Giriş………………………………………………………………………………3
1. Teorik kısım……………………………………………………………….4
Temel kavramlar ve terimler……………………………………………………………………4
1.1 Dizi türleri…………………………………………………………………6
1.1.1.Sınırlı ve sınırsız sayı dizileri…..6
1.1.2.Dizilerin monotonluğu…………………………………6
1.1.3.Sonsuz derecede büyük ve sonsuz küçük diziler…….7
1.1.4.Sonsuz küçük dizilerin özellikleri…………………8
1.1.5.Yakınsak ve ıraksak diziler ve özellikleri.....9
1.2 Sıra sınırı………………………………………………….11
1.2.1.Dizilerin limitlerine ilişkin teoremler……………………………15
1.3 Aritmetik ilerleme…………………………………………………………17.
1.3.1. Aritmetik ilerlemenin özellikleri…………………………………..17
1.4Geometrik ilerleme……………………………………………………………..19
1.4.1. Geometrik ilerlemenin özellikleri……………………………………….19
1.5. Fibonacci sayıları……………………………………………………………..21
1.5.1 Fibonacci sayılarının diğer bilgi alanlarıyla bağlantısı………………….22
1.5.2. Canlı ve cansız doğayı tanımlamak için Fibonacci sayı serisinin kullanılması……………………………………………………………………………………………….23
2. Kendi araştırmanız…………………………………………………….28
Sonuç………………………………………………………………………………….30
Referans listesi……………………………………………………………….31
Giriiş.
Sayı dizileri çok ilginç ve eğitici bir konudur. Bu konu, didaktik materyallerin yazarları tarafından öğrencilere sunulan artan karmaşıklıktaki görevlerde, matematik olimpiyatları problemlerinde, Yüksek Öğretim Kurumlarına giriş sınavlarında ve Birleşik Devlet Sınavında bulunur. Matematiksel dizilerin diğer bilgi alanlarıyla nasıl ilişkili olduğunu öğrenmekle ilgileniyorum.
Araştırma çalışmasının amacı: Sayı dizisi hakkındaki bilgiyi genişletmek.
1. Sırayı düşünün;
2. Özelliklerini göz önünde bulundurun;
3. Dizinin analitik görevini düşünün;
4. Diğer bilgi alanlarının geliştirilmesindeki rolünü gösterin.
5. Canlı ve cansız doğayı tanımlamak için Fibonacci sayı serisinin kullanımını gösterin.
1. Teorik kısım.
Temel kavram ve terimler.
Tanım. Sayısal bir dizi, y = f(x), x О N biçiminde bir fonksiyondur; burada N, y = f(n) veya y1, y2 olarak gösterilen doğal sayılar kümesidir (veya doğal bir argümanın fonksiyonudur), …, yn,…. y1, y2, y3,... değerlerine sırasıyla dizinin birinci, ikinci, üçüncü,... üyeleri denir.
Rastgele önceden belirlenmiş keyfi küçük bir pozitif sayı ε için tüm n>N eşitsizliği için |x n - a| eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir N doğal sayısı varsa, a sayısına x = (x n) dizisinin limiti denir.< ε.
Eğer a sayısı x = (x n ) dizisinin limiti ise, o zaman x n'nin a'ya eğilimli olduğunu söylerler ve şunu yazarlar:
.Bir (yn) dizisinin her bir üyesi (birinci hariç) bir öncekinden büyükse artan olduğu söylenir:
y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….
Her bir üye (birinci hariç) bir öncekinden küçükse, bir diziye (yn) azalan dizi adı verilir:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .
Artan ve azalan diziler ortak terim olan monotonik diziler altında birleştirilir.
Bir n'den başlayarak yn = yn+T eşitliğini sağlayan bir T doğal sayısı varsa bu diziye periyodik denir. T sayısına periyot uzunluğu denir.
Aritmetik ilerleme, ikinciden başlayarak her bir terimin önceki terimin toplamına eşit olduğu ve aynı d sayısına aritmetik ilerleme adı verilen ve d sayısına bir fark olan bir dizidir (an). aritmetik ilerleme.
Bu nedenle, bir aritmetik ilerleme, ilişkilerle tekrar tekrar tanımlanan bir sayısal dizidir (an).
a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)
Geometrik ilerleme, tüm terimlerin sıfırdan farklı olduğu ve ikinciden başlayarak her terimin bir önceki terimden aynı q sayısıyla çarpılmasıyla elde edildiği bir dizidir.
Dolayısıyla geometrik bir ilerleme, ilişkilerle tekrar tekrar tanımlanan bir sayısal dizidir (bn).
b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).
