CEBİRİN TEMEL TEOREMİ n (n>0) dereceli her polinomun: f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an, karmaşık sayılar alanı üzerinde a0 / 0'ın en az bir z1 köküne sahip olduğu teoremi yani f(z1)=0. O.T.A.'dan Bezout teoreminden, f(z) polinomunun karmaşık sayılar alanında (çoklukları dikkate alınarak) tam olarak n köke sahip olduğu sonucu çıkar. Aslında Bezout teoremine göre f(z), z – z1 (kalansız) ile bölünebilir; f(z) = f1(z)(z – z1) ve dolayısıyla O.T.A.'ya göre (n – 1) derecesinin f1(z) polinomu. ayrıca bir z2 kökü vb. vardır. Sonuçta f(z)'nin tam olarak n köke sahip olduğu sonucuna varacağız: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). O.T.A. 17.-18. yüzyıllarda cebirin ana içeriği nedeniyle bu adı almıştır. denklem çözmeye geldi.

O.T.A. ilk kez 17. yüzyılda kanıtlandı. Fransız matematikçi Girard tarafından ve 1799'da Alman matematikçi Gauss tarafından kesin bir kanıt verildi. BEZOUT TEOREMİ Rastgele bir polinomun doğrusal bir binomla bölümünden kalan kısımla ilgili bir teorem şu şekilde formüle edilir: keyfi bir polinomun f(x) binom x – a'ya bölümünden kalan kısım f(a)'ya eşittir. ). T.B. adını ilk kez formüle eden ve kanıtlayan 18. yüzyıl Fransız matematikçisinden almıştır. Bezu. T.B.'den aşağıdaki sonuçlar ortaya çıkar: 1) eğer f(x) polinomu x – a'ya bölünebilirse (kalansız), o zaman a sayısı f(x)'in köküdür; 2) a sayısı f(x) polinomunun kökü ise, o zaman f(x), x – a binomuna bölünebilir (kalansız); 3) eğer bir f(x) polinomunun en az bir kökü varsa, o zaman bu polinomun tam olarak bu polinomun derecesi kadar kökü vardır (köklerin çokluğu dikkate alınır). CHEVA TEOREMİ ABC üçgeninin köşelerini üçgenin düzlemindeki O noktasına birleştiren düz çizgiler karşıt kenarları (veya bunların uzantılarını) sırasıyla A' B' C' noktalarında keserse, eşitlik sağlanır: (* ) Bu durumda, segmentlerin oranı, bu segmentler aynı yöne sahipse pozitif, aksi takdirde negatif olarak kabul edilir.

T.Ch. şu biçimde de yazılabilir: (ABC')*(BCA')*(CAB') = 1, burada (ABC'), A, B ve C' üç noktasının basit oranıdır. Ters teorem de doğrudur: C', A', B' noktaları üçgenin sırasıyla AB, BC ve CA kenarlarında veya bunların uzantılarında eşitlik (*) sağlanacak şekilde bulunuyorsa, o zaman AA', BB' doğruları ve CC' aynı noktada veya paralelde kesişir (uygun olmayan bir noktada kesişir). Bir noktada kesişen ve üçgenin köşelerinden geçen AA', BB' ve CC' çizgilerine Chevy çizgileri veya Chevyan çizgileri denir.

T.Ch. doğası gereği projektiftir. T.Ch. Menelaus teoremine metrik olarak dualdir.

T.Ch. Adını bunu kanıtlayan İtalyan geometrici Giovanni Ceva'dan almıştır (1678). KOSİN TEOREMİ 1. T.K. düzlem trigonometri - herhangi bir üçgende herhangi bir kenarının karesinin, bu kenarların çarpımını aralarındaki açının kosinüsü ile iki katına çıkarmadan diğer iki kenarının karelerinin toplamına eşit olduğu ifadesi: c2 = a2 + b2 – 2abcosC, burada a, b, c kenar üçgenin uzunluklarıdır ve C, a ve b kenarları arasındaki açıdır. T.K. temel geometri ve trigonometri problemlerinin çözümünde sıklıkla kullanılır 2. T.K. küresel bir üçgenin tarafı için: küresel bir üçgenin bir tarafının kosinüsü, diğer iki tarafının kosinüslerinin çarpımına artı aynı tarafların sinüslerinin aralarındaki açının kosinüsüne çarpımına eşittir: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. T.K. küresel bir üçgenin açısı için: küresel bir üçgenin açısının kosinüsü, zıt işaretle alınan diğer iki açının kosinüslerinin çarpımına ve diğer iki açının sinüslerinin çarpımına eşittir. birinci açının karşısındaki tarafın kosinüsü: cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. EULER TEOREMİ 1. T.E. karşılaştırmalar teorisinde, eğer (a, m)=1 ise, o zaman burada f(m) Euler fonksiyonudur (m ile aralarında asal olan pozitif tamsayıların sayısı, m'yi aşmaz). 2.T.E. çokyüzlüler hakkında, sıfır cinsin herhangi bir çokyüzlü için formülün geçerli olduğunu belirtir: B + G – P = 2, burada B, köşe sayısı, G, yüz sayısı, P, çokyüzlünün kenar sayısıdır.

Ancak böyle bir bağımlılığı ilk fark eden Descartes oldu.

Bu nedenle T.E. çokyüzlüler için buna Descartes-Euler teoremi demek tarihsel olarak daha doğrudur.

B + G – P sayısına çokyüzlünün Euler karakteristiği denir.

T.E. aynı zamanda kapalı grafikler için de geçerlidir. Thales teoremi Orantılı bölümlerle ilgili temel geometri teoremlerinden biri. Açının kenarlarından birinde tepe noktasından itibaren eşit bölümler ardı ardına yerleştirilirse ve bu bölümlerin açının ikinci tarafıyla kesişen uçlarından paralel çizgiler çizilirse, ikinci tarafa da eşit bölümler döşeneceğini belirtir. açının tarafı.

T.F.'nin özel bir durumu. Bir üçgenin orta çizgisinin bazı özelliklerini ifade eder. Fermat'ın Son Teoremi P. Fermat'ın xn + yn = zn denkleminin (burada n ikiden büyük bir tamsayıdır) pozitif tamsayılarda çözümü olmadığını ifade etmesi. P. Fermat'ın şaşırtıcı bir B.F.T kanıtı bulmayı başardığını söylemesine rağmen. yer sıkıntısı nedeniyle alıntı yapmıyor (bu açıklama P. Fermat tarafından Diophantus'un kitabının kenarlarında yazılmıştır), yakın zamana kadar (90'ların ortası) W.T.F. genel anlamda kanıtlanmamıştır. FERMA'NIN KÜÇÜK TEOREMİ Euler teoreminin m=p modülü bir asal sayı olduğunda özel bir durumu.

M.T.F. şu şekilde formüle edilir: eğer p bir asal sayı ise ap=a(mod p). a'nın p'ye bölünememesi durumunda M.T.F. şu şekildedir: ap-1=1(mod p). M.T.F. Fransız bilim adamı Pierre Fermat tarafından keşfedildi. HÖLDER EŞİTSİZLİĞİ Sonlu toplamlar için şu şekildedir: , veya integral formda: , burada p > 1 ve. N.G. matematiksel analizlerde sıklıkla kullanılır.

N.G. Cauchy'nin cebirsel formdaki eşitsizliğinin ve Bunyakovsky'nin integral formdaki eşitsizliğinin bir genellemesidir; N.G. p = 2'de tersine döner. CARDANO FORMÜLÜ Kübik denklemin köklerini katsayıları aracılığıyla ifade eden bir formül: x3+px+q=0 (*). Her kübik denklem (*) formuna indirgenir. şu şekilde yazılır: . Birinci kübik radikalin keyfi bir değerini seçerken, birinci radikalin seçilen değeriyle çarpıldığında (-p/3) veren ikinci radikalin değerini (olası üç arasından) seçmelisiniz. Bu şekilde denklemin (*) üç kökünü de elde ederiz. F.C.'nin kimin sahibi olduğu hala belli değil: G. Cardano, N. Tartaglie veya S. Ferro. F.K. 16. yüzyıla kadar uzanıyor. CAUCHY'NİN EŞİTSİZLİĞİ Sonlu toplamlar için geçerli olan bir eşitsizlik; matematiğin ve matematiksel fiziğin çeşitli alanlarında çok önemli ve en yaygın olarak kullanılan bir eşitsizlik.

İlk olarak 1821 yılında Cauchy tarafından kurulmuştur. N.K.'nin integral benzeri: Rus matematikçi V.Ya. Bunyakovski. MENELUS TEOREMİ Bir doğru ABC üçgeninin kenarlarını veya uzantılarını C', A' ve B' noktalarında kesiyorsa aşağıdaki ilişki geçerlidir: (*) Doğru ABC üçgeninin kenarlarını veya uzantılarını C', A' ve B' noktalarında kesiyorsa, doğru parçalarının oranı pozitif alınır. üçgenin ve eğer çizgi kenarın uzantısıyla kesişiyorsa negatiftir.

