Bir dizinin yakınsama kriterine neden iç denir? Temel Diziler

CAUCHY KRİTERİ

1) Sayı dizisinin K.K yakınsaması: sayılara göre (gerçek veya karmaşık) xn,n=1, 2, . . ., bir limiti varsa, herkes için öyle bir N sayısının var olması gerekli ve yeterlidir; gerçekleştirillen

Bir sayı dizisinin yakınsamasına ilişkin kriter, tam bir metriğin noktalarının yakınsamasına yönelik bir kriter halinde genelleştirilir. uzay.

Nokta dizisi (xp) tam metrik uzay ancak ve ancak böyle bir şey varsa yakınsar N, eşitsizliğin herkes için geçerli olduğu

2) K.K. n değişkenli fonksiyonların varlık limiti Xre boyutlu uzayda tanımlı olsun. Rn ve sayısal (gerçek veya karmaşık) değerler alır, A - bir X kümesinin sınır noktası (veya sembolü, bu durumda X sınırsızdır). Sonlu bir sınır ancak ve ancak herkes için böyle bir sınır varsa vardır U=U(A) . puan A, herhangi biri için ve eşitsizlik geçerlidir

Bu kriter daha genel eşlemelere genellenir: X- topolojik A -, sayılabilirliğin geçerli olduğu sınır noktası, Y- tam metrik uzay ve f - Xв Y.

(a).eşitsizliğin herkes için geçerli olduğunu savunan noktalar X- 3) Q. bir fonksiyon ailesinin düzgün yakınsaklığı için. İzin vermek sayılabilirliğin geçerli olduğu sınır noktası, bazı setler, topolojik Sınır noktasında sayılabilirliğin ilk aksiyomunu karşılayan bir uzay, R tam bir metriktir. uzay, f(). x, y topolojik Sınır noktasında sayılabilirliğin ilk aksiyomunu karşılayan bir uzay, R tam bir metriktir. uzay, f(), - f( eşleme ailesi kümesinin eşlenmesi U=U(Sabit bir X kümesinin H'ye eşlenmesi, eğer böyle bir komşuluk varsa, X üzerinde düzgün yakınsaktır y 0 Sabit bir X kümesinin H'ye eşlenmesi, eğer böyle bir komşuluk varsa, X üzerinde düzgün yakınsaktır).puan bu herkes için

ve tüm eşitsizlik giderildi sayılabilirliğin geçerli olduğu sınır noktası,Özellikle eğer doğal sayılar kümesi ve N, bu durumda dizi X kümesi üzerinde düzgün yakınsar ancak ve ancak herhangi biri için böyle bir sayı mevcutsa

eşitsizliğin tüm sayılar için geçerli olduğu N, 4)K. bir serinin yakınsamasına: sayısal bir seri ancak ve ancak böyle bir sayı mevcutsa yakınsar

Çoklu seriler için benzer yakınsama kriteri denir. Cauchy-Stolz kriteri. Örneğin,

dikdörtgen kısmi toplamlar üzerinde yakınsak

herkes için böyle bir şeyin olması gerekli ve yeterlidir N, herkesle ve herkesle bir bütün olarak eşitsizlik sağlandı

Bu kriterler Banach uzaylarındaki serilere genelleştirilmiştir (mutlak değer yerine karşılık gelen elemanların normları alınır).

5) Q. bir serinin düzgün yakınsaklığı için: belirli bir X kümesi üzerinde tanımlanan ve sayısal değerleri alan fonksiyonlar olsun. Seri için

sette düzgün bir şekilde yakınsadı X, herkes için böyle bir sayının bulunması gerekli ve yeterlidir N, tüm bunlar için eşitsizlik sağlandı

Bu kriter aynı zamanda çoklu serilere de uzanır; sadece sayısal serilere değil, aynı zamanda terimleri Banach uzaylarına ait olan serilere de uygulanır. ve P(x). X kümesinin belirli bir sürüye eşlemeleridir.

6) Uygunsuz integrallerin yakınsaması için Q: bir f fonksiyonunun yarım aralıkta tanımlanmasına izin verin, bunun üzerinde sayısal değerler alın ve aralıktaki herhangi bir (Riemann veya Lebesgue) için integrallenebilir olsun [ AC]. İçin

yakınsak, eşitsizliğin geçerli olduğu koşulu karşılayan herkes için herhangi biri için mevcut olması gerekli ve yeterlidir.

Kriter, diğer türlerdeki uygunsuz integraller için benzer şekilde formüle edilmiştir ve ayrıca f fonksiyonunun birkaç değişkene bağlı olduğu ve değerlerinin bir Banach uzayında yer aldığı duruma da genelleştirilmiştir.

7) Soru: Uygun olmayan integrallerin düzgün yakınsaklığı için: f( fonksiyonu topolojik Sınır noktasında sayılabilirliğin ilk aksiyomunu karşılayan bir uzay, R tam bir metriktir. uzay, f().her sabit yer için sayılabilirliğin geçerli olduğu sınır noktası, yarım aralıkta tanımlanan bazı kümeler sayısal değerler alır ve herhangi bir aralıkta integrallenebilir [ AC]. İçin

Y kümesi üzerinde düzgün yakınsaksa, herhangi biri için koşulların ve tüm eşitsizliğin sağlanması için öyle bir şeyin olması gerekli ve yeterlidir.

