Pisagor üçlüleri ve sayıları. Pisagor sayı üçlüleri (Öğrencinin yaratıcı çalışması) Pisagor sayı üçlüleri Öğrencinin yaratıcı çalışması

Beskrovny I.M. 1

1 OAO Angstrem-M

Çalışmanın amacı a2+b2=c2 formundaki Pisagor üçlülerini hesaplamak için yöntemler ve algoritmalar geliştirmektir. Analiz süreci sistem yaklaşımı ilkelerine uygun olarak gerçekleştirildi. Matematiksel modellerin yanı sıra, Pisagor üçlüsünün her bir üyesini, her biri bir dizi birim kareden oluşan bileşik kareler biçiminde gösteren grafik modeller kullanıldı. Pisagor üçlülerinin sonsuz kümesinin, b-c değerleri arasındaki farkla ayırt edilen sonsuz sayıda alt küme içerdiği tespit edilmiştir. Bu farkın önceden belirlenmiş herhangi bir değeri ile Pisagor üçlülerinin oluşumu için bir algoritma önerilmiştir. Herhangi bir 3≤a değeri için Pisagor üçlülerinin mevcut olduğu gösterilmiştir.

Pisagor üçlüleri

sistem Analizi

matematiksel model

grafik modeli

1. Anosov D.N. Matematiğe bir bakış ve ondan bir şeyler. – M.: MTsNMO, 2003. – 24 s.: hasta.

2. Eyerland K., Rosen M. Modern sayılar teorisine klasik giriş. – M.: Mir, 1987.

3. Beskrovny I.M. Organizasyonlarda sistem analizi ve bilgi teknolojileri: Ders kitabı. – M.: RUDN, 2012. – 392 s.

4. Simon Singh. Fermat'ın Son Teoremi.

5. Fermat P. Sayılar teorisi ve Diophantine analizi üzerine çalışmalar. – M.: Nauka, 1992.

6.Yaptro. Ucoz, Şu adresten ulaşılabilir: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Pisagor üçlüleri, Pisagor x2 + y2 = z2 ilişkisini sağlayan üç tam sayıdan oluşan bir kohorttur. Genel olarak konuşursak, bu Diophantine denklemlerinin özel bir durumudur, yani bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısından daha fazla olduğu bir denklem sistemidir. Uzun zamandır, Babil zamanından beri, yani Pisagor'dan çok önce biliniyorlardı. Ve Pisagor'un ünlü teoremini bunlara dayanarak kanıtlamasından sonra isimlerini aldılar. Bununla birlikte, Pisagor üçlüleri konusuna bir dereceye kadar değinilen çok sayıda kaynağın analizinden de anlaşılabileceği gibi, bu üçlülerin mevcut sınıfları ve bunların olası oluşum yolları sorunu henüz tam olarak açıklanmamıştır.

Simon Singh'in kitabında şöyle yazıyor: - "Pisagor'un öğrencileri ve takipçileri ... Pisagor'un üç anahtarını bulmanın sırrını dünyaya anlattılar." Ancak bunu takiben şunları okuyoruz: - “Pisagorcular başka Pisagor üçlülerini, içinden üçüncü bir büyük karenin katlanabileceği başka kareler bulmayı hayal ediyorlardı. ...Sayılar arttıkça, Pisagor üçlüleri giderek azalıyor ve bulunması giderek zorlaşıyor. Pisagorcular bu tür üçlüleri bulmak için bir yöntem icat ettiler ve bunu kullanarak sonsuz sayıda Pisagor üçlüsü olduğunu kanıtladılar.

Yukarıdaki alıntıda kafa karışıklığına neden olan kelimeler vurgulanmıştır. Neden "Pisagorcular bulmayı hayal ettiler..." eğer "bu tür üçüzleri bulmak için bir yöntem icat ettilerse..." ve neden büyük sayılar için "onları bulmak giderek zorlaşıyor..."?

Ünlü matematikçi D.V. Anosov'a gerekli cevap verilmiş görünüyor. - “Doğal (yani pozitif tamsayılar) x, y, z sayılarının üçlüleri vardır; öyle ki

x2 + y2 = z2. (1)

…x2+y2=z2 denkleminin tüm çözümlerini doğal sayılarda bulmak mümkün mü? …Evet. Cevap şudur: Bu tür çözümlerin her biri şu şekilde temsil edilebilir:

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

burada l, m, n doğal sayılardır, m>n şeklindedir veya x ile y'nin yer değiştirdiği benzer bir formdadır. Biraz daha kısaca söyleyebiliriz ki, (2)'den x, y, z, mümkün olan tüm doğal l ve m > n ile, x ve y'nin permütasyonuna kadar (1)'in tüm olası çözümleridir. Örneğin l=1, m=2, n=1 ile üçlü (3, 4, 5) elde edilir. ... Görünüşe göre Babilliler bu cevabı biliyorlardı ama bu cevaba nasıl ulaştıkları bilinmiyor.”

Matematikçilerin genellikle formülasyonlarının kesinliği konusunda çok katı oldukları bilinir. Ancak bu alıntıda böyle bir ciddiyet yok. Peki tam olarak ne: bul ya da hayal et? Açıkçası bunlar tamamen farklı şeyler. Aşağıda "taze pişmiş" üçlülerden oluşan bir satır bulunmaktadır (aşağıda açıklanan yöntemle elde edilmiştir):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Hiç şüphe yok ki bu üçlülerin her biri (2) ilişkisi şeklinde temsil edilebilir ve daha sonra l, m, n değerleri hesaplanabilir. Ancak bu, üçlülerin tüm değerleri bulunduktan sonradır. O zamandan önce ne yapmalı?

Bu soruların cevaplarının uzun zamandır bilindiği göz ardı edilemez. Ancak bazı nedenlerden dolayı henüz bulunamadılar. Dolayısıyla, bu çalışmanın amacı, Pisagor üçlülerinin bilinen bir dizi örneğinin sistematik bir analizi, çeşitli üçlü gruplarında sistem oluşturan ilişkilerin araştırılması ve bu gruplara özgü sistem özelliklerinin tanımlanması ve ardından bu üçlülerin geliştirilmesidir. önceden belirlenmiş bir konfigürasyona sahip üçlüleri hesaplamak için basit etkili algoritmalar. Konfigürasyondan üçlünün içerdiği miktarlar arasındaki ilişkileri anlıyoruz.

Kullanılan araçlar, lisede öğretilen matematiğin kapsamı dışına çıkmayacak düzeyde matematik aparatları ve belirtilen yöntemlere dayalı sistem analizi olacaktır.

Model oluşturma

Sistem analizi açısından herhangi bir Pisagor üçlüsü, üç sayıdan oluşan nesnelerden ve bunların özelliklerinden oluşan bir sistemdir. Nesnelerin belirli ilişkilere yerleştirildiği ve ne bireysel nesnelerde ne de başka herhangi bir kümede mevcut olmayan yeni özelliklere sahip bir sistem oluşturduğu ve nesnelerin başka ilişkilere yerleştirildiği bütünlük.

Denklem (1)'de, sistemin nesneleri basit cebirsel ilişkilerle birbirine bağlanan doğal sayılardır: eşitlik işaretinin solunda 2'nin kuvvetine yükseltilmiş iki sayının toplamı, sağında yine yükseltilmiş üçüncü sayı bulunur 2'nin kuvveti. Eşitliğin solundaki bireysel sayılar, 2'nin kuvvetine yükseltildiğinde, toplamlarının işleyişine herhangi bir kısıtlama getirmezler - ortaya çıkan toplam herhangi bir şey olabilir. Ancak toplama işleminden sonra yerleştirilen eşittir işareti, bu toplamın değerine sistemik bir kısıtlama getirir: Toplam, karekök çıkarma işleminin sonucunun doğal bir sayı olmasını sağlayacak bir sayı olmalıdır. Ancak eşitliğin sol tarafında yer alan herhangi bir sayı için bu koşul sağlanmamaktadır. Böylece denklemin iki terimi ile üçüncüsü arasına yerleştirilen eşittir işareti, üç terimi bir sisteme dönüştürür. Bu sistemin yeni bir özelliği, orijinal sayıların değerlerine kısıtlama getirilmesidir.

Gösterim biçimine dayanarak Pisagor üçlüsü, Şekil 2'de gösterildiği gibi toplam ve eşitlik ilişkileriyle birbirine bağlanan üç kareden oluşan geometrik bir sistemin matematiksel modeli olarak düşünülebilir. 1. Şek. Şekil 1, söz konusu sistemin grafiksel bir modelidir ve sözel modeli şu ifadedir:

Kenar uzunluğu c olan bir karenin alanı, kalansız olarak kenar uzunlukları a ve b olan iki kareye bölünebilir, öyle ki bunların alanlarının toplamı orijinal karenin alanına eşit olur, yani tamamı a, b ve c olmak üzere üç büyüklük şu ilişkiyle ilişkilidir:

Kare ayrıştırmanın grafik modeli

Sistem analizi kuralları çerçevesinde, eğer bir matematiksel model belirli bir geometrik sistemin özelliklerini yeterince yansıtıyorsa, bu sistemin özelliklerinin analizinin, matematiksel modelinin özelliklerini açıklığa kavuşturmamıza izin verdiği bilinmektedir. onları daha derinlemesine anlayın, açıklığa kavuşturun ve gerekirse geliştirin. İzleyeceğimiz yol bu.

