Talimatlar
Kanıta başlamadan önce çizgilerin aynı düzlemde olduğundan ve üzerine çizilebildiğinden emin olun. Bunu kanıtlamanın en basit yolu cetvelle ölçüm yapmaktır. Bunu yapmak için, düz çizgiler arasındaki mesafeyi mümkün olduğunca birbirinden uzak birkaç yerde ölçmek için bir cetvel kullanın. Mesafe değişmeden kalırsa verilen çizgiler paraleldir. Ancak bu yöntem yeterince doğru olmadığından diğer yöntemleri kullanmak daha iyidir.
Her iki paralel çizgiyi de kesecek şekilde üçüncü bir çizgi çizin. Onlarla birlikte dört dış ve dört iç köşe oluşturur. İç köşeleri düşünün. Sekant çizgisi boyunca uzananlara çapraz yalan denir. Bir tarafta yatanlara tek taraflı denir. Bir iletki kullanarak kesişen iki iç açıyı ölçün. Birbirlerine eşitse çizgiler paralel olacaktır. Şüpheniz varsa, tek taraflı iç açıları ölçün ve elde edilen değerleri ekleyin. Tek taraflı iç açıların toplamı 180° ise çizgiler paralel olacaktır.
İletkiniz yoksa 90 derecelik bir kare kullanın. Çizgilerden birine dik bir çizgi oluşturmak için bunu kullanın. Bundan sonra, başka bir çizgiyle kesişecek şekilde bu dikliğe devam edin. Aynı kareyi kullanarak bu dikmenin onunla hangi açıda kesiştiğini kontrol edin. Bu açı da 90° ise çizgiler birbirine paraleldir.
Doğrular Kartezyen koordinat sisteminde verilmişse yönlerini veya normal vektörlerini bulun. Bu vektörler sırasıyla birbirleriyle eşdoğrusal ise, çizgiler paraleldir. Doğruların denklemini genel bir forma indirgeyin ve her bir doğrunun normal vektörünün koordinatlarını bulun. Koordinatları A ve B katsayılarına eşittir. Normal vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının oranı aynı ise bunlar eşdoğrusaldır ve çizgiler paraleldir.
Örneğin düz çizgiler 4x-2y+1=0 ve x/1=(y-4)/2 denklemleriyle verilmektedir. İlk denklem genel formdadır, ikincisi kanoniktir. İkinci denklemi genel formuna getirin. Bunun için orantı dönüştürme kuralını kullanın, sonuç 2x=y-4 olacaktır. Genel forma indirgedikten sonra 2x-y+4=0 elde edersiniz. Herhangi bir doğrunun genel denklemi Ax+By+C=0 olarak yazıldığından, ilk satır için: A=4, B=2 ve ikinci satır için A=2, B=1 olur. Normal vektörün ilk doğrudan koordinatı için (4;2) ve ikincisi için – (2;1). 4/2=2 ve 2/1=2 normal vektörlerinin karşılık gelen koordinatlarının oranını bulun. Bu sayılar eşittir, yani vektörler doğrusaldır. Vektörler doğrusal olduğundan çizgiler paraleldir.
Tanım 1
$c$ düz çizgisine denir sekant$a$ ve $b$ çizgileri için, eğer onları iki noktada kesiyorsa.
$a$ ve $b$ adlı iki satırı ve $c$ kesen satırını düşünün.
Kesiştiklerinde, $1$'dan $8$'a kadar sayılarla gösterdiğimiz açılar ortaya çıkar.
Bu açıların her birinin matematikte sıklıkla kullanılan bir adı vardır:
- $3$ ve $5$, $4$ ve $6$ açı çiftlerine denir çapraz uzanmak;
- $1$ ve $5$, $4$ ve $8$, $2$ ve $6$, $3$ ve $7$ açı çiftlerine denir uygun;
- $4$ ve $5$, $5$ ve $6$ açı çiftlerine denir tek taraflı.
Paralel çizgilerin işaretleri
Teorem 1
$a$ ve $b$ doğruları için çapraz açı çiftinin ve $c$ keseninin eşitliği, $a$ ve $b$ doğrularının paralel olduğunu gösterir:
Kanıt.
$a$ ve $b$ doğruları ile çapraz $c$ doğrularının çapraz açıları eşit olsun: $∠1=∠2$.
$a \parallel b$ olduğunu gösterelim.
$1$ ve $2$ açılarının dik açı olması koşuluyla, $a$ ve $b$ doğrularının $AB$ düz çizgisine dik ve dolayısıyla paralel olacağını elde ederiz.
$1$ ve $2$ açılarının dik açı olmaması koşuluyla, $O$ noktasından - $AB$ bölümünün ortasından, $a$ düz çizgisine dik bir $OH$ çizeriz.
$b$ düz çizgisi üzerinde $BH_1=AH$ parçasını çizeriz ve $OH_1$ parçasını çizeriz. İki tarafta iki eşit $ОНА$ ve $ОH_1В$ üçgeni ve aralarındaki açıyı elde ederiz ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$), dolayısıyla $∠3=∠4$ ve $ ∠5=∠6$. Çünkü $∠3=∠4$, bu durumda $H_1$ noktası $ON$ ışınının üzerinde yer alır, dolayısıyla $H$, $O$ ve $H_1$ noktaları aynı doğruya aittir. Çünkü $∠5=∠6$, ardından $∠6=90^(\circ)$. Dolayısıyla, $a$ ve $b$ doğruları $HH_1$ doğrusuna diktir ve paraleldir. Teorem kanıtlandı.
Teorem 2
$a$ ve $b$ doğruları ile $c$ keseninin karşılık gelen açı çiftinin eşitliği, $a$ ve $b$ doğrularının paralel olduğunu gösterir:
eğer $∠1=∠2$ ise, o zaman $a \parallel b$.
Kanıt.
$а$ ve $b$ düz çizgilerine ve $с$ kesenine karşılık gelen açılar eşit olsun: $∠1=∠2$. $2$ ve $3$ açıları dikeydir, yani $∠2=∠3$. Yani $∠1=∠3$. Çünkü $1$ ve $3$ açıları çaprazdır, bu durumda $a$ ve $b$ çizgileri paraleldir. Teorem kanıtlandı.
Teorem 3
$a$ ve $b$ doğruları ile enine $c$ için iki tek taraflı açının toplamı $180^(\circ)C$'a eşitse, o zaman $a$ ve $b$ doğruları paraleldir:
eğer $∠1+∠4=180^(\circ)$ ise, o zaman $a \parallel b$.
Kanıt.
Örneğin, $a$ ve $b$ düz çizgileri ve enine $c$ için tek taraflı açıların toplamı $180^(\circ)$ olsun.
$∠1+∠4=180^(\circ)$.
$3$ ve $4$ açıları bitişiktir, dolayısıyla
$∠3+∠4=180^(\circ)$.
Elde edilen eşitliklerden $∠1=∠3$ çapraz açılarının olduğu açıktır, bundan $a$ ve $b$ doğrularının paralel olduğu sonucu çıkar.
Teorem kanıtlandı.
Dikkate alınan özelliklerden çizgilerin paralel olduğu anlaşılmaktadır.
Problem çözme örnekleri
örnek 1
Kesişme noktası $AB$ ve $CD$ parçalarını ikiye böler. $AC \parallel BD$ olduğunu kanıtlayın.
Verilen: $AO=OB$, $CO=OD$.
Kanıtlamak: $AC \paralel BD$.
Kanıt.
$AO=OB$, $CO=OD$ ve düşey açıların eşitliği $∠1=∠2$ sorun koşullarından, üçgenlerin eşitliğine ilişkin ilk kritere göre şu sonuç çıkar: $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$ . Böylece $∠3=∠4$ olur.
$3$ ve $4$ açıları, iki düz çizgi $AC$ ve $BD$ ve bir çapraz $AB$ ile çapraz olarak uzanır. Daha sonra doğruların paralelliği için ilk kritere göre $AC \parallel BD$. İfade kanıtlandı.
Örnek 2
$∠2=45^(\circ)$ açısı verildiğinde, $∠7$ verilen açıdan $3$ kat daha büyüktür. $a \parallel b$ olduğunu kanıtlayın.
Verilen: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.
Kanıtlamak: $a \paralel b$.
Kanıt:
- $7$ açısının değerini bulalım:
$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$.
- Dikey açılar $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$.
- İç açıların toplamını $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$ bulalım.
$a \parallel b$ doğrularının paralelliği için üçüncü kritere göre. İfade kanıtlandı.
Örnek 3
Verilen: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.
Kanıtlamak: $AC \paralel BD$, $AD \paralel BC$.
Kanıt:
Söz konusu çizimlerde $AB$ tarafı ortaktır.
Çünkü $ABC$ ve $ADB$ üçgenleri eşittir, bu durumda $AD=CB$, $AC=BD$ ve karşılık gelen açılar eşittir $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠ 5=∠6 $.
