Logaritmaların toplanması ve çıkarılması. Logaritmanın özellikleri ve çözüm örnekleri

İlkel düzey cebirin unsurlarından biri logaritmadır. İsmi Yunanca “sayı” veya “kuvvet” kelimesinden gelir ve son sayıyı bulmak için tabandaki sayının yükseltilmesi gereken kuvvet anlamına gelir.

Logaritma türleri

log a b – b sayısının a tabanına göre logaritması (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
log b – ondalık logaritma (10 tabanına göre logaritma, a = 10);
ln b – doğal logaritma (e tabanına göre logaritma, a = e).

Logaritmalar nasıl çözülür?

B'nin a tabanına göre logaritması, b'nin a tabanına yükseltilmesini gerektiren bir üstür. Elde edilen sonuç şu şekilde telaffuz edilir: "b'nin a tabanına göre logaritması." Logaritmik problemlerin çözümü, sayıların verilen kuvvetini belirtilen sayılardan belirlemeniz gerektiğidir. Logaritmayı belirlemek veya çözmek ve gösterimin kendisini dönüştürmek için bazı temel kurallar vardır. Bunları kullanarak logaritmik denklemler çözülür, türevler bulunur, integraller çözülür ve diğer birçok işlem gerçekleştirilir. Temel olarak logaritmanın çözümü onun basitleştirilmiş gösterimidir. Aşağıda temel formüller ve özellikler verilmiştir:

Herhangi bir a için; a > 0; a ≠ 1 ve herhangi bir x için; y > 0.

a log a b = b – temel logaritmik özdeşlik
1 = 0'ı günlüğe kaydet
log a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0 için
log a x = log a c x c
log a x = log b x/ log b a – yeni bir tabana geçme formülü
log a x = 1/log x a

Logaritmalar nasıl çözülür - çözmek için adım adım talimatlar

İlk önce gerekli denklemi yazın.

Lütfen unutmayın: Taban logaritması 10 ise, giriş kısaltılır ve sonuçta ondalık logaritma elde edilir. Doğal bir e sayısı varsa, onu doğal logaritmaya indirgeyerek yazarız. Bu, tüm logaritmaların sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltildiği kuvvet olduğu anlamına gelir.

Çözüm doğrudan bu derecenin hesaplanmasında yatmaktadır. Bir ifadeyi logaritmayla çözmeden önce kurala göre yani formüller kullanılarak basitleştirilmesi gerekir. Yazıda biraz geriye giderek ana kimlikleri bulabilirsiniz.

İki farklı sayıya ancak aynı tabanlara sahip logaritmalar eklenirken ve çıkarılırken, sırasıyla b ve c sayılarının çarpımı veya bölümü olan bir logaritma ile değiştirin. Bu durumda başka bir üsse geçme formülünü uygulayabilirsiniz (yukarıya bakın).

Logaritmayı basitleştirmek için ifadeler kullanırsanız dikkate alınması gereken bazı sınırlamalar vardır. Ve bu da şudur: a logaritmasının tabanı yalnızca pozitif bir sayıdır, ancak bire eşit değildir. a gibi b sayısı da sıfırdan büyük olmalıdır.

Bir ifadeyi basitleştirerek logaritmayı sayısal olarak hesaplayamayacağınız durumlar vardır. Böyle bir ifadenin bir anlamı yoktur çünkü kuvvetlerin çoğu irrasyonel sayılardır. Bu durumda sayının kuvvetini logaritma olarak bırakın.

İle başlayalım bir logaritmasının özellikleri. Formülasyonu şu şekildedir: Birliğin logaritması sıfıra eşittir, yani, 1=0'ı günlüğe kaydet herhangi bir a>0 için a≠1. Kanıt zor değildir: Yukarıdaki a>0 ve a≠1 koşullarını karşılayan herhangi bir a için a 0 = 1 olduğundan, kanıtlanacak log a 1=0 eşitliği logaritmanın tanımından hemen çıkar.

Dikkate alınan özelliğin uygulamasına örnekler verelim: log 3 1=0, log1=0 ve .

Bir sonraki özelliğe geçelim: tabanına eşit bir sayının logaritması bire eşittir, yani, log a=1 a>0 için a≠1. Aslında, herhangi bir a için a 1 =a olduğundan logaritmanın tanımı gereği log a a=1 olur.

Logaritmaların bu özelliğini kullanma örnekleri log 5 5=1, log 5,6 5,6 ve lne=1 eşitlikleridir.

Örneğin, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ve .

İki pozitif sayının çarpımının logaritması x ve y bu sayıların logaritmasının çarpımına eşittir: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Bir çarpımın logaritmasının özelliğini kanıtlayalım. Derecenin özelliklerinden dolayı a log a x+log a y =a log a x ·a log a y ve ana logaritmik özdeşliğe göre a log a x =x ve a log a y =y olduğundan, a log a x ·a log a y =x·y. Böylece, logaritmanın tanımına göre eşitliğin kanıtlandığı log a x+log a y =x·y olur.

Bir çarpımın logaritması özelliğinin kullanımına ilişkin örnekler gösterelim: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ve .

Bir çarpımın logaritmasının özelliği, x 1 , x 2 , …, x n pozitif sayılarından oluşan sonlu bir n sayısının çarpımına genelleştirilebilir: log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Bu eşitlik sorunsuz bir şekilde kanıtlanabilir.

Örneğin, çarpımın doğal logaritması 4, e ve sayılarının üç doğal logaritmasının toplamı ile değiştirilebilir.

İki pozitif sayının bölümünün logaritması x ve y bu sayıların logaritmaları arasındaki farka eşittir. Bir bölümün logaritmasının özelliği, a>0, a≠1, x ve y'nin bazı pozitif sayılar olduğu formdaki bir formüle karşılık gelir. Bu formülün geçerliliği, bir çarpımın logaritması formülünün yanı sıra kanıtlanmıştır: çünkü , daha sonra logaritmanın tanımı gereği.

Logaritmanın bu özelliğini kullanmanın bir örneği: .

Konusuna geçelim kuvvetin logaritmasının özelliği. Bir derecenin logaritması, üssün çarpımına ve bu derecenin tabanının modülünün logaritmasına eşittir. Bir kuvvetin logaritmasının bu özelliğini formül olarak yazalım: log a b p =p·log a |b| burada a>0, a≠1, b ve p, b p derecesi anlamlı ve b p >0 olacak şekilde sayılardır.

Öncelikle bu özelliği pozitif b için kanıtlayalım. Temel logaritmik özdeşlik, b sayısını a log a b, ardından b p =(a log a b) p olarak temsil etmemize olanak tanır ve ortaya çıkan ifade, kuvvet özelliği nedeniyle a p·log a b'ye eşittir. Böylece b p =a p·log a b eşitliğine ulaşıyoruz ve bundan logaritmanın tanımına göre log a b p =p·log a b sonucunu çıkarıyoruz.

Geriye bu özelliği negatif b için kanıtlamak kalıyor. Burada negatif b için log a b p ifadesinin yalnızca çift p üsleri için anlamlı olduğunu görüyoruz (çünkü b p derecesinin değeri sıfırdan büyük olmalıdır, aksi takdirde logaritmanın bir anlamı olmayacaktır) ve bu durumda b p =|b| P. Daha sonra bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, buradan log a b p =p·log a |b| .

Örneğin, ve ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Önceki mülkten kaynaklanmaktadır kökten logaritmanın özelliği: n'inci kökün logaritması, 1/n kesrinin radikal ifadenin logaritması ile çarpımına eşittir, yani, , burada a>0, a≠1, n birden büyük bir doğal sayıdır, b>0.

Kanıt, herhangi bir pozitif b için geçerli olan eşitliğe (bkz.) ve kuvvetin logaritmasının özelliğine dayanmaktadır: .

İşte bu özelliği kullanmanın bir örneği: .

Şimdi kanıtlayalım yeni bir logaritma tabanına geçme formülü tür . Bunu yapmak için log c b=log a b·log c a eşitliğinin geçerliliğini kanıtlamak yeterlidir. Temel logaritmik kimlik, b sayısını a log a b olarak temsil etmemize ve ardından log c b=log ca log a b olarak göstermemize olanak tanır. Derecenin logaritmasının özelliğini kullanmaya devam ediyor: log c a log a b =log a b log c a. Bu, log c b=log a b·log c a eşitliğini kanıtlar; bu, logaritmanın yeni tabanına geçiş formülünün de kanıtlanmış olduğu anlamına gelir.

Logaritmanın bu özelliğini kullanmaya ilişkin birkaç örnek gösterelim: ve .

Yeni bir tabana geçme formülü, "uygun" bir tabana sahip logaritmalarla çalışmaya devam etmenizi sağlar. Örneğin, doğal veya ondalık logaritmalara gitmek için kullanılabilir, böylece bir logaritma tablosundan bir logaritmanın değerini hesaplayabilirsiniz. Yeni bir logaritma tabanına geçme formülü, bazı durumlarda, bazı logaritmaların diğer tabanlarla değerleri bilindiğinde belirli bir logaritmanın değerini bulmayı da sağlar.

Formun c=b'si için yeni bir logaritma tabanına geçiş için formülün özel bir durumu sıklıkla kullanılır . Bu, log a b ve log b a – olduğunu gösterir. Örneğin, .

Formül de sıklıkla kullanılır Logaritma değerlerini bulmak için uygundur. Sözlerimizi doğrulamak için, formun logaritmasının değerini hesaplamak için nasıl kullanılabileceğini göstereceğiz. Sahibiz . Formülü kanıtlamak için logaritmanın yeni bir tabanına geçiş için formülü kullanmak yeterlidir: .

Logaritmaların karşılaştırılması özelliklerini kanıtlamak için kalır.

Herhangi bir pozitif sayı için b 1 ve b 2, b 1 olduğunu kanıtlayalım. log a b 2 ve a>1 için – eşitsizlik log a b 1

Son olarak, logaritmanın listelenen özelliklerinin sonuncusunu kanıtlamak kalıyor. Kendimizi bunun ilk kısmının ispatıyla sınırlayalım, yani a 1 >1, a 2 >1 ve a 1 ise ispatlayacağız. 1 doğrudur log a 1 b>log a 2 b . Logaritmanın bu özelliğinin geri kalan ifadeleri benzer bir prensibe göre kanıtlanmıştır.

Tam tersi yöntemi kullanalım. 1 >1, 2 >1 ve 1 için olduğunu varsayalım. 1 doğrudur log a 1 b≤log a 2 b . Logaritmanın özelliklerine dayanarak bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: Ve sırasıyla log b a 1 ≤log b a 2 ve log b a 1 ≥log b a 2 olur. O halde aynı tabanlara sahip kuvvetlerin özelliklerine göre b log b a 1 ≥b log b a 2 ve b log b a 1 ≥b log b a 2 eşitlikleri geçerli olmalıdır, yani a 1 ≥a 2 . Böylece a 1 koşuluyla çelişkiye geldik

Kaynakça.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).

Bir sayının logaritması N dayalı A üs denir X oluşturmanız gereken A numarayı almak için N
Şartıyla
,
,
Logaritmanın tanımından şu sonuç çıkıyor
, yani
- bu eşitlik temel logaritmik özdeşliktir.
10 tabanına dayalı logaritmalara ondalık logaritma denir. Yerine
yazmak
.
Tabana göre logaritmalar e doğal olarak adlandırılır ve belirlenir
.
Logaritmanın temel özellikleri.
Herhangi bir taban için birliğin logaritması sıfıra eşittir.

Ürünün logaritması, faktörlerin logaritmasının toplamına eşittir.

3) Bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir

Faktör
logaritmalardan tabana geçiş modülü denir A tabandaki logaritmalara B .
2-5 arasındaki özellikleri kullanarak, karmaşık bir ifadenin logaritmasını logaritmalar üzerinde yapılan basit aritmetik işlemlerin sonucuna indirgemek genellikle mümkündür.
Örneğin,
Bir logaritmanın bu tür dönüşümlerine logaritma denir. Logaritmanın tersi olan dönüşümlere potansiyasyon denir.
Bölüm 2. Yüksek matematiğin unsurları.
1. Sınırlar
Fonksiyonun sınırı
sonlu bir sayıdır A eğer xx 0 önceden belirlenmiş her biri için
öyle bir sayı var ki
en kısa sürede
, O
.
Limiti olan bir fonksiyon ondan sonsuz küçük bir miktarda farklılık gösterir:
, nerede- b.m.v., yani.
.
Örnek. İşlevi düşünün
.
Çabalarken
, işlev sen sıfıra doğru eğilim gösterir:
1.1. Limitlerle ilgili temel teoremler.
Sabit bir değerin limiti bu sabit değere eşittir

.
Sonlu sayıda fonksiyonun toplamının (farkının) limiti, bu fonksiyonların limitlerinin toplamına (farkına) eşittir.

Sonlu sayıda fonksiyonun çarpımının limiti, bu fonksiyonların limitlerinin çarpımına eşittir.

Paydanın limiti sıfır değilse, iki fonksiyonun bölümünün limiti, bu fonksiyonların limitlerinin bölümüne eşittir.

Harika Sınırlar
,
, Nerede
1.2. Limit Hesaplama Örnekleri
Ancak tüm limitler bu kadar kolay hesaplanmıyor. Çoğu zaman, limitin hesaplanması şu türden bir belirsizliğin ortaya çıkarılmasına indirgenir: veya .
.
2. Bir fonksiyonun türevi
Bir fonksiyonumuz olsun
, segmentte sürekli
.
Argüman biraz artış var
. Daha sonra fonksiyon bir artış alacaktır
.
Bağımsız değişken değeri fonksiyon değerine karşılık gelir
.
Bağımsız değişken değeri
fonksiyon değerine karşılık gelir.
Buradan, .
Bu oranın limitini bulalım.
. Eğer bu limit mevcutsa buna verilen fonksiyonun türevi denir.
Tanım 3 Verilen bir fonksiyonun türevi
argümanla argümanın artışı keyfi olarak sıfıra yaklaştığında, bir fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir.
Bir fonksiyonun türevi
aşağıdaki gibi belirlenebilir:
; ; ; .
Tanım 4Bir fonksiyonun türevini bulma işlemine denir farklılaşma.
2.1. Türevin mekanik anlamı.
Katı bir cismin ya da maddesel bir noktanın doğrusal hareketini ele alalım.
Zamanın bir noktasında izin ver hareket noktası
uzaktaydı başlangıç pozisyonundan
.
Bir süre sonra
mesafe kat etti
. Davranış =- maddi bir noktanın ortalama hızı
. Bunu dikkate alarak bu oranın limitini bulalım.
.
Sonuç olarak, maddi bir noktanın anlık hareket hızının belirlenmesi, yolun zamana göre türevinin bulunmasına indirgenir.
2.2. Türevin geometrik değeri
Grafiksel olarak tanımlanmış bir fonksiyonumuz olsun
.
Pirinç. 1. Türevin geometrik anlamı
Eğer
, sonra işaret et
, noktaya yaklaşarak eğri boyunca hareket edecek
.
Buradan
, yani argümanın belirli bir değeri için türevin değeri Belirli bir noktada tanjantın eksenin pozitif yönü ile oluşturduğu açının tanjantına sayısal olarak eşittir
.
2.3. Temel farklılaşma formülleri tablosu.
Güç fonksiyonu

Üstel fonksiyon

Logaritmik fonksiyon

Trigonometrik fonksiyon

Ters trigonometrik fonksiyon

2.4. Farklılaşma kuralları.
Türevi

Fonksiyonların toplamının (farkının) türevi

İki fonksiyonun çarpımının türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevi

2.5. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
Fonksiyon verilsin
şeklinde temsil edilebilecek şekilde
Ve
değişken burada o zaman bir ara argümandır
Karmaşık bir fonksiyonun türevi, verilen fonksiyonun ara argümana göre türevi ile ara argümanın x'e göre türevinin çarpımına eşittir.
Örnek 1.
Örnek 2.
3. Diferansiyel fonksiyon.
Bırak olsun
belirli bir aralıkta türevlenebilir
bırak gitsin en bu fonksiyonun bir türevi var
,
o zaman yazabiliriz
(1),
Nerede - sonsuz küçük bir miktar,
ne zamandan beri
Tüm eşitlik koşullarını (1) ile çarpmak
sahibiz:
Nerede
- b.m.v. yüksek mertebeden.
Büyüklük
fonksiyonun diferansiyeli denir
ve belirlenmiş
.
3.1. Diferansiyelin geometrik değeri.
Fonksiyon verilsin
.
İncir. 2. Diferansiyelin geometrik anlamı.
.
Açıkçası, fonksiyonun diferansiyeli
belirli bir noktadaki teğetin koordinatındaki artışa eşittir.
3.2. Çeşitli mertebelerden türevler ve diferansiyeller.
eğer oradaysa
, Daha sonra
birinci türev denir.
Birinci türevin türevine ikinci dereceden türev denir ve şöyle yazılır:
.
Fonksiyonun n'inci dereceden türevi
(n-1)'inci dereceden türev olarak adlandırılır ve şöyle yazılır:
.
Bir fonksiyonun diferansiyelinin diferansiyeline ikinci diferansiyel veya ikinci derece diferansiyel denir.
.

.
3.3 Biyolojik problemlerin farklılaşmayı kullanarak çözülmesi.
Görev 1. Çalışmalar, bir mikroorganizma kolonisinin büyümesinin yasalara uygun olduğunu göstermiştir.
, Nerede N – mikroorganizmaların sayısı (bin olarak), T – zaman (günler).
b) Bu dönemde koloninin nüfusu artacak mı yoksa azalacak mı?
Cevap. Koloninin boyutu artacaktır.
Görev 2. Göldeki su, patojen bakterilerin içeriğini izlemek için periyodik olarak test edilir. Başından sonuna kadar T testten sonraki günler, bakteri konsantrasyonu orana göre belirlenir
.
Gölde ne zaman minimum bakteri konsantrasyonu olacak ve içinde yüzmek mümkün olacak mı?
Çözüm: Bir fonksiyon, türevi sıfır olduğunda maksimum veya minimuma ulaşır.
,
Maksimum veya minimumun 6 gün sonra olacağını belirleyelim. Bunu yapmak için ikinci türevi alalım.

Cevap: 6 gün sonra minimum bakteri konsantrasyonu olacaktır.

Doğal logaritmanın temel özellikleri, grafiği, tanım bölgesi, değer kümesi, temel formüller, türev, integral, kuvvet serisi açılımı ve ln x fonksiyonunun karmaşık sayılar kullanılarak gösterimi verilmektedir.

Tanım

Doğal logaritma fonksiyon y = x olarak, üstel sayının tersi, x = e y ve e sayısının tabanının logaritmasıdır: ln x = log e x.

Doğal logaritma matematikte yaygın olarak kullanılır çünkü türevi en basit forma sahiptir: (ln x)' = 1/ x.

Temelli tanımlar doğal logaritmanın tabanı sayıdır e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

y = fonksiyonunun grafiği x olarak.

Doğal logaritmanın grafiği (fonksiyonlar y = x olarak), y = x düz çizgisine göre ayna yansımasıyla üstel grafikten elde edilir.

Doğal logaritma, x değişkeninin pozitif değerleri için tanımlanır. Tanım alanında monoton bir şekilde artar.

x'te → 0 doğal logaritmanın sınırı eksi sonsuzdur (-∞).

X → + ∞ olduğundan doğal logaritmanın sınırı artı sonsuzdur (+ ∞). Büyük x için logaritma oldukça yavaş artar. Pozitif bir a üssüne sahip herhangi bir xa kuvvet fonksiyonu logaritmadan daha hızlı büyür.

Doğal logaritmanın özellikleri

Tanım alanı, değerler kümesi, ekstremum, artış, azalma

Doğal logaritma monotonik olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Doğal logaritmanın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır.

lnx değerleri

1 = 0

Doğal logaritmalar için temel formüller

Ters fonksiyonun tanımından aşağıdaki formüller:

Logaritmanın temel özelliği ve sonuçları

Baz değiştirme formülü

Herhangi bir logaritma, baz ikame formülü kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:

Bu formüllerin ispatları Logaritma bölümünde sunulmuştur.

Ters fonksiyon

Doğal logaritmanın tersi üstür.

Eğer öyleyse

Eğer öyleyse.

Türev ln x

Doğal logaritmanın türevi:
.
Modül x'in doğal logaritmasının türevi:
.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >

İntegral

İntegral, parçalara göre entegrasyonla hesaplanır:
.
Bu yüzden,

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Karmaşık z değişkeninin fonksiyonunu düşünün:
.
Karmaşık değişkeni ifade edelim z modül aracılığıyla R ve argüman φ :
.
Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
.
Veya
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Eğer koyarsan
n bir tamsayı olmak üzere,
farklı n'ler için aynı sayı olacaktır.

Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu olarak doğal logaritma, tek değerli bir fonksiyon değildir.

Kuvvet serisi genişletmesi

Genişleme gerçekleştiğinde:

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

Logaritmik ifadeler, çözüm örnekleri. Bu yazıda logaritma çözümüyle ilgili problemlere bakacağız. Görevler bir ifadenin anlamını bulma sorusunu sorar. Logaritma kavramının birçok görevde kullanıldığını ve anlamını anlamanın son derece önemli olduğunu belirtmek gerekir. Birleşik Devlet Sınavına gelince, logaritma denklemleri çözerken, uygulamalı problemlerde ve ayrıca fonksiyonların incelenmesiyle ilgili görevlerde kullanılır.
Logaritmanın anlamını anlamak için örnekler verelim:

Temel logaritmik kimlik:
Logaritmanın her zaman hatırlanması gereken özellikleri:
*Çarpımın logaritması, faktörlerin logaritmasının toplamına eşittir.
* * *
*Bir bölümün (kesir) logaritması, faktörlerin logaritmaları arasındaki farka eşittir.
* * *
*Üssün logaritması üssün logaritması ile üssün çarpımına eşittir.
* * *
*Yeni bir temele geçiş
* * *
Daha fazla özellik:
* * *
Logaritmanın hesaplanması üslü sayıların özelliklerinin kullanımıyla yakından ilgilidir.
Bunlardan bazılarını listeleyelim:
Bu özelliğin özü, pay paydaya aktarıldığında ve tam tersi durumda üssün işaretinin tersine değişmesidir. Örneğin:
Bu özellikten bir sonuç:
* * *
Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken taban aynı kalır ancak üsler çarpılır.
* * *
Gördüğünüz gibi logaritma kavramının kendisi basittir. Önemli olan, size belirli bir beceri kazandıran iyi uygulamaya ihtiyacınız olmasıdır. Elbette formül bilgisi gereklidir. Temel logaritmaları dönüştürme becerisi geliştirilmediyse, basit görevleri çözerken kolayca hata yapabilirsiniz.
Pratik yapın, önce matematik dersindeki en basit örnekleri çözün, ardından daha karmaşık olanlara geçin. Gelecekte logaritmaların nasıl çözüldüğünü kesinlikle göstereceğim; Birleşik Devlet Sınavında görünmeyecekler ama ilgi çekiciler, kaçırmayın!
Bu kadar! Sana iyi şanslar!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.