Sistem analizi ilkelerine göre toplama ve çıkarma işlemlerinin yalnızca bileşik nesneler üzerinde, yani bir dizi temel nesneden oluşan nesneler üzerinde yapılabileceğini açıklayalım. Bu nedenle herhangi bir kareyi, temel veya birim karelerin birleşiminden oluşan bir şekil olarak algılayacağız. O halde doğal sayılarda çözüm elde etmenin koşulu, birim karenin bölünemez olması koşulunu kabul etmekle eşdeğerdir.

Birim kare, her bir kenarının uzunluğu bire eşit olan bir karedir. Yani bir birim karenin alanı aşağıdaki ifadeyle belirlendiğinde.

Bir karenin niceliksel parametresi, belirli bir alana yerleştirilebilecek birim karelerin sayısına göre belirlenen alanıdır. Rastgele bir x değerine sahip bir kare için, x2 ifadesi, uzunluk x birim segmentlerin bölümleri tarafından oluşturulan karenin alanını belirler. Bu karenin alanına x2 birim kare sığabilir.

Yukarıdaki tanımlar önemsiz ve açık olarak algılanabilir, ancak öyle değildir. D.N. Anosov, alan kavramını farklı tanımlıyor: - “... bir şeklin alanı, parçalarının alanlarının toplamına eşittir. Bunun böyle olduğundan neden eminiz? ...Homojen bir malzemeden yapılmış bir şekil hayal ediyoruz, o zaman bu şeklin alanı, içerdiği madde miktarıyla, yani kütlesiyle orantılı oluyor. Ayrıca bir cismi birkaç parçaya böldüğümüzde bunların kütlelerinin toplamının orijinal cismin kütlesine eşit olduğu da ima ediliyor. Bu anlaşılabilir bir durum, çünkü her şey atom ve moleküllerden oluşuyor ve sayıları değişmediği için toplam kütleleri de değişmedi... Sonuçta homojen bir malzeme parçasının kütlesi, hacmiyle orantılıdır; Bu, belirli bir şeklin şekline sahip bir "tabakanın" hacminin alanıyla orantılı olduğunu bilmeniz gerektiği anlamına gelir. Kısacası, bir şeklin alanının, parçalarının alanlarının toplamına eşit olduğunun geometride kanıtlanması gerekir. ... Kiselev'in ders kitabında, şu anda tartıştığımız özelliğe sahip bir alanın varlığı, bir tür varsayım olarak dürüstçe öne sürülüyor ve bunun aslında doğru olduğu söyleniyor, ancak bunu kanıtlamayacağız. Dolayısıyla Pisagor teoremi, alanlarla kanıtlanırsa, tamamen mantıksal anlamda, tamamen kanıtlanmış olarak kalmayacaktır."

Bize öyle geliyor ki yukarıda verilen birim kare tanımları belirtilen D.N.'yi kaldırmaktadır. Anosov'un belirsizliği. Sonuçta, bir karenin ve bir dikdörtgenin alanı, onları dolduran birim karelerin toplamı ile belirlenirse, o zaman dikdörtgen birbirine bitişik rastgele parçalara bölündüğünde, dikdörtgenin alanı doğal olarak eşittir tüm parçalarının toplamına.

Ayrıca getirilen tanımlar, soyut geometrik şekillerle ilgili olarak “böl” ve “topla” kavramlarının kullanılmasındaki belirsizliği ortadan kaldırmaktadır. Aslında bir dikdörtgeni veya herhangi bir düz şekli parçalara bölmek ne anlama gelir? Bir kağıt parçası ise makasla kesilebilir. Eğer bu bir arsaysa, çit çekin. Oda - bir bölüm koyun. Peki ya çizilmiş bir kareyse? Bir bölen çizgi çizip karenin bölündüğünü ilan edebilir misiniz? Ama sonuçta D.I. Mendeleev: “...Her şeyi açıklayabilirsiniz ama gidip gösteri yapın!”

Ve önerilen tanımları kullanırken, "Bir şekli bölmek", bu şekli dolduran birim karelerin sayısını iki (veya daha fazla) parçaya bölmek anlamına gelir. Bu parçaların her birindeki birim karelerin sayısı o parçanın alanını belirler. Bu parçalara herhangi bir konfigürasyon verilebilir, ancak alanlarının toplamı her zaman orijinal şeklin alanına eşit olacaktır. Belki matematikçiler bu iddiaların yanlış olduğunu düşünecek, biz de bunları varsayım olarak kabul edeceğiz. Eğer Kiselyov'un ders kitabında bu tür varsayımlar kabul edilebilirse, benzer bir tekniği kullanmamak bizim için utanç verici olur.

Sistem analizinin ilk aşaması problem durumunun tanımlanmasıdır. Bu aşamanın başında çeşitli kaynaklarda bulunan yüzlerce Pisagor üçlüsü gözden geçirildi. Aynı zamanda, yayınlarda bahsedilen Pisagor üçlülerinin tamamının konfigürasyon açısından farklılık gösteren birkaç gruba ayrılabileceğine dikkat çekildi. Belirli bir konfigürasyonun işareti olarak, orijinal ve çıkarılmış karelerin kenar uzunlukları arasındaki farkı, yani c-b değerini dikkate alacağız. Örneğin, yayınlar sıklıkla c-b=1 koşulunu karşılayan üçlüleri örnek olarak göstermektedir. Bu Pisagor üçlülerinin tamamının “C-1 Sınıfı” diyeceğimiz bir küme oluşturduğunu varsayalım ve bu sınıfın özelliklerini analiz edelim.

Şekilde gösterilen üç kareyi düşünün; burada c azaltılan karenin kenar uzunluğu, b çıkarılan karenin kenar uzunluğu ve a bunların farklarından oluşturulan karenin kenar uzunluğudur. İncirde. Şekil 1'de, çıkarılan karenin alanını azaltılmış karenin alanından çıkarırken, geri kalanın iki birim kare şeridi kaldığı görülebilir:

Bu kalandan kare oluşturulabilmesi için şu şartın sağlanması gerekir:

Bu ilişkiler, verilen tek bir c sayısını kullanarak üçlünün tüm üyelerinin değerlerini belirlemeyi mümkün kılar. (6) bağıntısını sağlayan en küçük c sayısı c = 5 sayısıdır. Böylece (1) bağıntısını sağlayan karelerin üç kenarının uzunlukları belirlenmiş oldu. Ortalama karenin kenarının b değerinin olduğunu hatırlayın

Orijinal karenin kenarını birer azaltarak ortadaki kareyi oluşturmaya karar verdiğimizde seçildi. Daha sonra (5), (6) bağıntılarından. (7) aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz:

bundan seçilen c = 5 değerinin benzersiz bir şekilde b = 4, a = 3 değerlerini belirlediği sonucu çıkar.

Sonuç olarak, "c - 1" sınıfının herhangi bir Pisagor üçlüsünü, üç terimin hepsinin değerlerinin belirtilen bir parametre - c'nin değeri tarafından belirlendiği bir biçimde temsil etmemize izin veren ilişkiler elde edildi:

Yukarıdaki örnekte 5 sayısının, denklem (6)'nın doğal sayılarda çözümü olan c'nin tüm olası değerlerinin minimumu olarak göründüğünü de ekleyelim. Aynı özelliğe sahip bir sonraki sayı 13, sonra 25, sonra 41, 61, 85 vb. Gördüğünüz gibi bu sayı dizisinde komşu sayılar arasındaki aralıklar hızla artıyor. Yani örneğin geçerli değerden sonra bir sonraki geçerli değer olur ve sonra bir sonraki geçerli değer olur, yani geçerli değer bir öncekinden elli milyondan fazla uzaktadır!

Artık bu sözün kitapta nereden geldiği açık: - “Sayılar arttıkça Pisagor üçlüleri giderek azalıyor ve onları bulmak da giderek zorlaşıyor…”. Ancak bu ifade doğru değildir. Yukarıdaki komşu c değerleri çiftlerine karşılık gelen Pisagor üçlülerine bakmak yeterlidir ve bir özellik hemen göze çarpar - c değerlerinin bu kadar büyük aralıklarla ayrıldığı her iki çiftte de, bir değerin komşu tek sayılar olduğu ortaya çıkar. Aslında elimizdeki ilk çift için

ve ikinci çift için

Yani "giderek nadir hale gelen" üçüzlerin kendisi değil, c'nin bitişik değerleri arasındaki aralıklar artıyor. Aşağıda gösterileceği gibi Pisagor üçlüleri herhangi bir doğal sayı için mevcuttur.

Şimdi bir sonraki sınıfın üçlülerine bakalım - “Sınıf C-2”. Olarak Şekil l'de görülebilir. Şekil 1'de, kenarı c olan bir kareden kenarı (c - 2) olan bir kare çıkarıldığında, iki birim şeridin toplamı şeklinde bir kalan oluşur. Bu miktarın değeri aşağıdaki denklemle belirlenir:

Denklem (10)'dan, “c-2” sınıfının sonsuz üçlü kümesinden herhangi birini tanımlayan ilişkileri elde ederiz:

Doğal sayılarda denklem (11)'in çözümünün varlığı koşulu, a'nın bir doğal sayı olduğu herhangi bir c değeridir. Bir çözümün mevcut olduğu c'nin minimum değeri c = 5'tir. O halde bu üçlü sınıfı için "başlangıç" üçlüsü a = 4, b = 3, c = 5 kümesi tarafından belirlenir. Yani yine klasik üçlü 3, 4, 5 oluşur, ancak şimdi çıkarılan karenin alanı geri kalanın alanından küçüktür.

Ve son olarak “s-8” sınıfının üçlülerini analiz edeceğiz. Bu üçlü sınıf için karenin alanını orijinal karenin c2 alanından çıkardığımızda şunu elde ederiz:

Daha sonra denklem (12)'den şu sonuç çıkar:

c'nin bir çözümün bulunduğu minimum değeri c = 13'tür. Bu değerdeki Pisagor üçlüsü 12, 5, 13 formunu alır. Bu durumda yine çıkarılan karenin alanı, ​geri kalanı. Ve notasyonları yeniden düzenleyerek konfigürasyonu "c - 1" sınıfına ait olan üçlü 5, 12, 13'ü elde ederiz. Görünüşe göre diğer olası konfigürasyonların daha fazla analizi temelde yeni bir şeyi ortaya çıkarmayacak.

Hesaplanan oranların çıktısı

Bir önceki bölümde analiz mantığı, sistem analizinin beş ana aşamasından dördünde gerekliliklere uygun olarak geliştirildi: problem durumunun analizi, hedeflerin oluşturulması, fonksiyonların oluşturulması ve yapının oluşturulması. Şimdi son, beşinci aşamaya geçmenin zamanı geldi; fizibilitenin kontrol edilmesi, yani hedeflere ne ölçüde ulaşıldığının kontrol edilmesi. .

Tablo aşağıda gösterilmiştir. “c - 1” sınıfına ait Pisagor üçlülerinin değerlerini gösteren 1. Üçlülerin çoğu çeşitli yayınlarda bulunur, ancak bilinen yayınlarda 999, 1001'e eşit değerlere sahip üçlüler bulunamamıştır.

tablo 1

“c-1” sınıfının Pisagor üçlüleri

Tüm üçlülerin (3) ilişkisini sağladığı doğrulanabilir. Böylece belirlenen hedeflerden birine ulaşıldı. Önceki bölümde elde edilen ilişkiler (9), (11), (13), tek bir c parametresini (karenin kenarının küçültülmesi) belirterek sonsuz bir üçlü küme oluşturmayı mümkün kılar. Bu, elbette, herhangi bir değere sahip l, m, n sayılarını keyfi olarak belirtmeniz ve ardından yalnızca sonunda bir Pisagor üçlüsü olduğunu bilerek bir çözüm aramanız gereken ilişki (2)'den daha yapıcı bir seçenektir. mutlaka elde edilecek ve hangisinin önceden bilinmediği. Bizim durumumuzda, oluşturulan üçlünün konfigürasyonu önceden bilinmektedir ve yalnızca bir parametrenin belirtilmesi gerekmektedir. Ancak ne yazık ki bu parametrenin her değerinin bir çözümü yok. Ve izin verilen değerlerini önceden bilmeniz gerekir. Yani elde edilen sonuç iyi ama ideal olmaktan uzak. Pisagor üçlülerinin keyfi olarak verilen herhangi bir doğal sayı için hesaplanabileceği bir çözüm elde edilmesi arzu edilir. Bu amaçla, elde edilen matematiksel ilişkilerin yapısının oluşturulması olan dördüncü aşamaya döneceğiz.

Üçlüde kalan elemanların belirlenmesinde temel parametre olarak c'nin seçilmesi sakıncalı olduğundan başka bir seçenek denenmelidir. Tablodan da anlaşılacağı üzere. Şekil 1'de, bu parametrenin değerleri tek doğal sayılar dizisinde ardışık olduğundan, temel parametre olarak a parametresinin seçimi tercih edilebilir görünmektedir. Basit dönüşümlerden sonra ilişkileri (9) daha yapıcı bir forma getiriyoruz:

Bağıntılar (14), a'nın herhangi bir tek değeri için Pisagor üçlüsünü bulmamızı sağlar. Üstelik b ifadesinin basitliği, hesap makinesi olmadan bile hesaplama yapılmasına olanak sağlar. Aslında, örneğin 13 sayısını seçerek şunu elde ederiz:

Ve 99 sayısı için sırasıyla şunu elde ederiz:

İlişkiler (15), n=1'den başlayarak herhangi bir n için Pisagor dizisinin üç teriminin de değerlerini elde etmemizi sağlar.

Şimdi “c - 2” sınıfının Pisagor üçlülerini düşünün. Masada Şekil 2'de örnek olarak bu türden on adet üçlü gösterilmektedir. Üstelik bilinen yayınlarda yalnızca üç çift üçlü bulundu - 8, 15, 23; 12, 35, 36; ve 16, 63, 65. Bu, bunların oluşturulduğu kalıpları belirlemek için yeterliydi. Geriye kalan yedisi daha önce türetilmiş ilişkilerden bulunmuştur (11). Hesaplamanın kolaylığı açısından bu oranlar, tüm parametreler a değeriyle ifade edilecek şekilde dönüştürüldü. (11)'den açıkça "c - 2" sınıfına ait tüm üçlülerin aşağıdaki ilişkileri sağladığı sonucu çıkar:

Tablo 2

“c-2” sınıfının Pisagor üçlüleri

Tablodan da anlaşılacağı üzere. Şekil 2'ye göre, “c - 2” sınıfının sonsuz üçlü kümesinin tamamı iki alt sınıfa ayrılabilir. A değeri 4'e kalansız bölünebilen üçüzler için b ve c değerleri tektir. GCD = 1 olan bu üçlülere ilkel denir. Tamsayılarda a değerleri 4'e bölünemeyen üçlüler için a, b, c üçlüsünün üç üyesi de çifttir.

Şimdi tanımlanan sınıfların üçüncüsü olan “c - 8” sınıfının analiz sonuçlarını değerlendirmeye geçelim. Bu sınıf için (13)'ten elde edilen hesaplanan ilişkiler şu şekildedir:

(20), (21) bağıntıları esas itibarıyla aynıdır. Tek fark eylem sırasının seçimindedir. Veya (20)'ye göre a'nın istenilen değeri seçilir (bu durumda bu değerin 4'e bölünmesi gerekir), ardından b ve c'nin değerleri belirlenir. Veya rastgele bir sayı seçilir ve ardından ilişkilerden (21) Pisagor üçlüsünün üç üyesi de belirlenir. Masada Şekil 3, bu şekilde hesaplanan bir dizi Pisagor üçlüsünü göstermektedir. Ancak Pisagor üçlülerinin değerlerini hesaplamak daha da basit olabilir. En az bir değer biliniyorsa, sonraki tüm değerler aşağıdaki ilişkilerle çok basit bir şekilde belirlenir:

Tablo 3

İlişkinin (22) herkes için geçerliliği tablodaki üçlüler kullanılarak doğrulanabilir. 2 ve diğer kaynaklara göre. Örnek olarak tabloda. İtalik harflerle yazılan Şekil 4, ilişki (2) kullanılarak bir bilgisayar programı esas alınarak hesaplanan Pisagor üçlülerinden (10.000 üçlü) oluşan kapsamlı bir tablodan alınan üçlülerdir ve kalın harflerle yazılanlar, ilişki (20) kullanılarak hesaplanan üçlülerdir. Bu değerler belirtilen tabloda yoktu.

Tablo 4

"c-8" sınıfının Pisagor üçlüleri

Buna göre formun üçlüleri için aşağıdaki ilişkiler kullanılabilir:

Ve bu türden üçüzler için<>, şöyle bir ilişkimiz var:

Yukarıda tartışılan “c - 1”, “c - 2”, “c - 8” üçlü sınıflarının, verilen tablodaki ilk bin üçlünün %90'ından fazlasını oluşturduğunu vurgulamak gerekir. Bu, bu sınıfların temel olarak algılanması için sebep verir. (22), (23), (24) bağıntılarını türetirken sayılar teorisinde incelenen sayıların herhangi bir özel özelliğini (asal, eş asal vb.) kullanmadığımızı da ekleyelim. Pisagor üçlülerinin ortaya çıkan oluşum modelleri, yalnızca bu üçlüler tarafından tanımlanan geometrik şekillerin - bir dizi birim kareden oluşan kareler - sistemik özellikleriyle belirlenir.

Çözüm

Andrew Wiles'ın 1993'te söylediği gibi: "Sanırım burada durmalıyım." Belirlenen hedefe tamamen ulaşıldı. Yapısı geometrik şekillerle ilişkilendirilen matematiksel modellerin özelliklerinin analizinin, analiz sürecinde tamamen matematiksel hesaplamaların yanı sıra incelenen modellerin geometrik özelliklerinin de dikkate alınması durumunda önemli ölçüde basitleştirildiği gösterilmiştir. dikkate alınmıştır. Özellikle araştırmacının istenen sonuçları matematiksel dönüşümler yapmadan "görmesi" nedeniyle basitleştirme elde edilir.

Örneğin eşitlik

sol tarafta dönüşümler olmadan açıkça görülüyor, sadece Şekil 2'ye bakın. Şekil 1'de bu eşitliğin grafik modeli gösterilmektedir.

Sonuç olarak, analize dayalı olarak, bir kenarı olan herhangi bir kare için, kenarları b ve c olan karelerin eşitliği sağlayacak şekilde bulunabileceği ve minimum hesaplamalarla sonuç elde edilmesini sağlayan ilişkilerin elde edildiği gösterilmiştir:

a'nın tek değerleri için,

ve - çift değerler için.

Bibliyografik bağlantı

Daha sonra etkili Pisagor üçlüleri oluşturmak için bilinen yöntemleri ele alacağız. Pisagor'un öğrencileri, parçaları Pisagor üçlüsünü temsil eden bir formül kullanarak Pisagor üçlüleri oluşturmanın basit bir yolunu icat eden ilk kişilerdi:

M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ((M 2 + 1)/2) 2 ,

Nerede M- eşleştirilmemiş, M>2. Gerçekten mi,

4M 2 + M 4 − 2M 2 + 1
M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((M 2 + 1)/2) 2 .
4

Benzer bir formül antik Yunan filozofu Platon tarafından da önerildi:

(2M) 2 + (M 2 − 1) 2 = (M 2 + 1) 2 ,

Nerede M- herhangi bir numara. İçin M= 2,3,4,5 aşağıdaki üçlüler oluşturulur:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Gördüğümüz gibi bu formüller mümkün olan tüm ilkel üçlüleri veremez.

Polinomların toplamına genişletilebilen aşağıdaki polinomu düşünün:

(2M 2 + 2M + 1) 2 = 4M 4 + 8M 3 + 8M 2 + 4M + 1 =
=4M 4 + 8M 3 + 4M 2 + 4M 2 + 4M + 1 = (2M(M+1)) 2 + (2M +1) 2 .

Dolayısıyla ilkel üçlüleri elde etmek için aşağıdaki formüller:

A = 2M +1 , B = 2M(M+1) = 2M 2 + 2M , C = 2M 2 + 2M + 1.

Bu formüller, ortalama sayının en büyük sayıdan tam olarak bir farklı olduğu üçlüler oluşturur; yani tüm olası üçlüler de oluşturulmaz. Burada ilk üçler eşittir: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Tüm ilkel üçlülerin nasıl oluşturulacağını belirlemek için bunların özelliklerinin incelenmesi gerekir. Öncelikle eğer ( ABC) ilkel bir üçlüdür, o zaman A Ve B, B Ve C, A Ve C- nispeten basit olmalı. İzin vermek A Ve B bölünmüştür D. Daha sonra A 2 + B 2 - ayrıca bölünebilir D. Sırasıyla, C 2 ve Cşuna bölünmelidir: D. Yani bu ilkel bir üçlü değil.

İkincisi, rakamlar arasında A, B birinin eşleştirilmesi, diğerinin eşleşmemesi gerekir. Gerçekten eğer A Ve B- eşleştirildi, ardından İle eşleşecek ve sayılar en az 2'ye bölünebilecek. Her ikisi de eşlenmemişse 2 olarak temsil edilebilirler. k+1 ve 2 ben+1, nerede k,ben- bazı sayılar. Daha sonra A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+1+4ben 2 +4ben+1 yani İle 2, gibi A 2 + B 2'nin 4'e bölümünden kalan 2 olur.

İzin vermek İle- herhangi bir sayı, yani İle = 4k+Ben (Ben=0,…,3). Daha sonra İle 2 = (4k+Ben) 2'nin kalanı 0 veya 1'dir ve kalan 2 olamaz. Dolayısıyla, A Ve B eşleşmesi kaldırılamaz, yani A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+4ben 2 +4ben+1 ve bölümün geri kalanı İle 2'ye 4 1 olmalıdır, bu da şu anlama gelir: İle eşleştirilmemiş olmalıdır.

Pisagor üçlüsünün unsurları için bu tür gereksinimler aşağıdaki sayılarla karşılanır:

A = 2milyon, B = M 2 − N 2 , C = M 2 + N 2 , M > N, (2)

Nerede M Ve N- farklı eşleşmelerle nispeten asal. Bu bağımlılıklar ilk olarak 2300 yılında yaşayan Öklid'in çalışmalarından tanındı. geri.

Bağımlılıkların geçerliliğini kanıtlayalım (2). İzin vermek A- eşleştirildi, ardından B Ve C- eşleştirilmemiş. Daha sonra C + B Ben C − B- eşleştirilmiş. Şu şekilde temsil edilebilirler: C + B = 2sen Ve C − B = 2v, Nerede sen,v- bazı tamsayılar. Bu yüzden

A 2 = İle 2 − B 2 = (C + B)(C − B) = 2sen·2 v = 4UV

Ve bu nedenle ( A/2) 2 = UV.

Çelişkiyle kanıtlanabilir ki sen Ve v- karşılıklı olarak basit. İzin vermek sen Ve v- bölünmüştür D. Daha sonra ( C + B) Ve ( C − B) bölünmüştür D. Ve bu nedenle C Ve Bşuna bölünmelidir: D ve bu Pisagor üçlüsünün koşuluyla çelişiyor.

Çünkü UV = (A/2) 2 ve sen Ve v göreceli olarak asalsa, bunu kanıtlamak kolaydır sen Ve v bazı sayıların kareleri olmalıdır.

Yani pozitif tamsayılar var M Ve N, öyle ki sen = M 2 ve v = N 2. Daha sonra

A 2 = 4UV = 4M 2 N 2 yani
A = 2milyon; B = sen − v = M 2 − N 2 ; C = sen + v = M 2 + N 2 .

Çünkü B> 0 ise M > N.

Bunu göstermek için kalır M Ve N farklı eşleşmeler var. Eğer M Ve N- eşleştirildi, ardından sen Ve v eşleştirilmesi gerekir, ancak bu imkansızdır çünkü bunlar göreceli olarak asaldır. Eğer M Ve N- eşleştirilmemişse B = M 2 − N 2 ve C = M 2 + N 2 eşleşecektir ki bu imkansızdır çünkü C Ve B- karşılıklı olarak basit.

Dolayısıyla herhangi bir ilkel Pisagor üçlüsü koşulları (2) karşılamalıdır. Aynı zamanda rakamlar M Ve N arandı sayı üretmek ilkel üçüzler. Örneğin, ilkel bir Pisagor üçlüsüne (120,119,169) sahip olalım. Bu durumda

A= 120 = 2·12·5, B= 119 = 144 − 25 ve C = 144+25=169,

Nerede M = 12, N= 5 — sayı üretme, 12 > 5; 12 ve 5 aralarında asaldır ve farklı çiftlerdendir.

Sayıların tam tersini kanıtlayabilirsiniz. M, N(2) formülünü kullanarak ilkel bir Pisagor üçlüsü (a,b,c) verirler. Gerçekten mi,

A 2 + B 2 = (2milyon) 2 + (M 2 − N 2) 2 = 4M 2 N 2 + (M 4 − 2M 2 N 2 + N 4) =
= (M 4 + 2M 2 N 2 + N 4) = (M 2 + N 2) 2 = C 2 ,

Yani ( A,B,C) bir Pisagor üçlüsüdür. Bu durumda şunu kanıtlayalım A,B,Cçelişki nedeniyle karşılıklı asal sayılardır. Bu sayılar bölünebilir olsun P> 1. O zamandan beri M Ve N farklı eşleşmeler var, o zaman B Ve C- eşleştirilmemiş, yani P≠ 2. O zamandan beri R böler B Ve C, O R 2'ye bölmek lazım M 2 ve 2 N 2 ama bu imkansız çünkü P≠ 2. Bu nedenle M, N- karşılıklı asal ve A,B,C- aynı zamanda nispeten basittir.

Tablo 1, formül (2) kullanılarak oluşturulan tüm ilkel Pisagor üçlülerini göstermektedir. M≤10.

Tablo 1. İlkel Pisagor üçlüleri M≤10

Bu tablonun analizi aşağıdaki model serilerinin varlığını göstermektedir:

• veya A, veya B 3'e bölünebilir;
• rakamlardan biri A,B,C 5'e bölünebilir;
• sayı A 4'e bölünebilir;
• iş A· B 12'ye bölünebilir.

1971'de Amerikalı matematikçiler Teigan ve Hedwin, bir dik üçgenin üçüz oluşturacak yüksekliği gibi az bilinen parametrelerini önerdiler. H = C− b ve fazlalık (başarı) e = A + B − C. Şekil 1'de. bu miktarlar belirli bir dik üçgen üzerinde gösterilir.

Şekil 1. Sağ üçgen ve büyümesi ve fazlalığı

"Fazlalık" adı, üçgenin bacakları boyunca bir köşeden diğerine, eğer köşegeni boyunca gitmiyorsa geçilmesi gereken ek mesafe olmasından kaynaklanmaktadır.