Tersi ifade de doğrudur: eğer eşitlik (*) sağlanıyorsa, burada A, B, C üçgenin köşeleridir ve A', B', C' aynı düz çizgi üzerinde yer alır.

T.M, A', B' ve C' üç noktasının tek bir düz çizgi üzerindeki konumu için bir kriter şeklinde formüle edilebilir: 3 A', B' ve C' noktasının aynı düz çizgi üzerinde yer alması için, A, B, C üçgenin köşeleri olmak üzere ve A', B', C' sırasıyla BC, AC ve AB doğrularına ait olmak üzere ilişkinin sağlanması (*) gerekli ve yeterlidir. T.M., eski Yunan bilim adamı Menelaus (1. yüzyıl) tarafından küresel bir üçgen için kanıtlandı ve görünüşe göre Öklid (M.Ö. 3. yüzyıl) tarafından biliniyordu. T.M daha genel Carnot teoreminin özel bir durumudur. MINKOWSKI EŞİTSİZLİĞİ Sayıların p'inci kuvvetleri için bir eşitsizlik; şu şekildedir; burada p>1 tamsayısı ve ak ve bk negatif olmayan sayılardır.

N.M. bir üçgenin bir kenarının uzunluğunun diğer iki kenarının uzunluklarının toplamından büyük olmadığını belirten, iyi bilinen "üçgen eşitsizliğinin" bir genellemesidir; n boyutlu bir uzay için x=(x1, x2, …, xn) ve y=(y1, y2, …, yn) noktaları arasındaki mesafe N.M sayısıyla belirlenir. 1896 yılında Alman matematikçi G. Minkowski tarafından kurulmuştur. MOHLWEIDE FORMÜLLERİ Bir üçgenin kenarları (uzunlukları) ve açıları arasındaki aşağıdaki ilişkiyi ifade eden düzlem trigonometri formülleri: ; burada a, b, c kenarları ve A, B, C üçgenin açılarıdır.

F.M. Bu formüller diğer matematikçiler tarafından da bilinmesine rağmen, ismini bunları kullanan Alman matematikçi K. Molweide'den almıştır. NEWTON'UN BİNOMİSİ Bir a + b binomunun negatif olmayan tamsayı kuvvetini kuvvetlerinin toplamı olarak ifade eden formülün adı. şartları.

B.N. şu forma sahiptir: burada Cnk, n elemanın k ile kombinasyon sayısına eşit binom katsayılarıdır, yani. veya. Farklı n=0, 1, 2, … için binom katsayılarını ardışık çizgilerle yazarsak Pascal üçgenine ulaşırız. Rasgele bir gerçek sayı durumunda (ve yalnızca negatif olmayan bir tam sayı değil) B.N. bir binom serisine genelleştirilir ve terim sayısının ikiden daha büyük bir sayıya çıkarılması durumunda - bir polinom teoremine dönüştürülür. k terimlerin toplamının yükseltilmesi durumu için Newton binom formülünün genelleştirilmesi (k>). 2) negatif olmayan bir tamsayı kuvvetine n: , burada sağ taraftaki toplam, negatif olmayan a1, a2, …, ak toplamlarının n'ye kadar olan tüm olası tamsayı koleksiyonlarına genişletilir. A(n)a1, a2, …,ak katsayılarına polinom denir ve şu şekilde ifade edilir: k=2 olduğunda polinom katsayıları binom katsayıları haline gelir.

POLKE TEOREMİ Şu şekilde formüle edilir: aynı düzlemde uzanan ve ortak bir noktadan birbirlerine rastgele açılarda çıkan keyfi uzunluktaki üç parça, i, j, k uzaysal ortogonal çerçevesinin paralel izdüşümü olarak alınabilir ( |i| = |j| =| k|). Teorem, Alman geometri uzmanı K. Polke (1860) tarafından kanıt olmadan formüle edildi ve daha sonra temel kanıtını veren Alman matematikçi G. Schwarz tarafından genelleştirildi.

Polke-Schwartz teoremi şu şekilde formüle edilebilir: Dejenere olmayan herhangi bir dörtgen, köşegenleriyle birlikte, verilen herhangi bir tetrahedronun paralel izdüşümü olarak düşünülebilir.

T.P. büyük pratik öneme sahiptir (köşegenleriyle birlikte herhangi bir dörtgen, örneğin normal bir tetrahedronun görüntüsü olarak alınabilir) ve aksonometrinin ana teoremlerinden biridir. PTOLEMY TEOREMİ Kenarlar ve kenarlar arasındaki ilişkiyi kuran temel geometri teoremi. bir daire içine yazılmış bir dörtgenin köşegenleri: bir daire içine yazılmış herhangi bir dışbükey dörtgende, köşegenlerin çarpımı karşıt kenarlarının çarpımlarının toplamına eşittir, yani. eşitlik geçerlidir: AC*BD = AB*CD + BC*AD Vb. Adını bu teoremi kanıtlayan antik Yunan bilim adamı Claudius Ptolemy'den almıştır.

T.P. Temel geometri problemlerini çözerken, sinüslerin eklenmesi teoreminin özel bir durumunu kanıtlarken kullanılır SIMPSON FORMÜLÜ İki paralel tabanlı cisimlerin hacimlerini hesaplamak için formül: burada Qн alt tabanın alanıdır, Qв üst taban alanı, Qс vücudun orta bölümünün alanıdır. Burada bir cismin ortalama kesiti, cismin taban düzlemlerine paralel ve bu düzlemlere eşit mesafede bulunan bir düzlemle kesişmesinden elde edilen şekil olarak anlaşılmaktadır.

h vücudun yüksekliğini ifade eder. F.S.'den, özel bir durum olarak, okulda incelenen cisimlerin hacimleri (kesik piramit, silindir, küre vb.) için iyi bilinen birçok formül elde edilir. SİNÜS TEOREMİ Rasgele bir üçgenin a, b, c kenarları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi kuran bir düzlem trigonometri teoremi: burada R, üçgenin etrafında çevrelenen dairenin yarıçapıdır.

Küresel trigonometri için T.S. analitik olarak şu şekilde ifade edilir: . STEWART TEOREMİ şu şekildedir: Eğer A, B, C bir üçgenin üç köşesiyse ve D, BC kenarında herhangi bir noktaysa, aşağıdaki ilişki geçerlidir: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T .İLE. Adını bunu kanıtlayan ve “Bazı Genel Teoremler” (1746, Edinburgh) adlı eserinde yayınlayan İngiliz matematikçi M. Stewart'tan almıştır. Teorem, Stewart'a öğretmeni R. Simson tarafından anlatıldı ve o da bu teoremi ancak 1749'da yayınladı. Üçgenlerin kenarortaylarını ve açıortaylarını bulmak için kullanılır.

TANGENT TEOREMİ (REGIOMONTAN FORMÜLÜ) Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları ile karşılarındaki açıların yarı toplamı ve yarı farkının teğetleri arasındaki ilişkiyi kuran düzlem trigonometri formülü. şu şekle sahiptir: burada a, b üçgenin kenarlarıdır, A, B sırasıyla bu kenarların karşısındaki açılardır. T.T. bu formülü kuran Alman gökbilimci ve matematikçi Johannes Müller'in (Latince Regiomontanus'ta) anısına Regiomontanus formülü olarak da adlandırılmıştır. J. Müller'e "Königsberger" adı verildi: Almanca'da König kral, Berg dağ, Latince'de ise "kral" ve "dağ" tam halinde regis ve montis'tir.

Dolayısıyla “Regiomontan”, I. Muller'in Latince soyadıdır. “Matematiksel Terimlerin Açıklayıcı Sözlüğü”, O.V. VADIMSOFT-BEST'TE Manturov FORMÜLLERİ VE TEOREMLERİ. NAROD.RU.

Alınan materyalle ne yapacağız:

Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:

3. Sarışınlar denklemleri böyle çözer!

Birkaç yıl önce yaptığım bu yazı muhtemelen bunun en kısa kanıtıdır... 2 = 3. Üzerine bir ayna koyun (ya da ışıktan bakın), "iki"nin nasıl döndüğünü göreceksiniz. “üç” e bölün

Başka bir alışılmadık formül:

on bir + iki = on iki + bir.

İngilizce'de 11 + 2 = 12 + 1 eşitliğinin, kelimelerle yazılsa bile doğru olduğu ortaya çıktı - sol ve sağdaki harflerin "toplamı" aynı! Bu, bu eşitliğin sağ tarafının solun bir anagramı olduğu, yani harflerin yeniden düzenlenmesiyle ondan elde edildiği anlamına gelir.

Daha az ilgi çekici olmasına rağmen benzer gerçek eşitlikler Rusça'da da elde edilebilir:

on beş + altı = on altı + beş.