$3$ ve $4$ açı çifti, $AC$ ve $BD$ doğruları ve bunlara karşılık gelen $AB$ sekantları için çaprazdır, bu nedenle, $AC \paralel BD$ doğrularının paralelliğine ilişkin ilk kritere göredir.
$5$ ve $6$ açı çifti, $AD$ ve $BC$ doğruları ve bunlara karşılık gelen $AB$ sekantları için çaprazdır, bu nedenle, $AD \paralel BC$ doğrularının paralelliğine ilişkin ilk kritere göredir.
Sınıf: 2
Dersin amacı:
- 2 çizginin paralelliği kavramını oluşturun, çizgilerin paralelliğinin ilk işaretini düşünün;
- Sorunları çözerken işaretleri uygulama becerisini geliştirmek.
Görevler:
- Eğitim: çalışılan materyalin tekrarı ve pekiştirilmesi, 2 çizgi paralellik kavramının oluşumu, 2 çizgi paralellik 1. işaretinin kanıtı.
- Eğitimsel: Bir deftere doğru bir şekilde not alma ve çizim oluşturma kurallarına uyma yeteneğini geliştirmek.
- Gelişimsel görevler: mantıksal düşünmenin, hafızanın, dikkatin gelişimi.
Ders ekipmanları:
- multimedya projektörü;
- ekran, sunumlar;
- Çizim aletleri.
Dersler sırasında
I. Organizasyon anı.
Selamlama, derse hazır olup olmadığı kontrol ediliyor.
II. Aktif UPD'ye hazırlık.
1. Aşama.
İlk geometri dersinde bir düzlemdeki 2 düz çizginin göreceli konumuna baktık.
Soru.İki doğrunun kaç ortak noktası olabilir?
Cevap.İki doğrunun ya bir ortak noktası olabilir ya da tek bir ortak noktası olmayabilir.
Soru. Eğer ortak bir noktaları varsa 2 düz çizgi birbirine göre nasıl konumlandırılacaktır?
Cevap. Doğruların ortak bir noktası varsa kesişirler
Soru. Ortak noktaları yoksa 2 düz çizgi birbirine göre nasıl konumlandırılır?
Cevap. O zaman bu durumda bu çizgiler kesişmez.
2. aşama.
Son dersimizde yaşamımızda ve doğada kesişmeyen çizgilerle karşılaştığımız bir sunum yapma görevini aldınız. Şimdi bu sunumlara bakacağız ve en iyilerini seçeceğiz. (Jüri, düşük zekaları nedeniyle sunumlarını hazırlamakta zorlanan öğrencileri içeriyordu.)
Öğrencilerin yaptığı “Doğada ve hayatta paralel çizgiler” sunumlarını görüntüleyin ve en iyilerini seçin.
III. Aktif UPD (yeni malzemenin açıklaması).
1. Aşama.
Resim 1
Tanım. Bir düzlemde kesişmeyen iki doğruya paralel denir.
Bu tablo, bir düzlem üzerinde 2 paralel çizginin çeşitli düzenleme durumlarını göstermektedir.
Hangi bölümlerin paralel olacağını düşünelim.
şekil 2
1) A doğrusu b'ye paralelse AB ve CD doğru parçaları paraleldir.
2) Bir doğru parçası bir doğruya paralel olabilir. Yani MN doğru parçası a doğrusuna paraleldir.
Figür 3
3) AB doğru parçası h ışınına paraleldir. H ışını k ışınına paraleldir.
4) A doğrusu c doğrusuna dik ise ve b doğrusu c doğrusuna dik ise a ve b doğruları paraleldir.
2. aşama.
İki paralel çizgi ve bir çapraz çizginin oluşturduğu açılar.
Şekil 4
İki paralel çizgi üçüncü bir doğruyu iki noktada kesiyor. Bu durumda şekilde sayılarla gösterilen sekiz açı oluşur.
Bu açıların bazı çiftlerinin özel isimleri vardır (bkz. Şekil 4).
Var iki çizginin paralelliğinin üç işareti bu açılarla ilişkilidir. Bu derste bunlara bakacağız ilk işaret.
Sahne 3.
Bu özelliği kanıtlamak için gerekli materyali tekrarlayalım.
Şekil 5
Soru.Şekil 5'te gösterilen açıların adları nelerdir?
Cevap. AOC ve COB açılarına bitişik denir.
Soru. Hangi açılara bitişik denir? Bir tanım verin.
Cevap. Bir kenarı ortak, diğer ikisi birbirinin uzantısı olan iki açıya bitişik açı denir.
Soru. Komşu açıların özellikleri nelerdir?
Cevap. Bitişik açıların toplamı 180 dereceye kadar çıkar.
AOC + COB = 180°
Soru. 1 ve 2 numaralı açılara ne ad verilir?
Cevap. 1 ve 2 numaralı açılara dikey denir.
Soru. Dikey açıların özellikleri nelerdir?
Cevap. Düşey açılar birbirine eşittir.
Aşama 4.
Paralelliğin ilk işaretinin kanıtı.
Teorem.İki doğru çapraz olarak kesiştiğinde açıları eşitse çizgiler paraleldir.
Şekil 6
Verilen: a ve b düz çizgilerdir
AB – sekant
1 =
2
Kanıtlamak: a//b.
1. vaka.
Şekil 7
Eğer 1 ve 2 düz çizgilerse, o zaman a AB'ye diktir ve b AB'ye diktir, o zaman a//b.
2. durum.
Şekil 8
1 ve 2'nin düz doğrular olmadığı durumu düşünelim. AB parçasını O noktasına göre ikiye bölelim.
Soru. AO ve OB doğru parçalarının uzunlukları nelerdir?
Cevap. AO ve OB segmentlerinin uzunlukları eşittir.
1) O noktasından a çizgisine dik bir çizgi çiziyoruz; OH, a çizgisine diktir.
Soru. 3. açı ne olacak?
Cevap. Açı 3 doğru olacak.
2) A noktasından b düz çizgisi üzerinde pusula ile AH 1 = ВН parçasını çizeriz.
3) OH 1 parçasını çizelim.
Soru.İspat sonucunda hangi üçgenler oluştu?
Cevap. ONB üçgeni ve OH 1 A üçgeni.
Eşit olduklarını kanıtlayalım.
Soru. Teoremine göre hangi açılar eşittir?
Cevap. 1. açı, 2. açıya eşittir.
Soru.İnşaatta hangi taraflar eşittir?
Cevap. AO = OV ve AN 1 = VN
Soru.Üçgenler hangi temelde eştir?
Cevap.Üçgenlerin iki kenarı ve aralarındaki açı eşittir (üçgenlerin eşitliğinin ilk işareti).
Soru. Eş üçgenlerin özelliği nedir?
Cevap. Eşit üçgenlerde, eşit kenarların karşısında eşit açılar bulunur.
Soru. Hangi açılar eşit olacak?
Cevap.
5 =
6,
3 =
4.
Soru. 5 ve 6'nın isimleri nelerdir?
Cevap. Bu açılara dikey denir.
Bundan, H 1, O, H noktalarının aynı düz çizgi üzerinde olduğu sonucu çıkar.
Çünkü
Soru. 3 düzdür ve 3 = 4 ise 4 düzdür.
Cevap. 3 ve 4 açıları doğruysa, a ve b düz çizgileri НН 1 düz çizgisine göre nasıl konumlandırılır?
Soru. a ve b çizgileri HH 1'e diktir.
Cevap. Bir doğruya iki dik doğru hakkında ne söyleyebiliriz?
Bir doğruya iki dik paraleldir.
Şimdi tüm ispatı baştan tekrar edeceğim, siz de beni dikkatle dinleyip her şeyi anlamaya ve hatırlamaya çalışacaksınız.
IV. Yeni malzemenin konsolidasyonu.
Farklı zeka gelişimi seviyelerine sahip gruplar halinde çalışın, ardından ekranda ve tahtada test yapın. Tahtada 3 öğrenci çalışıyor (her gruptan bir kişi).
№1 (entelektüel gelişim düzeyi düşük olan öğrenciler için).
Verilen: a ve b düzdür
c – sekant
1 = 37°
7 = 143°
Kanıtlamak: a//b.
Çözüm.
7 = 6 (dikey) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (bitişik) 4 =180° – 37° = 143°
4 = 6 = 143° ve çapraz olarak a//b'dirler. 5 = 48°, 3 ve 5 çapraz açılardır, a//b'ye eşittirler.
Şekil 11
V. Ders özeti.
Ders Şekil 1-8 kullanılarak özetlenmiştir.
Öğrencilerin dersteki faaliyetleri değerlendirilir (her öğrenciye karşılık gelen bir ifade verilir).
Ev ödevi:öğret – s. 52-53; 186 (b, c) numaralı soruyu çözün.
