Bunlar günlük yaşamda ve doğada bulunan benzerleri arasında en yaygın görülen üç boyutlu figürlerdir. Stereometri veya uzaysal geometri bunların özelliklerini inceler. Bu yazıda normal bir üçgen prizmanın yan yüzey alanının yanı sıra dörtgen ve altıgen prizmanın yan yüzey alanını nasıl bulabileceğiniz sorusunu tartışacağız.
Prizma nedir?
Düzenli bir üçgen prizmanın ve bu şeklin diğer türlerinin yan yüzey alanını hesaplamadan önce bunların ne olduğunu anlamalısınız. Daha sonra ilgilenilen miktarları belirlemeyi öğreneceğiz.
Geometri açısından bir prizma, iki keyfi özdeş çokgen ve n paralelkenarla sınırlanan hacimsel bir gövdedir; burada n, bir çokgenin kenar sayısıdır. Böyle bir şekil çizmek kolaydır; bunun için bir tür çokgen çizmelisiniz. Daha sonra köşelerinin her birinden, diğerlerine eşit uzunlukta ve paralel olacak bir parça çizin. Daha sonra orijinaline eşit başka bir çokgen elde etmek için bu çizgilerin uçlarını birbirine bağlamanız gerekir.
Yukarıda şeklin iki beşgen (bunlara şeklin alt ve üst tabanları denir) ve şekildeki dikdörtgenlere karşılık gelen beş paralelkenar ile sınırlandığını görebilirsiniz.
Tüm prizmalar iki ana parametrede birbirinden farklıdır:
- şeklin altında yatan çokgenin türü;
- Paralelkenarlar ve tabanlar arasındaki açılar.
Dikdörtgenin kenar sayısı prizmaya adını verir. Buradan yukarıda bahsedilen üçgen, altıgen ve dörtgen şekilleri elde ederiz.
Ayrıca eğim miktarında da farklılık gösterirler. İşaretli açılara gelince, eğer 90 o'ya eşitse, böyle bir prizmaya düz veya dikdörtgen denir (eğim açısı sıfırdır). Açılardan bazıları doğru değilse bu şekle eğik denir. Aralarındaki fark ilk bakışta açıktır. Aşağıdaki resimde bu çeşitler gösterilmektedir.
Gördüğünüz gibi h yüksekliği yan kenarının uzunluğuna denk geliyor. Eğik açı durumunda bu parametre her zaman daha küçüktür.
Hangi prizmaya doğru denir?
Düzenli bir prizmanın (üçgen, dörtgen vb.) yan yüzey alanının nasıl bulunacağı sorusuna cevap vermemiz gerektiğinden, bu tür hacimsel şekilleri tanımlamamız gerekir. Malzemeyi daha ayrıntılı olarak analiz edelim.
Düzenli bir prizma, düzenli bir çokgenin aynı tabanları oluşturduğu dikdörtgen bir şekildir. Bu şekil eşkenar üçgen, kare veya başkaları olabilir. Kenar uzunlukları ve açıları aynı olan herhangi bir n-gon düzgün olacaktır.
Bu tür prizmaların bir kısmı aşağıdaki şekilde şematik olarak gösterilmiştir.
Prizmanın yan yüzeyi
Bu şekilde söylendiği gibi, kesişerek n + 2 yüz oluşturan n + 2 düzlemden oluşur. Bunlardan ikisi tabanlara ait, geri kalanı paralelkenarlardan oluşuyor. Tüm yüzeyin alanı belirtilen yüzlerin alanlarının toplamından oluşur. İki bazın değerlerini dahil etmezsek prizmanın yan yüzey alanı nasıl bulunur sorusunun cevabını almış oluruz. Yani anlamını ve temellerini birbirinden ayrı olarak belirleyebilirsiniz.
Aşağıda yan yüzeyi üç dörtgenden oluşan şekil verilmiştir.
Hesaplama sürecini daha ayrıntılı olarak ele alalım. Açıkçası, prizmanın yan yüzeyinin alanı, karşılık gelen paralelkenarların n alanlarının toplamına eşittir. Burada n, şeklin tabanını oluşturan çokgenin kenar sayısıdır. Her paralelkenarın alanı, kenar uzunluğunun yüksekliğiyle çarpılmasıyla bulunabilir. Bu genel durum için geçerlidir.
İncelenen prizma düz ise, yan yüzeyinin Sb alanını belirleme prosedürü büyük ölçüde basitleştirilmiştir, çünkü böyle bir yüzey dikdörtgenlerden oluşur. Bu durumda aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
Burada h şeklin yüksekliğidir, P o tabanının çevresidir
Düzenli prizma ve yan yüzeyi
Böyle bir rakam söz konusu olduğunda yukarıdaki paragrafta verilen formül çok özel bir biçime bürünür. Bir n-gon'un çevresi, kenar sayısı ile bir uzunluğunun çarpımına eşit olduğundan aşağıdaki formül elde edilir:
Burada a karşılık gelen n-gon'un kenar uzunluğudur.