Bu kriter aynı zamanda diğer tipteki uygunsuz integrallere, çok değişkenli fonksiyonlara ve değerleri Banach uzaylarında bulunan fonksiyonlara da uzanır.

Aydınlatılmış.: C a u chu A. L., Analyse algebrique, P., 1821; Stolz O., "Math. Ann.", 1884, Bd 24, S. 154-71; Dieudonne J., Modern analizin temelleri, çev. İngilizce'den, M., 1964; Il'in V.A., Poznya'dan E.G.'ye, Matematiksel Analizin Temelleri, 3. baskı, cilt 1, M., 1971, cilt 2, M., 1973; Kudryavtsev L. D., Matematiksel analiz kursu, t. . 1 - 2, M., 1981; 16] Nikolsky S.M., Matematiksel analiz kursu, 2. baskı, cilt 1-2, M., 1975; Whittaker E. - T., V atson J. - N., Course of modern analyze, çev. İngilizceden, 2. baskı, bölüm 1, M., 1963. L. D. Kudryavtsev.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Diğer sözlüklerde "CACHY KRİTERİNİN" ne olduğunu görün:

Pozitif serilerin yakınsaması için kriter (Cauchy kriteri), Augustin Cauchy tarafından kurulan sayı serilerinin yakınsaması için ana kriterdir. Pozitif bir seri ancak ve ancak kısmi toplamlarının dizisi yukarıda sınırlıysa yakınsar

Mikhailov'un Nyquist kararlılık kriteri, kapalı döngü kontrol sisteminin kararlılığını açık döngü faz tepkisine göre değerlendirmenin yollarından biridir. Frekans kararlılığı kriterlerinden biridir. Kararlılığı değerlendirmek için bu kriteri kullanmak... ... Vikipedi

Mikhailov'un Nyquist kararlılık kriteri, kapalı döngü kontrol sisteminin kararlılığını, açık durumunun genlik-faz frekans tepkisine göre değerlendirmenin yollarından biridir. Sıklık kriterlerinden biridir... ... Vikipedi

Cauchy kriteri, matematiksel analizdeki bir dizi ifadedir: Tam uzay tanımının dayandığı bir dizinin (Temel diziye bakınız) yakınsaklığına ilişkin kriter. Olumlu işaretlerin yakınsaması için kriter... ... Vikipedi

Benzerlik kriteri, söz konusu fiziksel olguyu belirleyen boyutlu fiziksel parametrelerden oluşan boyutsuz bir niceliktir. İki fiziksel olay ve sistem için aynı türdeki tüm benzerlik kriterlerinin eşitliği gereklidir ve... ... Vikipedi

Mikhailov'un Nyquist kararlılık kriteri, kapalı döngü kontrol sisteminin kararlılığını açık döngü faz tepkisine göre değerlendirmenin yollarından biridir. Frekans kararlılığı kriterlerinden biridir. Bu kriteri kullanarak istikrarı değerlendirmek çok ... ... Vikipedi

- (Ca) Sürekli ortam mekaniğindeki benzerlik kriteri, kinetik enerjinin ortamın sıkıştırma enerjisine oranını ifade eder. Elastik cisimlerin titreşimlerinin ve elastik sıvıların akışının incelenmesinde kullanılır. Cauchy sayısı şu şekilde ifade edilir: , burada... ... Vikipedi

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Cauchy'nin işareti. Cauchy Maclaurin integral testi, azalan pozitif sayı serilerinin yakınsaması için bir testtir. Maclaurin'in Cauchy testi, bir serinin yakınsaklığının doğrulanmasını şu şekilde azaltmayı mümkün kılar: ... Vikipedi

"Cauchy testi" terimi aşağıdaki ifadelerden birine atıfta bulunabilir: Cauchy'nin radikal testi Maclaurin'in integrali Cauchy testi Cauchy'nin kriteri Ayrıca bkz. Cauchy teoremi ... Vikipedi

Kitabın

• Yapısal elemanların sürünme koşulları altında stabilitesi. Öğretici. Bölüm 1. Çubuklar, M. N. Kirsanov. Sınırsız sünme altında sapma türevlerinin pertürbasyonlarına bağlı olarak yapısal çubuk elemanların deformasyonlarının kararlılığı olgusu belirlenmiş ve incelenmiştir. Varsayılan...