1.1 Dizi türleri.
1.1.1 Kısıtlı ve kısıtsız diziler.
Herhangi bir n sayısı için bn≤ M eşitsizliğinin geçerli olduğu bir M sayısı varsa, bir (bn) dizisinin yukarıda sınırlı olduğu söylenir;
Herhangi bir n sayısı için bn≥ M eşitsizliğinin geçerli olduğu bir M sayısı varsa, bir (bn) dizisine aşağıda sınırlı dizi denir;
Örneğin:
1.1.2 Dizilerin monotonluğu.
Herhangi bir n sayısı için bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) eşitsizliği doğruysa, bir (bn) dizisine artmayan (azalan olmayan) denir;
Herhangi bir n sayısı için bn> bn+1 (bn) eşitsizliği varsa, bir (bn) dizisine azalan (artan) denir. Azalan ve artan dizilere tam anlamıyla monotonik, artmayan dizilere ise geniş anlamda monotonik denir. Hem üstten hem de alttan sınırlı olan dizilere sınırlı denir. Tüm bu türlerin dizisine monotonik denir. 1.1.3 Sonsuz büyük ve küçük diziler. Sonsuz küçük bir dizi, sıfıra yaklaşan sayısal bir fonksiyon veya dizidir. Bir an dizisinin sonsuz küçük olduğu söylenir, eğer ℓimx→x0 f(x)=0 ise, x0 noktasının komşuluğundaki bir fonksiyona sonsuz küçük fonksiyon denir. ℓimx→.+∞ f(x)=0 veya ℓimx→-∞ f(x)=0 ise, bir fonksiyona sonsuzda sonsuz küçük denir. Ayrıca sonsuz küçük, bir fonksiyon ile onun limiti arasındaki farkı temsil eden bir fonksiyondur, yani eğer ℓimx→.+∞ f(x)=a ise f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0. Sonsuz büyük bir dizi, sonsuza uzanan sayısal bir fonksiyon veya dizidir. Bir an dizisinin sonsuz büyük olduğu söylenir, eğer ℓimn→0 an=∞. Eğer ℓimx→x0 f(x)= ∞ ise, bir fonksiyonun x0 noktasının komşuluğunda sonsuz büyük olduğu söylenir. Bir fonksiyona sonsuzda sonsuz büyük denirse ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ veya ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Sonsuz küçük dizilerin özellikleri. İki sonsuz küçük dizinin toplamı da sonsuz küçük bir dizidir. İki sonsuz küçük dizinin farkının kendisi de sonsuz küçük bir dizidir. Herhangi bir sonlu sayıda sonsuz küçük dizinin cebirsel toplamının kendisi de sonsuz küçük bir dizidir. Sınırlı bir dizi ile sonsuz küçük bir dizinin çarpımı sonsuz küçük bir dizidir. Herhangi bir sonlu sayıda sonsuz küçük dizinin çarpımı sonsuz küçük bir dizidir. Herhangi bir sonsuz küçük dizi sınırlıdır. Durağan bir dizi sonsuz küçükse, bazılarından başlayarak tüm elemanları sıfıra eşittir. Sonsuz küçük dizinin tamamı aynı öğelerden oluşuyorsa, bu öğeler sıfırdır. Eğer (xn) sıfır terim içermeyen sonsuz büyük bir dizi ise, o zaman sonsuz küçük bir dizi (1/xn) vardır. Bununla birlikte, eğer (xn) sıfır eleman içeriyorsa, o zaman (1/xn) dizisi yine de bir n sayısından başlayarak tanımlanabilir ve yine de sonsuz küçük olacaktır. Eğer (an) sıfır terim içermeyen sonsuz küçük bir dizi ise, o zaman sonsuz büyüklükte bir (1/an) dizisi vardır. Eğer (an) yine de sıfır eleman içeriyorsa, o zaman (1/an) dizisi hala bir n sayısından başlayarak tanımlanabilir ve yine de sonsuz büyüklükte olacaktır. 1.1.5 Yakınsak ve ıraksak diziler ve özellikleri. Yakınsak dizi, bir X kümesinin bu kümede bir limiti olan elemanlarının dizisidir. Iraksak dizi, yakınsak olmayan dizidir. Her sonsuz küçük dizi yakınsaktır. Limiti sıfırdır. Sonsuz bir diziden sonlu sayıda elemanın çıkarılması, o dizinin ne yakınsamasını ne de limitini etkiler. Herhangi bir yakınsak dizi sınırlıdır. Ancak her sınırlı dizi yakınsamaz. Eğer (xn) dizisi yakınsak ama sonsuz küçük değilse, belirli bir sayıdan başlayarak sınırlı olan bir (1/xn) dizisi tanımlanır. Yakınsak dizilerin toplamı da yakınsak bir dizidir. Yakınsak dizilerin farkı da yakınsak bir dizidir. Yakınsak dizilerin çarpımı da yakınsak bir dizidir. İki yakınsak dizinin bölümü, ikinci dizi sonsuz küçük olmadığı sürece, bir elemandan başlayarak tanımlanır. İki yakınsak dizinin bölümü tanımlanırsa, bu yakınsak bir dizidir. Yakınsak bir dizi aşağıdan sınırlıysa, bu durumda onun son değerlerinden hiçbiri onun sınırını aşmaz. Yakınsak bir dizi yukarıdan sınırlıysa, limiti üst sınırlarından hiçbirini aşmaz. Herhangi bir sayı için bir yakınsak dizinin terimleri başka bir yakınsak dizinin terimlerini aşmıyorsa, o zaman birinci dizinin limiti de ikincinin limitini aşmaz. Doğal argüman n'nin (n=1; 2; 3; 4;...) a n =f (n) fonksiyonuna sayı dizisi denir. Sayılar a 1; bir 2; bir 3; Bir dizi oluşturan a 4 ;…'e sayısal dizinin üyeleri denir. Yani a 1 =f(1); a 2 =f(2); a 3 =f(3); a 4 =f(4);… Dolayısıyla, dizinin üyeleri endeksleri (üyelerinin seri numaraları) gösteren harflerle belirtilir: a 1 ; bir 2; bir 3; a 4 ;… dolayısıyla a 1 dizinin ilk üyesidir; a 2 dizinin ikinci terimidir; a 3 dizinin üçüncü üyesidir; 4, dizinin dördüncü terimidir, vb. Kısaca sayısal dizi şu şekilde yazılır: a n =f (n) veya (a n). Bir sayı serisini belirtmenin aşağıdaki yolları vardır: 1)