Dörtgen ve altıgen yan yüzey alanı
Belirtilen üç şekil türü için gerekli değerleri belirlemek için yukarıdaki formülü kullanalım. Hesaplamalar şöyle görünecek:
Üçgen formülü için şu formu alacaktır:
Örneğin bir üçgenin bir kenarı 10 cm, şeklin yüksekliği 7 cm ise:
S 3 b = 3*10*7 = 210 cm2
Dörtgen prizma durumunda istenen ifade şu şekli alır:
Önceki örnekteki ile aynı uzunluk değerlerini alırsak şunu elde ederiz:
S 4 b = 4*10*7 = 280 cm2
Altıgen bir prizmanın yan yüzey alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:
Önceki durumlardakiyle aynı sayıları değiştirerek şunu elde ederiz:
S 6 b = 6*10*7 = 420 cm2
Herhangi bir tür düzenli prizma durumunda, yan yüzeyinin aynı dikdörtgenlerden oluştuğunu unutmayın. Yukarıdaki örneklerde her birinin alanı a*h = 70 cm2 idi.
Eğik prizma hesaplaması
Belirli bir şekil için yan yüzey alanının değerini belirlemek, dikdörtgen olana göre biraz daha zordur. Ancak yukarıdaki formül aynı kalıyor, sadece taban çevresi yerine dik kesim çevresi, yükseklik yerine ise yan kenar uzunluğu alınmalıdır.
Yukarıdaki resimde dörtgen eğik bir prizma gösterilmektedir. Gölgeli paralelkenar, çevresi P sr'nin hesaplanması gereken dik dilimdir. Şekilde yan kenarın uzunluğu C harfi ile gösterilmiştir. Daha sonra aşağıdaki formülü elde ederiz:
Yan yüzeyi oluşturan paralelkenarların açıları biliniyorsa kesimin çevresi bulunabilir.
Prizmanın yan yüzey alanı. Merhaba! Bu yayında stereometrideki bir grup problemi analiz edeceğiz. Bir prizma ve bir silindir gibi cisimlerin bir kombinasyonunu ele alalım. Şu anda bu makale, stereometrideki görev türlerinin dikkate alınmasıyla ilgili tüm makale dizisini tamamlamaktadır.
Görev bankasında yenileri görünürse, elbette gelecekte bloga eklemeler olacaktır. Ancak sınavın bir parçası olarak tüm sorunları kısa bir cevapla nasıl çözeceğinizi öğrenmeniz için zaten var olan şey oldukça yeterli. Gelecek yıllar için yeterli materyal olacak (matematik programı statiktir).
Sunulan görevler prizmanın alanının hesaplanmasını içerir. Aşağıda düz bir prizma (ve buna göre düz bir silindir) düşündüğümüzü not ediyorum.
Herhangi bir formül bilmeden, bir prizmanın yan yüzeyinin tüm yan yüzlerinden oluştuğunu anlıyoruz. Düz prizmanın dikdörtgen yan yüzleri vardır.
Böyle bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, tüm yan yüzlerinin (yani dikdörtgenlerin) alanlarının toplamına eşittir. İçine silindirin yazılı olduğu normal bir prizmadan bahsediyorsak, bu prizmanın tüm yüzlerinin EŞİT dikdörtgenler olduğu açıktır.
Resmi olarak, düzenli bir prizmanın yan yüzey alanı şu şekilde yansıtılabilir:
27064. Taban yarıçapı ve yüksekliği 1'e eşit olan bir silindirin etrafında düzgün bir dörtgen prizma çevrelenmiştir. Prizmanın yan yüzey alanını bulun.
Bu prizmanın yan yüzeyi eşit alanlı dört dikdörtgenden oluşur. Yüzün yüksekliği 1, prizmanın tabanının kenarı 2'dir (bunlar silindirin iki yarıçapıdır), dolayısıyla yan yüzün alanı şuna eşittir:
Yan yüzey alanı:
73023. Taban yarıçapı √0,12 ve yüksekliği 3 olan bir silindirin çevrelediği düzgün üçgen prizmanın yan yüzey alanını bulun.
Belirli bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, üç yan yüzün (dikdörtgenler) alanlarının toplamına eşittir. Yan yüzün alanını bulmak için yüksekliğini ve taban kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir. Yükseklik üçtür. Taban kenarının uzunluğunu bulalım. Projeksiyonu düşünün (üstten görünüm):
İçinde yarıçapı √0,12 olan bir dairenin yazılı olduğu normal bir üçgenimiz var. AOC dik üçgeninden AC'yi bulabiliriz. Ve sonra AD (AD=2AC). Teğet tanımı gereği:
Bu, AD = 2AC = 1,2 anlamına gelir. Dolayısıyla yan yüzey alanı şuna eşittir:
27066. Taban yarıçapı √75 ve yüksekliği 1 olan bir silindirin çevrelediği düzgün altıgen prizmanın yan yüzey alanını bulun.