1960'tan 1970'e kadar, "Moskova Özel Votkası" adı verilen ana ulusal içeceğin maliyeti: yarım litre 2,87 ve çeyrek litre 1,49. Bu rakamlar muhtemelen SSCB'nin neredeyse tüm yetişkin nüfusu tarafından biliniyordu. Sovyet matematikçiler, yarım litrenin fiyatı çeyrek fiyatına eşit bir güce yükseltildiğinde "Pi" sayısının elde edildiğini fark ettiler:

1,49 2,87 ??

(B. S. Gorobets tarafından rapor edilmiştir).

Kitabın ilk baskısının yayınlanmasından sonra, Moskova Devlet Üniversitesi Kimya Fakültesi Doçenti Leenzon I. A. bana bu formülle ilgili şu ilginç yorumu gönderdi: “... yıllar önce, hesap makinelerinin olmadığı zamanlarda ve Fizik bölümünde sürgülü hesap cetveli üzerinde zorlu bir test yaptık (!) (hareketli cetveli kaç kez sola ve sağa hareket ettirmeniz gerekiyor?), ben, babamın en doğru tablolarının yardımıyla (o bir kadastrocuydu, hayatı boyunca yüksek jeodezi sınavı hayal etmişti), kırk dokuz rupinin iki seksen yedi kuvvetinin 3, 1408'e eşit olduğunu öğrendi. Bu beni tatmin etmedi. Sovyet Devlet Planlama Komitemiz bu kadar kaba davranamazdı. Kirovskaya konusunda Ticaret Bakanlığı ile yapılan istişareler, ulusal ölçekte tüm fiyat hesaplamalarının yüzde bir kuruş doğrulukla yapıldığını gösterdi. Ancak gizliliği öne sürerek bana kesin rakamları söylemeyi reddettiler (o zaman beni şaşırttı - bir kuruşun onda biri ve yüzde biri kadar ne tür bir gizlilik olabilir). 1990'ların başında arşivlerden, o zamana kadar özel bir kararnameyle gizliliği kaldırılan votkanın maliyetine ilişkin kesin rakamlar elde etmeyi başardım. Ve sonuç şu oldu: çeyrek: 1 ruble 49,09 kopek. Satışta - 1,49 ruble. Yarım litre: 2 ruble 86,63 kopek. Satışta - 2,87 ruble. Bir hesap makinesi kullanarak, bu durumda yarım litrenin çeyreğinin (5 anlamlı rakama yuvarlandıktan sonra) tam olarak 3,1416 verdiğini kolayca öğrendim! En popüler içeceğin tahmini maliyetini önceden bilinen bir sonuca göre özel olarak ayarlayan (bundan bir an bile şüphe duymuyorum) Sovyet Devlet Planlama Komitesi çalışanlarının matematiksel yeteneklerine ancak hayret edilebilir.

Bu bilmecede okuldan ünlü hangi matematikçi şifrelendi?

Bir matematikçi, fizikçi ve mühendise şu problem verildi: “Bir erkek ve bir kız, salonun karşıt duvarlarında duruyor. Bir noktada birbirlerine doğru yürümeye başlarlar ve her on saniyede bir aralarındaki mesafenin yarısını kat ederler. Soru şu; birbirlerine ulaşmaları ne kadar zaman alacak?”

Matematikçi tereddüt etmeden cevap verdi:

Asla.

Fizikçi biraz düşündükten sonra şöyle dedi:

Sonsuz zaman boyunca.

Mühendis, uzun hesaplamalardan sonra şunu yayınladı:

Yaklaşık iki dakika sonra tüm pratik amaçlar için yeterince yakın olacaklar.

Adil seksin büyük aşığı Landau'ya atfedilen aşağıdaki keskin formül, ünlü Landauved Profesör Gorobets tarafından dikkatimi çekti.

MSUIE Doçenti A.I. Zyulkov'un bize söylediği gibi, Landau'nun kadın çekiciliğinin bir göstergesi için aşağıdaki formülü elde ettiğini duydu:

Nerede k- göğüs çevresi; M- kalçalarda; N- belde, T- yükseklik, tamamı cm cinsinden; P- kg cinsinden ağırlık.

Yani, modelin (1960'lar) parametrelerini yaklaşık olarak alırsak: 80-80-60-170-60 (yukarıdaki değer dizisinde), o zaman formüle göre 5 elde ederiz. anti-model”, örneğin: 120 -120-120-170-60, o zaman 2 elde ederiz. Kabaca söylemek gerekirse, “Landau formülü” bu okul notları aralığında işe yarar.

(Kitaptan alıntı: Gorobets B. Landau çemberi. Bir dahinin hayatı. M.: LKI/URSS yayınevi, 2008.)

Dau'ya atfedilen kadın çekiciliğine ilişkin bir başka bilimsel argüman.

Bir kadının çekiciliğini ona olan mesafenin bir fonksiyonu olarak belirleyelim. Argüman sonsuz olduğunda bu fonksiyon sıfır olur. Öte yandan sıfır noktasında da sıfırdır (dokunsal çekicilikten değil, dış çekicilikten bahsediyoruz). Lagrange teoremine göre bir parçanın uçlarında sıfır değer alan negatif olmayan sürekli bir fonksiyon bu parça üzerinde maksimuma sahiptir. Buradan:

1. Bir kadının en çekici olduğu mesafe vardır.

2. Bu mesafe her kadın için farklıdır.

3. Kadınlarla aranıza mesafe koymalısınız.

Teorem: Bütün atlar aynı renktedir.

Kanıt. Teoremin ifadesini tümevarımla kanıtlayalım.

Şu tarihte: N= 1 yani bir attan oluşan bir küme için ifadenin doğru olduğu açıktır.

Teoremin doğru olmasına izin verin N = k. için de doğru olduğunu kanıtlayalım. N = k+ 1. Bunu yapmak için keyfi bir dizi düşünün k+ 1 at. Eğer ondan bir atı çıkarırsanız, o zaman sadece k. Tümevarım hipotezine göre hepsi aynı renktedir. Şimdi kaldırılan atı yerine geri koyalım ve başka bir at alalım. Yine tümevarım hipotezine göre bunlar k geri kalan atlar aynı renktedir. Ama sonra hepsi bu k+1 at aynı renk olacaktır.

Dolayısıyla matematiksel tümevarım ilkesine göre tüm atlar aynı renktedir. Teorem kanıtlandı.

Matematiksel yöntemlerin zoolojiye uygulanmasının bir başka harika örneği.

Teorem: Timsah genişliğinden daha uzundur.

Kanıt. Rasgele bir timsah alalım ve iki yardımcı lemmayı kanıtlayalım.

Lemma 1: Timsah yeşil olandan daha uzundur.

Kanıt. Timsah'a yukarıdan bakalım - uzun ve yeşil. Timsaha aşağıdan bakalım - uzun, ama o kadar da yeşil değil (aslında koyu gri).

Bu nedenle Lemma 1 kanıtlanmıştır.

Lemma 2: Timsah geniş olandan daha yeşildir.

Kanıt. Timsah'a tekrar yukarıdan bakalım. Yeşil ve geniştir. Timsahın yandan bakalım: yeşil ama geniş değil. Bu Lemma 2'yi kanıtlıyor.

Teoremin ifadesi açıkça kanıtlanmış lemmalardan kaynaklanmaktadır.

Tersi teorem (“Bir timsah uzundan daha geniştir”) benzer şekilde kanıtlanabilir.

İlk bakışta her iki teoremden de timsahın kare olduğu anlaşılıyor. Ancak formülasyonlarındaki eşitsizlikler katı olduğundan gerçek bir matematikçi tek doğru sonucu çıkaracaktır: TİMSAHLAR VAR DEĞİLDİR!

Teorem: Tüm doğal sayılar birbirine eşittir.

Kanıt. Herhangi iki doğal sayı için bunu kanıtlamak gerekir A Ve B eşitlik sağlandı A = B. Bunu şu şekilde yeniden formüle edelim: herhangi biri için N> 0 ve herhangi biri A Ve B, eşitliği sağlayan max( A, B) = N eşitlik de sağlanmalı A = B.

Bunu tümevarımla kanıtlayalım. Eğer N= 1 ise A Ve B doğal olduğundan her ikisi de 1'e eşittir. Bu nedenle A = B.

Şimdi bu ifadenin bir değer taşıdığının kanıtlandığını varsayalım. k. Hadi alalım A Ve Böyle ki maksimum( A, B) = k+ 1. Sonra maksimum( A–1, B–1) = k. Tümevarım hipotezine göre şu sonuca varır: ( A–1) = (B-1). Araç, A = B.

Dilbilimsel ve matematiksel bulmacaların hayranları muhtemelen dönüşlü veya kendini tanımlayan (kötü bir şey düşünmeyin), kendine gönderme yapan kelimeleri, cümleleri ve sayıları biliyorlardır. İkincisi, örneğin, 2100010006 sayısını içerir; burada ilk rakam, bu sayının kaydındaki birlerin sayısına eşittir, ikincisi - ikilerin sayısı, üçüncüsü - üçlerin sayısı, ..., onuncu - sıfır sayısı.

Kendini tanımlayan kelimeler arasında örneğin şu kelime yer alır: yirmi bir mektup, birkaç yıl önce benim tarafımdan icat edildi. Aslında 21 harften oluşuyor!

Kendini tanımlayan pek çok ifade vardır. Rusça'daki ilk örneklerden biri, yıllar önce ünlü karikatürist ve sözlü esprili Vagrich Bakhchanyan tarafından icat edildi: Bu cümlede otuz iki harf var. İşte çok daha sonra icat edilen birkaç tane daha: 1. On yedi harf. 2. Bu cümlenin sonunda hata var. 3. Bu cümle yedi kelime daha kısa olsaydı yedi kelime olurdu. 4. Okumayı bitirene kadar beni okuyacağın için benim kontrolüm altındasın. 5. ...Bu cümle üç noktayla başlıyor ve bitiyor..

Daha karmaşık tasarımlar da var. Örneğin bu canavara hayran kalın (bkz. S. Tabachnikov’un “Kvant” dergisindeki “Rahibin bir köpeği vardı” notu, No. 6, 1989): Bu cümlede “in” kelimesi iki defa, “this” kelimesi iki defa, “phrase” kelimesi iki defa, “meydana gelir” kelimesi on dört defa, “word” kelimesi on dört defa ve “word” kelimesi iki defa geçmektedir. "raz" kelimesi altı defa, "raza" kelimesi dokuz defa, "iki" kelimesi yedi defa, "on dört" kelimesi üç defa, "üç" kelimesi üç defa, "dokuz" kelimesi iki defa geçmektedir. , “yedi” kelimesi iki kez geçiyor, iki “altı” kelimesi birkaç kez geçiyor.

I. Akulich, Kvant'ta yayınlandıktan bir yıl sonra, yalnızca içerdiği kelimeleri değil, aynı zamanda noktalama işaretlerini de açıklayan, kendini tanımlayan bir ifade buldu: Okuduğunuz cümle şunları içeriyor: iki kelime “Cümle”, iki kelime “hangi”, iki kelime “Sen”, iki kelime “oku”, iki kelime “içerir”, yirmi beş kelime “kelimeler”, iki kelime “kelimeler” , iki kelime "iki nokta üst üste", iki kelime "virgül", iki kelime "by", iki kelime "sol", iki kelime "ve", iki kelime "sağ", iki kelime "tırnak", iki kelime "a", iki "ayrıca" kelimesi, iki kelime "nokta", iki kelime "bir", iki kelime "bir", yirmi iki kelime "iki", üç kelime "üç", iki kelime "dört", üç kelime "beş", dört kelime “yirmi”, iki kelime “otuz”, bir iki nokta üst üste, otuz virgül, yirmi beş sol ve sağ tırnak işareti ve bir nokta.

Sonunda, birkaç yıl sonra, aynı "Kvant" da A. Khanyan'ın, tüm harflerini titizlikle tanımlayan bir cümlenin verildiği bir notu ortaya çıktı: Bu ifadede on iki V, iki E, on yedi T, üç O, iki Y, iki F, yedi R, on dört A, iki 3, on iki E, on altı D, yedi H, yedi C, on üç B, sekiz C, altı M, beş I, iki H, iki S, üç I, üç Sh, iki P.

Daha önce bahsedilen canavarlardan birini doğuran I. Akulich bana özel bir mektupta, "Bir cümlenin daha eksik olduğu açıkça hissediliyor - tüm harflerini ve noktalama işaretlerini anlatacak bir cümle" diye yazdı. Belki okuyucularımızdan biri bu çok zor sorunu çözecektir.

Önceki konunun devamında dönüşlü paradokslardan bahsetmekte fayda var.

J. Littlewood'un daha önce bahsettiğimiz "Matematiksel Karışım" adlı kitabında haklı olarak "tüm dönüşlü paradoksların elbette mükemmel şakalar olduğu" söyleniyor. Ayrıca bunlardan alıntı yapmama izin vereceğim iki tane var:

1. On altı kelimeden daha kısa ifadelerle ifade edilemeyecek (pozitif) tamsayılar bulunmalıdır. Herhangi bir pozitif tam sayı kümesi en küçük sayıyı içerir ve bu nedenle bir sayı vardır N, "On altı kelimeden daha az bir kelime öbeğiyle belirtilmeyen en küçük tam sayı." Ancak bu ifade 15 kelime içerir ve şunları tanımlar: N.

2. Dergide Seyirci“Sabah gazetenizi açtığınızda en çok neyi okumaktan hoşlanırsınız?” konulu bir yarışma açıklandı. Birincilik ödülü şu cevabı aldı:

Bu yılın ikinci yarışmasında birincilik ödülü, esprili cevabı kolaylıkla en iyi olarak değerlendirilebilecek olan Bay Arthur Robinson'a verildi. “Sabah gazetenizi açtığınızda en çok neyi okumaktan hoşlanırsınız?” sorusuna verdiği yanıt: "İkinci yarışmamız" başlığını taşıyordu ancak kağıt kısıtlamalarından dolayı tam olarak basamıyoruz.

O kadar muhteşem cümleler var ki, soldan sağa, sağdan sola aynı okunuyor. Herkes bir şeyi kesin olarak biliyor: Ve gül Azor'un pençesine düştü. Kaprisli Malvina tarafından cahil Pinokyo'nun diktesinde yazması istenen kişi oydu. Bu tür karşılıklı ifadelere palindrom adı verilir ve Yunancadan çevrildiğinde "geri koşmak, geri dönmek" anlamına gelir. İşte birkaç örnek daha: 1. Lilliput yayın balığı köprüde kesiliyor. 2. banyoya tırmanıyorum. 3. Tapınağa uzandı ve baş melek muhteşem ve görünmez. 4. Patlıcanın üzerine yaban domuzu bastırıldı. 5. Tecrübenin darbesiyle yaralanan Muse, mantık için dua edeceksin. (D. Avaliani). 6. Elimle nadiren sigara izmaritini tutarım... (B.Goldstein) 7. Süt kokusu aldığımda miyavlıyorum. (G. Lukomnikov). 8. O bir söğüt, ama o bir kütük. (S.F.)

Acaba matematikte palindromlar var mı? Bu soruyu cevaplamak için karşılıklı, simetrik okuma fikrini sayılara ve formüllere aktarmaya çalışalım. O kadar da zor olmadığı ortaya çıktı. Bu palindromik matematiğin sadece birkaç tipik örneğine bakalım: palindromatik. Palindromik sayıları bir kenara bırakırsak - örneğin, 1991 , 666 vesaire. - hemen simetrik formüllere dönelim.

Önce şu problemi çözmeye çalışalım: Böyle iki basamaklı sayıların tüm çiftlerini bulun

(X 1 - ilk rakam, sen 1 - ikinci rakam) ve

böylece toplamın sağdan sola okunması sonucunda toplamalarının sonucu değişmez, yani.

Örneğin 42 + 35 = 53 + 24.

Sorun önemsiz bir şekilde çözülebilir: tüm bu sayı çiftlerinin ilk rakamlarının toplamı, ikinci rakamlarının toplamına eşittir. Artık benzer örnekleri kolayca oluşturabilirsiniz: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 vb.

Benzer şekilde akıl yürüterek aynı problem diğer aritmetik işlemler için de kolaylıkla çözülebilir.

Farklılık durumunda, yani.

şu örnekler elde edilir: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - bu sayıların rakamlarının toplamları eşittir ( X 1 + e 1 =x 2 + e 2 ).

Çarpma durumunda elimizde: 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - bu durumda sayıların ilk rakamlarının çarpımı N 1 Ve N 2 ikinci rakamlarının çarpımına eşit ( X 1 X 2 = y 1 sen 2 ).

Son olarak bölme işlemi için aşağıdaki örnekleri alırız:

Bu durumda sayının ilk rakamının çarpımı N 1 sayının ikinci hanesine N 2 diğer iki rakamının çarpımına eşittir, yani. X 1 sen 2 =x 2 sen 1 .

"Azgelişmiş sosyalizm" çağında ortaya çıkan aşağıdaki "teoremin" kanıtı, Komünist Partinin rolüne ilişkin o yılların popüler tezlerine dayanmaktadır.

Teorem. Partinin rolü olumsuzdur.

Kanıt. Şu iyi bilinmektedir:

1. Partinin rolü sürekli artıyor.

2. Komünizmde sınıfsız bir toplumda partinin rolü sıfır olacaktır.

Böylece 0'a doğru sürekli artan bir fonksiyonumuz olur. Dolayısıyla negatiftir. Teorem kanıtlandı.

Aşağıdaki problemin görünüşte saçma olmasına rağmen, yine de tamamen kesin bir çözümü var.

Görev. Anne oğlundan 21 yaş büyüktür. Altı yıl sonra yaşının beş katı olacak. Soru şu: BABA NEREDE?!

Çözüm. İzin vermek X- oğlunun yaşı ve e- annenin yaşı. Daha sonra problem koşulu iki basit denklemden oluşan bir sistem olarak yazılır:

Değiştirme e = X+21 ikinci denklemde 5 elde ederiz X + 30 = X+ 21 + 6, nereden X= –3/4. Böylece oğul şimdi eksi 3/4 yaşında, yani. eksi 9 ay. Bu, babanın şu anda annenin üstünde olduğu anlamına geliyor!

İronik ifade "Madem bu kadar akıllısın, o zaman neden bu kadar fakirsin?" Çok iyi biliniyor ve ne yazık ki birçok insan için geçerli. Bu üzücü olgunun, aynı derecede tartışılmaz gerçeklere dayanan katı bir matematiksel gerekçeye sahip olduğu ortaya çıktı.

Yani, iki iyi bilinen varsayımla başlayalım:

Varsayım 1: Bilgi = Güç.

Varsayım 2: Zaman = Para.

Ayrıca, herhangi bir okul çocuğu bunu bilir

Yol s = Hız x Zaman = İş: Kuvvet,

İş: Zaman = Kuvvet x Hız (*)

Her iki önermedeki “zaman” ve “kuvvet” değerlerini (*) ile değiştirerek şunu elde ederiz:

İş: (Bilgi x Hız) = Para (**)

Ortaya çıkan eşitlikten (**) “bilgiyi” veya “hızı” sıfıra yönlendirerek herhangi bir “iş” karşılığında istediğimiz kadar para alabileceğimiz açıktır.

Dolayısıyla sonuç: Bir kişi ne kadar aptal ve tembel olursa, o kadar çok para kazanabilir.

Birkaç yıl önce, "Bilim ve Yaşam" (No. 1, 2000) dergisi, Profesör B. Gorobets'in, okuyucular arasında büyük ilgi uyandıran, Akademisyen Landau'nun seyahat ederken can sıkıntısını önlemek için icat ettiği harika bulmaca oyununa adanmış bir notunu yayınladı. araba. Yoldan geçen arabaların plakalarının rastgele sayı sensörü görevi gördüğü (o zamanlar bu sayılar iki harf ve iki çift sayıdan oluşuyordu) bu oyunu oynamaya sık sık arkadaşlarını davet ediyordu. Oyunun özü, bir ve aynı sonuca ulaşmak için aritmetik işlemlerin işaretlerini ve temel fonksiyonların sembollerini (örneğin +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg, vb.) kullanmaktı. geçen arabanın numarasından bu iki iki basamaklı sayı anlamına gelir. Bu durumda faktöriyel () kullanılmasına izin verilir. N! = 1 x 2 x ... x N), ancak sekant, kosekant ve farklılaşma kullanımına izin verilmez.

Örneğin 75-33 çifti için istenen eşitlik şu şekilde elde edilir:

ve 00–38 çifti için - şöyle:

Ancak tüm sorunlar bu kadar basit bir şekilde çözülmez. Bunlardan bazıları (örneğin 75-65) oyunun yazarı Landau'nun yeteneğinin ötesindeydi. Bu nedenle, herhangi bir sayı çiftini "çözmenize" olanak tanıyan bazı evrensel yaklaşımlar, bazı tek formüllerle ilgili soru ortaya çıkıyor. Aynı soruyu Landau ve öğrencisi Prof. Kaganov. Özellikle şunu yazıyor: "Plaka üzerinden eşitlik sağlamak her zaman mümkün müdür?" - Landau'ya sordum. "Hayır" diye cevapladı çok kesin bir şekilde. - “Çözümün olmadığı teoremini kanıtladınız mı?” - Şaşırmıştım. "Hayır," dedi Lev Davidovich inançla, "ama tüm rakamlarda başarılı olamadım."

Ancak, Landau'nun yaşamı boyunca bunlardan biri olan bu tür çözümler bulundu.

Kharkovlu matematikçi Yu. Palant sayı çiftlerini eşitlemek için bir formül önerdi.

tekrarlanan kullanım sonucunda herhangi bir sayının daha küçük olanla ifade edilmesine olanak sağlar. Kaganov bu karar hakkında "Landau'nun kanıtını getirdim" diye yazıyor. - "Gerçekten beğendi... ve yarı şaka yarı ciddi bir şekilde bunu bilimsel bir dergide yayınlayıp yayınlamamayı tartıştık."

Ancak Palant'ın formülü artık "yasak" olan sekantı kullanıyor (20 yıldan fazla bir süredir okul müfredatına dahil edilmiyor) ve bu nedenle tatmin edici sayılamaz. Ancak değiştirilmiş bir formül kullanarak bunu kolayca düzeltmeyi başardım

Ortaya çıkan formül (yine gerekirse birkaç kez uygulanması gerekir), herhangi bir sayıyı başka sayılar kullanmadan herhangi bir büyük sayı cinsinden ifade etmenize olanak tanır ve bu da Landau'nun problemini açıkça tüketir.

1. Sayıların arasında sıfır olmasın. Bunlardan iki sayı yapalım ab Ve CD, (bunlar elbette iş değil). Bunu ne zaman gösterelim N ? 6:

günah[( ab)!]° = günah[( CD)!]° = 0.

Aslında günah( N!)° = 0 ise N? 6, çünkü sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Bu durumda 6! ile çarpılarak herhangi bir faktöriyel elde edilir. sonraki tam sayılara: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8 vb., sinüs bağımsız değişkeninde 360°'nin katını vererek onu (ve teğetini de) sıfıra eşitler.

2. Bazı sayı çiftlerinde sıfır olsun. Bunu bitişik rakamla çarpıyoruz ve sayının başka bir kısmındaki sayıdan alınan derece cinsinden faktöriyelin sinüsüne eşitliyoruz.

3. Sayının her iki tarafında da sıfırlar olsun. Bitişik rakamlarla çarpıldığında 0 = 0 önemsiz eşitliğini verirler.

Genel çözümün 2 ve 3 numaralı noktalarda sıfırla çarpılarak üç noktaya bölünmesi sin( N!)°? 0 ise N < 6».

Tabii ki, bu tür genel çözümler Landau'nun oyununu yalnızca soyut ilgiyi temsil eden orijinal çekiciliğinden mahrum bırakıyor. Bu nedenle, evrensel formülleri kullanmadan, tek tek zor sayılarla oynamayı deneyin. İşte bunlardan bazıları: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.

Belirleyiciler hakkında daha fazla bilgi.

Bir zamanlar Makine ve Matematik Fakültesi birinci sınıf öğrencileri arasında paranın “determinantı” oyununun popüler olduğu söylendi. İki oyuncu boş hücreli kağıda 3 x 3'lük bir tanımlayıcı çizer. Daha sonra boş hücrelere 1'den 9'a kadar sayılar tek tek eklenir. Tüm hücreler dolduğunda determinant hesaplanır - işaret dikkate alınarak cevap ilk oyuncunun kazanmasıdır (veya kaybıdır). , ruble cinsinden ifade edilir. Yani, örneğin sayı -23 ise, o zaman ilk oyuncu ikinci 23 rubleyi öder ve eğer 34 ise, tam tersine, ikinci oyuncu ilk 34 rubleyi öder.

Oyunun kuralları şalgam kadar basit olsa da doğru kazanma stratejisini bulmak oldukça zordur.

Bu not bana harika "Ubiquitous Number Pi" kitabının yazarı matematikçi ve yazar A. Zhukov tarafından gönderildi.

İki Moskova üniversitesinde matematik dersi veren Profesör Boris Solomonovich Gorobets, büyük fizikçi Lev Davidovich Landau (1908–1968) - “Landau'nun Çevresi” hakkında bir kitap yazdı. İşte bize Fizik ve Teknolojiye giriş problemlerinden biri hakkında anlattığı ilginç bir hikaye.

Landau'nun meslektaşı ve on ciltlik teorik fizik dersinin ortak yazarı Akademisyen Evgeniy Mihayloviç Lifshitz (1915–1985), 1959'da okul mezunu Bora Gorobets'in Moskova'nın önde gelen fizik üniversitelerinden birine kabul için hazırlanmasına yardımcı oldu.

Moskova Fizik ve Matematik Enstitüsü'ndeki yazılı matematik sınavında şu problem önerildi: “SABC piramidinin tabanında, açısı C = 90°, AB tarafı = l olan bir ABC dik ikizkenar üçgeni yatıyor. Yan yüzler taban düzlemi ile dihedral açılar oluşturur. Piramidin içine yazılan topun yarıçapını bulun.”

