Karmaşık değişkenli fonksiyonlar.
Karmaşık değişkenli fonksiyonların türevi.

Bu makale, karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisiyle ilgili tipik problemleri ele alacağım bir dizi ders başlatıyor. Örneklerde başarılı bir şekilde uzmanlaşmak için karmaşık sayılara ilişkin temel bilgiye sahip olmanız gerekir. Materyali pekiştirmek ve tekrarlamak için sayfayı ziyaret etmeniz yeterlidir. Ayrıca bulmak için becerilere de ihtiyacınız olacak ikinci dereceden kısmi türevler. İşte bunlar, bu kısmi türevler... şimdi bile bunların bu kadar sık ​​meydana gelmesine biraz şaşırdım...

İncelemeye başladığımız konu herhangi bir özel zorluk sunmuyor ve karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarında prensip olarak her şey açık ve erişilebilir. Önemli olan deneysel olarak çıkardığım temel kurala uymaktır. Okumaya devam etmek!

Karmaşık değişkenli fonksiyon kavramı

Öncelikle bir değişkenin okul işlevi hakkındaki bilgilerimizi tazeleyelim:

Tek değişkenli fonksiyon bağımsız değişkenin (tanım alanından) her değerinin, fonksiyonun yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır. Doğal olarak “x” ve “y” gerçek sayılardır.

Karmaşık durumda fonksiyonel bağımlılık benzer şekilde belirtilir:

Karmaşık bir değişkenin tek değerli fonksiyonu- bu herkesin uyması gereken kuraldır kapsayıcı bağımsız değişkenin değeri (tanım alanından) bir ve yalnızca bire karşılık gelir kapsayıcı fonksiyon değeri. Teori aynı zamanda çok değerli ve diğer bazı fonksiyon türlerini de dikkate alır, ancak basitlik açısından bir tanıma odaklanacağım.

Karmaşık değişken fonksiyon arasındaki fark nedir?

Temel fark: karmaşık sayılar. İronik yapmıyorum. Bu tür sorular çoğu zaman insanları şaşkına çevirir; yazının sonunda size komik bir hikaye anlatacağım. Derste Kuklalar için karmaşık sayılarşeklinde karmaşık bir sayı olarak değerlendirdik. Artık “z” harfi haline geldi değişken, o zaman bunu şu şekilde göstereceğiz: "x" ve "y" farklı anlamlar alabilir geçerli anlamlar. Kabaca söylemek gerekirse, karmaşık bir değişkenin işlevi, "sıradan" değerler alan ve değişkenlerine bağlıdır. Bu olgudan mantıksal olarak şu sonuç çıkar:

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:
, burada ve ikinin iki fonksiyonudur geçerli değişkenler.

Fonksiyon çağrılır gerçek kısım işlevler
Fonksiyon çağrılır sanal kısım işlevler

Yani, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu iki gerçek fonksiyona ve . Son olarak her şeyi açıklığa kavuşturmak için pratik örneklere bakalım:

örnek 1

Çözüm: Bağımsız değişken "zet", hatırlayacağınız gibi, biçiminde yazılmıştır, dolayısıyla:

(1) Değiştirdik.

(2) Birinci terim için kısaltılmış çarpma formülü kullanılmıştır. Dönemde parantez açıldı.

(3) Dikkatlice karelenmiş, bunu unutmadan

(4) Terimlerin yeniden düzenlenmesi: önce terimleri yeniden yazarız İçinde hayali bir birimin bulunmadığı(birinci grup), ardından terimlerin bulunduğu yerler (ikinci grup). Terimlerin karıştırılmasının gerekli olmadığı ve bu adımın (bunu sözlü olarak yaparak) atlanabileceği unutulmamalıdır.

(5) İkinci grup için bunu parantezlerden çıkarıyoruz.

Sonuç olarak fonksiyonumuzun şu şekilde temsil edildiği ortaya çıktı:

Cevap:
– fonksiyonun gerçek kısmı.
– fonksiyonun sanal kısmı.

Bunlar ne tür işlevlere dönüştü? İki değişkenin bu kadar popüler bulabileceğiniz en sıradan fonksiyonları kısmi türevler. Merhamet olmazsa onu bulacağız. Ama biraz sonra.

Kısaca çözülen problemin algoritması şu şekilde yazılabilir: orijinal fonksiyonun yerine , basitleştirmeler yaparız ve tüm terimleri hayali bir birim (gerçek kısım) olmadan ve sanal bir birim (sanal kısım) ile iki gruba ayırırız. .

Örnek 2

Fonksiyonun gerçek ve sanal kısmını bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Karmaşık bir uçakta damalarınızla savaşa dalmadan önce size konuyla ilgili en önemli tavsiyeyi vereyim:

DİKKAT OLMAK! Elbette her yerde dikkatli olmanız gerekiyor ama karmaşık sayılarda her zamankinden daha dikkatli olmalısınız! Braketleri dikkatlice açın, hiçbir şey kaybetmeyin. Gözlemlerime göre en sık yapılan hata işaret kaybıdır. Acele etmeyin!

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Şimdi küp. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
.

Formüllerin pratikte kullanımı çok uygundur çünkü çözüm sürecini önemli ölçüde hızlandırır.

Karmaşık değişkenli fonksiyonların türevi.

İki haberim var: iyi ve kötü. İyi olanla başlayacağım. Karmaşık değişkenli bir fonksiyon için türev kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu geçerlidir. Böylece türev, gerçek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi tamamen aynı şekilde alınır.

Kötü haber şu ki, birçok karmaşık değişken fonksiyonun hiçbir türevi yoktur ve bunu bulmanız gerekir. türevlenebilir mi bir işlev veya diğeri. Ve kalbinizin nasıl hissettiğini "anlamak" ek sorunlarla ilişkilidir.

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun türevlenebilmesi için gerekli ve yeterlidir:

1) Birinci dereceden kısmi türevler mevcut olsun. Bu gösterimleri hemen unutun, çünkü karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinde geleneksel olarak farklı bir gösterim kullanılır: .

2) Sözdeyi yerine getirmek Cauchy-Riemann koşulları:

Sadece bu durumda türev mevcut olacaktır!

Örnek 3

Çözüm birbirini takip eden üç aşamaya ayrılmıştır:

1) Fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını bulalım. Bu görev önceki örneklerde tartışılmıştı, bu yüzden yorum yapmadan yazacağım:

O zamandan beri:

Böylece:

– fonksiyonun sanal kısmı.

Bir teknik noktaya daha değineyim: hangi sırayla Gerçel ve sanal kısımlardaki terimleri yazar mısınız? Evet, prensipte önemli değil. Örneğin gerçek kısım şu şekilde yazılabilir: , ve hayali olan – şöyle: .

2) Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim. İki tane var.

Durumu kontrol ederek başlayalım. Bulduk kısmi türevler:

Böylece koşul sağlanmış olur.

Tabii ki iyi haber şu ki, kısmi türevler neredeyse her zaman çok basittir.

İkinci koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz:

Sonuç aynı, ancak zıt işaretlerle, yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları sağlandığı için fonksiyon türevlenebilirdir.

3) Fonksiyonun türevini bulalım. Türev de çok basittir ve genel kurallara göre bulunur:

Farklılaşma sırasında sanal birim sabit olarak kabul edilir.

Cevap: – gerçek kısım, – hayali kısım.
Cauchy-Riemann koşulları sağlanmıştır.

Türevi bulmanın iki yolu daha var, bunlar elbette daha az kullanılıyor, ancak bilgiler ikinci dersi anlamak için faydalı olacaktır - Karmaşık bir değişkenin fonksiyonu nasıl bulunur?

Türev aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

Böylece

Ters problemi çözmemiz gerekiyor; ortaya çıkan ifadede yalnız bırakmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, şartlarda ve parantezlerin dışında gereklidir:

Pek çok kişinin fark ettiği gibi, ters eylemin gerçekleştirilmesi biraz daha zordur; sonucun tam olarak olduğundan emin olmak için ifadeyi bir taslakta almak veya parantezleri sözlü olarak açmak her zaman daha iyidir.

Türevi bulmak için ayna formülü:

Bu durumda: , Bu yüzden:

Örnek 4

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Cauchy-Riemann koşulları karşılanıyorsa fonksiyonun türevini bulun.

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Cauchy-Riemann koşulları her zaman sağlanır mı? Teorik olarak, yerine getirildiklerinden daha sık yerine getirilmezler. Ancak pratik örneklerde bunların yerine getirilmediği bir durumu hatırlamıyorum =) Dolayısıyla, eğer kısmi türevleriniz “yakınsamıyorsa”, o zaman çok yüksek bir olasılıkla bir yerde hata yaptığınızı söyleyebilirsiniz.

İşlevlerimizi karmaşıklaştıralım:

Örnek 5

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Hesaplamak

Çözüm:Çözüm algoritması tamamen korunmuştur ancak sonuna yeni bir nokta eklenecektir: bir noktanın türevini bulmak. Küp için gerekli formül zaten türetilmiştir:

Bu fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını tanımlayalım:

Tekrar dikkat ve dikkat!

O zamandan beri:


Böylece:
– fonksiyonun gerçek kısmı;
– fonksiyonun sanal kısmı.

İkinci koşulun kontrol edilmesi:

Sonuç aynı, ancak zıt işaretlerle, yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları sağlandığı için fonksiyon türevlenebilirdir:

Gerekli noktadaki türevin değerini hesaplayalım:

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları sağlanıyor,

Küplerle yapılan işlevler yaygındır, bu yüzden pekiştirmek için işte bir örnek:

Örnek 6

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Hesaplamak.

Dersin sonunda bitirme örneği ve çözümü.

Karmaşık analiz teorisinde, karmaşık bir argümanın diğer fonksiyonları da tanımlanır: üs, sinüs, kosinüs vb. Bu işlevlerin olağandışı ve hatta tuhaf özellikleri var - ve bu gerçekten ilginç! Size gerçekten şunu söylemek istiyorum, ancak burada bir referans kitabı veya ders kitabı değil, bir çözüm kitabı var, bu yüzden aynı sorunu bazı ortak işlevlerle ele alacağım.

İlk olarak sözde hakkında Euler formülleri:

Herkes için geçerli sayılarda aşağıdaki formüller geçerlidir:

Ayrıca referans materyali olarak not defterinize kopyalayabilirsiniz.

Aslına bakılırsa, yalnızca bir formül vardır, ancak genellikle kolaylık olması açısından üssünde eksi bulunan özel bir durum da yazarlar. Parametrenin tek bir harf olması gerekmez; karmaşık bir ifade veya işlev olabilir, yalnızca kabul etmeleri önemlidir. yalnızca geçerli olanlar anlamlar. Aslında şu anda şunu göreceğiz:

Örnek 7

Türevini bulun.

Çözüm: Partinin genel çizgisi sarsılmaz; işlevin gerçek ve hayali kısımlarını birbirinden ayırmak gerekiyor. Aşağıda her adıma ilişkin ayrıntılı bir çözüm ve yorum sunacağım:

O zamandan beri:

(1) Bunun yerine “z” yazın.

(2) Yer değiştirmeden sonra gerçek ve sanal kısımları seçmeniz gerekir. göstergede ilk sırada katılımcılar. Bunu yapmak için parantezleri açın.

(3) Hayali birimi parantezlerin dışına yerleştirerek göstergenin hayali kısmını gruplandırırız.

(4) Okul eylemini derecelerle kullanırız.

(5) Çarpan olarak Euler formülünü ve .

(6) Braketleri açın, sonuçta:

– fonksiyonun gerçek kısmı;
– fonksiyonun sanal kısmı.

Diğer eylemler standarttır; Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:

Örnek 9

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Öyle olsun, türevi bulamayacağız.

Çözüm:Çözüm algoritması önceki iki örneğe çok benziyor ama çok önemli noktalar var o yüzden yine başlangıç ​​aşamasını adım adım yorumlayacağım:

O zamandan beri:

1) Bunun yerine “z” yazın.

(2) İlk önce gerçek ve sanal kısımları seçiyoruz sinüsün içinde. Bu amaçlar için parantezleri açıyoruz.

(3) Formülü kullanıyoruz ve .

(4) Kullanıyoruz hiperbolik kosinüs paritesi: Ve hiperbolik sinüsün tuhaflığı: . Hiperbolikler, bu dünyaya ait olmasalar da birçok açıdan benzer trigonometrik fonksiyonları anımsatırlar.

Sonunda:
– fonksiyonun gerçek kısmı;
– fonksiyonun sanal kısmı.

Dikkat! Eksi işareti hayali kısmı ifade eder ve hiçbir durumda onu kaybetmemeliyiz! Açık bir örnek olması açısından yukarıdaki sonuç şu şekilde yeniden yazılabilir:

Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:

Cauchy-Riemann koşulları sağlanmıştır.

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları sağlanmıştır.

Bayanlar ve baylar, gelin bunu kendi başımıza çözelim:

Örnek 10

Fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını belirleyin. Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin.

Kasıtlı olarak daha zor örnekleri seçtim çünkü kabuklu fıstık gibi herkes bir şeylerle baş edebiliyor gibi görünüyor. Aynı zamanda dikkatinizi de geliştireceksiniz! Dersin sonunda fındıkkıranı.

Sonuç olarak, paydada karmaşık bir argüman olduğunda başka bir ilginç örneğe bakacağım. Pratikte birkaç kez oldu, basit bir şeye bakalım. Eh, yaşlanıyorum...

Örnek 11

Fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını belirleyin. Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin.

Çözüm: Yine fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını ayırmak gerekir.
Eğer öyleyse

Şu soru ortaya çıkıyor: "Z" paydada olduğunda ne yapmalı?

Her şey basit - standart olan yardımcı olacaktır pay ve paydayı eşlenik ifadeyle çarpma yöntemi, dersteki örneklerde zaten kullanıldı Kuklalar için karmaşık sayılar. Okul formülünü hatırlayalım. Paydayı zaten biliyoruz, bu da eşlenik ifadenin olacağı anlamına gelir. Bu nedenle pay ve paydayı şu şekilde çarpmanız gerekir: