Bir fonksiyonun parametreli türevi. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

x, y değişkenlerinin üçüncü bir t değişkeninin (parametre adı verilen) fonksiyonları olduğu bir düzlem üzerinde bir çizgi tanımlamayı düşünün:

Her bir değer için T belirli bir aralıktan itibaren belirli değerler karşılık gelir X Ve y, bir dolayısıyla düzlemin belirli bir M(x,y) noktası. Ne zaman T belirli bir aralıktaki tüm değerlerin üzerinden geçer, ardından nokta M (x, y) bir satırı tanımlar L. Denklemlere (2.2) parametrik çizgi denklemleri denir L.

Eğer x = φ(t) fonksiyonunun tersi t = Ф(x) varsa, o zaman bu ifadeyi y = g(t) denkleminde yerine koyarsak, y = g(Ф(x)) elde ederiz; bu, şunu belirtir: sen bir fonksiyonu olarak X. Bu durumda denklemlerin (2.2) fonksiyonu tanımladığını söylüyoruz. sen parametrik olarak.

Örnek 1.İzin vermek M(x,y)– yarıçaplı bir daire üzerinde rastgele bir nokta R ve orijine odaklanmıştır. İzin vermek T– eksenler arasındaki açı Öküz ve yarıçap OM(bkz. Şekil 2.3). Daha sonra x, y aracılığıyla ifade edilir T:

Denklemler (2.3) bir çemberin parametrik denklemleridir. t parametresini denklemlerden (2.3) hariç tutalım. Bunu yapmak için her denklemin karesini alır ve eklersek şunu elde ederiz: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) veya x 2 + y 2 = R 2 – Kartezyen denklemde bir dairenin denklemi koordinat sistemi. İki fonksiyonu tanımlar: Bu fonksiyonların her biri parametrik denklemlerle (2.3) verilir, ancak birinci fonksiyon ve ikincisi için.

Örnek 2. Parametrik denklemler

yarı eksenli bir elips tanımlayın a, b(Şekil 2.4). Parametrenin denklemlerden hariç tutulması T elipsin kanonik denklemini elde ederiz:

Örnek 3. Bir sikloid, eğer bu daire düz bir çizgide kaymadan yuvarlanıyorsa, bir daire üzerinde yatan bir nokta ile tanımlanan bir çizgidir (Şekil 2.5). Sikloidin parametrik denklemlerini tanıtalım. Yuvarlanan dairenin yarıçapı şöyle olsun: A, nokta M Sikloidi tanımlayan hareketin başlangıcı koordinatların kökenine denk geliyordu.

Koordinatları belirleyelim X, y puan M daire bir açıyla döndükten sonra T
(Şekil 2.5), t = ÐMCB. Yay uzunluğu M.B. segmentin uzunluğuna eşit O.B.çember kaymadan yuvarlandığından dolayı

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – maliyet = a(1 – maliyet).

Böylece sikloidin parametrik denklemleri elde edilir:

Bir parametreyi değiştirirken T 0'dan 2π daire bir tur döner ve nokta M bir sikloidin bir yayını tanımlar. Denklemler (2.5) şunu verir: sen bir fonksiyonu olarak X. Her ne kadar fonksiyon x = a(t – sint) ters bir işlevi vardır, ancak temel işlevler cinsinden ifade edilmez, dolayısıyla işlev y = f(x) temel işlevlerle ifade edilmez.

Denklemler (2.2) ile parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini ele alalım. Belirli bir t değişim aralığında x = φ(t) fonksiyonu ters fonksiyona sahiptir t = F(x), Daha sonra y = g(Ф(x)). İzin vermek x = φ(t), y = g(t) türevleri var ve x"t≠0. Karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralına göre y"x=y"t×t"x. Ters fonksiyonun türevini alma kuralına dayanarak, bu nedenle:

Ortaya çıkan formül (2.6), parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulmayı sağlar.

Örnek 4. Fonksiyonun sen, bağlı olarak X, parametrik olarak belirtilir:

Çözüm. .
Örnek 5. Eğimi bulun k parametrenin değerine karşılık gelen M 0 noktasında sikloide teğettir.
Çözüm. Sikloid denklemlerinden: y" t = asint, x" t = a(1 – maliyet), Bu yüzden

Bir noktada teğet eğim M0 değerine eşit t 0 = π/4:

DİFERANSİYEL FONKSİYONU

Fonksiyonun bu noktada olmasına izin verin x 0 türevi vardır. A-tarikatı:
bu nedenle limitin özelliklerine göre (Bölüm 1.8), burada A– sonsuz küçük Δx → 0. Buradan

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 olduğundan, eşitlikteki ikinci terim (2.7), ile karşılaştırıldığında daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. , bu nedenle Δy ve f " (x 0)×Δx eşdeğerdir, sonsuz küçüktür (f "(x 0) ≠ 0 için).