Bir dizinin yakınsaması için Cauchy kriteri, bir sayı serisinin yakınsaması için en genel kriteri ifade eder. Teorem 4 (Cauchy kriteri). Y1 an sayı serisinin yakınsaması için, herhangi bir e > O sayısı için bir N = N(e) sayısının olması gerekli ve yeterlidir, öyle ki herhangi bir n > N için eşitsizlik herkes için geçerlidir. Kısmi toplamları kullanma 5P +P ve Sn-\ olarak kabul edilen J2 serisi>eşitsizliği (1) şeklinde yazılabilir. Cauchy kriterinden bir sayı serisinin yakınsaklığı için gerekli kriter izlenir. Teorem 5. Seriler Pozitif terimli seriler için karşılaştırma testi D'Alembert testi Cauchy testi Cauchy'nin bir serinin yakınsaması için kriteri yakınsarsa, Teorem 4'te varsayılırsa, herkes için geçerli olan bir eşitsizlik elde ederiz. sayı e > 0, bu da Sonuç anlamına gelir. Eğer lim an sıfırdan farklıysa veya mevcut değilse, bu durumda Örnek 1 serisi ıraksar. Örnek 2'den beri sayı serisi ıraksar. Seri mevcut olmadığı için ıraksar. Yorum. Teorem 5 bir serinin yakınsaklığı için gerekli bir koşulu verir, ancak bu yeterli değildir, yani ıraksak bir seri için lim o = 0 koşulu da karşılanabilir. Örnek 3. Harmonik seri adı verilen bir sayısal seriyi düşünün. Harmonik seriler için yakınsaklık için gerekli koşul sağlanmıştır, çünkü Cauchy kriterini kullanarak bu serinin ıraksak olduğunu gösteriyoruz. P-n'yi koyalım. Daha sonra ortaya çıkan eşitsizlik herhangi bir keyfi büyük n için sağlanır. Buradan e ^ 5 ve p = n için eşitsizliğin (1) geçerli olmadığı sonucu çıkar. Böylece Cauchy kriteri nedeniyle harmonik seri ıraksar. Önemli Not. Bir anlamda seri, sonlu bir toplamın genelleştirilmesidir. Bununla birlikte, ikincisinden farklı olarak, tamamen keyfi olarak gruplandırılabilen ve yeniden düzenlenebilen terimler, bu nedenle bildiğimiz gibi toplam değişmez, keyfi bir serinin üyeleriyle yapılan eylemler dikkatli bir şekilde gerçekleştirilmelidir - sonuçlar her zaman olmayabilir öngörülebilir olun. Eğer ıraksak bir seride (yakınsaklık için gerekli kriter karşılanmadıysa) komşu grupları çiftler halinde gruplandırırsak, o zaman yakınsak bir seri elde ederiz. Yakınsak bir serinin terimleri (bkz. § 8'deki örnek), şuna yakınsayacak şekilde yeniden düzenlenebilir: herhangi bir sayı ve hatta farklılaşır. Özellikle terimleri yeniden düzenlenerek elde edilen seri, orijinal serinin toplamının yarısına yakınsar (örnek § 9'dan). Bu örneklerde serinin terimlerinin farklı işaretlere sahip olması dikkat çekicidir. Bazı sayısal serilerin, yakınsaması veya ıraksaması önceden bilinen diğer serilerle karşılaştırarak yakınsaklığını veya ıraksamasını belirlemeyi mümkün kılan işaretler sunalım. Teorem 6 (karşılaştırma testi). a ve 6" terimleri pozitif olan iki seri verilsin. Eşitsizlik tüm n sayıları için geçerliyse, Y1 6n serisinin yakınsamasından an serisinin yakınsaması gelir ve Y1 On serisinin ıraksamasından Y1 6™ serisinin ıraksaması çıkar. M (1) ve (2) serilerinin kısmi toplamlarını oluşturalım. Teoremin (3) koşulundan, tüm 1 için 5П ^ Sn olduğu sonucu çıkar. (2) serisinin yakınsadığını, yani n'inci kısmi toplamlarının bir limiti olduğunu varsayalım. Yani bu serinin tüm terimleri pozitif olduğundan, eşitsizlik (3) nedeniyle, şu sonuç çıkar: Dolayısıyla (1) serisinin tüm kısmi toplamları 5P sınırlıdır ve n arttıkça artar. Sonuç olarak, kısmi toplamlar dizisi yakınsaktır, yani an serisinin yakınsaklığı anlamına gelir. Bu durumda eşitsizlikteki limite geçerken şunu elde ederiz: Eşitsizlik sayesinde pozitif terimli seriler için karşılaştırma testi elde ederiz. 