Teknolojide ve çevremizdeki dünyada sıklıkla uğraşmak zorunda kalıyoruz periyodik(veya neredeyse periyodik) düzenli aralıklarla tekrarlanan işlemler. Bu tür işlemlere denir salınımlı.
Salınımlar doğadaki ve teknolojideki en yaygın süreçlerden biridir. Uçan böceklerin ve kuşların kanatları, rüzgârın etkisi altındaki yüksek binalar ve yüksek gerilim kabloları, seyir halindeyken kurmalı saatin ve yayların üzerinde bir arabanın sarkacı, nehrin yıl boyunca seviyesi ve sıcaklığı. hastalık sırasında insan vücudu, ses, hava yoğunluğu ve basıncındaki dalgalanmalardır, radyo dalgaları - elektrik ve manyetik alanların kuvvetlerinde periyodik değişiklikler, görünür ışık da sadece biraz farklı dalga boyları ve frekanslara sahip elektromanyetik titreşimlerdir, depremler toprak titreşimleridir, nabız insan kalp kasının vb. periyodik kasılmalarıdır.
Salınımlar mekanik, elektromanyetik, kimyasal, termodinamik ve diğerleri olabilir. Bu çeşitliliğe rağmen hepsinin pek çok ortak noktası var.
Çeşitli fiziksel doğadaki salınım olayları genel yasalara tabidir. Örneğin bir elektrik devresindeki akım salınımları ile matematiksel bir sarkacın salınımları aynı denklemlerle açıklanabilir. Salınım modellerinin ortaklığı, çeşitli nitelikteki salınım süreçlerini tek bir bakış açısıyla değerlendirmemize olanak tanır. Salınım hareketinin bir işareti periyodiklik.
Mekanik titreşimler –Butam olarak veya yaklaşık olarak düzenli aralıklarla tekrarlanan hareketler.
Basit salınım sistemlerine örnek olarak bir yay üzerindeki yük (yay sarkacı) veya bir ip üzerindeki top (matematiksel sarkaç) gösterilebilir.
Mekanik titreşimler sırasında kinetik ve potansiyel enerjiler periyodik olarak değişir.
Şu tarihte: maksimum sapma denge konumundan, hızından ve dolayısıyla kinetik enerji sıfıra gidiyor. Bu pozisyonda potansiyel enerji salınan gövde maksimum değere ulaşır. Yay üzerindeki bir yük için potansiyel enerji, yayın elastik deformasyonunun enerjisidir. Matematiksel bir sarkaç için bu, Dünya'nın çekim alanındaki enerjidir.
Bir cisim hareketi sırasında içinden geçtiğinde denge konumu, hızı maksimumdur. Atalet kanununa göre cisim denge pozisyonunu aşar. Şu anda var maksimum kinetik ve minimum potansiyel enerji. Potansiyel enerjinin azalması nedeniyle kinetik enerjide bir artış meydana gelir.
Daha fazla hareketle, kinetik enerjinin azalması vb. nedeniyle potansiyel enerji artmaya başlar.
Böylece, harmonik salınımlar sırasında, kinetik enerjinin potansiyel enerjiye ve bunun tersi de periyodik olarak dönüşümü meydana gelir.
Salınım sisteminde sürtünme yoksa, mekanik titreşimler sırasında toplam mekanik enerji değişmeden kalır.
Yay yükü için:
Maksimum sapma konumunda sarkacın toplam enerjisi deforme olmuş yayın potansiyel enerjisine eşittir:
Denge konumundan geçerken toplam enerji yükün kinetik enerjisine eşittir:
Matematiksel bir sarkacın küçük salınımları için:
Maksimum sapma konumunda sarkacın toplam enerjisi, h yüksekliğine yükseltilmiş cismin potansiyel enerjisine eşittir:
Denge konumundan geçerken toplam enerji vücudun kinetik enerjisine eşittir:
Burada hm– Dünyanın yerçekimi alanındaki sarkacın maksimum yüksekliği, xm ve υ M = ω 0 xm– sarkacın denge konumundan ve hızından sapmasının maksimum değerleri.
Harmonik salınımlar ve özellikleri. Harmonik titreşim denklemi.
En basit salınım süreci türü basittir harmonik titreşimler, denklemle açıklananlar
X = xmçünkü(ω T + φ 0).
