Komşu açılar kavramı. Bitişik ve dikey açılar

Bundan var. Eğer iki açı hem komşu hem de eşitse bunlar dik açıdır. Komşu açılardan biri dik yani 90 derece ise diğer açı da diktir. Komşu açılardan biri dar ise diğeri geniş olacaktır. Benzer şekilde, açılardan biri genişse, buna göre ikincisi dar olacaktır.

Dar açı, derece ölçüsü 90 dereceden küçük fakat 0'dan büyük olan açıdır. Geniş açının derece ölçüsü 90 dereceden büyük ancak 180 dereceden küçüktür.

Komşu açıların bir başka özelliği de şu şekilde formüle edilir: Eğer iki açı eşitse, onlara komşu olan açılar da eşittir. Bu, derece ölçüsünün aynı olduğu (örneğin, 50 derece) iki açı varsa ve aynı zamanda bunlardan birinin bitişik bir açıya sahip olması durumunda, bu bitişik açıların değerlerinin de çakıştığı anlamına gelir ( örnekte derece ölçüleri 130 dereceye eşit olacaktır).

Kaynaklar:

• Büyük Ansiklopedik Sözlük - Komşu açılar
• açı 180 derece

"" kelimesinin farklı anlamları vardır. Geometride açı, bir noktadan (tepe noktasından) çıkan iki ışınla sınırlanan bir düzlemin parçasıdır. Düz, dar ve açık açılardan bahsettiğimizde geometrik açıları kastediyoruz.

Geometrideki herhangi bir şekil gibi açılar da karşılaştırılabilir. Açıların eşitliği hareket kullanılarak belirlenir. Açıyı iki eşit parçaya bölmek kolaydır. Üç parçaya bölmek biraz daha zor ama yine de cetvel ve pergel kullanılarak yapılabilir. Bu arada bu görev oldukça zor görünüyordu. Bir açının diğerinden daha büyük veya daha küçük olduğunu açıklamak geometrik olarak basittir.

Açıların ölçü birimi 1/180'dir

Geometri çok yönlü bir bilimdir. Mantık, hayal gücü ve zekayı geliştirir. Elbette karmaşıklığı ve çok sayıda teorem ve aksiyom nedeniyle okul çocukları bundan her zaman hoşlanmazlar. Ayrıca genel kabul görmüş standart ve kuralları kullanarak sonuçlarınızı sürekli olarak kanıtlamanız gerekir.

Bitişik ve dikey açılar geometrinin ayrılmaz bir parçasıdır. Elbette pek çok okul çocuğu, özelliklerinin açık ve kanıtlanması kolay olduğu için bunlara bayılıyor.

Köşe oluşumu

Herhangi bir açı, iki düz çizginin kesişmesi veya bir noktadan iki ışının çekilmesiyle oluşturulur. Açının oluşturulduğu noktaları sırayla belirten bir veya üç harf olarak adlandırılabilirler.

Açılar derece cinsinden ölçülür ve (değerlerine bağlı olarak) farklı şekilde adlandırılabilir. Yani, keskin, geniş ve açılmış bir dik açı var. İsimlerin her biri belirli bir derece ölçüsüne veya aralığına karşılık gelir.

Dar açı, ölçüsü 90 dereceyi geçmeyen açıdır.

Geniş açı, ölçüsü 90 dereceden büyük olan açıdır.

Derece ölçüsü 90 olan açıya dik açı denir.

Sürekli bir düz çizgiden oluşması ve derecesinin 180 olması durumunda buna genişletilmiş denir.

Bir ortak kenarı olan ve ikinci tarafı birbirini devam ettiren açılara bitişik denir. Keskin veya küt olabilirler. Çizginin kesişimi bitişik açıları oluşturur. Özellikleri aşağıdaki gibidir:

1. Bu açıların toplamı 180 dereceye eşit olacaktır (bunu kanıtlayan bir teorem vardır). Dolayısıyla biri biliniyorsa diğeri kolaylıkla hesaplanabilir.
2. İlk noktadan, bitişik açıların iki geniş veya iki dar açıdan oluşturulamayacağı sonucu çıkar.

