Geometri problemleri sıklıkla bir çokgenin alanının hesaplanmasını gerektirir. Dahası, oldukça farklı bir şekle sahip olabilir - tanıdık bir üçgenden, hayal edilemeyecek sayıda köşeye sahip bir n-gon'a kadar. Ayrıca bu çokgenler dışbükey veya içbükey olabilir. Her özel durumda, figürün görünümüne dayanmak gerekir. Bu şekilde sorunu çözmenin en uygun yolunu seçebilirsiniz. Şekil doğru çıkabilir ve bu da sorunun çözümünü büyük ölçüde kolaylaştıracaktır.

Çokgenler hakkında küçük bir teori

Üç veya daha fazla kesişen çizgi çizerseniz belli bir şekil oluştururlar. Çokgen olan odur. Kesişme noktalarının sayısına göre kaç köşeye sahip olacağı belli oluyor. Ortaya çıkan şekle isim verirler. Olabilir:

Böyle bir figür kesinlikle iki konumla karakterize edilecektir:

1. Bitişik kenarlar aynı düz çizgiye ait değildir.
2. Bitişik olmayanların ortak noktaları yoktur, yani kesişmezler.

Hangi köşelerin komşu olduğunu anlamak için bunların aynı tarafa ait olup olmadığına bakmanız gerekir. Eğer evet ise, o zaman komşu olanlar. Aksi takdirde diyagonal olarak adlandırılması gereken bir segment ile bağlanabilirler. Yalnızca üçten fazla köşesi olan çokgenlerde gerçekleştirilebilirler.

Ne tür türleri var?

Dörtten fazla köşesi olan bir çokgen dışbükey veya içbükey olabilir. İkincisi arasındaki fark, bazı köşe noktalarının, çokgenin herhangi bir kenarından çizilen düz bir çizginin karşıt taraflarında bulunabilmesidir. Dışbükey bir durumda, tüm köşeler her zaman böyle bir düz çizginin aynı tarafında bulunur.

Bir okul geometri dersinde çoğu zaman dışbükey şekillere ayrılır. Bu nedenle problemler dışbükey bir çokgenin alanını bulmayı gerektirir. Daha sonra, herhangi bir şekil için istenen değeri bulmanızı sağlayan, çevrelenmiş dairenin yarıçapı cinsinden bir formül vardır. Diğer durumlarda net bir çözüm yoktur. Bir üçgen için formül birdir, ancak bir kare veya yamuk için tamamen farklıdır. Şeklin düzensiz olduğu veya çok sayıda köşenin olduğu durumlarda, bunları basit ve tanıdık olanlara bölmek gelenekseldir.

Şeklin üç veya dört köşesi varsa ne yapmalı?

İlk durumda, bir üçgen ortaya çıkacak ve formüllerden birini kullanabilirsiniz:

• S = 1/2 * a * n, burada a kenardır, n yüksekliğidir;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), burada a, b üçgenin kenarlarıdır, A bilinen kenarlar arasındaki açıdır;
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) burada c üçgenin kenarıdır, daha önce belirtilen ikisine göre p yarı çevredir, yani, üç tarafın toplamının ikiye bölümü.

Dört köşesi olan bir şeklin paralelkenar olduğu ortaya çıkabilir:

• S = a * n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), burada d 1 ve d 2 köşegenlerdir, α aralarındaki açıdır;
• S = a * in * sin(α).

Yamuğun alanı için formül: S = n * (a + b) / 2, burada a ve b tabanların uzunluklarıdır.

Dörtten fazla köşesi olan normal bir çokgenle ne yapmalı?

Başlangıç ​​​​olarak böyle bir rakam, tüm tarafların eşit olmasıyla karakterize edilir. Ayrıca çokgenin açıları da eşittir.

Böyle bir şeklin etrafına bir daire çizerseniz, yarıçapı, çokgenin merkezinden köşelerden birine kadar olan bölümle çakışacaktır. Bu nedenle, rastgele sayıda köşeye sahip normal bir çokgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formüle ihtiyacınız olacaktır:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360°/n), burada n, çokgenin köşe sayısıdır.