Sözlü yöntem. Kelimelerle açıklanan bir dizinin üyelerinin düzenlenmesine yönelik bir modeli veya kuralı temsil eder. Örnek 1. Negatif olmayan ve 5'in katı olan tüm sayıların sırasını yazın. Çözüm. 0 veya 5 ile biten tüm sayılar 5'e bölünebildiğinden dizi şu şekilde yazılacaktır: 0; 5; 10; 15; 20; 25; ... Örnek 2. Sıra verildiğinde: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Bunu sözlü olarak sorun. Çözüm. 1=1 2 olduğunu fark ettik; 4=22; 9=32; 16=42; 25=52; 36=62; ... Şu sonuca varıyoruz: doğal sayıların karelerinden oluşan bir dizi verildiğinde. 2)
Analitik yöntem. Dizi, n'inci terimin formülüyle verilir: a n =f (n). Bu formülü kullanarak dizinin herhangi bir üyesini bulabilirsiniz. Örnek 3. Bir sayı dizisinin k'inci teriminin ifadesi bilinmektedir: a k = 3+2·(k+1). Bu dizinin ilk dört terimini hesaplayın. a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7; a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9; a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11; a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13. Örnek 4. İlk birkaç üyesini kullanarak bir sayısal dizi oluşturma kuralını belirleyin ve dizinin genel terimini daha basit bir formül kullanarak ifade edin: 1; 3; 5; 7; 9; ... . Çözüm. Bize bir dizi tek sayı verildiğini fark ettik. Herhangi bir tek sayı şu şekilde yazılabilir: 2k-1; burada k bir doğal sayıdır; k=1; 2; 3; 4; ... . Cevap: a k =2k-1. 3)
Tekrarlanan yöntem. Sıralama da bir formülle verilir, ancak yalnızca terimin sayısına bağlı olan genel bir terim formülüyle değil. Her bir sonraki terimin önceki terimler aracılığıyla bulunacağı bir formül belirtilir. Bir işlevi belirlemenin yinelenen yöntemi durumunda, dizinin bir veya daha fazla ilk üyesi her zaman ek olarak belirtilir. Örnek 5. Dizinin ilk dört terimini (a n) yazın, 1 =7 ise; a n+1 = 5+a n . a 2 =5+a 1 =5+7=12; a 3 =5+a 2 =5+12=17; a 4 =5+a 3 =5+17=22. Cevap: 7; 12; 17; 22; ... . Örnek 6. (b n) dizisinin ilk beş terimini yazın, eğer b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 . b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1; b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5; b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Cevap: -2; 3; -1; 5; 3; ... . 4)
Grafik yöntemi. Sayısal dizi, yalıtılmış noktaları temsil eden bir grafikle verilir. Bu noktaların apsisleri doğal sayılardır: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinatlar dizi üyelerinin değerleridir: a 1 ; bir 2; bir 3; bir 4;…. Örnek 7. Grafiksel olarak verilen sayısal dizinin beş terimini de yazın. Bu koordinat düzlemindeki her noktanın koordinatları vardır (n; a n). İşaretlenen noktaların koordinatlarını apsis n'ye göre artan sırada yazalım. Şunu elde ederiz: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7). Bu nedenle a 1 = -3; a 2 =1; a3 =4; a 4 =6; 5 =7. Cevap: -3; 1; 4; 6; 7. Bir fonksiyon olarak ele alınan sayısal dizi (örnek 7'de) ilk beş doğal sayının (n=1; 2; 3; 4; 5) kümesinde verilmiştir, dolayısıyla şu şekildedir: sonlu sayı dizisi(beş üyeden oluşur). Doğal sayılar kümesinin tamamında bir fonksiyon olarak bir sayı dizisi verilirse, o zaman böyle bir dizi olacaktır. sonsuz bir sayı dizisi. Sayı dizisi denir artan, eğer üyeleri artıyorsa (a n+1 >a n) ve azalıyorsa, eğer üyeleri azalıyor(bir n+1
Artan veya azalan sayı dizisine denir monoton. Alt sıra Alt sıra- Bu kiti bazı kümelerin elemanları: Yani dizi sonuç olarak ortaya çıkıyor tutarlı Belirli bir kümenin elemanlarının seçimi. Ve eğer herhangi bir öğe kümesi sonluysa ve sonlu hacimli bir örnekten bahsediyorsak, o zaman dizinin sonsuz hacimli bir örnek olduğu ortaya çıkar. Bir dizi, doğası gereği bir eşlemedir, bu nedenle diziyi "içinden geçen" bir kümeyle karıştırılmamalıdır. Matematikte birçok farklı dizi dikkate alınır: Tüm olası dizileri incelemenin amacı kalıpları araştırmak, gelecekteki durumları tahmin etmek ve diziler oluşturmaktır. Keyfi nitelikteki belirli bir dizi unsur verilsin. | Bir doğal sayılar