Bu makale paralel çizgiler ve paralel çizgiler hakkındadır. Öncelikle düzlemde ve uzayda paralel doğruların tanımı verilmekte, notasyonlar verilmekte, paralel doğruların örnekleri ve grafik çizimleri verilmektedir. Daha sonra doğruların paralelliğinin işaretleri ve koşulları tartışılmaktadır. Sonuç olarak, bir düzlemde ve üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir çizginin belirli denklemleri ile verilen çizgilerin paralelliğini kanıtlamaya yönelik tipik problemlerin çözümleri gösterilmektedir.
Sayfada gezinme.
Paralel çizgiler - temel bilgiler.
Tanım.
Düzlemdeki iki doğruya denir paralel ortak noktaları yoksa.
Tanım.
Üç boyutlu uzayda iki doğruya ne denir paralel, eğer aynı düzlemde yer alıyorlarsa ve ortak noktaları yoksa.
Uzayda paralel doğruların tanımında yer alan “aynı düzlemde yer alıyorlarsa” ibaresinin çok önemli olduğunu unutmayın. Bu noktayı açıklığa kavuşturalım: Üç boyutlu uzayda ortak noktaları olmayan ve aynı düzlemde yer almayan iki doğru paralel değil kesişir.
Aşağıda paralel doğrulara bazı örnekler verilmiştir. Defter sayfasının karşıt kenarları paralel çizgiler üzerinde uzanır. Evin duvar düzleminin tavan ve zemin düzlemleriyle kesiştiği düz çizgiler paraleldir. Düz zemindeki demiryolu rayları da paralel hatlar olarak değerlendirilebilir.
Paralel çizgileri belirtmek için “” sembolünü kullanın. Yani a ve b doğruları paralelse kısaca a b yazabiliriz.
Lütfen dikkat: a ve b çizgileri paralelse, a çizgisinin b çizgisine paralel olduğunu ve ayrıca b çizgisinin a doğrusuna paralel olduğunu söyleyebiliriz.
Düzlemdeki paralel çizgilerin incelenmesinde önemli rol oynayan bir ifadeyi dile getirelim: Belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel olan tek düz çizgi geçer. Bu ifade bir gerçek olarak kabul edilir (bilinen planimetri aksiyomlarına dayanarak kanıtlanamaz) ve paralel doğrular aksiyomu olarak adlandırılır.
Uzaydaki durum için teorem geçerlidir: Uzayda belirli bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, verilen çizgiye paralel tek bir düz çizgi geçer. Bu teorem, yukarıdaki paralel doğrular aksiyomu kullanılarak kolayca kanıtlanabilir (bunun kanıtını, makalenin sonunda referanslar listesinde listelenen 10-11. sınıflar için geometri ders kitabında bulabilirsiniz).
Uzaydaki durum için teorem geçerlidir: Uzayda belirli bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, verilen çizgiye paralel tek bir düz çizgi geçer. Bu teorem yukarıdaki paralel çizgi aksiyomu kullanılarak kolayca kanıtlanabilir.
Çizgilerin paralelliği - paralelliğin işaretleri ve koşulları.
Çizgilerin paralelliğinin bir işareti doğruların paralel olması için yeterli bir koşuldur, yani yerine getirilmesi doğruların paralel olmasını garanti eden bir koşuldur. Yani bu koşulun gerçekleşmesi doğruların paralel olduğunun ortaya çıkması için yeterlidir.
Düzlemde ve üç boyutlu uzayda doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşullar da vardır.
“Paralel doğrular için gerekli ve yeterli koşul” ifadesinin anlamını açıklayalım.
Paralel doğruların yeterli koşulunu daha önce ele almıştık. “Paralel doğrular için gerekli koşul” nedir? “Gerekli” isminden paralel çizgiler için bu koşulun sağlanmasının gerekli olduğu anlaşılmaktadır. Yani paralel doğrular için gerekli koşul sağlanmıyorsa doğrular paralel değildir. Böylece, Paralel doğrular için gerekli ve yeterli koşul paralel doğrular için yerine getirilmesi hem gerekli hem de yeterli olan bir durumdur. Yani bu bir yandan doğruların paralelliğinin işareti, diğer yandan paralel çizgilerin sahip olduğu bir özelliktir.
Doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulu formüle etmeden önce birkaç yardımcı tanımın hatırlanması tavsiye edilir.
ayırma çizgisiçakışmayan iki çizginin her birini kesen bir çizgidir.
İki çizgi bir kesenle kesiştiğinde sekiz gelişmemiş çizgi oluşur. Sözde çapraz olarak uzanan, karşılık gelen Ve tek taraflı açılar. Bunları çizimde gösterelim.
Teorem.
