Bir nesnenin transfer fonksiyonuna oran denir. Genel transfer fonksiyonunu belirlemek için sistemin çıkış değişkeni için bir ifade yazıyoruz.

DE'nin Laplace dönüşümü, sistemin dinamik özelliklerini karakterize eden uygun bir transfer fonksiyonu konseptinin ortaya konulmasını mümkün kılar.

Örneğin, operatör denklemi

3s 2 Y(ler) + 4sY(ler) + Y(ler) = 2sX(ler) + 4X(ler)

X(ler) ve Y(ler) parantezlerden çıkarılıp birbirlerine bölünerek dönüştürülebilir:

Y(ler)*(3s 2 + 4s + 1) = X(ler)*(2s + 4)

Ortaya çıkan ifadeye transfer fonksiyonu denir.

Aktarım işlevi Sıfır başlangıç koşulları altında Y(ler) çıktı efektinin görüntüsünün X(ler) girdisinin görüntüsüne oranı denir.

(2.4)

Transfer fonksiyonu karmaşık bir değişkenin kesirli rasyonel fonksiyonudur:

burada B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - pay polinomu,

A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + an s n - payda polinomu.

Transfer fonksiyonunun, payda polinomunun (n) mertebesine göre belirlenen bir sırası vardır.

(2.4)'ten çıkış sinyalinin görüntüsünün şu şekilde bulunabileceği anlaşılmaktadır:

Y(ler) = W(ler)*X(ler).

Sistemin transfer fonksiyonu tamamen onun dinamik özelliklerini belirlediğinden, ASR'yi hesaplamanın ilk görevi transfer fonksiyonunun belirlenmesine indirgenmiştir.

2.6.2 Tipik bağlantı örnekleri

Bir sistemin bağlantısı, belirli dinamik özelliklere sahip bir sistemin öğesidir. Kontrol sistemlerinin bağlantıları farklı fiziksel yapıya (elektrik, pnömatik, mekanik vb. bağlantılar) sahip olabilir, ancak aynı uzaktan kumandayla tanımlanır ve bağlantılardaki giriş ve çıkış sinyallerinin oranı aynı transfer fonksiyonlarıyla tanımlanır. .

TAU'da, genellikle tipik olarak adlandırılan bir grup en basit birim ayırt edilir. Tipik bağlantıların statik ve dinamik özellikleri oldukça kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Standart bağlantılar, kontrol nesnelerinin dinamik özelliklerinin belirlenmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, bir kayıt cihazı kullanılarak oluşturulan geçici tepkiyi bilerek, genellikle kontrol nesnesinin hangi tür bağlantılara ait olduğunu ve dolayısıyla onun transfer fonksiyonunu, diferansiyel denklemini vb. belirlemek mümkündür. nesne modeli. Tipik bağlantılar Herhangi bir karmaşık bağlantı, daha basit bağlantıların bağlantısı olarak temsil edilebilir.

En basit tipik bağlantılar şunları içerir:

amplifikasyon,

eylemsiz (1. dereceden periyodik olmayan),

bütünleştirici (gerçek ve ideal),

ayırt edici (gerçek ve ideal),

periyodik olmayan 2. derece,

salınımlı,

gecikmiş.

1) Güçlendirici bağlantı.

Bağlantı, giriş sinyalini K katı kadar güçlendirir. Bağlantı denklemi y = K*x, transfer fonksiyonu W(s) = K. K parametresine denir kazanmak .

Böyle bir bağlantının çıkış sinyali, K katı kadar güçlendirilen giriş sinyalini tam olarak tekrarlar (bkz. Şekil 1.18).

Adım adım hareketle h(t) = K.

Bu tür bağlantıların örnekleri şunlardır: mekanik aktarımlar, sensörler, ataletsiz amplifikatörler vb.

2) Bütünleşme.

2.1) İdeal entegrasyon.

İdeal entegre bağlantının çıkış değeri, giriş değerinin integrali ile orantılıdır:

; W(ler) =

Girişe x(t) = 1 adım eylem bağlantısı uygulandığında çıkış sinyali sürekli olarak artar (bkz. Şekil 1.19):

Bu bağlantı astatiktir, yani. istikrarlı bir durumu yoktur.

Böyle bir bağlantıya örnek olarak sıvıyla dolu bir kap verilebilir. Giriş parametresi gelen sıvının akış hızı, çıkış parametresi ise seviyesidir. Başlangıçta kap boştur ve akış olmadığında seviye sıfırdır, ancak sıvı beslemesini açarsanız seviye eşit şekilde artmaya başlar.

2.2) Gerçek entegrasyon.

P Bu bağlantının aktarım işlevi şu şekildedir:

W(ler) =
.

Geçiş yanıtı, ideal bağlantının aksine bir eğridir (bkz. Şekil 1.20):

h(t) = K . (t – T) + K . T. e - t / T .

Entegre bağlantının bir örneği, stator besleme voltajının giriş etkisi olarak alınması ve rotor dönüş açısının çıkış etkisi olarak alınması durumunda, bağımsız uyarımlı bir DC motordur. Motora voltaj sağlanmazsa rotor hareket etmez ve dönüş açısı sıfıra eşit alınabilir. Gerilim uygulandığında rotor dönmeye başlar ve atalet nedeniyle dönme açısı önce yavaş olur, sonra belirli bir dönüş hızına ulaşılıncaya kadar daha hızlı artar.

