3 (cm).

Bu formülü ezberlemenize gerek yok. Yüksekliğin üçgeni iki dikdörtgene böldüğünü hatırlamak yeterlidir. Üstelik bir bacak olduğu ortaya çıkıyor ve içindeki hipotenüs orijinalinin kenarı, ikinci bacak ise bilinen tarafın yarısı. Şimdi Pisagor teoremini yazmanız ve yükseklik için bir formül türetmeniz gerekiyor.

Cevap: Yükseklik 6 √3 cm'dir.

Numara 3. MKR, K açısının 90 derece olduğu bir üçgen olduğu için MR ve KR kenarları sırasıyla 30 ve 15 cm'ye eşittir.

Çözüm. Çizim yaparsanız MR'ın hipotenüs olduğu anlaşılır. Üstelik KR'nin yan tarafından iki kat daha büyük. Yine özelliklere dönmeniz gerekiyor. Bunlardan biri açılarla ilgilidir. Buradan KMR açısının 30° olduğu açıktır. Bu, istenen açı P'nin 60°'ye eşit olacağı anlamına gelir. Bu, iki dar açının toplamının 90 dereceye eşit olması gerektiğini belirten başka bir özellikten kaynaklanmaktadır.

Cevap: P açısı 60°'dir.

4 numara. Bir ikizkenar üçgenin tüm açılarını bulmamız gerekiyor. Tabandaki açıdan dış açının 110° olduğu bilinmektedir.

Çözüm. Yalnızca dış açı verildiği için kullanmanız gereken şey budur. İç kısımla açılmamış bir açı oluşturur. Bu toplamda 180 derece verecekleri anlamına geliyor. Yani üçgenin tabanındaki açı 70 dereceye eşit olacaktır. İkizkenar olduğundan ikinci açının değeri aynıdır. Geriye üçüncü açıyı hesaplamak kalıyor. Tüm üçgenlerde ortak olan bir özelliğe göre açıların toplamı 180°'dir. Bu da üçüncünün 180° - 70° - 70° = 40° olarak tanımlanacağı anlamına gelir.

Cevap: Açılar 70°, 70°, 40°'dir.

Numara 5. İkizkenar üçgende tabanın karşısındaki açının 90° olduğu bilinmektedir. Tabanda işaretlenmiş bir nokta var. Onu dik açıya bağlayan parça onu 1'e 4 oranında böler. Küçük üçgenin tüm açılarını bulmanız gerekir.

Çözüm. Açılardan biri hemen belirlenebilir. Üçgen dik açılı ve ikizkenar olduğundan tabanındakilerin her biri 45° yani 90°/2 olacaktır.

İkincisi, durumda bilinen ilişkiyi bulmanıza yardımcı olacaktır. 1'e 4'e eşit olduğundan bölündüğü kısımlar sadece 5'tir. Bu, bir üçgenin daha küçük açısını bulmak için 90°/5 = 18°'ye ihtiyacınız olduğu anlamına gelir. Üçüncüyü bulmaya devam ediyor. Bunu yapmak için 180°'den (üçgenin tüm açılarının toplamı) 45° ve 18°'yi çıkarmanız gerekir. Hesaplamalar basittir ve şunu elde edersiniz: 117°.

Bugün farklı üçgen türleriyle tanışacağımız Geometri ülkesine gidiyoruz.

Geometrik şekilleri düşünün ve aralarından “ekstra” olanı bulun (Şekil 1).

Pirinç. 1. Örnek olarak illüstrasyon

1, 2, 3, 5 numaralı şekillerin dörtgen olduğunu görüyoruz. Her birinin kendi adı vardır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Dörtgenler

Bu, “ekstra” şeklin bir üçgen olduğu anlamına gelir (Şekil 3).

Pirinç. 3. Örnek olarak illüstrasyon

Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç parçadan oluşan bir şekildir.

noktalar denir üçgenin köşeleri, segmentler - onun partiler. Üçgen formunun kenarları Üçgenin köşelerinde üç açı vardır.

Bir üçgenin temel özellikleri şunlardır: üç kenar ve üç köşe. Açının büyüklüğüne göre üçgenler akut, dikdörtgen ve geniş.

Bir üçgenin üç açısı da dar ise, yani 90°'den küçükse dar açılı üçgen olarak adlandırılır (Şekil 4).

Pirinç. 4. Akut üçgen

Açılarından biri 90° ise üçgene dikdörtgen denir (Şekil 5).

Pirinç. 5. Sağ Üçgen

Açılarından biri genişse, yani 90°'den büyükse üçgene geniş üçgen denir (Şekil 6).

Pirinç. 6. Geniş üçgen

Eşit kenar sayısına göre üçgenler eşkenar, ikizkenar ve çeşitkenardır.

İkizkenar üçgen, iki tarafın eşit olduğu üçgendir (Şekil 7).

Pirinç. 7. İkizkenar üçgen

Bu taraflara denir yanal, Üçüncü taraf - temel. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

İkizkenar üçgenler var akut ve kalın(Şekil 8) .

Pirinç. 8. Dar ve geniş ikizkenar üçgenler

Eşkenar üçgen, üç kenarın da eşit olduğu üçgendir (Şekil 9).

Pirinç. 9. Eşkenar üçgen

Eşkenar üçgende tüm açılar eşittir. Eşkenar üçgenler Her zaman dar açılı.

Çeşitkenar, üç tarafının da farklı uzunluklara sahip olduğu bir üçgendir (Şekil 10).

Pirinç. 10. Çeşitkenar üçgen

Görevi tamamla. Bu üçgenleri üç gruba dağıtın (Şekil 11).

Pirinç. 11. Görev için örnek resim

Öncelikle açıların büyüklüğüne göre dağıtalım.

Dar üçgenler: No. 1, No. 3.

Dik üçgenler: No. 2, No. 6.

Geniş üçgenler: No. 4, No. 5.

Aynı üçgenleri eşit kenar sayısına göre gruplara ayıracağız.

Çeşitkenar üçgenler: No. 4, No. 6.

İkizkenar üçgenler: No. 2, No. 3, No. 5.

Eşkenar üçgen: No. 1.

Resimlere bakmak.

Her üçgenin hangi tel parçasından yapıldığını düşünün (Şekil 12).

Pirinç. 12. Görev için örnek resim

Şöyle düşünebilirsiniz.

İlk tel parçası üç eşit parçaya bölünmüştür, böylece ondan bir eşkenar üçgen oluşturabilirsiniz. Resimde üçüncü olarak gösteriliyor.

İkinci tel parçası üç farklı parçaya bölünmüştür, böylece bir çeşitkenar üçgen oluşturmak için kullanılabilir. Resimde ilk olarak gösterilmektedir.

Üçüncü tel parçası, iki parçanın aynı uzunluğa sahip olduğu üç parçaya bölünmüştür, bu da ondan bir ikizkenar üçgen yapılabileceği anlamına gelir. Resimde ikinci sırada gösteriliyor.

Bugün sınıfta farklı üçgen türlerini öğrendik.

Kaynakça

Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri: Matematik. 3. sınıf: 2 bölüm halinde, bölüm 1. - M .: “Aydınlanma”, 2012.
Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri: Matematik. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 2. - M.: “Aydınlanma”, 2012.
Mİ. Moro. Matematik dersleri: Öğretmenler için metodolojik öneriler. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
Düzenleyici belge. Öğrenme sonuçlarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
“Rusya Okulu”: İlkokul programları. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
Sİ. Volkova. Matematik: Test çalışması. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
V.N. Rudnitskaya. Testler. - M .: “Sınav”, 2012.