'Alembert'in testi Cauchy'nin testi Cauchy'nin serinin yakınsaması için kriteri, yani bn serisi ıraksar. Yorum. Teorem 6, a ^ bn eşitsizliğinin tüm n'ler için değil, yalnızca belirli bir A: sayısından başlayarak, yani tüm n ^ Jfc için karşılanması durumunda geçerli kalır, çünkü serinin sonlu terim sayısını değiştirmek yakınsamasını ihlal etmeyin. Örnekler. Yakınsaklık için aşağıdaki serileri inceleyin: Sayı serisi yakınsak olduğundan, karşılaştırma yapıldığında orijinal seri (4) de yakınsar. Eşitsizlik eşitsizliği ima eder. Harmonik seri ıraksak olduğundan (seri gibi, ardından orijinal seri (4) ile karşılaştırılır.) ) da ıraksar. I Teorem 6 daha genel bir eşitsizlik durumunda geçerli kalır. Örnek 3. Seri 4'ü yakınsaklık açısından inceleyin. Her şey için geçerli olan sin x ^ x eşitsizliğini kullanarak, bunu şunu buluruz: Seri yakınsadığı için, o zaman. karşılaştırma yaparak (burada A = y) bu seri (5) de yakınsar. Sonuç: Sıfırdan farklı bir sonlu limit varsa, o zaman (1) ve (2) serisi aynı anda yakınsar veya ıraksar. Yukarıdaki limitin varlığından şu sonuç çıkar: herhangi bir e > O sayısı için bir N sayısı vardır, öyle ki tüm n > N için eşitsizlik veya Dolayısıyla (2) serisi yakınsarsa, o zaman seri de yakınsar. Ancak o zamandan beri, Teorem 6'ya göre () serisi. 1) de yakınsak olacaktır. (2) serisi ıraksaktır ve (e) serisi o kadar küçük kabul edilir. Teorem 6'ya göre n herkes için olduğundan seri (1) ıraksar. Yorum. Lemmanın durumu сс ve Lbn dizilerinin eşdeğer olması gerçeğine eşdeğerdir veya bu da aynıdır. I = 0 durumunda, (2) serisinin yakınsaması (1) serisinin yakınsamasını ifade eder. Bunun tersi doğru değil. L = +oo durumunda (1) serisinin ıraksaması (2) serisinin ıraksamasını ifade eder. Bunun tersi doğru değil. Örnekler. Yakınsaklık için aşağıdaki sayı serilerini inceleyin: 4 Bu seriyi elimizdeki harmonik serilerle karşılaştıralım. Harmonik seri ıraksak olduğundan bu seri de ıraksar. Daha sonra orijinal seri birleşir. §5. D'Alembert testi oo Teorem 7 (D'Alembert testi). Tüm an'ların > 0 olduğu bir an serisi verilsin. Eğer n =\ limit varsa seri yakınsar ve seri ıraksar.4 q'yu alacak şekilde bir limit olsun. O zaman herhangi bir sayı için, örneğin e = için, tüm n ^ N için eşitsizliğin geçerli olacağı bir N sayısı vardır. Özellikle, bu eşitsizlikten itibaren n'ye değerleri art arda vereceğiz. N, elde ederiz Serinin terimleri, bir paydaya sahip geometrik ilerlemenin terimlerinden oluşan bir seri olarak yakınsak olan serinin karşılık gelen terimlerini aşmaz. Karşılaştırıldığında, seri yakınsar, bu da orijinal serinin de yakınsadığı anlamına gelir. Belirli bir sayıdan başlayarak N, eşitsizliğin karşılanacağı veya Sonuç olarak, gerekli olduğu için bir yakınsama işareti olacaktır. Yorum. Varsa veya yoksa, D'Alembert testi serinin yakınsaklığı veya ıraksaması hakkında bir cevap vermez. Örnekler. Aşağıdaki serileri yakınsaklık açısından inceleyin: Belirli bir seri için pozitif terimli seriler için karşılaştırma testi yapıyoruz D'Alembert testi Cauchy testi Bir serinin yakınsaklığı için Cauchy kriteri D'Alembert testi ile seri yakınsaktır. Bu seride ıraksak var. . Cauchy testi Teorem 8 (Cauchy testi). oo serisi öyle bir q sayısı verilsin ki. Bir N sayısından başlayarak eşitsizliğin geçerli olacağı bir sınır olduğundan. Aslında, limit eşitliğinden, for dahil olmak üzere herhangi bir c için bir N sayısı olduğu sonucu çıkar ve buradan başlayarak eşitsizliği A veya aynı olan, Buradan for'u elde ederiz. Bu nedenle, başlangıçta serinin tüm terimleri yakınsak serinin karşılık gelen terimleri 00'dan küçüktür £ 0π Karşılaştırıldığında, seri yakınsar ve dolayısıyla (1) serisi de yakınsar. İzin vermek. Daha sonra, belirli bir N sayısından başlayarak, tüm n > N için eşitsizlik > 1 geçerli olacaktır veya Sonuç olarak (1) serisi ıraksar. Yorum. A = 1 ise, (I) serisi yakınsak veya ıraksak olabilir. Örnekler. Yakınsaklık için aşağıdaki serileri inceleyin: L Serisi yakınsaktır. ^ m Burada seri ıraksaklaşıyor. ^