3) Farklılaştırma.

3.1) İdeal farklılaştırıcı.

Çıkış miktarı, girişin zamana göre türeviyle orantılıdır:

; W(ler) = K*s

Adım giriş sinyaliyle çıkış sinyali bir darbedir (-fonksiyonu): h(t) = K. (t).

3.2) Gerçek farklılaştırma.

İdeal ayırt edici bağlantılar fiziksel olarak gerçekleştirilemez. Farklılaştırıcı bağlantıları temsil eden nesnelerin çoğu, transfer fonksiyonları şu şekilde olan gerçek farklılaştırıcı bağlantılara aittir:

W(ler) =
.

Adım yanıtı:
.

Bağlantı örneği: elektrik jeneratörü. Giriş parametresi rotorun dönme açısıdır, çıkış parametresi ise voltajdır. Rotor belirli bir açıda döndürülürse terminallerde voltaj görülecektir ancak rotor daha fazla döndürülmezse voltaj sıfıra düşecektir. Sargıdaki endüktansın varlığı nedeniyle keskin bir şekilde düşemez.

4) Periyodik olmayan (eylemsizlik).

Bu bağlantı formun DE ve PF'sine karşılık gelir

; W(ler) =
.

Girişe x 0 değerinin adım adım etkisi uygulandığında bu bağlantının çıkış değerindeki değişimin doğasını belirleyelim.

Adım efektinin görüntüsü: X(s) = . Daha sonra çıktı miktarının görüntüsü şöyledir:

Y(ler) = W(ler) X(ler) =
= K x 0
.

Kesirleri asallara ayıralım:

=
+ =
= -
= -

Tabloya göre ilk kesrin orijinali: L -1 () = 1, ikincisi:

L-1 ( } = .

Sonra nihayet elde ederiz

y(t) = K x 0 (1 - ).

T sabiti denir zaman sabiti.

Çoğu termal nesne periyodik olmayan bağlantılardır. Örneğin, bir elektrikli fırının girişine voltaj uygulandığında sıcaklığı benzer bir yasaya göre değişecektir (bkz. Şekil 1.22).

5) İkinci dereceden bağlantılar

Bağlantıların uzaktan kumandası ve formun PF'si var

W(ler) =
.

Girişe genliği x 0 olan bir adım etkisi uygulandığında, geçiş eğrisi iki türden birine sahip olacaktır: aperiyodik (T 1  2T 2'de) veya salınımlı (T 1'de)< 2Т 2).

Bu bağlamda, ikinci dereceden bağlantılar ayırt edilir:

periyodik olmayan 2. dereceden (T 1  2T 2),

eylemsizlik (T 1< 2Т 2),

muhafazakar (T 1 = 0).

6) Gecikmeli.

Bir nesnenin girişine belirli bir sinyal uygulandığında bu sinyale hemen tepki vermiyorsa ancak bir süre sonra nesnenin gecikme yaşadığı söyleniyor.

Gecikme giriş sinyalinin değiştiği andan çıkış değişiminin başlangıcına kadar geçen zaman aralığıdır.

Gecikmeli bağlantı, çıkış değeri y'nin giriş değeri x'i biraz gecikmeyle  tam olarak tekrarladığı bir bağlantıdır:

y(t) = x(t - ).

Bağlantı aktarım işlevi:

W(s) = e - s .

Gecikme örnekleri: sıvının boru hattı boyunca hareketi (boru hattının başlangıcında ne kadar sıvı pompalandı, o kadarı sonunda dışarı çıkacak, ancak bir süre sonra sıvı borunun içinde hareket ederken), hareket bir konveyör boyunca kargonun taşınması (gecikme, konveyörün uzunluğuna ve bandın hızına göre belirlenir), vb. .d.

DE'nin Laplace dönüşümü, sistemin dinamik özelliklerini karakterize eden uygun bir transfer fonksiyonu konseptinin ortaya konulmasını mümkün kılar.

Örneğin, operatör denklemi

3s 2 Y(ler) + 4sY(ler) + Y(ler) = 2sX(ler) + 4X(ler)

X(ler) ve Y(ler) parantezlerden çıkarılıp birbirlerine bölünerek dönüştürülebilir:

Y(ler)*(3s 2 + 4s + 1) = X(ler)*(2s + 4)

Ortaya çıkan ifadeye transfer fonksiyonu denir.

Aktarım işlevi Sıfır başlangıç koşulları altında Y(ler) çıktı efektinin görüntüsünün X(ler)in girdisinin görüntüsüne oranı denir.

(2.4)

Transfer fonksiyonu karmaşık bir değişkenin kesirli rasyonel fonksiyonudur:

burada B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - pay polinomu,

A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + an s n - payda polinomu.

Transfer fonksiyonunun, payda polinomunun (n) mertebesine göre belirlenen bir sırası vardır.

(2.4)'ten çıkış sinyalinin görüntüsünün şu şekilde bulunabileceği anlaşılmaktadır:

Y(ler) = W(ler)*X(ler).