Pisagor üçgeninin kenarlarının fazlalığı ve büyümesi sayesinde şu şekilde ifade edilebilir:

e 2 e 2
A = H + e, B = e + ——, C = H + e + ——, (3)
2H 2H

Tüm kombinasyonlar değil H Ve e Pisagor üçgenlerine karşılık gelebilir. Belirli bir şey için H olası değerler e belirli bir sayıdaki ürünlerdir D. Bu numara D büyüme adını taşır ve şu anlama gelir: H Aşağıdaki şekilde: D karesi 2'ye bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır H. Çünkü eçoklu D, o zaman şu şekilde yazılır e = kd, Nerede k pozitif bir tamsayıdır.

Çiftleri kullanma ( k,H) ilkel olmayan ve genelleştirilmiş olanlar da dahil olmak üzere tüm Pisagor üçgenlerini aşağıdaki gibi oluşturabilirsiniz:

(dk) 2 (dk) 2
A = H + dk, B = dk + ——, C = H + dk + ——, (4)
2H 2H

Dahası, eğer üçlü ilkeldir k Ve H nispeten asaldır ve eğer H =± Q 2'de Q- eşleştirilmemiş.
Üstelik bu tam olarak bir Pisagor üçlüsü olacaktır, eğer k> √2· H/D Ve H > 0.

Bulmak k Ve H itibaren ( A,B,C), aşağıdaki eylemleri gerçekleştirin:

• H = C − B;
• yaz H Nasıl H = pq 2 nerede P> 0 ve kare olmayan bir şey;
• D = 2pq Eğer P- eşleştirilmemiş ve D = pq, eğer p eşleştirilmişse;
• k = (A − H)/D.

Örneğin, (8,15,17) üçlüsü için elimizde H= 17−15 = 2 1, yani P= 2 ve Q = 1, D= 2 ve k= (8 − 2)/2 = 3. Yani bu üçlü ( k,H) = (3,2).

Üçlü (459,1260,1341) için elimizde H= 1341 − 1260 = 81, yani P = 1, Q= 9 ve D= 18, buradan k= (459 − 81)/18 = 21 olduğuna göre bu üçlünün kodu ( k,H) = (21, 81).

kullanarak üçlü ayarlama H Ve k bir dizi ilginç özelliğe sahiptir. Parametre k eşittir

k = 4S/(dP), (5)

Nerede S = ab/2 üçgenin alanıdır ve P = A + B + C- çevresi. Bu eşitlikten kaynaklanır eP = 4S Pisagor teoreminden çıkan sonuç.

Bir dik üçgen için eüçgenin içine yazılan dairenin çapına eşittir. Bu, hipotenüsün İle = (A − R)+(B − R) = A + B − 2R, Nerede R- dairenin yarıçapı. Buradan H = C − B = A − 2R Ve e = A − H = 2R.

İçin H> 0 ve k > 0, küçüzlerin sıra sayısıdır A-B-C artan Pisagor üçgenleri dizisinde H. Çiftler tarafından oluşturulan üçlüler için çeşitli seçenekler sunan Tablo 2'den H, k arttıkça açıkça görülüyor ki küçgenin kenarlarının boyutları artar. Böylece klasik numaralandırmadan farklı olarak çiftler halinde numaralandırma H, küçlü dizilerde daha büyük bir sıralamaya sahiptir.

Tablo 2. h, k çiftleri tarafından oluşturulan Pisagor üçlüleri.

İçin H > 0, D 2√ eşitsizliğini karşılar H ≤ D ≤ 2H alt sınıra ulaşıldığı yer P= 1 ve en üstteki - Q= 1. Bu nedenle değer D 2√'ye göre H bir sayının ne kadar olduğunun bir ölçüsüdür H belirli bir sayının karesinden uzaktır.

Özellikler

Denklem'den beri. X 2 + sen 2 = z 2 çarpma sonrasında homojen X , sen Ve z aynı sayı için başka bir Pisagor üçlüsü elde edersiniz. Pisagor üçlüsü denir ilkel bu şekilde elde edilemiyorsa yani eş asal sayılar.

Örnekler

Bazı Pisagor üçlüleri (maksimum sayıya göre artan şekilde sıralanmıştır, ilkel olanlar vurgulanmıştır):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Fibonacci sayılarının özelliklerine dayanarak, örneğin aşağıdaki Pisagor üçlülerini oluşturmak mümkündür:

Hikaye

Pisagor üçlüleri çok uzun zamandır bilinmektedir. Antik Mezopotamya mezar taşlarının mimarisinde, kenarları 9, 12 ve 15 arşın olan iki dikdörtgenden oluşan bir ikizkenar üçgen bulunur. Firavun Snofru'nun piramitleri (MÖ XXVII. Yüzyıl), kenarları 20, 21 ve 29 olan üçgenlerin yanı sıra 18, 24 ve 30'luk Mısır arşınları kullanılarak inşa edildi.

Ayrıca bakınız

Bağlantılar

• E. A. Gorin Pisagor üçlülerinde asal sayıların kuvvetleri // Matematik eğitimi. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Pisagor sayıları” nın ne olduğuna bakın:

Kenar uzunlukları bu sayılarla orantılı (veya eşit) olan bir üçgen dikdörtgen olacak şekilde doğal sayıların üçlüleri, örneğin; sayıların üçlüsü: 3, 4, 5... Büyük Ansiklopedik Sözlük

Doğal sayıların üçlüleri, öyle ki kenar uzunlukları bu sayılarla orantılı (veya eşit) olan bir üçgen dikdörtgen olur, örneğin sayıların üçlüsü: 3, 4, 5. * * * PİSAGOR SAYILARI PİSAGOR SAYILARI, gibi doğal sayıların üçlüleri O... ... ansiklopedik sözlük

Doğal sayıların üçlüleri, öyle ki, kenar uzunlukları bu sayılarla orantılı (veya eşit) olan bir üçgen dikdörtgendir. Pisagor teoreminin tersi olan teoreme göre (bkz. Pisagor teoremi), bunun için yeterli olmaları yeterlidir... ...

x2+y 2=z2 denklemini sağlayan x, y, z pozitif tamsayılarının üçlüleri. Bu denklemin tüm çözümleri ve dolayısıyla tüm kısmi sayılar x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2 formülleriyle ifade edilir; burada a ve b keyfi pozitif tamsayılardır (a>b). P.h... Matematik Ansiklopedisi

Örneğin, kenar uzunlukları bu sayılarla orantılı (veya eşit) olan bir üçgenin dikdörtgen olduğu doğal sayıların üçlüleri. sayıların üçlüsü: 3, 4, 5... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

Matematikte, Pisagor sayıları (Pisagor üçlüsü), Pisagor ilişkisini sağlayan üç tam sayıdan oluşan bir demettir: x2 + y2 = z2. İçindekiler 1 Özellikler 2 Örnekler ... Vikipedi

Şekilli sayılar, belirli bir geometrik şekille ilişkilendirilen sayıların genel adıdır. Bu tarihsel anlayışın kökeni Pisagorculara kadar uzanır. Muhtemelen “kareye veya küpe” ifadesi figürlü sayılardan doğmuştur. İçindekiler... ...Wikipedia

Şekilli sayılar, belirli bir geometrik şekille ilişkilendirilen sayıların genel adıdır. Bu tarihsel anlayışın kökeni Pisagorculara kadar uzanır. Aşağıdaki figürlü sayı türleri ayırt edilir: Doğrusal sayılar, çarpanlarına ayrılamayan sayılardır, yani... ... Vikipedi

- “Pi paradoksu”, 80'li yıllara kadar (aslında mikro hesap makinelerinin kütle dağılımından önce) öğrenciler arasında dolaşımda olan ve trigonometrik fonksiyonların hesaplamalarının sınırlı doğruluğu ile ilişkilendirilen matematik konusuyla ilgili bir şakadır ve .. ... Vikipedi

- (Yunanca aritmetika, aritmi sayısından) sayılar bilimi, öncelikle doğal (pozitif tamsayılar) sayılar ve (rasyonel) kesirler ve bunlarla ilgili işlemler. Yeterince gelişmiş doğal sayılar kavramına sahip olma ve... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Kitabın

• Arşimet Yazı veya Genç Matematikçiler Topluluğunun Tarihi. İkili sayı sistemi, Bobrov Sergey Pavlovich. İkili sayı sistemi, Hanoi Kulesi, at hamlesi, sihirli kareler, aritmetik üçgen, rakamlı sayılar, kombinasyonlar, olasılık kavramı, Mobius şeridi ve Klein şişesi…

Diofant denkleminin önemli bir örneği, bir dik üçgenin bacaklarının x ve y uzunluklarını hipotenüsünün z uzunluğuyla ilişkilendiren Pisagor teoremi tarafından verilmektedir:

Elbette doğal sayılarda bu denklemin harika çözümlerinden biriyle, yani Pisagor sayı üçlüsüyle karşılaşmışsınızdır. x = 3, y = 4, z = 5. Bunun gibi başka üçüzler var mı?

Sonsuz sayıda Pisagor üçlüsü olduğu ve hepsinin uzun zaman önce bulunduğu ortaya çıktı. Bu paragraftan öğreneceğiniz iyi bilinen formüller kullanılarak elde edilebilirler.