Bu özellikler sayesinde, bir başka açının değeri verildiğinde, bir açının derece ölçüsünü veya en azından aralarındaki oranı hesaplamak her zaman mümkündür.

Dikey açılar

Kenarları birbirinin devamı olan açılara düşey açılar denir. Çeşitlerinden herhangi biri böyle bir çift gibi davranabilir. Düşey açılar her zaman birbirine eşittir.

Düz çizgiler kesiştiğinde oluşurlar. Onlarla birlikte komşu açılar da her zaman mevcuttur. Bir açı aynı anda biri için bitişik, diğeri için dikey olabilir.

Rastgele bir çizgiyi geçerken diğer bazı açı türleri de dikkate alınır. Böyle bir çizgiye sekant denir; karşılık gelen, tek taraflı ve çapraz açılar oluşturur. Birbirlerine eşittirler. Düşey ve bitişik açıların sahip olduğu özellikler ışığında incelenebilirler.

Böylece açılar konusu oldukça basit ve anlaşılır görünmektedir. Tüm özelliklerinin hatırlanması ve kanıtlanması kolaydır. Açıların sayısal bir değeri olduğu sürece problemlerin çözümü zor değildir. Daha sonra günah ve nedenin incelenmesi başladığında, birçok karmaşık formülü, bunların sonuçlarını ve sonuçlarını ezberlemeniz gerekecek. O zamana kadar bitişik açıları bulmanız gereken kolay bulmacaların tadını çıkarabilirsiniz.

Açılara Başlarken

Bize iki keyfi ışın verilsin. Bunları üst üste koyalım. Daha sonra

Tanım 1

Açıya aynı kökene sahip iki ışın diyeceğiz.

Tanım 2

Tanım 3 çerçevesinde ışınların başlangıç ​​noktası olan noktaya bu açının tepe noktası denir.

Açıyı aşağıdaki üç noktayla göstereceğiz: tepe noktası, ışınlardan birinin üzerinde bir nokta ve diğer ışının üzerinde bir nokta ve açının tepe noktası, gösteriminin ortasına yazılmıştır (Şekil 1).

Şimdi açının büyüklüğünün ne olduğunu bulalım.

Bunu yapmak için birim olarak alacağımız bir çeşit “referans” açısı seçmemiz gerekiyor. Çoğu zaman bu açı, açılmış açının $\frac(1)(180)$ kısmına eşit olan açıdır. Bu miktara derece denir. Böyle bir açıyı seçtikten sonra değerinin bulunması gereken açıları onunla karşılaştırırız.

4 tür açı vardır:

Tanım 3

Bir açı $90^0$'dan küçükse dar açı olarak adlandırılır.

Tanım 4

Bir açıya $90^0$'dan büyükse geniş açı denir.

Tanım 5

180^0$'a eşitse bir açıya gelişmiş denir.

Tanım 6

Eğer $90^0$'a eşitse açıya dik denir.

Yukarıda açıklanan açı türlerine ek olarak, birbirlerine göre açı türlerini yani dikey ve komşu açıları da ayırt edebiliriz.

Bitişik açılar

Ters açı $COB$'ı düşünün. Tepe noktasından bir $OA$ ışınını çiziyoruz. Bu ışın orijinal olanı iki açıya bölecektir. Daha sonra

Tanım 7

Yanlarından bir çifti gelişmiş bir açı ise ve diğer çift çakışıyorsa, iki açıya bitişik diyeceğiz (Şekil 2).

Bu durumda $COA$ ve $BOA$ açıları bitişiktir.

Teorem 1

Komşu açıların toplamı 180^0$'dır.

Kanıt.

Şekil 2'ye bakalım.

Tanım 7'ye göre, içindeki $COB$ açısı 180^0$'a eşit olacaktır. Komşu açıların ikinci kenar çifti çakıştığı için, $OA$ ışını açılmamış açıyı 2'ye bölecektir, dolayısıyla

$∠COA+∠BOA=180^0$

Teorem kanıtlandı.