Bir düzlemdeki iki düz çizgi bir enine ile kesişiyorsa, bunların paralel olması için kesişen açıların eşit olması veya karşılık gelen açıların eşit olması veya tek taraflı açıların toplamının 180'e eşit olması gerekli ve yeterlidir. derece.
Düzlemdeki doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulu grafiksel olarak gösterelim.
Doğruların paralelliği için bu koşulların kanıtlarını 7-9. sınıf geometri ders kitaplarında bulabilirsiniz.
Bu koşulların üç boyutlu uzayda da kullanılabileceğini unutmayın; asıl önemli olan, iki düz çizginin ve kesenin aynı düzlemde olmasıdır.
Doğruların paralelliğini kanıtlamak için sıklıkla kullanılan birkaç teorem daha var.
Teorem.
Bir düzlemdeki iki doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler. Bu kriterin kanıtı paralel doğrular aksiyomundan kaynaklanmaktadır.
Üç boyutlu uzayda paralel doğrular için de benzer bir durum söz konusudur.
Teorem.
Uzaydaki iki çizgi üçüncü bir çizgiye paralelse paraleldirler. Bu kriterin ispatı 10.sınıf geometri derslerinde tartışılmaktadır.
Belirtilen teoremleri örnekleyelim.
Düzlemdeki doğruların paralelliğini kanıtlamamızı sağlayan başka bir teorem sunalım.
Teorem.
Bir düzlemdeki iki doğru üçüncü bir doğruya dikse paraleldirler.
Uzaydaki çizgiler için de benzer bir teorem vardır.
Teorem.
Üç boyutlu uzayda iki doğru aynı düzleme dikse paraleldirler.
Bu teoremlere karşılık gelen resimleri çizelim.
Yukarıda formüle edilen tüm teoremler, kriterler ve gerekli ve yeterli koşullar, geometri yöntemlerini kullanarak doğruların paralelliğini kanıtlamak için mükemmeldir. Yani, verilen iki doğrunun paralelliğini kanıtlamak için bunların üçüncü bir doğruya paralel olduğunu göstermeniz veya çapraz uzanma açılarının eşitliğini vb. göstermeniz gerekir. Lisedeki geometri derslerinde buna benzer pek çok problem çözülmektedir. Bununla birlikte, çoğu durumda, bir düzlemdeki veya üç boyutlu uzaydaki çizgilerin paralelliğini kanıtlamak için koordinat yöntemini kullanmanın uygun olduğu unutulmamalıdır. Dikdörtgen koordinat sisteminde belirtilen doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulları formüle edelim.
Dikdörtgen koordinat sistemindeki doğruların paralelliği.
Makalenin bu paragrafında formüle edeceğiz paralel doğrular için gerekli ve yeterli koşullar Dikdörtgen koordinat sisteminde bu çizgileri tanımlayan denklemlerin türüne bağlı olarak karakteristik problemlere de detaylı çözümler sunuyoruz.
Oxy dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlem üzerindeki iki düz çizginin paralelliği koşuluyla başlayalım. Onun kanıtı, bir doğrunun yön vektörünün tanımına ve bir doğrunun düzlem üzerindeki normal vektörünün tanımına dayanmaktadır.
Teorem.
Bir düzlemde çakışmayan iki doğrunun paralel olması için, bu doğruların yön vektörlerinin eşdoğrusal olması veya bu doğruların normal vektörlerinin eşdoğrusal olması veya bir doğrunun yön vektörünün normale dik olması gerekli ve yeterlidir. ikinci satırın vektörü.
Açıkçası, bir düzlem üzerindeki iki doğrunun paralellik koşulu (doğruların yön vektörleri veya doğruların normal vektörleri) veya (bir doğrunun yön vektörü ve ikinci doğrunun normal vektörü)'ye indirgenir. Dolayısıyla, eğer ve a ve b doğrularının yön vektörleridir ve 
Ve 
sırasıyla a ve b doğrularının normal vektörleri ise, a ve b doğrularının paralelliği için gerekli ve yeterli koşul şu şekilde yazılacaktır: 
, veya 
, veya t'nin bir reel sayı olduğu yer. Buna karşılık, kılavuzların koordinatları ve (veya) a ve b çizgilerinin normal vektörleri, bilinen çizgi denklemleri kullanılarak bulunur.