Ondan özel durumlar için yararlı olanı elde etmek kolaydır:

1. üçgen: S = (3√3)/4 * R2;
2. kare: S = 2 * R2;
3. altıgen: S = (3√3)/2 * R 2.

Yanlış rakamla ilgili durum

Bir çokgenin alanının, düzenli değilse ve önceden bilinen rakamlardan herhangi birine atfedilemiyorsa nasıl bulunacağının çözümü algoritmadır:

• kesişmemeleri için onu basit şekillere (örneğin üçgenler) bölün;
• herhangi bir formülü kullanarak alanlarını hesaplayın;
• tüm sonuçları toplayın.

Sorun bir çokgenin köşelerinin koordinatlarını veriyorsa ne yapmalı?

Yani, şeklin kenarlarını sınırlayan her nokta için bir dizi sayı çifti bilinmektedir. Genellikle birincisi için (x 1 ; y 1), ikincisi için (x 2 ; y 2) şeklinde yazılırlar ve n'inci köşe şu değerlere sahiptir (x n ; y n). Daha sonra çokgenin alanı n terimin toplamı olarak belirlenir. Her biri şuna benzer: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). Bu ifadede i birden n'ye kadar değişmektedir.

Sonucun işaretinin şeklin çaprazlamasına bağlı olacağını belirtmekte fayda var. Yukarıdaki formülü kullanıp saat yönünde hareket ettirdiğinizde cevap olumsuz olacaktır.

Örnek görev

Durum. Köşelerin koordinatları aşağıdaki değerlerle belirtilir (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Bir çokgenin alanını hesaplamanız gerekir.

Çözüm. Yukarıdaki formüle göre ilk terim (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1) olacaktır. Burada ikinci ve birinci noktalardan Y ve X değerlerini almanız yeterli. Basit bir hesaplama sonucu 1.8'e götürecektir.

İkinci terim de benzer şekilde elde edilir: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Bu tür problemleri çözerken negatif miktarlardan korkmayın. Her şey olması gerektiği gibi gidiyor. Bu planlanmıştır.

Üçüncü (0,29), dördüncü (-6,365) ve beşinci terime (2,96) ait değerler de benzer şekilde elde edilir. O halde son alan: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Kareli kağıda çokgen çizilmesi sorununu çözmek için tavsiyeler

Çoğu zaman kafa karıştırıcı olan şey, verilerin yalnızca hücre boyutunu içermesidir. Ancak daha fazla bilgiye gerek olmadığı ortaya çıktı. Bu sorunu çözmek için bir öneri, şekli birçok üçgene ve dikdörtgene bölmektir. Alanlarının, kenarların uzunluklarına göre hesaplanması oldukça kolaydır ve bu daha sonra kolayca toplanabilir.

Ancak genellikle daha basit bir yaklaşım vardır. Bir dikdörtgene bir şekil çizip alanının hesaplanmasından oluşur. Daha sonra gereksiz olduğu ortaya çıkan elemanların alanlarını hesaplayın. Bunları toplam değerden çıkarın. Bu seçenek bazen biraz daha az sayıda eylem içerir.

Çeşitli figürlerin alanını belirleme yeteneği her insanın hayatında önemli bir rol oynar. Er ya da geç bu bilgiyle yüzleşmek zorunda kalacaksınız. Örneğin, bir odayı yenileme sürecinde, banyo veya mutfak için gerekli sayıda duvar kağıdı, linolyum, parke, fayans rulosunu belirlemek için gerekli alanı hesaplayabilmeniz gerekir.

Geometri alanındaki bilgiler eski Babil ve diğer ülkelerde kullanıldı. Kültüre doğru atılan ilk adımlarda her zaman alanı, mesafeyi ölçme ihtiyacı vardı. İlk önemli yapıların inşası sırasında dikeyliği koruma ve plan tasarlama becerisi gerekiyordu.

İnsanların estetik ihtiyaçlarının rolü de oldukça önemliydi. Ev dekore etmek, giyinmek, resim çizmek, o zamanın insanının ampirik olarak elde ettiği ve nesilden nesile aktardığı geometri alanındaki bilgilerin oluşturulması ve biriktirilmesi sürecine katkıda bulunmuştur.

Günümüzde geometri bilgisi kesiciler, inşaatçılar, mimarlar ve günlük yaşamdaki her sıradan insan için gereklidir.

Bu nedenle, çeşitli şekillerin alanını hesaplamayı öğrenmeniz ve normal altıgen formülü de dahil olmak üzere formüllerin her birinin daha sonra pratikte yararlı olabileceğini hatırlamanız gerekir. Altıgen, toplam açı sayısı altı olan çokgen bir şekildir.

Düzenli bir altıgenin alanı

Düzenli altıgen, kenarları eşit olan altıgen bir şekildir. Düzgün altıgenin açıları da birbirine eşittir.

Günlük yaşamda düzenli altıgen şeklindeki nesnelere sıklıkla rastlayabiliriz. Bu metal bir somun, petek hücreleri ve bir kar tanesinin yapısıdır. Altıgen şekiller düzlemleri mükemmel şekilde doldurur. Yani örneğin kaldırım levhalarını döşerken, fayansların boş alan bırakmadan yan yana nasıl döşendiğini gözlemleyebiliyoruz.

Düzenli altıgenin özellikleri

• Düzenli bir altıgen her zaman her biri 120˚ olan eşit açılara sahip olacaktır.
• Şeklin kenarı, çevrelenen dairenin yarıçapına eşittir.
• Düzgün altıgenin tüm kenarları eşittir.
• Düzenli bir altıgen düzlemi sıkıca doldurur.

Düzenli bir altıgenin alanı, her biri eşit kenarlara sahip altı üçgene bölünerek hesaplanabilir.

Normal bir üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

Üçgenlerden birinin alanını bilerek altıgenin alanını kolaylıkla hesaplayabilirsiniz. Bunu hesaplamanın formülü basittir: Düzenli bir altıgen altı eşit üçgen olduğundan, üçgenimizin alanı 6 ile çarpılmalıdır.

Şeklin merkezinden kenarlarından herhangi birine dik bir çizgi çizersek, apothem adı verilen bir parça elde ederiz. Apotemi bilinen bir altıgenin alanının nasıl bulunacağına bakalım:

1. Alan = 1/2*çevre*apothema.
2. Diyelim ki özdeyişimiz 5√3 cm.

1. Apothemi kullanarak çevreyi buluyoruz: Apothem altıgenin kenarına dik olduğu için, apothem kullanılarak oluşturulan üçgenin açıları 30˚-60˚-90˚ olacaktır. Ortaya çıkan üçgenin her bir tarafı şuna karşılık gelecektir: x-x√3-2x, burada 30˚ açının karşısındaki kısa kenar x, 60˚ açının karşısındaki uzun kenar x√3 ve hipotenüs 2x'tir. .
2. Kısa öz x√3 olarak temsil edildiği için onu a = x√3 formülünde yerine koyabilir ve çözebiliriz. Örneğin, apothem = 5√3 ise, bu değeri formülde yerine koyarız ve şunu elde ederiz: 5√3 cm = x√3 veya x = 5 cm.
3. Yani üçgenin kısa kenarı 5 cm olur. Bu değer altıgenin kenar uzunluğunun yarısı olduğundan 5'i 2 ile çarparız ve kenar uzunluğu olan 10 cm'yi elde ederiz.
4. Kenar uzunluğunu bilerek 6 ile çarpın ve altıgenin çevresini bulun: 10 cm x 6 = 60 cm
5. Elde edilen sonuçları formülümüzde yerine koyalım:

Alan = 1/2*çevre*apothema

Alan = ½*60cm*5√3

Şimdi kareköklerden kurtulmak ve elde edilen sonucu santimetre kare cinsinden belirtmek için cevabı basitleştirmeye devam ediyor:

½ * 60 cm * 5√3 cm =30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm²

Düzenli bir altıgenin alanının nasıl bulunacağına ilişkin video

Düzensiz altıgenin alanı

Düzensiz bir altıgenin alanını belirlemek için birkaç seçenek vardır:

• Yamuk yöntemi.
• Koordinat eksenini kullanarak düzensiz çokgenlerin alanını hesaplamaya yönelik bir yöntem.
• Altıgeni başka şekillere ayırma yöntemi.

Bildiğiniz başlangıç ​​verilerine göre uygun yöntem seçilir.

Yamuk yöntemi

Keyfi (düzensiz) bir şekle sahip bir altıgenin alanı, yamuk yöntemiyle hesaplanır; bunun özü, altıgeni ayrı yamuklara bölmek ve ardından her birinin alanını hesaplamaktır.

Koordinat eksenli yöntem

Ayrıca düzensiz bir altıgenin alanı, düzensiz çokgenlerin alanını hesaplama yöntemi kullanılarak hesaplanabilir. Aşağıdaki örneği kullanarak buna bakalım:

Hesaplamayı çokgenin köşelerinin koordinatlarını kullanma yöntemini kullanarak gerçekleştireceğiz:

1. Bu aşamada bir tablo yapıp köşelerin x ve y koordinatlarını yazmalısınız. Köşeleri saat yönünün tersine sırayla seçiyoruz ve ilk köşe noktasının koordinatlarını yeniden kaydederek listenin sonunu sonlandırıyoruz:

1. Şimdi 1. köşenin x koordinat değerlerini 2. köşenin y koordinatlarıyla çarpmalı ve böylece çarpma işlemine devam etmelisiniz. Daha sonra sonuçları toplamanız gerekir. Bizim durumumuzda 82 olduğu ortaya çıktı:

1. y1. köşenin koordinat değerlerini 2. köşenin x koordinat değerleri ile art arda çarpıyoruz. Elde edilen sonuçları özetleyelim. Bizim durumumuzda 38 olduğu ortaya çıktı:

1. Üçüncü aşamada aldığımız miktardan dördüncü aşamada aldığımız tutarı çıkarıyoruz: 82 – (-38) = 120

1. Şimdi önceki aşamada elde ettiğimiz sonucu bölüp şeklimizin alanını bulmamız gerekiyor: S = 120/2 = 60 cm²

Altıgeni başka şekillere ayırma yöntemi

Her çokgen başka birçok şekle bölünebilir. Bunlar üçgenler, yamuklar, dikdörtgenler olabilir. Bilinen verilere dayanarak, listelenen şekillerin alanlarını belirlemeye yönelik formüller kullanılarak alanları sırayla hesaplanır ve toplanır.

Bazı düzensiz altıgenler iki paralelkenardan oluşur. Paralelkenarın alanını belirlemek için uzunluğunu genişliğiyle çarpın ve önceden bilinen iki alanı ekleyin.

Bir çokgenin alanının nasıl bulunacağına ilişkin video

Eşkenar altıgenin alanı

Eşkenar altıgen altı eşit kenardan oluşur ve düzgün altıgendir.

Eşkenar altıgenin alanı, düzgün bir altıgen şeklin bölündüğü üçgenlerin 6 alanına eşittir.

Düzgün şekilli bir altıgendeki tüm üçgenler eşittir, dolayısıyla böyle bir altıgenin alanını bulmak için en az bir üçgenin alanını bilmek yeterli olacaktır.

Eşkenar altıgenin alanını bulmak için elbette yukarıda açıklanan düzgün altıgenin alan formülü kullanılır.

Altıgenin alanını nasıl bulacağınızı biliyor muydunuz? Bu bilginin hayatta nerede işinize yarayacağını düşünüyorsunuz? Hakkındaki düşüncenizi paylaşın

Okulda matematik ve geometri eğitimi alan herkes bu bilimleri en azından yüzeysel olarak bilir. Ama zamanla bunları uygulamazsanız bilgi unutulur. Hatta birçoğu geometrik hesaplamalar yaparak zamanlarını boşa harcadıklarına inanıyor. Ancak yanılıyorlar. Teknik çalışanlar geometrik hesaplamalarla ilgili günlük işleri yaparlar. Bir çokgenin alanının hesaplanmasına gelince, bu bilgi aynı zamanda yaşamdaki uygulamasını da bulur. En azından arazinin alanını hesaplamak için onlara ihtiyaç duyulacak. Öyleyse bir çokgenin alanını nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Poligon Tanımı

Öncelikle çokgenin ne olduğunu tanımlayalım. Üç veya daha fazla düz çizginin kesişmesi sonucu oluşan düz geometrik bir şekildir. Başka bir basit tanım: Çokgen, kapalı bir sürekli çizgidir. Doğal olarak çizgiler kesiştiğinde kesişme noktaları oluşur; sayıları çokgeni oluşturan çizgilerin sayısına eşittir. Kesişme noktalarına köşeler, düz çizgilerden oluşan parçalara ise çokgenin kenarları denir. Bir çokgenin bitişik parçaları aynı düz çizgi üzerinde değildir. Bitişik olmayan doğru parçaları ortak noktalardan geçmeyen doğru parçalarıdır.

Üçgenlerin alanlarının toplamı

Bir çokgenin alanı nasıl bulunur? Bir çokgenin alanı, çokgenin bölümlerinin veya kenarlarının kesişmesiyle oluşan düzlemin iç kısmıdır. Çokgen üçgen, eşkenar dörtgen, kare, yamuk gibi şekillerin birleşimi olduğundan, alanını hesaplamak için evrensel bir formül yoktur. Uygulamada en evrensel olanı, bir çokgeni alanını bulmak zor olmayan daha basit şekillere bölme yöntemidir. Bu basit şekillerin alanlarının toplamları eklenerek çokgenin alanı elde edilir.

Bir dairenin alanı boyunca

Çoğu durumda, çokgen düzenli bir şekle sahiptir ve kenarları eşit ve aralarındaki açılar eşit olan bir şekil oluşturur. Bu durumda, yazılı veya çevrelenmiş bir daire kullanılarak alanın hesaplanması çok basittir. Bir dairenin alanı biliniyorsa, o zaman çokgenin çevresi ile çarpılmalı ve daha sonra elde edilen ürün 2'ye bölünmelidir. Sonuç, böyle bir çokgenin alanını hesaplamak için bir formüldür: S = ½∙P∙r., burada P dairenin alanıdır ve r, çokgenin çevresidir.

Bir çokgeni "uygun" şekillere bölme yöntemi geometride en popüler olanıdır; çokgenin alanını hızlı ve doğru bir şekilde bulmanızı sağlar. Ortaokulun 4. sınıfı genellikle bu tür yöntemleri inceler.

Çokgen, kesişen çizgilerden (3'ten fazla) oluşan ve çok sayıda çizginin kesişme noktasını oluşturan düz veya dışbükey bir şekildir. Bir diğer çokgen ise kapanan kesikli bir çizgi olarak tanımlanabilir. Başka bir deyişle kesişim noktalarına şeklin köşeleri denilebilir. Köşe sayısına bağlı olarak şekle beşgen, altıgen vb. adlar verilebilir. Çokgenin açısı, kenarların bir tepe noktasında buluşmasıyla oluşan açıdır. Açı çokgenin içindedir. Üstelik açılar 180 dereceye kadar farklı olabilir. Genellikle iç köşeye bitişik olan dış köşeler de vardır.

Daha sonra kesişen düz çizgilere çokgenin kenarları denir. Bitişik, bitişik veya bitişik olmayabilirler. Sunulan geometrik şeklin çok önemli bir özelliği, bitişik olmayan kenarlarının kesişmemesi ve dolayısıyla ortak noktalarının olmamasıdır. Bir şeklin bitişik kenarları aynı düz çizgi üzerinde olamaz.

Bir şeklin aynı çizgiye ait olan köşelerine bitişik denilebilir. Bitişik olmayan iki köşe arasına bir çizgi çizerseniz çokgenin köşegenini elde edersiniz. Bir şeklin alanına gelince, bu, onu bölen çokgen bölümlerin oluşturduğu, çok sayıda köşeye sahip bir geometrik şeklin düzleminin iç kısmıdır.

Sunulan geometrik şeklin alanını belirlemek için tek bir çözüm yoktur, çünkü şeklin sonsuz sayıda varyantı olabilir ve her varyant için kendi çözümü vardır. Bununla birlikte, bir şeklin alanını bulmak için en yaygın seçeneklerden bazılarının hala dikkate alınması gerekmektedir (bunlar en sık pratikte kullanılır ve hatta okul müfredatına dahil edilir).

Öncelikle normal bir çokgeni yani eşit kenarların oluşturduğu tüm açıların da eşit olduğu bir şekli ele alalım. Peki belirli bir örnekte çokgenin alanını nasıl bulacaksınız? Bu durumda çokgen bir şeklin alanını bulmak, şekilde yazılı olan veya etrafını çevreleyen dairenin yarıçapı verilirse mümkündür. Bunu yapmak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

S = ½∙P∙r, burada r, bir dairenin yarıçapıdır (yazılı veya çevrelenmiş) ve P, şeklin kenar sayısını uzunluklarıyla çarparak bulunabilen geometrik çokgen bir şeklin çevresidir.

Bir çokgenin alanı nasıl bulunur

Bir çokgenin alanının nasıl bulunacağı sorusuna cevap vermek için, bir zamanlar ünlü Avusturyalı matematikçi Georg Pieck tarafından keşfedilen çokgen şeklin aşağıdaki ilginç özelliğini takip etmek yeterlidir. Örneğin, S = N + M/2 -1 formülünü kullanarak, köşeleri kare bir ızgaranın düğümlerinde bulunan bir çokgenin alanını bulabilirsiniz. Bu durumda S buna göre alandır; N – birçok köşesi olan bir şeklin içinde bulunan kare ızgara düğümlerinin sayısı; M, çokgenin köşelerinde ve yanlarında bulunan kare ızgaranın düğümlerinin sayısıdır. Bununla birlikte, güzelliğine rağmen Pick'in formülü pratikte pratik geometride kullanılmamaktadır.

Okulda çalışılan alanı belirlemenin en basit ve en ünlü yöntemi, çokgen bir geometrik şekli daha basit parçalara (yamuklar, dikdörtgenler, üçgenler) bölmektir. Bu rakamların alanını bulmak zor değil. Bu durumda, çokgenin alanı basitçe belirlenir: çokgenin bölündüğü tüm şekillerin alanlarını bulmanız gerekir.

Temel olarak, bir çokgenin alanının tanımı mekanikte (parçaların boyutları) belirlenir.

1.1 Antik çağda alanların hesaplanması

1.2 "Alan", "çokgen", "çokgen alan" kavramlarını incelemeye farklı yaklaşımlar

1.2.1 Alan kavramı. Alan Özellikleri

1.2.2 Çokgen kavramı

1.2.3 Çokgenin alanı kavramı. Tanımlayıcı tanım

1.3 Çokgenlerin alanları için çeşitli formüller

1.4 Çokgenlerin alanları için formüllerin türetilmesi

1.4.1 Üçgenin alanı. Heron'un formülü

1.4.2 Dikdörtgenin alanı

1.4.3 Yamuğun alanı

1.4.4 Dörtgenin alanı

1.4.5 Evrensel formül

1.4.6 N-gon alanı

1.4.7 Bir çokgenin alanının köşelerinin koordinatlarından hesaplanması

1.4.8 Seçim formülü

1.5 Bir dik üçgenin bacakları üzerine inşa edilen karelerin alanlarının toplamına ilişkin Pisagor teoremi

1.6 Üçgenlerin eşit düzenlenmesi. Bolyay-Gerwin teoremi

1.7 Benzer üçgenlerin alanlarının oranı

1.8 En geniş alana sahip şekiller

1.8.1 Yamuk veya dikdörtgen

1.8.2 Meydanın dikkate değer özelliği

1.8.3 Diğer şekillerdeki bölümler

1.8.4 En büyük alana sahip üçgen

Bölüm 2. Matematik derslerinde çokgenlerin alanlarını çalışmanın metodolojik özellikleri

2.1 Matematiğin derinlemesine çalışıldığı sınıflarda öğretimin tematik planlaması ve özellikleri

2.2 Dersleri yürütme metodolojisi

2.3 Deneysel çalışmanın sonuçları

Çözüm

Edebiyat

giriiş

“Çokgenlerin Alanı” konusu okul matematik dersinin ayrılmaz bir parçasıdır ve bu oldukça doğaldır. Sonuçta, tarihsel olarak geometrinin ortaya çıkışı, şu veya bu şekildeki arazi arazilerini karşılaştırma ihtiyacıyla ilişkilidir. Aynı zamanda, bu konunun ortaokulda tartışılmasına yönelik eğitim fırsatlarının tam anlamıyla kullanılmaktan uzak olduğunu da belirtmek gerekir.