Gelecekteki profesör o zaman görevle baş edemedi, ancak durumunu hatırladı ve daha sonra Evgeniy Mihayloviç'e bilgi verdi. Sorunu bir öğrencinin huzurunda çözdüğü için hemen çözemeyince evine götürdü ve akşam arayıp bir saat içinde çözemediği için bu sorunu teklif ettiğini söyledi. Lev Davidovich'e.

Landau, başkaları için zorluk yaratan sorunları çözmeyi seviyordu. Kısa süre sonra Lifshits'i geri aradı ve tatmin olmuş bir şekilde şunları söyledi: “Sorunu çözdüm. Karar vermek tam olarak bir saat sürdü. Zeldovich'i aradım, artık o karar veriyor." Açıklayalım: Kendisini Landau'nun öğrencisi olarak gören ünlü bir bilim adamı olan Yakov Borisovich Zeldovich (1914–1987), o yıllarda çok gizli Sovyet Atom Projesi'nin (tabii ki çok az kişinin bildiği) baş teorik fizikçisiydi. Daha sonra). Yaklaşık bir saat sonra E.M. Lifshits tekrar aradı ve şunları söyledi: Zeldovich onu az önce aradı ve gurur duyarak şunları söyledi: “Sorununuzu çözdüm. Kırk dakikada karar verdim!”

Bu görevi tamamlamanız ne kadar sürer?

Fizik ve Teknoloji mizahı “Zany Scientific Humor” (Moskova, 2000) adlı esprili derlemede pek çok matematik şakası bulunmaktadır. İşte onlardan sadece bir tanesi.

Bir ürünün testi sırasında bir arıza meydana geldi. Ürünün hatasız çalışma olasılığı nedir?

Teorem. Tüm doğal sayılar ilginçtir.

Kanıt. Tam tersini varsayalım. O halde ilginç olmayan en küçük bir doğal sayı olmalıdır. Ha, bu çok ilginç!

1'in değeri yeterince büyük olduğunda 1 + 1 = 3'tür.

E = m c 2 = m(a 2 + b 2).

Öğrencilik hayatımdan gelen bu komik hikaye, olasılık teorisi seminerlerinde bir problem olarak sunulabilir.

Yaz aylarında arkadaşlarımla dağlara yürüyüşe çıktık. Dört kişiydik: Volodya, iki Oleg ve ben. Bir çadırımız ve biri Volodya ve benim için iki kişilik olmak üzere üç uyku tulumumuz vardı. Bu uyku tulumlarında, daha doğrusu çadırdaki konumlarında bir sorun vardı. Gerçek şu ki yağmur yağıyordu, çadır sıkışıktı, yanlardan su sızıyordu ve kenarda yatanlar için pek rahat değildi. Bu nedenle bu sorunu kura kullanarak “dürüstçe” çözmeyi önerdim.

Bakın, Oleg'e, Volodya'ya ve bana kenarda veya ortada çift kişilik yatak alabileceğimizi söyledim. Bu nedenle, bir yazı tura atacağız: "tura" gelirse, çift kişilik yatağımız kenarda, "yazı" ise ortada olacaktır.

Olegler kabul etti, ancak sınırda geçen birkaç geceden sonra (toplam olasılık formülünü kullanarak Volodya ve benim için çadırın kenarında uyumama olasılığının 0,75 olduğunu hesaplamak kolaydır), Olegler bir şeylerin ters gittiğinden şüphelendiler ve anlaşmanın yeniden gözden geçirilmesini önerdi.

Aslında şansların eşit olmadığını söyledim. Aslında çift kişilik yatağımız için üç olasılık var: Sol kenarda, sağda ve ortada. Bu nedenle, her akşam üç çubuktan birini çekeceğiz - eğer kısa olanı çekersek, o zaman çiftimiz ortada olacaktır.

Olegler tekrar kabul etti, ancak bu kez geceyi sınırda geçirme şansımız (şimdi olasılık 0,66, daha kesin olarak üçte iki) her birinin şansına tercih edilebilirdi. İki gecenin sonunda (en iyi oranlar ve şans bizim tarafımızdaydı), Oleg'ler bir kez daha kandırıldıklarını anladılar. Ama sonra, neyse ki yağmurlar durdu ve sorun kendiliğinden ortadan kalktı.

Ama aslında çift kişilik yatağımız her zaman kenarda olmalıydı ve Volodya ve ben her seferinde kimin şanslı olduğunu belirlemek için bozuk para kullanırdık. Olegler de aynısını yapardı. Bu durumda kenarda uyuma şansı herkes için aynı ve 0,5'e eşit olacaktır.

Notlar:

Bazen Jean Charles Francois Sturm hakkında da benzer bir hikaye anlatılır.

Lise öğrencileriyle matematikteki araştırma çalışmaları hakkında konuşurken sıklıkla şunu duyuyorum: "Matematikte ne gibi yeni şeyler keşfedilebilir?" Ama aslında: belki de tüm büyük keşifler yapıldı ve teoremler kanıtlandı?

8 Ağustos 1900'de Paris'teki Uluslararası Matematik Kongresi'nde matematikçi David Hilbert, yirminci yüzyılda çözülmesi gerektiğine inandığı sorunların bir listesini açıkladı. Listede 23 madde vardı. Şu ana kadar bunlardan 21'i çözüldü. Hilbert'in listesindeki çözülmesi gereken son sorun, bilim adamlarının 358 yıldır çözemediği Fermat'ın ünlü teoremiydi. 1994 yılında Britanyalı Andrew Wiles çözümünü önerdi. Bunun doğru olduğu ortaya çıktı.

Geçen yüzyılın sonunda Gilbert örneğini takip eden birçok matematikçi, 21. yüzyıl için benzer stratejik görevleri formüle etmeye çalıştı. Bu listelerden biri Bostonlu milyarder Landon T. Clay sayesinde geniş çapta tanındı. 1998 yılında, onun fonlarıyla Cambridge'de (Massachusetts, ABD) Clay Matematik Enstitüsü kuruldu ve modern matematiğin en önemli problemlerinden bazılarının çözümü için ödüller verildi. 24 Mayıs 2000'de enstitünün uzmanları, ödül için ayrılan milyonlarca doların sayısına göre yedi sorun seçti. Listenin adı Milenyum Ödülü Sorunları:

1. Cook problemi (1971'de formüle edildi)

Diyelim ki büyük bir şirkette çalışıyorsunuz ve arkadaşınızın da orada olduğundan emin olmak istiyorsunuz. Size köşede oturduğunu söylerlerse, bir göz atmanız ve bilginin doğruluğuna ikna olmanız için bir saniye yeterli olacaktır. Bu bilgi olmadan, misafirlere bakarak tüm odayı dolaşmak zorunda kalacaksınız. Bu, bir sorunu çözmenin genellikle çözümün doğruluğunu kontrol etmekten daha uzun sürdüğünü göstermektedir.

Stephen Cook sorunu formüle etti: Doğrulama algoritmasından bağımsız olarak, bir sorunun çözümünün doğruluğunu kontrol etmek, çözümün kendisini elde etmekten daha uzun sürebilir mi? Bu problem aynı zamanda mantık ve bilgisayar bilimleri alanında da çözülemeyen problemlerden biridir. Çözümü, veri iletimi ve depolamasında kullanılan kriptografinin temellerinde devrim yaratabilir.

2. Riemann hipotezi (1859'da formüle edilmiştir)

2, 3, 5, 7 gibi bazı tam sayılar iki küçük tam sayının çarpımı olarak ifade edilemez. Bu tür sayılara asal sayılar denir ve saf matematikte ve uygulamalarında önemli bir rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayı dizileri arasındaki dağılımı herhangi bir düzen izlemez. Ancak Alman matematikçi Riemann, asal sayılar dizisinin özelliklerine ilişkin bir varsayımda bulundu. Riemann Hipotezi kanıtlanırsa, şifreleme bilgimizde devrim niteliğinde bir değişime ve İnternet güvenliğinde benzeri görülmemiş bir ilerlemeye yol açacaktır.

3. Birch ve Swinnerton-Dyer hipotezi (1960'ta formüle edilmiştir)

Tamsayı katsayılı çeşitli değişkenlerdeki bazı cebirsel denklemlerin çözüm kümesinin açıklamasıyla ilişkilidir. Böyle bir denklemin örneği x2 + y2 = z2 ifadesidir. Öklid bu denklemin çözümlerinin tam bir tanımını verdi, ancak daha karmaşık denklemler için çözüm bulmak son derece zorlaşıyor.

4. Hodge'un hipotezi (1941'de formüle edildi)

20. yüzyılda matematikçiler karmaşık nesnelerin şeklini incelemek için güçlü bir yöntem keşfettiler. Ana fikir, nesnenin kendisi yerine birbirine yapıştırılan ve benzerliğini oluşturan basit "tuğlalar" kullanmaktır. Hodge'un hipotezi, bu tür "yapı taşları" ve nesnelerin özelliklerine ilişkin bazı varsayımlarla ilişkilidir.