Bu kavramı kullanarak sorunu çözmeyi düşünelim.

örnek 1

Aşağıdaki şekilden $C$ açısını bulun

Tanım 7'ye göre $BDA$ ve $ADC$ açılarının bitişik olduğunu buluyoruz. Bu nedenle, Teorem 1'den şunu elde ederiz:

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Bir üçgendeki açıların toplamına ilişkin teoreme göre,

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Cevap: 40^0$.

Dikey açılar

Açılmamış $AOB$ ve $MOC$ açılarını düşünün. Bu açıların hiçbir kenarı çakışmayacak şekilde köşelerini birbiriyle hizalayalım (yani $O"$ noktasını $O$ noktasının üzerine koyalım).

Tanım 8

Taraflarının çiftleri açılmamış açılar ise ve değerleri çakışıyorsa iki açıya dikey diyeceğiz (Şekil 3).

Bu durumda, $MOA$ ve $BOC$ açıları dikeydir ve $MOB$ ve $AOC$ açıları da dikeydir.

Teorem 2

Düşey açılar birbirine eşittir.

Kanıt.

Şekil 3'e bakalım. Örneğin $MOA$ açısının $BOC$ açısına eşit olduğunu kanıtlayalım.

BÖLÜM I.

TEMEL KONSEPTLER.

on bir. YAN VE DİKEY KÖŞELER.

1. Bitişik açılar.

Herhangi bir açının kenarını tepe noktasının ötesine uzatırsak iki açı elde ederiz (Şekil 72): / Ve güneş ve / Bir tarafı BC'nin ortak olduğu ve diğer iki A ve BD'nin düz bir çizgi oluşturduğu SVD.

Bir kenarı ortak, diğer ikisi düz bir çizgi oluşturan iki açıya komşu açılar denir.

Komşu açılar da şu şekilde elde edilebilir: Bir çizgi üzerindeki (belirli bir çizgi üzerinde olmayan) bir noktadan bir ışın çizersek, bitişik açıları elde ederiz.
Örneğin, / ADF ve / FDВ - bitişik açılar (Şek. 73).

Bitişik açılar çok çeşitli konumlara sahip olabilir (Şek. 74).

Bitişik açıların toplamı düz bir açı oluşturur, bu nedenle komşu iki açının ümmeti eşittir 2D.

Dolayısıyla dik açı, komşu açıya eşit bir açı olarak tanımlanabilir.

Komşu açılardan birinin ölçüsünü bildiğimizde, ona komşu olan diğer açının ölçüsünü bulabiliriz.

Örneğin komşu açılardan biri 3/5 ise D ise ikinci açı şuna eşit olacaktır:

2D- 3 / 5 D= l2 / 5 D.

2. Dikey açılar.

Açının kenarlarını tepe noktasının ötesine uzatırsak dikey açılar elde ederiz. Çizim 75'te EOF ve AOC açıları dikeydir; AOE ve COF açıları da dikeydir.

Bir açının kenarları diğer açının kenarlarının devamı ise iki açıya dikey denir.

İzin vermek / 1 = 7 / 8 D(Şekil 76). Onun bitişiğinde / 2, 2'ye eşit olacak D- 7 / 8 D, yani 1 1/8 D.

Aynı şekilde neye eşit olduklarını da hesaplayabilirsiniz. / 3 ve / 4.
/ 3 = 2D - 1 1 / 8 D = 7 / 8 D; / 4 = 2D - 7 / 8 D = 1 1 / 8 D(Diyagram 77).

Bunu görüyoruz / 1 = / 3 ve / 2 = / 4.

Aynı problemlerden birkaçını daha çözebilirsiniz ve her seferinde aynı sonucu elde edersiniz: dikey açılar birbirine eşittir.

Ancak dikey açıların her zaman birbirine eşit olduğundan emin olmak için tek tek sayısal örnekleri dikkate almak yeterli değildir, çünkü belirli örneklerden çıkarılan sonuçlar bazen hatalı olabilir.

