Gauss teoremine göre çözüm. Matematik öğretmeninin en büyük suçu

Doğrusal cebirsel sistemleri çözmenin evrensel ve etkili yöntemlerinden biri Gauss yöntemi bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasından oluşur.

İki sistemin çağrıldığını hatırlayın eş değer (eşdeğer) eğer çözümlerinin kümeleri çakışıyorsa. Başka bir deyişle, eğer birinin çözümü diğerinin çözümüyse ve bunun tersi de geçerliyse sistemler eşdeğerdir. Eşdeğer sistemler şu durumlarda elde edilir: temel dönüşümler sistemin denklemleri:

denklemin her iki tarafının sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması;

bir denkleme, başka bir denklemin karşılık gelen kısımlarının sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılmasıyla eklenmesi;

iki denklemin yeniden düzenlenmesi.

Bir denklem sistemi verilsin

Bu sistemin Gauss yöntemi kullanılarak çözülmesi süreci iki aşamadan oluşmaktadır. İlk aşamada (doğrudan hareket), temel dönüşümleri kullanan sistem şuna indirgenir: adım adım , veya üçgensel şeklindedir ve ikinci aşamada (tersi), son değişken sayısından başlayarak, ortaya çıkan adım sisteminden bilinmeyenlerin belirlenmesi sıralıdır.

Bu sistemin katsayısının
aksi takdirde sistemde ilk satır başka herhangi bir satırla değiştirilebilir, böylece katsayı sıfırdan farklıydı.

Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak sistemi dönüştürelim İlki dışındaki tüm denklemlerde. Bunu yapmak için ilk denklemin her iki tarafını da şu şekilde çarpın: ve sistemin ikinci denklemiyle terim terim ekleyin. Daha sonra ilk denklemin her iki tarafını da şu şekilde çarpın: ve bunu sistemin üçüncü denklemine ekleyin. Bu işleme devam ederek eşdeğer sistemi elde ediyoruz.

Burada
– ilk adımdan sonra elde edilen yeni katsayı değerleri ve serbest terimler.

Benzer şekilde ana unsur göz önüne alındığında
, bilinmeyenleri hariç tut Birinci ve ikinci hariç sistemin tüm denklemlerinden. Bu süreci mümkün olduğu kadar devam ettirelim ve sonuç olarak adım adım bir sistem elde edeceğiz.

,

Nerede ,
,…,– sistemin ana unsurları
.

Sistemi aşamalı bir forma indirgeme sürecinde denklemler, yani formun eşitlikleri ortaya çıkarsa
herhangi bir sayı kümesi tarafından karşılandıkları için atılırlar
. Eğer
Çözümü olmayan bir denklem ortaya çıkarsa, bu sistemin uyumsuzluğunu gösterir.

Ters vuruş sırasında, ilk bilinmeyen, dönüştürülmüş adım sisteminin son denkleminden ifade edilir. diğer tüm bilinmeyenler aracılığıyla
bunlara denir özgür . Daha sonra değişken ifadesi sistemin son denkleminden sondan bir önceki denkleme ikame edilir ve değişken bundan ifade edilir
. Değişkenler benzer şekilde sırayla tanımlanır
. Değişkenler
Serbest değişkenlerle ifade edilenlere denir temel (bağımlı). Sonuç, doğrusal denklem sisteminin genel bir çözümüdür.

Bulmak özel çözüm sistemler, ücretsiz bilinmiyor
genel çözümde isteğe bağlı değerler atanır ve değişkenlerin değerleri hesaplanır
.

Sistem denklemlerinin kendisini değil, sistemin genişletilmiş matrisini temel dönüşümlere tabi tutmak teknik olarak daha uygundur.

.

Gauss yöntemi, yalnızca kareyi değil aynı zamanda bilinmeyenlerin sayısının olduğu dikdörtgen sistemleri de çözmenize olanak tanıyan evrensel bir yöntemdir.
denklem sayısına eşit değil
.

Bu yöntemin avantajı aynı zamanda, genişletilmiş matrisi verdikten sonra, çözme sürecinde sistemi uyumluluk açısından eşzamanlı olarak incelememizdir.
adım adım oluşturmak için matrisin sıralarını belirlemek kolaydır ve genişletilmiş matris
ve uygula Kronecker-Capelli teoremi .

Örnek 2.1 Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözün

Çözüm. Denklem sayısı
ve bilinmeyenlerin sayısı
.

Matrisin sağına katsayılar atayarak sistemin genişletilmiş matrisini oluşturalım. ücretsiz üyeler sütunu .

Matris'i sunalım üçgen bir görünüme; Bunu yapmak için temel dönüşümleri kullanarak ana köşegendeki elemanların altında “0” elde edeceğiz.

İlk sütunun ikinci konumundaki "0"ı elde etmek için ilk satırı (-1) ile çarpıp ikinci satıra ekleyin.

Bu dönüşümü ilk satırın karşısına (-1) rakamı olarak yazıp, birinci satırdan ikinci satıra giden bir okla gösteriyoruz.

İlk sütunun üçüncü konumunda "0" elde etmek için ilk satırı (-3) ile çarpın ve üçüncü satıra ekleyin; Bu eylemi birinci satırdan üçüncü satıra giden bir ok kullanarak gösterelim.

.

Matrisler zincirinde ikinci olarak yazılan sonuçtaki matriste üçüncü sıradaki ikinci sütunda “0” elde ederiz. Bunun için ikinci satırı (-4) ile çarpıp üçüncüye ekledik. Ortaya çıkan matriste ikinci satırı (-1) ile çarpın ve üçüncüyü (-8)'e bölün. Bu matrisin köşegen elemanlarının altında bulunan tüm elemanları sıfırdır.

Çünkü , sistem işbirliğine dayalıdır ve tanımlanmıştır.

Son matrise karşılık gelen denklem sistemi üçgen bir forma sahiptir:

Son (üçüncü) denklemden
. İkinci denklemde yerine koyarız ve
.

Hadi değiştirelim
Ve
ilk denklemde şunu buluruz:


.

16. ve 18. yüzyılların başlarından bu yana matematikçiler yoğun bir şekilde fonksiyonları incelemeye başladılar ve bu sayede hayatımızda pek çok şey değişti. Bu bilgi olmadan bilgisayar teknolojisi var olamazdı. Karmaşık problemleri, doğrusal denklemleri ve fonksiyonları çözmek için çeşitli kavramlar, teoremler ve çözüm teknikleri oluşturulmuştur. Doğrusal denklemleri ve sistemlerini çözmek için kullanılan evrensel ve rasyonel yöntem ve tekniklerden biri de Gauss yöntemiydi. Matrisler, sıralamaları, determinantları - her şey karmaşık işlemler kullanılmadan hesaplanabilir.

SLAU nedir?

Matematikte, doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan bir sistem olan SLAE kavramı vardır. Neye benziyor? Bu, genellikle x, y, z veya x 1, x 2 ... x n veya diğer sembollerle gösterilen, istenen n bilinmeyen niceliğe sahip m denklemler kümesidir. Belirli bir sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmek, tüm bilinmeyen bilinmeyenleri bulmak anlamına gelir. Eğer bir sistem aynı sayıda bilinmeyene ve denkleme sahipse buna n'inci dereceden sistem denir.

SLAE'leri çözmek için en popüler yöntemler

Ortaöğretimin eğitim kurumlarında bu tür sistemleri çözmek için çeşitli yöntemler incelenmektedir. Çoğu zaman bunlar iki bilinmeyenden oluşan basit denklemlerdir, dolayısıyla bunlara cevap bulmak için mevcut herhangi bir yöntem fazla zaman almayacaktır. Bu, bir denklemden bir başkasının türetildiği ve orijinaline ikame edildiği bir ikame yöntemine benzeyebilir. Veya terim terim çıkarma ve toplama yöntemi. Ancak Gauss yöntemi en kolay ve en evrensel olarak kabul edilir. Herhangi bir sayıda bilinmeyen içeren denklemlerin çözülmesini mümkün kılar. Bu özel teknik neden rasyonel kabul ediliyor? Basit. Matris yönteminin iyi yanı, gereksiz sembolleri bilinmeyenler biçiminde birkaç kez yeniden yazmaya gerek olmamasıdır; katsayılar üzerinde aritmetik işlemler yapmanız yeterlidir - ve güvenilir bir sonuç elde edersiniz.

SLAE'ler pratikte nerede kullanılır?

SLAE'lerin çözümü, fonksiyonların grafiklerindeki doğruların kesişme noktalarıdır. Yüksek teknolojili bilgisayar çağımızda, oyunların ve diğer programların geliştirilmesiyle yakından ilgilenen kişilerin bu tür sistemleri nasıl çözeceklerini, neyi temsil edeceklerini ve ortaya çıkan sonucun doğruluğunu nasıl kontrol edeceklerini bilmeleri gerekiyor. Çoğu zaman programcılar, bir doğrusal denklem sistemi de içeren özel doğrusal cebir hesap makinesi programları geliştirirler. Gauss yöntemi mevcut tüm çözümleri hesaplamanıza olanak tanır. Diğer basitleştirilmiş formüller ve teknikler de kullanılmaktadır.