Burada X– Vücudun denge konumundan yer değiştirmesi,
xm– salınımların genliği, yani denge konumundan maksimum yer değiştirme,
ω – döngüsel veya dairesel frekans tereddüt,
T- zaman.
Salınım hareketinin özellikleri.
Ofset x – salınım noktasının denge konumundan sapması. Ölçü birimi 1 metredir.
Salınım genliği A – salınan bir noktanın denge konumundan maksimum sapması. Ölçü birimi 1 metredir.
Salınım periyoduT– bir tam salınımın meydana geldiği minimum zaman aralığına denir. Ölçü birimi 1 saniyedir.
T=t/N
burada t salınım süresidir, N bu süre zarfında tamamlanan salınımların sayısıdır.
Harmonik salınımların grafiğinden salınımların periyodu ve genliği belirlenebilir:
Salınım frekansı ν – birim zamandaki salınım sayısına eşit fiziksel miktar.
ν=N/t
Frekans salınım periyodunun tersidir:
Sıklık salınımlar ν 1 saniyede kaç salınım meydana geldiğini gösterir. Frekans birimi hertz(Hz).
Döngüsel frekans ω– 2π saniyedeki salınım sayısı.
Salınım frekansı ν ile ilgilidir döngüsel frekans ω ve salınım periyodu T oranlar:
Faz harmonik süreç - harmonik salınım denkleminde sinüs veya kosinüs işaretinin altındaki bir miktar φ = ω T + φ 0 . Şu tarihte: T= 0 φ = φ 0 , dolayısıyla φ 0 isminde başlangıç aşaması.
Harmonik grafik sinüs veya kosinüs dalgasını temsil eder.
Her üç durumda da mavi eğriler için φ 0 = 0:
sadece daha büyük genlik(x" m > x m);
kırmızı eğri mavi olandan farklıdır sadece Anlam dönem(T" = T/2);
kırmızı eğri mavi olandan farklıdır sadece Anlam başlangıç aşaması(memnun).
Bir cisim düz bir çizgi boyunca salındığında (eksen ÖKÜZ) hız vektörü her zaman bu düz çizgi boyunca yönlendirilir. Vücudun hareket hızı ifadeyle belirlenir.
Matematikte, Δх/Δt oranının Δ'daki limitini bulma prosedürü T→ 0'a fonksiyonun türevinin hesaplanması denir X(T) zamanla T ve olarak gösterilir X"(T).Hız, x( fonksiyonunun türevine eşittir. T) zamanla T.
Harmonik hareket kanunu için X = xmçünkü(ω T+ φ 0) türevin hesaplanması aşağıdaki sonuca yol açar:
υ X =X"(T)= ω xm günah (ω T + φ 0)
Hızlanma benzer şekilde belirlenir bir x Harmonik titreşimler sırasında cisimler. Hızlanma Aυ( fonksiyonunun türevine eşittir T) zamanla T veya fonksiyonun ikinci türevi X(T). Hesaplamalar şunları verir:
ve x =υ x "(t) =X""(T)= -ω 2 xmçünkü(ω T+ φ 0)=-ω 2 X
Bu ifadedeki eksi işareti ivmenin olduğu anlamına gelir. A(T) her zaman yer değiştirmenin zıt işaretine sahiptir X(T) ve dolayısıyla Newton'un ikinci yasasına göre, cismin harmonik salınımlar yapmasına neden olan kuvvet her zaman denge konumuna doğru yönlendirilir ( X = 0).
Şekilde harmonik salınımlar gerçekleştiren bir cismin koordinatlarının, hızının ve ivmesinin grafikleri gösterilmektedir.
Harmonik salınımlar gerçekleştiren bir cismin x(t), hız υ(t) ve ivme a(t) koordinatlarının grafikleri.
Yaylı sarkaç.
Yaylı sarkaçikinci ucu sabit olarak sabitlenmiş, k sertliğindeki bir yaya bağlı m kütleli bir yüktür.
Doğal frekans Yay üzerindeki yükün ω 0 serbest salınımı aşağıdaki formülle bulunur:
Dönem T Yay üzerindeki yükün harmonik titreşimleri eşittir
Bu, bir yay sarkacının salınım periyodunun yükün kütlesine ve yayın sertliğine bağlı olduğu anlamına gelir.
Salınımlı bir sistemin fiziksel özellikleri yalnızca salınımların doğal frekansını ω 0 ve periyodu belirleyin T . Genlik gibi salınım sürecinin parametreleri xm ve başlangıç fazı φ 0, zamanın ilk anında sistemin dengeden çıkma şekline göre belirlenir.
Matematiksel sarkaç.
Matematiksel sarkaçkütlesi, cismin kütlesine kıyasla ihmal edilebilecek kadar küçük olan, ince, uzamayan bir ip üzerinde asılı duran küçük cisim denir.
Denge konumunda, sarkaç dikey olarak asılı kaldığında, yerçekimi kuvveti N ipliğinin gerilme kuvveti ile dengelenir. Sarkaç denge konumundan belirli bir φ açısı kadar saptığında, yerçekimi kuvvetinin teğetsel bir bileşeni ortaya çıkar F τ = – mg günah φ. Bu formüldeki eksi işareti, teğetsel bileşenin sarkacın sapmasına ters yönde yönlendirildiği anlamına gelir.
Matematiksel sarkaç.φ – sarkacın denge konumundan açısal sapması,
X= lφ – sarkacın yay boyunca yer değiştirmesi
Matematiksel bir sarkacın küçük salınımlarının doğal frekansı aşağıdaki formülle ifade edilir:
Matematiksel bir sarkacın salınım periyodu:
Bu, matematiksel bir sarkacın salınım periyodunun ipliğin uzunluğuna ve sarkacın kurulu olduğu alanın serbest düşüşünün ivmesine bağlı olduğu anlamına gelir.
Serbest ve zorlanmış titreşimler.
Diğer fiziksel nitelikteki salınımlı süreçler gibi mekanik titreşimler de özgür Ve zoraki.
Serbest titreşimler –Bunlar, sistem kararlı denge konumundan çıkarıldıktan sonra iç kuvvetlerin etkisi altındaki bir sistemde meydana gelen salınımlardır.
Bir yayın üzerindeki ağırlığın salınımları veya bir sarkacın salınımları serbest salınımlardır.
Harmonik kanuna göre serbest titreşimlerin oluşabilmesi için, cismi denge konumuna döndürmeye çalışan kuvvetin, cismin denge konumundan yaptığı yer değiştirmeyle orantılı ve yer değiştirmenin tersi yönde olması gerekir.
Gerçek koşullarda, herhangi bir salınım sistemi sürtünme kuvvetlerinin (direnç) etkisi altındadır. Bu durumda mekanik enerjinin bir kısmı atomların ve moleküllerin termal hareketinin iç enerjisine dönüştürülür ve titreşimler olur. solma.
Solma genliği zamanla azalan salınımlara denir.
Salınımların azalmasını önlemek için sisteme ek enerji sağlamak gerekir; salınım sistemini periyodik bir kuvvetle etkiler (örneğin, bir salıncağı sallamak).
Periyodik olarak değişen bir dış kuvvetin etkisi altında meydana gelen salınımlara denir.zoraki.
Dış kuvvet pozitif iş yapar ve salınım sistemine enerji akışı sağlar. Sürtünme kuvvetlerinin etkisine rağmen titreşimlerin sönmesine izin vermez.
Periyodik bir dış kuvvet, çeşitli yasalara göre zamanla değişebilir. Özellikle ilgi çekici olan, ω frekansı ile harmonik bir yasaya göre değişen bir dış kuvvetin, belirli bir ω 0 frekansında kendi salınımlarını gerçekleştirebilen bir salınım sistemine etki etmesi durumudur.
Sistem parametreleri tarafından belirlenen ω 0 frekansında serbest salınımlar meydana gelirse, o zaman sabit zorlanmış salınımlar her zaman meydana gelir frekans ω dış kuvvet .
Doğal salınımların frekansı, harici itici kuvvetin frekansı ile çakıştığında, zorlanmış salınımların genliğinde keskin bir artış olgusuna denir.rezonans.
Genlik bağımlılığı xm itici kuvvetin ω frekansından kaynaklanan zorlanmış salınımlara denir rezonans özelliği veya rezonans eğrisi.
