Bir parabolün en basit denklemi. İkinci dereceden denklem kullanarak parabol nasıl oluşturulur

Dikdörtgen koordinat sistemini tanıtalım, burada . Eksenin odaktan geçmesine izin verin F parabol ve doğrultmana diktir ve eksen, odak ile doğrultu arasında yarı yolda geçer. Odak ile yön arasındaki mesafeyi belirtelim. Daha sonra direktriks denklemi.

Sayıya parabolün odak parametresi denir. Parabolün şimdiki noktası olsun. Hiperbolün noktasının odak yarıçapı, noktadan doğrultmana olan uzaklık olsun. Daha sonra( çizim 27.)

Çizim 27.

Bir parabolün tanımı gereği. Buradan,

Denklemin karesini alalım ve şunu elde edelim:

(15)

burada (15), eksene göre simetrik olan ve orijinden geçen bir parabolün kanonik denklemidir.

Bir parabolün özelliklerinin incelenmesi

1) Parabolün tepe noktası:

Denklem (15) sayılarla sağlanır ve dolayısıyla parabol orijinden geçer.

2) Parabol simetrisi:

Parabole ait olalım, yani. gerçek eşitlik. Nokta eksene göre noktaya simetriktir, dolayısıyla parabol apsis eksenine göre simetriktir.

Parabolün dışmerkezliği:

Tanım 4.2. Bir parabolün dışmerkezliği bire eşit bir sayıdır.

Bir parabolün tanımı gereği.

4) Parabolün tanjantı:

Teğet noktasındaki bir parabolün teğeti denklemle verilir

Nerede ( çizim 28.)

Çizim 28.

Parabol resmi

Çizim 29.

ESO-Mathcad'i kullanma:

çizim 30.)

Çizim 30.

a) BİT kullanmadan inşaat: Bir parabol oluşturmak için merkezi O noktasında ve birim segmenti olan dikdörtgen bir koordinat sistemi kurarız. Öyle çizdiğimiz için odağı OX eksenine ve parabolün doğrultmanına işaretliyoruz. Yarıçapı düz çizgiden parabolün doğrultmanına olan mesafeye eşit olan bir noktada bir daire oluşturuyoruz. Çember doğruyu bazı noktalarda keser. Başlangıç ​​noktasından ve noktalardan geçecek şekilde bir parabol oluşturuyoruz.( çizim 31.)

Çizim 31.

b)ESO-Mathcad'i kullanarak:

Ortaya çıkan denklem şuna benzer: . Mathcad programında ikinci dereceden bir doğru oluşturmak için denklemi şu şekle indirgeriz: .( çizim 32.)

Çizim 32.

İlköğretim matematikte ikinci dereceden doğrular teorisi üzerine yapılan çalışmaları özetlemek ve problem çözerken doğrulara ilişkin bilgilerin kullanılmasının kolaylığı için, ikinci dereceden doğrulara ilişkin tüm verileri Tablo 1'e dahil edeceğiz.

Tablo No.1.

İlköğretim matematikte ikinci dereceden çizgiler

İkinci dereceden hatların incelenmesinde BİT kullanma olanakları

Bugün modern toplum yaşamının tüm yönlerini kapsayan bilişim sürecinin, elbette eğitimin bilişimleşmesini de içermesi gereken birçok öncelikli alanı vardır. Bilgi ve iletişim teknolojilerinin (BİT) kullanımı yoluyla insan entelektüel faaliyetinin küresel rasyonelleştirilmesinin temel temelidir.

Geçen yüzyılın 90'lı yılların ortalarından günümüze kadar, Rusya'da kişisel bilgisayarların yaygın kullanımı ve mevcudiyeti, gelişmiş eğitim bilgi teknolojilerinin eğitim sürecine dahil edilmesine, iyileştirilmesine ve modernleştirilmesine, iyileştirilmesine olanak tanıyan telekomünikasyonun yaygın kullanımı ile karakterize edilir. bilginin kalitesi, öğrenme motivasyonunun arttırılması, öğrenmenin bireyselleştirilmesi ilkesinden maksimum düzeyde yararlanılmasıdır. Eğitim için bilgi teknolojileri, eğitimin bilişimleşmesinin bu aşamasında gerekli bir araçtır.

Bilgi teknolojileri yalnızca bilgiye erişimi kolaylaştırmak ve eğitim faaliyetlerinde değişkenlik, bireyselleştirme ve farklılaşma fırsatları açmakla kalmaz, aynı zamanda tüm öğrenme konularının etkileşimini yeni bir şekilde yeniden düzenlemeyi, içinde eğitimin mümkün olduğu bir eğitim sistemi oluşturmayı mümkün kılar. Öğrenci eğitim faaliyetlerine aktif ve eşit bir katılımcı olacaktır.

Konu dersleri çerçevesinde yeni bilgi teknolojilerinin oluşumu, dersin etkililiğini niteliksel olarak artırmayı amaçlayan yeni yazılım ve metodolojik kompleksler oluşturma ihtiyacını teşvik etmektedir. Bu nedenle, bilgi teknolojisi araçlarının eğitim sürecinde başarılı ve amaçlı kullanımı için öğretmenlerin, yazılım uygulamalarının çalışma ilkelerinin genel tanımını ve didaktik yeteneklerini bilmeleri ve ardından deneyimlerine ve önerilerine dayanarak bunları "oluşturmaları" gerekir. eğitim sürecine girer.

Matematik çalışması şu anda ülkemizde okul eğitiminin gelişimindeki bir takım özellikler ve zorluklarla ilişkilidir.

Matematik eğitiminde sözde kriz ortaya çıktı. Bunun nedenleri aşağıdaki gibidir:

Toplumda ve bilimde değişen önceliklerde, yani beşeri bilimlerin önceliği şu anda artıyor;

Okuldaki matematik dersi sayısının azaltılmasında;

Matematik eğitiminin içeriğinin hayattan izolasyonu;

Öğrencilerin duygu ve duyguları üzerinde çok az etkisi vardır.

Bugün şu soru açık kalıyor: "Matematik öğretimi de dahil olmak üzere okul çocuklarına eğitim verirken modern bilgi ve iletişim teknolojilerinin potansiyel yetenekleri en etkili şekilde nasıl kullanılır?"

Bilgisayar, "İkinci Dereceden Fonksiyon" gibi bir konuyu incelemek için mükemmel bir yardımcıdır, çünkü özel programlar kullanarak çeşitli fonksiyonların grafiklerini oluşturabilir, fonksiyonu keşfedebilir, kesişme noktalarının koordinatlarını kolayca belirleyebilir, kapalı şekillerin alanlarını hesaplayabilirsiniz, vb. Örneğin, grafik dönüşümüne (uzatma, sıkıştırma, koordinat eksenlerini hareket ettirme) ayrılmış bir 9. sınıf cebir dersinde, yapının yalnızca donmuş sonucunu görebilirken, öğretmen ve öğrencinin sıralı eylemlerinin tüm dinamiklerini görebilirsiniz. monitör ekranında.

Bilgisayar, başka hiçbir teknik araç gibi, öğrenciye ideal matematiksel modelleri doğru, görsel ve heyecan verici bir şekilde ortaya koyar; bir çocuğun pratik eylemlerinde ne için çabalaması gerektiği.

Bir matematik öğretmeninin, öğrencileri ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğine teğetlik noktasındaki teğetinin, fonksiyonun grafiğiyle pratik olarak birleştiğine ikna etmek için ne kadar zorluk yaşaması gerekir? Bu gerçeği bilgisayarda göstermek çok kolaydır; Ox ekseni boyunca aralığı daraltmak ve teğet noktasının çok küçük bir komşuluğunda fonksiyonun grafiği ile teğet çizgisinin çakıştığını keşfetmek yeterlidir. Bütün bu eylemler öğrencilerin önünde gerçekleşir. Bu örnek derste aktif yansıma için bir ivme sağlar. Hem sınıfta yeni materyalin anlatılması sırasında hem de kontrol aşamasında bilgisayar kullanımı mümkündür. Örneğin “Testim” gibi bu programların yardımıyla öğrenci, teorik bilgi seviyesini bağımsız olarak test edebilir ve teorik ve pratik görevleri tamamlayabilir. Programlar çok yönlülüğü nedeniyle uygundur. Hem öz kontrol hem de öğretmen kontrolü için kullanılabilirler.

Matematik ve bilgisayar teknolojisinin makul entegrasyonu, bir problem çözme sürecine ve matematik yasalarını anlama sürecine daha zengin ve daha derin bir bakış atmamızı sağlayacaktır. Buna ek olarak, bilgisayar öğrencilerin grafik, matematik ve zihinsel kültürünün oluşmasına yardımcı olacaktır ve bilgisayar yardımıyla didaktik materyaller hazırlayabilirsiniz: kartlar, anket formları, testler vb. İlgi ve yaratıcılığın olduğu konuyla ilgili bağımsız olarak testler geliştirme fırsatı.

Bu nedenle matematik derslerinde bilgisayarların mümkün olduğunca yaygın şekilde kullanılmasına ihtiyaç vardır. Bilgi teknolojisinin kullanılması, bilginin kalitesinin iyileştirilmesine, ikinci dereceden fonksiyonu inceleme ufkunun genişletilmesine yardımcı olacak ve bu nedenle öğrencilerin konuya ve konuya olan ilgisini sürdürmek ve dolayısıyla konuya karşı daha iyi, daha dikkatli bir tutum için yeni beklentiler bulmaya yardımcı olacaktır. . Günümüzde modern bilgi teknolojileri, yönetimden eğitime ve eğitime erişilebilirliğin sağlanmasına kadar okulun bir bütün olarak modernleştirilmesinin en önemli aracı haline geliyor.

Parabol, düzlemde belirli bir F noktasına ve bu noktadan geçmeyen belirli bir düz çizgiye eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yeridir. Bu geometrik tanım ifade eder bir parabolün yönsel özelliği.

Bir parabolün yönsel özelliği

F noktasına parabolün odağı denir, d çizgisi parabolün doğrultmanıdır, odak noktasından doğrultuya indirilen dikin orta noktası O parabolün tepe noktasıdır, p odaktan doğrultuya olan mesafedir parabolün parametresidir ve parabolün tepe noktasından odağına olan uzaklık \frac(p)(2) odak uzaklığıdır (Şekil 3.45a). Doğrultmana dik olan ve odak noktasından geçen düz çizgiye parabolün ekseni (parabolün odak ekseni) denir. Parabolün rastgele bir M noktasını odağına bağlayan FM segmentine M noktasının odak yarıçapı denir. Bir parabolün iki noktasını birleştiren doğru parçasına parabolün kirişi denir.

Bir parabolün rastgele bir noktası için, odağa olan mesafenin doğrultmana olan mesafeye oranı bire eşittir. , ve parabollerin yönsel özelliklerini karşılaştırarak şu sonuca varırız: parabolün dışmerkezliği tanım gereği bire eşittir (e=1).

Bir parabolün geometrik tanımı Yönsel özelliğini ifade eden analitik tanımına eşdeğerdir - bir parabolün kanonik denklemiyle tanımlanan çizgi:

Aslında dikdörtgen bir koordinat sistemi sunalım (Şekil 3.45, b). Koordinat sisteminin orijini olarak parabolün O köşesini alıyoruz; apsis ekseni olarak odak noktasından direktrise dik olarak geçen düz çizgiyi alıyoruz (üzerindeki pozitif yön O noktasından F noktasına kadardır); Apsis eksenine dik olan ve parabolün tepe noktasından geçen düz çizgiyi ordinat ekseni olarak alalım (ordinat eksenindeki yön, dikdörtgen koordinat sistemi Oxy sağa olacak şekilde seçilmiştir).

Bir parabolün yönsel özelliğini ifade eden geometrik tanımını kullanarak bir parabol için bir denklem oluşturalım. Seçilen koordinat sisteminde odağın koordinatlarını belirliyoruz F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) ve doğrultman denklemi x=-\frac(p)(2) . Bir parabole ait keyfi bir M(x,y) noktası için elimizde:

FM=MM_d,

Nerede M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- M(x,y) noktasının doğrultmana dik izdüşümü. Bu denklemi koordinat biçiminde yazıyoruz:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Denklemin her iki tarafının karesini alırız: (\sol(x-\frac(p)(2)\sağ)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Benzer terimleri getirdiğimizde şunu elde ederiz: kanonik parabol denklemi

y^2=2\cdot p\cdot x, onlar. seçilen koordinat sistemi kanoniktir.

Akıl yürütmeyi ters sırayla yürüterek, koordinatları denklemi (3.51) karşılayan tüm noktaların ve yalnızca bunların parabol adı verilen noktaların konumuna ait olduğunu gösterebiliriz. Dolayısıyla bir parabolün analitik tanımı, parabolün yönsel özelliğini ifade eden geometrik tanımına eşdeğerdir.

Kutupsal koordinat sisteminde parabol denklemi

Fr\varphi kutupsal koordinat sistemindeki bir parabolün denklemi (Şekil 3.45, c) şu şekildedir:

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), burada p parabolün parametresidir ve e=1 onun dışmerkezliğidir.

Aslında, kutupsal koordinat sisteminin kutbu olarak parabolün F odağını ve kutupsal eksen olarak - F noktasında başlayan, doğrultuya dik ve onunla kesişmeyen bir ışın seçiyoruz (Şekil 3.45, c). . O zaman bir parabolün geometrik tanımına (yön özelliği) göre, bir parabole ait rastgele bir M(r,\varphi) noktası için MM_d=r elde ederiz. Çünkü MM_d=p+r\cos\varphi, parabol denklemini koordinat biçiminde elde ederiz:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Kutupsal koordinatlarda elips, hiperbol ve parabol denklemlerinin çakıştığını ancak dışmerkezlikleri farklı olduğundan farklı doğruları tanımladığını unutmayın (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 için).

Parabol denklemindeki parametrenin geometrik anlamı

Hadi açıklayalım parametrenin geometrik anlamı kanonik parabol denkleminde p. Denklem (3.51)'de x=\frac(p)(2)'yi yerine koyarsak, y^2=p^2 elde ederiz, yani. y=\pm p . Bu nedenle p parametresi, parabolün eksenine dik olarak odağından geçen parabolün kirişinin uzunluğunun yarısı kadardır.

Parabolün odak parametresi bir elips ve bir hiperbol için olduğu gibi, odak eksenine dik olarak odağından geçen akorun uzunluğunun yarısı denir (bkz. Şekil 3.45, c). Kutupsal koordinatlardaki parabol denkleminden \varphi=\frac(\pi)(2) r=p elde ederiz, yani. parabolün parametresi odak parametresiyle çakışır.

Notlar 3.11.

1. Bir parabolün p parametresi onun şeklini karakterize eder. P ne kadar büyük olursa, parabolün dalları o kadar geniş olur, p sıfıra o kadar yakın olur, parabolün dalları o kadar dar olur (Şekil 3.46).

2. y^2=-2px denklemi (p>0 için), ordinat ekseninin solunda yer alan bir parabolü tanımlar (Şekil 3.47,a). Bu denklem, x ekseninin (3.37) yönü değiştirilerek kanonik hale getirilir. İncirde. Şekil 3.47,a verilen Oxy koordinat sistemini ve kanonik Ox"y"yi göstermektedir.

3. Denklem (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 ekseni apsis eksenine paralel olan O"(x_0,y_0) tepe noktasına sahip bir parabol tanımlar (Şekil 3.47,6). Bu denklem paralel öteleme (3.36) kullanılarak kanonik olana indirgenir.

Denklem (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, ayrıca ekseni ordinat eksenine paralel olan O"(x_0,y_0) tepe noktasına sahip bir parabolü tanımlar (Şekil 3.47, c). Bu denklem, paralel çeviri (3.36) kullanılarak ve yeniden adlandırılarak kanonik olana indirgenir. koordinat eksenleri (3.38). Şekil 3.47,b,c'de verilen Oxy koordinat sistemleri ve Ox"y" kanonik koordinat sistemleri gösterilmektedir.

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 tepe noktası noktası olan bir paraboldür O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right) Ekseni ordinat eksenine paralel olan parabolün dalları yukarıya (a>0 için) veya aşağıya (a için) yönlendirilir.<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\sağ)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

bu, (y")^2=2px" kanonik biçimine indirgenmiştir; burada p=\sol|\frac(1)(2a)\sağ|, değiştirmeyi kullanarak y"=x+\frac(b)(2a) Ve x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

İşaret, baş katsayı a'nın işaretiyle çakışacak şekilde seçilir. Bu değiştirme şu bileşime karşılık gelir: paralel transfer (3.36) ile x_0=-\frac(b)(2a) Ve y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a) koordinat eksenlerinin (3.38) yeniden adlandırılması ve<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 ve bir<0 соответственно.

5. Kanonik koordinat sisteminin x ekseni parabolün simetri ekseni y değişkeninin -y ile değiştirilmesi denklemi (3.51) değiştirmediğinden. Başka bir deyişle, parabole ait M(x,y noktasının koordinatları ile M noktasına göre x eksenine göre simetrik olan M"(x,-y) noktasının koordinatları denklemi sağlar. (3.S1) kanonik koordinat sisteminin eksenleri denir. parabolün ana eksenleri.

Örnek 3.22. Oxy kanonik koordinat sisteminde y^2=2x parabolünü çizin. Odak parametresini, odak koordinatlarını ve doğrultman denklemini bulun.

Çözüm. Apsis eksenine göre simetrisini dikkate alarak bir parabol inşa ediyoruz (Şekil 3.49). Gerekirse parabolün bazı noktalarının koordinatlarını belirleyin. Örneğin, parabol denkleminde x=2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz: y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Sonuç olarak koordinatları (2;2),\,(2;-2) olan noktalar parabole aittir.

Verilen denklemi kanonik denklemle (3.S1) karşılaştırarak odak parametresini belirleriz: p=1. Odak koordinatları x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, yani F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). x=-\frac(p)(2) direktrisinin denklemini oluşturuyoruz, yani. x=-\frac(1)(2) .

Elips, hiperbol ve parabolün genel özellikleri

1. Yön özelliği bir elipsin, hiperbolün, parabolün tek bir tanımı olarak kullanılabilir (bkz. Şekil 3.50): düzlemdeki noktaların yeri; her biri için belirli bir F noktasına olan mesafenin (odak), belirli bir noktadan geçmeyen belirli bir düz çizgiye olan mesafeye d (doğrultman) oranı sabittir ve dışmerkezliğe e eşittir , denir:

a) eğer 0\leqslant e ise<1 ;

b) e>1 ise;

c) e=1 ise parabol.

2. Bir elips, hiperbol ve parabol, dairesel bir koninin kesitlerindeki düzlemler olarak elde edilir ve bu nedenle bunlara denir. konik bölümler. Bu özellik aynı zamanda bir elipsin, hiperbolün ve parabolün geometrik tanımı olarak da kullanılabilir.

3. Elips, hiperbol ve parabolün ortak özellikleri şunlardır: iki sektörlü mülk onların teğetleri. Altında teğet Bir noktada bir çizgiye K, söz konusu çizgi üzerinde kalan M noktası K noktasına doğru yöneldiğinde KM sekantının sınırlayıcı konumu olarak anlaşılmaktadır. Bir doğruya teğet olan noktaya dik olan ve teğet noktasından geçen doğruya ne denir normal bu satıra.

Bir elips, hiperbol ve parabolün teğetlerinin (ve normallerinin) bisektörel özelliği aşağıdaki şekilde formüle edilir: Bir elips veya hiperbolün teğeti (normal), teğet noktasının odak yarıçapı ile eşit açılar oluşturur(Şekil 3.51, a, b); parabolün teğeti (normal), teğet noktasının odak yarıçapı ve ondan doğrultmana düşen dik ile eşit açılar oluşturur(Şekil 3.51, c). Başka bir deyişle, elipsin K noktasındaki teğeti, F_1KF_2 üçgeninin dış açısının ortasıdır (ve normal, üçgenin F_1KF_2 iç açısının ortasıdır); hiperbolün teğeti, F_1KF_2 üçgeninin iç açısının ortayıdır (ve normal, dış açının ortasıdır); parabolün teğeti, FKK_d üçgeninin iç açısının ortayıdır (ve normal, dış açının ortasıdır). Bir parabolün bisektörel özelliği, parabolün sonsuzda bir noktada ikinci bir odağa sahip olduğunu varsayarsak, bir elips ve bir hiperbol için olduğu gibi aynı şekilde formüle edilebilir.

4. Bisektörel özelliklerden şu sonuç çıkıyor elips, hiperbol ve parabolün optik özellikleri"odaklanma" teriminin fiziksel anlamını açıklıyor. Bir elips, hiperbol veya parabolün odak ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyleri hayal edelim. Bu yüzeylere yansıtıcı kaplama uygulandığı takdirde eliptik, hiperbolik ve parabolik aynalar elde edilir. Optik yasasına göre, bir ışık ışınının aynaya gelme açısı yansıma açısına eşittir; Gelen ve yansıyan ışınlar yüzeye normalle eşit açılar oluşturur ve hem ışınlar hem de dönme ekseni aynı düzlemdedir. Buradan aşağıdaki özellikleri elde ederiz:

– ışık kaynağı eliptik bir aynanın odak noktalarından birinde bulunuyorsa, aynadan yansıyan ışık ışınları başka bir odakta toplanır (Şekil 3.52, a);

– ışık kaynağı hiperbolik aynanın odak noktalarından birinde bulunuyorsa, aynadan yansıyan ışık ışınları sanki başka bir odaktan geliyormuş gibi uzaklaşır (Şekil 3.52, b);

– ışık kaynağı parabolik bir aynanın odağındaysa, aynadan yansıyan ışık ışınları odak eksenine paralel gider (Şekil 3.52, c).

5. Çap özelliği elips, hiperbol ve parabol şu şekilde formüle edilebilir:

– Bir elipsin paralel kirişlerinin (hiperbol) orta noktaları, elipsin merkezinden (hiperbol) geçen bir düz çizgi üzerinde yer alır.;

– Bir parabolün paralel kirişlerinin orta noktaları, parabolün düz, eşdoğrusal simetri ekseni üzerinde yer alır.

Bir elipsin (hiperbol, parabol) tüm paralel kirişlerinin orta noktalarının geometrik odağına denir. elipsin çapı (hiperbol, parabol), bu akorlarla eşlenik.

Bu, dar anlamda çapın tanımıdır (bkz. örnek 2.8). Daha önce, bir elipsin, hiperbolün, parabolün ve diğer ikinci dereceden çizgilerin çapının, tüm paralel kirişlerin orta noktalarını içeren düz bir çizgi olduğu geniş anlamda bir çap tanımı verilmişti. Dar anlamda bir elipsin çapı, merkezinden geçen herhangi bir kiriştir (Şekil 3.53, a); bir hiperbolün çapı, hiperbolün merkezinden geçen herhangi bir düz çizgidir (asimptotlar hariç) veya böyle bir düz çizginin parçasıdır (Şekil 3.53,6); Bir parabolün çapı, parabolün belirli bir noktasından simetri eksenine doğru uzanan herhangi bir ışındır (Şekil 3.53, c).

Her biri diğer çapa paralel olarak tüm kirişleri ikiye bölen iki çapa eşlenik denir. Şekil 3.53'te kalın çizgiler bir elipsin, hiperbolün ve parabolün eşlenik çaplarını göstermektedir.

K noktasında elipse (hiperbol, parabol) teğet, M_1M_2 paralel kesenlerinin sınır konumu olarak tanımlanabilir; söz konusu çizgi üzerinde kalan M_1 ve M_2 noktaları K noktasına doğru eğilim gösterir. Bu tanımdan, akorlara paralel bir teğetin, bu akorlara eşlenik çapın ucundan geçtiği sonucu çıkar.

6. Elips, hiperbol ve parabolün yukarıda verilenlere ek olarak çok sayıda geometrik özelliği ve fiziksel uygulaması vardır. Örneğin, Şekil 3.50, F ağırlık merkezinin yakınında bulunan uzay nesnelerinin yörüngelerinin bir gösterimi olarak hizmet edebilir.

Parabol, parabolün doğrultmanı adı verilen belirli bir çizgiden eşit uzaklıktaki noktalardan ve parabolün odağı olan belirli bir noktadan oluşan sonsuz bir eğridir. Bir parabol konik bir kesittir, yani bir düzlem ile dairesel bir koninin kesişimini temsil eder.

Genel olarak, bir parabolün matematiksel denklemi şu şekildedir: y=ax^2+bx+c, burada a sıfıra eşit değildir, b, fonksiyon grafiğinin orijine göre yatay yer değiştirmesini yansıtır ve c, dikeydir. fonksiyon grafiğinin orijine göre yer değiştirmesi. Ayrıca, eğer a>0 ise, grafiği çizerken yukarı doğru yönlendirileceklerdir ve eğer aParabolün özellikleri

Parabol, parabolün odağından geçen ve parabolün doğrultusuna dik olan bir simetri eksenine sahip ikinci dereceden bir eğridir.

Bir parabolün özel bir optik özelliği vardır; bu, ışık ışınlarının simetri eksenine paralel olarak odaklanmasını ve parabolün tepe noktasındaki parabole yönlendirilmesini ve parabolün tepe noktasına yönlendirilen bir ışık ışınının paralel ışık ışınlarına odaklanmasını içerir. aynı eksen.

Bir parabolü herhangi bir teğete göre yansıtırsanız, parabolün görüntüsü onun direktrisinde görünecektir. Tüm paraboller birbirine benzer, yani bir parabolün her iki A ve B noktasına karşılık |A1,B1| ifadesinin geçerli olduğu A1 ve B1 noktaları vardır. = |A,B|*k, burada k, sayısal değerde her zaman sıfırdan büyük olan benzerlik katsayısıdır.

Hayatta bir parabolün tezahürü

Büyük uzay nesnelerinin yakınından yüksek hızla geçen kuyruklu yıldızlar veya asteroitler gibi bazı kozmik cisimler parabol şeklinde bir yörüngeye sahiptir. Küçük kozmik cisimlerin bu özelliği, uzay aracının yerçekimi manevralarında kullanılır.

Geleceğin kozmonotlarını eğitmek için yerde parabolik bir yörünge boyunca özel uçak uçuşları gerçekleştiriliyor, böylece dünyanın yerçekimi alanında ağırlıksızlık etkisi sağlanıyor.

Günlük yaşamda çeşitli aydınlatma armatürlerinde parabollere rastlamak mümkündür. Bunun nedeni parabolün optik özelliğidir. Işık ışınlarını odaklama ve odak dışı bırakma özelliklerine dayanan bir parabol kullanmanın en son yollarından biri, Rusya'nın güney bölgelerinde enerji tedarik sektörüne giderek daha fazla dahil olan güneş panelleridir.

Seviye III

3.1. Abartı 5. satıra dokunuyor X – 6sen – 16 = 0, 13X – 10sen– – 48 = 0. Eksenlerinin koordinat eksenleriyle çakışması koşuluyla hiperbolün denklemini yazın.

3.2. Bir hiperbolün teğet denklemlerini yazın

1) bir noktadan geçmek A(4, 1), B(5, 2) ve C(5, 6);

2) düz çizgiye 10 paralel X – 3sen + 9 = 0;

3) düz çizgiye 10 dik X – 3sen + 9 = 0.

Parabol koordinatları denklemi karşılayan düzlemdeki noktaların geometrik yeridir

Parabol parametreleri:

Nokta F(P/2, 0) denir odak paraboller, büyüklük P – parametre , nokta HAKKINDA(0, 0) – tepe . Bu durumda düz çizgi İLE İLGİLİ Etrafında parabolün simetrik olduğu , bu eğrinin eksenini tanımlar.

Büyüklük Nerede M(X, sen) – bir parabolün keyfi bir noktası, adı verilen odak yarıçapı , dümdüz D: X = –P/2 – müdire (parabolün iç bölgesini kesmez). Büyüklük parabolün dışmerkezliği denir.

Bir parabolün temel karakteristik özelliği: parabolün tüm noktaları doğrultmana ve odağa eşit uzaklıktadır (Şekil 24).

Koordinat sistemindeki dallarının diğer yönlerini belirleyen kanonik parabol denkleminin başka biçimleri de vardır (Şekil 25):

İçin bir parabolün parametrik tanımı parametre olarak T parabol noktasının ordinat değeri alınabilir:

Nerede T keyfi bir gerçek sayıdır.

Örnek 1. Kanonik denklemini kullanarak bir parabolün parametrelerini ve şeklini belirleyin:

Çözüm. 1. Denklem sen 2 = –8X köşesi noktada olan bir parabolü tanımlar HAKKINDA Ah. Dalları sola yönlendirilmiştir. Bu denklemin denklemle karşılaştırılması sen 2 = –2piksel, şunu buluyoruz: 2 P = 8, P = 4, P/2 = 2. Dolayısıyla odak noktadır F(–2; 0), doğrultman denklemi D: X= 2 (Şek. 26).

2. Denklem X 2 = –4sen köşesi noktada olan bir parabolü tanımlar Ö(0; 0), eksene göre simetrik oy. Dalları aşağıya doğru yönlendirilmiştir. Bu denklemin denklemle karşılaştırılması X 2 = –2py, şunu buluyoruz: 2 P = 4, P = 2, P/2 = 1. Dolayısıyla odak noktadır F(0; –1), doğrultman denklemi D: sen= 1 (Şekil 27).

Örnek 2. Parametreleri ve eğri tipini belirleyin X 2 + 8X – 16sen– 32 = 0. Bir çizim yapın.

Çözüm. Tam kare çıkarma yöntemini kullanarak denklemin sol tarafını dönüştürelim:

X 2 + 8X– 16sen – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16 – 16sen – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16sen – 48 =0;

(X + 4) 2 – 16(sen + 3).

Sonuç olarak elde ederiz

(X + 4) 2 = 16(sen + 3).

Bu, tepe noktası (–4, –3) noktasında olan bir parabolün kanonik denklemidir; parametre P= 8, yukarıya bakan dallar (), eksen X= –4. Odak nokta üzerindedir F(–4; –3 + P/2), yani. F(–4; 1) Müdire D denklem tarafından verilen sen = –3 – P/2 veya sen= –7 (Şek. 28).

Örnek 4. Tepe noktası noktada olan bir parabolün denklemini yazın V(3; –2) ve noktaya odaklanın F(1; –2).

Çözüm. Belirli bir parabolün tepe noktası ve odağı eksene paralel düz bir çizgi üzerinde bulunur Öküz(aynı koordinatlar), parabolün dalları sola yönlendirilir (odağın apsisi tepe noktasının apsisinden daha azdır), odaktan tepe noktasına olan mesafe P/2 = 3 – 1 = 2, P= 4. Dolayısıyla gerekli denklem

(sen+ 2) 2 = –2 4( X– 3) veya ( sen + 2) 2 = = –8(X – 3).

Bağımsız çözüm için görevler

ben seviye

1.1. Parabolün parametrelerini belirleyin ve oluşturun:

1) sen 2 = 2X; 2) sen 2 = –3X;

3) X 2 = 6sen; 4) X 2 = –sen.

1.2. Aşağıdakileri biliyorsanız, köşesi orijinde olan bir parabolün denklemini yazın:

1) parabol, eksene göre simetrik olarak sol yarım düzlemde bulunur Öküz Ve P = 4;

2) parabol eksene göre simetrik olarak yerleştirilmiştir oy ve noktadan geçer M(4; –2).

3) direktrix denklem 3 ile verilmiştir sen + 4 = 0.

1.3. Tüm noktaları (2; 0) noktasına ve düz çizgiye eşit uzaklıkta olan bir eğrinin denklemini yazın X = –2.

Seviye II

2.1. Eğrinin tipini ve parametrelerini belirleyin.

Bu bölüm boyunca düzlemde (aşağıda ele alınan tüm şekillerin yer aldığı) belirli bir ölçeğin seçildiği varsayılmaktadır; Yalnızca bu ölçeğe sahip dikdörtgen koordinat sistemleri dikkate alınır.

§ 1. Parabol

Bir okul matematik dersinden okuyucu, bir parabolün bir fonksiyonun grafiği olan bir eğri olduğunu bilir.

(Şek. 76). (1)

Herhangi bir ikinci dereceden üç terimlinin grafiği

aynı zamanda bir paraboldür; koordinat sistemini basitçe değiştirerek (bir OO vektörüyle), yani dönüştürerek mümkündür

fonksiyonun grafiğinin (ikinci koordinat sisteminde) grafik (2) (birinci koordinat sisteminde) ile çakıştığından emin olun.

Aslında (3)'ü eşitlik (2)'ye koyalım. Aldık

Bu eşitliğin sağ tarafındaki polinomun ('ye göre) katsayısı ve serbest terimi sıfıra eşit olacak şekilde seçim yapmak istiyoruz. Bunu yapmak için denklemden belirleriz

hangi verir

Şimdi duruma göre belirliyoruz

bunun içine zaten bulunan değeri koyarız. Aldık

Yani (3) kaydırması ile

parabol denkleminin (2) şu şekli aldığı yeni bir koordinat sistemine geçtik

(Şek. 77).

Denkleme (1) dönelim. Bir parabolün tanımı olarak hizmet edebilir. En basit özelliklerini hatırlayalım. Eğrinin bir simetri ekseni vardır: eğer bir nokta denklemi (1) karşılıyorsa, o zaman ordinat eksenine göre M noktasına simetrik bir nokta da denklemi (1) karşılar - eğri ordinat eksenine göre simetriktir (Şekil 76) .

Eğer , o zaman parabol (1), apsis ekseni ile tek bir ortak noktaya sahip olan üst yarı düzlemde yer alır.

Apsis'in mutlak değerindeki sınırsız artışla birlikte ordinat da sınırsız olarak artar. Eğrinin genel görünümü Şekil 2'de gösterilmektedir. 76, a.

Eğer (Şekil 76, b), o zaman eğri, eğrinin apsis eksenine göre simetrik olarak alt yarı düzlemde bulunur.

Ordinat ekseninin pozitif yönünü tersiyle değiştirerek eskisinden elde edilen yeni bir koordinat sistemine geçersek, eski sistemde y denklemine sahip olan parabol, yeni sistemde y denklemini alacaktır. koordinat sistemi. Bu nedenle parabolleri incelerken kendimizi denklemler (1) ile sınırlandırabiliriz; burada .

Son olarak eksenlerin isimlerini değiştirelim, yani ordinat ekseninin eski apsis ekseni ve apsis ekseninin eski ordinat ekseni olacağı yeni bir koordinat sistemine geçeceğiz. Bu yeni sistemde denklem (1) şu şekilde yazılacaktır:

Veya sayı formda ile gösteriliyorsa

Denklem (4) analitik geometride bir parabolün kanonik denklemi olarak adlandırılır; belirli bir parabolün denklem (4)'e sahip olduğu dikdörtgen koordinat sistemine kanonik koordinat sistemi (bu parabol için) denir.

Şimdi katsayının geometrik anlamını kuracağız. Bunu yapmak için konuyu ele alıyoruz

parabolün (4) odağı ve denklemle tanımlanan d düz çizgisi olarak adlandırılır

Bu çizgiye parabolün (4) doğrultmanı denir (bkz. Şekil 78).

Parabolün (4) keyfi bir noktası olsun. Denklem (4)'ten şu sonuç çıkar: Bu nedenle, M noktasının d doğrultucusundan uzaklığı sayıdır

M noktasının F odağından uzaklığı

Ama bu nedenle

Dolayısıyla, parabolün tüm M noktaları odak noktasından ve doğrultusundan eşit uzaklıktadır:

Tersine, (8) koşulunu karşılayan her M noktası parabol (4) üzerinde yer alır.

Aslında,

Buradan,

ve parantezleri açıp benzer terimleri getirdikten sonra,

Her bir parabolün (4), F odağından ve bu parabolün d doğrultmanından eşit uzaklıktaki noktaların yeri olduğunu kanıtladık.

Aynı zamanda denklem (4)'teki katsayının geometrik anlamını da belirledik: sayı, odak noktası ile parabolün doğrultmanı arasındaki mesafeye eşittir.

Şimdi düzlemde bir F noktası ve bu noktadan geçmeyen bir d çizgisinin keyfi olarak verildiğini varsayalım. Odak noktası F ve doğrultmanı d olan bir parabolün var olduğunu kanıtlayalım.

Bunu yapmak için, F noktasından (Şekil 79) d çizgisine dik bir g çizgisi çizin; her iki doğrunun kesişim noktasını D ile gösterelim; mesafe (yani F noktası ile d düz çizgisi arasındaki mesafe) ile gösterilecektir.

g düz çizgisini üzerindeki DF yönünü pozitif alarak bir eksene çevirelim. Bu ekseni, orijini doğru parçasının orta O'su olan dikdörtgen bir koordinat sisteminin apsis ekseni yapalım.

O halde d düz doğrusu da denklemi alır.

Artık parabolün kanonik denklemini seçilen koordinat sisteminde yazabiliriz:

F noktası odak noktası olacak ve d düz çizgisi parabolün (4) doğrultmanı olacaktır.

Yukarıda bir parabolün, F noktası ve d doğrusundan eşit uzaklıktaki M noktalarının geometrik yeri olduğunu tespit etmiştik. Böylece bir parabolün böyle geometrik (yani herhangi bir koordinat sisteminden bağımsız) tanımını verebiliriz.

Tanım. Bir parabol, sabit bir noktadan (parabolün “odak noktası”) ve sabit bir çizgiden (parabolün “doğrultmanı”) eşit uzaklıktaki noktaların yeridir.

Bir parabolün odak noktası ile doğrultmanı arasındaki mesafeyi ifade ederek, her zaman belirli bir parabol için kanonik olan, yani parabol denkleminin kanonik forma sahip olduğu dikdörtgen bir koordinat sistemi bulabiliriz:

Tersine, dikdörtgen bir koordinat sisteminde böyle bir denklemi olan herhangi bir eğri bir paraboldür (şimdi kurulan geometrik anlamda).

Bir parabolün odak noktası ile doğrultmanı arasındaki mesafeye odak parametresi veya basitçe parabolün parametresi denir.

Odaktan parabolün doğrultusuna dik olarak geçen çizgiye odak ekseni (veya basitçe eksen) denir; bu, parabolün simetri eksenidir - bu, parabolün ekseninin, parabol denkleminin (4) formuna sahip olduğu koordinat sistemindeki apsis ekseni olduğu gerçeğinden kaynaklanır.

Bir nokta denklem (4)'ü sağlıyorsa, o zaman apsis eksenine göre M noktasına simetrik olan bir nokta da bu denklemi karşılar.

Bir parabolün ekseniyle kesişme noktasına parabolün tepe noktası denir; belirli bir parabol için kanonik koordinat sisteminin kökenidir.

Parabol parametresinin başka bir geometrik yorumunu verelim.

Parabolün odağından geçen ve parabolün eksenine dik olan düz bir çizgi çizelim; parabolü iki noktada kesecek (bkz. Şekil 79) ve parabolün sözde odak kirişini (yani parabolün doğrultusuna paralel olarak odak noktasından geçen kirişi) belirleyecektir. Odak akorunun uzunluğunun yarısı parabolün parametresidir.

Aslında, odak akorunun uzunluğunun yarısı, her birinin apsisi odağın apsisine eşit olan herhangi bir noktanın koordinatının mutlak değeridir, yani. Bu nedenle, sahip olduğumuz her noktanın koordinatı için

Q.E.D.