Böylece, Δy fonksiyonunun artışı, ilk f "(x 0)×Δx olan iki terimden oluşur. Ana bölüm Δy artışı, Δx'e göre doğrusal (f "(x 0)≠ 0 için).

Diferansiyel x 0 noktasındaki f(x) fonksiyonuna, fonksiyonun artışının ana kısmı denir ve şöyle gösterilir: ölmek veya df(x0). Buradan,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2,8)

Örnek 1. Bir fonksiyonun diferansiyelini bulun ölmek ve y = x 2 fonksiyonu için Δy fonksiyonunun artışı:
1) keyfi X ve Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Çözüm

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Eğer x 0 = 20, Δx = 0,1 ise Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Eşitliği (2.7) şu şekilde yazalım:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Δy artışı diferansiyelden farklıdır ölmekΔx ile karşılaştırıldığında daha yüksek dereceden sonsuz küçük bir değere kadar, bu nedenle yaklaşık hesaplamalarda, Δx yeterince küçükse yaklaşık Δy ≈ dy eşitliği kullanılır.

Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0) olduğunu düşünürsek yaklaşık bir formül elde ederiz:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Örnek 2. Yaklaşık olarak hesaplayın.

Çözüm. Dikkate almak:

Formül (2.10)'u kullanarak şunu elde ederiz:

Yani ≈ 2,025.

Diferansiyelin geometrik anlamını ele alalım df(x 0)(Şekil 2.6).

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine M 0 (x0, f(x 0)) noktasında bir teğet çizelim, φ KM0 teğeti ile Ox ekseni arasındaki açı olsun, sonra f"( x 0) = tanφ ΔM0NP'den:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Ancak PN, x x 0'dan x 0 + Δx'e değiştikçe teğet ordinatın artışıdır.

Sonuç olarak, f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki diferansiyeli, teğetin ordinatındaki artışa eşittir.

Fonksiyonun diferansiyelini bulalım
y = x. (x)" = 1 olduğundan dx = 1×Δx = Δx olur. Bağımsız değişken x'in diferansiyelinin artışına eşit olduğunu varsayacağız, yani dx = Δx.

Eğer x keyfi bir sayı ise, o zaman (2.8) eşitliğinden df(x) = f "(x)dx elde ederiz, dolayısıyla .
Dolayısıyla, bir y = f(x) fonksiyonunun türevi, diferansiyelinin argümanın diferansiyeline oranına eşittir.

Bir fonksiyonun diferansiyelinin özelliklerini ele alalım.

Eğer u(x), v(x) türevlenebilir fonksiyonlar ise, aşağıdaki formüller geçerlidir:

Bu formülleri kanıtlamak için bir fonksiyonun toplamı, çarpımı ve bölümü için türev formülleri kullanılır. Örneğin formül (2.12)'yi kanıtlayalım:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyelini ele alalım: y = f(x), x = φ(t), yani. y = f(φ(t))

O halde dy = y" t dt, ancak y" t = y" x ×x" t, yani dy =y" x x" t dt. Düşünen,

x" t = dx olursa, dy = y" x dx =f "(x)dx elde ederiz.

Dolayısıyla, x =φ(t) olan karmaşık bir fonksiyonun diferansiyeli y = f(x) dy = f "(x)dx biçimine sahiptir; bu, x'in bağımsız bir değişken olduğu durumla aynıdır. Bu özellik denir diferansiyel formunun değişmezliği A.

Logaritmik farklılaşma

Temel fonksiyonların türevleri

Farklılaşmanın temel kuralları

Fonksiyon diferansiyeli

Fonksiyon artışının ana doğrusal kısmı A D X bir fonksiyonun diferansiyellenebilirliğini belirlemede

D f=f(X)-F(X 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0

fonksiyonun diferansiyeli denir F(X) noktada X 0 ve gösterilir

df(X 0)=f¢(X 0)D x=A D X.