Özellikle, düzlemdeki Oxy dikdörtgen koordinat sistemindeki düz bir çizgi, formun genel bir düz çizgi denklemini tanımlarsa 
ve düz çizgi b - 
ise bu doğruların normal vektörleri koordinatlara sahip olur ve sırasıyla a ve b doğrularının paralellik şartı şu şekilde yazılır.
a çizgisi, açısal katsayılı bir çizginin denklemine ve b - çizgisine karşılık geliyorsa, bu çizgilerin normal vektörleri koordinatlara sahiptir ve ve bu çizgilerin paralellik koşulu şu şekli alır: 
. Sonuç olarak, dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlem üzerindeki çizgiler paralelse ve açısal katsayılı doğru denklemleriyle belirlenebiliyorsa, o zaman çizgilerin açısal katsayıları eşit olacaktır. Ve bunun tersi: Dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir düzlem üzerindeki çakışmayan çizgiler, eşit açısal katsayılara sahip bir çizginin denklemleriyle belirlenebiliyorsa, o zaman bu tür çizgiler paraleldir.
Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir a doğrusu ve bir b doğrusu, formun bir düzlemindeki bir doğrunun kanonik denklemleri tarafından belirleniyorsa 
Ve 
veya formun bir düzlemindeki düz bir çizginin parametrik denklemleri 
Ve 
buna göre bu doğruların yön vektörleri ve koordinatlarına sahiptir ve a ve b doğrularının paralellik şartı şu şekilde yazılır.
Birkaç örneğin çözümlerine bakalım.
Örnek.
Çizgiler paralel mi? 
Ve ?
Çözüm.
Parçalar halinde bir doğrunun denklemini, bir doğrunun genel denklemi biçiminde yeniden yazalım: 
. Şimdi bunun doğrunun normal vektörü olduğunu görebiliyoruz. , a doğrunun normal vektörüdür. Bu vektörler eşdoğrusal değildir, çünkü eşitliği sağlayan bir t gerçek sayısı yoktur ( 
). Sonuç olarak bir düzlemdeki doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşul sağlanmadığından verilen doğrular paralel değildir.
Cevap:
Hayır çizgiler paralel değil.
Örnek.
Doğrular düz ve paralel midir?
Çözüm.
Düz bir çizginin kanonik denklemini açısal katsayılı bir doğrunun denklemine indirgeyelim: . Açıkçası, ve çizgilerinin denklemleri aynı değildir (bu durumda verilen çizgiler aynı olacaktır) ve çizgilerin açısal katsayıları eşittir, dolayısıyla orijinal çizgiler paraleldir.
İkinci çözüm.
Öncelikle orijinal çizgilerin çakışmadığını gösteriyoruz: doğru üzerindeki herhangi bir noktayı alın, örneğin (0, 1), bu noktanın koordinatları çizginin denklemini sağlamaz, dolayısıyla çizgiler çakışmaz. Şimdi bu doğruların paralellik şartının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim. Bir doğrunun normal vektörü vektördür ve doğrunun yön vektörü de vektördür. Hesaplayalım ve: 
. Sonuç olarak, ve vektörleri diktir; bu, verilen doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulun karşılandığı anlamına gelir. Yani çizgiler paraleldir.
Cevap:
Verilen doğrular paraleldir.
Üç boyutlu uzayda dikdörtgen koordinat sistemindeki çizgilerin paralelliğini kanıtlamak için aşağıdaki gerekli ve yeterli koşulu kullanın.
Teorem.
Üç boyutlu uzayda ıraksak doğruların paralelliği için yön vektörlerinin eşdoğrusal olması gerekli ve yeterlidir.
Dolayısıyla üç boyutlu uzayda dikdörtgen koordinat sistemindeki doğruların denklemleri biliniyorsa ve bu doğruların paralel olup olmadığı sorusunu cevaplamanız gerekiyorsa o zaman bu doğruların yön vektörlerinin koordinatlarını bulmanız ve Yön vektörlerinin eşdoğrusallık koşulunun yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Başka bir deyişle, eğer 
Ve 
- düz çizgilerin yön vektörleri Belirli bir düz çizginin koordinatları vardır ve . Çünkü 
, O . Böylece uzayda iki doğrunun paralelliği için gerekli ve yeterli koşul sağlanmış olur. Bu doğruların paralelliğini kanıtlar 
Ve 
.
Kaynakça.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. 7 – 9. Sınıflar: Genel eğitim kurumları için ders kitabı.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Ortaokul 10-11. sınıflar için ders kitabı.
- Pogorelov A.V., Geometri. Genel eğitim kurumlarında 7-11. sınıflar için ders kitabı.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Yüksek Matematik. Birinci cilt: doğrusal cebir ve analitik geometrinin unsurları.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik Geometri.