Sistemin transfer fonksiyonu tamamen onun dinamik özelliklerini belirlediğinden, ASR'yi hesaplamanın ilk görevi transfer fonksiyonunun belirlenmesine indirgenmiştir.

Tipik bağlantı örnekleri

Bir sistemin bağlantısı, belirli dinamik özelliklere sahip bir sistemin öğesidir. Kontrol sistemlerinin bağlantıları farklı fiziksel yapıya (elektrik, pnömatik, mekanik vb. bağlantılar) sahip olabilir ancak aynı uzaktan kumandayla tanımlanır ve bağlantılardaki giriş ve çıkış sinyallerinin oranı aynı transfer fonksiyonlarıyla tanımlanır.

En basit tipik bağlantılar şunları içerir:

· yoğunlaşan,

· eylemsiz (1. dereceden periyodik olmayan),

bütünleştirici (gerçek ve ideal),

ayırt edici (gerçek ve ideal),

· periyodik olmayan 2. dereceden,

· salınımlı,

· gecikmiş.

1) Güçlendirici bağlantı.

Bağlantı, giriş sinyalini K katı kadar güçlendirir. Bağlantı denklemi y = K*x, transfer fonksiyonu W(s) = K. K parametresine denir kazanmak .

Böyle bir bağlantının çıkış sinyali, K katı kadar güçlendirilen giriş sinyalini tam olarak tekrarlar (bkz. Şekil 1.18).

Adım adım hareketle h(t) = K.

Bu tür bağlantıların örnekleri şunlardır: mekanik aktarımlar, sensörler, ataletsiz amplifikatörler vb.

2) Bütünleşme.

2.1) İdeal entegrasyon.

İdeal entegre bağlantının çıkış değeri, giriş değerinin integrali ile orantılıdır:

; W(ler) =

Girişe x(t) = 1 adım eylem bağlantısı uygulandığında çıkış sinyali sürekli olarak artar (bkz. Şekil 1.19):

Bu bağlantı astatiktir, yani. istikrarlı bir durumu yoktur.

2.2) Gerçek entegrasyon.

Bu bağlantının aktarım işlevi şu şekildedir:

Geçiş yanıtı, ideal bağlantının aksine bir eğridir (bkz. Şekil 1.20):

h(t) = K. (t – T) + K . T. e - t / T .

3) Farklılaştırma.

3.1) İdeal farklılaştırıcı.

Çıkış miktarı, girişin zamana göre türeviyle orantılıdır:

Adım giriş sinyaliyle çıkış sinyali bir darbedir (d-fonksiyonu): h(t) = K. d(t).

3.2) Gerçek farklılaştırma.

Geçiş karakteristiği: .

4) Periyodik olmayan (eylemsizlik).

Bu bağlantı formun DE ve PF'sine karşılık gelir

; W(ler) = .

Girişe x 0 değerinin adım adım etkisi uygulandığında bu bağlantının çıkış değerindeki değişimin doğasını belirleyelim.

Adım efektinin görüntüsü: X(s) = . Daha sonra çıktı miktarının görüntüsü şöyledir:

Y(ler) = W(ler) X(ler) = = K x 0 .

Kesirleri asallara ayıralım:

= + = = - = -

Tabloya göre ilk kesrin orjinali: L -1 ( ) = 1, ikincisi:

Sonra nihayet elde ederiz

y(t) = K x 0 (1 - ).

T sabiti denir zaman sabiti.

5) İkinci dereceden bağlantılar

Bağlantıların uzaktan kumandası ve formun PF'si var

W(ler) = .

Girişe genliği x 0 olan bir adım efekti uygulandığında, geçiş eğrisi iki türden birine sahip olacaktır: aperiyodik (T 1 ³ 2T 2'de) veya salınımlı (T 1'de)< 2Т 2).

Bu bağlamda, ikinci dereceden bağlantılar ayırt edilir:

· periyodik olmayan 2. dereceden (T 1 ³ 2T 2),

· eylemsizlik (T 1< 2Т 2),

· muhafazakar (T 1 = 0).

6) Gecikmeli.

Bir nesnenin girişine belirli bir sinyal uygulandığında bu sinyale anında tepki vermiyorsa ancak bir süre sonra nesnenin gecikme yaşadığı söyleniyor.

Gecikme giriş sinyalinin değiştiği andan çıkış değişiminin başlangıcına kadar geçen zaman aralığıdır.

Gecikmeli bağlantı, çıkış değeri y'nin giriş değeri x'i bir miktar t gecikmesiyle tam olarak tekrarladığı bir bağlantıdır:

y(t) = x(t - t).

Bağlantı aktarım işlevi:

W(s) = e - t s .

Bağlantı bağlantıları

İncelenen nesne, işleyişinin analizini basitleştirmek için bağlantılara bölündüğünden, her bağlantı için transfer fonksiyonlarını belirledikten sonra, bunları nesnenin bir transfer fonksiyonunda birleştirme görevi ortaya çıkar. Nesnenin aktarım fonksiyonunun türü, bağlantıların bağlantı sırasına bağlıdır:

1) Seri bağlantı.

W devir = W 1. W2. W3...

Bağlantılar seri olarak bağlandığında aktarım işlevleri çarpmak.

2) Paralel bağlantı.

W rev = W 1 + W 2 + W 3 + …

Bağlantılar paralel bağlandığında aktarım fonksiyonları katlamak.

3) Geribildirim

Referansa göre transfer fonksiyonu (x):

“+” negatif işletim sistemine karşılık gelir,

"-" - olumlu.

Daha karmaşık bağlantı bağlantılarına sahip nesnelerin transfer fonksiyonlarını belirlemek için devrenin sıralı olarak genişletilmesi kullanılır veya Meson formülü kullanılarak dönüştürülür.

ASR'nin transfer fonksiyonları

Araştırma ve hesaplama için, ASR'nin yapısal diyagramı eşdeğer dönüşümler yoluyla en basit standart "nesne - denetleyici" biçimine getirilir (bkz. Şekil 1.27). Regülatör ayarlarını hesaplamak ve belirlemek için neredeyse tüm mühendislik yöntemleri böyle standart bir yapıya uygulanır.

Genel durumda, ana geri bildirime sahip herhangi bir tek boyutlu ACS, bağlantıların kademeli olarak genişletilmesiyle bu forma getirilebilir.

Eğer y sisteminin çıkışı girişine beslenmezse, transfer fonksiyonu ürün olarak tanımlanan açık döngülü bir kontrol sistemi elde edilir:

W¥ = Wp . Niçin

(Regülatörün W p - PF'si, kontrol nesnesinin W y - PF'si).

Şekil 1.28

Yani, W p ve W y bağlantılarının sırası, W ¥ ile tek bir bağlantıyla değiştirilebilir. Kapalı çevrimli bir sistemin transfer fonksiyonu genellikle Ф(s) olarak gösterilir. W ¥ cinsinden ifade edilebilir:

Bu transfer fonksiyonu Фз(s), y'nin x'e bağımlılığını belirler ve referans eylem kanalı boyunca (referans yoluyla) kapalı döngü sisteminin transfer fonksiyonu olarak adlandırılır.

ASR için diğer kanallar üzerinden aktarım işlevleri de mevcuttur:

Ф e (s) = = - yanlışlıkla,

Ф in (s) = = - bozulma ile,

nerede (s) – kontrol nesnesinin bozulma iletim kanalı yoluyla transfer fonksiyonu.

Rahatsızlığın dikkate alınmasıyla ilgili olarak iki seçenek mümkündür:

Bozulmanın kontrol eylemi üzerinde ilave bir etkisi vardır (bkz. Şekil 1.29a);

Bozulma, kontrol edilen parametrenin ölçümlerini etkiler (bkz. Şekil 1.29b).

İlk seçeneğin bir örneği, ağdaki voltaj dalgalanmalarının, regülatör tarafından nesnenin ısıtma elemanına sağlanan voltaj üzerindeki etkisi olabilir. İkinci seçeneğe bir örnek: ortam sıcaklığındaki değişiklikler nedeniyle kontrollü bir parametrenin ölçümünde hatalar. W u.v. – çevrenin ölçümler üzerindeki etkisinin modeli.

Şekil 1.30

Parametreler K0 = 1, K1 = 3, K2 = 1,5, K4 = 2, K5 = 0,5.

ASR'nin blok diyagramında, kontrol cihazına karşılık gelen bağlantılar, kontrol nesnesinin bağlantılarının önünde durur ve u nesnesi üzerinde bir kontrol eylemi oluşturur. Diyagram, regülatör devresinin 1, 2 ve 3 numaralı bağlantıları içerdiğini ve nesne devresinin 4 ve 5 numaralı bağlantıları içerdiğini gösterir.

1, 2 ve 3 numaralı bağlantıların paralel bağlandığı göz önüne alındığında, kontrolörün transfer fonksiyonunu bağlantıların transfer fonksiyonlarının toplamı olarak elde ederiz:

4 ve 5 numaralı bağlantılar seri olarak bağlanmıştır, bu nedenle kontrol nesnesinin transfer fonksiyonu, bağlantıların transfer fonksiyonlarının çarpımı olarak tanımlanır:

Açık döngü transfer fonksiyonu:

buradan pay B(s) = 1,5 olduğu açıktır. s 2 + 3 . s + 1, payda (aynı zamanda açık döngü sisteminin karakteristik polinomu) A(s) = 2. s 3 + 3 . s 2 + s. O zaman kapalı sistemin karakteristik polinomu şuna eşittir:

D(ler) = A(ler) + B(ler) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1,5. s 2 + 3 . s + 1 = 2. 3 + 4,5. s 2 + 4 . s+1.

Kapalı döngü sistem aktarım fonksiyonları:

görevde ,

yanlışlıkla .

Bir bozulmanın transfer fonksiyonunu belirlerken W a.v alınır. = Sen. Daha sonra

. ¨

ACS analizinin nihai amacı, sistemin diferansiyel denklemini bir bütün olarak çözmek (mümkünse) veya incelemektir. Genellikle ACS'yi oluşturan bireysel bağlantıların denklemleri bilinir ve bağlantılarının bilinen DE'lerinden sistemin diferansiyel denklemini elde etme ara görevi ortaya çıkar. DE'leri temsil etmenin klasik biçiminde bu görev önemli zorluklarla doludur. Transfer fonksiyonu kavramını kullanmak onu büyük ölçüde basitleştirir.