Çeşitli zayıflama seviyelerindeki rezonans eğrileri:
1 – sürtünmesiz salınım sistemi; rezonansta, zorlanmış salınımların genliği x m süresiz olarak artar;
2, 3, 4 – farklı sürtünmeye sahip salınım sistemleri için gerçek rezonans eğrileri.
Sürtünmenin yokluğunda, rezonans sırasındaki zorlanmış salınımların genliği sınırsız olarak artmalıdır. Gerçek koşullarda, sabit durum zorlamalı salınımların genliği şu koşula göre belirlenir: salınım süresi boyunca dış kuvvetin işi, aynı zamanda sürtünme nedeniyle mekanik enerji kaybına eşit olmalıdır. Sürtünme ne kadar az olursa, rezonans sırasındaki zorlanmış salınımların genliği de o kadar büyük olur.
Rezonans olgusu, salınımlarının doğal frekansları, örneğin dengesiz bir motorun dönmesi nedeniyle ortaya çıkan, periyodik olarak etki eden bir kuvvetin frekansı ile çakışırsa, köprülerin, binaların ve diğer yapıların tahrip olmasına neden olabilir.
Fiziksel bir sarkacın salınım periyodu birçok duruma bağlıdır: vücudun boyutuna ve şekline, ağırlık merkezi ile askı noktası arasındaki mesafeye ve vücut kütlesinin bu noktaya göre dağılımına; Bu nedenle asılı bir cismin periyodunu hesaplamak oldukça zor bir iştir. Matematiksel bir sarkaç için durum daha basittir. Bu tür sarkaçların gözlemlerinden aşağıdaki basit yasalar oluşturulabilir.
1. Sarkacın aynı uzunluğunu (askı noktasından yükün ağırlık merkezine kadar olan mesafe) korurken, farklı yükler asarsanız, salınım periyodu aynı olacaktır, ancak kütlelerin kütleleri yükler çok farklı. Matematiksel bir sarkacın periyodu yükün kütlesine bağlı değildir.
2. Bir sarkacı başlatırken, onu farklı (ancak çok büyük olmayan) açılarla saptırırsak, farklı genliklerde de olsa aynı periyotta salınacaktır. Genlikler çok büyük olmadığı sürece, salınımlar form olarak harmoniklere oldukça yakındır (§ 5) ve matematiksel bir sarkacın periyodu salınımların genliğine bağlı değildir. Bu özelliğe izokronizm denir (Yunanca "isos" - eşit, "chronos" - zaman kelimelerinden gelir).
Bu gerçek ilk kez 1655 yılında Galileo tarafından iddiaya göre aşağıdaki koşullar altında ortaya konmuştur. Galileo, Pisa Katedrali'nde uzun bir zincire bağlı bir avizenin yandığında itildiğini gözlemledi. Servis sırasında salınımlar yavaş yavaş azaldı (§ 11), yani titreşimlerin genliği azaldı, ancak süre aynı kaldı. Galileo kendi nabzını zaman göstergesi olarak kullandı.
Şimdi matematiksel bir sarkacın salınım periyodu için bir formül türetelim.
Pirinç. 16. Bir sarkacın bir düzlemde (a) salınımları ve bir koni (b) boyunca hareketi
Sarkaç sallandığında, yük, hareket sırasında değişen bir geri getirme kuvvetinin etkisi altında bir yay boyunca (Şekil 16, a) hızlandırılarak hareket eder. Değişken bir kuvvetin etkisi altındaki bir cismin hareketinin hesaplanması oldukça karmaşıktır. Bu nedenle basitlik açısından aşağıdaki gibi ilerleyeceğiz.
Sarkaçın tek bir düzlemde salınmasını değil, yükün bir daire içinde hareket etmesi için bir koni tanımlayalım (Şekil 16, b). Bu hareket iki bağımsız titreşimin eklenmesi sonucu elde edilebilir: biri hala çizim düzleminde, diğeri ise dik bir düzlemde. Açıkçası, bu düzlem salınımlarının her ikisinin de periyotları aynıdır, çünkü herhangi bir salınım düzlemi diğerinden farklı değildir. Sonuç olarak, karmaşık hareketin periyodu - sarkacın koni boyunca dönüşü - su düzleminin salınım periyoduyla aynı olacaktır. Bu sonuç, iki özdeş sarkaç alıp bunlardan birine bir düzlemde salınım, diğerine ise bir koni boyunca dönüş vererek doğrudan deneyimle kolayca örneklenebilir.
Ancak “konik” sarkacın dönüş periyodu, yük tarafından tanımlanan dairenin uzunluğunun hıza bölünmesine eşittir:
Dikeyden sapma açısı küçükse (küçük genlikler), geri getirme kuvvetinin dairenin yarıçapı boyunca yönlendirildiğini, yani merkezcil kuvvete eşit olduğunu varsayabiliriz:
Öte yandan üçgenlerin benzerliğinden şu sonuç çıkıyor. O zamandan beri buradan
Her iki ifadeyi birbirine eşitleyerek dolaşım hızını elde ederiz
Son olarak bunu dönem ifadesinde yerine koyarsak şunu buluruz:
Dolayısıyla, matematiksel bir sarkacın periyodu yalnızca yerçekimi ivmesine ve sarkacın uzunluğuna, yani askı noktasından yükün ağırlık merkezine olan mesafeye bağlıdır. Ortaya çıkan formülden sarkacın periyodunun kütlesine ve genliğine bağlı olmadığı (yeterince küçük olması şartıyla) anlaşılmaktadır. Başka bir deyişle, daha önce gözlemlerden oluşturulan temel yasaları hesaplayarak elde ettik.
Ancak teorik sonucumuz bize daha fazlasını veriyor: sarkacın periyodu, uzunluğu ve yerçekiminin ivmesi arasında niceliksel bir ilişki kurmamızı sağlıyor. Matematiksel bir sarkacın periyodu, sarkacın uzunluğunun yerçekimi ivmesine oranının kareköküyle orantılıdır. Orantılılık katsayısı .
Bu ivmeyi belirlemenin çok doğru bir yöntemi, sarkacın periyodunun yerçekimi ivmesine bağlı olmasına dayanmaktadır. Sarkacın uzunluğunu ölçtükten ve çok sayıda salınımdan periyodu belirledikten sonra ortaya çıkan formülü kullanarak hesaplayabiliriz. Bu yöntem pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır.
Yerçekimi ivmesinin yerin coğrafi enlemine (kutupta ve ekvatorda) bağlı olduğu bilinmektedir (bkz. Cilt I, §53). Belirli bir standart sarkacın salınım periyodunun gözlemlenmesi, yerçekimi ivmesinin enlem üzerindeki dağılımını incelemeyi mümkün kılar. Bu yöntem o kadar doğrudur ki, dünya yüzeyindeki değerdeki daha ince farkları tespit etmek için kullanılabilir. Aynı paralel üzerinde bile dünya yüzeyinde farklı noktalardaki değerlerin farklı olduğu ortaya çıktı. Yerçekimi ivmesinin dağılımındaki bu anormallikler, yer kabuğunun eşit olmayan yoğunluğu ile ilişkilidir. Yoğunluk dağılımını incelemek, özellikle yer kabuğunda herhangi bir mineralin varlığını tespit etmek için kullanılırlar. Yoğun kütlelerin oluşumunu değerlendirmeyi mümkün kılan kapsamlı gravimetrik değişiklikler, SSCB'de Kursk manyetik anomalisi olarak adlandırılan bölgede (bkz. Cilt II, § 130) Sovyet fizikçi Pyotr Petrovich'in önderliğinde gerçekleştirildi. Lazarev. Dünyanın manyetik alanının anomalisine ilişkin verilerle birlikte bu gravimetrik veriler, Kursk manyetik ve yerçekimi anormalliklerini belirleyen demir kütlelerinin oluşum dağılımını belirlemeyi mümkün kıldı.
Matematiksel sarkaç nedir?
Önceki derslerden, sarkacın kural olarak yerçekimi etkileşiminin etkisi altında salınan bir cisim anlamına geldiğini zaten bilmelisiniz. Yani fizikte bu kavramın genel olarak yerçekiminin etkisi altında sabit bir nokta veya eksen etrafında meydana gelen salınım hareketleri gerçekleştiren katı bir cisim olarak kabul edildiğini söyleyebiliriz.
Matematiksel sarkacın çalışma prensibi
Şimdi matematiksel bir sarkacın çalışma prensibine bakalım ve ne olduğunu bulalım.