Diferansiyel noktaya bağlıdır X 0 ve D artışından X. D'de X aynı zamanda bağımsız bir değişken olarak da bakıyorlar, yani her noktada diferansiyel, D artışının doğrusal bir fonksiyonudur X.

Bir fonksiyon olarak düşünürsek F(X)=x, sonra elde ederiz dx= D x,dy=Adx. Bu Leibniz'in notasyonuyla tutarlıdır.

Bir teğetin ordinatının artışı olarak diferansiyelin geometrik yorumu.

Pirinç. 4.3

1) f= yapı , f¢= 0,df= 0 gün x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Sonuçlar. (bkz.(X))¢=cf¢(X), (C 1 F 1 (X)+…+c n f n(X))¢=c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)

4) f=u/v, v(X 0)¹0 ve türevi mevcutsa, o halde f¢=(u¢v-v¢ sen)/v 2 .

Kısaltmak için şunu belirteceğiz sen=sen(X)sen 0 =sen(X 0), sonra

D'deki sınıra geçme x® 0 Gerekli eşitliği elde ederiz.

5) Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Teorem. f¢ varsa(X 0), g¢(X 0)ve x 0 =g(T 0), sonra bir mahallede t 0 karmaşık fonksiyon f tanımlanır(G(T))t noktasında türevlenebilir 0 Ve

Kanıt.

F(X)-F(X 0)=f¢(X 0)(x-x 0)+ A( X)(x-x 0), XÎ sen(X 0).

F(G(T))-F(G(T 0))= f¢(X 0)(G(T)-G(T 0))+ A( G(T))(G(T)-G(T 0)).

Bu eşitliğin her iki tarafını da ( t - t 0) ve hadi şu sınıra gidelim t®t 0 .

6) Ters fonksiyonun türevinin hesaplanması.

Teorem. F'nin sürekli ve kesinlikle monoton olmasına izin verin[a,b]. x noktasında olsun 0 Î( a,b)f¢ var(X 0)¹ 0 , sonra ters fonksiyon x=f -1 (sen)y noktasında var 0 türev eşittir

Kanıt. Sayarız F kesinlikle monoton olarak artıyor, o zaman F -1 (sen) süreklidir, monoton olarak [ kadar artar F(A),F(B)]. Hadi koyalım sen 0 =f(X 0), y=f(X), x - x 0 =D X,

y - y 0 =D sen. Ters D fonksiyonunun sürekliliğinden dolayı sen®0 Ş D X®0, elimizde

Limite geçerek gerekli eşitliği elde ederiz.

7) Çift bir fonksiyonun türevi tektir, tek bir fonksiyonun türevi çifttir.

Gerçekten eğer x® - x 0 , O - x®x 0 , Bu yüzden

Çift işlev için Tek işlev için

1) f= yapı, f¢(X)=0.

2) F(X)=x,f¢(X)=1.

3) F(X)= e x, f¢(X)= ex ,

4) F(X)=a x ,(bir x)¢ = balta içinde A.

5) içinde A.

6) F(X)=ln X,

Sonuçlar. (çift bir fonksiyonun türevi tektir)

7) (X M )¢= M X m -1 , X>0, X M =e M içinde X .

8) (günah X)¢= çünkü X,

9) (çünkü X)¢=- günah X,(çünkü X)¢= (günah( x+ p/2)) ¢= çünkü( x+ p/2)=-sin X.

10) (tg) X)¢= 1/çünkü 2 X.

11) (ctg X)¢= -1/günah 2 X.

16)sh X, ch X.

f(x),, bundan şu sonuç çıkıyor f¢(X)=f(X)(in F(X))¢ .

Aynı formül farklı şekilde elde edilebilir F(X)=e içinde F(X) , f¢=e içinde F(X) (in F(X))¢.

Örnek. Bir fonksiyonun türevini hesaplama f=xx .

=x x = x x = x x = x x(in x+ 1).

Düzlemdeki noktaların geometrik konumu

buna bir fonksiyonun grafiği diyeceğiz, parametrik olarak verilmiştir. Ayrıca bir fonksiyonun parametrik spesifikasyonundan da bahsediyorlar.