kümesinden belirli bir kümeye yapılan herhangi bir eşleştirmeye denir. sekans(kümenin elemanları). Doğal bir sayının, yani elemanın görüntüsüne denir - bu üye veya sıra elemanı ve dizinin bir üyesinin sıra numarası onun indeksidir. Formun dizileri Parantez kullanarak kısa bir şekilde yazmak gelenekseldir: Bazen küme parantezleri kullanılır: Bir miktar ifade özgürlüğüne izin vererek, formun sonlu dizilerini de dikkate alabiliriz. doğal sayılar dizisinin başlangıç bölümünün görüntüsünü temsil eden. Wikimedia Vakfı. Diğer sözlüklerde “Sıra”nın ne olduğuna bakın: SONRAKİ. I.V. Kireevsky'nin "Ondokuzuncu Yüzyıl" (1830) makalesinde şunu okuyoruz: "Roma İmparatorluğu'nun çöküşünden günümüze kadar, Avrupa'nın aydınlanması bize kademeli bir gelişme ve kesintisiz bir sırayla görünüyor" (cilt 1, s. ... ... Kelimelerin tarihi DİZİ, diziler, çoğul. hayır, kadın (kitap). dikkati dağılmış isim sıralı olarak. Bir dizi olay. Değişen gelgitlerde tutarlılık. Akıl yürütmede tutarlılık. Ushakov'un açıklayıcı sözlüğü.... ... Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü Tutarlılık, süreklilik, mantık; seri, ilerleme, sonuç, seri, ip, dönüş, zincir, zincir, basamaklı, bayrak yarışı; kalıcılık, geçerlilik, diziliş, metodiklik, düzenleme, uyum, azim, ardışıklık, bağlantı, sıra,... ... SIRALI, düzenli bir şekilde düzenlenmiş sayılar veya öğeler. Diziler sonlu (sınırlı sayıda öğeye sahip) veya sonsuz olabilir, örneğin 1, 2, 3, 4 doğal sayılarının tam dizisi gibi .... ... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük DİZİ, doğal sayılarla numaralandırılmış bir sayı kümesi (matematiksel ifadeler vb.; derler ki: herhangi bir nitelikteki öğeler). Dizi x1, x2,..., xn,... veya kısaca (xi) ... şeklinde yazılır. Modern ansiklopedi Matematiğin temel kavramlarından biri. Dizi, 1, 2, ..., n, ... doğal sayılarıyla numaralandırılan ve x1, x2, ..., xn, ... veya kısaca (xn) olarak yazılan, herhangi bir nitelikteki öğelerden oluşur. .. Büyük Ansiklopedik Sözlük Alt sıra- SIRA, doğal sayılarla numaralandırılmış bir sayı kümesi (matematiksel ifadeler vb.; derler: herhangi bir nitelikteki öğeler). Dizi x1, x2, ..., xn, ... veya kısaca (xi) şeklinde yazılır. ... Resimli Ansiklopedik Sözlük SIRAS ve dişi. 1. Sıralıya bakınız. 2. Matematikte: sonsuz sıralı sayılar kümesi. Ozhegov'un açıklayıcı sözlüğü. Sİ. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992… Ozhegov'un Açıklayıcı Sözlüğü İngilizce ardıllık/sıra; Almanca Konsequenz. 1. Birbiri ardına sıralanma. 2. Matematiğin temel kavramlarından biri. 3. Akıl yürütmenin birinde ve diğerinde içsel çelişkilerden arınmış olduğu doğru mantıksal düşünmenin kalitesi... ... Sosyoloji Ansiklopedisi Alt sıra- “Değerleri kümesi herhangi bir nitelikteki öğelerden oluşabilen doğal sayılar kümesinde tanımlanmış bir işlev: doğal sayılarla numaralandırılmış sayılar, noktalar, işlevler, vektörler, kümeler, rastgele değişkenler vb. . Ekonomik ve matematiksel sözlük En basit sayı doğal sayı. Günlük hayatta saymak için kullanılırlar. nesneler, yani sayısını ve sırasını hesaplamak için. Doğal sayı nedir: doğal sayılar kullanılan sayıları adlandırın Öğeleri saymak veya tüm homojen öğelerden herhangi bir öğenin seri numarasını belirtmek içinöğeler. Doğal sayılar- bunlar birden başlayan sayılardır. Sayarken doğal olarak oluşurlar.Örneğin, 1,2,3,4,5... -ilk doğal sayılar. En küçük doğal sayı- bir. En büyük doğal sayı yoktur. Sayıyı sayarken Sıfır kullanılmadığından sıfır bir doğal sayıdır. Doğal sayı serisi tüm doğal sayıların dizisidir. Doğal sayıların yazılması: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
Doğal seride her sayı bir öncekinden birer birer büyüktür. Doğal seride kaç sayı vardır? Doğal seri sonsuzdur; en büyük doğal sayı mevcut değildir. Herhangi bir rakamın 10 birimi en yüksek rakamın 1 birimini oluşturduğundan ondalık sayı. Konumsal olarak öyle Bir rakamın anlamının sayı içindeki yerine nasıl bağlı olduğu, yani. yazıldığı kategoriden. Herhangi bir doğal sayı 10 Arap rakamı kullanılarak yazılabilir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Doğal sayıları okumak için sağdan başlayarak 3'er basamaklı gruplara ayrılırlar. ilk 3 sağdaki sayılar birim sınıfını, sonraki 3 tanesi binlik sınıfını, sonra da milyonluk, milyarlık ve milyarlık sınıfları göstermektedir.yakında. Bir sınıfın rakamlarının her birine onun adı verilirdeşarj.
