Sabit sayı A isminde sınır diziler(xn) herhangi bir keyfi küçük pozitif sayı için iseε > 0 tüm değerleri içeren bir N sayısı var xn n>N için eşitsizliği karşılar
|x n - a|< ε. (6.1)
Aşağıdaki gibi yazın: veya x n → A.
Eşitsizlik (6.1) çift eşitsizliğe eşdeğerdir
a-ε< x n < a + ε, (6.2)
yani puanlar xn n>N gibi bir sayıdan başlayarak (a-) aralığının içinde yer alır.ε, a+ ε ), yani. herhangi bir küçüklüğe düşmekε -bir noktanın komşuluğu A.
Limiti olan diziye denir yakınsak, aksi takdirde - farklı.
Fonksiyon limiti kavramı, dizi limiti kavramının bir genellemesidir, çünkü bir dizinin limiti, bir tamsayı argümanının x n = f(n) fonksiyonunun limiti olarak düşünülebilir. N.
f(x) fonksiyonu verilsin ve A - sınır noktası bu fonksiyonun tanım alanı D(f), yani. herhangi bir komşuluğu D(f) kümesinin aşağıdaki noktalardan başka noktalarını içeren böyle bir nokta A. Nokta A D(f) kümesine ait olabilir veya olmayabilir.
Tanım 1.A sabit sayısına denir sınır işlevler f(x) en x→a, eğer argüman değerlerinin herhangi bir dizisi (xn) içinse A karşılık gelen diziler (f(x n)) aynı A limitine sahiptir.
Bu tanım denir Heine'ye göre bir fonksiyonun limitini tanımlayarak, veya " sıra dilinde”.
Tanım 2. A sabit sayısına denir sınır işlevler f(x) en x→a, eğer keyfi olarak küçük bir pozitif sayı belirterek ε, böyle bir δ bulunabilir>0 (ε'ya bağlı olarak)), ki bu herkes içindir X, yatıyorSayının ε-komşulukları A, yani İçin X eşitsizliğin sağlanması
0 <
x-a< ε
f(x) fonksiyonunun değerleri şu şekilde olacaktır:ε-A sayısının mahallesi, yani.|f(x)-A|<
ε.
Bu tanım denir Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitini tanımlayarak, veya “ε - δ dilinde “.
Tanım 1 ve 2 eşdeğerdir. Eğer f(x) fonksiyonu x →bir var sınır, A'ya eşit, bu formda yazılır
. (6.3)
Herhangi bir yaklaşım yöntemi için (f(x n)) dizisinin sınırsız artması (veya azalması) durumunda X senin sınırına kadar A o zaman f(x) fonksiyonunun sahip olduğunu söyleyeceğiz. sonsuz sınır, ve forma yazın:
Limiti sıfır olan bir değişkene (yani bir diziye veya fonksiyona) denir sonsuz derecede küçük.
Limiti sonsuza eşit olan değişkene denir sonsuz büyüklükte.
Uygulamada limiti bulmak için aşağıdaki teoremler kullanılır.
Teorem 1 . Her sınır mevcutsa
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Yorum. 0/0 gibi ifadeler, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - örneğin iki sonsuz küçük veya sonsuz büyük niceliğin oranı belirsizdir ve bu tür bir limitin bulunmasına "belirsizliklerin ortaya çıkarılması" adı verilir.
Teorem 2. (6.7)
onlar. özellikle sabit bir üslü kuvvete dayalı olarak limite gidilebilir, 
;
(6.8)
(6.9)
Teorem 3.
(6.10)
(6.11)
Nerede e » 2.7 - doğal logaritmanın tabanı. Formüllere (6.10) ve (6.11) ilk denir harika sınır ve ikinci dikkate değer sınır.
Formül (6.11)'in sonuçları pratikte de kullanılır:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
özellikle limit,
eğer x → a ve aynı zamanda x > a, sonra x yazın→a + 0. Eğer özellikle a = 0 ise, 0+0 sembolü yerine +0 yazın. Benzer şekilde eğer x→a ve aynı zamanda x 
ve buna göre çağrılırlar sağ sınır Ve sol sınır işlevler f(x) noktada A. f(x) fonksiyonunun x→ şeklinde bir limitinin olması içina gerekli ve yeterlidir, böylece 
. f(x) fonksiyonu çağrılır sürekli noktada x 0 eğer limit
. (6.15)
Koşul (6.15) şu şekilde yeniden yazılabilir:
,
yani bir fonksiyonun işareti altındaki limite geçiş, belirli bir noktada sürekli olması durumunda mümkündür.