Burada, dizi için sonlu bir limitin varlığının genel bir işaretini düşünmeyi öneriyoruz,
.

Tanım 3.5. Alt sıra ,
, keyfi bir sayı için temel olarak adlandırılır
böyle bir sayı var bu herkes için
eşitsizlik geçerli
.

Temel bir dizinin tanımı genellikle aşağıdaki biçimde kullanılır.

Tanım 3.6. Alt sıra keyfi bir sayı için temeldir
böyle bir sayı var bu herkes için
ve herhangi bir doğal sayı eşitsizlik geçerli
.

Teorem 3.13 (Cauchy kriteri). Bir dizinin yakınsak olabilmesi için temel olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. gereklilik. Sıraya izin ver ,
, yakınsar, yani var olur
. Haydi seçelim
. O zaman böyle bir sayı var bu herkes için
eşitsizlik geçerlidir:
.

İzin vermek
Ve
, Daha sonra

=


,

bu da dizinin temel olduğu anlamına gelir.

Yeterlilik. Sıraya izin ver temeldir. Yakınsak olduğunu kanıtlayalım. Zorluk böyle bir sayıyı bulmakta yatıyor A, bu onun sınırıdır.

Tartışmayı birkaç adıma ayıralım.

a) Dizinin temel doğasının onun sınırlılığını gerektirdiğini kanıtlayalım. Hadi düşünelim ε =1 ise böyle bir sayı var N 1 herkesin önünde

N, M ≥ N 1 eşitsizlik geçerli
. Herkesin önünde N≥ N 1 adil:

.

, a olsun, o zaman her doğal için eşitsizlikler giderildi
, yani sınırlı.

b) Doğal olanı seçelim N. Seti düşünün
- sayıları seçilenden az olmayan dizi üyelerinin değerleri kümesi N. a) kümesinde kanıtlananlara göre X 1 sınırlı. Ve bariz yatırımlardan
bundan bu kümelerin her birinin sınırlı olduğu sonucu çıkar.

c) İki yeni diziyi düşünün. Bu amaçla her set için
belirtelim:
,
. b)'de verilen yerleştirmelerden şu sıra izlenmektedir: artışlar (
) ve sıra azalır (
). Bu yüzden
yani diziler monoton ve sınırlıdır ve bu nedenle yakınsarlar. Şunu da unutmayın ki, tüm doğal N eşitsizlikler açık
.

d) Bu iki dizinin farkının sıfıra doğru gittiğini ispatlayalım:
. Temellik koşulunu kullanalım. Rastgele bir sayı için
böyle bir sayı var bu herkes için k ≥ N ε eşitsizlikler giderildi
. Bu eşitsizlikler şu sonuca varmamızı sağlar:

en N≥ N ε . Buradan,
.

e) c) bölümünde kanıtlananlara göre sıra birleşir, izin ver
. Çünkü
ve sonra eşitsizliklerden
ve iki polis hakkındaki lemmadan şu sonuç çıkıyor
. Yeterliliği kanıtlanmıştır. Teorem kanıtlandı.

3.9. Alt diziler. Kısmi sınırlar

Tanım 3.7. İzin vermek ,
, bir sayısal dizidir ve izin verin ,
kesinlikle artan doğal sayılar dizisidir. Daha sonra formun bir dizisi
,
, dizinin bir alt dizisi olarak adlandırılır .

Bir dizinin limiti yoksa, bu durum bir alt dizi için bir limitin var olma olasılığını dışlamaz.

Tanım 3.8. Bir dizinin kısmi limiti, bazı yakınsak alt dizilerin limitidir.

Örnek 3.18. İzin vermek
. Bu dizi birbirinden farklıdır (bkz. Bölüm 3.2), ancak alt dizileri
Ve
sırasıyla 1 ve -1'e yakınsar. Yani bu sayılar dizinin kısmi limitleridir
.

Teorem 3.14. Sıraya izin ver ,
, sayıya yakınsar A. O zaman onun herhangi bir alt dizisi de şuna yakınsar: A.

Kanıt.İzin vermek
,
, - dizinin alt dizisi ,
. Çünkü kesinlikle artan bir doğal sayılar dizisidir, o zaman
herkesin önünde
(Bunu tümevarımla kanıtlamak kolaydır). Haydi seçelim
. Yakınsama tanımı gereği İle A hepsi için
eşitsizlik giderilecek
.Teorem kanıtlandı.

Sorun 3.14 Bir dizinin yakınlaşması için alt dizilerinin her birinin yakınlaşmasının gerekli ve yeterli olduğunu kanıtlayın.

Sorun 3.15. Bunu koşullardan kanıtlayın
A Ve
A şu şekildedir
A.

Sorun 3.16. Tam olarak on kısmi limiti olan bir dizi örneği verin.

Sorun 3.17. Her gerçek sayının kısmi limit olduğu bir dizi örneği verin.

Sınırlı bir dizi durumunda kısmi sınırların varlığı sorununu ele alalım.

Teorem 3.15 (Bolzano-Weierstrass). Her sınırlı dizi, yakınsak bir alt dizi içerir.

Kanıt. Dizinin sınırlı doğasından dolayı aşağıdaki sayıları belirtebiliriz
bu herkes için eşitsizlikler giderildi
. Segmenti böl
yarısında. O zaman en az bir yarım, dizinin sonsuz sayıda terimini içerecektir. Bu, dizinin sonsuz sayıda terimden oluştuğu ve yalnızca iki yarının olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bu yarıyı seçip şununla gösterelim:
, eğer her ikisi de böyleyse, o zaman herhangi biri.