Bazı sistemlerin formdaki bir diferansiyel denklemle tanımlanmasına izin verin.

P'nin diferansiyel operatörü veya sembolü olarak adlandırıldığı = p notasyonunu tanıtarak ve şimdi bu sembolü sıradan bir cebirsel sayı olarak ele alarak, x'i ve x'i parantezlerden çıkardıktan sonra, bu sistemin diferansiyel denklemini elde ederiz. operatör formunda:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x dışarı = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x içeri. (3.38)

Çıkış değerindeki p'deki polinom:

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3,39)

özoperatör olarak adlandırılır ve giriş değerindeki polinom etki operatörü olarak adlandırılır.

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

Transfer fonksiyonu, etki operatörünün kendi operatörüne oranıdır:

W(p) = K(p)/D(p) = x dışarı / x içeri. (3.41)

Aşağıda diferansiyel denklemlerin yazımında hemen hemen her yerde operatör formunu kullanacağız.

Bağlantıların bağlantı türleri ve transfer fonksiyonlarının cebiri.

Bir otomatik kontrol sisteminin transfer fonksiyonunun elde edilmesi, linklerin birbirine belirli bir şekilde bağlandığı link gruplarının transfer fonksiyonlarını bulma kurallarının bilinmesini gerektirir. Üç tür bağlantı vardır.

1. Önceki bağlantının çıktısının bir sonraki bağlantının girişi olduğu sıralı (Şekil 3.12):

x dışarı

Pirinç. 3.14. Arka arkaya paralel bağlantı.

Geri besleme sinyali x'in giriş sinyali xin'e eklenmesine veya ondan çıkarılmasına bağlı olarak, pozitif ve negatif geri besleme ayırt edilir.

Yine transfer fonksiyonunun özelliğine dayanarak şunu yazabiliriz:

W 1 (p) =x çıkış /(x giriş ±x); W2(p) = x/x çıkış; W c =x dışarı /x içeri. (3.44)

İlk iki denklemden x iç koordinatını çıkararak böyle bir bağlantı için transfer fonksiyonunu elde ederiz:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

Son ifadede artı işaretinin şuna karşılık geldiği unutulmamalıdır: negatif geri bildirim.

Bir bağlantının birden fazla girişi olması durumunda (örneğin, bir kontrol nesnesi), bu bağlantının her bir girişe karşılık gelen çeşitli transfer fonksiyonları dikkate alınır; örneğin bağlantı denklemi şu şekildedir:

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3,46)

burada K x (p) ve K z (p), sırasıyla x ve z girişleri üzerindeki etkilerin operatörleridir, bu durumda bu bağlantının x ve z girişleri üzerinde transfer fonksiyonları vardır:

W x (p) = K x (p)/D(p); Wz(p) = Kz(p)/D(p). (3.47)

Gelecekte transfer fonksiyonlarının ve bunlara karşılık gelen operatörlerin ifadelerindeki girdileri azaltmak için "p" argümanını atlayacağız.

(3.46) ve (3.47) ifadelerinin ortak değerlendirmesinden şu sonuç çıkar:

y = W x x+W z z, (3,48)

yani, genel durumda, birkaç girişi olan herhangi bir bağlantının çıkış değeri, giriş değerlerinin çarpımlarının ve karşılık gelen girişler için transfer fonksiyonlarının toplamına eşittir.

ACS'nin bozulmaya dayalı transfer fonksiyonu.

Kontrollü bir değişkenin sapması üzerinde çalışan ACS yapısının olağan şekli aşağıdaki gibidir:

W o z =K z /D nesnesi W o x =K x /D

sen

-X

Şekil 3.15. ATS'yi kapattık.

Düzenleyici etkinin değişen işaretle nesneye uygulandığına dikkat edelim. Bir nesnenin çıkışı ile regülatör aracılığıyla girişi arasındaki bağlantıya ana geri bildirim denir (regülatörün kendisindeki olası ek geri bildirimin aksine). Düzenlemenin felsefi anlamına göre, düzenleyicinin eyleminin amacı sapmanın azaltılması kontrollü değişken ve dolayısıyla ana geri bildirim her zaman olumsuzdur.Şek. 3.15:

W o z - nesnenin rahatsızlık nedeniyle transfer fonksiyonu;

W o x - düzenleyici etkiye göre nesnenin transfer fonksiyonu;

W p y - y sapmasına göre kontrolörün transfer fonksiyonu.

Tesisin ve kontrolörün diferansiyel denklemleri şu şekilde görünür:

y=W o x x +W o z z

x = - W p y y. (3.49)

İkinci denklemdeki x'i birinciye koyarak ve gruplandırmayı gerçekleştirerek ATS denklemini elde ederiz:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)

Dolayısıyla ACS'nin bozulma için transfer fonksiyonu

W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p y) . (3.51)

Benzer şekilde, kontrol eylemi için ACS'nin transfer fonksiyonunu elde edebilirsiniz:

W c u = W Ö x W p sen /(1+W o x W p y) , (3.52)

burada W p u kontrol eylemine göre kontrolörün transfer fonksiyonudur.