Düşey açıların özelliklerinin geçerliliğinin akıl yürütmeyle, ispatla doğrulanması gerekir.

Kanıt şu şekilde gerçekleştirilebilir (Şekil 78):

/ bir +/ C = 2D;
/ b+/ C = 2D;

(komşu açıların toplamı 2 olduğundan D).

/ bir +/ C = / b+/ C

(bu eşitliğin sol tarafı da 2'ye eşit olduğundan D ve sağ tarafı da 2'ye eşittir D).

Bu eşitlik aynı açıyı içerir İle.

Eşit miktarlardan eşit miktarları çıkarırsak eşit miktarlar kalır. Sonuç şöyle olacaktır: / A = / B yani dikey açılar birbirine eşittir.

Düşey açılar konusunu ele alırken öncelikle hangi açılara düşey denildiğini açıkladık. tanım dikey açılar.

Daha sonra dik açıların eşitliği konusunda bir hüküm (ifade) yaptık ve bu hükmün doğruluğuna delillerle ikna olduk. Geçerliliği kanıtlanması gereken bu tür yargılara denir. teoremler. Böylece bu bölümde hem düşey açıların tanımını verdik hem de özellikleriyle ilgili bir teorem ifade edip kanıtladık.

Gelecekte geometri çalışırken sürekli olarak teoremlerin tanımları ve kanıtlarıyla karşılaşmak zorunda kalacağız.

3. Tepe noktaları ortak olan açıların toplamı.

Çizimde 79 / 1, / 2, / 3 ve / 4 tanesi bir doğrunun bir tarafında bulunur ve bu doğru üzerinde ortak bir tepe noktası vardır. Özetle, bu açılar bir düz açı oluşturur;
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2D.

Çizimde 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ve / 5'in ortak bir köşesi var. Özetle bu açılar bir tam açıyı oluşturur. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4D.

Egzersizler.

1. Komşu açılardan biri 0,72'dir D. Bu komşu açıların açıortaylarının oluşturduğu açıyı hesaplayınız.

2. Komşu iki açının açıortaylarının bir dik açı oluşturduğunu kanıtlayın.

3. Eğer iki açı eşitse komşu açılarının da eşit olduğunu kanıtlayın.

4. Çizim 81'de kaç çift komşu açı vardır?

5. Bir çift komşu açı iki dar açıdan oluşabilir mi? iki geniş açıdan mı? dik ve geniş açılardan mı? dik ve dar açıdan mı?

6. Komşu açılardan biri dik ise, ona komşu olan açının boyutu hakkında ne söylenebilir?

7. İki düz çizginin kesişimindeki açılardan biri dik ise diğer üç açının boyutu hakkında ne söylenebilir?

Bitişik açı nasıl bulunur?

Matematik, okullarda, kolejlerde, enstitülerde ve üniversitelerde zorunlu olarak çalışılan en eski kesin bilimdir. Ancak temel bilgiler her zaman okulda atılır. Bazen çocuğa oldukça karmaşık görevler verilir, ancak ebeveynler matematikten bazı şeyleri unuttukları için yardım edemezler. Örneğin, ana açının boyutuna göre bitişik açının nasıl bulunacağı vb. Sorun basittir ancak hangi açılara bitişik denildiği ve nasıl bulunacağı bilinmediğinden çözümünde zorluklara neden olabilir.

Komşu açıların tanımına ve özelliklerine, ayrıca bunların problemdeki verilerden nasıl hesaplanacağına daha yakından bakalım.

Komşu açıların tanımı ve özellikleri

Bir noktadan çıkan iki ışın “düzlem açısı” adı verilen bir şekil oluşturur. Bu durumda bu noktaya açının tepe noktası denir ve ışınlar onun kenarlarıdır. Işınlardan birini başlangıç ​​​​noktasının ötesine düz bir çizgide devam ettirirseniz, bitişik adı verilen başka bir açı oluşur. Bu durumda her açının iki komşu açısı vardır, çünkü açının kenarları eşdeğerdir. Yani her zaman 180 derecelik bir komşu açı vardır.

Bitişik açıların temel özellikleri şunlardır:

• Bitişik açıların ortak bir tepe noktası ve bir tarafı vardır;
• Bitişik açıların toplamı her zaman 180 dereceye veya hesaplama radyan cinsinden yapılıyorsa Pi sayısına eşittir;
• Komşu açıların sinüsleri her zaman eşittir;
• Komşu açıların kosinüsleri ve teğetleri eşittir ancak zıt işaretlidir.

Bitişik açılar nasıl bulunur

Komşu açıların boyutunu bulmak için genellikle üç çeşit problem verilir.

• Ana açının değeri verilir;
• Ana ve komşu açının oranı verilmiştir;
• Dikey açının değeri verilir.

Sorunun her versiyonunun kendi çözümü vardır. Şimdi onlara bakalım.

Ana açının değeri verilir

Eğer problem ana açının değerini belirtiyorsa, komşu açıyı bulmak çok kolaydır. Bunu yapmak için ana açının değerini 180 dereceden çıkarmanız yeterlidir; bitişik açının değerini elde edersiniz. Bu çözüm komşu açının özelliğine dayanmaktadır; komşu açıların toplamı her zaman 180 dereceye eşittir.

Ana açının değeri radyan cinsinden verilmişse ve problem bitişik açının radyan cinsinden bulunmasını gerektiriyorsa, o zaman ana açının değerini Pi sayısından çıkarmak gerekir, çünkü tam açılmamış açının değeri 180 derecedir. Pi sayısına eşittir.

Ana ve komşu açının oranı verilmiştir

Problem, ana açının dereceleri ve radyanları yerine ana ve komşu açıların oranını verebilir. Bu durumda çözüm bir orantı denklemine benzeyecektir:

1. Ana açının oranını “Y” değişkeni olarak belirtiyoruz.
2. Komşu açıyla ilgili kesir “X” değişkeni olarak gösterilir.
3. Her orana düşen derecelerin sayısı örneğin “a” ile gösterilecektir.
4. Genel formül şu şekilde görünecektir: a*X+a*Y=180 veya a*(X+Y)=180.
5. “a” denkleminin ortak faktörünü a=180/(X+Y) formülünü kullanarak buluyoruz.
6. Daha sonra “a” ortak faktörünün elde edilen değerini, belirlenmesi gereken açının kesri ile çarpıyoruz.

Bu şekilde komşu açının değerini derece olarak bulabiliriz. Ancak radyan cinsinden bir değer bulmanız gerekiyorsa dereceleri radyana dönüştürmeniz yeterlidir. Bunu yapmak için açıyı derece cinsinden Pi ile çarpın ve her şeyi 180 dereceye bölün. Ortaya çıkan değer radyan cinsinden olacaktır.

Dikey açının değeri verilir

Eğer problem ana açının değerini vermiyor ancak düşey açının değerini veriyorsa o zaman komşu açı, ana açının değerinin verildiği birinci paragraftakiyle aynı formül kullanılarak hesaplanabilir.

Dikey açı, ana açıyla aynı noktadan kaynaklanan, ancak tam tersi yönde yönlendirilen bir açıdır. Bunun sonucunda ayna görüntüsü elde edilir. Bu, dikey açının büyüklüğünün ana açıya eşit olduğu anlamına gelir. Buna karşılık, dikey açının komşu açısı, ana açının komşu açısına eşittir. Bu sayede ana açının komşu açısı hesaplanabilmektedir. Bunu yapmak için dikey değeri 180 dereceden çıkarın ve ana açının komşu açısının değerini derece cinsinden elde edin.

Değer radyan cinsinden verilirse, 180 derecelik tam açılmamış açının değeri Pi sayısına eşit olduğundan dikey açının değerini Pi sayısından çıkarmak gerekir.

Ayrıca faydalı makalelerimizi de okuyabilirsiniz.