2 doğal sayıdan küçük olanı sayarken daha önce çağrılan sayıdır. Örneğin, sayı 7
az 11
(şöyle yazın:7 < 11
). Bir sayı ikinciden büyük olduğunda şu şekilde yazılır:386 > 99
.
1. sınıf ünitesi Birimin 1. rakamı 2. rakam onlar 3. sırada yüzlerce 2. sınıf bin Binlik biriminin 1. basamağı 2. hane onbinler 3. kategori yüz binlerce 3. sınıf milyonlar Milyonlar biriminin 1. rakamı 2. kategori on milyonlarca 3. kategori yüz milyonlarca 4. sınıf milyarlar Milyarlar biriminin 1. basamağı 2. kategori on milyarlarca 3. kategori yüz milyarlarca 5.sınıf ve üzeri sayılar büyük sayı olarak değerlendirilmektedir. 5. sınıfın birimleri trilyonlar, 6. sınıf - katrilyonlar, 7. sınıf - kentilyonlar, 8. sınıf - sekstilyonlar, 9. sınıf - eptillionlar. Doğal sayıların temel özellikleri. Doğal sayılarla ilgili işlemler. 4. Doğal sayıların bölünmesi çarpma işleminin tersidir. Eğer b ∙ c = bir, O Bölme formülleri: bir: 1 = bir a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Sayısal ifadeler ve sayısal eşitlikler. Sayıların eylem işaretleriyle bağlandığı bir gösterim sayısal ifade. Örneğin, 10∙3+4; (60-2∙5):10. 2 sayısal ifadenin eşittir işaretiyle birleştirildiği kayıtlar sayısal eşitlikler. Eşitliğin sağ ve sol tarafları vardır. Aritmetik işlemleri gerçekleştirme sırası. Sayılarda toplama ve çıkarma birinci dereceden işlemler, çarpma ve bölme ise ikinci dereceden işlemlerdir. Sayısal bir ifade yalnızca bir derecelik eylemlerden oluştuğunda bunlar sırayla gerçekleştirilir. soldan sağa. İfadeler yalnızca birinci ve ikinci dereceden eylemlerden oluştuğunda, eylemler ilk önce gerçekleştirilir. ikinci derece ve ardından birinci derecenin eylemleri. Bir ifadede parantez varsa önce parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir. Örneğin, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. Matematik dünyayı inşa eden bilimdir. Hem bilim adamı hem de sıradan insan - hiç kimse onsuz yapamaz. Önce küçük çocuklara sayma, sonra toplama, çıkarma, çarpma ve bölme öğretilir; ortaokula gelindiğinde harf sembolleri devreye girer ve lisede artık bunlardan kaçınılamaz. Ancak bugün bilinen tüm matematiğin neye dayandığından bahsedeceğiz. "Sıra sınırları" adı verilen bir sayı topluluğu hakkında. “Sıra” kelimesinin anlamını yorumlamak zor değildir. Bu, birisinin veya bir şeyin belirli bir sırada veya sırada yer aldığı şeylerin bir düzenlemesidir. Örneğin hayvanat bahçesine bilet kuyruğu bir dizidir. Ve sadece bir tane olabilir! Örneğin mağazadaki sıraya bakarsanız, bu bir sıradır. Ve eğer bu kuyruktan bir kişi aniden ayrılırsa, o zaman bu farklı bir kuyruk, farklı bir düzendir. "Sınır" kelimesi de kolayca yorumlanır - bu bir şeyin sonudur. Ancak matematikte dizilerin sınırları, sayı dizisinin yöneldiği sayı doğrusu üzerindeki değerlerdir. Neden çabalıyor ve bitmiyor? Çok basit, sayı doğrusunun sonu yok ve ışınlar gibi çoğu dizinin yalnızca bir başlangıcı var ve şöyle görünüyor: x 1, x 2, x 3,...x n... Dolayısıyla bir dizinin tanımı doğal argümanın bir fonksiyonudur. Daha basit bir deyişle, bu belirli bir kümenin bir dizi üyesidir. Basit bir sayı dizisi örneği şu şekilde görünebilir: 1, 2, 3, 4, …n… Çoğu durumda, pratik amaçlar için diziler sayılardan oluşturulur ve dizideki her bir sonraki üyenin, X ile gösterelim, kendi adı vardır. Örneğin: x1 dizinin ilk üyesidir; x 2 dizinin ikinci terimidir; x 3 üçüncü terimdir; x n n'inci terimdir. Pratik yöntemlerde sıra, belirli bir değişkenin bulunduğu genel bir formülle verilir. Örneğin: X n =3n ise sayı dizisi şu şekilde görünecektir: Genel olarak dizileri yazarken yalnızca X değil, herhangi bir Latin harfini kullanabileceğinizi hatırlamakta fayda var. Örneğin: y, z, k, vb. Dizilerin sınırlarını aramadan önce, herkesin ortaokulda karşılaştığı böyle bir sayı dizisi kavramının derinliklerine dalmanız tavsiye edilir. Aritmetik ilerleme, bitişik terimler arasındaki farkın sabit olduğu bir sayı dizisidir. Problem: “a 1 = 15 olsun ve sayı serisinin ilerleme adımı d = 4 olsun. Bu