3.4 ACS'nin zorlanmış salınımları ve frekans özellikleri.

Gerçek çalışma koşullarında, ACS sıklıkla periyodik bozucu güçlere maruz kalır ve buna kontrollü miktarlardaki periyodik değişiklikler ve düzenleyici etkiler eşlik eder. Bunlar, örneğin dalgalı denizlerde seyrederken geminin titreşimleri, pervanenin dönüş hızındaki dalgalanmalar ve diğer niceliklerdir. Bazı durumlarda sistemin çıktı miktarlarının salınım genlikleri kabul edilemeyecek kadar büyük değerlere ulaşabilir ve bu da rezonans olgusuna karşılık gelir. Rezonansın sonuçları genellikle onu deneyimleyen sistem için felakettir; örneğin bir geminin alabora olması, bir motorun tahrip edilmesi. Kontrol sistemlerinde, elemanların özellikleri aşınma, değiştirme, yeniden yapılandırma veya arıza nedeniyle değiştiğinde bu tür olaylar mümkündür. Daha sonra ya güvenli çalışma koşulları aralıklarını belirlemeye ya da ACS'yi uygun şekilde yapılandırmaya ihtiyaç vardır. Bu konular doğrusal sistemlere uygulandıkları için burada ele alınacaktır.

Bazı sistemlerin aşağıda gösterilen yapıya sahip olmasına izin verin:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

Şekil 3.16. ACS zorunlu salınım modunda.

Sistem, Ax genliği ve w dairesel frekansı ile periyodik bir x etkisine maruz kalırsa, geçiş sürecinin bitiminden sonra, A y genliği ile aynı frekanstaki ve giriş salınımlarına göre j faz açısı kadar kaydırılan salınımlar olacaktır. çıkışta kurulacaktır. Çıkış salınım parametreleri (genlik ve faz kayması) itici kuvvetin frekansına bağlıdır. Görev, girişteki bilinen salınım parametrelerinden çıkış salınımlarının parametrelerini belirlemektir.

Şekil 3.14'te gösterilen ACS transfer fonksiyonuna uygun olarak diferansiyel denklemi şu şekildedir:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

(3.53)'te x ve y için Şekil 2'de gösterilen ifadeleri yerine koyalım. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

Salınım modelinin periyodun dörtte biri kadar değiştiğini düşünürsek, denklem (3.54)'te sinüs fonksiyonlarının yerini kosinüs fonksiyonları alacaktır:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

Denklemi (3.54) i = ile çarpalım ve sonucu (3.55) ile toplayalım:

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Euler formülünü kullanma

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

Denklemi (3.56) forma indirgeyelim

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

p=d/dt operatörünün sağladığı zamana göre türev alma işlemini gerçekleştirelim:

A y deneyim=

A x exp(iwt). (3.58)

exp(iwt) ile indirgemeye ilişkin basit dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:

(3.59) ifadesinin sağ tarafı ACS transfer fonksiyonunun ifadesine benzer ve p=iw değiştirilerek buradan elde edilebilir. Benzer şekilde, buna karmaşık transfer fonksiyonu W(iw) veya genlik-faz karakteristiği (APC) adı verilir. Frekans tepkisi terimi de sıklıkla kullanılır. Bu kesirin karmaşık bir argümanın bir fonksiyonu olduğu ve şu şekilde de temsil edilebileceği açıktır:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3,60)

burada M(w) ve N(w) sırasıyla gerçek ve sanal frekans özellikleridir.

A y / A x oranı AFC modülüdür ve frekansın bir fonksiyonudur:

Bir y / Bir x = R (w)

ve genlik-frekans yanıtı (AFC) olarak adlandırılır. Faz

j =j (w) kayması da frekansın bir fonksiyonudur ve faz frekans tepkisi (PFC) olarak adlandırılır. Frekans aralığı (0…¥) için R(w) ve j(w) hesaplanarak, karmaşık düzlemde M(w) ve iN(w) koordinatlarında bir AFC grafiği oluşturmak mümkündür (Şekil 3.17).

R(ω)

ω cp

ω res

Şekil 3.18. Genlik-frekans özellikleri.

Sistem 1'in frekans tepkisi, zorlanmış salınımların en büyük genliğine karşılık gelen bir rezonans zirvesini gösterir. Rezonans frekansına yakın bir alanda çalışmak felakete neden olabilir ve genellikle belirli bir düzenlenmiş nesnenin çalışma kuralları tarafından tamamen kabul edilemez. Frekans tepkisi tip 2'de rezonans tepe noktası yoktur ve mekanik sistemler için daha çok tercih edilir. Ayrıca frekans arttıkça çıkış salınımlarının genliğinin azaldığı da görülebilir. Fiziksel olarak bu kolayca açıklanabilir: Herhangi bir sistem, kendi içsel eylemsizlik özelliklerinden dolayı, yüksek frekanslardan ziyade düşük frekanslar tarafından salınmaya daha kolay maruz kalır. Belirli bir frekanstan başlayarak çıkış salınımı ihmal edilebilir hale gelir ve bu frekansa kesme frekansı, kesme frekansının altındaki frekans aralığına ise bant genişliği denir. Otomatik kontrol teorisinde kesme frekansı, frekans yanıt değerinin sıfır frekanstan 10 kat daha az olduğu bir frekans olarak alınır. Bir sistemin yüksek frekanslı titreşimleri sönümleme özelliğine alçak geçiren filtrenin özelliği denir.

Diferansiyel denklemi olan ikinci dereceden bir bağlantı örneğini kullanarak frekans tepkisini hesaplama yöntemini ele alalım.

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)

Zorunlu salınım problemlerinde denklemin daha görsel bir formu sıklıkla kullanılır.

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3,63)

burada sönüm olmadığında salınımların doğal frekansı denir, x =T 1 w 0 /2 sönüm katsayısıdır.

Aktarım işlevi şuna benzer:

p = iw'yi değiştirerek genlik-faz karakteristiğini elde ederiz

Karmaşık sayıları bölme kuralını kullanarak frekans yanıtının ifadesini elde ederiz:

Frekans tepkisinin maksimum olduğu rezonans frekansını belirleyelim. Bu, (3.66) ifadesinin paydasının minimumuna karşılık gelir. Paydanın türevini w frekansına göre sıfıra eşitlersek:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3,67)

sıfıra eşit olmayan rezonans frekansının değerini nereden alıyoruz:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Zayıflama katsayısının farklı değerlerine karşılık gelen bireysel durumları ele aldığımız bu ifadeyi analiz edelim.

1. x = 0. Rezonans frekansı doğal frekansa eşit olup, frekans tepkisinin büyüklüğü sonsuza döner. Bu sözde matematiksel rezonans durumudur.

2. . Frekans pozitif bir sayı olarak ifade edildiğinden ve bu durumda (68)'den sıfır veya hayali bir sayı elde edildiğinden, zayıflama katsayısının bu değerlerinde frekans tepkisinin bir rezonans tepe noktasına sahip olmadığı sonucu çıkar (eğri) Şekil 3.18'de 2).

3. . Frekans tepkisi bir rezonans zirvesine sahiptir ve zayıflama katsayısının azalmasıyla rezonans frekansı kendine yaklaşır ve rezonans zirvesi daha yüksek ve daha keskin hale gelir.

ACS'de meydana gelen süreçlerin sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemlerle tanımlandığını varsayacağız. Bu nedenle kendimizi sabit parametrelerle doğrusal ACS'yi dikkate almakla sınırlayacağız, yani. zamana veya sistemin durumuna bağlı olmayan parametreler.

Dinamik bir sistem olsun (şekle bakın)

diferansiyel denklem operatör formunda yazılmıştır

burada D(P) ve M(P), P'deki polinomlardır.

P - farklılaşma operatörü;

x(t) – sistemin çıkış koordinatı;

g(t) – girdi etkisi.

Sıfır başlangıç koşullarını varsayarak (1)'i Laplace'a göre dönüştürelim.

Gösterimi tanıtalım

;
,

bunu dikkate alarak anlıyoruz

Gösterimi kullanıyoruz

, (5)

o zaman denklem (3) şu şekli alacaktır:

. (6)

Denklem (6), sistemin çıkış koordinatının X(S) görüntüsünü giriş eyleminin G(S) görüntüsüne bağlar. İşlev F(S) Sistemin dinamik özelliklerini karakterize eder. (4) ve (5)'ten de anlaşılacağı üzere bu fonksiyon sisteme uygulanan darbeye bağlı olmayıp sadece sistemin parametrelerine bağlıdır. (6) fonksiyonunu dikkate alarak F(S) aşağıdaki gibi yazılabilir

İşlev F(S) sistemin transfer fonksiyonu denir. (7)'den transfer fonksiyonunun, sıfır başlangıç koşulları altında sistemin giriş koordinatının Laplace görüntüsünün giriş eyleminin Laplace görüntüsüne oranı olduğu açıktır.

Sistemin transfer fonksiyonunu bilmek F(S) Sisteme uygulanan g(t) etkisinin G(S) görüntüsünü belirledikten sonra, (6)'dan x(t) sisteminin çıkış koordinatının X(S) görüntüsü bulunabilir, ardından X(S) görüntüsünü orijinal x(t)'ye dönüştürerek, bu sisteme bir giriş etkisi uygulandığında sistemin çıkış koordinatını değiştirme sürecini elde edin.

Transfer fonksiyonunun paydasındaki polinom, karakteristik polinom olarak adlandırılır ve denklem

karakteristik denklem.

N'inci dereceden bir denklemle tanımlanan bir sistem için, karakteristik denklem n'inci dereceden bir cebirsel denklemdir ve aralarında hem gerçek hem de karmaşık eşleniğin bulunabileceği n kökü vardır, S 1 S 2 ... S n.

Transfer fonksiyonunun paydasındaki polinomun köküne bu transfer fonksiyonunun kutupları ve payda sıfırlar denir.

Polinomları şu biçimde temsil edelim:

Bu nedenle transfer fonksiyonu

. (11)

Buradan sıfırların ve kutupların belirtilmesinin transfer fonksiyonunu sabit bir faktöre kadar belirlediği sonucu çıkar. .

Transfer fonksiyonunun tüm kutuplarının gerçek kısımlarının negatif olması durumunda;

, k=1,2…n ise sisteme kararlı denir. İçinde, çıktı miktarının (doğru hareket) geçiş bileşeni zamanla kaybolur.