Matematiksel bir sarkacın çalışma prensibi, maddi bir nokta denge konumundan küçük bir a açısı kadar, yani sina=a koşulunun karşılanacağı bir açı kadar saptığında, o zaman F = -mgsina = - kuvvetinin oluşmasına dayanır. mga vücuda etki edecektir.
F kuvvetinin negatif bir üssü olduğunu görüyoruz ve bundan eksi işaretinin bize bu kuvvetin yer değiştirmenin tersi yönde yönlendirildiğini söylediği sonucu çıkıyor. Ve F kuvveti yer değiştirme S ile orantılı olduğundan, böyle bir kuvvetin etkisi altında maddi noktanın harmonik salınımlar yapacağı sonucu çıkar.
Bir sarkacın özellikleri
Başka bir sarkacı ele alırsak salınım periyodu birçok faktöre bağlıdır. Bu faktörler şunları içerir:
Öncelikle vücut büyüklüğü ve şekli;
İkincisi, askı noktası ile ağırlık merkezi arasında bulunan mesafe;
Üçüncüsü, vücut ağırlığının belirli bir noktaya göre dağılımı.
Sarkaçların bu çeşitli durumları nedeniyle asılı bir cismin periyodunu belirlemek oldukça zordur.
Ve eğer matematiksel bir sarkaç alırsak, o zaman bilinen fiziksel yasalar kullanılarak kanıtlanabilecek tüm özelliklere sahiptir ve periyodu bir formül kullanılarak kolayca hesaplanabilir.
Bu tür mekanik sistemler üzerinde birçok farklı gözlem gerçekleştiren fizikçiler, aşağıdaki gibi kalıpları belirlemeyi başardılar:
Öncelikle sarkacın periyodu yükün kütlesine bağlı değildir. Yani, sarkacın aynı uzunluğuna sahip, ondan farklı kütlelere sahip ağırlıkları asarsak, kütleleri oldukça çarpıcı farklılıklara sahip olsa bile, salınımlarının periyodu yine aynı olacaktır.
İkincisi, sistemi başlatırken sarkacı küçük ama farklı açılarla saptırırsak salınımları aynı periyoda sahip olacak ancak genlikleri farklı olacaktır. Denge merkezinden küçük sapmalarla formlarındaki titreşimler neredeyse harmonik bir karaktere sahip olacaktır. Yani böyle bir sarkacın periyodunun salınımların genliğine bağlı olmadığını söyleyebiliriz. Yunancadan tercüme edilen bu mekanik sistemin bu özelliğine izokronizm denir; burada "izos" eşit, "chronos" ise zaman anlamına gelir.
Sarkaç salınımlarının pratik kullanımı
Fizikçiler, gökbilimciler, araştırmacılar ve diğer bilim adamları tarafından çeşitli çalışmalar için matematiksel bir sarkaç kullanılır. Böyle bir sarkaç yardımıyla mineral ararlar. Matematiksel bir sarkacın ivmesini gözlemleyerek ve salınımlarının sayısını sayarak, Dünyamızın bağırsaklarında kömür ve cevher yatakları bulunabilir.
Ünlü Fransız gökbilimci ve doğa bilimci K. Flammarion, matematiksel bir sarkacın yardımıyla Tunguska göktaşının ortaya çıkması ve yeni bir gezegenin keşfi de dahil olmak üzere birçok önemli keşif yapabildiğini iddia etti.
Günümüzde birçok medyum ve okültist, kayıp insanları aramak ve kehanet tahminlerinde bulunmak için böyle bir mekanik sistemi kullanıyor.
Matematik sarkaç
giriiş
Salınım periyodu
sonuçlar
Edebiyat
giriiş
Artık katedralde dua eden Galileo'nun bronz avizelerin salınımını nasıl dikkatle izlediğine dair efsaneyi doğrulamak artık mümkün değil. Avizenin ileri geri hareket etmesiyle geçen süreyi gözlemleyip belirledim. Bu süreye daha sonra salınım dönemi adı verildi. Galileo'nun saati yoktu ve farklı uzunluklardaki zincirlere asılı avizelerin salınım periyodunu karşılaştırmak için nabzının sıklığını kullandı.