5. Navier - Stokes denklemleri (1822'de formüle edilmiştir)

Gölde tekneyle seyrederseniz dalgalar oluşacak, uçakla uçarsanız havada türbülanslı akıntılar oluşacaktır. Bu ve diğer olayların Navier-Stokes denklemleri olarak bilinen denklemlerle tanımlandığı varsayılmaktadır. Bu denklemlerin çözümleri bilinmiyor, hatta nasıl çözüleceği bile bilinmiyor. Bir çözümün var olduğunu ve yeterince düzgün bir fonksiyon olduğunu göstermek gerekir. Bu sorunun çözülmesi, hidro ve aerodinamik hesaplamaların yapılma yöntemlerini önemli ölçüde değiştirecektir.

6. Poincaré problemi (1904'te formüle edildi)

Bir elmanın üzerine paket lastiği çekerseniz, bandı yüzeyden kaldırmadan yavaşça hareket ettirerek bir noktaya kadar sıkıştırabilirsiniz. Öte yandan, aynı lastik bant bir çörek etrafına uygun şekilde gerilirse, bandı yırtmadan veya çörek kırmadan bandı bir noktaya kadar sıkıştırmanın bir yolu yoktur. Bir elmanın yüzeyinin basit bir şekilde bağlantılı olduğunu, ancak çörek yüzeyinin öyle olmadığını söylüyorlar. Sadece kürenin basit bir şekilde bağlantılı olduğunu kanıtlamanın o kadar zor olduğu ortaya çıktı ki matematikçiler hala doğru cevabı arıyor.

7. Yang-Mills denklemleri (1954'te formüle edilmiştir)

Kuantum fiziğinin denklemleri temel parçacıkların dünyasını tanımlar. Geometri ile parçacık fiziği arasındaki bağlantıyı keşfeden fizikçiler Young ve Mills, denklemlerini yazdılar. Böylece elektromanyetik, zayıf ve güçlü etkileşim teorilerini birleştirmenin bir yolunu buldular. Yang-Mills denklemleri, aslında dünyanın her yerindeki laboratuvarlarda gözlemlenen parçacıkların varlığını ima ediyordu, dolayısıyla Yang-Mills teorisi, bu teori çerçevesinde parçacıkların parçacıklarını tahmin etmenin hâlâ mümkün olmamasına rağmen çoğu fizikçi tarafından kabul ediliyor. temel parçacıkların kütleleri.

Büyük bir olay

Yeni Yıl bülteninde nasıl tost yapılacağına dair bir kez, yirminci yüzyılın sonunda pek çoğunun fark etmediği büyük bir olayın gerçekleştiğinden tesadüfen bahsetmiştim - sözde Fermat'ın Son Teoremi. Bununla ilgili olarak aldığım mektuplar arasında kızlardan iki yanıt buldum (hatırladığım kadarıyla bunlardan biri Zelenograd'dan dokuzuncu sınıf öğrencisi Vika idi), bu gerçeğe şaşırdılar.

Ve kızların modern matematiğin problemlerine bu kadar ilgi duymalarına şaşırdım. Bu nedenle sadece kızların değil, lise öğrencilerinden emeklilere kadar her yaştan erkek çocuğunun da Büyük Teoremin tarihini öğrenmekle ilgileneceğini düşünüyorum.

Fermat teoreminin ispatı büyük bir olaydır. Ve çünkü "Harika" kelimesiyle şaka yapmak alışılmış bir şey değil ama bana öyle geliyor ki, kendine saygısı olan her konuşmacı (ve konuştuğumuzda hepimiz konuşmacıyız) teoremin tarihini bilmekle yükümlüdür.

Eğer matematiği benim sevdiğim kadar sevmiyorsanız o zaman bazı ayrıntılara göz atın. Bültenimizin tüm okuyucularının matematik ormanında gezinmekle ilgilenmediğini anladığım için herhangi bir formül vermemeye (Fermat teoreminin denklemi dışında) ve bazı spesifik konuların kapsamını mümkün olduğunca basitleştirmeye çalıştım.

Fermat ortalığı nasıl karıştırdı?

17. yüzyılın Fransız hukukçusu ve yarı zamanlı büyük matematikçisi Pierre Fermat (1601-1665), sayı teorisi alanından, daha sonra Fermat'ın Büyük (veya Büyük) Teoremi olarak bilinen ilginç bir ifadeyi öne sürdü. Bu en ünlü ve olağanüstü matematik teoremlerinden biridir. Muhtemelen, Fermat'ın sık sık çalıştığı, geniş kenar boşluklarına notlar aldığı ve oğlu Samuel'in gelecek nesiller için nezaketle sakladığı İskenderiyeli Diophantus'un (III. Yüzyıl) “Aritmetik” kitabında, etrafındaki heyecan bu kadar güçlü olmazdı. Büyük matematikçinin yaklaşık olarak aşağıdaki notu keşfedilmemişti:

"Elimde çok şaşırtıcı bazı deliller var ama bunlar kenar boşluklarına sığmayacak kadar büyük."

Teorem etrafında daha sonra ortaya çıkan devasa yaygaranın nedeni de bu kayıttı.

Böylece ünlü bilim adamı teoremini kanıtladığını ilan etti. Kendimize soralım: Gerçekten bunu kanıtladı mı, yoksa sadece yalan mı söyledi? Yoksa sonraki nesillerin pek çok matematikçisinin huzur içinde uyumasına izin vermeyen bu notun kenarlarda görünmesini açıklayan başka versiyonlar var mı?

Büyük Teoremin hikayesi zaman içinde yapılan bir macera kadar büyüleyicidir. 1636'da Fermat, Xn+Yn=Zn şeklindeki bir denklemin n>2 üssü olan tamsayılarda çözümü olmadığını belirtti. Bu aslında Fermat'ın Son Teoremidir. Evren, görünüşte basit olan bu matematiksel formülde inanılmaz karmaşıklığı gizledi.

Durum uzun süredir gelişmekte olduğundan, bazı nedenlerden dolayı teoremin ortaya çıkışının geç olması biraz garip, çünkü n = 2 özel durumu - başka bir ünlü matematik formülü - Pisagor teoremi yirmi iki yüzyılda ortaya çıktı daha erken. Fermat teoreminden farklı olarak, Pisagor teoreminin sonsuz sayıda tamsayı çözümü vardır, örneğin aşağıdaki Pisagor üçgenleri: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Büyük Teorem Sendromu

Kim Fermat'ın teoremini kanıtlamaya çalışmadı? Yeni mezun her öğrenci, Büyük Teoremi uygulamaya koymanın kendi görevi olduğunu düşündü, ancak kimse bunu kanıtlayamadı. İlk başta yüz yıl boyunca işe yaramadı. Sonra bir yüz tane daha. Matematikçiler arasında bir kitle sendromu gelişmeye başladı: "Bu nasıl olabilir Fermat, ama ne yapamam?" ve bazıları kelimenin tam anlamıyla bu temelde çıldırdı.

Teorem kaç kez test edilirse edilsin, her zaman doğru olduğu ortaya çıktı. Yüksek hızlı bir bilgisayar (o zamanlar daha yaygın olarak ana bilgisayar olarak adlandırılıyordu) kullanarak tamsayılar arasında arama yaparak en az bir çözüm bulmaya çalışarak Büyük Teoremi çürütme konusunda takıntılı olan hevesli bir programcı tanıyordum. Girişiminin başarısına inanıyordu ve şunu söylemeyi seviyordu: "Biraz daha - ve bir sansasyon ortaya çıkacak!" Gezegenimizin farklı yerlerinde bu tür cesur arayışçıların önemli sayıda olduğunu düşünüyorum. Elbette tek bir çözüm bulamadı. Ve hiçbir bilgisayar, inanılmaz hızlara sahip olsa bile teoremi asla doğrulayamaz çünkü bu denklemin tüm değişkenleri (üslü sayılar dahil) sonsuza kadar artabilir.

18. yüzyılın en virtüöz ve üretken matematikçisi, insanlığın neredeyse bir yüzyıldır araştırdığı kayıt arşivine sahip olan Leonard Euler, Fermat'ın 3 ve 4. kuvvetler teoremini kanıtladı (daha doğrusu, bizzat Pierre Fermat'ın kayıp kanıtlarını tekrarladı). ; sayı teorisindeki takipçisi Legendre - 5. kuvvetler için; Dirichlet - 7. derece için. Ancak genel olarak teorem kanıtlanmadan kaldı.

20. yüzyılın başlarında (1907), Wolfskehl adlı zengin bir Alman matematik amatörü, Fermat teoreminin tam bir kanıtını sunacak kişiye yüz bin mark miras bıraktı. Heyecan başladı. Matematik bölümleri binlerce ispatla doluydu ama tahmin edebileceğiniz gibi bunların hepsi hatalar içeriyordu. Fermat teoreminin çok sayıda “kanıtı” alan Almanya’daki bazı üniversitelerde yaklaşık olarak aşağıdaki içerikte formların hazırlandığını söylüyorlar:

Canım __________________________!

Fermat teoreminin ispatında ____ sayfada üstteki ____ satırda
formülde şu hata tespit edildi:____________________:,

Şanssız ödül adaylarına gönderildi.

O zamanlar matematikçiler arasında yarı aşağılayıcı bir takma ad ortaya çıktı - çiftçi. Bu, bilgiden yoksun, ancak Büyük Teoremi kanıtlamak için aceleyle elinden gelenin en iyisini yapmaya yetecek kadar hırsı olan ve sonra kendi hatalarını fark etmeden gururla kendini göğsüne tokatlayan ve yüksek sesle şunu ilan eden, kendine güvenen yeni başlayanlara verilen addı. : “Fermat teoremini kanıtlayan ilk kişi bendim!” Her çiftçi, on binde biri olsa bile, kendisini ilk sayıyordu - bu komikti. Büyük Teoremin basit görünümü çiftçilere o kadar kolay bir hedefi hatırlattı ki, Euler ve Gauss'un bile bununla baş edememesinden hiç utanmadılar.

(Garip bir şekilde, Fermatistler bugün hala mevcut. İçlerinden biri, klasik bir Fermatist gibi teoremi kanıtladığını düşünmese de, yakın zamana kadar girişimlerde bulundu - ona Fermat'ın teoreminin zaten kanıtlanmış olduğunu söylediğimde bana inanmayı reddetti. kanıtlanmış).

Belki de en güçlü matematikçiler ofislerinin sessizliğinde bu imkansız haltere dikkatlice yaklaşmaya çalıştılar, ancak çiftçi olarak damgalanmamak ve dolayısıyla yüksek otoritelerine zarar vermemek için bunu yüksek sesle söylemediler.

O zamana kadar, n üssü için teoremin bir kanıtı ortaya çıktı

Pek çok insanın, anlaşılmaz matematiksel semboller ve katı matematik kuralları nedeniyle kafası karışır ve yalnızca harfleri değil sayıları da içeren problemleri çözmekten her zaman kaçınırlar. Elbette matematik çok karmaşık olabilir, ancak onunla elde edilebilecek sonuçlar oldukça beklenmedik, güzel ve tek kelimeyle şaşırtıcı olabilir.

Dört renk sorunu

Dört Renk Problemi, 1852 yılında, o zamanlar İngiltere'nin ilçelerinin haritasını renklendirmeye çalışan Francis Guthrie tarafından formüle edilmiş bir matematik problemidir (henüz internet yoktu, dolayısıyla yapacak pek bir şey yoktu). İlginç bir şey keşfetti; aynı sınırı paylaşan herhangi iki alanın farklı renklendirilmesi için yalnızca 4 renk gerekiyordu. Guthrie bu kuralın başka herhangi bir haritada işe yarayıp yaramayacağıyla ilgilenmeye başladı ve soru uzun yıllar çözülemeyen bir matematik problemi haline geldi.

Bu sorun ancak 1976 yılında Kenneth Appel ve Wolfgang Haken tarafından çözülebildi. Bunu kanıtlamak için bir bilgisayar kullanıldı ve oldukça karmaşık olduğu ortaya çıktı. Ancak kesinlikle herhangi bir haritanın (örneğin, dünyanın siyasi bir haritasının) yalnızca 4 renk kullanılarak renklendirilebileceği, böylece hiçbir devletin aynı renkteki başka bir eyalete dokunmadığı kanıtlanmıştır.

Brouwer'in sabit nokta teoremi

Topoloji gibi matematiğin bir dalından gelen bu teorem Leutzen Brouwer tarafından kanıtlandı. Tamamen matematiksel ifadesi oldukça soyuttur ancak gerçek hayattaki çeşitli olaylara beklenmedik şekillerde uygulanabilir. Diyelim ki elimizde bir tablo var (örneğin Mona Lisa) ve onun bir kopyasını çıkarabiliyoruz. Daha sonra bu kopyayla istediğimizi yapabiliriz; büyütebilir, küçültebilir, döndürebilir, buruşturabilir, ne olursa olsun. Brouwer'in sabit nokta teoremi, eğer bu deforme olmuş kopya orijinalin üzerine yerleştirilirse, kopyada her zaman orijinaldeki görüntünün aynı noktasının tam üzerinde yer alacak en az bir nokta olacağını belirtir. Mona'nın kulağı, ağzı ya da gözü olabilir ama böyle bir nokta mutlaka olacaktır.

Teorem üç boyutlu uzayda da çalışır. Bir kaşık koyup suyu istediğimiz kadar karıştırdığımız bir bardak suyumuz olduğunu hayal edin. Brouwer teoremine göre, her zaman en az bir su molekülü, karıştırmadan önce tam olarak aynı yere varacaktır.

Russell'ın paradoksu

20. yüzyılın başında birçok bilim insanı matematiğin yeni bir dalı olan küme teorisine hayran kalmıştı. Prensip olarak küme, herhangi bir nesnenin koleksiyonudur. O günlerde, herhangi bir nesne kümesinin bir küme olarak kabul edilebileceğine inanılıyordu - tüm meyvelerin kümesi, tüm ABD başkanlarının kümesi ve bunların hepsi doğru kabul ediliyordu. Bir setin diğer setleri içerebileceğini eklemekte fayda var. 1901'de ünlü matematikçi Bertrand Russell, bu düşünce tarzının hatalı olduğunu fark ettiğinde sansasyonel bir keşifte bulundu; aslında, tüm nesne koleksiyonlarına küme denilemez.

Bu konuyu incelemeye karar veren Russell, kendisini içermeyen tüm kümelerin kümesini kendi elemanları olarak tanımladı. Tüm meyveler kümesi kendisini içermez, bu nedenle çok sayıda diğer kümeler gibi Russell kümesine dahil edilebilir. Peki ya Russell setinin kendisi? Kendisini içermediğinden onun da bu sete dahil edilmesi gerekir. Durun bir dakika... artık kendini kapsıyor, dolayısıyla onu dışarıda bırakmamız gerekiyor. Ama şimdi tekrar kendi içine dahil edilmesi gerekiyor çünkü şu anda kendi içinde kendini içermiyor. Ve benzeri. Bu mantıksal paradoks, modern matematiğin en önemli alanlarından biri olan küme teorisinin revizyonuna yol açtı.

Fermat'ın Son Teoremi

Okuldaki Pisagor teoremini hatırlıyor musun? Bir dik üçgende hipotenüsün karesinin dik kenarların karelerinin toplamına eşit olduğunu belirtir (x2 + y2 = z2). Pierre Fermat'ın en ünlü teoremi, ikiden büyük herhangi bir doğal sayının üssü olması durumunda aynı ifadenin x, y ve z gibi doğal çözümlerinin olmadığını söylüyor.

Fermat'ın kendisinin de yazdığı gibi: “... bir küpü iki küpe, bir bikuadrat'ı iki biquadrata ve genel olarak bir kareden daha büyük herhangi bir kuvveti aynı üste sahip iki güce ayırmak imkansızdır. Bunun gerçekten harika bir kanıtını buldum ama kitabın kenarları bunun için çok dar.” Sorun şu ki, Fermat bunu 1637'de yazdı ve uzun yıllar boyunca kanıtlanmadan kaldı. Ve ancak 1995'te (358 yıl sonra) teorem Andrew Wiles tarafından kanıtlandı.

Dünyanın sonu teoremi

Bu makalenin okuyucularının çoğunun insan olması muhtemeldir. Bu biz insanlar için ciddi bir durum; türümüzün ne zaman tamamen tükeneceğini belirlemek için matematik kullanılabilir. Olasılıkları kullanıyorum ama yine de.
Yaklaşık 30 yıldır ortalıkta dolaşan ve defalarca keşfedilip yeniden keşfedilen bu teorem, insanlığın zamanının tükendiğini öne sürüyor. Kanıtlardan biri (astrofizikçi Richard Gott'a aittir) şaşırtıcı derecede basittir: İnsan türünün tüm varlığını, bireysel bir organizmanın yaşam süreci olarak düşünürsek, türümüzün yaşamın hangi aşamasında olduğunu belirleyebiliriz.

Bugün yaşayan insanların, insanlık tarihinin tüm kronolojisinde rastgele bir yerde yer aldığı varsayımından hareketle, %95 güvenle, dünyaya gelmiş son %95'lik insan arasında olduğumuzu söyleyebiliriz. Ek olarak Gott, minimum ve maksimum hayatta kalma süreleri arasında %95'lik bir güven aralığı vermeye çalışır. Minimum süreyi eksik tahmin etme şansı %2,5 olduğundan, maksimum süreyi fazla tahmin etme şansı yalnızca %2,5'tir. Gott'a göre insanlığın nesli bundan 5.100 yıl ile 7.8 milyon yıl sonra tükenecek. O halde insanlık, vasiyetini yazmanın zamanı geldi.