2 numaralı konu.

Cebirsel ifadeleri dönüştürme

BEN. Teorik materyal

Temel konseptler

Cebirsel ifade: tam sayı, kesirli, rasyonel, irrasyonel.

Tanımın kapsamı, geçerli ifade değerleri.

Cebirsel bir ifadenin anlamı.

Tek terimli, polinom.

Kısaltılmış çarpma formülleri.

Çarpanlara ayırma, ortak çarpanı parantez dışında bırakma.

Bir kesrin temel özelliği.

Derece, derecenin özellikleri.

Kortim, köklerin özellikleri.

Rasyonel ve irrasyonel ifadelerin dönüşümü.

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme işaretlerinin kullanıldığı, rasyonel kuvvete yükseltildiği, kök çıkarıldığı ve parantez kullanıldığı sayılardan ve değişkenlerden oluşan ifadeye ne ad verilir? cebirsel.

Örneğin: ;
;
;

;
;
;
.

Cebirsel bir ifade, değişkenlere bölünmeyi ve değişkenlerin kökünü almayı (özellikle kesirli üslü bir kuvvete yükseltmeyi) içermiyorsa, buna denir. tüm.

Örneğin:
;
;
.

Cebirsel bir ifade, toplama, çıkarma, çarpma, doğal üslü alma ve bölme işlemleri kullanılarak sayılardan ve değişkenlerden oluşuyorsa ve değişkenlerle ifadelere bölme işlemi kullanılıyorsa buna denir. kesirli.

Örneğin:
;
.

Tamsayı ve kesirli ifadelere denir akılcı ifade.

Örneğin: ;
;

.

Cebirsel bir ifade, değişkenlerin kökünü almayı (veya değişkenleri kesirli bir kuvvete yükseltmeyi) içeriyorsa, bu tür bir cebirsel ifadeye denir. mantıksız.

Örneğin:
;
.

Cebirsel ifadenin anlamlı olduğu değişkenlerin değerlerine denir geçerli değişken değerleri.

Değişkenlerin tüm olası değerlerinin kümesine denir tanım alanı.

Bir cebirsel ifadenin tamamının tanım alanı gerçek sayılar kümesidir.

Kesirli cebirsel ifadenin tanım alanı, paydayı sıfır yapanlar dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir.

Örneğin: ne zaman mantıklı
;

ne zaman mantıklı
yani ne zaman
.

İrrasyonel bir cebirsel ifadenin tanım alanı, negatif bir sayıya dönüşenler (çift kuvvetin kökü işareti altındaki veya kesirli kuvvete yükselme işareti altındaki ifade) dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir.

Örneğin:
ne zaman mantıklı
;

ne zaman mantıklı
yani ne zaman
.

Değişkenlerin izin verilen değerlerinin cebirsel bir ifadeyle değiştirilmesiyle elde edilen sayısal değere denir. cebirsel bir ifadenin değeri.

Örneğin: ifade
en
,
değerini alır
.

Yalnızca sayıları, değişkenlerin doğal kuvvetlerini ve çarpımlarını içeren cebirsel ifadeye denir. tek terimli.

Örneğin:
;
;
.

İlk etapta sayısal faktörün ve çeşitli değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılan monom, şuna indirgenir: standart görünüm.

Örneğin:
;
.

Bir monomiyalin standart gösteriminin sayısal faktörüne denir monom katsayısı. Tüm değişkenlerin üslerinin toplamına denir tek terimli derecesi.

Bir tek terimliyi bir tek terimli ile çarparken ve bir tek terimliyi doğal kuvvete yükseltirken, standart forma indirgenmesi gereken bir tek terimli elde ederiz.

Monomların toplamına denir polinom.

Örneğin:
; ;
.

Bir polinomun tüm üyeleri standart formda yazılırsa ve benzer üyeler azaltılırsa ortaya çıkan sonuç standart formun polinomu.

Örneğin: .

Bir polinomda yalnızca bir değişken varsa bu değişkenin en büyük üssüne denir. polinom derecesi.

Örneğin: Bir polinomun beşinci derecesi vardır.

Polinomun değerinin sıfır olduğu değişkenin değerine denir. polinomun kökü.

Örneğin: bir polinomun kökleri
1,5 ve 2 sayılarıdır.

Kısaltılmış çarpma formülleri

Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılmasına ilişkin özel durumlar

Karelerin farkı:
veya

Kare toplamı:
veya

Kare farkı:
veya

Küplerin toplamı:
veya

Küplerin farkı:
veya

Toplamın küpü:
veya

Fark küpü:
veya

Bir polinomun çeşitli faktörlerin (polinomlar veya monomlar) çarpımına dönüştürülmesine denir. Bir polinomun çarpanlara ayrılması.

Örneğin:.

Bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemleri

Örneğin: .

Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanma.

Örneğin: .

Gruplama yöntemi. Değişme ve birleşme yasaları bir polinomun üyelerinin çeşitli şekillerde gruplanmasına izin verir. Yöntemlerden biri, aynı ifadenin parantez içinde elde edilmesine ve bunun da parantez dışına alınmasına yol açmaktadır.

Örneğin:.

Herhangi bir kesirli cebirsel ifade, paydası değişken olan iki rasyonel ifadenin bölümü olarak yazılabilir.

Örneğin:
.

Pay ve paydası rasyonel ifadelerden oluşan ve paydası değişken olan kesirlere ne ad verilir? rasyonel kesir.

Örneğin:
;
;
.

Rasyonel bir kesirin pay ve paydası sıfırdan farklı aynı sayıyla, tek terimli veya polinomla çarpılır veya bölünürse kesrin değeri değişmez. Bu ifade denir Bir kesrin temel özelliği:

.

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıya bölme işlemine ne ad verilir? bir fraksiyonu azaltmak:

.

Örneğin:
;
.