Eşitlik (6.15) ihlal edilirse şunu söyleriz: en x = xo işlev f(x) Var açıklık y = 1/x fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun tanım alanı kümedir R x = 0 hariç. x = 0 noktası D(f) kümesinin bir sınır noktasıdır, çünkü onun herhangi bir komşuluğunda, yani. 0 noktasını içeren herhangi bir açık aralıkta D(f)'den noktalar vardır, ancak kendisi bu kümeye ait değildir. f(x o)= f(0) değeri tanımlı değildir, dolayısıyla x o = 0 noktasında fonksiyon bir süreksizliğe sahiptir.
f(x) fonksiyonu çağrılır noktada sağda sürekli x o eğer limit
,
Ve noktada sol tarafta sürekli x o, eğer limit
.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği x-o bu noktada hem sağa hem de sola doğru sürekliliğine eşdeğerdir.
Fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olabilmesi için x-oÖrneğin sağda öncelikle sonlu bir limitin olması ve ikinci olarak bu limitin f(xo)'ya eşit olması gerekir. Dolayısıyla bu iki koşuldan en az birinin sağlanamaması durumunda fonksiyon süreksizliğe sahip olacaktır.
1. Eğer limit mevcutsa ve f(xo)'ye eşit değilse, o zaman şunu söylerler: işlev f(x) noktada x o var birinci türden kırılma, veya sıçramak.
2. Limit ise+∞ veya -∞ veya mevcut değilse, o zaman şunu söylüyorlar: nokta x-o fonksiyonun süreksizliği var ikinci tür.
Örneğin, fonksiyon y = karyola x, x'te→ +0'ın +∞'a eşit bir sınırı vardırBu, x=0 noktasında ikinci türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir. Fonksiyon y = E(x) (tam sayı kısmı) X) tam apsisli noktalarda birinci türden süreksizlikler veya sıçramalar vardır.
Aralığın her noktasında sürekli olan fonksiyona denir sürekli V. Sürekli bir fonksiyon katı bir eğri ile temsil edilir.
Bir miktarın sürekli büyümesiyle ilgili birçok sorun, ikinci dikkate değer sınıra yol açmaktadır. Bu tür görevler örneğin şunları içerir: bileşik faiz yasasına göre mevduatların büyümesi, ülke nüfusunun büyümesi, radyoaktif maddelerin bozulması, bakterilerin çoğalması vb.
Hadi düşünelim Ya.I. Perelman örneği, sayının yorumunu vererek e Bileşik faiz probleminde. Sayı e bir sınır var 
. Tasarruf bankalarında her yıl sabit sermayeye faiz parası eklenir. Katılım daha sık yapılırsa, faiz oluşumunda daha büyük bir miktar söz konusu olduğundan sermaye daha hızlı büyür. Tamamen teorik, çok basitleştirilmiş bir örneği ele alalım. Bankaya 100 denye yatırılsın. birimler yıllık %100 esasına göre. Faiz parası ancak bir yıl sonra sabit sermayeye eklenirse bu süre içinde 100 den. birimler 200 para birimine dönüşecek. Şimdi bakalım 100 Deniz neye dönüşecek. Her altı ayda bir sabit sermayeye faiz parası eklenirse birim. Altı ay sonra 100 den. birimler 100'e çıkacak×
1,5 = 150 ve altı ay sonra - 150'de×
1,5 = 225 (den. birim). Katılım yılın her 1/3'ünde yapılırsa, bir yıl sonra 100 den. birimler 100'e dönüşecek× (1 +1/3) 3" 237 (den. birim). Faiz parası ekleme şartlarını 0,1 yıla kadar, 0,01 yıla kadar, 0,001 yıla kadar vb. artıracağız. Sonra 100 den. birimler bir yıl sonra şöyle olacak:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. birim),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. birim),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. birim).
Faiz ekleme koşullarında sınırsız bir azalma ile birikmiş sermaye sonsuza kadar büyümez, ancak yaklaşık 271'e eşit belirli bir sınıra yaklaşır. Yıllık% 100 yatırılan sermaye, tahakkuk eden faiz olsa bile 2,71 katından fazla artamaz. limit nedeniyle her saniye sermayeye eklendi
Örnek 3.1.Bir sayı serisinin limit tanımını kullanarak x n =(n-1)/n dizisinin 1'e eşit bir limite sahip olduğunu kanıtlayın.