Sarkaçlar saatlerin hızını ayarlamak için kullanılır, çünkü her sarkacın çok özel bir salınım periyodu vardır. Sarkaç aynı zamanda jeolojik araştırmalarda da önemli uygulamalar bulur. Dünyanın farklı yerlerinde değerlerin olduğu bilinmektedir. G farklıdır. Farklılar çünkü Dünya tamamen düzenli bir küre değil. Ayrıca bazı metal cevherleri gibi yoğun kayaların bulunduğu bölgelerde değer G anormal derecede yüksek. Doğru ölçümler G Matematiksel bir sarkacın yardımıyla bazen bu tür birikintileri tespit etmek mümkündür.
Matematiksel sarkacın hareket denklemi
Matematiksel bir sarkaç, dikey bir daire (düz matematiksel sarkaç) veya bir küre (küresel sarkaç) boyunca hareket eden ağır bir malzeme noktasıdır. İlk yaklaşımla, matematiksel bir sarkacın, uzamayan esnek bir ip üzerinde asılı duran küçük bir yük olduğu düşünülebilir.
Düz bir matematiksel sarkacın yarıçaplı bir daire boyunca hareketini düşünelim. ben bir noktada merkezlenmiş HAKKINDA(Şekil 1). Noktanın konumunu belirleyeceğiz M(sarkaç) sapma açısı j yarıçapı OM dikeyden. Teğet yönlendirme M t pozitif j açısına doğru doğal bir hareket denklemi oluşturacağız. Bu denklem hareket denkleminden oluşturulmuştur.
mW=F+N, (1)
Nerede F noktaya etki eden aktif kuvvettir ve N- iletişim reaksiyonu.
Resim 1
Denklem (1)'i, dinamiğin temel yasası olan ve maddi bir noktanın momentumunun zamana göre türevinin, ona etki eden kuvvete eşit olduğunu belirten Newton'un ikinci yasasına göre elde ettik;
Kütlenin sabit olduğunu varsayarak önceki denklemi şu şekilde gösterebiliriz:
Nerede K noktanın ivmesidir.
Dolayısıyla t eksenine izdüşümdeki denklem (1), bize bir noktanın belirli bir sabit düzgün eğri boyunca hareketi için doğal denklemlerden birini verecektir:
Bizim durumumuzda t eksenine izdüşümü elde ederiz
,
Nerede M sarkacın bir kütlesi var.
Veya'dan beri, buradan şunu buluyoruz:
.
Azaltma oranı M ve inanmak
, (3)
sonunda sahip olacağız:
,
,
,
. (4)
İlk önce küçük salınımlar durumunu ele alalım. İlk anda sarkacın dikeyden belirli bir açıyla saptırılmasına izin verin J ve ilk hız olmadan indirildi. O zaman başlangıç koşulları şöyle olacaktır:
en T= 0, 
. (5)
Enerji integralinden:
, (6)
Nerede V- potansiyel enerji ve H entegrasyon sabiti olduğundan, bu koşullar altında herhangi bir zamanda jЈj açısının 0 olduğu sonucu çıkar. Sabit değer H ilk verilere göre belirlenir. j 0 açısının küçük olduğunu varsayalım (j 0 Ј1); o zaman j açısı da küçük olacaktır ve yaklaşık olarak sinj'j'yi ayarlayabiliriz. Bu durumda denklem (4) şu şekli alacaktır:
. (7)
Denklem (7), basit bir harmonik salınımın diferansiyel denklemidir. Bu denklemin genel çözümü
, (8)
Nerede A Ve B veya A ve e entegrasyon sabitleridir.
Buradan hemen periyodu buluyoruz ( T) matematiksel bir sarkacın küçük salınımları (periyot - noktanın aynı hızda önceki konumuna döndüğü süre)
Ve 
,
Çünkü sin'in periyodu 2p'ye eşitse w T=2p Yu
(9)
Başlangıç koşulları (5) altında hareket yasasını bulmak için şunu hesaplıyoruz:
. (10)
Değerleri (5) denklemler (8) ve (10)'a değiştirerek şunu elde ederiz:
j0 = A, 0 = w B,
onlar. B=0. Sonuç olarak, (5) koşulları altında küçük salınımlar için hareket yasası şöyle olacaktır:
j = j 0 çünkü ağırlık. (on bir)
Şimdi düz matematiksel sarkaç probleminin kesin çözümünü bulalım. Öncelikle hareket denkleminin (4) birinci integralini belirleyelim. Çünkü
,
o zaman (4) şu şekilde temsil edilebilir:
.
Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da çarparak D j ve integral aldığımızda şunu elde ederiz:
. (12)
Burada sarkacın maksimum sapma açısını j 0 olarak gösterelim; o zaman j = j 0 için elimizde olacak, dolayısıyla C= w 2 cosj 0 . Sonuç olarak integral (12) şunu verir:
, (13)
burada w eşitlik (3) ile belirlenir.
Bu integral enerji integralidir ve doğrudan denklemden elde edilebilir.
, (14)
taşınma işi nerede M 0 M aktif kuvvet F bizim durumumuzda bunu dikkate alırsak v 0 =0 ve (şekle bakın).
Denklem (13)'ten, sarkaç hareket ettiğinde j açısının +j 0 ve -j 0 (|j|Јj 0, çünkü), yani değerleri arasında değişeceği açıktır. sarkaç salınımlı bir hareket gerçekleştirecektir. Zamanı geri saymayı kabul edelim T sarkacın dikey düzlemden geçtiği andan itibaren O.A. sağa doğru hareket ettiğinde (şekle bakın). O zaman başlangıç koşuluna sahip olacağız:
en T=0, j=0. (15)
Ayrıca bir noktadan hareket ederken A irade ; Eşitliğin (13) her iki tarafının karekökünü alarak şunu elde ederiz:
.
Burada değişkenleri ayırarak şunu elde ederiz:
. (16)
, 
,
O
.
Bu sonucu denklem (16)'da yerine koyarsak, elde ederiz.
Matematiksel bir sarkacın salınım periyodu ipliğin uzunluğuna bağlıdır: ipliğin uzunluğu azaldıkça salınım periyodu azalır
Matematiksel bir sarkaç için bazı yasalar karşılanmıştır:
1 yasa. Sarkacın aynı uzunluğunu korurken farklı yükleri (örneğin 5 kg ve 100 kg) askıya alırsak, yüklerin kütleleri çok farklı olmasına rağmen salınım süresi aynı olacaktır. Matematiksel bir sarkacın periyodu yükün kütlesine bağlı değildir.
2. yasa. Sarkaç farklı fakat küçük açılarla saptırılırsa, farklı genliklerde olmasına rağmen aynı periyotta salınım yapacaktır. Sarkacın genliği küçük olduğu sürece formlarındaki salınımlar harmonik olanlara benzer olacaktır ve bu durumda matematiksel sarkacın periyodu salınımların genliğine bağlı değildir. Bu özelliğe izokronizm denir.
Matematiksel sarkacın periyodunun formülünü türetelim.
Matematiksel bir sarkacın m yükü, mg yer çekimi kuvveti ve Fynp ipliğinin elastik kuvveti tarafından etkilenmektedir. 0X eksenini teğet boyunca yukarı doğru hareket yörüngesine yönlendirelim. Bu durum için Newton'un ikinci yasasını yazalım:
Her şeyi OX eksenine yansıtıyoruz:
Küçük açılarda
Yer değiştirmeler ve küçük dönüşümler yaptıktan sonra denklemin şöyle göründüğünü elde ederiz:
Ortaya çıkan ifadeyi harmonik titreşim denklemiyle karşılaştırırsak şunu elde ederiz:
Denklemden yay sarkacının döngüsel frekansının şu şekilde olacağı görülebilir:
O zaman matematiksel sarkacın periyodu şuna eşit olacaktır:
Matematiksel bir sarkacın periyodu yalnızca yerçekimi ivmesine g ve sarkacın l uzunluğuna bağlıdır. Ortaya çıkan formülden sarkacın periyodunun kütlesine ve genliğine bağlı olmadığı (yeterince küçük olması şartıyla) anlaşılmaktadır. Sarkacın periyodu, uzunluğu ve yerçekimi ivmesi arasında da niceliksel bir ilişki kurduk. Matematiksel bir sarkacın periyodu, sarkacın uzunluğunun yer çekimi ivmesine oranının kareköküyle orantılıdır. Orantılılık faktörü 2p'dir
Ayrıca birde şu var:
Yay sarkacının periyodu
Fiziksel sarkacın periyodu 
Burulma sarkacının periyodu