Daha sonra bir segment
Tekrar ikiye bölelim ve dizinin sonsuz sayıda terimini içeren yarıyı seçelim. şununla belirtelim
. Bu süreci sürdürmek, -inci adımda segmenti alıyoruz
, bu dizinin sonsuz sayıda terimini içerir. Oluşturulan bölümlerin her biri bir öncekinin içinde yer alır. Bölüm uzunluğu
eşittir yani arttıkça sıfıra doğru yönelir . Cantor'un lemmasını iç içe geçmiş bölümlere uygulayarak şunu elde ederiz:
Ve
genel limite eğilimliyse bunu şu şekilde belirtiriz: A.

Şimdi bir yakınsak oluşturalım A devamı. Gibi dizinin herhangi bir üyesini seçin
içinde bulunan
. Gibi
dizinin böyle bir üyesini seç
, içinde yer alan
ve sayı hangisi fazla (burada segmentin kullanıldığı
dizinin sonsuz sayıda terimini içerir). Benzer şekilde tartışarak -inci adım
dizinin böyle bir üyesini seç
, içinde yer alan
ve sayı hangisi fazla
. Oluşturulan parçaların her birinin, böyle bir seçimin olasılığını belirleyen sonsuz sayıda dizi terimi içerdiğini hatırlayalım. Çünkü
, A
, daha sonra iki polis hakkındaki lemmaya göre
.Teorem kanıtlandı.

Bir dizinin tüm kısmi limitlerinin kümesini şu şekilde belirtiriz:
. Kanıtlanmış Bolzano-Weierstrass teoremi şu şekilde yeniden formüle edilebilir:

her sınırlı dizinin bir kümesi vardır
kısmi sınırlar boş değildir.

Ek olarak, eşitsizliklerde limite geçiş teoremine göre dizinin sınırlılığından, kümenin sınırlı olduğu sonucunun çıktığını not ediyoruz.
. Yani çok var
hassas üst ve alt kenarlara sahiptir.

Tanım 3.9. İzin vermek ,
, sınırlı bir dizidir ve izin verin
tüm kısmi limitlerinin kümesidir. Değerler

,

sırasıyla dizinin alt ve üst limitleri olarak adlandırılır .

Bu tanımdan doğrudan sayıların çıktığı sonucu çıkmaz. ,çoğuna ait
, ama yine de adil

Teorem 3.16. Sınırlı bir dizinin üst ve alt sınırları onun kısmi sınırlarıdır.

Kanıt. Böyle bir alt dizinin olduğunu gösterelim.
, Ne
. Çünkü
<, o zaman tam üst sınır tanımı gereği vardır itibaren
,hangisi için
. Sonraki, var

, hangisi için
ve genel olarak herkes için olacak

eşitsizlikleri tatmin eden:

.

Her zamandan beri kısmi bir sınırsa, o zaman herhangi bir mahalle sonsuz sayıda dizi terimi içerir . Bu nedenle bir sayı var , hangisi için
; bir numara var , hangisi için

Ve
.

Herkes için muhakemeye devam ediyoruz dikkate almak şartları yerine getiren

Ve
.

Bu şekilde oluşturulan alt dizi
eşitsizlikleri karşılar

ve iki polis hakkındaki lemmaya göre .

Benzer şekilde, yakınsayan bir alt dizi oluşturulur. .Teorem kanıtlandı.

Kanıtlanmış teoremden özellikle, tüm kısmi limitler kümesinin sınırlı bir aralık olduğu bir dizi olmadığı sonucu çıkar.

Dizinin üst ve alt limitlerini şu şekilde göstereceğiz:
Ve
sırasıyla. Bu büyüklüklerin karakteristik özelliklerinden biri olarak aşağıdaki teoremi kanıtlıyoruz.

Teorem 3.17 . İzin vermek – sınırlı dizi,
;
. Daha sonra herhangi bir pozitif sayı için eşitsizliklerin her biri
Ve
dizinin yalnızca sonlu terim kümesini karşılar.

Kanıt. Tam tersini varsayalım. Sayı kümesi olsun eşitsizliği sağlayan dizinin üyeleri
, Sonsuza kadar. Bu sayıları kesin olarak artan düzende sıralayalım:
Daha sonra sıra
eşitsizlikleri karşılar
. Bolzano-Weierstrass teoremine göre, yakınsak bir alt dizi ondan izole edilebilir, limit hangisi daha fazla . Açık ki

ve bu şu gerçekle çelişiyor: - üst kenar. Ortaya çıkan çelişki teoremi kanıtlıyor.

Tanım. (xn) dizisi denir esas (Cauchy dizisi), eğer herhangi bir e > 0 için bir sayı varsa Nöyle ki tüm sayılar için N, koşulu karşılayan N>=N ve herhangi bir doğal sayı için P(p=1,2,3...) eşitsizlik doğrudur:

|x n + p – x n |< e.

Teorem. (Cauchy kriteri) . (xn) dizisinin yakınsak olabilmesi için temel olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt.

1) gereklilik. x n à olsun A. Keyfi bir e > 0 sabitliyoruz. (xn) dizisi limite yakınsadığından A, o zaman e/2'ye eşit bir sayı için bir sayı vardır Nöyle ki herkesin önünde N >= N:

|x n – a|< e/2. (1)

Eğer P herhangi bir doğal sayı ise, tüm n>=N için şu şekilde olacaktır:

|x n + p – A| < e/2. (2)

İki sayının toplamının modülü, modüllerinin toplamını aşmadığından, (1) ve (2) eşitsizliklerinden tüm n >= N ve herhangi bir doğal sayı için elde ederiz. P alacağız:

|x n + p – x n | = | + |<= |x n + p – A| + |x n – a|< e, Ş |x n + p – x n | < e - bu, bunun temel bir dizi olduğu anlamına gelir.