Çözüm.Ne olursa olsun bunu kanıtlamamız gerekiyor.ε > 0, ne alırsak alalım, bunun için her n N için eşitsizliğin geçerli olduğu bir N doğal sayısı vardır.|x n -1|< ε.
Herhangi bir e > 0 alalım. Çünkü ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, o zaman N'yi bulmak için 1/n eşitsizliğini çözmek yeterlidir< e. Dolayısıyla n>1/ e ve bu nedenle N, 1/'nin tamsayı kısmı olarak alınabilir. e , N = E(1/ e ). Böylece limitin olduğunu kanıtlamış olduk.
Örnek 3.2
. Ortak bir terimle verilen bir dizinin limitini bulun 
.
Çözüm.Toplam teoreminin limitini uygulayalım ve her terimin limitini bulalım. ne zaman→ ∞ her terimin pay ve paydası sonsuza eğilimlidir ve bölüm limit teoremini doğrudan uygulayamayız. Bu nedenle önce dönüştürüyoruz xn, birinci terimin pay ve paydasını bölerek n 2 ve ikincisi N. Daha sonra bölümün limitini ve toplam teoreminin limitini uygulayarak şunu buluruz:
.
Örnek 3.3. 
. Bulmak .
Çözüm. 
.
Burada derecenin limiti teoremini kullandık: Bir derecenin limiti, tabanın limitinin derecesine eşittir.
Örnek 3.4
. Bulmak ( 
).
Çözüm.Formda belirsizlik olduğundan farkların limiti teoremini uygulamak imkansızdır. ∞-∞ . Genel terimin formülünü dönüştürelim:
.
Örnek 3.5 . f(x)=2 1/x fonksiyonu veriliyor. Hiçbir sınırın olmadığını kanıtlayın.
Çözüm.Bir fonksiyonun limitinin 1 numaralı tanımını bir dizi boyunca kullanalım. 0'a yakınsayan bir (xn) dizisini ele alalım; f(x n)= değerinin farklı diziler için farklı davrandığını gösterelim. xn = 1/n olsun. Açıkçası, o zaman sınır 
Şimdi şu şekilde seçelim xn ortak terimi x n = -1/n olan ve yine sıfıra yaklaşan bir dizi. 
Bu nedenle herhangi bir sınır yoktur.
Örnek 3.6 . Hiçbir sınırın olmadığını kanıtlayın.
Çözüm.x 1 , x 2 ,..., x n ,... bir dizi olsun;
. (f(x n)) = (sin x n) dizisi farklı x n → ∞ için nasıl davranır?
Eğer x n = p n ise, sin x n = sin p hepsi için n = 0 N ve limit ise
x n =2 p n+ p /2, bu durumda sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = hepsi için 1 N ve dolayısıyla sınır. Yani mevcut değil.
Çevrimiçi limitleri hesaplamak için widget
Üst pencerede sin(x)/x yerine limitini bulmak istediğiniz fonksiyonu girin. Alt pencerede x'in yöneldiği sayıyı girin ve Hesapla düğmesini tıklayın, istediğiniz limiti elde edin. Sonuç penceresinde sağ üst köşedeki Adımları göster seçeneğine tıklarsanız ayrıntılı bir çözüm elde edersiniz.
Fonksiyon girme kuralları: sqrt(x) - karekök, cbrt(x) - küp kök, exp(x) - üs, ln(x) - doğal logaritma, sin(x) - sinüs, cos(x) - kosinüs, tan (x) - tanjant, cot(x) - kotanjant, arksin(x) - arksinüs, arkkos(x) - arkkosinüs, arktan(x) - arktanjant. İşaretler: * çarpma, / bölme, ^ üs, bunun yerine sonsuzluk Sonsuzluk. Örnek: fonksiyon sqrt(tan(x/2)) olarak girilir.
Limitler teorisi matematiksel analizin dallarından biridir. Çeşitli türlerdeki limitleri çözmek için düzinelerce yöntem olduğundan, limitleri çözme sorunu oldukça kapsamlıdır. Bunu veya bu sınırı çözmenize izin veren düzinelerce nüans ve püf noktası var. Yine de pratikte en sık karşılaşılan ana limit türlerini anlamaya çalışacağız.
Limit kavramıyla başlayalım. Ama önce kısa bir tarihsel arka plan. 19. yüzyılda matan kavramının pek çok kavramına kesin tanımlar veren ve temellerini atan Fransız Augustin Louis Cauchy yaşadı. Bu saygın matematikçinin, çok sayıda matematiksel analiz teoremini kanıtladığı ve bir teoremin diğerinden daha öldürücü olduğu için tüm fizik ve matematik bölümü öğrencilerinin kabuslarında olduğunu, öyle olduğunu ve olacağını söylemek gerekir. Bu bağlamda, henüz dikkate almayacağız Cauchy limitinin belirlenmesi, ama iki şey yapmaya çalışalım:
1. Limitin ne olduğunu anlayın.
2. Ana limit türlerini çözmeyi öğrenin.
Bazı bilimsel olmayan açıklamalar için özür dilerim, malzemenin bir çaydanlık için bile anlaşılır olması önemli ki bu da aslında projenin görevi.
Peki sınır nedir?
Ve neden tüylü büyükanneye bir örnek....
Herhangi bir limit üç bölümden oluşur:
1) İyi bilinen limit simgesi.
2) Bu durumda limit simgesinin altındaki girişler. Girişte "X bire eğilimlidir" yazıyor. Çoğu zaman - tam olarak, pratikte "X" yerine başka değişkenler olmasına rağmen. Pratik görevlerde, birinin yeri kesinlikle herhangi bir sayı ve sonsuz () olabilir.
3) Bu durumda limit işaretinin altındaki fonksiyonlar.
Kaydın kendisi 
şu şekilde okunur: "x birliğe doğru gittiğinde bir fonksiyonun limiti."
Bir sonraki önemli soruya bakalım - “x” ifadesi ne anlama geliyor? çabalıyor birine"? Peki "çabalamak" ne anlama geliyor?
Limit kavramı tabiri caizse bir kavramdır, dinamik. Bir dizi oluşturalım: önce , sonra , , …, 
, ….
Yani “x” ifadesi çabalıyor bire” şu şekilde anlaşılmalıdır: “x” sürekli olarak değerleri alır birliğe sonsuz derecede yakın olan ve pratik olarak onunla örtüşen.
Yukarıdaki örnek nasıl çözülür? Yukarıdakilere dayanarak, limit işaretinin altındaki fonksiyona bir tane koymanız yeterlidir:
Yani ilk kural: Herhangi bir limit verildiğinde, ilk önce sayıyı fonksiyona yerleştirmeye çalışırız..
En basit sınırı düşündük, ancak bunlar pratikte de ortaya çıkıyor ve çok da nadir değil!
Sonsuzlukla örnek:
Ne olduğunu bulalım mı? Sınırsız arttığında durum budur: önce, sonra, sonra, sonra vb. sonsuza kadar.
Şu anda fonksiyona ne olacak?
, , 
, …
Yani: eğer ise fonksiyon eksi sonsuza doğru yönelir:
Kabaca söylemek gerekirse, ilk kuralımıza göre fonksiyonda “X” yerine sonsuzluğu koyarız ve cevabı alırız.
Sonsuzluğa başka bir örnek:
Tekrar sonsuza kadar artırmaya başlıyoruz ve fonksiyonun davranışına bakıyoruz: 
Sonuç: fonksiyon sınırsız arttığında:
Ve bir dizi örnek daha:
Lütfen aşağıdakileri kendiniz zihinsel olarak analiz etmeye çalışın ve en basit sınır türlerini hatırlayın:
, , , , 
, , , , 
,
Herhangi bir şüpheniz varsa, bir hesap makinesi alıp biraz pratik yapabilirsiniz.
Bu durumda , , dizisini oluşturmaya çalışın . Eğer öyleyse , , .
! Not: Açıkçası, birkaç sayıdan oluşan diziler oluşturmaya yönelik bu yaklaşım yanlıştır, ancak en basit örnekleri anlamak için oldukça uygundur.
Ayrıca şu hususa da dikkat edin. Üstte büyük bir sayıyla, hatta bir milyonla bir sınır verilse bile: yine de aynıdır. 
çünkü er ya da geç "X" o kadar devasa değerler almaya başlayacak ki, bir milyon karşılaştırıldığında gerçek bir mikrop olacak.
Yukarıdakilerden neyi hatırlamanız ve anlamanız gerekiyor?
1) Herhangi bir limit verildiğinde, önce sayıyı fonksiyonda yerine koymaya çalışırız.
2) En basit sınırları anlamalı ve hemen çözmelisiniz. 
, , vesaire.
Üstelik limitin çok iyi bir geometrik anlamı var. Konuyu daha iyi anlamak için öğretim materyalini okumanızı tavsiye ederim. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bu makaleyi okuduktan sonra, yalnızca limitin ne olduğunu anlamakla kalmayacak, aynı zamanda genel olarak bir fonksiyonun limitinin ne olduğuyla ilgili ilginç durumları da öğreneceksiniz. bulunmuyor!
Uygulamada maalesef çok az hediye var. Bu nedenle daha karmaşık sınırları dikkate almaya geçiyoruz. Bu arada bu konu hakkında yoğun kurs pdf formatında, özellikle hazırlanmak için ÇOK az zamanınız varsa kullanışlıdır. Ancak site materyalleri elbette daha kötü değil:
Şimdi fonksiyon, payı ve paydası polinomlar içeren bir kesir olduğunda limit grubunu ele alacağız.
Örnek:
Limiti hesapla 
Kuralımıza göre fonksiyonun yerine sonsuzluğu koymaya çalışacağız. En üstte ne elde ederiz? Sonsuzluk. Peki aşağıda ne olur? Ayrıca sonsuzluk. Böylece tür belirsizliği denilen durumla karşı karşıyayız. Öyle düşünülebilir ve cevap hazırdır, ancak genel durumda durum hiç de böyle değildir ve şimdi ele alacağımız bazı çözüm tekniklerinin uygulanması gerekir.
Bu tür limitler nasıl çözülür?
İlk önce paya bakıyoruz ve en yüksek gücü buluyoruz: 
Payın baş kuvveti ikidir.
Şimdi paydaya bakıyoruz ve aynı zamanda en yüksek kuvvetini de buluyoruz: 
Paydanın en yüksek derecesi ikidir.
Daha sonra pay ve paydanın en büyük kuvvetini seçiyoruz: bu örnekte bunlar aynı ve ikiye eşittir.
Yani çözüm yöntemi şu şekildedir: Belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı en büyük kuvvete bölmek gerekir.
İşte cevap, hiç de sonsuzluk değil.
Bir kararın tasarımında temel olarak önemli olan nedir?
Öncelikle varsa belirsizliği belirtiyoruz.
İkinci olarak ara açıklamalar için çözüme ara verilmesi tavsiye edilir. Ben genelde işaretini kullanıyorum, herhangi bir matematiksel anlamı yok ama çözümün ara bir açıklama için kesintiye uğradığı anlamına geliyor.
Üçüncüsü, limitte neyin nereye gittiğini işaretlemeniz tavsiye edilir. İş elle hazırlandığında bunu şu şekilde yapmak daha uygundur: 
Notlar için basit bir kalem kullanmak daha iyidir.
Elbette bunların hiçbirini yapmanıza gerek yok ama o zaman belki öğretmen çözümdeki eksikliklere dikkat çekecek veya ödevle ilgili ek sorular sormaya başlayacaktır. Ona ihtiyacın var mı?
Örnek 2
Sınırı bulun 
Yine pay ve paydada en yüksek dereceyi buluyoruz: 
Payda maksimum derece: 3
Paydadaki maksimum derece: 4
Seçmek En büyük değer, bu durumda dört.
Algoritmamıza göre belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı 'ye bölüyoruz.
Görevin tamamı şöyle görünebilir:
Pay ve paydayı şuna bölün:
Örnek 3
Sınırı bulun 
Paydaki maksimum “X” derecesi: 2
Paydadaki “X”in maksimum derecesi: 1 (şu şekilde yazılabilir)
Belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı 'ye bölmek gerekir. Nihai çözüm şöyle görünebilir:
Pay ve paydayı şuna bölün:
Gösterim sıfıra bölmek anlamına gelmez (sıfıra bölemezsiniz), sonsuz küçük bir sayıya bölmek anlamına gelir.
Böylece tür belirsizliğini açığa çıkararak şunları yapabiliriz: son sayı, sıfır veya sonsuz.
Tür belirsizliği ve bunları çözme yöntemi ile sınırlar
Bir sonraki limit grubu, az önce ele alınan limitlere bir şekilde benzer: pay ve payda polinomlar içerir, ancak "x" artık sonsuza gitme eğiliminde değildir, ancak sonlu sayı.
Örnek 4
Limiti çöz 
Öncelikle kesrin yerine -1 koymayı deneyelim: 
Bu durumda belirsizlik adı verilen durum elde edilir.
Genel kural: pay ve payda polinomlar içeriyorsa ve formda belirsizlik varsa, bunu açıklayın pay ve paydayı çarpanlarına ayırmanız gerekir.
Bunu yapmak için çoğunlukla ikinci dereceden bir denklemi çözmeniz ve/veya kısaltılmış çarpma formüllerini kullanmanız gerekir. Bunları unuttuysanız sayfayı ziyaret edin Matematiksel formüller ve tablolar ve öğretim materyalini okuyun Okul matematik dersi için sıcak formüller. Bu arada, yazdırmak en iyisidir; çok sık gereklidir ve bilgiler kağıttan daha iyi emilir.
O halde hadi limitimizi çözelim 
Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın
Payı çarpanlara ayırmak için ikinci dereceden denklemi çözmeniz gerekir: 
İlk önce diskriminantı buluyoruz:
Ve bunun karekökü: .
Diskriminant büyükse, örneğin 361, bir hesap makinesi kullanırız; karekök çıkarma işlevi en basit hesap makinesindedir.
! Kök bütünüyle çıkarılmazsa (virgüllü kesirli bir sayı elde edilirse), diskriminantın yanlış hesaplanmış olması veya görevde bir yazım hatası olması muhtemeldir.
Daha sonra kökleri buluyoruz: 
Böylece:
Tüm. Pay çarpanlara ayrılmıştır.
Payda. Payda zaten en basit faktördür ve onu basitleştirmenin bir yolu yoktur.
Açıkçası, şu şekilde kısaltılabilir:
Şimdi limit işaretinin altında kalan ifadeyi -1 ile değiştiriyoruz:
Doğal olarak bir testte, testte veya sınavda çözüm hiçbir zaman bu kadar detaylı anlatılmaz. Son versiyonda tasarım şöyle görünmelidir:
Payı çarpanlarına ayıralım. 
Örnek 5
Limiti hesapla 
İlk olarak çözümün “bitiş” versiyonu
Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
Pay:
Payda: 
, 
Bu örnekte önemli olan nedir?
Öncelikle payın nasıl ortaya çıktığını iyi anlamalısınız, önce parantezlerden 2'yi çıkardık, sonra kareler farkı formülünü kullandık. Bilmeniz ve görmeniz gereken formül budur.
Öneri: Bir limitte (neredeyse her türde) bir sayıyı parantezlerden çıkarmak mümkünse, o zaman bunu her zaman yaparız.
Ayrıca bu sayıların sınır simgesinin ötesine taşınması tavsiye edilir.. Ne için? Evet, sırf yolumuza çıkmasınlar diye. Önemli olan daha sonra çözüm sırasında bu sayıları kaybetmemek.
Lütfen çözümün son aşamasında limit simgesinden ikisini ve ardından eksiyi çıkardığımı unutmayın.
! Önemli
Çözüm sırasında tip parçası çok sık ortaya çıkıyor. Bu oranı azaltınyasaktır
. Öncelikle payın veya paydanın işaretini değiştirmeniz gerekir (parantez içine -1 koyun).
yani limit hesaplanırken dikkate alınan bir eksi işareti belirir ve onu kaybetmeye hiç gerek yoktur.
Genel olarak, bu tür limitleri bulurken çoğu zaman iki ikinci dereceden denklemi çözmeniz gerektiğini fark ettim, yani hem pay hem de payda ikinci dereceden üç terimli sayılar içeriyor.
Pay ve paydayı eşlenik ifadeyle çarpma yöntemi
Formun belirsizliğini dikkate almaya devam ediyoruz
Bir sonraki limit türü önceki türe benzer. Tek şey polinomlara ek olarak kökleri de ekleyeceğiz.
Örnek 6
Sınırı bulun 
Karar vermeye başlayalım.
İlk önce limit işaretinin altındaki ifadeye 3'ü koymaya çalışıyoruz
Bir kez daha tekrar ediyorum - HERHANGİ bir limit için yapmanız gereken ilk şey budur. Bu eylem genellikle zihinsel olarak veya taslak halinde gerçekleştirilir.
Ortadan kaldırılması gereken bir form belirsizliği elde edilmiştir. 