serinin ilk 4 terimini oluşturun" Çözüm: a 1 = 15 (koşula göre), ilerlemenin (sayı serisi) ilk terimidir. ve 2 = 15+4=19 ilerlemenin ikinci terimidir. ve 3 =19+4=23 üçüncü terimdir. ve 4 =23+4=27 dördüncü terimdir. Ancak bu yöntemi kullanarak örneğin 125'e kadar büyük değerlere ulaşmak zordur. Özellikle bu gibi durumlar için uygulamaya uygun bir formül türetildi: a n =a 1 +d(n-1). Bu durumda 125 =15+4(125-1)=511 olur. Çoğu sekans sonsuzdur, hayatınızın geri kalanında hatırlamaya değer. İki ilginç sayı dizisi türü vardır. Birincisi a n =(-1) n formülüyle verilir. Matematikçiler sıklıkla bu diziye flaşör adını verirler. Neden? Sayı serisini kontrol edelim. 1, 1, -1, 1, -1, 1 vb. Böyle bir örnekle dizilerdeki sayıların kolaylıkla tekrarlanabileceği açıkça ortaya çıkıyor. Faktöriyel dizi. Tahmin etmesi kolaydır; diziyi tanımlayan formül bir faktöriyel içerir. Örneğin: a n = (n+1)! Daha sonra sıra şöyle görünecek: a 2 = 1x2x3 = 6; ve 3 = 1x2x3x4 = 24 vb. Aritmetik ilerlemeyle tanımlanan bir diziye, tüm terimleri için -1 eşitsizliği sağlanırsa sonsuz azalan dizi denir ve 3 = - 1/8 vb. Aynı sayıdan oluşan bir dizi bile var. Yani n=6 sonsuz sayıda altılı sayılardan oluşur. Dizi limitleri matematikte uzun süredir mevcuttur. Elbette kendi yetkin tasarımlarını hak ediyorlar. Artık sıra limitlerinin tanımını öğrenmenin zamanı geldi. Öncelikle doğrusal bir fonksiyonun limitine ayrıntılı olarak bakalım: Bir dizinin limitinin tanımının şu şekilde formüle edilebileceğini anlamak kolaydır: bu, dizinin tüm üyelerinin sonsuz olarak yaklaştığı belirli bir sayıdır. Basit bir örnek: a x = 4x+1. O zaman dizinin kendisi şöyle görünecek. 5, 9, 13, 17, 21…x… Dolayısıyla bu dizi sonsuza kadar artacaktır, yani x→∞ kadar limiti sonsuza eşittir ve şu şekilde yazılmalıdır: Benzer bir dizi alırsak ancak x 1'e eğilimliyse şunu elde ederiz: Ve sayı dizisi şu şekilde olacaktır: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, vb. Her seferinde bire daha yakın olan sayıyı değiştirmeniz gerekir (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Bu seriden fonksiyonun limitinin beş olduğu açıktır. Bu bölümden sayısal dizinin limitinin ne olduğunu, basit problemleri çözmenin tanımını ve yöntemini hatırlamakta fayda var. Sayı dizisinin limitini, tanımını ve örneklerini inceledikten sonra daha karmaşık bir konuya geçebilirsiniz. Kesinlikle dizilerin tüm sınırları, genellikle ilk yarıyılda analiz edilen tek bir formülle formüle edilebilir. Peki bu harf, modül ve eşitsizlik işaretleri kümesi ne anlama geliyor? ∀ evrensel bir niceleyicidir ve “herkes için”, “her şey için” vb. ifadelerin yerine geçer. ∃ varoluşsal bir niceleyicidir, bu durumda doğal sayılar kümesine ait bir N değerinin olduğu anlamına gelir. N'yi takip eden uzun dikey çubuk, verilen N kümesinin "öyle" olduğu anlamına gelir. Pratikte “öyle ki”, “öyle ki” vb. anlamına gelebilir. Materyali güçlendirmek için formülü yüksek sesle okuyun. Yukarıda tartışılan dizilerin limitini bulma yöntemi, kullanımı basit olmasına rağmen pratikte o kadar rasyonel değildir. Bu fonksiyonun sınırını bulmaya çalışın: Farklı “x” değerlerini değiştirirsek (her seferinde artar: 10, 100, 1000, vb.), o zaman payda ∞, paydada da ∞ elde ederiz. Bu oldukça garip bir kesirle sonuçlanır: Peki bu gerçekten böyle mi? Bu durumda bir sayı dizisinin limitini hesaplamak oldukça kolay görünmektedir. Her şeyi olduğu gibi bırakmak mümkün olurdu çünkü cevap hazırdı ve makul koşullar altında alındı, ancak bu tür durumlar için özel olarak başka bir yol daha var. Öncelikle kesrin payındaki en yüksek dereceyi bulalım - bu 1'dir, çünkü x, x 1 olarak temsil edilebilir. Şimdi paydanın en yüksek derecesini bulalım. Ayrıca 1. Hem payı hem de paydayı değişkene en yüksek dereceye kadar bölelim. Bu durumda kesri x 1'e bölün. Daha sonra değişken içeren her bir terimin hangi değere yöneldiğini bulacağız. Bu durumda kesirler dikkate alınır. X→∞ olduğundan her kesrin değeri sıfıra doğru yönelir. Çalışmanızı yazılı olarak teslim ederken aşağıdaki dipnotları vermelisiniz: Bu, aşağıdaki ifadeyle sonuçlanır: Elbette x içeren kesirler sıfır olmadı! Ancak değerleri o kadar küçüktür ki, hesaplamalarda dikkate alınmamasına tamamen izin verilir. Aslında bu durumda x hiçbir zaman 0'a eşit olmayacaktır çünkü sıfıra bölemezsiniz. Profesörün, açıkça eşit derecede karmaşık bir formülle verilen karmaşık bir diziyi elinde bulundurduğunu varsayalım. Profesör cevabı buldu ama doğru mu? Sonuçta bütün insanlar hata yapar. Auguste Cauchy bir zamanlar dizilerin sınırlarını kanıtlamanın mükemmel bir yolunu buldu. Onun yöntemine mahalle manipülasyonu adı verildi. Diyelim ki belirli bir a noktası var ve bu noktanın sayı doğrusu üzerinde her iki yöndeki komşuluğu ε'ya (“epsilon”) eşit. Son değişken mesafe olduğundan değeri her zaman pozitiftir. Şimdi bir x n dizisi tanımlayalım ve dizinin onuncu teriminin (x 10) a'nın komşuluğunda yer aldığını varsayalım. Bu gerçeği matematik dilinde nasıl yazabiliriz? Diyelim ki x 10 a noktasının sağında, o zaman x 10 -a mesafesi<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Şimdi yukarıda tartışılan formülü pratikte açıklamanın zamanı geldi. Limitlerinden herhangi biri için ε>0 eşitsizliği karşılanıyorsa ve tüm komşuluğun kendi doğal numarası N varsa, dizinin tüm üyeleri daha yüksek sayılara sahip olacak şekilde belirli bir sayıyı bir dizinin bitiş noktası olarak adlandırmak doğru olur. |x n - a| dizisinin içinde olacak< ε. Böyle bir bilgiyle dizi sınırlarını çözmek, hazır cevabı kanıtlamak veya çürütmek kolaydır. Dizilerin limitlerine ilişkin teoremler teorinin önemli bir bileşenidir ve bunlar olmadan pratik yapmak imkansızdır. Çözme veya kanıtlama sürecini büyük ölçüde kolaylaştırabilecek yalnızca dört ana teorem vardır: Bazen bir sayısal dizinin belirli bir limitini kanıtlamak için ters bir problemi çözmeniz gerekir. Bir örneğe bakalım. Formülde verilen dizinin limitinin sıfır olduğunu kanıtlayın. Yukarıda tartışılan kurala göre, herhangi bir dizi için |x n - a| eşitsizliği<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Belirli bir sayının varlığını göstermek ve dizinin bir limitinin varlığını kanıtlamak için n'yi "epsilon" aracılığıyla ifade edelim. Bu noktada “epsilon” ve “en”in pozitif sayılar olduğunu ve sıfıra eşit olmadığını unutmamak gerekir. Artık lisede eşitsizliklerle ilgili kazanılan bilgileri kullanarak daha fazla dönüşüme devam etmek mümkün. n > -3 + 1/ε olduğu nasıl ortaya çıkıyor? Doğal sayılardan bahsettiğimizi hatırlamakta fayda var, köşeli parantez içine alınarak sonuç yuvarlanabilir. Böylece a = 0 noktasının “epsilon” komşuluğunun herhangi bir değeri için başlangıç eşitsizliğini sağlayacak bir değerin bulunduğu kanıtlanmıştır. Buradan a sayısının belirli bir dizinin limiti olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Q.E.D. Bu kullanışlı yöntem, ilk bakışta ne kadar karmaşık olursa olsun, sayısal bir dizinin limitini kanıtlamak için kullanılabilir. Önemli olan görevi gördüğünüzde paniğe kapılmamak. Pratikte bir tutarlılık sınırının varlığı gerekli değildir. Gerçekten sonu olmayan sayı dizilerine kolaylıkla rastlayabilirsiniz. Örneğin aynı “yanıp sönen ışık” x n = (-1) n. Döngüsel olarak tekrarlanan yalnızca iki rakamdan oluşan bir dizinin limitinin olamayacağı açıktır. Aynı hikaye, tek sayıdan oluşan, kesirli olan, hesaplamalar sırasında herhangi bir sıranın belirsizliği olan (0/0, ∞/∞, ∞/0 vb.) dizilerle tekrarlanır. Ancak yanlış hesaplamaların da meydana geldiği unutulmamalıdır. Bazen kendi çözümünüzü tekrar kontrol etmek dizi sınırını bulmanıza yardımcı olabilir. Yukarıda birkaç dizi örneği ve bunları çözme yöntemleri tartışılmıştı; şimdi daha spesifik bir durumu ele almaya çalışalım ve buna "monotonik dizi" adını verelim. Tanım: Herhangi bir dizi, eğer katı xn eşitsizliği geçerliyse, haklı olarak monoton artan olarak adlandırılabilir.