2) Yeterlilik. Şimdi (xn) bir temel dizi olsun. Örneğin, e =1 için n 1 vardır, öyle ki n > n 1 ve m > n 1 |x n - x m |< 1.

m o > n 1'i sabitlerken |x n - x elde ederiz M o |< 1 и Þ |x n | < 1+ |xM o |

Ş |x n |<= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|xM o |) tüm nÎN'ler için, yani. (xn) – sınırlı.

Bu, Bolzano-Weierstrass teoremine göre yakınsak bir dizinin var olduğu anlamına gelir ( xn k), xn k –> A. (xn)'nin şuna yakınsadığını gösterelim: A.

Belirli bir e > 0 için:

"e > 0 $K(e)О N:"k>K(e) Ş

|xn k- A| < e;

Ek olarak, (x n)'in temel yapısından dolayı, $n e = n(e): n k ,n > n e

Ş |x n – x N k |< e/2

Hadi koyalım N e = max(n e , n k (e)) ve n ko'yu düzeltin > N e. o zaman n > için N elimizde:

|x n – a|<= |x n – xN ko | + |x N ko – a|< e. А это и означает, что lim x n = A #

15. Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin iki tanımı ve bunların eşdeğerliği.

Def.1. (Cauchy'ye göre). y=f(x) fonksiyonu verilsin: X à Y ve bir nokta A X kümesinin limitidir. Sayı A isminde fonksiyonun sınırı y=f(x) noktadaA , eğer herhangi bir e > 0 için d > 0 belirtmek mümkündür, öyle ki tüm xÎX eşitsizliklerini karşılayan 0< |x-A| < d, выполняется |f(x) – A| < e.

Def.2 (Heine'e göre). Sayı A y=f(x) fonksiyonunun o noktadaki limiti denir A, eğer herhangi bir dizi için ise (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, yakınsayan A, fonksiyon değerlerinin sırası (f(x n)) sayıya yakınsar A.

Teorem. Bir fonksiyonun limitinin Cauchy'ye göre ve Heine'ye göre belirlenmesi eşdeğerdir.

Kanıt. Cauchy'ye göre A=lim f(x) y=f(x) fonksiyonunun limiti olsun.

ve (x n )Ì X, x n ¹a "nОN – diziye yakınsak A, x n à A.

e > 0 verildiğinde, d > 0'ı öyle buluruz ki 0'da< |x-A| < d, xÎX имеем |f(x) – A| < e,

ve bu d'den bir n d =n(d) sayısı buluyoruz, öyle ki n>n d için 0 elde ediyoruz< |x n -A| < d.

Ama sonra |f(x n) – A| < e, т.е. доказано, что f(x n)à A.

Şimdi sayıyı bırakalım A Heine'ye göre artık fonksiyonun bir sınırı vardır, ancak A Cauchy limiti değildir. O zaman e o > 0 vardır, öyle ki tüm nОN'ler için x n ОX vardır,

0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= e o . Bu, (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, x n à dizisinin bulunduğu anlamına gelir Aöyle ki

(f(x n)) dizisi şuna yakınsamaz A. #

Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin tekliği. Sonlu limiti olan bir fonksiyonun yerel sınırlılığı. Sıfır limiti olan bir fonksiyonun işaretinin yerel olarak korunması.

Teorem 1. Eğer $ lim f(x) = b R x à a için bu limit tek bir.

Kanıt: Öyle olmasın.

lim f(x) = b 1 ve lim x à a için f(x) = b 2. b 1 ¹b 2

"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (Heine'ye göre tanım)

"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (Heine'ye göre tanım)

Belirli bir (x n )М D(f) dizisi için. xn ’ à a, x n ¹ a Þ

Þ f(x n ') à b 1 ve f(x n ')à b 2. O halde dizinin limitinin tekliği teoremine göre b 1 =b 2 . #

Def. Bir f(x) fonksiyonuna, eğer d > 0 ve M > 0 sayıları varsa, x à a için yerel olarak sınırlı olduğu söylenir, öyle ki 0 için< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.

Teorem 1 (yerel sınırlılık hakkında). Bir f(x) fonksiyonunun a noktasında bir limiti varsa, o zaman x à a için yerel olarak sınırlıdır.

Kanıt: Eğer x à a için lim f(x) = A varsa, o zaman örneğin e=1 için d>0 vardır, öyle ki 0 için< |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,

|f(x)|<|A|+1=M. #

Teorem 2 (yerel işaretlerin korunması hakkında). Eğer lim x à a ve A¹0 için f(x) = A, o zaman d>0 vardır, öyle ki

0 < |x-a| < d, xÎX и A>0'da f(x)>A/2 var ve 0'da< |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем

f(x)< a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| >|A|/2.