Not 1. Eğer x, y için sürekli [a,b] Ve X(T) segmentte kesinlikle monoton (örneğin, kesinlikle monoton bir şekilde artar), sonra [ a,b], a=x(A) , b=x(B) fonksiyon tanımlanmış F(X)=y(T(X)), nerede(X) – x(t)'ye ters fonksiyon. Bu fonksiyonun grafiği fonksiyonun grafiğiyle çakışıyor

Tanım alanı ise parametrik olarak verilen bir fonksiyon sonlu sayıda parçaya bölünebilir ,k= 1,2,...,N, her birinde bir fonksiyon var X(T) kesinlikle monotonsa, parametrik olarak tanımlanmış fonksiyon sonlu sayıda sıradan fonksiyona ayrışır fk(X)=y(T -1 (X)) alan adlarıyla [ X(A k), X(B k)] bölümleri artırmak için X(T) ve alan adlarıyla [ X(B k), X(A k)] fonksiyonu azalan alanlar için X(T). Bu şekilde elde edilen fonksiyonlara parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tek değerli dalları denir.

Şekil parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir

Seçilen parametrelendirmeyle tanımlama alanı sin(2) fonksiyonunun katı monotonluğuna sahip beş bölüme ayrılmıştır T), Kesinlikle: TÎ TÎ ,TÎ ,TÎ , ve buna göre grafik, bu bölümlere karşılık gelen beş net dala bölünecektir.

Pirinç. 4.4

Pirinç. 4.5

Noktaların aynı geometrik konumu için farklı bir parametrelendirme seçebilirsiniz.

Bu durumda bu türden yalnızca dört dal olacaktır. Katı monotonluk alanlarına karşılık gelecekler TÎ ,TÎ ,TÎ ,TÎ işlevler günah(2 T).

Pirinç. 4.6

Sin(2) fonksiyonunun monotonluğunun dört bölümü T) uzun bir segmentte.

Pirinç. 4.7

Her iki grafiğin tek bir şekilde gösterilmesi, parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun grafiğini, her iki fonksiyonun monotonluk alanlarını kullanarak yaklaşık olarak tasvir etmenize olanak tanır.

Örnek olarak segmente karşılık gelen ilk dalı düşünün. TÎ . Bu bölümün sonundaki fonksiyon x= günah(2 T) -1 değerlerini alır ve 1 yani bu dal [-1,1]'de tanımlanacaktır. Bundan sonra ikinci fonksiyonun monotonluk alanlarına bakmanız gerekiyor. y=çünkü( T), üzerinde var monotonluğun iki bölümü . Bu da bize ilk dalın iki monotonluk bölümü olduğunu söylememizi sağlıyor. Grafiğin uç noktalarını bulduktan sonra, grafiğin monotonluğunun doğasını belirtmek için bunları düz çizgilerle birleştirebilirsiniz. Bunu her dal için yaptıktan sonra grafiğin belirgin dallarının monotonluk alanlarını elde ederiz (bunlar şekilde kırmızıyla vurgulanmıştır)

Pirinç. 4.8

İlk tek değerli dal F 1 (X)=y(T(X)) , siteye karşılık gelen için belirlenecek XО[-1,1] . İlk tek değerli dal TÎ , XО[-1,1].

Diğer üç dalın tümü de bir tanım alanına sahip olacaktır [-1,1] .

Pirinç. 4.9

İkinci şube TÎ XО[-1,1].

Pirinç. 4.10

Üçüncü şube TÎ XО[-1,1]

Pirinç. 4.11

Dördüncü şube TÎ XО[-1,1]

Pirinç. 4.12

Yorum 2. Aynı fonksiyonun farklı parametrik ayarları olabilir. Farklılıklar her iki fonksiyonun kendisiyle de ilgili olabilir X(T), sen(T) , ve tanım alanı bu işlevler.

Aynı fonksiyon için farklı parametrik atamalara örnek

Ve TО[-1, 1] .

Not 3. Eğer x,y sürekli ise , X(T)- segmentte kesinlikle monoton ve türevleri var y¢(T 0),x¢(T 0)¹0, o zaman var f¢(X 0)= .

Gerçekten mi, .

Son ifade aynı zamanda parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tek değerli dalları için de geçerlidir.

4.2 Yüksek dereceli türevler ve diferansiyeller

Daha yüksek türevler ve diferansiyeller. Parametrik olarak belirtilen fonksiyonların türevi. Leibniz'in formülü.

Fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilmesine izin verin:
(1)
parametre adı verilen bazı değişkenler nerede? Ve fonksiyonların değişkenin belirli bir değerinde türevleri olsun. Üstelik fonksiyon noktanın belirli bir komşuluğunda da ters fonksiyona sahiptir. O halde fonksiyon (1)'in, parametrik formda aşağıdaki formüllerle belirlenen noktada bir türevi vardır:
(2)

Burada ve fonksiyonların ve değişkene (parametreye) göre türevleridir. Genellikle şu şekilde yazılırlar:
;
.

O halde sistem (2) şu şekilde yazılabilir:

Kanıt

Koşul gereği, fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. olarak belirtelim
.
O zaman orijinal fonksiyon karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilebilir:
.
Karmaşık ve ters fonksiyonların diferansiyel kurallarını kullanarak türevini bulalım:
.

Kural kanıtlandı.

İkinci şekilde kanıt

Fonksiyonun noktadaki türevinin tanımına dayanarak türevi ikinci şekilde bulalım:
.
Gösterimi tanıtalım:
.
Daha sonra önceki formül şu şekli alır:
.

Fonksiyonun noktanın komşuluğunda ters fonksiyona sahip olmasından yararlanalım.
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:
; ;
; .
Kesrin payını ve paydasını şuna bölün:
.
, tarihinde.
.

Kural kanıtlandı.

Daha sonra

Yüksek dereceli türevler
(1)

Daha yüksek dereceli türevleri bulmak için farklılaşmanın birkaç kez yapılması gerekir. Diyelim ki parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci dereceden türevini aşağıdaki biçimde bulmamız gerekiyor:
(2)

Formül (2)'yi kullanarak yine parametrik olarak belirlenen birinci türevi buluruz:
.
Birinci türevi değişkenle gösterelim:
(3)
Daha sonra bir fonksiyonun değişkene göre ikinci türevini bulmak için, fonksiyonun değişkene göre birinci türevini bulmanız gerekir. Bir değişkenin bir değişkene bağımlılığı da parametrik bir şekilde belirtilir:

(3)'ü formül (1) ve (2) ile karşılaştırdığımızda şunu buluruz: Şimdi sonucu ve fonksiyonları aracılığıyla ifade edelim. Bunu yapmak için yerine koyalım ve uygulayalım :
.
kesir türev formülü
.

Daha sonra

Buradan fonksiyonun değişkene göre ikinci türevini elde ederiz:
.

Ayrıca parametrik formda da verilmektedir. İlk satırın şu şekilde de yazılabileceğini unutmayın:

İşleme devam ederek üçüncü ve daha yüksek dereceli bir değişkenden fonksiyonların türevlerini elde edebilirsiniz.
;
.

Türev için bir notasyon eklememiz gerekmediğine dikkat edin. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

örnek 1

Parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm
göre türevlerini buluyoruz. İtibaren türev tabloları
;
.
bulduk:

.
Başvuruyoruz:

.
Başvuruyoruz:

Burada .
.

Gerekli türev:

Cevap

Örnek 2

Parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini bulun:

Parametre aracılığıyla ifade edilen fonksiyonun türevini bulun: Aşağıdaki formülleri kullanarak parantezleri açalım. :
.

Güç fonksiyonları ve kökleri

.

Türevi bulma: Türevi bulma. Bunu yapmak için bir değişken tanıtıyoruz ve uyguluyoruz..

.

karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülü
.

Gerekli türev:

İstenilen türevi buluyoruz:

Örnek 3

Parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini bulun:

Örnek 1'de parametrik olarak tanımlanan fonksiyonun ikinci ve üçüncü dereceden türevlerini bulun:

Örnek 1'de birinci dereceden türevi bulduk:

'ye göre ikinci türevi bulmak için, 'ye göre birinci türevi bulmamız gerekir.

ile ayırt edelim.
.
Örnek 1'de türevini bulduk:
.
göre ikinci dereceden türev, aşağıdakilere göre birinci dereceden türeve eşittir:
.

Böylece parametrik forma göre ikinci dereceden türevi bulduk:

Şimdi üçüncü dereceden türevi buluyoruz. Tanımı tanıtalım. Daha sonra fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilen birinci dereceden türevini bulmamız gerekiyor:

'ye göre türevini bulun. Bunu yapmak için eşdeğer biçimde yeniden yazıyoruz:
.
göre türevlerini buluyoruz.
.

Üçüncü dereceden türev, aşağıdakilere göre birinci dereceden türeve eşittir:
.