Okulda matematik öğretmenin temel görevi, öğrencilerin günlük yaşamda gerekli olan ve modern toplumun her üyesi için gerekli olan, ilgili disiplinleri incelemek ve sürekli eğitim için yeterli olan matematiksel bilgi ve beceriler sistemine güçlü ve bilinçli bir şekilde hakim olmalarını sağlamaktır.

Matematiğin derinlemesine incelenmesi, temel problemin çözülmesinin yanı sıra, öğrencilerde konuya sürdürülebilir bir ilginin oluşmasını, matematiksel yeteneklerinin tanımlanmasını ve geliştirilmesini, matematikle önemli ölçüde ilgili mesleklere yönelimi ve bir üniversitede okumaya hazırlığı içerir. .

Yeterlilik çalışması, genel eğitim okulu matematik dersinin içeriğini ve bu derse doğrudan bitişik olan ve onu ana ideolojik çizgiler boyunca derinleştiren bir dizi ek soruyu içermektedir.

Ek soruların eklenmesinin birbiriyle ilişkili iki amacı vardır. Bu bir yandan dersin ana bölümleriyle birlikte matematiğe meraklı öğrencilerin ilgilerini ve yeteneklerini geliştirmeye yönelik bir temel oluşturmak, diğer yandan da Ana dersin içerik boşlukları, derinlemesine çalışmanın içeriğine gerekli bütünlüğün kazandırılması.

Yeterlik çalışması bir giriş, iki bölüm, bir sonuç ve alıntı yapılan literatürden oluşmaktadır. İlk bölüm çokgenlerin alanlarını çalışmanın teorik temellerini tartışıyor ve ikinci bölüm doğrudan alanların incelenmesinin metodolojik özelliklerini ele alıyor.

Bölüm 1. Çokgenlerin alanlarını incelemek için teorik temeller

1.1 Antik çağda alanların hesaplanması

Alan ölçümü ile ilgili geometrik bilginin başlangıcı binlerce yılın derinliklerinde kaybolmuştur.

Hatta 4 - 5 bin yıl önce Babilliler dikdörtgen ve yamuğun alanını birim kare cinsinden belirleyebiliyorlardı. Kare, birçok dikkate değer özelliği nedeniyle uzun süredir alanların ölçülmesinde bir standart olarak hizmet etmiştir: eşit kenarlar, eşit ve dik açılar, simetri ve genel form mükemmelliği. Karelerin yapımı kolaydır veya bir düzlemi boşluksuz doldurabilirsiniz.

Antik Çin'de alan ölçüsü dikdörtgendi. Duvar ustaları bir evin dikdörtgen duvarının alanını belirlerken duvarın yüksekliğini ve genişliğini çarparlardı. Geometride kabul edilen tanım budur: Bir dikdörtgenin alanı, bitişik kenarlarının çarpımına eşittir. Bu tarafların her ikisi de aynı doğrusal birimlerle ifade edilmelidir. Ürünleri, karşılık gelen kare birimlerle ifade edilen dikdörtgenin alanı olacaktır. Diyelim ki bir duvarın yüksekliği ve genişliği desimetre cinsinden ölçülürse, her iki ölçümün çarpımı desimetre kare cinsinden ifade edilecektir. Ve eğer her bakan salın alanı bir santimetrekare ise, o zaman ortaya çıkan ürün, kaplama için gerekli olan fayans sayısını gösterecektir. Bu, alanların ölçülmesinin altında yatan ifadeden kaynaklanmaktadır: kesişmeyen şekillerden oluşan bir şeklin alanı, alanlarının toplamına eşittir.

4000 yıl önce eski Mısırlılar bir dikdörtgenin, üçgenin ve yamuğun alanını ölçmek için bizim kullandığımız tekniklerin hemen hemen aynısını kullandılar: üçgenin tabanı ikiye bölündü ve yükseklikle çarpıldı; bir yamuk için paralel kenarların toplamı ikiye bölündü ve yükseklik vb. ile çarpıldı. Alanı hesaplamak için

onlar. Karşı tarafların yarım toplamları çarpıldı.