Kanıt: e=|A|/2'yi alalım. Öyle bir d>0 var ki

0 < |x-a| < d, xÎX имеем

A-|A|/2

A>0 için soldaki eşitsizlikten f(x) > A/2 ve A için elde ederiz<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. #

Alt sıra (xn) tatmin eder Cauchy durumu, eğer herhangi bir pozitif reel sayı için ε > 0 öyle bir N ε doğal sayısı vardır ki
(1) |x n - x m |< ε при n >N ε , m > N ε .

Cauchy koşulunu sağlayan dizilere de denir. temel diziler.

Cauchy koşulu başka bir biçimde sunulabilir. m > n olsun. eğer m< n , то поменяем n и m местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем:
;
.
Burada p bir doğal sayıdır.

Bu durumda Cauchy koşulu şu şekilde formüle edilebilir:

Tutarlılık tatmin eder Cauchy durumu, eğer herhangi biri için öyle bir doğal sayı varsa
(2) for ve herhangi bir doğal p .

Cauchy koşulunda görünen sayı ε'ya bağlıdır. Yani, aralığı doğal sayılar kümesi olan ε gerçek değişkeninin bir fonksiyonudur. Sayı, işlevleri belirtmek için alışılmış olduğu gibi formda da yazılabilir.

Dizi yakınsaması için Cauchy kriteri

Bir dizinin sonlu bir limite sahip olabilmesi için Cauchy koşulunu sağlaması gerekli ve yeterlidir.

Bir dizinin yakınsaması için Cauchy kriterinin kanıtı

Gereklilik Kanıtı

Dizinin sonlu bir a limitine yakınsamasına izin verin:
.
Bu, aşağıdaki eşitsizliklerin herhangi biri için geçerli olacak bir fonksiyonun olduğu anlamına gelir:
(1.1) .
Bkz. Sıra limitinin tanımı.

Sıranın sağlandığını gösterelim. Bunu yapmak için herhangi biri için aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayacak bir fonksiyon bulmamız gerekir:
.
Eşitsizliklerin özelliklerini kullanalım ve (1.1)'i uygulayalım:
.
Son eşitsizlik için geçerlidir.

ile değiştirelim. O zaman sahip olduğumuz herhangi biri için:
,
Nerede .

İhtiyaç kanıtlandı.

Yeterlilik kanıtı

Sıranın tatmin olmasına izin verin. Sonlu bir sayıya yakınsadığını kanıtlayalım. Kanıtı üç parçaya ayırıyoruz. Öncelikle dizinin sınırlı olduğunu kanıtlıyoruz. Daha sonra sınırlı bir dizinin sonlu bir sayıya yakınsayan bir alt diziye sahip olduğunu uygularız. Ve son olarak tüm dizinin bu sayıya yakınsadığını göstereceğiz.

Sağlayan dizinin sınırlı olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için Cauchy koşulunu belirledik. O zaman aşağıdaki eşitsizliklerin geçerli olduğu bir doğal sayı vardır:
(2.1.1) .

Herhangi bir doğal sayıyı alalım ve dizinin bir üyesini düzeltelim. Bunun n indeksine bağlı olmayan sabit bir sayı olduğunu vurgulamak için belirtelim.

(2.1.1)'de yerine koyuyoruz ve dönüşümleri gerçekleştiriyoruz. Sahip olduğumuzda:
;
;
;
;
.
Bu da dizinin terimlerinin sınırlı olduğunu göstermektedir. for için yalnızca sonlu sayıda terim olduğundan, tüm dizi sınırlıdır.

Bolzano-Weierstrass teoremini uygulayalım. Bu teoreme göre sınırlı bir dizi, sonlu bir a sayısına yakınsayan bir alt diziye sahiptir. Böyle bir alt diziyi şu şekilde gösterelim. Daha sonra
.

Tüm dizinin a sayısına yakınsadığını gösterelim.
Dizi tatmin ettiğinden, aşağıdaki eşitsizliklerin herhangi biri için geçerli olduğu bir fonksiyon vardır:
.
Yakınsak alt dizinin terimini terim olarak alalım ve ε yerine koyalım 1 ε tarafından /2 :
(2.3.1) .

N'yi düzeltelim. O halde (2.3.1), sonlu sayıda ilk terimin hariç tutulduğu bir dizi içeren bir eşitsizliktir. Sonlu sayıda ilk terim yakınsamayı etkilemez (bkz. Sonlu sayıda terimin bir dizinin yakınsaması üzerindeki etkisi). Bu nedenle kesik bir dizinin limiti hala a'dır. Başvuruyor eşitsizliklerle ilişkili limitlerin özellikleri Ve limitlerin aritmetik özellikleri, için , (2.3.1)'den elimizde:
.
Açık eşitsizliği kullanalım: . Daha sonra
.


Yani, herhangi biri için bir doğal sayı vardır, yani
.
Bu, a sayısının tüm dizinin (sadece alt dizisinin değil) limiti olduğu anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı

Referanslar:
O.V. Besov. Matematiksel analiz üzerine dersler. Bölüm 1. Moskova, 2004.