Sistem frekansı özellikleri

Harmonik bir giriş sinyalinin doğrusal bir sistemle dönüştürülmesi

Kontrol eylemi g(t)'ye göre otomatik sistemin transfer fonksiyonu şöyledir:

(1)

Etkiye izin ver

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

Ve X(t)'deki değişimin istikrarlı bir süreçte belirlenmesi gerekir; Daha önce tartışılan denklem (1)'e özel bir çözüm bulun.

Bir etkinin uygulanması sonucunda sistemde zamanla 0'a yönelen geçici bir sürecin meydana geldiğini unutmayın, çünkü sistemin kararlı olduğu varsayılmaktadır. Bunu dikkate almıyoruz. Böyle bir geçiş, g(t) eylemini tüm zaman ekseninde verildiği gibi değerlendirmemize (kontrol eyleminin sisteme ilk uygulanma anı dikkate alınmaz) ve sinüzoidin spektral karakteristiği için daha önce elde edilen ifadeyi kullanmamıza olanak tanır. .

Sabit durumda x(t)'yi belirlemek için diferansiyel denklemin (1) her iki tarafını Fourier'e göre dönüştürürüz. Bununla şunu kastediyoruz

;

Dikkat

transfer fonksiyonu burada S

Ayrıca

Daha sonra kontrollü miktarın zorlanmış salınımlarının spektral karakteristiği (3)'ten formda belirlenir.

(4)'te fonksiyonel çarpan F(jω) g(t) etkisi doğrusal bir dinamik sistemden geçtiğinde spektral karakteristikteki değişikliği hesaba katar.

Karmaşık bir fonksiyon hayal edelim F(jω) gösterici biçimde

ve ters Fourier dönüşümü formülünü kullanarak x(t)'yi bulun:

delta fonksiyonunun filtreleme özelliklerini kullanarak ve (5)'i hesaba katarak, şunu elde ederiz:

Çünkü
,,

(6)

Kararlı durumda doğrusal bir otomatik sistemin sinüzoidal etkilere karşı x(t) yanıtının da sinüzoid olduğu sonucu çıkar. Giriş ve çıkış sinyallerinin açısal frekansları aynıdır. Sistem çıkışındaki genlik A 1 │ F(jω)│ ve başlangıç aşaması arg'dir F(jω).

Doğrusal bir sistemin girişi formda periyodik bir etki alırsa

daha sonra, doğrusal bir sistem için geçerli olan süperpozisyon ilkesini kullanarak, bu durumda sistemin zorlanmış sürekli hareketinin olduğunu buluruz.

(7)

Ayrıca buradaki ω değerine ayrı değerler verilmelidir; ω=kω 1 olduğunu varsayalım

Giriş sinyalinin frekans spektrumunu bildiğinizde, sistem girişindeki sinyalin frekans spektrumunu kolayca belirleyebilirsiniz. Örneğin, g(t) giriş sinyalinin genlik frekans spektrumu A k biliniyorsa, bu durumda çıkış sinyalinin genlik frekans spektrumu A k │ olur. Ф(jkω) 1 ) │.

Söz konusu ifadelerde, fonksiyon F(jω) otomatik sistemin dinamik özelliklerini karakterize eder ve sisteme uygulanan etkilerin doğasına bağlı değildir. S'yi resmi olarak jω ile değiştirerek transfer fonksiyonundan kolayca elde edilebilir.

İşlev F(jω) sürekli argümandan ω, sisteme uygulanan kontrol eylemi g(t) ile ilişkili olarak AFC sisteminin genlik-faz karakteristiği olarak adlandırılır.

(3)'e dayanarak AFC, sinyalin girişindeki spektral özelliklerinin oranı olarak da tanımlanabilir. AF modülü  F(j ) Harmonik sinyalin genliğindeki değişimi sistemden geçerken karakterize eder ve argümanı sinyalin faz kaymasıdır.

İşlev  F(j ) genlik-frekans yanıtı (AFC) adını ve arg işlevini aldı F(j ) – faz-frekans yanıtı (PFC).

Otomatik sisteme uygulanan g(t) etkisi, frekansı  1 olan karmaşık bir harmonik olsun;

Sistemin böyle bir darbeye kararlı durumdaki tepkisi eşitlikle belirlenir.

Veya Euler formülünü kullanarak

ve ayrıca bu

;

Delta fonksiyonunun filtreleme özelliklerini kullanarak eşitliğin sağ tarafındaki integrali bulacağız.

karmaşık biçimde sistemin 1 frekansına sahip karmaşık bir harmonik biçimindeki etkiye karşı kararlı durum tepkisini belirler.

AFC yalnızca otomatik bir sistemin çıkışındaki kararlı durum salınımlarını analiz etmek için değil aynı zamanda kontrol sürecini bir bütün olarak belirlemek için de kullanılabilir. İkinci durumda, kontrol sistemine uygulanma anını t 0 zamanın sıfır anı olarak düşünmek ve tek taraflı Fourier dönüşümünün formüllerini kullanmak uygundur. Spektral karakteristiği belirledikten sonra
ve aşağıdaki formülü kullanarak kontrollü değişkenin spektral karakteristiğini bulma

g(t) etkisi uygulandıktan sonra kontrol edilen x(t) değişkenindeki değişiklik, ters Fourier dönüşümü formülü kullanılarak bulunur.