SLAU uyumluluk kriteri

Böyle bir sistem ancak uyumlu olması durumunda çözülebilir. Açıklık sağlamak için SLAE'yi Ax=b formunda temsil edelim. Rang(A), rang(A,b)'ye eşitse bir çözümü vardır. Bu durumda (A,b), A matrisinden serbest terimlerle yeniden yazılarak elde edilebilecek genişletilmiş formlu bir matristir. Gauss yöntemini kullanarak doğrusal denklemleri çözmenin oldukça kolay olduğu ortaya çıktı.

Belki bazı notasyonlar tamamen açık değildir, bu yüzden her şeyi bir örnekle ele almak gerekir. Diyelim ki şöyle bir sistem var: x+y=1; 2x-3y=6. Sadece 2 bilinmeyenin olduğu iki denklemden oluşur. Sistem ancak matrisinin rütbesi genişletilmiş matrisin rütbesine eşitse bir çözüme sahip olacaktır. Rütbe nedir? Bu, sistemin bağımsız hatlarının sayısıdır. Bizim durumumuzda matrisin rütbesi 2'dir. A matrisi bilinmeyenlerin yakınında bulunan katsayılardan oluşacaktır ve “=” işaretinin arkasında yer alan katsayılar da genişletilmiş matrise uymaktadır.

SLAE'ler neden matris biçiminde temsil edilebilir?

Kanıtlanmış Kronecker-Capelli teoremine göre uyumluluk kriterine dayanarak, bir doğrusal cebirsel denklem sistemi matris biçiminde temsil edilebilir. Gauss basamaklama yöntemini kullanarak matrisi çözebilir ve tüm sistem için tek bir güvenilir cevap alabilirsiniz. Sıradan bir matrisin sıralaması, genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse ancak bilinmeyenlerin sayısından azsa, sistemin sonsuz sayıda cevabı vardır.

Matris dönüşümleri

Matrisleri çözmeye geçmeden önce, onların elemanları üzerinde hangi eylemlerin gerçekleştirilebileceğini bilmeniz gerekir. Birkaç temel dönüşüm vardır:

• Sistemi matris formunda yeniden yazıp çözerek serinin tüm elemanlarını aynı katsayı ile çarpabilirsiniz.
• Matrisin kanonik forma dönüştürülmesi için iki paralel satırın yerini değiştirebilirsiniz. Kanonik form, ana köşegen boyunca yer alan tüm matris elemanlarının bir, geri kalanların ise sıfır olduğunu ifade eder.
• Matrisin paralel satırlarının karşılık gelen elemanları birbirine eklenebilir.

Jordan-Gauss yöntemi

Gauss yöntemini kullanarak doğrusal homojen ve homojen olmayan denklem sistemlerini çözmenin özü, bilinmeyenleri kademeli olarak ortadan kaldırmaktır. Diyelim ki iki bilinmeyenin olduğu iki denklemli bir sistemimiz var. Bunları bulmak için sistemin uyumluluğunu kontrol etmeniz gerekir. Denklem Gauss yöntemiyle çok basit bir şekilde çözülür. Her bilinmeyenin yakınında bulunan katsayıları matris formunda yazmak gerekir. Sistemi çözmek için genişletilmiş matrisi yazmanız gerekecektir. Denklemlerden biri daha az sayıda bilinmeyen içeriyorsa eksik elemanın yerine “0” konulmalıdır. Bilinen tüm dönüştürme yöntemleri matrise uygulanır: çarpma, bir sayıya bölme, serinin karşılık gelen elemanlarını birbirine ekleme ve diğerleri. Her satırda bir değişkenin "1" değerinde bırakılması gerektiği, geri kalanının sıfıra indirilmesi gerektiği ortaya çıktı. Daha kesin bir anlayış için Gauss yöntemini örneklerle ele almak gerekir.

2x2 sistemini çözmenin basit bir örneği

Başlangıç ​​olarak, 2 bilinmeyenin olacağı basit bir cebirsel denklem sistemini ele alalım.

Bunu genişletilmiş bir matriste yeniden yazalım.

Bu doğrusal denklem sistemini çözmek için yalnızca iki işlem gereklidir. Ana köşegen boyunca birer tane olacak şekilde matrisi kanonik forma getirmemiz gerekiyor. Böylece matris formundan sisteme geri dönersek, 1x+0y=b1 ve 0x+1y=b2 denklemlerini elde ederiz; burada b1 ve b2, çözüm sürecinde ortaya çıkan yanıtlardır.

1. Genişletilmiş bir matrisi çözerken ilk eylem şu olacaktır: ikinci denklemdeki bir bilinmeyenden kurtulmak için ilk satırın -7 ile çarpılması ve ikinci satıra karşılık gelen elemanların eklenmesi gerekir.
2. Denklemlerin Gauss yöntemini kullanarak çözülmesi, matrisin kanonik forma indirgenmesini içerdiğinden, aynı işlemleri birinci denklem için de yapmak ve ikinci değişkeni çıkarmak gerekir. Bunu yapmak için ikinci satırı birinciden çıkarırız ve gerekli cevabı - SLAE'nin çözümünü - alırız. Veya şekilde görüldüğü gibi ikinci satırı -1 katıyla çarpıp ikinci satırın elemanlarını birinci satıra ekliyoruz. Bu aynı.

Görüldüğü üzere sistemimiz Jordan-Gauss metodu ile çözülmüştür. İstenilen biçimde yeniden yazıyoruz: x=-5, y=7.

3x3 SLAE çözümüne bir örnek

Daha karmaşık bir doğrusal denklem sistemimiz olduğunu varsayalım. Gauss yöntemi, en kafa karıştırıcı görünen sistemin bile cevabını hesaplamayı mümkün kılar. Bu nedenle hesaplama metodolojisini daha derinlemesine incelemek için üç bilinmeyenli daha karmaşık bir örneğe geçebilirsiniz.

Bir önceki örnekte olduğu gibi sistemi genişletilmiş matris formunda yeniden yazıp kanonik formuna getirmeye başlıyoruz.

Bu sistemi çözmek için önceki örnekte olduğundan çok daha fazla işlem yapmanız gerekecektir.

1. Öncelikle ilk sütunu bir birim eleman ve geri kalanını sıfır yapmanız gerekir. Bunu yapmak için ilk denklemi -1 ile çarpın ve ikinci denklemi buna ekleyin. İlk satırı orijinal haliyle, ikincisini değiştirilmiş biçimde yeniden yazdığımızı hatırlamak önemlidir.
2. Daha sonra, aynı ilk bilinmeyeni üçüncü denklemden çıkarıyoruz. Bunu yapmak için ilk satırın elemanlarını -2 ile çarpın ve üçüncü satıra ekleyin. Şimdi birinci ve ikinci satırlar orijinal hallerinde ve üçüncü satırlarda değişikliklerle yeniden yazılıyor. Sonuçtan da görebileceğiniz gibi matrisin ana köşegeninin başındaki birinciyi ve kalan sıfırları elde ettik. Birkaç adım daha attığınızda Gauss yöntemine göre denklem sistemi güvenilir bir şekilde çözülecektir.
3. Artık satırların diğer öğeleri üzerinde işlem yapmanız gerekiyor. Üçüncü ve dördüncü eylemler tek bir eylemde birleştirilebilir. Köşegendeki eksilerden kurtulmak için ikinci ve üçüncü satırları -1'e bölmemiz gerekiyor. Zaten üçüncü satırı istenilen forma getirmiş olduk.
4. Daha sonra ikinci satırı kanonik forma getiriyoruz. Bunu yapmak için üçüncü satırın elemanlarını -3 ile çarpın ve bunları matrisin ikinci satırına ekleyin. Sonuçtan ikinci satırın da ihtiyacımız olan forma indirgendiği açıktır. Geriye birkaç işlem daha yapmak ve bilinmeyenlerin katsayılarını ilk satırdan çıkarmak kalıyor.
5. Bir satırın ikinci elemanından 0 elde etmek için üçüncü satırı -3 ile çarpıp ilk satıra eklemeniz gerekir.
6. Bir sonraki belirleyici adım, ikinci sıranın gerekli elemanlarını ilk sıraya eklemek olacaktır. Bu şekilde matrisin kanonik formunu ve buna bağlı olarak cevabı elde ederiz.

Gördüğünüz gibi Gauss yöntemini kullanarak denklemleri çözmek oldukça basittir.

4x4 denklem sistemini çözme örneği

Bazı daha karmaşık denklem sistemleri, bilgisayar programları kullanılarak Gauss yöntemi kullanılarak çözülebilir. Bilinmeyenler için katsayıların mevcut boş hücrelere girilmesi gerekir ve programın kendisi, her eylemi ayrıntılı olarak açıklayarak gerekli sonucu adım adım hesaplayacaktır.