Muhtemelen fark ettiğiniz gibi payımız kök farkını içermektedir. Ve matematikte mümkünse köklerden kurtulmak gelenekseldir. Ne için? Ve onlarsız hayat daha kolaydır.
Tür ve tür belirsizliği, limitleri çözerken açıklanması gereken en yaygın belirsizliklerdir.
Öğrencilerin karşılaştığı limit problemlerinin çoğu bu tür belirsizlikleri içermektedir. Bunları ortaya çıkarmak veya daha doğrusu belirsizliklerden kaçınmak için, sınır işareti altındaki ifade türünü dönüştürmek için çeşitli yapay teknikler vardır. Bu teknikler şu şekildedir: pay ve paydanın değişkenin en yüksek kuvvetine göre terim terim bölünmesi, eşlenik ifadeyle çarpma ve ikinci dereceden denklemlerin ve kısaltılmış çarpma formüllerinin çözümleri kullanılarak sonraki indirgeme için çarpanlara ayırma.
Tür belirsizliği
Örnek 1.
N 2'ye eşittir. Bu nedenle pay ve payda terimini terime göre bölüyoruz:
.
İfadenin sağ tarafına yorum yapın. Oklar ve sayılar, kesirlerin ikame sonrasında hangi eğilimde olduğunu gösterir N sonsuzluk anlamına gelir. Burada örnek 2'deki gibi derece N Paydada paydan daha fazlası vardır, bunun sonucunda tüm kesir sonsuz küçük veya "süper küçük" olma eğilimindedir.
Cevabını alıyoruz: sonsuza uzanan değişkenli bu fonksiyonun limiti eşittir.
Örnek 2. .
Çözüm. Burada değişkenin en yüksek gücü X 1'e eşittir. Bu nedenle pay ve payda terimini terime göre bölüyoruz. X:
Kararın ilerleyişi hakkında yorum. Payda “x”i üçüncü derecenin kökünün altına sürüyoruz ve orijinal derecesi (1) değişmeden kalması için ona kökle aynı dereceyi, yani 3’ü atayıyoruz. Ok veya ek sayı yok. bu girdide bunu zihinsel olarak deneyin, ancak önceki örneğe benzeterek, "x" yerine sonsuzluğu koyduktan sonra pay ve paydadaki ifadelerin neye eğilimli olduğunu belirleyin.
Cevabını aldık: Sonsuza eğilimli değişkeni olan bu fonksiyonun limiti sıfıra eşittir.
Tür belirsizliği
Örnek 3. Belirsizliği ortaya çıkarın ve sınırı bulun.
Çözüm. Pay küp farkıdır. Bunu okul matematik dersindeki kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak çarpanlara ayıralım:
Payda, ikinci dereceden bir denklemi çözerek çarpanlara ayıracağımız ikinci dereceden bir üç terimli sayı içerir (bir kez daha ikinci dereceden denklemlerin çözümü için bir bağlantı):
Dönüşümler sonucunda elde edilen ifadeyi yazıp fonksiyonun limitini bulalım:
Örnek 4. Belirsizliğin kilidini açın ve sınırı bulun
Çözüm. Bölüm limit teoremi burada geçerli değildir, çünkü
Bu nedenle, kesri aynı şekilde dönüştürürüz: pay ve paydayı paydanın binom eşleniği ile çarparız ve şu şekilde azaltırız: X+1. Teorem 1'in sonucuna göre, istenen limiti bulduğumuz bir ifade elde ederiz:
Örnek 5. Belirsizliğin kilidini açın ve sınırı bulun
Çözüm. Doğrudan değer ikamesi X Belirli bir fonksiyonda = 0 olması, 0/0 formunun belirsizliğine yol açar. Bunu ortaya çıkarmak için aynı dönüşümleri gerçekleştiriyoruz ve sonuçta istenen limiti elde ediyoruz: 
Örnek 6. Hesaplamak 
Çözüm: Limitlerle ilgili teoremleri kullanalım
Cevap: 11
Örnek 7. Hesaplamak 
Çözüm: bu örnekte pay ve paydanın sınırları 0'a eşittir:
; 
. Bu nedenle bölümün limitine ilişkin teoremin uygulanamayacağını aldık.
Kesri sıfıra yaklaşan ortak bir faktörle azaltmak ve dolayısıyla Teorem 3'ün uygulanmasını mümkün kılmak için pay ve paydayı çarpanlara ayıralım.