İş N her biri eşit olan faktörler A, Nerede A keyfi bir cebirsel ifade veya gerçek sayıdır ve N- doğal sayı olarak adlandırılan dereceA :

.

Cebirsel ifade A isminde derece esası, sayı
N – gösterge.

Örneğin:
.

Tanım gereği herhangi bir şey için olduğuna inanılmaktadır. A, sıfıra eşit değil:

Ve
.

Eğer
, O
.

Derecenin özellikleri

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

Eğer ,
, o zaman ifade N-inci derecesi eşittir A, isminde kökN derecesiA . Genellikle belirlenir
. burada A isminde radikal ifade, N isminde kök dizini.

Örneğin:
;
;
.

Kök özellikleriNa'nın derecesi

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Derece ve kök kavramını genelleştirerek, rasyonel bir üste sahip derece kavramını elde ederiz:

.

Özellikle,
.

Köklerle gerçekleştirilen eylemler

Örneğin: .

II. Pratik materyal

Görevleri tamamlama örnekleri

örnek 1. Kesrin değerini bulun
.

Cevap: .

Örnek 2. Ifadeyi basitleştir
.

İlk parantez içindeki ifadeyi dönüştürelim:

, Eğer
.

İkinci parantez içindeki ifadeyi dönüştürelim:

.

Birinci parantezden elde edilen sonucu ikinci parantezden elde edilen sonuca bölelim:

Cevap:

Örnek 3. Ifadeyi basitleştir:

.

Örnek 4. Ifadeyi basitleştir.

İlk kesri dönüştürelim:

.

İkinci kesri dönüştürelim:

.

Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.

Örnek 5. Ifadeyi basitleştir
.

Çözüm. Aşağıdaki eylemlere karar verelim:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Cevap:
.

Örnek 6. Kimliği kanıtla
.

1)
;

2)
;

Örnek 7. Ifadeyi basitleştir:

.

Çözüm. Bu adımları takip et:

;

2)
.

Örnek 8. Kimliği kanıtla
.

Çözüm. Bu adımları takip et:

1)
;

2)

;

3)
.

Bağımsız çalışma için görevler

1. İfadeyi basitleştirin:

A)
;

B)
;

2. Şunları hesaba katın:

A)
;

B)
;.Belge

Ders 5.1 numara. Trigonometrik denklemler I. Teorikmalzeme Temel kavramlar Trigonometrik denklem... çeşitli kullanımlar cebirsel ve trigonometrik formüller ve dönüşümler. II. Pratik malzeme Görev tamamlama örnekleri...

Sayılarda toplama ve çarpmanın temel özellikleri.

Toplamanın değişme özelliği: terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamın değerini değiştirmez. Herhangi bir a ve b sayısı için eşitlik doğrudur

Toplamanın birleştirici özelliği: İki sayının toplamına üçüncü bir sayı eklemek için ikinci ve üçüncünün toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz. Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur

Çarpmanın değişme özelliği: Faktörlerin yeniden düzenlenmesi çarpımın değerini değiştirmez. Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur

Çarpmanın birleşimsel özelliği: İki sayının çarpımını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, ilk sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz.

Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur

Dağılma Özelliği: Bir sayıyı bir toplamla çarpmak için bu sayıyı her terimle çarpabilir ve sonuçları ekleyebilirsiniz. Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur

Toplama işleminin değişmeli ve birleştirici özelliklerinden şu sonuç çıkar: Herhangi bir toplamda terimleri istediğiniz şekilde yeniden düzenleyebilir ve bunları keyfi olarak gruplar halinde birleştirebilirsiniz.

Örnek 1 1.23+13.5+4.27 toplamını hesaplayalım.

Bunu yapmak için ilk terimi üçüncüyle birleştirmek uygundur. Şunu elde ederiz:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Çarpmanın değişmeli ve birleştirici özelliklerinden şu sonuç çıkar: Herhangi bir çarpımda faktörleri herhangi bir şekilde yeniden düzenleyebilir ve bunları keyfi olarak gruplar halinde birleştirebilirsiniz.

Örnek 2 1,8·0,25·64·0,5 çarpımının değerini bulalım.

Birinci faktörü dördüncüyle, ikinciyi üçüncüyle birleştirirsek:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Dağılma özelliği, bir sayının üç veya daha fazla terimin toplamı ile çarpılması durumunda da geçerlidir.

Örneğin herhangi bir a, b, c ve d sayısı için eşitlik doğrudur

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Çıkarılanın karşıt sayısını eksiye ekleyerek çıkarmanın toplamayla değiştirilebileceğini biliyoruz:

Bu, a-b biçimindeki bir sayısal ifadenin a ve -b sayılarının toplamı olarak kabul edilmesine, a+b-c-d biçimindeki bir sayısal ifadenin a, b, -c, -d vb. sayıların toplamı olarak kabul edilmesine olanak tanır. Eylemlerin dikkate alınan özellikleri bu tür toplamlar için de geçerlidir.

Örnek 3 3.27-6.5-2.5+1.73 ifadesinin değerini bulalım.

Bu ifade 3,27, -6,5, -2,5 ve 1,73 sayılarının toplamıdır. Toplama özelliklerini uyguladığımızda şunu elde ederiz: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Örnek 4 36·() çarpımını hesaplayalım.

Çarpan ve - sayıların toplamı olarak düşünülebilir. Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Kimlikler

Tanım. Değişkenlerin herhangi bir değeri için karşılık gelen değerleri eşit olan iki ifadeye aynı derecede eşit denir.

Tanım. Değişkenlerin herhangi bir değeri için doğru olan eşitliğe kimlik denir.

3(x+y) ve 3x+3y ifadelerinin x=5, y=4 noktasındaki değerlerini bulalım:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Aynı sonucu aldık. Dağılım özelliğinden genel olarak değişkenlerin herhangi bir değeri için 3(x+y) ve 3x+3y ifadelerinin karşılık gelen değerlerinin eşit olduğu sonucu çıkar.

Şimdi 2x+y ve 2xy ifadelerini ele alalım. x=1, y=2 olduğunda eşit değerler alırlar:

Ancak x ve y'nin değerlerini bu ifadelerin değerleri eşit olmayacak şekilde belirtebilirsiniz. Örneğin, eğer x=3, y=4 ise, o zaman

3(x+y) ve 3x+3y ifadeleri aynı şekilde eşittir ancak 2x+y ve 2xy ifadeleri tamamen eşit değildir.

Herhangi bir x ve y değeri için geçerli olan 3(x+y)=x+3y eşitliği bir özdeşliktir.

Gerçek sayısal eşitlikler de kimlik olarak kabul edilir.

Dolayısıyla kimlikler, sayılar üzerindeki işlemlerin temel özelliklerini ifade eden eşitliklerdir:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Kimliklere başka örnekler de verilebilir:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

İfadelerin özdeş dönüşümleri

Bir ifadenin tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine özdeş dönüşüm veya basitçe bir ifadenin dönüşümü denir.

Değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümleri sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerine göre gerçekleştirilir.

Verilen x, y, z değerleri için xy-xz ifadesinin değerini bulmak için üç adımı uygulamanız gerekir. Örneğin, x=2,3, y=0,8, z=0,2 ile şunu elde ederiz:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Bu sonuç, xy-xz ifadesine tamamen eşit olan x(y-z) ifadesini kullanırsanız yalnızca iki adım gerçekleştirilerek elde edilebilir:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Xy-xz ifadesini aynı x(y-z) ifadesiyle değiştirerek hesaplamaları basitleştirdik.

İfadelerin özdeş dönüşümleri, ifadelerin değerlerinin hesaplanmasında ve diğer problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır. Benzer terimlerin getirilmesi, parantez açılması gibi bazı özdeş dönüşümlerin zaten gerçekleştirilmesi gerekiyordu. Bu dönüşümleri gerçekleştirmenin kurallarını hatırlayalım:

benzer terimleri getirmek için katsayılarını eklemeniz ve sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerekir;

parantezlerin önünde bir artı işareti varsa, parantez içindeki her terimin işareti korunarak parantezler çıkarılabilir;

Parantezlerin önünde eksi işareti varsa, parantez içindeki her terimin işareti değiştirilerek parantez çıkarılabilir.

Örnek 1 Benzer terimleri 5x+2x-3x toplamında sunalım.

Benzer terimleri azaltma kuralını kullanalım:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Bu dönüşüm çarpma işleminin dağılma özelliğine dayanmaktadır.

Örnek 2 2a+(b-3c) ifadesindeki parantezleri açalım.

Başına artı işareti gelen parantezleri açma kuralını kullanma:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Gerçekleştirilen dönüşüm, toplamanın birleşimsel özelliğine dayanmaktadır.

Örnek 3 a-(4b-c) ifadesindeki parantezleri açalım.

Başına eksi işareti gelen parantezleri açma kuralını kullanalım:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Gerçekleştirilen dönüşüm, çarpmanın dağılma özelliğine ve toplamanın birleştirici özelliğine dayanmaktadır. Hadi gösterelim. Bu ifadedeki ikinci terim -(4b-c)'yi (-1)(4b-c) çarpımı olarak temsil edelim:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Eylemlerin belirtilen özelliklerini uygulayarak şunu elde ederiz:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Orijinal ifadeyi oluşturan sayılar ve ifadeler, aynı eşit ifadelerle değiştirilebilir. Orijinal ifadenin böyle bir dönüşümü, ona tamamen eşit olan bir ifadeye yol açar.

Örneğin, 3+x ifadesinde 3 sayısı 1+2 toplamı ile değiştirilebilir, bu da orijinal ifadeye tamamen eşit olan (1+2)+x ifadesini verir. Başka bir örnek: 1+a 5 ifadesinde a 5'in kuvveti, örneğin a·a 4 formundaki özdeş eşit bir çarpımla değiştirilebilir. Bu bize 1+a·a 4 ifadesini verecektir.

Bu dönüşüm şüphesiz yapaydır ve genellikle daha sonraki bazı dönüşümlere hazırlık niteliğindedir. Örneğin 4 x 3 +2 x 2 toplamında, derecenin özellikleri dikkate alınarak 4 x 3 terimi 2 x 2 2 x çarpımı olarak temsil edilebilir. Bu dönüşümden sonra orijinal ifade 2 x 2 2 x+2 x 2 formunu alacaktır. Açıkçası, elde edilen toplamdaki terimlerin ortak çarpanı 2 x 2'dir, bu nedenle aşağıdaki dönüşümü - parantezlemeyi - gerçekleştirebiliriz. Bundan sonra şu ifadeye geliyoruz: 2 x 2 (2 x+1) .

Aynı sayıyı toplama ve çıkarma

Bir ifadenin bir diğer yapay dönüşümü, aynı sayının veya ifadenin aynı anda toplanması ve çıkarılmasıdır. Bu dönüşüm aynıdır çünkü aslında sıfır eklemeye eşdeğerdir ve sıfır eklemek değeri değiştirmez.

Bir örneğe bakalım. x 2 +2·x ifadesini alalım. Buna bir tane eklerseniz ve bir tane çıkarırsanız, bu gelecekte başka bir özdeş dönüşüm gerçekleştirmenize olanak tanır - binomun karesini almak: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 7. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.

Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce, en yararlı kaynaklar için gezginimize dikkat edin.

Şu hoş olmayan cümleyi sık sık duyarız: "Ifadeyi basitleştir." Genellikle şöyle bir canavar görürüz:

“Çok daha basit” diyoruz ama böyle bir cevap genellikle işe yaramıyor.

Şimdi sana bu tür görevlerden korkmamayı öğreteceğim.

Üstelik dersin sonunda, bu örneği (sadece!) sıradan bir sayıya (evet, bu harflerin canı cehenneme) basitleştireceksiniz.

Ancak bu etkinliğe başlamadan önce şunları yapabilmeniz gerekir: kesirleri ele almak Ve faktör polinomları.

Bu nedenle daha önce yapmadıysanız “” ve “” konularına mutlaka hakim olun.

Onu okudun mu? Cevabınız evet ise artık hazırsınız.

Hadi gidelim, hadi gidelim!)

Temel İfade Sadeleştirme İşlemleri

Şimdi ifadeleri basitleştirmek için kullanılan temel tekniklere bakalım.

En basit olanı

1. Benzerlerini getirmek

Benzer olanlar nelerdir? Bunu 7. sınıfta, matematikte sayılar yerine harflerin ilk kez ortaya çıktığı dönemde almıştınız.

Benzer- bunlar aynı harf kısmına sahip terimlerdir (tek terimliler).

Örneğin, özetle benzer terimler ve'dir.

Hatırlıyor musun?

Benzerini ver- birkaç benzer terimin birbirine eklenmesi ve bir terim elde edilmesi anlamına gelir.

Harfleri nasıl bir araya getirebiliriz? - sen sor.

Harflerin bir tür nesne olduğunu düşünürseniz bunu anlamak çok kolaydır.

Örneğin bir mektup bir sandalyedir. O halde ifade neye eşittir?

İki sandalye artı üç sandalye, kaç tane olacak? Aynen öyle, sandalyeler: .

Şimdi şu ifadeyi deneyin: .

Karışıklığı önlemek için farklı harflerin farklı nesneleri temsil etmesine izin verin.

Örneğin - (her zamanki gibi) bir sandalye ve - bir masadır.

sandalyeler masalar sandalye masalar sandalyeler sandalyeler masalar

Bu terimlerdeki harflerin çarpıldığı sayılara denir katsayılar.

Örneğin, bir monomiyalde katsayı eşittir. Ve içinde eşittir.

Yani benzerlerini getirmenin kuralı şudur:

Örnekler:

Benzerlerini verin:

Yanıtlar:

2. (ve benzerdir, çünkü bu terimler aynı harf kısmına sahiptir).

2. Çarpanlara ayırma

Bu genellikle ifadelerin sadeleştirilmesinde en önemli kısımdır.

Benzerlerini verdikten sonra çoğunlukla ortaya çıkan ifadeye ihtiyaç duyulur. çarpanlara ayırmak yani ürün şeklinde sunulmaktadır.

Özellikle bu kesirlerde önemli: sonuçta kesri azaltabilmek için, Pay ve payda bir çarpım olarak temsil edilmelidir.

“” Konusunda ifadeleri çarpanlara ayırma yöntemlerini ayrıntılı olarak incelediniz, bu yüzden burada öğrendiklerinizi hatırlamanız yeterli.

Bunu yapmak için birkaç örneği çözün (bunları çarpanlara ayırmanız gerekir)

Örnekler:

Çözümler:

3. Bir kesirin azaltılması.

Peki pay ve paydanın bir kısmının üzerini çizip hayatınızdan atmaktan daha hoş ne olabilir?

Küçülmenin güzelliği bu.

Basit:

Pay ve payda aynı faktörleri içeriyorsa azaltılabilir, yani kesirden çıkarılabilir.

Bu kural bir kesrin temel özelliğinden kaynaklanır:

Yani azaltma işleminin özü şudur: Kesrin payını ve paydasını aynı sayıya (veya aynı ifadeye) böleriz.

Bir kısmı azaltmak için ihtiyacınız olan:

1) pay ve payda çarpanlara ayırmak

2) pay ve payda şunları içeriyorsa Ortak etkenler, bunların üzeri çizilebilir.

Örnekler:

Sanırım prensip açık mı?

Kısaltma yaparken tipik bir hataya dikkatinizi çekmek isterim. Bu konu basit olmasına rağmen birçok kişi bunu anlamadan her şeyi yanlış yapıyor azaltmak- Bunun anlamı bölmek pay ve payda aynı sayıdır.

Pay veya paydanın toplam olması durumunda kısaltma yapılmaz.

Örneğin: basitleştirmemiz gerekiyor.

Bazı insanlar bunu yapıyor: Bu kesinlikle yanlış.

Başka bir örnek: azaltın.

“En akıllı” bunu yapacak:

Söyle bana burada sorun ne? Görünüşe göre: - bu bir çarpan, yani azaltılabileceği anlamına geliyor.

Ama hayır: - bu, paydaki yalnızca bir terimin çarpanıdır, ancak payın kendisi bir bütün olarak çarpanlara ayrılmamıştır.

İşte başka bir örnek: .

Bu ifade çarpanlara ayrılmıştır; bu, onu azaltabileceğiniz, yani payı ve paydayı önce şuna, sonra da şuna bölebileceğiniz anlamına gelir:

Hemen aşağıdakilere bölebilirsiniz:

Bu tür hatalardan kaçınmak için bir ifadenin çarpanlara ayrılıp ayrılmadığını belirlemenin kolay bir yolunu unutmayın:

Bir ifadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem “ana” işlemdir.

Yani, harf yerine bazı (herhangi) sayıları koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, son işlem çarpma ise o zaman bir çarpımımız olur (ifade çarpanlara ayrılır).

Son işlem toplama veya çıkarma ise bu, ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla azaltılamayacağı) anlamına gelir.

Bunu güçlendirmek için birkaç örneği kendiniz çözün:

Örnekler:

Çözümler:

4. Kesirleri toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak paydaya indirgemek.

Sıradan kesirleri eklemek ve çıkarmak tanıdık bir işlemdir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız.

Hatırlayalım:

Yanıtlar:

1. Paydalar ve göreceli olarak asaldır, yani ortak çarpanları yoktur. Dolayısıyla bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacak:

2. Burada ortak payda:

3. Burada, her şeyden önce, karışık kesirleri uygunsuz olanlara dönüştürüyoruz ve ardından olağan şemaya göre:

Kesirlerin harf içermesi tamamen farklı bir konudur, örneğin:

Basit bir şeyle başlayalım:

a) Paydalar harf içermez

Burada her şey sıradan sayısal kesirlerle aynıdır: ortak paydayı buluruz, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız:

Şimdi payda varsa benzerlerini verebilir ve bunları çarpanlarına ayırabilirsiniz:

Kendin dene:

Yanıtlar:

b) Paydalar harflerden oluşur

Harfler olmadan ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:

· Öncelikle ortak faktörleri belirliyoruz;

· daha sonra tüm ortak faktörleri birer birer yazıyoruz;

· ve bunları tüm diğer ortak olmayan faktörlerle çarpın.

Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için öncelikle onları asal çarpanlara ayırıyoruz:

Ortak faktörleri vurgulayalım:

Şimdi ortak faktörleri tek tek yazalım ve bunlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) faktörleri de ekleyelim:

Bu ortak paydadır.

Harflere dönelim. Paydalar tamamen aynı şekilde verilir:

· paydaları çarpanlara ayırın;

· ortak (aynı) faktörleri belirlemek;

· tüm ortak faktörleri bir kez yazın;

· bunları diğer tüm ortak olmayan faktörlerle çarpın.

Yani sırasıyla:

1) paydaları çarpanlara ayırın:

2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:

3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:

Yani burada ortak bir payda var. İlk kesir şununla, ikincisi ise şu şekilde çarpılmalıdır:

Bu arada, bir hile var:

Örneğin: .

Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, ancak hepsinin farklı göstergeleri var. Ortak payda şu şekilde olacaktır:

bir dereceye kadar

bir dereceye kadar

bir dereceye kadar

bir dereceye kadar.

Görevi karmaşıklaştıralım:

Paydaları aynı olan kesirler nasıl yapılır?

Kesirlerin temel özelliğini hatırlayalım:

Hiçbir yerde aynı sayının bir kesrin payından ve paydasından çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmiyor. Çünkü bu doğru değil!

Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrendin?

İşte sarsılmaz bir kural daha:

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğinizde yalnızca çarpma işlemini kullanın!

Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?

Yani ile çarpın. Ve şununla çarpın:

Çarpanlara ayrılamayan ifadelere “temel faktörler” diyeceğiz.

Örneğin, bu temel bir faktördür. - Aynı. Ama hayır: çarpanlara ayrılabilir.

Peki ya ifade? Temel mi?

Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:

(“” konusunda çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).

Dolayısıyla harflerle bir ifadeyi ayrıştırdığınız temel faktörler, sayıları ayrıştırdığınız basit faktörlerin bir benzeridir. Biz de onlarla aynı şekilde ilgileneceğiz.

Her iki paydanın da çarpanının olduğunu görüyoruz. Dereceye kadar ortak paydaya gidecektir (nedenini hatırlıyor musunuz?).

Faktör temeldir ve ortak bir faktörü yoktur; bu, ilk kesirin onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Başka bir örnek:

Çözüm:

Panik içinde bu paydaları çarpmadan önce bunları nasıl çarpanlara ayıracağınızı düşünmelisiniz? İkisi de şunları temsil ediyor:

Harika! Daha sonra:

Başka bir örnek:

Çözüm:

Her zamanki gibi paydaları çarpanlara ayıralım. İlk paydayı basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - kareler farkı:

Görünüşe göre ortak faktörler yok. Ama yakından bakarsanız benzer olduklarını görürsünüz... Ve bu doğru:

Öyleyse yazalım:

Yani şu şekilde ortaya çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesirin önündeki işaret de tersine değişti. Bunu sık sık yapmanız gerekeceğini unutmayın.

Şimdi bunu ortak bir paydada buluşturalım:

Anladım? Şimdi kontrol edelim.

Bağımsız çözüm için görevler:

Yanıtlar:

5. Kesirlerde çarpma ve bölme.

Artık işin en zor kısmı bitti. Ve önümüzde en basit ama aynı zamanda en önemlisi:

Prosedür

Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Bu ifadenin anlamını hesaplayarak şunu hatırlayın:

Saydın mı?

İşe yaramalı.

O halde hatırlatmama izin verin.

İlk adım dereceyi hesaplamaktır.

İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birden fazla çarpma ve bölme işlemi varsa bunlar herhangi bir sırayla yapılabilir.

Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapıyoruz. Yine herhangi bir sırayla.

Ancak: parantez içindeki ifade sıra dışı olarak değerlendirilir!

Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantezlerin her birindeki ifadeyi hesaplar, sonra bunları çarpar veya böleriz.

Ya parantezlerin içinde daha fazla parantez varsa? Peki, düşünelim: parantezlerin içine bazı ifadeler yazılmış. Bir ifadeyi hesaplarken ilk önce ne yapmalısınız? Doğru, parantezleri hesaplayın. Bunu anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra her şeyi hesaplıyoruz.

Yani yukarıdaki ifadenin prosedürü şu şekildedir (mevcut eylem kırmızıyla vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):

Tamam, her şey çok basit.

Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil mi?

Hayır, aynı! Yalnızca aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani önceki bölümde açıklanan eylemleri yapmanız gerekir: benzerini getirmek, kesirleri ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma işlemi olacaktır (bunu kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırmak için I kullanmanız veya ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanız gerekir.

Genellikle amacımız ifadeyi bir çarpım veya bölüm olarak temsil etmektir.

Örneğin:

İfadeyi sadeleştirelim.

1) Öncelikle parantez içindeki ifadeyi basitleştiriyoruz. Orada kesir farkımız var ve amacımız bunu çarpım veya bölüm olarak sunmak. Böylece kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve şunu ekliyoruz:

Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır; buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hâlâ hatırlıyor musunuz?).

2) Şunu elde ederiz:

Kesirlerin çarpılması: daha basit ne olabilir?

3) Artık kısaltabilirsiniz:

Tamam artık her şey bitti. Karmaşık bir şey yok, değil mi?

Başka bir örnek:

Ifadeyi basitleştir.

Öncelikle sorunu kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.

Çözüm:

Öncelikle eylem sırasını belirleyelim.

Öncelikle parantez içindeki kesirleri toplayalım, böylece iki kesir yerine bir kesir elde ederiz.

Daha sonra kesirlerde bölme işlemi yapacağız. Peki, sonucu son kesirle ekleyelim.

Adımları şematik olarak numaralandıracağım:

Son olarak size iki yararlı ipucu vereceğim:

1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Ülkemizde benzerleri ne zaman ortaya çıkarsa çıksın, hemen gündeme getirilmesinde fayda var.

2. Aynı şey kesirlerin azaltılması için de geçerlidir: azaltma fırsatı ortaya çıktığı anda bundan yararlanılmalıdır. Bunun istisnası, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirler içindir: eğer şimdi aynı paydalara sahiplerse, azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.

İşte kendi başınıza çözebileceğiniz bazı görevler:

Ve en başında vaat edilen şey:

Yanıtlar:

Çözümler (kısa):

En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız konuya hakim olmuşsunuz demektir.

Şimdi öğrenmeye geçelim!

İFADELERİ DÖNÜŞTÜRME. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER

Temel basitleştirme işlemleri:

• Benzerini getirmek: Benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
• Faktorizasyon: ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak, uygulamak vb.
• Bir kesirin azaltılması: Bir kesrin payı ve paydası, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir; bu, kesrin değerini değiştirmez.
  1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
  2) Pay ve paydanın ortak çarpanları varsa bunların üzeri çizilebilir.

  ÖNEMLİ: yalnızca çarpanlar azaltılabilir!

• Kesirleri toplama ve çıkarma:
  ;
• Kesirlerle çarpma ve bölme:
  ;

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Sayısal ve cebirsel ifadeler. İfadeleri Dönüştürme.

Matematikte ifade nedir? Neden ifade dönüşümlerine ihtiyacımız var?

Soru, dedikleri gibi ilginç... Gerçek şu ki, bu kavramlar tüm matematiğin temelidir. Tüm matematik ifadelerden ve bunların dönüşümlerinden oluşur. Çok temiz değil? Açıklamama izin ver.

Diyelim ki karşınızda kötü bir örnek var. Çok büyük ve çok karmaşık. Diyelim ki matematikte iyisiniz ve hiçbir şeyden korkmuyorsunuz! Hemen cevap verebilir misiniz?

Zorunda olacaksın karar vermek bu örnek. Bu örnekte tutarlı bir şekilde adım adım basitleştirmek. Elbette belirli kurallara göre. Onlar. Yapmak ifade dönüşümü. Bu dönüşümleri ne kadar başarılı bir şekilde gerçekleştirirseniz matematikte o kadar güçlü olursunuz. Doğru dönüşümleri nasıl yapacağınızı bilmiyorsanız bunları matematikte yapamazsınız. Hiç bir şey...

Böylesine rahatsız edici bir gelecekten (ya da şimdiki zamandan) kaçınmak için bu konuyu anlamaktan zarar gelmez.)

İlk önce öğrenelim matematikte bir ifade nedir. Ne oldu sayısal ifade ve nedir cebirsel ifade.

Matematikte ifade nedir?

Matematikte ifade- bu çok geniş bir kavram. Matematikte uğraştığımız hemen hemen her şey bir dizi matematiksel ifadedir. Herhangi bir örnek, formül, kesir, denklem vb. matematiksel ifadeler.

3+2 matematiksel bir ifadedir. s 2 - d 2- bu aynı zamanda matematiksel bir ifadedir. Hem sağlıklı bir kesir hem de tek bir sayı, hepsi matematiksel ifadelerdir. Örneğin denklem şu şekildedir:

5x + 2 = 12

Eşittir işaretiyle birbirine bağlanan iki matematiksel ifadeden oluşur. Bir ifade solda, diğeri sağda.

Genel olarak terim " matematiksel ifade"çoğunlukla uğultudan kaçınmak için kullanılır. Örneğin size sıradan bir kesirin ne olduğunu soracaklar? Peki nasıl cevap verilir?!

İlk cevap: "Bu... mmmmmm... öyle bir şey ki... içinde... Daha iyi bir kesir yazabilir miyim? Hangisini istersin?"

İkinci cevap: “Sıradan bir kesir (neşeyle ve keyifle!) matematiksel ifade bir pay ve bir paydadan oluşan!"

İkinci seçenek bir şekilde daha etkileyici olacak, değil mi?)

" cümlesinin amacı budur. matematiksel ifade "çok iyi. Hem doğru hem de sağlam. Ancak pratik kullanım için şunu iyi anlamanız gerekir: matematikte belirli ifade türleri .

Spesifik tip başka bir konudur. Bu Bu tamamen farklı bir konu! Her tür matematiksel ifadenin bana ait Karar verirken kullanılması gereken bir dizi kural ve teknik. Kesirlerle çalışmak için - bir set. Trigonometrik ifadelerle çalışmak için - ikincisi. Logaritmalarla çalışmak için - üçüncü. Ve benzeri. Bir yerde bu kurallar çakışıyor, bir yerde ise keskin bir şekilde farklılaşıyor. Ancak bu korkutucu sözlerden korkmayın. Uygun bölümlerde logaritma, trigonometri ve diğer gizemli konularda ustalaşacağız.

Burada iki ana matematiksel ifade türünde uzmanlaşacağız (veya kime bağlı olarak tekrarlayacağız). Sayısal ifadeler ve cebirsel ifadeler.

Sayısal ifadeler.

Ne oldu sayısal ifade? Bu çok basit bir kavramdır. İsmin kendisi bunun sayılardan oluşan bir ifade olduğunu ima ediyor. İşte böyle. Sayılardan, parantezlerden ve aritmetik sembollerden oluşan matematiksel ifadeye sayısal ifade denir.

7-3 sayısal bir ifadedir.

(8+3.2) 5.4 de sayısal bir ifadedir.

Ve bu canavar:

aynı zamanda sayısal bir ifade, evet...

Sıradan bir sayı, bir kesir, X ve diğer harflerin olmadığı herhangi bir hesaplama örneği; bunların hepsi sayısal ifadelerdir.

Ana işaret sayısal ifadeler - içinde harf yok. Hiçbiri. Yalnızca sayılar ve matematiksel semboller (gerekirse). Çok basit, değil mi?

Peki sayısal ifadelerle neler yapabilirsiniz? Sayısal ifadeler genellikle sayılabilir. Bunu yapmak için parantezleri açmanız, işaretleri değiştirmeniz, kısaltmanız, terimleri değiştirmeniz gerekir; Yapmak ifade dönüşümleri. Ancak bunun hakkında daha fazlası aşağıda.

Burada sayısal bir ifadeyle böyle komik bir durumu ele alacağız hiçbir şey yapmanıza gerek yok. Aslında hiçbir şey! Bu hoş operasyon - Hiçbirşey yapmamak)- ifade yürütüldüğünde yürütülür mantıklı değil.

Sayısal bir ifade ne zaman anlamsızdır?

Önümüzde bir tür abrakadabra görürsek,

o zaman hiçbir şey yapmayacağız. Çünkü bu konuda ne yapılacağı belli değil. Bir tür saçmalık. Belki artıların sayısını sayın...

Ancak dışarıdan oldukça düzgün ifadeler var. Örneğin bu:

(2+3) : (16 - 2 8)

Ancak bu ifade aynı zamanda mantıklı değil! Bunun basit nedeni, ikinci parantez içinde - sayarsanız - sıfır elde etmenizdir. Ama sıfıra bölemezsin! Bu matematikte yasak bir işlemdir. Dolayısıyla bu ifadeyle de herhangi bir işlem yapılmasına gerek yoktur. Böyle bir ifadeye sahip herhangi bir görev için cevap her zaman aynı olacaktır: "İfadenin hiçbir anlamı yok!"

Böyle bir cevap verebilmek için elbette parantez içinde ne olacağını hesaplamam gerekiyordu. Ve bazen parantez içinde bir sürü şey oluyor... Eh, bu konuda yapabileceğiniz hiçbir şey yok.

Matematikte çok fazla yasaklı işlem yoktur. Bu başlıkta sadece bir tane var. Sıfıra bölüm. Kökler ve logaritmalardan kaynaklanan ek kısıtlamalar ilgili konularda tartışılmaktadır.

Yani, ne olduğuna dair bir fikir sayısal ifade- var. Konsept sayısal ifade anlamlı değil- gerçekleştirilmiş. Hadi devam edelim.

Cebirsel ifadeler.

Sayısal bir ifadede harfler yer alıyorsa, bu ifade şu şekilde olur: İfade şu şekilde olur: Evet! O olur cebirsel ifade. Örneğin:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 milyon/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Bu tür ifadelere aynı zamanda denir edebi ifadeler. Veya değişkenli ifadeler. Neredeyse aynı şey. İfade 5a +cörneğin - hem gerçek hem cebirsel, hem de değişkenleri olan bir ifade.

Konsept cebirsel ifade - sayısaldan daha geniştir. BT içerir ve tüm sayısal ifadeler. Onlar. sayısal bir ifade aynı zamanda cebirsel bir ifadedir, yalnızca harfleri yoktur. Her ringa balığı bir balıktır ama her balık ringa balığı değildir...)

Neden alfabetik- Apaçık. Madem mektuplar var... Cümle değişkenlerle ifade Aynı zamanda çok da kafa karıştırıcı değil. Rakamların harflerin altında saklı olduğunu anlarsanız. Harflerin altına her türlü sayı gizlenebilir... Ve 5, -18 ve ne istersen. Yani bir mektup olabilir yer değiştirmek farklı numaralar için. Bu yüzden harflere denir değişkenler.

İfadede y+5, Örneğin, en- değişken değer. Ya da sadece şunu söylüyorlar: değişken", "büyüklük" kelimesi olmadan. Sabit bir değer olan beşin aksine. Ya da sadece - devamlı.

Terim cebirsel ifade bu ifadeyle çalışmak için yasaları ve kuralları kullanmanız gerektiği anlamına gelir cebir. Eğer aritmetik belirli sayılarla çalışır, ardından cebir- tüm sayılarla aynı anda. Açıklama için basit bir örnek.

Aritmetikte bunu yazabiliriz

Ancak böyle bir eşitliği cebirsel ifadelerle yazarsak:

a + b = b + bir

hemen karar vereceğiz Tüm sorular. İçin tüm sayılar felç. Sonsuz olan her şey için. Çünkü harflerin altında A Ve B ima edilen Tüm sayılar. Ve sadece sayılar değil, diğer matematiksel ifadeler bile. Cebir bu şekilde çalışır.

Cebirsel bir ifade ne zaman anlamlı olmaz?

Sayısal ifadeyle ilgili her şey açıktır. Orada sıfıra bölemezsiniz. Peki harflerle neye böldüğümüzü bulmak mümkün mü?

Örneğin değişkenlerle birlikte bu ifadeyi ele alalım:

2: (A - 5)

Mantıklı geliyor? Kim bilir? A- herhangi bir numara...

Herhangi biri, herhangi biri... Ama tek bir anlamı var A, bunun için bu ifade Kesinlikle mantıklı değil! Peki bu sayı nedir? Evet! Bu 5! Değişken ise A 5 rakamını değiştirin ("yedek" diyorlar), parantez içinde sıfır elde edersiniz. Hangisi bölünemez. Böylece ifademizin ortaya çıktığı ortaya çıktı mantıklı değil, Eğer bir = 5. Ama diğer değerler için A mantıklı geliyor? Başka sayıları değiştirebilir misiniz?

Kesinlikle. Bu gibi durumlarda basitçe şunu söylerler: ifade

2: (A - 5)

herhangi bir değer için anlamlıdır A, a = 5 hariç .

Tüm sayı kümesi Olabilmek Belirli bir ifadenin yerine koymaya denir kabul edilebilir değerler aralığı bu ifade.

Gördüğünüz gibi zorlayıcı bir şey yok. Değişkenli ifadeye bakıyoruz ve şunu anlıyoruz: yasak işlem (sıfıra bölme) değişkenin hangi değerinde elde ediliyor?

Ve sonra görev sorusuna baktığınızdan emin olun. Ne soruyorlar?

mantıklı değil, yasak anlamımız cevap olacaktır.

İfadenin bir değişkenin hangi değerinde olduğunu sorarsanız anlamı var(farkı hissedin!), cevap şu olacak: diğer tüm sayılar yasak olanlar hariç.

Neden ifadenin anlamına ihtiyacımız var? O orada, o değil... Ne fark eder ki?! Mesele şu ki bu kavram lisede çok önemli hale geliyor. Son derece önemli! Bu, kabul edilebilir değerlerin alanı veya bir fonksiyonun alanı gibi katı kavramların temelidir. Bu olmadan ciddi denklemleri veya eşitsizlikleri hiçbir şekilde çözemezsiniz. Bunun gibi.

İfadeleri Dönüştürme. Kimlik dönüşümleri.

Sayısal ve cebirsel ifadelerle tanıştık. “İfadenin hiçbir anlamı yok” ifadesinin ne anlama geldiğini anladık. Şimdi bunun ne olduğunu bulmamız gerekiyor ifade dönüşümü. Cevap utanç verici derecede basittir.) Bu, ifadesi olan herhangi bir eylemdir. Bu kadar. Bu dönüşümleri birinci sınıftan beri yapıyorsunuz.

Harika bir sayısal ifade olan 3+5'i ele alalım. Nasıl dönüştürülebilir? Evet, çok basit! Hesaplamak:

Bu hesaplama ifadenin dönüşümü olacaktır. Aynı ifadeyi farklı şekilde yazabilirsiniz:

Burada hiçbir şeyi saymadık. Sadece ifadeyi yazdım farklı bir biçimde. Bu aynı zamanda ifadenin de dönüşümü olacaktır. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Bu da bir ifadenin dönüşümüdür. Bu tür dönüşümleri istediğiniz kadar yapabilirsiniz.

Herhangi ifadeye ilişkin eylem herhangi başka bir biçimde yazmaya ifadeyi dönüştürmek denir. Ve hepsi bu. Her şey çok basit. Ama burada bir şey var çok önemli kural. Güvenli bir şekilde çağrılabilecek kadar önemli ana kural hepsi matematik. Bu kuralı çiğnemek kaçınılmaz olarak hatalara yol açar. Bu konuya giriyor muyuz?)

Diyelim ki ifademizi gelişigüzel şu şekilde değiştirdik:

Dönüştürmek? Kesinlikle. İfadeyi farklı bir biçimde yazdık, burada yanlış olan ne?

Öyle değil.) Mesele şu ki, dönüşümler "rastgele" matematikle hiç ilgilenmiyorum.) Tüm matematik, görünümün değiştiği dönüşümler üzerine kuruludur, ancak ifadenin özü değişmez.Üç artı beş herhangi bir biçimde yazılabilir, ancak sekiz olması gerekir.

Dönüşümler, özü değiştirmeyen ifadeler arandı birebir aynı.

Kesinlikle kimlik dönüşümleri ve karmaşık bir örneği adım adım basit bir ifadeye dönüştürmemize izin verin. örneğin özü. Dönüşüm zincirinde bir hata yaparsak, özdeş OLMAYAN bir dönüşüm yaparız, sonra karar veririz bir diğerörnek. Doğru olanlarla ilgili olmayan diğer yanıtlarla.)

Bu, herhangi bir görevi çözmenin ana kuralıdır: dönüşümlerin kimliğini korumak.

Anlaşılır olması açısından 3+5 sayısal ifadesiyle bir örnek verdim. Cebirsel ifadelerde kimlik dönüşümleri formüller ve kurallarla verilir. Diyelim ki cebirde bir formül var:

a(b+c) = ab + ac

Bu, herhangi bir örnekte ifade yerine şunları yapabileceğimiz anlamına gelir: a(b+c) bir ifade yazmaktan çekinmeyin ab+ac. Ve tam tersi. Bu özdeş dönüşüm. Matematik bize bu iki ifade arasında seçim yapma olanağı tanır. Ve hangisinin yazılacağı belirli örneğe bağlıdır.

Başka bir örnek. En önemli ve gerekli dönüşümlerden biri kesrin temel özelliğidir. Daha fazla ayrıntı için bağlantıya bakabilirsiniz, ancak burada size kuralı hatırlatacağım: Bir kesrin payı ve paydası aynı sayıyla veya sıfıra eşit olmayan bir ifadeyle çarpılırsa (bölülürse), kesir değişmez. Bu özelliği kullanan kimlik dönüşümlerine bir örnek:

Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi bu zincir sonsuza kadar devam ettirilebilir...) Çok önemli bir özellik. Her türlü örnek canavarı beyaz ve kabarık hale getirmenizi sağlayan da budur.)

Aynı dönüşümleri tanımlayan birçok formül vardır. Ama en önemlileri oldukça makul bir sayıdır. Temel dönüşümlerden biri çarpanlara ayırmadır. Başlangıçtan ileri seviyeye kadar tüm matematikte kullanılır. Onunla başlayalım. Bir sonraki derste.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.