Gerekli alan tüm yan yüzlerin alanlarının toplamına eşittir. Düzenli bir altıgen prizmanın yan yüzleri eşit dikdörtgenlere sahiptir.
Bir yüzün alanını bulmak için yüksekliğini ve taban kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir. Yükseklik biliniyor, 1'e eşit.
Taban kenarının uzunluğunu bulalım. Projeksiyonu düşünün (üstten görünüm):
İçinde yarıçapı √75 olan bir dairenin yazılı olduğu düzgün bir altıgenimiz var.
ABO dik üçgenini düşünün. OB ayağını biliyoruz (bu, silindirin yarıçapıdır). AOB açısını da belirleyebiliriz, 300'e eşittir (AOC üçgeni eşkenardır, OB bir açıortaydır).
Bir dik üçgende teğetin tanımını kullanalım:
AC = 2AB, OB ortanca olduğundan yani AC'yi ikiye böler, yani AC = 10 olur.
Böylece yan yüzün alanı 1∙10=10 ve yan yüzeyin alanı:
76485. Taban yarıçapı 8√3 ve yüksekliği 6 olan bir silindirin içine yazılan düzgün üçgen prizmanın yan yüzey alanını bulun.
Üç eşit boyutlu yüzün (dikdörtgenler) belirtilen prizmasının yan yüzeyinin alanı. Alanı bulmak için prizmanın tabanının kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir (yüksekliğini biliyoruz). İzdüşümü (üstten görünüm) dikkate alırsak, daire içine yazılmış düzenli bir üçgenimiz olur. Bu üçgenin kenarı yarıçap cinsinden şu şekilde ifade edilir:
Bu ilişkinin ayrıntıları. Yani eşit olacak
O zaman yan yüzün alanı: 24∙6=144 olur. Ve gerekli alan:
245354. Taban yarıçapı 2 olan bir silindirin çevresine düzgün bir dörtgen prizma çevrelenmiştir. Prizmanın yan yüzey alanı 48'dir. Silindirin yüksekliğini bulun.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Taban tarafı 5 ve yüksekliği 10 olan düzgün bir altıgen prizmanın yan yüzey alanını bulun. a H Düzenli bir prizmanın yüzey alanı için formülü kullanırız: Tabanda düzgün bir altıgen bulunur büyük köşegenlerle kenarı a = 5 olan 6 eşit düzgün üçgene bölünür. Dolayısıyla düzgün altıgenin alanı şu şekilde bulunabilir: Düzgün bir prizmanın yan yüzeyinin alanı için formülü kullanırız. : a a Verileri formülde değiştirin * : *
Taban kenarı 5, yüksekliği 10 olan düzgün altıgen prizmanın yan yüzey alanını bulun. a N Tabanı düzgün altıgendir. Yan yüzey alanı formülünü kullanırız. düzgün bir prizma: a Verileri aşağıdaki formülde yerine koyun * : * S tarafı = = Cevap: 300
Tabanının kenarı 20 ve yüzey alanı ise düzgün bir dörtgen prizmanın yan kenarını bulun. Düzgün bir prizmanın yüzey alanı için formülü kullanıyoruz: Tabanda kenarı a = 20 olan bir kare var. düzgün bir prizmanın yan yüzey alanı formülünü kullanın: Verileri aşağıdaki formülde değiştirin * : * 1760 = N 1760 = N 80N = N = 12 Cevap: 12
Taban kenarları 1'e ve yan kenarları eşit olan düzgün altıgen prizmanın hacmini bulun. 3 N a Düzenli bir prizmanın hacmi için formülü kullanıyoruz: Tabanda, büyük köşegenlerle kenarı a = 1 a olan 6 eşit normal üçgene bölünmüş düzgün bir altıgen bulunur. Bu nedenle, düzgün bir altıgenin alanı şu şekilde bulunabilir: H - düzgün bir prizmanın yüksekliği (yan kenarı) Verileri * : * formülünde yerine koyarız
Paralel borunun yüzü, tarafı 1 olan ve dar açılı bir eşkenar dörtgendir. Paralel borunun kenarlarından biri bu yüzle 60 0 açı yapar ve 2'ye eşittir. Paralel borunun hacmini bulun.
Hacmi 32 olan üçgen prizmanın tabanının orta çizgisi boyunca yan kenara paralel bir düzlem çizilir. Kesilen üçgen prizmanın hacmini bulunuz. Üçgen prizmanın tabanının orta çizgisi boyunca yan kenara paralel bir düzlem çizilir. Kesilen üçgen prizmanın hacmi 5'tir. Orijinal prizmanın hacmini bulun.