Birinci ve ikinci dereceden Diophantine denklemleri zaten çözülmüşse, büyük matematikçilerin çabalarına rağmen, daha yüksek dereceli denklemleri çözme sorunu hala açık kalır. Örneğin şu anda Fermat'nın herhangi bir tamsayı değeri için henüz kesin olarak kanıtlanmadığı veya çürütülmediği yönündeki ünlü varsayımı n2 denklem

tamsayılarda çözümü yoktur.

Bazı Diophant denklem türlerini çözmek için, sözde Karışık sayılar. Ne olduğunu? I harfinin koşulu karşılayan belirli bir nesneyi göstermesine izin verin ben 2 = -1(Tek bir gerçek sayının bu koşulu karşılamadığı açıktır). Formun ifadelerini göz önünde bulundurun α + iβ, burada α ve β gerçek sayılardır. Binomların yanı sıra toplama ve çarpma işlemlerini de tanımladığımızdan bu tür ifadelere karmaşık sayılar adını vereceğiz, ancak tek fark, ifadenin ben 2 Her yerde -1 sayısını değiştireceğiz:

7.1. Bir üç çok fazla

Bunu kanıtla x 0, y 0, z 0- Pisagor üçlüsü, sonra üçlüler y 0, x 0, z 0 Ve x 0 k, y 0 k, z 0 k doğal parametre k'nin herhangi bir değeri için de Pisagor'dur.

7.2. Özel formüller

Herhangi bir doğal değer olup olmadığını kontrol edin m>nüçlü tür

Pisagorcudur. Herhangi bir Pisagor üçlüsü x, y, zÜçlüdeki x ve y sayılarının yer değiştirmesine izin verirsek bu formda temsil edilebilir mi?

7.3. İndirgenemez üçüzler

Ortak böleni 1'den büyük olmayan Pisagor sayı üçlüsüne indirgenemez denir. Bir Pisagor üçlüsünün indirgenemez olduğunu ancak bu üçlüdeki sayılardan herhangi ikisinin aralarında asal olması durumunda kanıtlayın.

7.4. İndirgenemez üçlülerin özelliği

Herhangi bir indirgenemez Pisagor üçlüsünde x, y, z'nin z sayısının ve x veya y sayılarından tam olarak birinin tek olduğunu kanıtlayın.

7.5. Tüm indirgenemez üçüzler

X, y, z sayılarından oluşan bir üçlünün indirgenemez bir Pisagor üçlüsü olduğunu, ancak ve ancak ilk iki sayının mertebesine kadar olan üçlüyle çakışması durumunda kanıtlayın 2 dk, m 2 - n 2, m 2 + n 2, Nerede m>n- farklı paritelerin karşılıklı asal doğal sayıları.

7.6. Genel formüller

Denklemin tüm çözümlerinin olduğunu kanıtlayın

doğal sayılarda bilinmeyenler x ve y mertebesine kadar formüllerle verilir

burada m>n ve k doğal parametrelerdir (herhangi bir üçlünün tekrarını ortadan kaldırmak için, eş asal tipteki sayıları ve ayrıca farklı paritelerdeki sayıları seçmek yeterlidir).

7.7. İlk 10 üçlü

Tüm Pisagor üçlülerini bulun x, y, z, koşulu karşılayan X

7.8. Pisagor üçlülerinin özellikleri

Herhangi bir Pisagor üçlüsü için bunu kanıtlayın x, y, z aşağıdaki ifadeler doğrudur:

a) x veya y sayılarından en az biri 3'ün katıdır;

b) x veya y sayılarından en az biri 4'ün katıdır;

c) x, y veya z sayılarından en az biri 5'in katıdır.

7.9. Karmaşık sayıların uygulamaları

Karmaşık bir sayının modülü α + iβ negatif olmayan bir sayı denir

Herhangi bir karmaşık sayı olup olmadığını kontrol edin α + iβ Ve γ + iδ mülk memnun

Karmaşık sayıların özelliklerini ve modüllerini kullanarak herhangi iki m ve n tam sayısının eşitliği sağladığını kanıtlayın

yani denklemin bir çözümünü belirtirler

tamsayılar (Problem 7.5 ile karşılaştırın).

7.10. Pisagor olmayan üçlüler

Karmaşık sayıların özelliklerini ve modüllerini kullanarak (bkz. Problem 7.9), denklemin tamsayı çözümlerinin formüllerini bulun:

a) x2 + y2 = z3; b) x 2 + y 2 = z 4.

Çözümler

7.1. Eğer x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 , O y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, ve k'nin herhangi bir doğal değeri için elimizdeki

Q.E.D.

7.2. Eşitliklerden

problemde belirtilen üçlünün denklemi karşıladığı sonucuna varıyoruz x 2 + y 2 = z 2 doğal sayılarda. Ancak her Pisagor üçlüsü x, y, z bu biçimde temsil edilebilir; örneğin 9, 12, 15 üçlüsü Pisagor'dur, ancak 15 sayısı herhangi iki m ve n doğal sayısının karelerinin toplamı olarak temsil edilemez.

7.3. Bir Pisagor üçlüsünden herhangi iki sayı varsa x, y, z ortak bir d böleni varsa, bu üçüncü sayının böleni olacaktır (yani, x = x 1 d, y = y 1 d sahibiz z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2)d 2 , dolayısıyla z 2, d 2'ye bölünebilir ve z, d)'ye bölünebilir. Bu nedenle, bir Pisagor üçlüsünün indirgenemez olması için, üçlü sayıdan herhangi ikisinin aralarında asal olması gerekir.

7.4. İndirgenemez bir Pisagor üçlüsünün x veya y sayılarından birinin (örneğin x) olduğuna dikkat edin. x, y, z aksi halde x ve y sayıları aralarında asal olmayacağı için tektir (bkz. Problem 7.3). Diğer y sayısı da tek ise, o zaman her iki sayı da

Sayı 4'e bölündüğünde 1 kalanını verir ve bu sayı z 2 = x 2 + y 2 4'e bölündüğünde 2 kalanını verir, yani 2'ye bölünebilir, ancak 4'e bölünemez, bu olamaz. Bu nedenle y sayısının çift olması gerekir ve z sayısının da bu nedenle tek olması gerekir.

7.5. Pisagor'un üçlü olmasına izin verin x, y, z indirgenemez ve kesinlik açısından x sayısı çifttir ve y, z sayıları tektir (bkz. Problem 7.4). Daha sonra

sayılar nerede bütündür. a ve b sayılarının aralarında asal olduğunu kanıtlayalım. Aslında ortak bölenleri 1'den büyük olsaydı sayıların bölenleri aynı olurdu. z = a + b, y = a - b, yani üçlü indirgenemez olmayacaktır (bkz. Problem 7.3). Şimdi a ve b sayılarını asal çarpanların çarpımlarına genişlettiğimizde, herhangi bir asal çarpanın çarpıma dahil edilmesi gerektiğini fark ediyoruz. 4ab = x2 yalnızca çift bir dereceye kadar ve eğer a sayısının açılımına dahil edilmişse, o zaman b sayısının açılımına dahil edilmez ve bunun tersi de geçerlidir. Bu nedenle, herhangi bir asal faktör, a veya b sayısının ayrı ayrı açılımına yalnızca çift dereceye kadar girer; bu, bu sayıların kendilerinin tam sayıların kareleri olduğu anlamına gelir. Hadi koyalım o zaman eşitlikleri elde ederiz

Ayrıca, m>n doğal parametreleri eş asaldır (a ve b sayılarının eş asallığı nedeniyle) ve farklı eşliklere sahiptir (sayıların tekliği nedeniyle) z = m2 + n2).

Şimdi farklı paritelerdeki m>n doğal sayıları aralarında asal olsun. Sonra üç x = 2mn, y = m2 - n2, z = m2 + n2 Problem 7.2'deki ifadeye göre Pisagor'dur. indirgenemez olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için y ve z sayılarının ortak bölenlerinin olmadığını kontrol etmek yeterlidir (bkz. Problem 7.3). Aslında tür sayıları farklı paritelere sahip olduğundan bu sayıların her ikisi de tektir. Y ve z sayılarının basit bir ortak böleni varsa (o zaman tek olmalıdır), o zaman sayıların her biri ve onlarla birlikte m ve n sayılarının her biri aynı bölene sahiptir, bu da karşılıklı basitlikleriyle çelişir.

7.6. Problem 7.1 ve 7.2'de formüle edilen ifadeler sayesinde bu formüller yalnızca Pisagor üçlülerini tanımlar. Öte yandan herhangi bir Pisagor üçlüsü x, y, z En büyük ortak bölen k ile indirgendikten sonra, x ve y sayı çiftleri indirgenemez hale gelir (bkz. Problem 7.3) ve bu nedenle, Problem 7.5'te açıklanan biçimde x ve y sayıları mertebesine kadar temsil edilebilir. . Bu nedenle, herhangi bir Pisagor üçlüsü, parametrelerin belirli değerleri için belirtilen formüllerle verilir.

7.7. Eşitsizlikten z ve Problem 7.6'nın formüllerinden tahmini elde ediyoruz m 2 yani m≤5. İnanmak m = 2, n = 1 Ve k = 1, 2, 3, 4, 5,üçlü alıyoruz 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. İnanmak m = 3, n = 2 Ve k = 1, 2,üçlü alıyoruz 5, 12, 13; 10, 24, 26. İnanmak m = 4, n = 1, 3 Ve k = 1,üçlü alıyoruz 8, 15, 17; 7, 24, 25. Sonunda inanmak m = 5, n = 2 Ve k = 1,üç alıyoruz 20, 21, 29.

» Warwick Üniversitesi'nden Emeritus Matematik Profesörü, bilimin ünlü popülerleştiricisi Ian Stewart, sayıların insanlık tarihindeki rolüne ve bunların çalışmalarının zamanımızdaki önemine adanmıştır.

Pisagor hipotenüsü

Pisagor üçgenlerinin dik açıları ve tamsayılı kenarları vardır. En basitinin en uzun kenarı 5, diğerleri 3 ve 4'tür. Toplamda 5 normal çokyüzlü vardır. Beşinci dereceden bir denklem, beşinci kökler veya başka herhangi bir kök kullanılarak çözülemez. Bir düzlemdeki ve üç boyutlu uzaydaki kafesler beş loblu dönme simetrisine sahip değildir, dolayısıyla bu tür simetriler kristallerde yoktur. Ancak dört boyutlu kafeslerde ve yarı kristaller olarak bilinen ilginç yapılarda bulunabilirler.

En küçük Pisagor üçlüsünün hipotenüsü

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin en uzun kenarının (kötü şöhretli hipotenüs) bu üçgenin diğer iki kenarıyla çok basit ve güzel bir şekilde ilişkili olduğunu belirtir: Hipotenüsün karesi, dik üçgenin karelerinin toplamına eşittir. diğer iki taraf.

Geleneksel olarak bu teoremi Pisagor adıyla adlandırırız ancak gerçekte tarihi oldukça belirsizdir. Kil tabletleri, eski Babillilerin Pisagor teoremini Pisagor'dan çok önce bildiklerini gösteriyor; Kaşifin şöhreti ona, destekçileri Evrenin sayısal yasalara dayandığına inanan Pisagorcuların matematik kültü tarafından getirildi. Antik yazarlar çeşitli matematik teoremlerini Pisagorculara ve dolayısıyla Pisagorlara atfetmişlerdir, ancak gerçekte Pisagor'un kendisinin ne tür bir matematikle uğraştığı hakkında hiçbir fikrimiz yoktur. Pisagorcuların Pisagor Teoremini kanıtlayıp kanıtlayamayacaklarını ya da sadece bunun doğru olduğuna inanıp inanmadıklarını bile bilmiyoruz. Ya da büyük olasılıkla, gerçeğine dair ikna edici kanıtları vardı, ancak bu, bugün kanıt olarak kabul ettiğimiz şey için yeterli olmayacaktı.

Pisagor'un Kanıtları

Pisagor teoreminin bilinen ilk kanıtı Öklid'in Elementleri'nde bulunur. Bu, Viktorya dönemindeki okul çocuklarının hemen "Pisagor pantolonu" olarak tanıyacağı bir çizimi kullanan oldukça karmaşık bir kanıttır; Çizim gerçekten de bir çizgi üzerinde kuruyan külotu andırıyor. Kelimenin tam anlamıyla yüzlerce başka delil var ve bunların çoğu iddiayı daha açık hale getiriyor.

// Pirinç. 33. Pisagor pantolonu

En basit kanıtlardan biri bir tür matematiksel bulmacadır. Herhangi bir dik üçgeni alın, dört kopyasını alın ve bunları karenin içinde birleştirin. Düzenlemelerden birinde hipotenüs üzerinde bir kare görüyoruz; diğeriyle - üçgenin diğer iki tarafındaki kareler. Her iki durumda da alanların eşit olduğu açıktır.

// Pirinç. 34. Sol: hipotenüs üzerindeki kare (artı dört üçgen). Sağ: diğer iki taraftaki karelerin toplamı (artı aynı dört üçgen). Şimdi üçgenleri ortadan kaldırın

Perigal'in diseksiyonu başka bir bulmaca kanıtıdır.

// Pirinç. 35. Perigal'in diseksiyonu

Ayrıca karelerin düzlemde düzenlenmesini kullanan teoremin bir kanıtı da vardır. Belki de Pisagorcular ya da onların bilinmeyen selefleri bu teoremi bu şekilde keşfettiler. Çarpık karenin diğer iki kareyle nasıl örtüştüğüne bakarsanız, büyük bir kareyi nasıl parçalara ayıracağınızı ve daha sonra bunları iki küçük kare halinde nasıl birleştireceğinizi görebilirsiniz. Ayrıca kenarları ilgili üç karenin boyutlarını veren dik üçgenleri de görebilirsiniz.

// Pirinç. 36. Kaldırarak kanıt

Trigonometride benzer üçgenlerin kullanıldığı ilginç kanıtlar vardır. En az elli farklı kanıt bilinmektedir.

Pisagor üçlüleri

Sayılar teorisinde Pisagor teoremi verimli bir fikrin kaynağı haline geldi: cebirsel denklemlere tamsayılı çözümler bulmak. Bir Pisagor üçlüsü a, b ve c tamsayılarından oluşan bir kümedir, öyle ki

Geometrik olarak böyle bir üçlü, kenarları tamsayı olan bir dik üçgeni tanımlar.

Bir Pisagor üçlüsünün en küçük hipotenüsü 5'tir.

Bu üçgenin diğer iki tarafı 3 ve 4'tür.

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Bir sonraki en büyük hipotenüs 10'dur çünkü

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Ancak bu aslında çift taraflı aynı üçgendir. Bir sonraki en büyük ve gerçekten farklı olan hipotenüs 13'tür.

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Öklid, Pisagor üçlülerinin sonsuz sayıda farklı varyasyonu olduğunu biliyordu ve hepsini bulmak için formül denebilecek bir formül verdi. Daha sonra İskenderiyeli Diophantus, temelde Öklid tarifiyle aynı olan basit bir tarif önerdi.

Herhangi iki doğal sayıyı alın ve hesaplayın:

onların ikili çarpımı;

karelerinin farkı;

karelerinin toplamı.

Ortaya çıkan üç sayı Pisagor üçgeninin kenarları olacaktır.

Örneğin 2 ve 1 rakamlarını ele alalım. Hesaplayalım:

çift ​​çarpım: 2 × 2 × 1 = 4;

kareler farkı: 22 - 12 = 3;

kareler toplamı: 22 + 12 = 5,

ve meşhur 3-4-5 üçgenini elde ettik. Bunun yerine 3 ve 2 sayılarını alırsak şunu elde ederiz:

çift ​​çarpım: 2 × 3 × 2 = 12;

kareler farkı: 32 - 22 = 5;

kareler toplamı: 32 + 22 = 13,

ve bir sonraki en ünlü üçgen olan 5 - 12 - 13'ü elde ederiz. 42 ve 23 sayılarını alıp şunu elde etmeye çalışalım:

çift ​​çarpım: 2 × 42 × 23 = 1932;

kareler farkı: 422 - 232 = 1235;

kareler toplamı: 422 + 232 = 2293,

hiç kimse 1235–1932–2293 üçgenini duymadı.

Ancak bu sayılar da işe yarıyor:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Diophantine kuralının daha önce ima edilen başka bir özelliği daha var: Verilen üç sayıyla, başka bir rastgele sayı alıp hepsini onunla çarpabiliriz. Böylece 3–4–5 üçgeninin tüm kenarları 2 ile çarpılarak 6–8–10 üçgenine, tamamı 5 ile çarpılarak 15–20–25 üçgenine dönüştürülebilir.

Cebir diline geçersek kural şu ​​şekli alır: u, v ve k doğal sayılar olsun. Sonra kenarları olan bir dik üçgen

2kuv ve k (u2 - v2)'nin hipotenüsü vardır

Ana fikri sunmanın başka yolları da vardır, ancak hepsi yukarıda anlatılana indirgenir. Bu yöntem tüm Pisagor üçlülerini elde etmenizi sağlar.

Düzenli çokyüzlüler

Tam olarak beş tane düzenli çokyüzlü var. Düzenli bir çokyüzlü (veya çokyüzlü), sınırlı sayıda düz yüze sahip üç boyutlu bir şekildir. Yüzler, kenar adı verilen çizgiler üzerinde birbiriyle buluşur; kenarlar köşe adı verilen noktalarda buluşur.

Öklid'in Principia'sının doruk noktası, yalnızca beş düzenli çokyüzlü olabileceğinin kanıtıdır; yani her yüzün düzenli bir çokgen olduğu (eşit kenarlar, eşit açılar), tüm yüzler aynıdır ve tüm köşeler eşit bir polihedra ile çevrelenmiştir. eşit aralıklı yüzlerin sayısı. İşte beş normal çokyüzlü:

dört üçgen yüzü, dört köşesi ve altı kenarı olan tetrahedron;

6 kare yüzü, 8 köşesi ve 12 kenarı olan küp veya altı yüzlü;

8 üçgen yüze, 6 köşeye ve 12 kenara sahip oktahedron;

12 beşgen yüze, 20 köşeye ve 30 kenara sahip on iki yüzlü;

20 üçgen yüze, 12 köşeye ve 30 kenara sahip bir ikosahedron.

// Pirinç. 37. Beş düzenli çokyüzlü

Düzenli çokyüzlüler doğada da bulunabilir. 1904'te Ernst Haeckel, radyolaryanlar olarak bilinen küçük organizmaların çizimlerini yayınladı; birçoğu aynı beş normal çokyüzlüye benziyor. Ancak belki de doğayı biraz düzeltti ve çizimler belirli canlıların şeklini tam olarak yansıtmıyor. İlk üç yapı kristallerde de gözlenir. Kristallerde dodekahedronları ve ikosahedronları bulamazsınız, ancak bazen orada düzensiz dodekahedronlar ve ikosahedronlar bulunur. Gerçek dodekahedronlar, atomlarının periyodik bir kafes oluşturmaması dışında her yönden kristallere benzeyen yarı kristaller olarak ortaya çıkabilir.

// Pirinç. 38. Haeckel'in çizimleri: düzenli çokyüzlüler biçiminde radyolaryanlar

// Pirinç. 39. Düzenli çokyüzlülerin gelişmeleri

Önce birbirine bağlı bir dizi yüzü keserek kağıttan düzenli çokyüzlü modeller yapmak ilginç olabilir - buna çokyüzlü geliştirmek denir; gelişme kenarlar boyunca katlanır ve karşılık gelen kenarlar birbirine yapıştırılır. Şekil 2'de gösterildiği gibi, bu çiftlerin her birinin kaburgalarından birine ek bir tutkal pedi eklemek faydalıdır. 39. Böyle bir alan yoksa yapışkan bant kullanabilirsiniz.

Beşinci derece denklem

5. dereceden denklemlerin çözümü için cebirsel bir formül yoktur.

Genel olarak beşinci dereceden bir denklem şuna benzer:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Sorun, böyle bir denklemin çözümleri için bir formül bulmaktır (en fazla beş çözümü olabilir). İkinci dereceden ve kübik denklemlerin yanı sıra dördüncü derece denklemlerle ilgili deneyimler, böyle bir formülün beşinci derece denklemler için de mevcut olması gerektiğini ve teorik olarak beşinci, üçüncü ve ikinci derecenin köklerinin içinde görünmesi gerektiğini göstermektedir. Yine, eğer varsa böyle bir formülün çok çok karmaşık olacağını rahatlıkla varsayabiliriz.

Sonunda bu varsayımın yanlış olduğu ortaya çıktı. Aslında böyle bir formül yok; en azından a, b, c, d, e ve f katsayılarından oluşan, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme kullanılarak ve kök alınarak yapılan bir formül yoktur. Yani 5 sayısının çok özel bir yanı var. Beşlinin bu alışılmadık davranışının nedenleri çok derin ve bunları anlamak çok zaman aldı.

Sorunun ilk işareti, matematikçiler böyle bir formülü bulmak için ne kadar çabalarlarsa çabalasınlar, ne kadar akıllı olurlarsa olsunlar, her zaman başarısız olmalarıydı. Bir süre herkes bunun nedeninin formülün inanılmaz karmaşıklığında yattığına inanıyordu. Hiç kimsenin bu cebiri tam olarak anlayamayacağına inanılıyordu. Ancak zamanla bazı matematikçiler böyle bir formülün varlığından bile şüphe etmeye başladı ve 1823'te Niels Hendrik Abel bunun tersini kanıtlamayı başardı. Böyle bir formül yok. Kısa bir süre sonra Évariste Galois, bu tür bir formül kullanarak şu ya da bu dereceden (5'inci, 6'ncı, 7'nci, herhangi türden) bir denklemin çözülebilir olup olmadığını belirlemenin bir yolunu buldu.

Bütün bunlardan çıkan sonuç basit: 5 sayısı özeldir. Cebirsel denklemleri (n'nin farklı değerleri için n'inci kökleri kullanarak) 1, 2, 3 ve 4. kuvvetler için çözebilirsiniz, ancak 5. kuvvetler için çözemezsiniz. Açık modelin bittiği yer burasıdır.

Derecesi 5'ten büyük olan denklemlerin daha da kötü davranmasına kimse şaşırmıyor; özellikle aynı zorluk onlarla da ilişkilidir: bunları çözmek için genel formüller yoktur. Bu, denklemlerin çözümlerinin olmadığı anlamına gelmez; Bu aynı zamanda bu çözümler için çok kesin sayısal değerler bulmanın imkansız olduğu anlamına da gelmez. Her şey geleneksel cebir araçlarının sınırlamalarıyla ilgilidir. Bu, bir açının cetvel ve pergel kullanılarak üçe bölünmesinin imkansızlığını anımsatıyor. Cevap mevcut ancak listelenen yöntemler yetersiz ve ne olduğunu belirlememize izin vermiyor.

Kristalografik sınırlama

İki ve üç boyutlu kristaller 5 ışınlı dönme simetrisine sahip değildir.

Bir kristaldeki atomlar bir kafes, yani kendisini birkaç bağımsız yönde periyodik olarak tekrarlayan bir yapı oluşturur. Örneğin, duvar kağıdındaki desen rulonun uzunluğu boyunca tekrarlanır; Buna ek olarak, genellikle yatay yönde, bazen bir duvar kağıdı parçasından diğerine geçişle tekrarlanır. Aslında duvar kağıdı iki boyutlu bir kristaldir.

Bir düzlemde 17 çeşit duvar kağıdı deseni vardır (bkz. Bölüm 17). Simetri türlerinde, yani deseni orijinal konumunda tam olarak kendi üzerinde duracak şekilde katı bir şekilde hareket ettirme yollarında farklılık gösterirler. Simetri türleri, özellikle, desenin belirli bir nokta (simetri merkezi) etrafında belirli bir açıyla döndürülmesi gereken çeşitli dönme simetrisi varyantlarını içerir.

Dönme simetrisinin sırası, desenin tüm ayrıntılarının orijinal konumlarına dönmesi için gövdenin tam bir daire içinde kaç kez döndürülebileceğidir. Örneğin, 90°'lik bir dönüş, 4. dereceden dönüş simetrisidir*. Bir kristal kafesteki olası dönme simetrisi türlerinin listesi yine 5 sayısının olağandışılığına işaret ediyor: orada değil. 2., 3., 4. ve 6. dereceden dönme simetrisine sahip seçenekler mevcut ancak duvar kağıdı tasarımlarının hiçbirinde 5. dereceden dönme simetrisi bulunmuyor. Kristallerde 6'dan büyük dönme simetrisi de mevcut değildir, ancak dizinin ilk ihlali yine de 5 numarada meydana gelir.

Aynı şey üç boyutlu uzaydaki kristalografik sistemlerde de olur. Burada kafes kendisini üç bağımsız yönde tekrarlıyor. 219 farklı simetri türü vardır, yani bir tasarımın ayna görüntüsünü ayrı bir değişken olarak sayarsak 230 - bu durumda ayna simetrisi olmamasına rağmen. Yine 2, 3, 4 ve 6. mertebelerdeki dönme simetrileri gözlemlenir, ancak 5. mertebeler gözlenmez. Bu gerçeğe kristalografik sınırlama denir.

Dört boyutlu uzayda 5. dereceden simetriye sahip kafesler mevcuttur; Genel olarak, yeterince yüksek boyuta sahip kafesler için, önceden belirlenmiş herhangi bir dönme simetrisi sırası mümkündür.

// Pirinç. 40. Sofra tuzunun kristal kafesi. Koyu toplar sodyum atomlarını, açık toplar ise klor atomlarını temsil eder.

Yarı kristaller

Her ne kadar 2 boyutlu veya 3 boyutlu kafeslerde 5. dereceden dönme simetrisi mümkün olmasa da, yarı kristaller olarak bilinen biraz daha az düzenli yapılarda mevcut olabilir. Roger Penrose, Kepler'in çizimlerini kullanarak, daha genel bir beş katlı simetri tipine sahip düzlemsel sistemleri keşfetti. Bunlara yarı kristaller denir.

Kuasikristaller doğada mevcuttur. 1984 yılında Daniel Shechtman, alüminyum ve manganez alaşımının yarı kristaller oluşturabileceğini keşfetti; Başlangıçta kristalograflar onun raporunu biraz şüpheyle karşıladılar, ancak keşif daha sonra doğrulandı ve 2011'de Shechtman, Nobel Kimya Ödülü'ne layık görüldü. 2009 yılında Luca Bindi liderliğindeki bir bilim insanı ekibi, Rusya'nın Koryak Dağlık Bölgesi'nden gelen bir alüminyum, bakır ve demir bileşiği olan bir mineralde yarı kristaller keşfetti. Bugün bu minerale ikosahedrit adı verilmektedir. Kütle spektrometresi kullanarak mineraldeki farklı oksijen izotoplarının içeriğini ölçen bilim insanları, bu mineralin Dünya'dan gelmediğini gösterdi. Yaklaşık 4,5 milyar yıl önce, güneş sisteminin yeni ortaya çıktığı bir zamanda oluştu ve zamanının çoğunu asteroit kuşağında, Güneş'in etrafında dönerek geçirdi, ta ki bazı rahatsızlıklar yörüngesini değiştirip sonunda onu Dünya'ya getirene kadar.

// Pirinç. 41. Sol: tam beş katlı simetriye sahip iki yarı kristal kafesten biri. Sağda: İkosahedral alüminyum-paladyum-manganez yarı kristalinin atom modeli