Uzaydaki bir noktanın hareketi, eğer üç Kartezyen koordinatı x, y, z'nin zamanın bir fonksiyonu olarak değişim kanunları biliniyorsa, verilmiş kabul edilebilir. Bununla birlikte, maddi noktaların uzaysal hareketinin olduğu bazı durumlarda (örneğin, çeşitli şekillerdeki yüzeylerle sınırlanan alanlarda), Kartezyen koordinatlarda hareket denklemlerinin kullanılması çok hantal hale geldiğinden sakıncalıdır. Bu gibi durumlarda, eğrisel veya genelleştirilmiş koordinatlar adı verilen ve aynı zamanda uzaydaki noktanın konumunu da benzersiz şekilde belirleyen diğer üç bağımsız skaler parametreyi $q_1,(\q)_2,\\q_3$ seçebilirsiniz.
M noktasının hızı, hareketi eğrisel koordinatlarda belirtilirken, koordinat eksenlerine paralel hız bileşenlerinin vektör toplamı şeklinde belirlenecektir:
\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\ +v_(q_3)\overline(e_3)\]
Hız vektörünün ilgili koordinat eksenlerine izdüşümü şuna eşittir: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline (1,3)$
Burada $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ i'inci Lame katsayısı olarak adlandırılan ve şuna eşit olan bir parametredir: modül değeri, belirli bir M noktasında hesaplanan i-inci eğrisel koordinat boyunca bir noktanın yarıçap vektörünün kısmi türevi. $\overline(e_i)$ vektörlerinin her biri, uç noktasının hareket yönüne karşılık gelen bir yöne sahiptir. i'inci genelleştirilmiş koordinatlar olarak yarıçap vektörü $r_i$. Dik bir eğrisel koordinat sistemindeki hız modülü aşağıdaki bağımlılıktan hesaplanabilir:
Yukarıdaki formüllerde M noktasının uzaydaki mevcut konumu için türevlerin değerleri ve Lamé katsayıları hesaplanır.
Küresel bir koordinat sistemindeki bir noktanın koordinatları, Şekil 2'de gösterildiği gibi ölçülen r, $(\mathbf \varphi ),\ (\mathbf \theta )$ skaler parametreleridir. 1.
Şekil 1. Küresel koordinat sistemindeki hız vektörü
Bu durumda bir noktanın hareket denklemleri sistemi şu şekildedir:
\[\left\( \begin(array)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(array) \right.\]
İncirde. Şekil 1, orijinden çizilen r yarıçap vektörünü, $(\mathbf \varphi )$ ve $(\mathbf \theta )$ açılarını ve aynı zamanda sistemin rastgele bir M noktasında söz konusu sistemin koordinat çizgilerini ve eksenlerini göstermektedir. Yörünge. $((\mathbf \varphi ))$ ve $((\mathbf \theta ))$ koordinat çizgilerinin yarıçapı r olan bir kürenin yüzeyinde yer aldığı görülebilir. Bu eğrisel koordinat sistemi de diktir. Kartezyen koordinatlar küresel koordinatlar cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:
Daha sonra Lame katsayıları: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; noktanın hızının küresel koordinat sisteminin ekseni üzerindeki izdüşümleri $v_r=\dot(r\ \ );$ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $ ve hız vektörünün büyüklüğü
Küresel koordinat sistemindeki bir noktanın ivmelenmesi
\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \teta),\]
küresel bir koordinat sisteminin ekseni üzerindeki bir noktanın ivmesinin izdüşümleri
\ \
Hızlandırma modülü $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$
Sorun 1
Nokta, aşağıdaki denklemlere göre küre ile silindirin kesişme çizgisi boyunca hareket eder: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $ \theta $ --- küresel koordinatlar). Küresel koordinat sisteminin ekseni üzerindeki noktanın hızının modülünü ve izdüşümlerini bulun.
Hız vektörünün küresel koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerini bulalım:
Hız modülü $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt) )(2)+1)$
Sorun 2
Problem 1'in koşulunu kullanarak noktanın ivme modülünü belirleyin.
İvme vektörünün küresel koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerini bulalım:
\ \ \
Hızlandırma modülü $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$
hareket görevleri
Denklem (4)'ü kullanalım ve zamana göre türevini alalım
(8)'de birim vektörler için hız vektörünün koordinat eksenlerine izdüşümleri vardır.
Hızın koordinat eksenlerine izdüşümleri, karşılık gelen koordinatların birinci zaman türevleri olarak tanımlanır.
İzdüşümleri bilerek vektörün büyüklüğünü ve yönünü bulabilirsiniz.
,
(10)
Doğal yöntemle hızı belirleme
hareket görevleri
Maddi bir noktanın yörüngesi ve eğrisel koordinatın değişim yasası verilsin. Diyelim ki T 1 puan vardı 
ve koordinat S 1 ve T 2 – koordinat S 2. Sırasında
koordinat artırıldı 
, daha sonra noktanın ortalama hızı
.
Belirli bir zamandaki hızı bulmak için sınıra gidelim
,
.
(12)
Hareketi belirlemenin doğal yolundaki bir noktanın hız vektörü, eğrisel koordinatın birinci zaman türevi olarak tanımlanır.
Nokta ivmesi
Maddi bir noktanın ivmesi altında Bir noktanın hız vektörünün zaman içinde büyüklük ve yöndeki değişim oranını karakterize eden bir vektör niceliğini anlayın.
Hareketi belirlemenin vektör yöntemini kullanarak bir noktanın hızlanması
Zamanın iki noktasındaki bir noktayı düşünün T 1
(
) Ve T 2
(
), Daha sonra 
- zaman artışı, 
- hız artışı.
Vektör 
her zaman hareket düzleminde bulunur ve yörüngenin içbükeyliğine doğru yönlendirilir.
P 
od bir noktanın ortalama ivmesi sırasında
T
büyüklüğünü anlamak
.
(13)
Belirli bir zamandaki ivmeyi bulmak için limite gidelim
,
.
(14)
Belirli bir zamanda bir noktanın ivmesi, noktanın yarıçap vektörünün zamana göre ikinci türevi veya hız vektörünün zamana göre birinci türevi olarak tanımlanır.
Hızlanma vektörü temas düzleminde bulunur ve yörüngenin içbükeyliğine doğru yönlendirilir.
Hareketi belirlemenin koordinat yöntemiyle bir noktanın hızlandırılması
Hareketi belirlemenin vektör ve koordinat yöntemleri arasındaki bağlantı için denklemi kullanalım
Ve bunun ikinci türevini alalım
,
.
(15)
Birim vektörler için denklem (15)'te ivme vektörünün koordinat eksenlerine izdüşümleri vardır.
.
(16)
Koordinat eksenleri üzerindeki ivme projeksiyonları, hız projeksiyonlarından zamana göre birinci türevler veya karşılık gelen koordinatların zamana göre ikinci türevleri olarak tanımlanır.
İvme vektörünün büyüklüğü ve yönü aşağıdaki ifadeler kullanılarak bulunabilir.
,
(17)
,
,
.
(18)
Hareketi belirlemenin doğal yöntemini kullanarak bir noktanın hızlandırılması
P 
Noktanın kavisli bir yol boyunca hareket etmesine izin verin. Zaman anlarındaki iki konumunu ele alalım T
(S, M, v) Ve T 1
(S 1, M1, v 1).
Bu durumda ivme, M noktasıyla birlikte hareket eden doğal koordinat sisteminin eksenleri üzerindeki izdüşümleri aracılığıyla belirlenir. Eksenler aşağıdaki gibi yönlendirilir:
M - yörüngeye teğet boyunca pozitif mesafe referansına doğru yönlendirilen teğet,
M N- Temas düzlemindeki normal boyunca yönlendirilen ve yörüngenin içbükeyliğine doğru yönlendirilen ana normal,
M B– binormal, M düzlemine dik N ve birinci eksenlerle sağ üçlü oluşturur.
İvme vektörü temas düzleminde bulunduğundan, o zaman A B = 0. İvmenin diğer eksenlere izdüşümlerini bulalım.
.
(19)
(19)'u koordinat eksenlerine yansıtalım
,
(20)
.
(21)
M noktasındaki eksenlere paralel eksenleri M1 noktasından çizelim ve hız izdüşümlerini bulalım:
Nerede - sözde bitişiklik açısı.
(22)'yi (20)'ye yazarız
.
Şu tarihte: T 0 0, çünkü 1 o zaman
.
(23)
Bir noktanın teğetsel ivmesi, hızın birinci zaman türevi veya eğrisel koordinatın ikinci zaman türevi ile belirlenir.
Teğetsel ivme, hız vektöründeki büyüklük değişimini karakterize eder.
(22)'yi (21)'in yerine koyalım.
.
Pay ve paydayı şu şekilde çarpın: s bilinen sınırlara ulaşmak
Nerede 
(ilk harika sınır),
,
,
, Nerede
- yörüngenin eğrilik yarıçapı.
Hesaplanan limitleri (24)'te değiştirerek şunu elde ederiz:
.
(25)
Bir noktanın normal ivmesi, hızın karesinin belirli bir noktadaki yörüngenin eğrilik yarıçapına oranıyla belirlenir.
Normal ivme, hız vektöründeki yöndeki değişimi karakterize eder ve her zaman yörüngenin içbükeyliğine doğru yönlendirilir.
Son olarak, maddi noktanın doğal koordinat sistemi ekseni üzerindeki ivmesinin ve vektörün büyüklüğünün izdüşümlerini elde ederiz.
,
(26)
.
(27)
Belirli koordinatlardan zamana karşı bir noktanın hızını, ivmesini, yörüngenin eğrilik yarıçapını, teğetini, normalini ve binormalini hesaplamak için formüller. Verilen hareket denklemlerini kullanarak bir noktanın hızını ve ivmesini belirlemenin gerekli olduğu bir problemin çözümüne bir örnek. Yörüngenin eğrilik yarıçapı, teğet, normal ve binormal de belirlenir.
İçerikgiriiş
Aşağıdaki formüllerin sonuçları ve teorinin sunumu “Maddi bir noktanın kinematiği” sayfasında verilmektedir. Burada bu teorinin ana sonuçlarını maddi bir noktanın hareketini belirleyen koordinat yöntemine uygulayacağız.
Merkezi sabit bir noktada olan sabit bir dikdörtgen koordinat sistemimiz olsun. Bu durumda M noktasının konumu, (x, y, z) koordinatları tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. Bir noktanın hareketini belirlemenin koordinat yöntemi- bu, koordinatların zamana bağımlılığının belirtildiği bir yöntemdir. Yani zamanın üç fonksiyonu belirtilmiştir (üç boyutlu hareket için):
Kinematik büyüklüklerin belirlenmesi
Koordinatların zamana bağlılığını bilerek, M malzeme noktasının yarıçap vektörünü aşağıdaki formülü kullanarak otomatik olarak belirleriz:
,
x, y, z eksenleri yönünde birim vektörler (ortlar) nerededir.
Zamana göre farklılaşarak, koordinat eksenleri üzerindeki hız ve ivme izdüşümlerini buluruz:
;
;
Hız ve ivme modülleri:
;
.
.
Teğetsel (teğetsel) ivme, toplam ivmenin hız yönüne izdüşümüdür:
.
Teğetsel (teğetsel) ivme vektörü:
Normal hızlanma:
.
;
.
Yörüngenin ana normali yönünde birim vektör:
.
Yörüngenin eğrilik yarıçapı:
.
Yörüngenin eğrilik merkezi:
.
.
Sorun çözümü örneği
Verilen hareket denklemlerini kullanarak bir noktanın hızını ve ivmesini belirlemek
Bir noktanın verilen hareket denklemlerini kullanarak yörüngesinin türünü belirleyin ve belirli bir an için noktanın yörünge üzerindeki konumunu, hızını, toplamını, teğetsel ve normal ivmesini ve ayrıca noktanın yarıçapını bulun. yörüngenin eğriliği.
Bir noktanın hareket denklemleri:
, santimetre;
, santimetre.
Çözüm
Yörünge türünün belirlenmesi
Zamanı hareket denklemlerinden hariç tutuyoruz. Bunu yapmak için bunları şu biçimde yeniden yazıyoruz:
;
.
Formülü uygulayalım:
.
;
;
;
.
Böylece yörünge denklemini elde ettik:
.
Bu, bir noktada köşesi ve simetri ekseni olan bir parabolün denklemidir.
Çünkü
, O
; veya
.
Benzer şekilde koordinat için bir kısıtlama elde ederiz:
;
;
Böylece noktanın hareketinin yörüngesi bir parabolün yayı olur.
,
da yerleşmiş
Ve .
Noktalardan bir parabol oluşturuyoruz.
| 0 | 6 |
| 3 | 5,625 |
| 6 | 4,5 |
| 9 | 2,625 |
| 12 | 0 |
Noktanın o andaki konumunu belirliyoruz.
;
.
Bir noktanın hızının belirlenmesi
Koordinatların zamana göre türevini alarak hız bileşenlerini buluruz.
.
Farklılaştırmak için trigonometri formülünü uygulamak uygundur:
. Daha sonra
;
.
Hız bileşenlerinin değerlerini o andaki hesaplıyoruz:
;
.
Hız Modülü:
.
Bir noktanın ivmesinin belirlenmesi
Hız ve zamanın bileşenlerini ayırarak noktanın ivmesinin bileşenlerini buluruz.
;
.
İvme bileşenlerinin değerlerini o andaki hesaplıyoruz:
;
.
Hızlandırma modülü:
.
Teğetsel ivme, toplam ivmenin hız yönüne izdüşümüdür:
.
Çünkü teğetsel ivme vektörü hızın tersi yönündedir.
Normal hızlanma:
.
Vektör ve yörüngenin eğrilik merkezine doğru yönlendirilir.
Yörüngenin eğrilik yarıçapı:
.
Bir noktanın yörüngesi bir parabolün yayıdır
;
.
Nokta hızı: .
Nokta ivmesi: ; ; .
Yörüngenin eğrilik yarıçapı: .
Diğer miktarların belirlenmesi
Sorunu çözerken şunu bulduk:
vektör ve hız modülü:
;
;
toplam ivmenin vektörü ve modülü:
;
;
teğetsel ve normal ivme:
;
;
yörüngenin eğrilik yarıçapı: .
Kalan miktarları belirleyelim.
Yola teğet yöndeki birim vektör:
.
Teğetsel ivme vektörü:
.
Normal ivme vektörü:
.
Ana normal doğrultusunda birim vektör:
.
Yörüngenin eğrilik merkezinin koordinatları:
.
Koordinat sisteminin ve eksenlerine dik olan üçüncü eksenini tanıtalım. Üç boyutlu bir sistemde
;
.
Binormal yönde birim vektör:
.