Bu formül herhangi bir dörtgen için açıkça yanlıştır; özellikle tüm eşkenar dörtgenlerin alanlarının aynı olduğu sonucu çıkar. Bu arada, bu tür eşkenar dörtgenlerin alanlarının köşelerdeki açıların büyüklüğüne bağlı olduğu açıktır. Bu formül yalnızca dikdörtgen için geçerlidir. Onun yardımıyla açıları dik açılara yakın olan dörtgenlerin alanını yaklaşık olarak hesaplayabilirsiniz.

Alanı belirlemek için

Ancak eski Yunanlılar çokgenlerin alanlarını nasıl doğru bir şekilde bulacaklarını zaten biliyorlardı. Öklid, Elementler'inde "alan" kelimesini kullanmaz çünkü "şekil" kelimesinin kendisi, şu veya bu kapalı çizgiyle sınırlanan bir düzlemin bir kısmını anlamaktadır. Öklid, alan ölçümü sonucunu bir sayı ile ifade etmez, farklı şekillerin alanlarını birbiriyle karşılaştırır.

Diğer antik bilim adamları gibi Öklid de bazı figürlerin eşit büyüklükteki diğerlerine dönüştürülmesiyle ilgileniyor. Kompozit bir şeklin alanı, parçaları farklı şekilde düzenlenirse ancak kesişmeden değişmeyecektir. Bu nedenle, örneğin bir dikdörtgenin alanı formüllerine dayanarak diğer şekillerin alanları için formüller bulmak mümkündür. Böylece bir üçgen, daha sonra eşit büyüklükte bir dikdörtgenin oluşturulabileceği parçalara bölünür. Bu yapıdan, bir üçgenin alanının, tabanının ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşit olduğu anlaşılmaktadır. Böyle bir yeniden kesmeye başvurarak, bir paralelkenarın alanının taban ve yüksekliğin çarpımına eşit olduğunu ve bir yamuğun alanının tabanların ve yüksekliğin toplamının yarısının çarpımı olduğunu buldular. .

Duvar ustaları karmaşık bir konfigürasyona sahip bir duvarı döşemek zorunda kaldıklarında, kaplama için kullanılan fayans sayısını sayarak duvarın alanını belirleyebilirler. Kaplamanın kenarlarının duvarın kenarıyla çakışması için elbette bazı fayansların yontulması gerekecektir. Çalışmada kullanılan tüm fayansların sayısı fazla olan duvar alanını, eksik olan ise kırılmamış fayansların sayısını tahmin etmektedir. Hücre boyutları küçüldükçe atık miktarı azalır ve fayans sayısına göre belirlenen duvar alanı daha doğru hesaplanır.

Çalışmaları çoğunlukla uygulamalı nitelikte olan daha sonraki Yunan matematikçilerinden ve ansiklopedicilerden biri, 1. yüzyılda yaşayan İskenderiyeli Heron'du. N. e. Olağanüstü bir mühendis olduğundan ona "Tamirci Heron" da deniyordu. "Dioptri" adlı çalışmasında Heron, çeşitli makineleri ve pratik ölçüm aletlerini anlatıyor.

Heron'un kitaplarından birine "Geometri" adı verildi ve bir tür formüller ve ilgili problemler koleksiyonudur. Karelerin, dikdörtgenlerin ve üçgenlerin alanlarının hesaplanmasına ilişkin örnekler içerir. Heron, kenarlarına göre bir üçgenin alanını bulma konusunda şöyle yazıyor: “Örneğin, üçgenin bir tarafının uzunluğu 13, ikinci 14 ve üçüncüsü 15 ölçüm kordonu olsun. Alanı bulmak için ilerleyin. aşağıdaki gibi. 13, 14 ve 15'i ekleyin; 42 olur. Bunun yarısı 21 olur. Bundan üç tarafı birer birer çıkarın; önce 13'ü çıkarın - 8, sonra 14 - 7 kaldı ve son olarak 15 - 6 kaldı. Şimdi bunları çarpın: 21 çarpı 8 verir 168, bunu 7 kez alın - 1176 elde edersiniz ve şunu alın: bunu 6 kez daha - 7056 elde edersiniz. Buradan karekök 84 olacaktır. Bu, üçgenin alanında kaç tane ölçüm kablosu olacağıdır.