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Bu iki koşulun yanı sıra benzer katı olmayan eşitsizlikler de vardır. Buna göre x n ≤ x n +1 (azalan olmayan dizi) ve x n ≥ x n +1 (artan olmayan dizi). Ancak bunu örneklerle anlamak daha kolaydır. x n = 2+n formülüyle verilen dizi aşağıdaki sayı dizisini oluşturur: 4, 5, 6 vb. Bu monoton olarak artan bir dizidir. Ve x n =1/n alırsak şu diziyi elde ederiz: 1/3, ¼, 1/5, vb. Bu monoton olarak azalan bir dizidir. Sınırlı dizi, limiti olan bir dizidir. Yakınsak bir dizi, sonsuz küçük bir limite sahip bir sayı dizisidir. Dolayısıyla sınırlı bir dizinin limiti herhangi bir gerçek veya karmaşık sayıdır. Yalnızca bir sınırın olabileceğini unutmayın. Yakınsak bir dizinin limiti sonsuz küçük (gerçek veya karmaşık) bir miktardır. Bir dizi diyagramı çizerseniz, belirli bir noktada birleşiyor gibi görünecek, belirli bir değere dönüşme eğiliminde olacaktır. Bu nedenle adı - yakınsak dizi. Böyle bir dizinin bir sınırı olabilir veya olmayabilir. Öncelikle limitin ne zaman var olduğunu anlamakta fayda var; limitin yokluğunu ispatlamaya buradan başlayabilirsiniz. Monotonik diziler arasında yakınsak ve ıraksak olanlar ayırt edilir. Yakınsak, x kümesi tarafından oluşturulan ve bu kümede gerçek veya karmaşık bir limiti olan bir dizidir. Iraksak, kümesinde sınırı olmayan (ne gerçek ne de karmaşık) bir dizidir. Ayrıca, geometrik gösterimde üst ve alt limitleri yakınsa, dizi yakınsar. Yakınsak bir dizinin limiti birçok durumda sıfır olabilir, çünkü herhangi bir sonsuz küçük dizinin bilinen bir limiti (sıfır) vardır. Hangi yakınsak diziyi alırsanız alın, bunların hepsi sınırlıdır, ancak tüm sınırlı diziler yakınsak değildir. İki yakınsak dizinin toplamı, farkı ve çarpımı da bir yakınsak dizidir. Bununla birlikte, eğer tanımlanmışsa bölüm yakınsak da olabilir! Sıra sınırları (çoğu durumda) rakamlar ve sayılar kadar önemlidir: 1, 2, 15, 24, 362 vb. Bazı işlemlerin sınırlarla gerçekleştirilebildiği ortaya çıktı. Birincisi, sayılar ve sayılar gibi, herhangi bir dizinin sınırları da toplanıp çıkarılabilir. Dizilerin limitlerine ilişkin üçüncü teoreme dayanarak aşağıdaki eşitlik geçerlidir: Dizilerin toplamının limiti, limitlerinin toplamına eşittir. İkinci olarak, dizilerin limitlerine ilişkin dördüncü teoreme göre aşağıdaki eşitlik doğrudur: n'inci sayıdaki dizilerin çarpımının limiti, bunların limitlerinin çarpımına eşittir. Aynı durum bölme için de geçerlidir: Limitin sıfır olmaması koşuluyla, iki dizinin bölümünün limiti, limitlerinin bölümüne eşittir. Sonuçta, eğer dizilerin limiti sıfıra eşitse, sonuç sıfıra bölünme olacaktır ki bu imkansızdır. Sayısal dizinin limiti zaten ayrıntılı olarak tartışılmış gibi görünüyor, ancak "sonsuz derecede küçük" ve "sonsuz derecede büyük" sayılar gibi ifadelerden birden fazla kez bahsediliyor. Açıkçası, eğer x→∞ olmak üzere 1/x dizisi varsa, o zaman böyle bir kesir sonsuz küçüktür ve eğer aynı dizi ancak limit sıfıra doğru yöneliyorsa (x→0), o zaman kesir sonsuz büyük bir değer haline gelir. Ve bu miktarların kendine has özellikleri vardır. Herhangi bir küçük veya büyük değere sahip bir dizinin limitinin özellikleri aşağıdaki gibidir: Aslında, eğer basit bir algoritma biliyorsanız, bir dizinin limitini hesaplamak o kadar da zor bir iş değildir. Ancak tutarlılığın sınırları azami dikkat ve azim gerektiren bir konudur. Elbette bu tür ifadelerin çözümünün özünü basitçe kavramak yeterlidir. Küçükten başlayarak zamanla büyük boyutlara ulaşabilirsiniz.
Tanım
İlgili tanımlar
Yorumlar
Tanımlar
Ayrıca bakınız
Eş anlamlılar
Kitaplar
Doğal sayıların sınıfları.
Doğal sayıların karşılaştırılması.
Rakam tablosu ve sayı sınıfları.
Diziler nedir ve limitleri nerededir?
Sayı dizisi nasıl oluşturulur?
Dizilerin bir parçası olarak aritmetik ilerleme
Dizi türleri
Sıra Limitinin Belirlenmesi
Dizilerin limiti için genel tanım
Sınırın belirsizliği ve kesinliği
Mahalle nedir?
Teoremler
Dizilerin kanıtı
Ya da belki orada değildir?
Monotonik dizi
Yakınsak ve sınırlı bir dizinin limiti
Monotonik bir dizinin limiti
Sınırlı çeşitli eylemler
Sıra miktarlarının özellikleri