Öncelikle işaret, özellik ve aksiyom kavramları arasındaki farklara bakalım.
Tanım 1
İmza ilgilenilen bir nesne hakkındaki bir yargının doğruluğunun belirlenebileceği belirli bir olguya diyorlar.
örnek 1
Çizgiler, enine formları çapraz açılara eşitse paraleldir.
Tanım 2
Mülk Kararın adilliğine güven duyulduğu durumda formüle edilir.
Örnek 2
Paralel çizgiler paralel olduğunda, bunların enine formları çapraz açılara eşittir.
Tanım 3
Aksiyom delil gerektirmeyen ve kanıt olmadan da gerçek olarak kabul edilen açıklamaya diyorlar.
Her bilimin daha sonraki yargıların ve bunların kanıtlarının dayandığı aksiyomları vardır.
Paralel çizgiler aksiyomu
Bazen paralel doğrular aksiyomu paralel doğruların özelliklerinden biri olarak kabul edilir, ancak aynı zamanda diğer geometrik deliller de onun geçerliliğine dayanmaktadır.
Teorem 1
Belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen düzleme paralel olacak yalnızca bir düz çizgi çizilebilir.
Aksiyom kanıt gerektirmez.
Paralel çizgilerin özellikleri
Teorem 2
Özellik1. Paralel doğruların geçişlilik özelliği:
İki paralel çizgiden biri üçüncüye paralel olduğunda, ikinci doğru da ona paralel olacaktır.
Özellikler kanıt gerektirir.
Kanıt:
$a$ ve $b$ olmak üzere iki paralel çizgi olsun. $c$ doğrusu $a$ doğrusuna paraleldir. Bu durumda $c$ düz çizgisinin $b$ düz çizgisine de paralel olup olmayacağını kontrol edelim.
Bunu kanıtlamak için ters önermeyi kullanacağız:
$c$ doğrusunun doğrulardan birine paralel olmasının, örneğin $a$ doğrusuna paralel olmasının ve diğer doğru olan $b$ doğrusu ile $K$ noktasında kesişmesinin mümkün olduğunu hayal edelim.
Paralel doğrular aksiyomuna göre bir çelişki elde ediyoruz. Bu, iki doğrunun bir noktada kesiştiği, üstelik aynı $a$ doğrusuna paralel olduğu bir durumla sonuçlanır. Bu durum imkansızdır; dolayısıyla $b$ ve $c$ doğruları kesişemez.
Böylece iki paralel çizgiden biri üçüncü doğruya paralel ise ikinci doğrunun da üçüncü doğruya paralel olduğu kanıtlanmıştır.
Teorem 3
Mülk 2.
İki paralel çizgiden biri üçüncüyle kesişirse, ikinci çizgi de onunla kesişecektir.
Kanıt:
$a$ ve $b$ olmak üzere iki paralel çizgi olsun. Ayrıca paralel doğrulardan biriyle kesişen bir $c$ doğrusu olsun, örneğin $a$ doğrusu. $c$ çizgisinin ikinci çizgi olan $b$ çizgisiyle de kesiştiğini göstermek gerekir.
Çelişki yoluyla bir kanıt oluşturalım.
$c$ çizgisinin $b$ çizgisiyle kesişmediğini varsayalım. Daha sonra $a$ ve $c$ adlı iki doğru $K$ noktasından geçer ve bunlar $b$ doğrusuyla kesişmez, yani ona paraleldirler. Ancak bu durum paralel doğrular aksiyomuyla çelişmektedir. Bu, varsayımın yanlış olduğu ve $c$ satırının $b$ satırıyla kesişeceği anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı.
Köşelerin özellikleri iki paralel çizgi ve bir sekant oluşturan: Zıt açılar eşittir karşılık gelen açılar eşittir, * tek taraflı açıların toplamı 180$^(\circ)$'dır.
Örnek 3
İki paralel doğru ve bunlardan birine dik olan üçüncü bir doğru verilmiştir. Bu doğrunun başka bir paralel doğruya dik olduğunu kanıtlayın.
Kanıt.
$a \parallel b$ ve $c \perp a$ düz çizgilerimiz olsun.
$c$ doğrusu $a$ doğrusuyla kesiştiği için paralel doğruların özelliğine göre $b$ doğrusuyla da kesişecektir.
$a$ ve $b$ paralel çizgilerini kesen $c$ sekantı, onlarla eşit iç açılar oluşturur.
Çünkü $c \perp a$, o zaman açılar $90^(\circ)$ olacaktır.
Bu nedenle $c \perp b$.
Kanıt tamamlandı.