Paydaki üç terimli kareyi aşağıdaki formülü kullanarak genişletelim; burada x 1 ve x 2, üç terimlinin kökleridir. Çarpanlara ayırdıktan ve paydayı aldıktan sonra kesri (x-2) azaltın, ardından Teorem 3'ü uygulayın.
Cevap:
Örnek 8. Hesaplamak
Çözüm: Pay ve payda sonsuza doğru gittiğinde, Teorem 3'ü doğrudan uyguladığımızda, belirsizliği temsil eden ifadeyi elde ederiz. Bu tür belirsizlikten kurtulmak için pay ve paydayı argümanın en yüksek gücüne bölmelisiniz. Bu örnekte, şuna göre bölmeniz gerekir: X:
Cevap:
Örnek 9. Hesaplamak 
Çözüm: x 3:
Cevap: 2
Örnek 10. Hesaplamak 
Çözüm: Pay ve payda sonsuza doğru gittiğinde. Pay ve paydayı argümanın en yüksek gücüne bölelim, yani. x 5:
= 
Kesirin payı 1'e, paydası 0'a yönelir, dolayısıyla kesir sonsuza gider.
Cevap:
Örnek 11. Hesaplamak
Çözüm: Pay ve payda sonsuza doğru gittiğinde. Pay ve paydayı argümanın en yüksek gücüne bölelim, yani. x 7:
Cevap: 0
Türev.
y = f(x) fonksiyonunun x argümanına göre türevi argümanın artışı sıfıra yaklaştığında, y artışının x argümanının x artışına oranının limiti denir: . Bu limit sonlu ise fonksiyon y = f(x) x noktasında türevlenebilir olduğu söylenir. Eğer bu sınır mevcutsa, o zaman fonksiyonun şöyle olduğunu söylerler: y = f(x) x noktasında sonsuz türevi vardır.
Temel temel fonksiyonların türevleri:
1. (sabit)=0 9.
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Farklılaşma kuralları:
A) 
V) 
Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun 
Çözüm:İkinci terimin türevi kesirlerin farklılaşması kuralına göre bulunursa, o zaman ilk terim karmaşık bir fonksiyondur ve türevi aşağıdaki formülle bulunur:
Nerede o zaman
Çözerken aşağıdaki formüller kullanıldı: 1,2,10,a,c,d.
Cevap:
Örnek 21. Bir fonksiyonun türevini bulun 
Çözüm: her iki terim de karmaşık fonksiyonlardır; birincisi için , ve ikincisi için , o zaman
Cevap: 
Türev uygulamalar.
1. Hız ve ivme
s(t) fonksiyonunun tanımlamasına izin verin konum t zamanında bir koordinat sistemindeki nesne. O halde s(t) fonksiyonunun birinci türevi anlıktır hız nesne:
v=s′=f′(t)
s(t) fonksiyonunun ikinci türevi anlık değeri temsil eder hızlanma nesne:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Teğet denklem
y−y0=f′(x0)(x−x0),
burada (x0,y0) teğet noktasının koordinatlarıdır, f′(x0) f(x) fonksiyonunun teğet noktasındaki türevinin değeridir.
3. Normal denklem
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
burada (x0,y0) normalin çizildiği noktanın koordinatlarıdır, f′(x0) f(x) fonksiyonunun bu noktadaki türevinin değeridir.
4. Arttırma ve azaltma fonksiyonu
Eğer f′(x0)>0 ise fonksiyon x0 noktasında artar. Aşağıdaki şekilde fonksiyon x kadar artmaktadır
Eğer f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Bir fonksiyonun yerel ekstremumu
f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: yerel maksimum x1 noktasında, x1 noktasının, bu komşuluktan gelen tüm x'ler için f(x1)≥f(x) eşitsizliğinin geçerli olduğu bir komşuluğu varsa.
Benzer şekilde f(x) fonksiyonu da yerel minimum x2 noktasında, eğer x2 noktasının, bu komşuluktan gelen tüm x'ler için f(x2)≤f(x) eşitsizliğinin geçerli olduğu bir komşuluğu varsa.
6. Kritik noktalar
x0 noktası kritik nokta f(x) fonksiyonu, içindeki f′(x0) türevi sıfıra eşitse veya mevcut değilse.
7. Bir ekstremun varlığının ilk yeterli işareti
Eğer f(x) fonksiyonu tüm x için (a,x1] aralığında artar (f′(x)>0) ve azalırsa (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) aralıktaki tüm x'ler için )