Yorum

Sırasıyla ve'nin türevleri olan ve değişkenlerini girmenize gerek yoktur. Daha sonra şu şekilde yazabilirsiniz:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Gerekli türev:

Parametrik gösterimde ikinci dereceden türev aşağıdaki forma sahiptir:

Üçüncü dereceden türev.

Vurgu yapmayalım, bu paragrafta her şey de oldukça basit. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun genel formülünü yazabilirsiniz, ancak konuyu açıklığa kavuşturmak için hemen belirli bir örneği yazacağım. Parametrik formda fonksiyon iki denklemle verilir: . Çoğu zaman denklemler küme parantezleri altında değil, sırayla yazılır: , .

Değişkene parametre denir ve “eksi sonsuz”dan “artı sonsuz”a kadar değerler alabilir. Örneğin değeri düşünün ve onu her iki denklemde değiştirin: . Veya insani terimlerle: "eğer x dörde eşitse, o zaman y de bire eşittir." Koordinat düzleminde bir noktayı işaretleyebilirsiniz ve bu nokta parametrenin değerine karşılık gelecektir. Benzer şekilde “te” parametresinin herhangi bir değeri için bir nokta bulabilirsiniz. "Normal" bir fonksiyona gelince, parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun Amerikan Kızılderilileri için tüm haklara da saygı duyulur: bir grafik oluşturabilir, türevleri bulabilirsiniz vb. Bu arada, parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerekiyorsa, sayfadaki geometrik programımı indirin Matematiksel formüller ve tablolar.

En basit durumlarda fonksiyonu açıkça temsil etmek mümkündür. Birinci denklemdeki parametreyi ifade edelim: – ve bunu ikinci denklemde yerine koyun: . Sonuç sıradan bir kübik fonksiyondur.

Daha “ağır” vakalarda bu hile işe yaramaz. Ancak bunun önemi yok çünkü parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın bir formülü var:

“Te değişkenine göre oyunun” türevini buluyoruz:

Harf için doğal olarak tüm türev kuralları ve türev tablosu geçerlidir, dolayısıyla, Türev bulma sürecinde herhangi bir yenilik yok. Tablodaki tüm "X"leri zihinsel olarak "Te" harfiyle değiştirin.

“x”in te değişkenine göre türevini buluyoruz:

Şimdi geriye kalan tek şey bulunan türevleri formülümüzde yerine koymaktır:

Hazır. Fonksiyonun kendisi gibi türev de parametreye bağlıdır.

Gösterime gelince, onu formülde yazmak yerine, alt simge olmadan basitçe yazabiliriz, çünkü bu "X'e göre" "düzenli" bir türevdir. Ancak literatürde her zaman bir seçenek vardır, bu yüzden standarttan sapmayacağım.

Örnek 6

Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Böylece:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın özel bir özelliği şudur: her adımda sonucu mümkün olduğunca basitleştirmek faydalıdır. Dolayısıyla ele alınan örnekte, bulduğumda kökün altındaki parantezleri açtım (gerçi bunu yapmamış olabilirim). Formüle ikame edildiğinde birçok şeyin iyi şekilde azaltılma ihtimali yüksektir. Tabii ki, beceriksiz cevaplara sahip örnekler var.

Örnek 7

Parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Makalede Türevlerle ilgili en basit tipik problemler Bir fonksiyonun ikinci türevini bulmamız gereken örneklere baktık. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci türevini de bulabilirsiniz ve bu, aşağıdaki formül kullanılarak bulunur: . İkinci türevi bulmak için önce birinci türevi bulmanız gerektiği oldukça açıktır.

Örnek 8

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun

İlk önce birinci türevi bulalım.
Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Bulunan türevleri formülde yerine koyar. Basitleştirme amacıyla trigonometrik formülü kullanıyoruz:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulma probleminde, çoğu zaman basitleştirme amacıyla şunun kullanılması gerektiğini fark ettim: trigonometrik formüller . Bunları hatırlayın veya el altında bulundurun ve her ara sonucu ve yanıtı basitleştirme fırsatını kaçırmayın. Ne için? Şimdi türevini almamız gerekiyor ve bu açıkça türevini bulmaktan daha iyi.

İkinci türevi bulalım.
Şu formülü kullanıyoruz: .

Formülümüze bakalım. Payda önceki adımda zaten bulunmuştur. Geriye “te” değişkenine göre birinci türevin türevi olan payı bulmak kalıyor: