İntegrallerin temel özelliklerini formüle edin. İntegrallerin en basit özellikleri

Temel entegrasyon formülleri, türev formüllerinin ters çevrilmesiyle elde edilir, bu nedenle, söz konusu konuyu incelemeye başlamadan önce, 1 temel fonksiyonun türevini almak için formülleri tekrarlamalısınız (yani türev tablosunu hatırlayın).

Antitürev kavramına, belirsiz integralin tanımına ve farklılaşma ile integral alma işlemlerini karşılaştırmaya alışırken, öğrencilerin integral alma işleminin çok değerli olmasına dikkat etmeleri gerekir, çünkü söz konusu aralığın sonsuz bir antiderivatif kümesini verir. Ancak aslında tek bir antiderivatif bulma sorunu çözüldü çünkü Belirli bir fonksiyonun tüm antiderivatifleri birbirinden sabit bir değerle farklıdır

Nerede C– keyfi değer 2.

Kendi kendine test soruları.

Antiderivatif fonksiyonun tanımını verin.

Belirsiz integral nedir?

İntegral fonksiyonu nedir?

İntegral nedir?

Antiderivatif fonksiyonlar ailesinin geometrik anlamını belirtin.

6. Ailede noktadan geçen eğriyi bulun

2. Belirsiz integralin özellikleri.

BASİT İNTEGRALLER TABLOSU

Burada öğrencilerin belirsiz integralin aşağıdaki özelliklerini öğrenmeleri gerekmektedir.

Mülk 1. Belirsiz integralin türevi, 3. fonksiyonun integraline eşittir (tanım gereği)

Mülk 2. İntegralin diferansiyeli integrale eşittir

onlar. diferansiyel işareti integral işaretinden önce gelirse birbirlerini iptal ederler.

Mülk 3. İntegral işareti diferansiyel işaretinden önce gelirse birbirlerini iptal ederler ve fonksiyona isteğe bağlı bir sabit değer eklenir.

Mülk 4. Aynı fonksiyonun iki antiderivatifi arasındaki fark sabit bir değerdir.

Mülk 5. Sabit faktör integral işaretinin altından çıkarılabilir

Nerede A– sabit sayı.

Bu arada, bu özellik, özellik 2'yi dikkate alarak eşitliğin (2.4) her iki tarafının farklılaştırılmasıyla kolayca kanıtlanabilir.

Mülk 6. Bir fonksiyonun toplamının (farkının) integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına (farkına) eşittir (ayrı ayrı mevcutlarsa)

Bu özellik aynı zamanda farklılaşmayla da kolaylıkla kanıtlanabilir.

Özelliğin doğal genelleştirilmesi 6

. (2.6)

İntegral türevin ters etkisi olarak düşünüldüğünde, doğrudan en basit türevler tablosundan aşağıdaki en basit integraller tablosu elde edilebilir.

En basit belirsiz integrallerin tablosu

1. , burada, (2.7)

2. , burada, (2.8)

4. , burada, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

En basit belirsiz integrallerin formülleri (2.7) – (2.16) ezberlenmelidir. Bunların bilgisi gereklidir ancak nasıl entegre edileceğini öğrenmek için yeterli değildir. Entegrasyonda sürdürülebilir beceriler yalnızca yeterince çok sayıda problemin (genellikle çeşitli türlerden yaklaşık 150-200 örnek) çözülmesiyle elde edilir.

Aşağıda, yukarıdaki tablodan bilinen integrallerin (2.7) – (2.16) toplamına dönüştürülerek integrallerin basitleştirilmesine ilişkin örnekler verilmiştir.

Örnek 1.

.

Fonksiyona izin ver sen = F(X) aralıkta tanımlanır [ A, B ], A < B. Aşağıdaki işlemleri gerçekleştirelim:

1) hadi ayrılalım [ A, B] noktalar A = X 0 < X 1 < ... < X Ben- 1 < X Ben < ... < X N = B Açık N kısmi segmentler [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X Ben- 1 , X Ben ], ..., [X N- 1 , X N ];

2) kısmi bölümlerin her birinde [ X Ben- 1 , X Ben ], Ben = 1, 2, ... N, rastgele bir nokta seçin ve fonksiyonun bu noktadaki değerini hesaplayın: F(z ben ) ;

3) eserleri bulun F(z ben ) · Δ X Ben , nerede kısmi segmentin uzunluğu [ X Ben- 1 , X Ben ], Ben = 1, 2, ... N;

4) hadi barışalım integral toplamı işlevler sen = F(X) segmentte [ A, B ]:

Geometrik açıdan bakıldığında bu toplam σ, tabanları kısmi parçalar olan dikdörtgenlerin alanlarının toplamıdır [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X Ben- 1 , X Ben ], ..., [X N- 1 , X N ] ve yükseklikler eşittir F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(zn) buna göre (Şekil 1). ile belirtelim λ en uzun kısmi bölümün uzunluğu:

5) integral toplamının limitini bulun λ → 0.

Tanım.İntegral toplamının (1) sonlu bir limiti varsa ve bu, segmentin bölümlenme yöntemine bağlı değilse [ A, B] kısmi bölümlere veya noktaların seçiminden z ben içlerinde bu sınıra denir kesin integral fonksiyondan sen = F(X) segmentte [ A, B] ve gösterilir

Böylece,

Bu durumda fonksiyon F(X) denir entegre edilebilir Açık [ A, B] Sayılar A Ve B sırasıyla entegrasyonun alt ve üst sınırları olarak adlandırılır, F(X) – integral işlevi, F(X ) dx– integrand ifadesi, X– entegrasyon değişkeni; çizgi segmenti [ A, B] integral aralığı olarak adlandırılır.

Teorem 1. Eğer fonksiyon sen = F(X) aralıkta süreklidir [ A, B] ise bu aralıkta integrallenebilirdir.

Aynı integral sınırlarına sahip belirli integral sıfıra eşittir:

Eğer A > B o zaman tanım gereği şunu varsayıyoruz:

2. Belirli integralin geometrik anlamı

Bırakın segmenti [ A, B] sürekli negatif olmayan bir fonksiyon belirtildi sen = F(X ) . Eğrisel yamuk yukarıda bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şekildir sen = F(X), aşağıdan - Ox ekseni boyunca, sola ve sağa - düz çizgiler x = bir Ve x = b(İncir. 2).

Negatif olmayan bir fonksiyonun belirli integrali sen = F(X) geometrik açıdan bakıldığında, fonksiyonun grafiğiyle yukarıda sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanına eşittir sen = F(X) , sol ve sağ – çizgi parçaları x = bir Ve x = b, aşağıdan - Öküz ekseninin bir bölümü.

3. Belirli integralin temel özellikleri

1. Belirli integralin değeri, entegrasyon değişkeninin tanımına bağlı değildir:

2. Sabit faktör belirli integralin işaretinden çıkarılabilir:

3. İki fonksiyonun cebirsel toplamının belirli integrali, bu fonksiyonların belirli integrallerinin cebirsel toplamına eşittir:

4.Eğer işlevi sen = F(X) [ üzerinde entegre edilebilir A, B] Ve A < B < C, O

5. (ortalama değer teoremi). Eğer fonksiyon sen = F(X) aralıkta süreklidir [ A, B], o zaman bu segmentte öyle bir nokta var ki

4. Newton-Leibniz formülü

Teorem 2. Eğer fonksiyon sen = F(X) aralıkta süreklidir [ A, B] Ve F(X) bu segmentteki antitürevlerinden herhangi biri ise, aşağıdaki formül geçerlidir:

buna denir Newton-Leibniz formülü. Fark F(B) - F(A) genellikle şu şekilde yazılır:

burada sembole çift joker karakter adı verilir.

Böylece formül (2) şu şekilde yazılabilir:

Örnek 1.İntegrali hesapla

Çözüm. İntegral için F(X ) = X 2 keyfi bir antiderivatif formu vardır

Newton-Leibniz formülünde herhangi bir ters türev kullanılabildiğinden, integrali hesaplamak için en basit biçime sahip olan ters türevi alırız:

5. Belirli bir integralde değişken değişimi

Teorem 3. Fonksiyona izin ver sen = F(X) aralıkta süreklidir [ A, B] Eğer:

1) işlev X = φ ( T) ve türevi φ "( T) için süreklidir;

2) bir dizi fonksiyon değeri X = φ ( T) için segmenttir [ A, B ];

3) φ ( A) = A, φ ( B) = B, o zaman formül geçerlidir

buna denir Belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme formülü .

Belirsiz integralden farklı olarak bu durumda gerekli değil orijinal entegrasyon değişkenine dönmek için - sadece α ve β entegrasyonlarının yeni limitlerini bulmak yeterlidir (bunun için değişkeni çözmeniz gerekir) T denklemler φ ( T) = A ve φ ( T) = B).

İkame yerine X = φ ( T) ikameyi kullanabilirsiniz T = G(X). Bu durumda bir değişken üzerinde yeni entegrasyon limitleri bulmak T basitleştirir: α = G(A) , β = G(B) .

Örnek 2. İntegrali hesapla

Çözüm. Formülü kullanarak yeni bir değişken tanımlayalım. Eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa 1 + elde edilir. x = T 2 , Neresi x = T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"dt= 2tdt. Entegrasyonun yeni sınırlarını buluyoruz. Bunu yapmak için eski limitleri formülde yerine koyalım x = 3 ve x = 8. Şunu alıyoruz: , nereden T= 2 ve a = 2; , Neresi T= 3 ve β = 3. Yani,

Örnek 3. Hesaplamak

Çözüm. İzin vermek sen= günlük X, Daha sonra , v = X. Formül (4)'e göre

Diferansiyel hesabın ana görevi türevi bulmaktır F'(X) veya diferansiyel sd=F'(X)dx işlevler F(X).İntegral hesapta ters problem çözülür. Verilen bir fonksiyona göre F(X) böyle bir fonksiyon bulmanız gerekiyor F(X), Ne F'(x)=F(X) veya dF(x)=F'(X)dx=F(X)dx.

Böylece, İntegral hesabının ana görevi fonksiyonun restorasyonu F(X) bu fonksiyonun bilinen türevi (diferansiyel) ile. İntegral hesabın geometri, mekanik, fizik ve teknolojide çok sayıda uygulaması vardır. Alanları, hacimleri, ağırlık merkezlerini vb. bulmak için genel bir yöntem sağlar.

Tanım. İşlevF(x), , fonksiyonun antiderivatifi olarak adlandırılırF(x) X kümesinde herhangi biri için türevlenebilirse veF'(x)=F(x) veyadF(x)=F(X)dx.

Teorem. Aralıktaki herhangi bir sürekli çizgi [A;b] işleviF(x) bu segmentte bir antiderivatife sahiptirF(x).

Teorem. EğerF1 (x) veF2 (x) – aynı fonksiyonun iki farklı antiderivatifiF(x) x kümesindeyse, birbirlerinden sabit bir terim kadar farklıdırlar, yani.F2 (x)=F1x)+C, burada C bir sabittir.

Belirsiz integral, özellikleri.

Tanım. BütünlükF(x)+Tüm antiderivatif fonksiyonlardanF(x) X kümesindeki belirsiz integral olarak adlandırılır ve şöyle gösterilir:

Formül (1)'de F(X)dx isminde integrand,F(x) – integral fonksiyonu, x – entegrasyon değişkeni, A C – entegrasyon sabiti.

Belirsiz integralin tanımından çıkan özelliklerini ele alalım.

1. Belirsiz integralin türevi integrale eşittir, belirsiz integralin diferansiyeli ise integrale eşittir:

2. Belirli bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyonun ve keyfi bir sabitin toplamına eşittir:

3. Sabit faktör a (a≠0) belirsiz integralin işareti olarak çıkarılabilir:

4. Sonlu sayıda fonksiyonun cebirsel toplamının belirsiz integrali, bu fonksiyonların integrallerinin cebirsel toplamına eşittir:

5. EğerF(x) – fonksiyonun ters türeviF(x), o zaman:

6 (integrasyon formüllerinin değişmezliği). Herhangi bir entegrasyon formülü, entegrasyon değişkeni bu değişkenin herhangi bir türevlenebilir fonksiyonuyla değiştirilirse formunu korur:

Neredeu diferansiyellenebilir bir fonksiyondur.

Belirsiz integraller tablosu.

Hadi verelim Fonksiyonların entegrasyonu için temel kurallar.

Hadi verelim temel belirsiz integraller tablosu.(Burada diferansiyel hesapta olduğu gibi harfin sen bağımsız değişken olarak tanımlanabilir (sen=X) ve bağımsız değişkenin bir fonksiyonu (sen=sen(X)).)

1 – 17 arasındaki integrallere denir tablo halinde.

Türev tablosunda analoğu bulunmayan integral tablosundaki yukarıdaki formüllerden bazıları, sağ taraflarının farklılığı alınarak doğrulanır.

Belirsiz integralde değişken değişimi ve parçalara göre integral alma.

İkame yoluyla entegrasyon (değişken değiştirme). İntegrali hesaplamak gerekli olsun

Teorem. Fonksiyona izin verx=φ(t) belirli bir T kümesi üzerinde tanımlanmış ve türevlenebilirdir ve X, işlevin tanımlandığı bu işlevin değerleri kümesi olsunF(X). O zaman eğer X kümesindeyse fonksiyonF(

Terstürev ve belirsiz integral.

Bir f(x) fonksiyonunun (a; b) aralığındaki ters türevi, eşitliğin verilen aralıktaki herhangi bir x için geçerli olduğu bir F(x) fonksiyonudur.

C sabitinin türevinin sıfıra eşit olduğu gerçeğini dikkate alırsak eşitlik doğrudur . Bu nedenle, f(x) fonksiyonu, keyfi bir C sabiti için bir F(x)+C ters türevleri kümesine sahiptir ve bu ters türevler, keyfi bir sabit değerle birbirlerinden farklılık gösterir.

f(x) fonksiyonunun antitürevlerinin tamamına bu fonksiyonun belirsiz integrali denir ve şöyle gösterilir: .

İfadeye integrand denir ve f(x)'e integrand denir. İntegral f(x) fonksiyonunun diferansiyelini temsil eder.

Diferansiyeli verilen bilinmeyen bir fonksiyonu bulma eylemine belirsiz entegrasyon denir, çünkü entegrasyonun sonucu tek bir F(x) fonksiyonu değil, onun F(x)+C antitürevlerinin bir kümesidir.

Tablo integralleri

İntegrallerin en basit özellikleri

1. İntegral sonucunun türevi integrale eşittir.

2. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, fonksiyonun kendisi ile keyfi bir sabitin toplamına eşittir.

3. Katsayı belirsiz integralin işaretinden çıkarılabilir.

4. Fonksiyonların toplamı/farkının belirsiz integrali, fonksiyonların belirsiz integrallerinin toplamı/farkına eşittir.

Belirsiz integralin birinci ve ikinci özelliklerinin ara eşitlikleri açıklama amacıyla verilmiştir.

Üçüncü ve dördüncü özellikleri kanıtlamak için eşitliklerin sağ taraflarının türevlerini bulmak yeterlidir:

Bu türevler integrandlara eşittir, bu da birinci özellikten dolayı bir kanıttır. Son geçişlerde de kullanılır.

Dolayısıyla entegrasyon problemi farklılaşma probleminin tersidir ve bu problemler arasında çok yakın bir bağlantı vardır:

ilk özellik entegrasyonun kontrol edilmesine izin verir. Yapılan entegrasyonun doğruluğunu kontrol etmek için elde edilen sonucun türevini hesaplamak yeterlidir. Türev alma sonucu elde edilen fonksiyon integrand'a eşit çıkıyorsa bu, entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir;

Belirsiz integralin ikinci özelliği, bir fonksiyonun bilinen bir diferansiyelinden antitürevini bulmayı sağlar. Belirsiz integrallerin doğrudan hesaplanması bu özelliğe dayanmaktadır.

1.4.Entegrasyon formlarının değişmezliği.

Değişmez entegrasyon, argümanları bir grubun elemanları veya homojen bir uzayın noktaları olan fonksiyonlar için bir entegrasyon türüdür (böyle bir uzaydaki herhangi bir nokta, grubun belirli bir eylemiyle diğerine aktarılabilir).

f(x) fonksiyonu f.w diferansiyel formunun integralinin hesaplanmasına indirgenir; burada

Aşağıda r(x) için açık bir formül verilmiştir. Anlaşma koşulu şu şekildedir: .

burada Tg, gОG kullanılarak X üzerindeki kaydırma operatörü anlamına gelir: Tgf(x)=f(g-1x). X=G bir topoloji olsun, sola kayma yoluyla kendi kendine etki eden bir grup olsun. ben ve. ancak ve ancak G yerel olarak kompaktsa vardır (özellikle sonsuz boyutlu gruplarda I.I. mevcut değildir). I. ve'nin bir alt kümesi için. karakteristik fonksiyonu cA (A'da 1'e ve A'nın dışında 0'a eşit) sol Xaar ölçüsünü m(A) belirtir. Bu ölçümün tanımlayıcı özelliği sola kaydırmalar altında değişmezliğidir: tüm gОG için m(g-1A)=m(A). Bir gruptaki sol Haar ölçüsü, pozitif bir skaler faktöre kadar benzersiz şekilde tanımlanır. Haar ölçüsü m biliniyorsa, o zaman I. ve. f fonksiyonu aşağıdaki formülle verilir . Doğru Haar ölçüsü benzer özelliklere sahiptir. G grubunun grup içine (çarpma açısından) sürekli bir homomorfizmi (grup özelliğini koruyan harita) DG'si vardır. bunun için sayılar

burada dmr ve dmi sağ ve sol Haar ölçüleridir. DG(g) fonksiyonu çağrılır G grubunun modülü. Eğer ise G grubu çağrılır. tek modüler; bu durumda sağ ve sol Haar ölçümleri çakışır. Kompakt, yarı-basit ve üstelsıfır (özellikle değişmeli) gruplar tek modülerdir. G, n boyutlu bir Lie grubuysa ve q1,...,qn, G'nin sol-değişmez 1-formlarının uzayındaki bir temelse, G'nin sol Haar ölçüsü n-formu tarafından verilir. Hesaplama için yerel koordinatlarda

qi formunu oluştururken, G grubunun herhangi bir matris gerçekleştirmesini kullanabilirsiniz: 1-form g-1dg matrisi değişmez bırakılır ve katsayısı. gerekli bazın seçildiği sol-değişmez skaler 1-formlardır. Örneğin, tam matris grubu GL(n, R) tek modülerdir ve üzerindeki Haar ölçüsü formla verilir. İzin vermek X=G/H, yerel olarak kompakt grup G'nin bir dönüşüm grubu olduğu ve kapalı alt grup H'nin belirli bir noktanın dengeleyicisi olduğu homojen bir uzaydır. X üzerinde bir i.i'nin var olması için, tüm hОH için DG(h)=DH(h) eşitliğinin geçerli olması gerekli ve yeterlidir. Özellikle H'nin kompakt veya yarı basit olması durumunda bu doğrudur. I. ve.'nin tam teorisi. sonsuz boyutlu manifoldlarda mevcut değildir.

Değişkenlerin değiştirilmesi.

Antiderivatif fonksiyon ve belirsiz integral

Gerçek 1. İntegral, farklılaşmanın ters etkisidir, yani bir fonksiyonun bilinen türevinden geri getirilmesidir. Böylece işlev geri yüklendi F(X) denir antiderivatif fonksiyon için F(X).

Tanım 1. İşlev F(X F(X) belirli aralıklarla X, eğer tüm değerler için X bu aralıktan itibaren eşitlik geçerlidir F "(X)=F(X), yani bu fonksiyon F(X) antiderivatif fonksiyonun türevidir F(X). .

Örneğin, fonksiyon F(X) = günah X fonksiyonun ters türevidir F(X) = çünkü X tüm sayı doğrusunda, çünkü herhangi bir x değeri için (günah X)" = (çünkü X) .

Tanım 2. Bir fonksiyonun belirsiz integrali F(X) tüm antitürevlerinin kümesidir. Bu durumda notasyon kullanılır.

∫

F(X)dx

işaret nerede ∫ integral işareti olarak adlandırılan fonksiyon F(X) – integral işlevi ve F(X)dx – integrand ifadesi.

Böylece eğer F(X) – bazı antiderivatifler F(X) , O

∫

F(X)dx = F(X) +C

Nerede C - keyfi sabit (sabit).

Belirsiz bir integral olarak bir fonksiyonun antitürevleri kümesinin anlamını anlamak için aşağıdaki benzetme uygundur. Bir kapı olsun (geleneksel ahşap kapı). İşlevi “kapı olmaktır”. Kapı neyden yapılmış? Ahşaptan yapılma. Bu, "kapı olma" fonksiyonunun integralinin, yani belirsiz integralinin ters türevleri kümesinin, "ağaç olma + C" fonksiyonu olduğu anlamına gelir; burada C bir sabittir ve bu bağlamda bu, örneğin ağacın türünü belirtir. Tıpkı bir kapının bazı aletler kullanılarak ahşaptan yapılması gibi, bir fonksiyonun türevi de bir antiderivatif fonksiyondan "yapılır". türevi incelerken öğrendiğimiz formüller .

Daha sonra ortak nesnelerin ve bunlara karşılık gelen ters türevlerinin fonksiyon tablosu (“kapı olmak” - “ağaç olmak”, “kaşık olmak” - “metal olmak” vb.) temel tabloya benzer. Aşağıda verilecek olan belirsiz integraller. Belirsiz integraller tablosu, ortak fonksiyonları, bu fonksiyonların "oluşturulduğu" ters türevlerin bir göstergesiyle birlikte listeler. Belirsiz integrali bulma problemlerinin bir kısmında, çok fazla çaba harcamadan, yani belirsiz integraller tablosunu kullanarak doğrudan entegre edilebilecek integraller verilmiştir. Daha karmaşık problemlerde, tablo integrallerinin kullanılabilmesi için öncelikle integralin dönüştürülmesi gerekir.

Gerçek 2. Bir fonksiyonu ters türev olarak geri yüklerken, keyfi bir sabiti (sabit) hesaba katmalıyız. C ve 1'den sonsuza kadar çeşitli sabitlere sahip antiderivatiflerin bir listesini yazmamak için, keyfi bir sabite sahip bir antiderivatifler seti yazmanız gerekir. Cörneğin şu şekilde: 5 X³+C. Bu nedenle, antiderivatifin ifadesine keyfi bir sabit (sabit) dahil edilir, çünkü antiderivatif bir fonksiyon olabilir, örneğin 5 X³+4 veya 5 X³+3 ve türevi alındığında 4 veya 3 veya herhangi bir sabit sıfıra gider.

Entegrasyon problemini ortaya koyalım: Bu fonksiyon için F(X) böyle bir fonksiyon bul F(X), kimin türevi eşittir F(X).

Örnek 1. Bir fonksiyonun antiderivatifleri kümesini bulun

Çözüm. Bu fonksiyon için antiderivatif fonksiyondur

İşlev F(X) fonksiyonun antiderivatifi olarak adlandırılır F(X), eğer türev F(X) eşittir F(X) veya aynı şey olan diferansiyel F(X) eşittir F(X) dx, yani

(2)

Bu nedenle fonksiyon, fonksiyonun ters türevidir. Ancak, için tek antiderivatif değildir. Aynı zamanda işlev olarak da hizmet ederler

Nerede İLE– keyfi sabit. Bu, farklılaşmayla doğrulanabilir.

Dolayısıyla, eğer bir fonksiyon için bir antiderivatif varsa, o zaman bu fonksiyon için sabit bir terim kadar farklılık gösteren sonsuz sayıda antiderivatif vardır. Bir fonksiyonun tüm antiderivatifleri yukarıdaki biçimde yazılmıştır. Bu, aşağıdaki teoremden kaynaklanmaktadır.

Teorem (gerçeğin resmi ifadesi 2). Eğer F(X) – fonksiyonun antiderivatifi F(X) belirli aralıklarla X, o zaman başka herhangi bir antiderivatif F(X) aynı aralıkta şu şekilde gösterilebilir: F(X) + C, Nerede İLE– keyfi sabit.

Bir sonraki örnekte belirsiz integralin özelliklerinden sonra 3. paragrafta verilecek integral tablosuna dönüyoruz. Yukarıdakilerin özünü netleştirmek için bunu tablonun tamamını okumadan önce yapıyoruz. Tablo ve özelliklerden sonra entegrasyon sırasında bunları bütünüyle kullanacağız.

Örnek 2. Antiderivatif fonksiyon kümelerini bulun:

Çözüm. Bu fonksiyonların "yaratıldığı" ters türev fonksiyon kümelerini buluyoruz. İntegral tablosundaki formüllerden bahsederken şimdilik bu tür formüllerin olduğunu kabul edelim ve belirsiz integral tablosunun tamamını biraz daha inceleyelim.

1) İntegral tablosundan formül (7)'yi uygulamak N= 3, şunu elde ederiz

2) İntegral tablosundaki formül (10)'u kullanarak N= 1/3, elimizde

3) O zamandan beri

daha sonra formül (7)'ye göre N= -1/4 buluruz

İntegral işaretinin altına yazılan fonksiyonun kendisi değildir. F ve diferansiyele göre çarpımı dx. Bu öncelikle antiderivatifin hangi değişken tarafından arandığını belirtmek için yapılır. Örneğin,

, ;

burada her iki durumda da integral eşittir , ancak dikkate alınan durumlarda belirsiz integrallerinin farklı olduğu ortaya çıkar. İlk durumda, bu fonksiyon değişkenin bir fonksiyonu olarak kabul edilir. X ve ikincisinde - bir fonksiyonu olarak z .

Bir fonksiyonun belirsiz integralini bulma işlemine o fonksiyonun integrali denir.

Belirsiz integralin geometrik anlamı

Diyelim ki bir eğri bulmamız gerekiyor y=F(x) ve teğet açının her bir noktasındaki tanjantının belirli bir fonksiyon olduğunu zaten biliyoruz. f(x) bu noktanın apsisi.

Türevin geometrik anlamına göre, eğrinin belirli bir noktasındaki tanjantın eğim açısının tanjantı y=F(x) türevin değerine eşit F"(x). Yani böyle bir fonksiyon bulmamız gerekiyor F(x), hangisi için F"(x)=f(x). Görevde gerekli işlev F(x) bir antitürevidir f(x). Problemin koşulları tek bir eğri tarafından değil, bir eğri ailesi tarafından karşılanmaktadır. y=F(x)- bu tür eğrilerden biri ve eksen boyunca paralel öteleme yoluyla bundan başka herhangi bir eğri elde edilebilir Oy.

Antiderivatif fonksiyonunun grafiğine diyelim f(x) integral eğrisi. Eğer F"(x)=f(x), ardından fonksiyonun grafiği y=F(x) integral eğrisi vardır.

Gerçek 3. Belirsiz integral geometrik olarak tüm integral eğrileri ailesi tarafından temsil edilir aşağıdaki resimde olduğu gibi. Her eğrinin koordinatların orijininden uzaklığı, keyfi bir entegrasyon sabiti tarafından belirlenir. C.

Belirsiz integralin özellikleri

Gerçek 4. Teorem 1. Belirsiz bir integralin türevi integrale eşittir ve diferansiyeli de integrale eşittir.

Gerçek 5. Teorem 2. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali F(X) fonksiyona eşittir F(X) sabit bir terime kadar , yani

(3)

Teorem 1 ve 2, farklılaşma ve entegrasyonun karşılıklı olarak ters işlemler olduğunu göstermektedir.

Gerçek 6. Teorem 3. İntegraldeki sabit faktör, belirsiz integralin işaretinden çıkarılabilir , yani