Aşağıda böyle bir örneği çözmek için adım adım talimatlar verilmiştir.

İlk adımda boş hücrelere serbest katsayılar ve bilinmeyenlere ait sayılar girilir. Böylece manuel olarak yazdığımız genişletilmiş matrisin aynısını elde ederiz.

Ve genişletilmiş matrisi kanonik formuna getirmek için gerekli tüm aritmetik işlemler gerçekleştirilir. Bir denklem sisteminin cevabının her zaman tam sayılar olmadığını anlamak gerekir. Bazen çözüm kesirli sayılardan olabilir.

Çözümün doğruluğunun kontrol edilmesi

Jordan-Gauss yöntemi sonucun doğruluğunun kontrol edilmesini sağlar. Katsayıların doğru hesaplanıp hesaplanmadığını bulmak için sonucu orijinal denklem sistemine koymanız yeterlidir. Denklemin sol tarafı eşittir işaretinin arkasındaki sağ tarafla eşleşmelidir. Cevaplar eşleşmiyorsa, sistemi yeniden hesaplamanız veya sizin bildiğiniz SLAE'leri çözmek için ikame veya terim bazında çıkarma ve toplama gibi başka bir yöntem uygulamaya çalışmanız gerekir. Sonuçta matematik çok sayıda farklı çözüm yöntemine sahip bir bilimdir. Ancak unutmayın: Hangi çözüm yöntemini kullanırsanız kullanın sonuç her zaman aynı olmalıdır.

Gauss yöntemi: SLAE'leri çözerken en yaygın hatalar

Doğrusal denklem sistemlerini çözerken, katsayıların matris formuna yanlış aktarılması gibi hatalar sıklıkla ortaya çıkar. Denklemlerden birinde bazı bilinmeyenlerin eksik olduğu sistemler vardır; bu durumda, verileri genişletilmiş bir matrise aktarırken bunlar kaybolabilir. Sonuç olarak bu sistemi çözerken sonuç gerçek sonuçla örtüşmeyebilir.

Bir diğer büyük hata, nihai sonucun yanlış yazılması olabilir. İlk katsayının sistemden ilk bilinmeyene, ikincisinin ikinciye vb. karşılık geleceğini açıkça anlamak gerekir.

Gauss yöntemi, doğrusal denklemlerin çözümünü ayrıntılı olarak açıklar. Bu sayede gerekli işlemleri yapmak ve doğru sonucu bulmak kolaydır. Ayrıca bu, her türlü karmaşıklıktaki denklemlere güvenilir bir yanıt bulmak için evrensel bir araçtır. Belki de SLAE'leri çözerken bu kadar sık ​​kullanılmasının nedeni budur.

Bu makalede yöntem, doğrusal denklem sistemlerinin (SLAE'ler) çözümüne yönelik bir yöntem olarak ele alınmaktadır. Yöntem analitiktir, yani genel bir biçimde bir çözüm algoritması yazmanıza ve ardından orada belirli örneklerden değerleri değiştirmenize olanak tanır. Matris yönteminden veya Cramer formüllerinden farklı olarak, Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken, sonsuz sayıda çözümü olanlarla da çalışabilirsiniz. Veya hiç sahip değiller.

Gauss yöntemini kullanarak çözmek ne anlama gelir?

Öncelikle denklem sistemimizi şöyle yazmamız gerekiyor. Sistemi ele alalım:

Katsayılar tablo halinde, serbest terimler ise sağ tarafta ayrı bir sütuna yazılır. Serbest terimlerin bulunduğu sütun kolaylık sağlamak için ayrılmıştır. Bu sütunu içeren matrise genişletilmiş denir.

Daha sonra katsayılı ana matrisin üst üçgen forma indirgenmesi gerekir. Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözmenin ana noktası budur. Basitçe söylemek gerekirse, belirli manipülasyonlardan sonra matris, sol alt kısmı yalnızca sıfır içerecek şekilde görünmelidir:

Daha sonra, yeni matrisi bir denklem sistemi olarak tekrar yazarsanız, son satırın zaten köklerden birinin değerini içerdiğini fark edeceksiniz, bu daha sonra yukarıdaki denklemde yerine konur, başka bir kök bulunur ve bu şekilde devam eder.

Bu, Gauss yöntemiyle çözümün en genel anlamda açıklamasıdır. Aniden sistemin çözümü kalmazsa ne olur? Yoksa bunlardan sonsuz sayıda mı var? Bunları ve diğer birçok soruyu cevaplamak için Gauss yöntemini çözmede kullanılan tüm unsurları ayrı ayrı ele almak gerekir.

Matrisler, özellikleri

Matriste gizli bir anlam yoktur. Bu, daha sonraki işlemler için verileri kaydetmenin basit bir yoludur. Okul çocuklarının bile onlardan korkmasına gerek yok.

Matris her zaman dikdörtgendir çünkü daha uygundur. Her şeyin üçgen formlu bir matris oluşturmaya geldiği Gauss yönteminde bile, girişte yalnızca sayıların olmadığı yerde sıfırlarla bir dikdörtgen belirir. Sıfırlar yazılmamış olabilir ancak ima edilmiştir.

Matrisin bir boyutu vardır. “Genişliği” satır sayısıdır (m), “uzunluk” sütun sayısıdır (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (büyük Latin harfleri genellikle bunları belirtmek için kullanılır) A m×n olarak gösterilecektir. Eğer m=n ise bu matris karedir ve m=n onun mertebesidir. Buna göre, A matrisinin herhangi bir elemanı satır ve sütun numaralarıyla gösterilebilir: a xy; x - satır numarası, değişiklikler, y - sütun numarası, değişiklikler.

B kararın ana noktası değildir. Prensip olarak, tüm işlemler doğrudan denklemlerle gerçekleştirilebilir, ancak gösterim çok daha hantal olacak ve kafanın karışması çok daha kolay olacaktır.

Belirleyici

Matrisin de bir determinantı vardır. Bu çok önemli bir özelliktir. Artık anlamını bulmaya gerek yok; basitçe nasıl hesaplandığını gösterebilir ve ardından matrisin hangi özelliklerini belirlediğini söyleyebilirsiniz. Determinantı bulmanın en kolay yolu köşegenlerdir. Matriste hayali köşegenler çizilir; her birinde bulunan elemanlar çarpılır ve daha sonra ortaya çıkan ürünler eklenir: sağa eğimli köşegenler - artı işaretli, sola eğimli - eksi işaretli.

Determinantın yalnızca kare matris için hesaplanabileceğini belirtmek son derece önemlidir. Dikdörtgen bir matris için aşağıdakileri yapabilirsiniz: satır sayısı ve sütun sayısı arasından en küçüğünü seçin (k olsun) ve ardından matriste k sütunu ve k satırı rastgele işaretleyin. Seçilen sütun ve satırların kesişimindeki öğeler yeni bir kare matris oluşturacaktır. Böyle bir matrisin determinantı sıfırdan farklı bir sayı ise buna orijinal dikdörtgen matrisin temel minörü denir.

Gauss yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözmeye başlamadan önce determinantı hesaplamanın zararı olmaz. Eğer sıfır çıkarsa, o zaman matrisin ya sonsuz sayıda çözümü olduğunu ya da hiç çözümü olmadığını hemen söyleyebiliriz. Böyle üzücü bir durumda daha ileri gitmeniz ve matrisin rütbesini öğrenmeniz gerekir.

Sistem sınıflandırması

Matrisin rütbesi diye bir şey vardır. Bu, sıfır olmayan determinantının maksimum sırasıdır (temel küçükleri hatırlarsak, bir matrisin rütbesinin temel küçüklerin sırası olduğunu söyleyebiliriz).

Dereceli duruma bağlı olarak SLAE şu şekilde ayrılabilir:

• Eklem yeri. sen Ortak sistemlerde, ana matrisin sıralaması (yalnızca katsayılardan oluşur), genişletilmiş matrisin sıralamasıyla (bir serbest terimler sütunu ile) çakışır. Bu tür sistemlerin bir çözümü vardır, ancak mutlaka bir çözümü yoktur, bu nedenle ek olarak ortak sistemler aşağıdakilere ayrılır:
• - kesin- tek bir çözüme sahip olmak. Bazı sistemlerde matrisin sırası ve bilinmeyenlerin sayısı (veya aynı şey olan sütun sayısı) eşittir;
• - Tanımsız - sonsuz sayıda çözümle. Bu tür sistemlerde matrislerin sıralaması bilinmeyenlerin sayısından azdır.
• Uyumsuz. sen Bu tür sistemlerde ana ve genişletilmiş matrislerin sıraları çakışmaz. Uyumsuz sistemlerin çözümü yoktur.

Gauss yöntemi iyidir çünkü çözüm sırasında ya sistemin tutarsızlığının kesin bir kanıtını (büyük matrislerin determinantlarını hesaplamadan) ya da sonsuz sayıda çözümü olan bir sistem için genel formda bir çözüm elde etmeyi sağlar.

Temel dönüşümler

Doğrudan sistemi çözmeye geçmeden önce, onu daha az hantal ve hesaplamalar için daha uygun hale getirebilirsiniz. Bu, temel dönüşümler yoluyla gerçekleştirilir; böylece bunların uygulanması, nihai cevabı hiçbir şekilde değiştirmez. Verilen temel dönüşümlerden bazılarının yalnızca kaynağı SLAE olan matrisler için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. İşte bu dönüşümlerin bir listesi:

1. Çizgilerin yeniden düzenlenmesi. Açıkçası sistem kaydındaki denklemlerin sırasını değiştirmeniz çözümü hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Sonuç olarak, bu sistemin matrisinde serbest terimler sütununu da unutmadan satırları değiştirmek de mümkündür.
2. Bir dizenin tüm elemanlarının belirli bir katsayı ile çarpılması. Çok yararlı! Bir matristeki büyük sayıları azaltmak veya sıfırları kaldırmak için kullanılabilir. Çoğu karar, her zamanki gibi değişmeyecek, ancak daha sonraki operasyonlar daha uygun hale gelecektir. Önemli olan, katsayının sıfıra eşit olmamasıdır.
3. Orantılı çarpanlara sahip satırların kaldırılması. Bu kısmen önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Bir matristeki iki veya daha fazla satırın orantısal katsayıları varsa, satırlardan biri orantı katsayısıyla çarpıldığında/bölüldüğünde, iki (veya yine daha fazla) tamamen aynı satır elde edilir ve fazla olanlar kaldırılabilir. sadece bir.
4. Boş bir satırın kaldırılması. Dönüşüm sırasında, serbest terim de dahil olmak üzere tüm elemanların sıfır olduğu bir yerde bir satır elde edilirse, böyle bir satıra sıfır denilebilir ve matrisin dışına atılabilir.
5. Bir satırın elemanlarına diğerinin elemanlarının (ilgili sütunlarda) eklenmesi, belirli bir katsayı ile çarpılması. Tüm dönüşümlerin en bariz ve en önemlisi. Üzerinde daha ayrıntılı olarak durmaya değer.

Bir faktörle çarpılmış bir dize ekleme

Anlaşılma kolaylığı açısından bu süreci adım adım özetlemeye değer. Matristen iki satır alınır:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b2

Diyelim ki birinciyi ikinciye "-2" katsayısıyla çarpmanız gerekiyor.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Daha sonra matristeki ikinci satır yenisiyle değiştirilir ve birincisi değişmeden kalır.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Çarpma katsayısının, iki satırın eklenmesi sonucunda yeni satırın elemanlarından birinin sıfıra eşit olacağı şekilde seçilebileceğine dikkat edilmelidir. Dolayısıyla bilinmeyenin az olacağı bir sistemde denklem elde etmek mümkündür. Ve eğer bu tür iki denklem elde ederseniz, işlem tekrar yapılabilir ve iki daha az bilinmeyen içeren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalin altındaki tüm satırların bir katsayısını her sıfıra çevirdiğinizde, merdivenler gibi matrisin en altına inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebilirsiniz. Buna Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözmek denir.

Genel olarak

Bir sistem olsun. M denklemi ve n bilinmeyen kökü var. Bunu aşağıdaki gibi yazabilirsiniz:

Ana matris sistem katsayılarından derlenmiştir. Genişletilmiş matrise serbest terimlerden oluşan bir sütun eklenir ve kolaylık olması açısından bir çizgiyle ayrılır.

• matrisin ilk satırı k = (-a 21 /a 11) katsayısı ile çarpılır;
• matrisin değiştirilen ilk satırı ile ikinci satırı eklenir;
• ikinci satır yerine önceki paragraftaki eklemenin sonucu matrise eklenir;
• şimdi yeni ikinci satırdaki ilk katsayı a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'dır.

Şimdi aynı dönüşüm dizisi gerçekleştirilir, yalnızca birinci ve üçüncü sıralar söz konusudur. Buna göre algoritmanın her adımında a (21) elemanının yerini 31 alır. Sonra her şey 41, ... m1 için tekrarlanır. Sonuç, satırlardaki ilk elemanın sıfır olduğu bir matristir. Artık birinci satırı unutup ikinci satırdan başlayarak aynı algoritmayı uygulamanız gerekiyor:

• katsayısı k = (-a 32 /a 22);
• değiştirilen ikinci satır “geçerli” satıra eklenir;
• toplamanın sonucu üçüncü, dördüncü vb. satırlara aktarılır, birinci ve ikinci satırlar değişmeden kalır;
• matrisin satırlarında ilk iki öğe zaten sıfıra eşittir.

Algoritma k = (-a m,m-1 /a mm) katsayısı görünene kadar tekrarlanmalıdır. Bu, algoritmanın en son çalıştırıldığı zamanın yalnızca alt denklem için olduğu anlamına gelir. Artık matris bir üçgene benziyor veya basamaklı bir şekle sahip. Sonuç olarak a mn × x n = b m eşitliği vardır. Katsayı ve serbest terim bilinmektedir ve kök bunlarla ifade edilir: x n = b m /a mn. Ortaya çıkan kök, x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1'i bulmak için üst satıra yerleştirilir. Ve benzetme yoluyla böyle devam eder: sonraki her satırda yeni bir kök vardır ve sistemin "tepesine" ulaştığınızda birçok çözüm bulabilirsiniz. Tek olacak.

Çözüm olmadığında

Matris satırlarından birinde serbest terim dışındaki tüm elemanlar sıfıra eşitse bu satıra karşılık gelen denklem 0 = b gibi görünür. Çözümü yok. Ve böyle bir denklem sisteme dahil edildiğinden, tüm sistemin çözüm kümesi boştur, yani dejeneredir.

Sonsuz sayıda çözüm olduğunda

Verilen üçgen matriste denklemin bir katsayı elemanı ve bir serbest terimi olan satırların bulunmaması mümkündür. Yalnızca yeniden yazıldığında iki veya daha fazla değişkenli bir denklem gibi görünen çizgiler vardır. Bu, sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir. Bu durumda cevap genel bir çözüm şeklinde verilebilir. Nasıl yapılır?

Matristeki tüm değişkenler temel ve serbest olarak ayrılmıştır. Temel olanlar, adım matrisindeki satırların "kenarında" duranlardır. Gerisi ücretsizdir. Genel çözümde temel değişkenler serbest değişkenler üzerinden yazılır.

Kolaylık sağlamak için, matris önce bir denklem sistemine yeniden yazılır. Daha sonra, tam olarak tek bir temel değişkenin kaldığı sonuncusunda, o bir tarafta kalır ve geri kalan her şey diğer tarafa aktarılır. Bu, bir temel değişkene sahip her denklem için yapılır. Daha sonra kalan denklemlerde mümkün olduğunca temel değişken yerine kendisi için elde edilen ifade değiştirilir. Sonuç yine tek bir temel değişken içeren bir ifade ise, buradan tekrar ifade edilir ve her temel değişken serbest değişkenli bir ifade olarak yazılana kadar bu şekilde devam eder. Bu SLAE'nin genel çözümüdür.

Ayrıca sistemin temel çözümünü de bulabilirsiniz - serbest değişkenlere herhangi bir değer verin ve ardından bu özel durum için temel değişkenlerin değerlerini hesaplayın. Verilebilecek sonsuz sayıda özel çözüm vardır.

Özel örneklerle çözüm

Burada bir denklem sistemi var.

Kolaylık sağlamak için matrisini hemen oluşturmak daha iyidir

Gauss yöntemiyle çözüldüğünde ilk satıra karşılık gelen denklemin dönüşümler sonunda değişmeden kalacağı bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol üst elemanının en küçük olması daha karlı olacaktır - o zaman işlemlerden sonra kalan satırların ilk elemanları sıfıra dönecektir. Bu, derlenmiş matriste ikinci satırı birincinin yerine koymanın avantajlı olacağı anlamına gelir.

ikinci satır: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

üçüncü satır: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Şimdi kafanızın karışmaması için dönüşümlerin ara sonuçlarını içeren bir matris yazmanız gerekiyor.

Açıkçası, böyle bir matris belirli işlemler kullanılarak algılama için daha uygun hale getirilebilir. Örneğin, her bir öğeyi “-1” ile çarparak ikinci satırdaki tüm “eksileri” kaldırabilirsiniz.

Ayrıca üçüncü satırdaki tüm elemanların üçün katı olduğunu da belirtmekte fayda var. Daha sonra, her bir öğeyi "-1/3" (eksi - aynı zamanda negatif değerleri kaldırmak için) ile çarparak dizeyi bu sayıya kadar kısaltabilirsiniz.

Çok daha güzel görünüyor. Artık birinci satırı bırakıp ikinci ve üçüncü satırlarla çalışmamız gerekiyor. Görev, ikinci satırı üçüncü satıra eklemek, öyle bir katsayıyla çarpmaktır ki, a 32 elemanı sıfıra eşit olur.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (bazı dönüşümler sırasında yanıtın bir tam sayı olmadığı ortaya çıkarsa, hesaplamaların doğruluğunun korunması önerilir. sıradan kesirler biçiminde "olduğu gibi" ve ancak o zaman cevaplar alındığında, yuvarlanıp başka bir kayıt biçimine dönüştürülüp dönüştürülmeyeceğine karar verilir)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matris yeni değerlerle yeniden yazılır.

Gördüğünüz gibi ortaya çıkan matris zaten basamaklı bir forma sahip. Bu nedenle sistemin Gauss yöntemi kullanılarak daha fazla dönüştürülmesine gerek yoktur. Burada yapabileceğiniz şey üçüncü satırdaki "-1/7" genel katsayısını kaldırmaktır.

Şimdi her şey çok güzel. Geriye kalan tek şey matrisi tekrar denklem sistemi şeklinde yazıp kökleri hesaplamak

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Artık köklerin bulunacağı algoritmaya Gauss yönteminde ters hareket adı verilmektedir. Denklem (3) z değerini içerir:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmamızı sağlar:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Böyle bir sistemi ortak, hatta kesin, yani benzersiz bir çözüme sahip olarak adlandırma hakkımız var. Cevap aşağıdaki biçimde yazılmıştır:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Belirsiz bir sisteme örnek

Belirli bir sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmenin çeşidi analiz edildi; şimdi sistemin belirsiz olup olmadığı, yani bunun için sonsuz sayıda çözümün bulunabileceği durumu dikkate almak gerekir.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sistemin görünümü zaten endişe vericidir, çünkü bilinmeyenlerin sayısı n = 5'tir ve sistem matrisinin sıralaması zaten bu sayıdan tam olarak daha azdır, çünkü satır sayısı m = 4'tür, yani, determinant karenin en yüksek derecesi 4'tür. Bu, sonsuz sayıda çözüm olduğu ve genel görünümüne bakmanız gerektiği anlamına gelir. Doğrusal denklemler için Gauss yöntemi bunu yapmanıza olanak sağlar.

İlk olarak, her zamanki gibi genişletilmiş bir matris derlenir.

İkinci satır: k katsayısı = (-a 21 /a 11) = -3. Üçüncü satırda ise ilk element dönüşümlerden önce olduğu için hiçbir şeye dokunmanıza gerek yok, olduğu gibi bırakmanız gerekiyor. Dördüncü satır: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

İlk satırın elemanlarını sırasıyla katsayılarıyla çarparak ve gerekli satırlara ekleyerek aşağıdaki formda bir matris elde ederiz:

Gördüğünüz gibi ikinci, üçüncü ve dördüncü sıralar birbiriyle orantılı unsurlardan oluşuyor. İkinci ve dördüncü genellikle aynıdır, yani bunlardan biri hemen kaldırılabilir ve geri kalan "-1" katsayısı ile çarpılarak 3 numaralı satırı elde edilebilir. Ve yine iki özdeş satırdan bir tane bırakın.

Sonuç bunun gibi bir matristir. Sistem henüz yazılmamış olsa da, burada temel değişkenlerin (a 11 = 1 ve a 22 = 1 katsayılarında duranlar ve serbest olanlar) diğerlerinin belirlenmesi gerekir.

İkinci denklemde yalnızca bir temel değişken vardır - x 2. Bu, serbest olan x 3 , x 4 , x 5 değişkenleri aracılığıyla oradan yazılarak ifade edilebileceği anlamına gelir.

Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemde yerine koyarız.

Sonuç, tek temel değişkenin x 1 olduğu bir denklemdir. X 2 ile yaptığımızın aynısını onunla da yapalım.

İki tane olan tüm temel değişkenler üç serbest değişkenle ifade edilir; artık cevabı genel biçimde yazabiliriz.

Ayrıca sistemin belirli çözümlerinden birini de belirleyebilirsiniz. Bu gibi durumlarda serbest değişkenlerin değeri olarak genellikle sıfırlar seçilir. O zaman cevap şu olacaktır:

16, 23, 0, 0, 0.

İşbirlikçi olmayan bir sistem örneği

Uyumsuz denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözmek en hızlı yöntemdir. Aşamalardan birinde çözümü olmayan bir denklem elde edilir edilmez hemen sona erer. Yani oldukça uzun ve meşakkatli olan köklerin hesaplanması aşaması ortadan kalkmaktadır. Aşağıdaki sistem dikkate alınır:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi matris derlendi:

Ve kademeli bir forma indirgenir:

k 1 = -2k 2 = -4

İlk dönüşümden sonra üçüncü satır şu şekilde bir denklem içerir:

bir çözüm olmadan. Sonuç olarak sistem tutarsızdır ve cevap boş küme olacaktır.

Yöntemin avantajları ve dezavantajları

SLAE'leri kağıt üzerinde kalemle çözmek için hangi yöntemi seçerseniz, bu makalede tartışılan yöntem en çekici görünüyor. Temel dönüşümlerde kafanızın karışması, bir determinantı veya bazı zor ters matrisleri manuel olarak aramanız gerektiğinden çok daha zordur. Bununla birlikte, bu tür verilerle, örneğin elektronik tablolarla çalışmak için programlar kullanıyorsanız, bu tür programların, matrislerin ana parametrelerini (determinant, küçükler, ters vb.) hesaplamak için zaten algoritmalar içerdiği ortaya çıkar. Ve makinenin bu değerleri kendisinin hesaplayacağından ve hata yapmayacağından eminseniz, matris yöntemini veya Cramer formüllerini kullanmanız daha tavsiye edilir, çünkü uygulamaları determinantların ve ters matrislerin hesaplanmasıyla başlar ve biter. .

Başvuru

Gauss çözümü bir algoritma olduğundan ve matris aslında iki boyutlu bir dizi olduğundan programlamada kullanılabilir. Ancak makale kendisini "aptallar için" bir rehber olarak konumlandırdığı için, yöntemi yerleştirmenin en kolay yerinin elektronik tablolar, örneğin Excel olduğu söylenmelidir. Yine matris biçiminde bir tabloya girilen herhangi bir SLAE, Excel tarafından iki boyutlu bir dizi olarak değerlendirilecektir. Ve onlarla işlemler için pek çok güzel komut vardır: toplama (yalnızca aynı boyuttaki matrisleri ekleyebilirsiniz!), bir sayıyla çarpma, matrisleri çarpma (yine belirli kısıtlamalarla), ters ve devrik matrisleri bulma ve en önemlisi , determinantın hesaplanması. Zaman alıcı bu görevin yerini tek bir komut alırsa, matrisin sıralamasını çok daha hızlı belirlemek ve dolayısıyla uyumluluğunu veya uyumsuzluğunu tespit etmek mümkün olur.

En büyük matematikçi Carl Friedrich Gauss, felsefe ve matematik arasında seçim yaparken uzun süre tereddüt etti. Belki de onun dünya biliminde bu kadar dikkat çekici bir "miras" bırakmasına izin veren tam da bu zihniyetti. Özellikle "Gauss Yöntemi"ni oluşturarak...

Yaklaşık 4 yıldır bu sitedeki makaleler, ağırlıklı olarak felsefe açısından okul eğitimini ele alıyordu, çocukların zihinlerine (yanlış)anlama ilkelerini yerleştiriyordu. Daha fazla ayrıntının, örneklerin ve yöntemlerin zamanı geliyor... Bunun tam olarak tanıdık, kafa karıştırıcı ve karmaşık olana yaklaşım olduğuna inanıyorum. önemli Yaşam alanlarında daha iyi sonuçlar verir.

Biz insanlar öyle bir şekilde tasarlandık ki, ne kadar konuşursak konuşalım. soyut düşünme, Ancak anlayış Her zamanörneklerle olur. Örnek yoksa ilkeleri kavramak imkansızdır... Tıpkı bir dağın zirvesine tüm yokuşu yürüyerek çıkmadan ulaşmak mümkün olmadığı gibi.

Okul için de aynısı: şimdilik yaşayan hikayeler Burayı içgüdüsel olarak çocuklara anlamanın öğretildiği bir yer olarak görmeye devam etmemiz yeterli değil.

Örneğin Gauss yöntemini öğretmek...

5. sınıf okulunda Gauss yöntemi

Hemen rezervasyon yapacağım: Gauss yönteminin çok daha geniş bir uygulaması var, örneğin çözerken doğrusal denklem sistemleri. Konuşacaklarımız 5.sınıfta geçiyor. Bu başladı Hangisini anladıktan sonra daha "gelişmiş seçenekleri" anlamak çok daha kolaydır. Bu yazıda bahsediyoruz Bir serinin toplamını bulmak için Gauss yöntemi (yöntemi)

İşte Moskova'daki bir spor salonunda 5. sınıfa giden en küçük oğlumun okuldan getirdiği bir örnek.

Gauss yönteminin okul gösterimi

İnteraktif bir beyaz tahta (modern öğretim yöntemleri) kullanan bir matematik öğretmeni, çocuklara küçük Gauss'un "yöntemin yaratılışı" tarihinin bir sunumunu gösterdi.

Okul öğretmeni küçük Karl'ı (bugünlerde okullarda kullanılmayan modası geçmiş bir yöntem) kırbaçladı çünkü

1'den 100'e kadar sayıları sırayla toplamak yerine toplamlarını bulun algılanan Bir aritmetik ilerlemenin kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan sayı çiftlerinin toplamı aynı sayıya eşittir. örneğin, 100 ve 1, 99 ve 2. Bu tür çiftlerin sayısını sayan küçük Gauss, öğretmenin önerdiği sorunu neredeyse anında çözdü. Bunun için şaşkın bir halkın önünde idam edildi. Başkalarının düşünme cesareti kırılsın diye.

Küçük Gauss ne yaptı? gelişmiş sayı duygusu? Algılanan bazı özellikler sabit adımlı sayı serisi (aritmetik ilerleme). VE kesinlikle bu daha sonra onu büyük bir bilim adamı yaptı, fark etmeyi bilenler, sahip duygu, anlama içgüdüsü.

Bu yüzden matematik değerlidir, gelişmektedir görme yeteneği genel olarak özel olarak - soyut düşünme. Bu nedenle çoğu ebeveyn ve işveren içgüdüsel olarak matematiğin önemli bir disiplin olduğunu düşünüyor ...

“O halde matematiği öğrenmelisin çünkü o zihnini düzene sokar.
M.V. Lomonosov".

Ancak geleceğin dahilerini sopalarla kırbaçlayanların takipçileri, Yöntemi tam tersi bir şeye dönüştürdü. Amirimin 35 yıl önce söylediği gibi: “Soru öğrenildi.” Ya da dün en küçük oğlumun Gauss'un yöntemi hakkında söylediği gibi: "Belki de bundan büyük bir bilim çıkarmaya değmez, değil mi?"

“Bilim adamlarının” yaratıcılığının sonuçları, mevcut okul matematiğinin düzeyinde, öğretilme düzeyinde ve çoğunluk tarafından “Bilimlerin Kraliçesi” anlayışında görülmektedir.

Ancak devam edelim...

5. Sınıfta Gauss Yöntemini Anlatma Yöntemleri

Moskova'daki bir spor salonundaki bir matematik öğretmeninin Vilenkin'e göre Gauss yöntemini açıklaması görevi karmaşık hale getirdi.

Ya aritmetik ilerlemenin farkı (adım) bir değil de başka bir sayıysa? Örneğin, 20.

Beşinci sınıflara verdiği problem:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Gymnasium yöntemiyle tanışmadan önce gelin internete bir göz atalım: okul öğretmenleri ve matematik öğretmenleri bunu nasıl yapıyor?..

Gauss yöntemi: açıklama No. 1

YOUTUBE kanalında tanınmış bir eğitmen şu gerekçeyi veriyor:

"1'den 100'e kadar olan sayıları şu şekilde yazalım:

ilk olarak 1'den 50'ye kadar bir sayı dizisi ve onun tam altında 50'den 100'e kadar olan başka bir sayı dizisi, ancak ters sırada"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Lütfen dikkat: üst ve alt sıradaki sayı çiftlerinin toplamı aynıdır ve 101'e eşittir! Çift sayısını sayalım, 50 olur ve bir çiftin toplamını çift sayısıyla çarpalım! Voila: Cevap hazır!"

Açıklama sırasında öğretmen üç kez “Anlayamadıysanız üzülmeyin!” dedi. "Bu yöntemi 9. sınıfta okuyacaksınız!"

Gauss yöntemi: açıklama No. 2

Daha az tanınan (görüntüleme sayısına göre değerlendirilen) başka bir öğretmen, daha bilimsel bir yaklaşım benimsiyor ve sırayla tamamlanması gereken 5 noktadan oluşan bir çözüm algoritması sunuyor.

Konuyu bilmeyenler için 5, geleneksel olarak büyülü kabul edilen Fibonacci sayılarından biridir. Örneğin 5 adımlı bir yöntem her zaman 6 adımlı bir yöntemden daha bilimseldir. ...Ve bu pek de tesadüf değil, büyük olasılıkla Yazar, Fibonacci teorisinin gizli bir destekçisidir

Aritmetik ilerleme verildiğinde: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Gauss yöntemini kullanarak bir serideki sayıların toplamını bulmaya yönelik algoritma:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Bu arada şunu da unutmamak lazım artı bir kural : Ortaya çıkan bölüme bir eklemeliyiz: aksi takdirde gerçek çift sayısından bir puan daha az bir sonuç elde ederiz: 42 + 1 = 43.

Bu, 4'ten 256'ya 6 farkla aritmetik ilerlemenin gerekli toplamıdır!

Gauss yöntemi: Moskova spor salonunda 5. sınıfta açıklama

Bir serinin toplamını bulma problemini şu şekilde çözebilirsiniz:

20+40+60+ ... +460+480+500

Moskova spor salonunun 5. sınıfında Vilenkin’in ders kitabı (oğluma göre).

Sunumun ardından matematik öğretmeni Gauss yöntemini kullanan birkaç örnek gösterdi ve sınıfa bir serideki sayıların toplamını 20'lik artışlarla bulma görevi verdi.

Bu, aşağıdakileri gerektiriyordu:

Gördüğünüz gibi bu daha kompakt ve etkili bir tekniktir: 3 sayısı aynı zamanda Fibonacci dizisinin bir üyesidir.

Gauss yönteminin okul versiyonu hakkındaki yorumlarım

Büyük matematikçi, "yönteminin" takipçileri tarafından neye dönüştürüleceğini önceden bilseydi, kesinlikle felsefeyi seçerdi. Alman öğretmen Karl'ı sopalarla kırbaçlayan. “Öğretmenlerin” sembolizmini, diyalektik sarmalını ve ölümsüz aptallığını görebilirdi. Yaşayan matematiksel düşüncenin yanlış anlama cebiri ile uyumunu ölçmeye çalışmak ....

Bu arada: biliyor muydun? Eğitim sistemimizin köklerinin 18. ve 19. yüzyıl Alman okuluna dayandığını mı düşünüyorsunuz?

Ancak Gauss matematiği seçti.

Onun yönteminin özü nedir?

İÇİNDE basitleştirme. İÇİNDE gözlemlemek ve kavramak basit sayı kalıpları. İÇİNDE kuru okul aritmetiğini dönüştürmek ilginç ve heyecan verici aktivite , yüksek maliyetli zihinsel aktiviteyi engellemek yerine beyinde devam etme arzusunu harekete geçiriyor.

Neredeyse bir aritmetik ilerlemenin sayılarının toplamını hesaplamak için Gauss'un verilen "yöntem modifikasyonlarından" birini kullanmak mümkün müdür? aniden? "Algoritmalara" göre, küçük Karl'ın şaplak atmaktan kaçınması, matematikten hoşlanmaması ve yaratıcı dürtülerini daha başlangıçta bastırması garantilenecekti.

Öğretmen neden beşinci sınıf öğrencilerine yöntemin "yanlış anlaşılmasından korkmamalarını" bu kadar ısrarla tavsiye etti ve onları "bu tür" problemleri 9. sınıftan itibaren çözeceklerine ikna etti? Psikolojik olarak cahil eylem. Dikkat edilmesi gereken iyi bir hareketti: "Görüşürüz zaten 5. sınıftasın Sadece 4 yılda tamamlayacağınız problemleri çözün! Sen ne kadar harika bir adamsın!”

Gauss yöntemini kullanmak için sınıf 3 düzeyi yeterlidir Normal çocuklar 2-3 basamaklı sayıları toplamayı, çarpmayı ve bölmeyi zaten biliyorken. “İletişimden kopmuş” yetişkin öğretmenlerin, matematik bir yana, en basit şeyleri bile normal insan dilinde açıklayamamalarından dolayı sorunlar ortaya çıkıyor… İnsanların matematiğe ilgi duymasını sağlayamıyorlar ve “bilgisiz” olanların bile cesaretini tamamen kırıyorlar. yetenekli."

Veya oğlumun dediği gibi: "bundan büyük bir bilim çıkarmak."

Gauss yöntemi, açıklamalarım

Eşim ve ben bu “yöntemi” çocuğumuza, öyle görünüyor ki, okuldan önce bile anlattık...

Karmaşıklık yerine basitlik veya soru-cevap oyunu

"Bakın burada 1'den 100'e kadar sayılar var. Ne görüyorsunuz?"

Önemli olan çocuğun tam olarak ne gördüğü değil. İşin püf noktası onun bakmasını sağlamaktır.

"Onları nasıl bir araya getirebilirsin?" Oğul, bu tür soruların "aynen böyle" sorulmadığını ve soruya "her zamankinden farklı, farklı" bakmanız gerektiğini fark etti.

Çocuğun çözümü hemen görmesinin bir önemi yok, pek mümkün değil. Onun olması önemlidir bakmaktan korkmayı bıraktım ya da dediğim gibi: “görevi taşıdım”. Bu anlama yolculuğunun başlangıcıdır

"Hangisi daha kolay: örneğin 5 ve 6'yı mı yoksa 5 ve 95'i mi toplamak?" Öncü bir soru... Ancak herhangi bir eğitim, bir kişiyi kendisi için kabul edilebilir herhangi bir şekilde "cevaba" yönlendirmektir.

Bu aşamada, hesaplamalarda nasıl "tasarruf" yapılacağına dair tahminler zaten ortaya çıkabilir.

Yaptığımız tek şey ipucu vermekti: "önden, doğrusal" sayma yöntemi mümkün olan tek yöntem değil. Bir çocuk bunu anlarsa, daha sonra buna benzer birçok yöntem bulacaktır. Çünkü ilginç!!! Ve matematiğin “yanlış anlaşılmasından” kesinlikle kaçınacak ve bundan tiksinmeyecektir. Galibiyeti aldı!

Eğer çocuk keşfedildi toplamı yüz olan sayı çiftlerini toplamanın çocuk oyuncağı olduğunu, o zaman "fark 1 ile aritmetik ilerleme"- bir çocuk için oldukça kasvetli ve ilgi çekici olmayan bir şey - aniden ona hayat buldum . Kaostan düzen ortaya çıkar ve bu her zaman heyecan yaratır: biz böyle yaratıldık!

Yanıtlanması gereken bir soru: Neden bir çocuk edindiği içgörüden sonra, bu durumda işlevsel olarak hiçbir işe yaramayan kuru algoritmalar çerçevesine girmeye zorlanmalı?!

Neden aptalca yeniden yazmaya zorlayasınız ki? Bir defterdeki sıra numaraları: yetenekli olanların bile tek bir anlama şansı kalmasın diye mi? İstatistiksel olarak elbette ama kitlesel eğitim “istatistik”e yöneliktir...

Sıfır nereye gitti?

Ama yine de toplamı 100 olan sayıları toplamak, toplamı 101 olan sayıları toplamaktan çok daha kabul edilebilir...

"Gauss Okulu Yöntemi" tam olarak şunu gerektirir: düşüncesizce katlamak ilerlemenin merkezinden eşit uzaklıktaki sayı çiftleri, Her şeye rağmen.

Peki ya bakarsan?

Yine de sıfır, 2000 yıldan daha eski olan insanoğlunun en büyük icadıdır. Ve matematik öğretmenleri onu görmezden gelmeye devam ediyor.

1 ile başlayan bir sayı dizisini 0 ile başlayan bir diziye dönüştürmek çok daha kolay. Toplam değişmeyecek değil mi? “Ders kitaplarında düşünmeyi” bırakıp araştırmaya başlamalısınız... Ve toplamları 101 olan çiftlerin tamamen 100 olan çiftlerle değiştirilebileceğini görün!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

"Artı 1 kuralı" nasıl kaldırılır?

Dürüst olmak gerekirse böyle bir kuralı ilk kez o YouTube eğitmeninden duymuştum...

Bir dizinin üye sayısını belirlemem gerektiğinde yine de ne yapmalıyım?

Sıralamaya bakıyorum:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

ve tamamen yorulduğunuzda daha basit bir sıraya geçin:

1, 2, 3, 4, 5

ve şunu anladım: 5'ten bir çıkarırsanız 4 elde edersiniz, ama kesinlikle netim Anlıyorum 5 sayı! Bu nedenle bir tane eklemeniz gerekiyor! İlkokulda geliştirilen sayı duyusu şunu gösteriyor: Dizinin üyelerinden oluşan bir Google üyesi olsa bile (10'un yüzüncü kuvveti), model aynı kalacaktır.

Kurallar neler?..

Yani birkaç ya da üç yıl içinde alnınızla başınızın arkası arasındaki tüm boşluğu doldurup düşünmeyi bırakabilecek misiniz? Ekmeğinizi ve tereyağınızı nasıl kazanacaksınız? Sonuçta, dijital ekonomi çağına eşit basamaklarla ilerliyoruz!

Gauss'un okul yöntemi hakkında daha fazla bilgi: "neden bundan bilim çıkarılsın ki?.."

Oğlumun not defterinden bir ekran görüntüsü yayınlamam boşuna değildi...

"Sınıfta ne oldu?"

“Eh, hemen saydım, elimi kaldırdım ama sormadı. Bu yüzden diğerleri sayarken ben de vakit kaybetmemek için ödevlerimi Rusça yapmaya başladım. Sonra diğerleri yazmayı bitirince (? ??), beni kurula çağırdı, cevabı söyledim."

Öğretmen “Doğru, nasıl çözdüğünüzü bana gösterin” dedi. Gösterdim. Dedi ki: "Yanlış, benim gösterdiğim gibi saymalısın!"

“Bana kötü not vermemesi iyi oldu. Ve bana kendi yöntemleriyle “çözümün gidişatını” yazdırdı.

Matematik öğretmeninin en büyük suçu

hemen sonra o olay Carl Gauss okuldaki matematik öğretmenine karşı yüksek bir saygı duygusu yaşadı. Ama nasıl yapılacağını bilseydi o öğretmenin takipçileri yöntemin özünü bozacak... öfkeyle kükreyecek ve Dünya Fikri Mülkiyet Örgütü WIPO aracılığıyla, iyi isminin okul ders kitaplarında kullanılmasının yasaklanmasını sağlayacaktı!..

Neyin içinde okul yaklaşımının temel hatası? Yoksa benim deyimimle okuldaki matematik öğretmenlerinin çocuklara karşı işlediği bir suç mu?

Yanlış anlama algoritması

Büyük çoğunluğu nasıl düşüneceğini bilmeyen okul metodolojistleri ne yapar?

Yöntemler ve algoritmalar oluştururlar (bkz.). Bu Öğretmenleri eleştiriden ("Her şey şuna göre yapılır...") ve çocukları anlayıştan koruyan savunmacı bir tepki. Ve böylece - öğretmenleri eleştirme arzusundan!(Bürokratik “bilgeliğin” ikinci türevi, soruna bilimsel yaklaşım). Anlamını kavrayamayan kişi, okul sisteminin aptallığından ziyade, kendi yanlış anlamasını suçlamayı tercih edecektir.

Olan şu: Ebeveynler çocuklarını suçluyor, öğretmenler de... aynısını “matematiği anlamayan!” çocuklar için de yapıyorlar.

Zeki misin?

Küçük Karl ne yaptı?

Formüle dayalı bir göreve tamamen alışılmadık bir yaklaşım. Bu O’nun yaklaşımının özüdür. Bu Okulda öğretilmesi gereken en önemli şey ders kitaplarıyla değil kafanızla düşünmektir. Tabii ki, kullanılabilecek araçsal bir bileşen de var... daha basit ve daha verimli sayma yöntemleri.

Vilenkin'e göre Gauss yöntemi

Okulda Gauss'un yönteminin şu olduğunu öğretiyorlar:

Ne, serinin eleman sayısı tek ise Oğluma verilen problemde olduğu gibi mi?..

Bu durumda "yakalama" şu ki seride “ekstra” bir sayı bulmalısınız ve bunu çiftlerin toplamına ekleyin. Örneğimizde bu sayı 260'tır..

Nasıl tespit edilir? Tüm sayı çiftlerini bir not defterine kopyalamak!(Bu nedenle öğretmen çocuklara Gauss yöntemini kullanarak "yaratıcılığı" öğretmeye çalışmak gibi aptalca bir işi yaptırdı... Ve bu nedenle böyle bir "yöntem" pratikte büyük veri serilerine uygulanamaz VE bu yüzden de Gauss yöntemi değil.)

Okul rutininde biraz yaratıcılık...

Oğul farklı davrandı.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Zor değil, değil mi?

Ancak pratikte bu daha da kolay hale getirildi, bu da Rusça'da uzaktan algılama için 2-3 dakika ayırmanıza olanak tanırken, geri kalanı "sayıyor". Ayrıca yöntemin adım sayısını da koruyor: 5, bu da yaklaşımın bilimsel olmadığı gerekçesiyle eleştirilmesine izin vermiyor.

Açıkçası bu yaklaşım, Yöntem tarzında daha basit, daha hızlı ve daha evrenseldir. Ama... öğretmen sadece övmekle kalmadı, aynı zamanda beni onu "doğru şekilde" yeniden yazmaya zorladı (ekran görüntüsüne bakın). Yani, yaratıcı dürtüyü ve matematiği kökünden anlama yeteneğini bastırmak için umutsuz bir girişimde bulundu! Anlaşılan, daha sonra öğretmen olarak işe alınabilmek için... Yanlış kişiye saldırmış...

Bu kadar uzun ve sıkıcı bir şekilde anlattığım her şey normal bir çocuğa en fazla yarım saatte anlatılabilir. Örneklerle birlikte.

Ve bunu hiçbir zaman unutamayacak şekilde.

Ve olacak anlamaya doğru adım...sadece matematikçiler değil.

Kabul edin: Gauss yöntemini kullanarak hayatınızda kaç kez ekleme yaptınız? Ve hiç yapmadım!

Ancak anlama içgüdüsü Okulda matematik yöntemlerinin çalışılması sürecinde gelişen (veya sönen)... Ah!.. Bu gerçekten yeri doldurulamaz bir şey!

Özellikle de Parti ve Hükümetin sıkı liderliği altında sessizce girdiğimiz evrensel dijitalleşme çağında.

Öğretmenleri savunmak için birkaç söz...

Bu öğretim tarzının tüm sorumluluğunu yalnızca okul öğretmenlerine yüklemek haksızlık ve yanlıştır. Sistem yürürlükte.

Bazıöğretmenler olup bitenlerin saçmalığını anlıyor ama ne yapmalı? Eğitim Kanunu, Federal Devlet Eğitim Standartları, yöntemler, ders planları... Her şeyin “uygun ve esasına göre” yapılması ve her şeyin belgelenmesi gerekiyor. Kenara çekilin - kovulmak için sıraya girdim. İkiyüzlülük yapmayalım: Moskova öğretmenlerinin maaşları çok iyi... Sizi kovarlarsa nereye gidersiniz?..

Bu nedenle bu site eğitimle ilgili değil. O yaklaşık bireysel eğitim Kalabalıktan kurtulmanın tek yolu Z kuşağı ...

Çözülmesi gereken bir doğrusal cebirsel denklem sistemi verilsin (sistemin her denklemini eşitliğe dönüştüren bilinmeyen xi değerlerini bulun).

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin şunları yapabileceğini biliyoruz:

1) Çözümünüz yok (olun) ortak olmayan).
2) Sonsuz sayıda çözümü var.
3) Tek bir çözümünüz olsun.

Hatırlayacağımız gibi sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda Cramer kuralı ve matris yöntemi uygun değildir. Gauss yöntemi – Herhangi bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmak için en güçlü ve çok yönlü araç, Hangi her durumda bizi cevaba götürecek! Yöntem algoritmasının kendisi her üç durumda da aynı şekilde çalışır. Cramer ve matris yöntemleri determinant bilgisini gerektiriyorsa, Gauss yöntemini uygulamak için yalnızca aritmetik işlemler bilgisine ihtiyacınız vardır, bu da onu ilkokul öğrencileri için bile erişilebilir kılar.

Artırılmış matris dönüşümleri ( bu sistemin matrisidir - yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından ve serbest terimlerden oluşan bir sütundan oluşan bir matris) Gauss yöntemindeki doğrusal cebirsel denklem sistemleri:

1) İle troki matrisler Olabilmek yeniden düzenlemek bazı yerlerde.

2) matriste orantılı (özel bir durum olarak - aynı) satırlar görünüyorsa (veya mevcutsa), o zaman şunları yapmalısınız: silmek Bu satırların biri hariç tümü matristendir.

3) dönüşümler sırasında matriste sıfır satır belirirse, o zaman da olmalıdır silmek.

4) matrisin bir satırı olabilir çarpmak (bölmek) sıfırdan başka herhangi bir sayıya.

5) bir matris satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayıyla çarpılan başka bir dize ekle, sıfırdan farklı.

Gauss yönteminde elemanter dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez.

Gauss yöntemi iki aşamadan oluşur:

1. "Doğrudan hareket" - temel dönüşümleri kullanarak, doğrusal cebirsel denklemler sisteminin genişletilmiş matrisini "üçgen" adım formuna getirin: ana köşegenin altında bulunan genişletilmiş matrisin elemanları sıfıra eşittir (yukarıdan aşağıya hareket). Örneğin, bu türe:

Bunu yapmak için aşağıdaki adımları izleyin:

1) Lineer cebirsel denklemler sisteminin ilk denklemini ele alalım ve x 1'in katsayısı K'ye eşittir. İkinci, üçüncü, vb. denklemleri şu şekilde dönüştürüyoruz: her denklemi (serbest terimler dahil bilinmeyenlerin katsayıları) her denklemdeki bilinmeyen x 1'in katsayısına bölüyoruz ve K ile çarpıyoruz. Bundan sonra birinciyi ikinci denklemden çıkarıyoruz ( bilinmeyenlerin katsayıları ve serbest terimler). İkinci denklemde x 1 için 0 katsayısını elde ederiz. Dönüştürülen üçüncü denklemden, bilinmeyen x 1 için birinci dışındaki tüm denklemler 0 katsayısına sahip olana kadar birinci denklemi çıkarırız.

2) Bir sonraki denkleme geçelim. Bu ikinci denklem olsun ve x 2'nin katsayısı M'ye eşit olsun. Tüm "alt" denklemlerle yukarıda anlatıldığı gibi devam ediyoruz. Böylece bilinmeyen x 2'nin “altında” tüm denklemlerde sıfırlar olacaktır.

3) Bir sonraki denkleme geçin ve son bir bilinmeyene ve dönüştürülmüş serbest terim kalana kadar devam edin.

1. Gauss yönteminin "tersine hareketi", doğrusal cebirsel denklemler sistemine ("aşağıdan yukarıya" hareket) bir çözüm elde etmektir. Son “alt” denklemden bir birinci çözüm elde ediyoruz: bilinmeyen xn. Bunu yapmak için A * x n = B temel denklemini çözüyoruz. Yukarıda verilen örnekte x 3 = 4. Bulunan değeri bir sonraki "üst" denklemin yerine koyuyoruz ve bir sonraki bilinmeyene göre çözüyoruz. Örneğin x 2 – 4 = 1, yani. x 2 = 5. Tüm bilinmeyenleri bulana kadar böyle devam ederiz.

Örnek.

Bazı yazarların tavsiye ettiği gibi, doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözelim:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

Sol üstteki “adıma” bakıyoruz. Orada bir birimimiz olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç birim yok, dolayısıyla satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecek. Bu gibi durumlarda ünitenin temel bir dönüşüm kullanılarak düzenlenmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu yapalım:
1 adım . İlk satıra ikinci satırı –1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak –1 ile çarpıp birinci ve ikinci satırları ekledik, ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte “eksi bir” var ki bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyen herkes ek bir işlem yapabilir: İlk satırı –1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

Adım 2 . İlk satır 5 ile çarpılarak ikinci satıra eklendi. İlk satır 3 ile çarpılarak üçüncü satıra eklendi.

Aşama 3 . İlk satır -1 ile çarpıldı, prensip olarak bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adım”da gerekli üniteye sahip olduk.

4. Adım . Üçüncü satır, ikinci satıra 2 ile çarpılarak eklendi.

Adım 5 . Üçüncü satır 3'e bölündü.

Hesaplamalarda bir hata olduğunu gösteren bir işaret (daha nadiren bir yazım hatası) "kötü" bir sonuçtur. Yani, aşağıda (0 0 11 |23) gibi bir şey elde edersek ve buna göre 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 olursa, o zaman yüksek bir olasılıkla ilkokul sırasında bir hata yapıldığını söyleyebiliriz. dönüşümler.

Bunun tersini yapalım; örneklerin tasarımında sistemin kendisi genellikle yeniden yazılmaz, ancak denklemler "doğrudan verilen matristen alınır." Size hatırlatırım, ters hareket aşağıdan yukarıya doğru çalışır. Bu örnekte sonuç bir hediyeydi:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, dolayısıyla x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Cevap:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Aynı sistemi önerilen algoritmayı kullanarak çözelim. Aldık

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

İkinci denklemi 5'e, üçüncüsünü ise 3'e bölün. Şunu elde ederiz:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

İkinci ve üçüncü denklemleri 4 ile çarparsak şunu elde ederiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Birinci denklemi ikinci ve üçüncü denklemlerden çıkarırsak:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Üçüncü denklemi 0,64'e bölün:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Üçüncü denklemi 0,4 ile çarpın

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

İkinciyi üçüncü denklemden çıkararak "adımlı" bir genişletilmiş matris elde ederiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Böylece hesaplamalar sırasında oluşan hata nedeniyle x 3 = 0,96 yani yaklaşık 1 elde ederiz.

x 2 = 3 ve x 1 = –1.

Bu şekilde çözdüğünüzde hesaplamalarda hiçbir zaman kafanız karışmaz ve hesaplama hatalarına rağmen sonuca ulaşırsınız.

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmenin bu yöntemi kolayca programlanabilir ve bilinmeyenler için katsayıların belirli özelliklerini hesaba katmaz çünkü pratikte (ekonomik ve teknik hesaplamalarda) tamsayı olmayan katsayılarla uğraşmak gerekir.

Sana başarılar diliyorum! Sınıfta görüşürüz! Öğretmen Dmitry Aystrakhanov.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.