Ayrık dağılımların dikkate alınan özelliği, bu tür dağılımları tablolaştırırken ve kullanırken önemli zorluklar yaratır, çünkü dağıtım özelliklerinin tipik sayısal değerlerini doğru bir şekilde korumak imkansızdır. Bu, özellikle parametrik olmayan istatistiksel testlerin kritik değerleri ve anlamlılık seviyeleri için geçerlidir (aşağıya bakın), çünkü bu testlerin istatistiklerinin dağılımları ayrıktır.

İstatistikte nicelik sırası büyük önem taşır R= S. Buna medyan denir (rastgele değişken X veya dağıtım işlevi F(x)) ve belirlenmiş Ben(X). Geometride "medyan" kavramı vardır - bir üçgenin tepe noktasından geçen ve karşı tarafını ikiye bölen düz bir çizgi. Matematiksel istatistikte medyan üçgenin kenarını değil, bir rastgele değişkenin dağılımını ikiye böler: eşitlik F(x0,5)= 0,5 sola gitme olasılığı anlamına gelir x 0,5 ve sağa gitme olasılığı x 0,5(veya doğrudan x 0,5) birbirine eşit ve S'ye eşittir, yani.

P(X < X 0,5) = P(X > X 0,5) = S.

Medyan, dağılımın "merkezini" gösterir. Modern kavramlardan birinin (kararlı istatistiksel prosedürler teorisi) bakış açısından medyan, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentiden daha iyi bir özelliğidir. Sıralı ölçekte ölçüm sonuçları işlenirken (ölçüm teorisi hakkındaki bölüme bakın), medyan kullanılabilir ancak matematiksel beklenti kullanılamaz.

Rastgele bir değişkenin mod gibi bir özelliğinin açık bir anlamı vardır - sürekli bir rastgele değişken için olasılık yoğunluğunun yerel maksimumuna veya ayrı bir rastgele değişken için olasılığın yerel maksimumuna karşılık gelen bir rastgele değişkenin değeri (veya değerleri) .

Eğer x 0– yoğunluğa sahip bir rastgele değişkenin modu f(x), o zaman, diferansiyel hesaptan bilindiği gibi, .

Bir rastgele değişkenin birçok modu olabilir. Yani, düzgün dağılım için (1) her nokta Xöyle ki A< x < b , modadır. Ancak bu bir istisnadır. Olasılıksal istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda kullanılan rastgele değişkenlerin çoğunun bir modu vardır. Tek modlu rastgele değişkenler, yoğunluklar ve dağılımlara tek modlu denir.

Sonlu sayıda değere sahip ayrık rastgele değişkenler için matematiksel beklenti “Olaylar ve Olasılıklar” bölümünde tartışılmaktadır. Sürekli bir rastgele değişken için X beklenen değer M(X) eşitliği karşılıyor

bu, “Olaylar ve Olasılıklar” bölümünün 2. ifadesindeki formül (5)'in bir benzeridir.

Örnek 5. Düzgün dağıtılmış bir rastgele değişken için beklenti X eşittir

Bu bölümde ele alınan rastgele değişkenler için, sonlu sayıda değere sahip ayrık rastgele değişkenler için daha önce ele alınan matematiksel beklentilerin ve varyansların tüm özellikleri doğrudur. Ancak, olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinin anlaşılması ve nitelikli uygulanması için gerekli olmayan matematiksel inceliklerin derinleştirilmesini gerektirdiğinden, bu özelliklerin kanıtını sunmuyoruz.

Yorum. Bu ders kitabı, özellikle ölçülebilir kümeler ve ölçülebilir fonksiyonlar, olayların cebiri vb. kavramlarıyla ilgili matematiksel inceliklerden bilinçli olarak kaçınır. Bu kavramlara hakim olmak isteyenler özel literatüre, özellikle de ansiklopedilere başvurmalıdır.

Üç özelliğin her biri (matematiksel beklenti, medyan, mod) olasılık dağılımının "merkezini" tanımlar. "Merkez" kavramı farklı şekillerde tanımlanabilir; dolayısıyla üç farklı özelliği vardır. Bununla birlikte, önemli bir dağılım sınıfı (simetrik tek modlu) için üç özelliğin tümü çakışmaktadır.

Dağıtım yoğunluğu f(x)– eğer bir sayı varsa simetrik dağılımın yoğunluğu x 0öyle ki

. (3)

Eşitlik (3), fonksiyonun grafiğinin olduğu anlamına gelir y = f(x) simetri merkezinden geçen dikey bir çizgiye göre simetrik X = X 0. (3)'ten simetrik dağılım fonksiyonunun ilişkiyi karşıladığı sonucu çıkar

(4)

Tek modlu simetrik bir dağılım için matematiksel beklenti, medyan ve mod çakışır ve eşittir x 0.

En önemli durum 0 civarında simetridir, yani. x 0= 0. O zaman (3) ve (4) eşitlik olur

(6)

sırasıyla. Yukarıdaki ilişkiler, tüm dağılımlar için simetrik dağılımları tablolaştırmaya gerek olmadığını göstermektedir. X, masaların olması yeterli X > x 0.

Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda sürekli olarak kullanılan simetrik dağılımların bir özelliğini daha not edelim. Sürekli bir dağıtım fonksiyonu için

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

Nerede F– rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu X. Dağıtım fonksiyonu ise F 0 civarında simetriktir, yani formül (6) bunun için geçerlidir, o zaman

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Söz konusu ifadenin başka bir formülasyonu sıklıkla kullanılır:

.

Eğer ve ve değerleri 0 civarında simetrik bir dağılım fonksiyonunun sırasıyla (bkz. (2)) sıralı nicelikleri ise, o zaman (6)'dan şu sonuç çıkar:

Konumun özelliklerinden (matematiksel beklenti, medyan, mod) rastgele değişkenin yayılma özelliklerine geçelim X: varyans, standart sapma ve varyasyon katsayısı v. Ayrık rastgele değişkenler için dağılımın tanımı ve özellikleri önceki bölümde tartışılmıştı. Sürekli rastgele değişkenler için

Standart sapma, varyansın karekökünün negatif olmayan değeridir:

Değişim katsayısı standart sapmanın matematiksel beklentiye oranıdır:

Değişim katsayısı şu durumlarda uygulanır: M(X)> 0. Yayılımı bağıl birimlerle ölçer, standart sapma ise mutlak birimlerle ölçülür.

Örnek 6. Düzgün dağıtılmış bir rastgele değişken için X Dağılım, standart sapma ve varyasyon katsayısını bulalım. Varyans:

Değişkeni değiştirmek şunu yazmayı mümkün kılar:

Nerede C = (B – A)/ 2. Dolayısıyla standart sapma eşittir ve değişim katsayısı:

Her rastgele değişken için Xüç nicelik daha belirleyin - merkezli e, normalleştirilmiş V ve verildi sen. Merkezi rastgele değişken e belirli bir rastgele değişken arasındaki farktır X ve matematiksel beklentisi M(X), onlar. e = X – M(X). Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin beklentisi e 0'a eşittir ve varyans, belirli bir rastgele değişkenin varyansıdır: M(e) = 0, D(e) = D(X). Dağıtım işlevi FY(X) merkezli rastgele değişken e dağıtım fonksiyonuyla ilgili F(X) orijinal rastgele değişken X oran:

FY(X) = F(X + M(X)).

Bu rastgele değişkenlerin yoğunlukları eşitliği sağlar

f Y(X) = F(X + M(X)).

Normalleştirilmiş rastgele değişken V belirli bir rastgele değişkenin oranıdır X standart sapmasına, yani . Normalleştirilmiş bir rastgele değişkenin beklentisi ve varyansı Vözelliklerle ifade edilir X Bu yüzden:

,

Nerede v– orijinal rastgele değişkenin varyasyon katsayısı X. Dağıtım fonksiyonu için F V(X) ve yoğunluk fV(X) normalleştirilmiş rastgele değişken V sahibiz:

Nerede F(X) – orijinal rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu X, A F(X) – olasılık yoğunluğu.

Azaltılmış rastgele değişken sen merkezli ve normalleştirilmiş bir rastgele değişkendir:

.

Verilen rastgele değişken için

Normalleştirilmiş, ortalanmış ve azaltılmış rastgele değişkenler hem teorik çalışmalarda hem de algoritmalarda, yazılım ürünlerinde, düzenleyici, teknik ve eğitici belgelerde sürekli olarak kullanılmaktadır. Özellikle eşitlikler nedeniyle Yöntemlerin gerekçelendirilmesini, teoremlerin formülasyonunu ve hesaplama formüllerini basitleştirmeyi mümkün kılar.

Rastgele değişkenlerin dönüşümleri ve daha genel olanları kullanılır. Yani eğer e = balta + B, Nerede A Ve B– bazı sayılar, o zaman

Örnek 7. Eğer o zaman e indirgenmiş rastgele değişkendir ve formüller (8), formüllere (7) dönüşür.

Her rastgele değişkenle X birçok rastgele değişkeni ilişkilendirebilirsiniz e formül tarafından verilen e = balta + B farklı olarak A> 0 ve B. Bu sete denir ölçek değiştiren aile rastgele değişken tarafından oluşturulan X. Dağıtım fonksiyonları FY(X) dağıtım fonksiyonu tarafından oluşturulan ölçek değiştirme dağılım ailesini oluşturur F(X). Yerine e = balta + B sıklıkla kayıt kullanın

Sayı İle kaydırma parametresi denir ve sayı D- ölçek parametresi. Formül (9) şunu gösterir: X– belirli bir miktarın ölçülmesinin sonucu – şuna girer: sen– ölçümün başlangıcı noktaya kaydırılırsa aynı miktarın ölçülmesinin sonucu İle ve ardından yeni ölçü birimini kullanın. D eskisinden kat kat daha büyük.

Ölçek kaydırma ailesi (9) için X'in dağılımına standart denir. Olasılıksal istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda standart normal dağılım, standart Weibull-Gnedenko dağılımı, standart gama dağılımı vb. kullanılır (aşağıya bakınız).

Rastgele değişkenlerin diğer dönüşümleri de kullanılır. Örneğin pozitif bir rastgele değişken için X Düşünüyor musun e= günlük X lg nerede X– bir sayının ondalık logaritması X. Eşitlik zinciri

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10X)

dağıtım fonksiyonlarını birbirine bağlar X Ve e.

Verileri işlerken rastgele bir değişkenin aşağıdaki özellikleri kullanılır X düzen anları olarak Q, yani rastgele bir değişkenin matematiksel beklentileri Xq, Q= 1, 2, ... Dolayısıyla matematiksel beklentinin kendisi 1. mertebeden bir momenttir. Ayrık bir rastgele değişken için mertebeden moment Qşu şekilde hesaplanabilir

Sürekli bir rastgele değişken için

Sipariş anları Q aynı zamanda düzenin ilk anları da denir Q, ilgili özelliklerin aksine - düzenin merkezi anları Q, formül tarafından verilen

Yani dağılım 2. dereceden merkezi bir momenttir.

Normal dağılım ve merkezi limit teoremi. Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde sıklıkla normal dağılımdan bahsederiz. Bazen bunu başlangıç ​​verilerinin dağılımını modellemek için kullanmaya çalışırlar (bu girişimler her zaman haklı değildir; aşağıya bakınız). Daha da önemlisi birçok veri işleme yöntemi, hesaplanan değerlerin normale yakın dağılımlara sahip olması gerçeğine dayanmaktadır.

İzin vermek X 1 , X 2 ,…, Xn M(X ben) = M ve varyanslar D(X ben) = , Ben= 1, 2,…, N,... Önceki bölümün sonuçlarından aşağıdaki gibi,

İndirgenmiş rastgele değişkeni düşünün B n miktar için , yani,

Formül (7)'den aşağıdaki gibi, M(B n) = 0, D(B n) = 1.

(aynı şekilde dağıtılmış terimler için). İzin vermek X 1 , X 2 ,…, Xn, … – bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler ve matematiksel beklentiler M(X ben) = M ve varyanslar D(X ben) = , Ben= 1, 2,…, N,... O zaman herhangi bir x için bir limit vardır

Nerede F(x)– standart normal dağılımın işlevi.

İşlev hakkında daha fazla bilgi F(x) – aşağıda (“x'ten phi”yi okuyun, çünkü F- Yunanca büyük harf "phi").

Merkezi limit teoremi (CLT), olasılık teorisinin ve matematiksel istatistiğin merkezi ve en yaygın kullanılan matematiksel sonucu olduğundan adını alır. CLT'nin tarihi yaklaşık 200 yıl sürer - İngiliz matematikçi A. Moivre'nin (1667-1754) CLT ile ilgili ilk sonucu yayınladığı 1730'dan (Moivre-Laplace teoremi hakkında aşağıya bakın), yirmili ve otuzlu yıllara kadar. yirminci yüzyılda Finn J.W. Lindeberg, Fransız Paul Levy (1886-1971), Yugoslav V. Feller (1906-1970), Rus A.Ya. Khinchin (1894-1959) ve diğer bilim adamları klasik merkezi limit teoreminin geçerliliği için gerekli ve yeterli koşulları elde ettiler.

Söz konusu konunun gelişimi burada bitmedi - dağılımı olmayan rastgele değişkenler üzerinde çalıştılar, yani. kimin için olanlar

(akademisyen B.V. Gnedenko ve diğerleri), sayılardan daha karmaşık nitelikteki rastgele değişkenlerin (daha doğrusu rastgele öğeler) toplandığı bir durum (akademisyenler Yu.V. Prokhorov, A.A. Borovkov ve ortakları), vb.

Dağıtım işlevi F(x) eşitlikle verilir

,

oldukça karmaşık bir ifadeye sahip olan standart normal dağılımın yoğunluğu nerede:

.

Burada =3,1415925… geometride bilinen, çevrenin çapa oranına eşit bir sayıdır, e= 2,718281828... - doğal logaritmanın tabanı (bu sayıyı hatırlamak için lütfen 1828'in yazar L.N. Tolstoy'un doğum yılı olduğunu unutmayın). Matematiksel analizlerden bilindiği üzere,

Gözlem sonuçları işlenirken normal dağılım fonksiyonu verilen formüller kullanılarak hesaplanmaz, özel tablolar veya bilgisayar programları kullanılarak bulunur. Rusça'daki en iyi “Matematiksel istatistik tabloları” SSCB Bilimler Akademisi L.N.'nin ilgili üyeleri tarafından derlendi. Bolşev ve N.V. Smirnov.

Standart normal dağılımın yoğunluğunun biçimi, burada ele alamayacağımız matematik teorisinin yanı sıra CLT'nin kanıtından kaynaklanmaktadır.

Örnek olarak dağıtım fonksiyonunun küçük tablolarını sunuyoruz F(x)(Tablo 2) ve miktarları (Tablo 3). İşlev F(x) Tablo 2-3'te yansıtılan 0 civarında simetriktir.

Tablo 2.

Standart normal dağılım fonksiyonu.

Rastgele değişken ise X bir dağıtım işlevi vardır F(x), O M(X) = 0, D(X) = 1. Bu ifade olasılık teorisinde olasılık yoğunluğunun biçimine göre kanıtlanmıştır. İndirgenmiş rastgele değişkenin özellikleri için benzer bir ifadeyle tutarlıdır. B n, bu oldukça doğaldır, çünkü CLT terim sayısında sınırsız bir artışla dağıtım fonksiyonunun olduğunu belirtir. B n standart normal dağılım fonksiyonuna yönelir F(x), ve herhangi biri için X.

Tablo 3.

Standart normal dağılımın nicelikleri.

Normal dağılım ailesi kavramını tanıtalım. Tanım gereği normal dağılım, bir rastgele değişkenin dağılımıdır. X indirgenmiş rastgele değişkenin dağılımının olduğu F(x).Ölçek kaydırmalı dağılım ailelerinin genel özelliklerinden takip edildiği gibi (yukarıya bakın), normal bir dağılım, rastgele bir değişkenin dağılımıdır.

Nerede X– dağılımlı rastgele değişken F(X), Ve M = M(e), = D(e). Kaydırma parametreleriyle normal dağılım M ve ölçek genellikle belirtilir N(M, ) (bazen gösterim kullanılır N(M, ) ).

(8)'den takip edildiği gibi normal dağılımın olasılık yoğunluğu N(M, ) Orada

Normal dağılımlar ölçek kaydırmalı bir aile oluşturur. Bu durumda ölçek parametresi D= 1/ ve kaydırma parametresi C = - M/ .

Normal dağılımın üçüncü ve dördüncü mertebesinin merkezi momentleri için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

Bu eşitlikler, gözlemlerin normal bir dağılım izlediğini doğrulamak için kullanılan klasik yöntemlerin temelini oluşturur. Günümüzde genellikle normalliğin şu kriteri kullanarak test edilmesi tavsiye edilmektedir: K Shapiro - Wilka. Normallik testi sorunu aşağıda tartışılmaktadır.

Rastgele değişkenler ise X 1 Ve X 2 dağıtım fonksiyonları var N(M 1 , 1 ) Ve N(M 2 , 2 ) buna göre, o zaman X 1+ X 2 bir dağıtım var Bu nedenle, eğer rastgele değişkenler X 1 , X 2 ,…, Xn N(M, ) , o zaman bunların aritmetik ortalaması

bir dağıtım var N(M, ) . Normal dağılımın bu özellikleri, çeşitli olasılıksal ve istatistiksel karar verme yöntemlerinde, özellikle teknolojik süreçlerin istatistiksel düzenlenmesinde ve niceliksel kriterlere dayalı istatistiksel kabul kontrolünde sürekli olarak kullanılmaktadır.

Normal dağılım kullanılarak, istatistiksel veri işlemede artık sıklıkla kullanılan üç dağılım tanımlanır.

Dağılım (ki - kare) - rastgele bir değişkenin dağılımı

rastgele değişkenler nerede X 1 , X 2 ,…, Xn bağımsız ve aynı dağılıma sahip N(0,1). Bu durumda terim sayısı, yani. N ki-kare dağılımının “serbestlik derecesi sayısı” olarak adlandırılır.

Dağıtım TÖğrenci t'si rastgele bir değişkenin dağılımıdır

rastgele değişkenler nerede sen Ve X bağımsız, sen standart bir normal dağılıma sahiptir N(0.1) ve X– chi dağılımı – kare c Nözgürlük derecesi. burada NÖğrenci dağılımının “serbestlik derecesi sayısı” denir. Bu dağılım 1908 yılında bir bira fabrikasında çalışan İngiliz istatistikçi W. Gosset tarafından ortaya atılmıştır. Bu fabrikada ekonomik ve teknik kararların alınmasında olasılıksal ve istatistiksel yöntemler kullanıldı, bu nedenle yönetim V. Gosset'in kendi adı altında bilimsel makaleler yayınlamasını yasakladı. Bu sayede V. Gosset'in geliştirdiği olasılıksal ve istatistiksel yöntemler biçimindeki ticari sırlar ve “know-how” korundu. Ancak "Öğrenci" takma adıyla yayın yapma fırsatı buldu. Gosset-Student'in geçmişi, Büyük Britanya'daki yöneticilerin bir yüzyıl daha, olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinin daha yüksek ekonomik verimliliğinin farkında olduklarını gösteriyor.

Fisher dağılımı rastgele bir değişkenin dağılımıdır

rastgele değişkenler nerede X 1 Ve X 2 bağımsızdırlar ve serbestlik derecesi sayısıyla birlikte ki-kare dağılımlarına sahiptirler k 1 Ve k 2 sırasıyla. Aynı zamanda çift (k 1 , k 2 ) – Fisher dağılımının bir çift “serbestlik derecesi”, yani, k 1 payın serbestlik derecesi sayısıdır ve k 2 – paydanın serbestlik derecesi sayısı. F rastgele değişkeninin dağılımı, adını çalışmalarında aktif olarak kullanan büyük İngiliz istatistikçi R. Fisher'dan (1890-1962) almıştır.

Ki-kare, Öğrenci ve Fisher dağılım fonksiyonlarına ilişkin ifadeler, bunların yoğunlukları ve özellikleri ile tablolar, özel literatürde bulunabilir (örneğin bkz.).

Daha önce belirtildiği gibi, normal dağılımlar artık çeşitli uygulama alanlarındaki olasılıksal modellerde sıklıkla kullanılmaktadır. Bu iki parametreli dağılım ailesinin bu kadar yaygın olmasının nedeni nedir? Aşağıdaki teorem ile açıklığa kavuşturulur.

Merkezi Limit Teoremi(farklı şekilde dağıtılmış terimler için). İzin vermek X 1 , X 2 ,…, Xn,… - matematiksel beklentileri olan bağımsız rastgele değişkenler M(X 1 ), M(X 2 ),…, M(X n), ... ve varyanslar D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), ... sırasıyla. İzin vermek

Daha sonra, terimlerden herhangi birinin küçük katkısını sağlayan belirli koşullar doğruysa B n,

herkes için X.

Burada söz konusu koşulları formüle etmeyeceğiz. Özel literatürde bulunabilirler (örneğin bakınız). "CPT'nin faaliyet gösterdiği koşulların açıklığa kavuşturulması, seçkin Rus bilim adamları A.A. Markov'un (1857-1922) ve özellikle A.M. Lyapunov'un (1857-1918) eseridir."

Merkezi limit teoremi, bir ölçümün (gözlemin) sonucunun birçok nedenin etkisi altında oluşması ve her birinin yalnızca küçük bir katkı sağlaması durumunda toplam sonucun belirlendiğini göstermektedir. ek olarak, yani Ayrıca ölçüm (gözlem) sonucunun dağılımı da normale yakındır.

Bazen dağılımın normal olması için ölçüm (gözlem) sonucunun yeterli olduğuna inanılır. X her biri küçük bir etkiye sahip olan birçok nedenin etkisi altında oluşur. Bu yanlış. Önemli olan bu nedenlerin nasıl işlediğidir. Katkı maddesi varsa o zaman X yaklaşık olarak normal bir dağılıma sahiptir. Eğer çarpımsal olarak(yani bireysel nedenlerin eylemleri çarpılır ve eklenmez), o zaman dağılım X normale değil, sözde olana yakın. logaritmik olarak normal, yani Olumsuz X ve log X yaklaşık olarak normal bir dağılıma sahiptir. Nihai sonucun oluşması için bu iki mekanizmadan birinin (veya iyi tanımlanmış başka bir mekanizmanın) iş başında olduğuna inanmak için hiçbir neden yoksa, o zaman dağıtımla ilgili X kesin bir şey söylenemez.

Yukarıdakilerden, belirli bir uygulamalı problemde, ölçüm sonuçlarının (gözlemlerin) normalliğinin, kural olarak, genel değerlendirmelerle belirlenemeyeceği; bunun istatistiksel kriterler kullanılarak kontrol edilmesi gerektiği sonucu çıkar. Veya ölçüm sonuçlarının (gözlemlerin) dağılım fonksiyonlarının bir veya başka bir parametrik aileye üyeliğine ilişkin varsayımlara dayanmayan parametrik olmayan istatistiksel yöntemler kullanın.

Olasılıksal ve istatistiksel karar verme yöntemlerinde kullanılan sürekli dağılımlar. Normal dağılımların ölçek kaydırma ailesine ek olarak, lognormal, üstel, Weibull-Gnedenko, gama dağılımları gibi bir dizi başka dağılım ailesi de yaygın olarak kullanılmaktadır. Şimdi bu ailelere bakalım.

Rastgele değer X Rastgele değişkenin lognormal bir dağılıma sahip olması e= günlük X normal dağılıma sahiptir. Daha sonra Z= günlük X = 2,3026…e ayrıca normal dağılıma sahiptir N(A 1 ,σ1), nerede X- doğal logaritma X. Lognormal dağılımın yoğunluğu:

Merkezi limit teoreminden şu sonuç çıkıyor: X = X 1 X 2 … Xn bağımsız pozitif rastgele değişkenler X ben, Ben = 1, 2,…, N genel olarak N lognormal dağılımla yaklaşık olarak tahmin edilebilir. Özellikle, ücretlerin veya gelirin oluşumunun çarpımsal modeli, ücret ve gelir dağılımlarının logaritmik olarak normal yasalara göre yaklaşıklaştırılması tavsiyesine yol açmaktadır. Rusya için bu önerinin haklı olduğu ortaya çıktı - istatistiksel veriler bunu doğruluyor.

Lognormal yasaya yol açan başka olasılıksal modeller de vardır. Böyle bir modelin klasik bir örneği, fiziksel temelli bir varsayım sisteminden cevher, kömür vb. parçaları ezerken parçacık boyutlarının eşit olduğu sonucuna varan A.N. Kolmogorov tarafından verilmiştir. bilyalı değirmenlerde lognormal dağılıma sahiptir.

Çeşitli olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda yaygın olarak kullanılan başka bir dağılım ailesine, üstel dağılım ailesine geçelim. Bu tür dağılımlara yol açan olasılıksal bir modelle başlayalım. Bunu yapmak için "olayların akışını" göz önünde bulundurun, yani. zaman içinde belirli noktalarda birbiri ardına meydana gelen olaylar dizisi. Örnekler arasında şunlar yer alır: bir telefon santralindeki çağrı akışı; teknolojik zincirdeki ekipman arızalarının akışı; ürün testi sırasında ürün arızalarının akışı; müşteri taleplerinin banka şubesine akışı; Mal ve hizmet vb. için başvuran alıcıların akışı. Olay akışları teorisinde merkezi limit teoremine benzer bir teorem geçerlidir ancak bu, rastgele değişkenlerin toplamı değil, olay akışlarının toplamı ile ilgilidir. Hiçbirinin toplam akış üzerinde baskın bir etkisi olmayan çok sayıda bağımsız akıştan oluşan bir toplam akışı göz önünde bulunduruyoruz. Örneğin, bir telefon santralına giren bir çağrı akışı, bireysel abonelerden kaynaklanan çok sayıda bağımsız çağrı akışından oluşur. Akışların özelliklerinin zamana bağlı olmadığı durumlarda, toplam akışın tamamen tek bir sayıyla - akışın yoğunluğuyla - tanımlandığı kanıtlanmıştır. Toplam akış için rastgele değişkeni göz önünde bulundurun X- ardışık olaylar arasındaki zaman aralığının uzunluğu. Dağıtım fonksiyonu şu şekildedir:

(10)

Bu dağılıma üstel dağılım denir çünkü formül (10) üstel fonksiyonu içerir e -λ X. 1/λ değeri bir ölçek parametresidir. Bazen bir kaydırma parametresi de tanıtılır İle rasgele bir değişkenin dağılımına üstel denir X + s dağıtım nerede X formül (10) ile verilmektedir.

Üstel dağılımlar sözde özel bir durumdur. Weibull - Gnedenko dağılımları. Adlarını, bu dağılımları yorulma testlerinin sonuçlarını analiz etme pratiğine sokan mühendis V. Weibull'un ve maksimum çalışma sırasında bu tür dağılımları limit olarak alan matematikçi B.V. Gnedenko'nun (1912-1995) adlarından almıştır. Test sonuçları. İzin vermek X- bir ürünün çalışma süresini, karmaşık sistemi, elemanı (yani kaynak, sınırlayıcı bir duruma kadar çalışma süresi vb.), bir işletmenin çalışma süresini veya bir canlının ömrünü vb. karakterize eden rastgele bir değişken. Başarısızlık yoğunluğu önemli bir rol oynar

(11)

Nerede F(X) Ve F(X) - rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu ve yoğunluğu X.

Başarısızlık oranının tipik davranışını tanımlayalım. Tüm zaman aralığı üç döneme ayrılabilir. Bunlardan ilkinde fonksiyon λ(x) yüksek değerlere ve net bir azalma eğilimine sahiptir (çoğunlukla monoton olarak azalır). Bu, söz konusu ürün birimlerinin partisinde, bu ürün birimlerinin nispeten hızlı bir şekilde arızalanmasına yol açan açık ve gizli kusurların bulunmasıyla açıklanabilir. İlk döneme “alıştırma dönemi” (veya “alıştırma”) denir. Garanti süresi genellikle bunu kapsar.

Daha sonra, yaklaşık olarak sabit ve nispeten düşük bir arıza oranıyla karakterize edilen normal çalışma dönemi gelir. Bu dönemdeki arızaların niteliği anidir (kazalar, işletme personelinin hataları vb.) ve ürün ünitesinin çalışma süresine bağlı değildir.

Son olarak son çalışma dönemi eskime ve yıpranma dönemidir. Bu dönemdeki arızaların doğası, malzemelerde geri dönüşü olmayan fiziksel, mekanik ve kimyasal değişikliklerdir; bu da bir ürün ünitesinin kalitesinde giderek bozulmaya ve nihai arızaya yol açar.

Her dönemin kendine özgü bir işlevi vardır λ(x). Güç bağımlılığı sınıfını ele alalım

λ(x) = λ 0bx b -1 , (12)

Nerede λ 0 > 0 ve B> 0 - bazı sayısal parametreler. Değerler B < 1, B= 0 ve B> 1 sırasıyla alıştırma, normal çalışma ve eskime dönemleri sırasındaki arıza oranının tipine karşılık gelir.

Belirli bir başarısızlık oranında ilişki (11) λ(x)- bir fonksiyon için diferansiyel denklem F(X). Diferansiyel denklemler teorisinden şu sonuç çıkar:

(13)

(12)'yi (13)'te değiştirerek şunu elde ederiz:

(14)

Formül (14) ile verilen dağılıma Weibull - Gnedenko dağılımı denir. Çünkü

daha sonra formül (14)'ten şu miktar çıkar: A Formül (15) ile verilen, bir ölçek parametresidir. Bazen bir kaydırma parametresi de eklenir; Weibull-Gnedenko dağıtım fonksiyonları çağrılır F(X - C), Nerede F(X) bazı λ 0 için formül (14) ile verilir ve B.

Weibull-Gnedenko dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

(16)

Nerede A> 0 - ölçek parametresi, B> 0 - form parametresi, İle- kaydırma parametresi. Bu durumda parametre A formül (16)'dan parametre ile ilişkilidir λ Formül (15)'te belirtilen ilişki ile formül (14)'ten 0.

Üstel dağılım Weibull-Gnedenko dağılımının çok özel bir durumudur ve şekil parametresinin değerine karşılık gelir. B = 1.

Weibull-Gnedenko dağılımı aynı zamanda bir nesnenin davranışının "en zayıf halka" tarafından belirlendiği durumların olasılıksal modellerinin oluşturulmasında da kullanılır. Güvenliği en az dayanıklı olan bakla tarafından belirlenen bir zincire benzetme vardır. Başka bir deyişle, izin ver X 1 , X 2 ,…, Xn- bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler,

X(1)=dakika( X 1, X 2,…, X n), X(n)=maks( X 1, X 2,…, X n).

Bir dizi uygulamalı problemde önemli bir rol oynarlar. X(1) Ve X(N) özellikle, belirli değerlerin mümkün olan maksimum değerlerini ("kayıtları") incelerken, örneğin sigorta ödemeleri veya ticari risklerden kaynaklanan kayıplar, çeliğin elastikiyet ve dayanıklılık sınırlarını incelerken, bir dizi güvenilirlik özelliği vb. . Büyük n dağılımları için gösterilmiştir X(1) Ve X(N) kural olarak Weibull-Gnedenko dağılımları tarafından iyi tanımlanmıştır. Dağılımların incelenmesine temel katkı X(1) Ve X(N) Sovyet matematikçi B.V. Gnedenko'nun katkılarıyla. V. Weibull, E. Gumbel, V.B.'nin çalışmaları, elde edilen sonuçların ekonomi, yönetim, teknoloji ve diğer alanlarda kullanılmasına ayrılmıştır. Nevzorova, E.M. Kudlaev ve diğer birçok uzman.

Gama dağılımları ailesine geçelim. Ekonomi ve yönetimde, güvenilirlik ve test teorisi ve pratiğinde, teknolojinin çeşitli alanlarında, meteorolojide vb. yaygın olarak kullanılırlar. Özellikle birçok durumda gama dağılımı, ürünün toplam hizmet ömrü, iletken toz parçacıkları zincirinin uzunluğu, ürünün korozyon sırasında sınır duruma ulaşma süresi, korozyona karşı çalışma süresi gibi niceliklere tabidir. k-ret, k= 1, 2,…, vb. Kronik hastalıkları olan hastaların yaşam beklentisi ve tedavi sırasında belirli bir etkinin elde edilme süresi bazı durumlarda gama dağılımına sahiptir. Bu dağılım, envanter yönetiminin (lojistik) ekonomik ve matematiksel modellerindeki talebi tanımlamak için en uygun olanıdır.

Gama dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

(17)

Formül (17)'deki olasılık yoğunluğu üç parametreyle belirlenir A, B, C, Nerede A>0, B>0. burada A bir form parametresidir, B- ölçek parametresi ve İle- kaydırma parametresi. Faktör 1/Γ(a) normalleşiyor, tanıtıldı

Burada Γ(a)- matematikte kullanılan özel fonksiyonlardan biri olan “gama fonksiyonu” olarak adlandırılan ve formül (17) ile verilen dağılımın adını taşıyan,

Sabit olarak A formül (17), yoğunluğa sahip bir dağılım tarafından oluşturulan ölçek kaydırmalı dağılım ailesini belirtir

(18)

(18) formunun bir dağılımına standart gama dağılımı denir. Formül (17)'den elde edilir. B= 1 ve İle= 0.

Gama dağılımlarının özel bir durumu A= 1 üstel dağılımlardır (ile λ = 1/B). Doğal olan A Ve İle=0 gama dağılımlarına Erlang dağılımları denir. 1908-1922'de eğitim gören Kopenhag Telefon Şirketi çalışanı Danimarkalı bilim adamı K.A. Erlang'ın (1878-1929) çalışmalarından. telefon ağlarının işleyişiyle birlikte kuyruk teorisinin gelişimi başladı. Bu teori, optimal kararların alınması için bir talep akışının sunulduğu sistemlerin olasılıksal ve istatistiksel modellemesi ile ilgilidir. Üstel dağılımların kullanıldığı uygulama alanlarında Erlang dağılımları da kullanılır. Bu, aşağıdaki matematiksel gerçeğe dayanmaktadır: aynı parametreler λ ve üstel olarak dağıtılan k bağımsız rastgele değişkenin toplamı İle, şekil parametreli bir gama dağılımına sahiptir bir =k, ölçek parametresi B= 1/λ ve kaydırma parametresi kc. Şu tarihte: İle= 0 Erlang dağılımını elde ederiz.

Rastgele değişken ise Xşekil parametreli bir gama dağılımına sahiptir Aöyle ki D = 2 A- tamsayı, B= 1 ve İle= 0, sonra 2 X ki-kare dağılımına sahiptir Dözgürlük derecesi.

Gvmma dağılımına sahip bir rastgele değişken X aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Beklenen değer M(X) =ab + C,

Varyans D(X) = σ 2 = ab 2 ,

Değişim katsayısı

Asimetri

Aşırı

Normal dağılım, gama dağılımının aşırı bir örneğidir. Daha kesin olarak Z, formül (18) ile verilen standart bir gama dağılımına sahip bir rastgele değişken olsun. Daha sonra

herhangi bir gerçek sayı için X, Nerede F(x)- standart normal dağılım fonksiyonu N(0,1).

Uygulamalı araştırmalarda, diğer parametrik dağılım aileleri de kullanılır; bunların en ünlüleri Pearson eğrileri sistemi, Edgeworth ve Charlier serileridir. Burada dikkate alınmıyorlar.

ayrık Karar vermede olasılıksal ve istatistiksel yöntemlerde kullanılan dağılımlar. En sık kullanılanlar, ayrık dağılımların üç ailesidir - binom, hipergeometrik ve Poisson ve diğer bazı aileler - geometrik, negatif binom, çok terimli, negatif hipergeometrik, vb.

Daha önce de belirtildiği gibi, binom dağılımı bağımsız denemelerde ortaya çıkar ve her birinde olasılık vardır. R olay görünüyor A. Toplam deneme sayısı ise N verildikten sonra test sayısı e olayın ortaya çıktığı yer A, binom dağılımına sahiptir. Binom dağılımı için rastgele değişken olarak kabul edilme olasılığı e değerler sen formülle belirlenir

Kombinasyon sayısı N tarafından elemanlar sen, kombinatoriklerden bilinir. Hepsi için sen 0, 1, 2, … hariç N, sahibiz P(e= sen)= 0. Sabit örneklem büyüklüğüne sahip binom dağılımı N parametre tarafından belirtilir P, yani binom dağılımları tek parametreli bir aile oluşturur. Örnek çalışmalardan elde edilen verilerin analizinde, özellikle tüketici tercihlerinin incelenmesinde, tek aşamalı kontrol planlarına göre ürün kalitesinin seçici kontrolünde, demografi, sosyoloji, tıp, biyoloji vb. alanlardaki bireylerin popülasyonlarının test edilmesinde kullanılırlar. .

Eğer e 1 Ve e 2 - aynı parametreye sahip bağımsız binom rastgele değişkenler P 0 , hacimli numunelerden belirlendi N 1 Ve N 2 buna göre, o zaman e 1 + e 2 - (19) dağılımına sahip binom rastgele değişken R = P 0 Ve N= N 1 + N 2 . Bu açıklama, aynı parametrenin tüm bu gruplara karşılık geldiğine inanmak için bir neden olduğunda, birkaç test grubunun sonuçlarının birleştirilmesine izin vererek binom dağılımının uygulanabilirliğini genişletir.

Binom dağılımının özellikleri daha önce hesaplanmıştı:

M(e) = n.p., D(e) = n.p.( 1- P).

"Olaylar ve Olasılıklar" bölümünde büyük sayılar yasası binom rastgele değişkeni için kanıtlanmıştır:

herkes için . Merkezi limit teoremini kullanarak, büyük sayılar kanunu ne kadar olduğunu belirterek iyileştirilebilir. e/ N farklı R.

De Moivre-Laplace teoremi. Herhangi bir sayı için a ve B, A< B, sahibiz

Nerede F(X) matematiksel beklenti 0 ve varyans 1 olan standart normal dağılımın bir fonksiyonudur.

Bunu kanıtlamak için temsili kullanmak yeterlidir. e bireysel testlerin sonuçlarına karşılık gelen bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı şeklinde, formüller M(e) Ve D(e) ve merkezi limit teoremi.

Bu teorem bu durum için R= ½, İngiliz matematikçi A. Moivre (1667-1754) tarafından 1730 yılında kanıtlanmıştır. Yukarıdaki formülasyonda, 1810 yılında Fransız matematikçi Pierre Simon Laplace (1749 - 1827) tarafından kanıtlanmıştır.

Hipergeometrik dağılım, N hacmindeki sonlu bir nesne kümesinin alternatif bir kritere göre seçici kontrolü sırasında meydana gelir. Kontrol edilen her nesne ya şu özelliğe sahip olarak sınıflandırılır: A veya bu özelliğe sahip olmadığı için. Hipergeometrik dağılım rastgele bir değişkene sahiptir e, özelliğe sahip nesnelerin sayısına eşit A rastgele bir hacim örneğinde N, Nerede N< N. Örneğin sayı e Rastgele bir hacim numunesindeki kusurlu ürün birimleri N toplu hacimden N hipergeometrik bir dağılıma sahipse N< N. Bir başka örnek ise piyangodur. İzin ver işareti A Bilet “kazanan olmanın” göstergesidir. Toplam bilet sayısı olsun N, ve bir kişi satın aldı N onlardan. O halde bu kişinin kazanan bilet sayısı hipergeometrik bir dağılıma sahiptir.

Hipergeometrik bir dağılım için, bir rastgele değişken Y'nin y değerini kabul etme olasılığı şu şekildedir:

(20)

Nerede D– niteliğe sahip nesnelerin sayısı A, dikkate alınan hacim kümesinde N. burada sen max(0)'dan değer alır N - (N - D)) ila dakika( N, D), diğer şeyler sen formül (20)'deki olasılık 0'a eşittir. Dolayısıyla hipergeometrik dağılım üç parametreyle belirlenir - popülasyonun hacmi N, nesne sayısı D içinde söz konusu özelliği taşıyan A ve örneklem büyüklüğü N.

Basit rastgele hacim örneklemesi N toplam hacimden N herhangi bir kümenin bulunduğu rastgele seçim sonucunda elde edilen bir örnektir. N Nesnelerin seçilme olasılıkları aynıdır. Katılımcıların (görüşme yapılan kişiler) veya parça mal birimlerinin rastgele seçilmesine yönelik yöntemler, öğretici, metodolojik ve düzenleyici belgelerde tartışılmaktadır. Seçim yöntemlerinden biri şudur: Nesneler birbirinden seçilir ve her adımda kümede kalan nesnelerin her birinin seçilme şansı aynıdır. Literatürde, söz konusu numune türleri için “rastgele numune” ve “geri dönüşü olmayan rastgele numune” terimleri de kullanılmaktadır.

Nüfusun hacimleri (parti) nedeniyle N ve örnekler N genellikle biliniyorsa, tahmin edilecek hipergeometrik dağılım parametresi şu şekilde hesaplanır: D. Ürün kalite yönetiminin istatistiksel yöntemlerinde D– genellikle bir partideki kusurlu birimlerin sayısı. Dağıtım özelliği de ilgi çekicidir D/ N– kusur seviyesi.

Hipergeometrik dağılım için

Varyans ifadesindeki son faktör 1'e yakındır. N>10 N. Eğer bir değişiklik yaparsanız P = D/ N, daha sonra hipergeometrik dağılımın matematiksel beklenti ve varyansına ilişkin ifadeler, binom dağılımının matematiksel beklenti ve varyansına ilişkin ifadelere dönüşecektir. Bu bir tesadüf değil. Bu gösterilebilir

en N>10 N, Nerede P = D/ N. Sınırlama oranı geçerlidir

ve bu sınırlayıcı ilişki şu durumlarda kullanılabilir: N>10 N.

Yaygın olarak kullanılan üçüncü ayrık dağılım Poisson dağılımıdır. Rastgele değişken Y, şu durumda Poisson dağılımına sahiptir:

,

burada λ Poisson dağılım parametresidir ve P(e= sen)= diğerleri için 0 sen(y=0 için 0! =1 olarak gösterilir). Poisson dağılımı için

M(e) = λ, D(e) = λ.

Bu dağılım, adını ilk kez 1837'de elde eden Fransız matematikçi S. D. Poisson'dan (1781-1840) almıştır. Poisson dağılımı, binom dağılımının sınırlayıcı durumudur. R etkinliğin uygulanması azdır, ancak test sayısı N harika ve n.p.= λ. Daha doğrusu limit ilişkisi geçerlidir

Bu nedenle Poisson dağılımına (eski terminolojide "dağıtım yasası") sıklıkla "nadir olaylar yasası" da denir.

Poisson dağılımı olay akışları teorisinde ortaya çıkar (yukarıya bakın). Sabit yoğunluktaki en basit akış için Λ, zaman içinde meydana gelen olayların (çağrıların) sayısının olduğu kanıtlanmıştır. T, λ = Λ parametresi ile Poisson dağılımına sahiptir T. Bu nedenle, bu süre içinde olma olasılığı T hiçbir olay meydana gelmeyecek, buna eşit e - Λ T, yani olaylar arasındaki aralığın uzunluğunun dağılım fonksiyonu üsteldir.

Poisson dağılımı, tüketicilere yönelik örnek pazarlama anketlerinin sonuçlarının analiz edilmesinde, kusurların kabul seviyesinin küçük değerleri durumunda istatistiksel kabul kontrol planlarının operasyonel özelliklerinin hesaplanmasında, istatistiksel olarak kontrol edilen bir arıza sayısını tanımlamak için kullanılır. birim zaman başına teknolojik süreç, kuyruk sisteminde birim zaman başına alınan “hizmet gereksinimleri” sayısı, kazaların ve nadir hastalıkların istatistiksel modelleri vb.

Ayrık dağılımların diğer parametrik ailelerinin tanımları ve bunların pratik kullanım olanakları literatürde ele alınmaktadır.

Bazı durumlarda, örneğin, güvenilirlik problemlerinde fiyatları, çıktı hacimlerini veya arızalar arasındaki toplam süreyi incelerken, dağılım fonksiyonları, incelenen rastgele değişkenlerin değerlerinin düşemeyeceği belirli aralıklarda sabittir.

Tanım 13.1. Rastgele değişken X denir ayrık Sonlu veya sayılabilir sayıda değer alıyorsa.

Tanım 13.2. Rastgele değişken X'in dağılım yasası sayı çiftlerinden ( , ) oluşan bir koleksiyondur; burada rastgele bir değişkenin olası değerleri ve rastgele değişkenin bu değerleri alma olasılıkları vardır, yani. = P( X= ) ve =1.

Ayrık bir rastgele değişkeni belirlemenin en basit şekli, rastgele değişkenin olası değerlerini ve bunlara karşılık gelen olasılıkları listeleyen bir tablodur. Bu tabloya denir yakın dağıtım Ayrık rassal değişken.

Dağıtım serisi grafiksel olarak gösterilebilir. Bu durumda apsis ekseni , ordinat ekseni ise olasılıktır. Koordinatları ( , ) olan noktalar bölümlerle birleştirilir ve kesikli bir çizgi elde edilir. dağıtım poligonu, bu, ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirtmenin biçimlerinden biridir.

Örnek 13.3. Bir dağıtım serisiyle rastgele bir X değişkeninin dağıtım poligonunu oluşturun

Tanım 13.4. Ayrık bir rastgele değişken X'in sahip olduğunu söylüyorlar Binom dağılımı parametrelerle ( n,p)negatif olmayan tam sayı değerleri alabiliyorsa k {1,2,…,N) olasılıkları P( X=x)= .

Dağıtım serisi şuna benzer:

Olasılıkların toplamı = =1.

Tanım 13.5. Bir rastgele değişkenin ayrık formuna şöyle denir: X Var Poisson Dağılımı(>0) parametresi ile, eğer tamsayı değerleri kabul ediyorsa k(0,1,2,...) olasılıkları P( X=k)= .

Dağıtım serisi şu şekildedir:

Maclaurin serisi açılımı aşağıdaki forma sahip olduğundan olasılıkların toplamı = = =1 olur.

ile belirtelim X olay ilk kez ortaya çıkmadan önce tamamlanması gereken deneme sayısı A bağımsız denemelerde, eğer A'nın her birinde görünme olasılığı eşitse P (0<P <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями X doğal sayılardır.

Tanım 13.6. Rastgele bir değişken olduğunu söylüyorlar X Var geometrik dağılım parametreli P (0<P <1), если она принимает натуральные значения k Olasılıklı N Р(Х=k)= , burada . Dağıtım aralığı:

Olasılıkların toplamı = = =1.

Örnek 13.7. Para 2 kez atılıyor. Rastgele değişken X'in "arması"nın oluşum sayısının bir dağılım serisini derleyin.

P2(0)= = ; P2(1)= = =0,5; P2(2)= = .

Dağıtım serisi şu şekilde olacaktır:

Örnek 13.8. Silah hedefe ilk isabet edene kadar ateşlenir. Tek atışla vurma olasılığı 0,6'dır. 3. atışta isabet olacaktır.

Çünkü P=0,6, Q=0,4, k=3 ise P( A)= =0,4 2 *0,6=0,096.

14 Ayrık rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Dağıtım yasası tamamen rastgele bir değişkeni karakterize eder, ancak çoğu zaman bilinmez, bu nedenle kişinin kendisini daha az bilgiyle sınırlaması gerekir. Bazen rastgele değişkeni toplamda tanımlayan sayıları (parametreleri) kullanmak daha da karlı olabilir. Onlar aranmaktadır sayısal özellikler rastgele değişken. Bunlar şunları içerir: matematiksel beklenti, varyans vb.

Tanım 14.1. Matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini belirtir X M aracılığıyla X=M( X)=E X.

Rastgele değişken ise X sonlu sayıda değer alırsa M X= .

Rastgele değişken ise X sayılabilir sayıda değer alırsa M X= ,

Ayrıca serinin mutlak yakınsak olması durumunda matematiksel beklenti mevcuttur.

Açıklama 14.2. Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin belirli bir değerine yaklaşık olarak eşit olan bir sayıdır.

Örnek 14.3. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X dağıtım serisini bilmek

M X=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

Örnek 14.4. Bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisini bulun A bir denemede olayın olasılığı A eşittir P.

Rastgele değer X– olayın meydana gelme sayısı A tek bir testte. =1 değerlerini alabilir ( A meydana geldi) olasılıkla P ve =0 olasılıkla, yani dağıtım serisi

Dolayısıyla MC=C*1=C.

Açıklama 14.6. Sabit değişken C ile ayrık rastgele değişkenin çarpımı X Ayrık rastgele değişken C olarak tanımlanır X olası değerleri sabit C'nin çarpımlarına ve olası değerlere eşit olan X, bu değerlerin olasılıkları C X karşılık gelen olası değerlerin olasılıklarına eşit X.

Özellik 14.7. Sabit faktör matematiksel beklenti işaretinden çıkarılabilir:

HANIM X)=S∙M X.

Rastgele değişken ise X bir dağıtım serisi var

Rastgele bir değişkenin dağılım serisi

HANIM X)= = = С∙M( X).

Tanım 14.8. Rastgele değişkenler , ,… denir bağımsız için ise, Ben=1,2,…,N

Р( , ,…, )= Р( ) Р( )… Р( ) (1)

= ise, Ben=1,2,…,N, o zaman (1)'den elde ederiz

R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:

( , ,…, ) = () ()... () (2)

Rastgele değişkenlerin ortak dağılım fonksiyonu için , ,…, , bu aynı zamanda bir rastgele değişkenin bağımsızlığının bir tanımı olarak da alınabilir.

Özellik 14.9. 2 çarpımının matematiksel beklentisi bağımsız rastgele değişkenler matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:

M( XY)=M X∙M sen.

Özellik 14.10. 2 rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M( X+Y)=M X+M sen.

Not 14.11.Özellikler 14.9 ve 14.10, birkaç rastgele değişken durumuna genelleştirilebilir.

Örnek 14.12. 2 zar atıldığında ortaya çıkabilecek puanların toplamının matematiksel beklentisini bulun.

İzin vermek X ilk zarda atılan puan sayısı sen ikinci zarda atılan puanların sayısı. Aynı dağıtım serisine sahipler:

Sonra M X=M sen= (1+2+3+4+5+6)= = . M( X+Y)=2* =7.

Teorem 14.13. Bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi A V N bağımsız denemeler, deneme sayısı ile her denemede bir olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir: M X=n.p..

İzin vermek X– olayın gerçekleşme sayısı A V N bağımsız testler. –olayın gerçekleşme sayısı A V Ben-bu test, Ben=1,2,…,N. O zaman = + +…+ . Matematiksel beklentinin özelliklerine göre M X= . Örnekten 14,4 M X ben=p, ben=1,2,…,N, dolayısıyla M X= =n.p..

Tanım 14.14.Varyans rastgele değişkene D sayısı denir X=M( X-M X) 2 .

Tanım 14.15.Standart sapma rastgele değişken X aranan numara =.

Açıklama 14.16. Dağılım, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki yayılımının bir ölçüsüdür. Her zaman olumsuz değildir. Varyansı hesaplamak için başka bir formül kullanmak daha uygundur:

D X= M( X-M X) 2 = M( X 2 - 2X∙ M X+ (M X) 2) = M( X 2) - 2M( X∙ M X) + E(M X) 2 = =M( X 2)-M X∙ M X+(M X) 2 = M( X 2) - (M X) 2 .

dolayısıyla D X= M( X 2) - (M X) 2 .

Örnek 14.17. Rastgele bir değişkenin varyansını bulun X dağıtım serisi tarafından verilen

M X=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; M( X 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;

D X=13.3-(3,5) 2 =1,05.

Dispersiyon özellikleri

Mülk 14.18. Sabit bir değerin varyansı 0'dır:

DC = M(C-MC) 2 = M(C-C) 2 =0.

Mülk 14.19. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir.

D(C X) =C2D X.

D(CX)=M(C-CM X) 2 =M(C(X- M X) 2) = C 2 M( X-M X) 2 = C2D X.

Mülk 14.20. 2 toplamının varyansı bağımsız rastgele değişkenler bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir

D( X+Y)=D X+D e.

D( X + Y)=M(( X+Y) 2) – (M( X+Y)) 2 = M( X2+ 2XY+Y2) - (M X+M e) 2 = =M( X) 2 +2M X M e+M( e 2)-(M( X) 2 +2M X M e+M( e) 2)= M( X 2)-(M X) 2 +M( e 2)-(M e) 2 = = D X+D e.

Sonuç 14.21. Birkaç toplamının varyansı bağımsız Rastgele değişkenler varyanslarının toplamına eşittir.

Teorem 14.22. Bir olayın meydana gelme sayısındaki varyans A V N bağımsız testler; her birinde olasılık p) 2 =). Dolayısıyla D +2,

Matematiksel beklenti kavramları M(X) ve varyans D(X Daha önce ayrık bir rastgele değişken için tanıtılan ), sürekli rastgele değişkenlere genişletilebilir.

· Matematiksel beklenti M(X) sürekli rastgele değişken X eşitlikle belirlenir:

bu integralin yakınsaması şartıyla.

· Varyans D(X) sürekli rastgele değişken X eşitlikle belirlenir:

· Standart sapmaσ( X) sürekli rastgele değişken eşitlikle belirlenir:

Daha önce ayrık rastgele değişkenler için tartışılan matematiksel beklenti ve dağılımın tüm özellikleri, sürekli olanlar için de geçerlidir.

Sorun 5.3. Rastgele değer X bir diferansiyel fonksiyon tarafından verilir F(X):

Bulmak M(X),D(X), σ( X), Ve P(1 < X< 5).

Çözüm:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Görevler

5.1. X

F(X), Ve

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Sürekli rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilir:

Diferansiyel dağılım fonksiyonunu bulun F(X), Ve

R(2π /9< X< π /2).

5.3. Sürekli rastgele değişken X

Bul: a) sayı İle; B) M(X),D(X).

5.4. Sürekli rastgele değişken X dağıtım yoğunluğu ile verilir:

Bul: a) sayı İle; B) M(X),D(X).

5.5. X:

Bulmak bir) F(X) ve grafiğini oluşturun; B) M(X),D(X), σ( X); c) dört bağımsız denemede değerin ortaya çıkma olasılığı X(1;4) aralığına ait değerin tam olarak 2 katını alacaktır.

5.6. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir. X:

Bulmak bir) F(X) ve grafiğini oluşturun; B) M(X),D(X), σ( X); c) üç bağımsız denemede değerin ortaya çıkma olasılığı X segmente ait değerin tam 2 katını alacaktır.

5.7. İşlev F(X) şu şekilde verilir:

İle X; b) dağıtım fonksiyonu F(X).

5.8. İşlev F(X) şu şekilde verilir:

Bul: a) sabitin değeri İle burada fonksiyon bazı rastgele değişkenlerin olasılık yoğunluğu olacaktır. X; b) dağıtım fonksiyonu F(X).

5.9. Rastgele değer X(3;7) aralığı üzerinde yoğunlaşan, dağılım fonksiyonu tarafından belirtilir F(X)= Xşu değeri alacaktır: a) 5'ten az, b) 7'den az değil.

5.10. Rastgele değer X(-1;4) aralığına ortalanmış, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilir F(X)= . Rasgele değişkenin olasılığını bulun Xşu değeri alacaktır: a) 2'den küçük, b) 4'ten küçük.

5.11.

Bul: a) sayı İle; B) M(X); olasılık R(X > M(X)).

5.12. Rastgele değişken diferansiyel dağılım fonksiyonu ile belirlenir:

Bulmak bir) M(X); olasılık R(X ≤ M(X)).

5.13. Rem dağılımı olasılık yoğunluğu ile verilir:

Kanıtla F(X) aslında bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

5.14. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir. X:

Numarayı bul İle.

5.15. Rastgele değer X Simpson yasasına (ikizkenar üçgen) göre [-2;2] segmentinde dağıtılır (Şekil 5.4). Olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun F(X) tüm sayı doğrusunda.

Pirinç. 5.4 Şek. 5.5

5.16. Rastgele değer X(0;4) aralığında “dik üçgen” yasasına göre dağıtılır (Şekil 5.5). Olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun F(X) tüm sayı doğrusunda.

Yanıtlar

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. A) İle=1/6,b) M(X)=3 ,c) D(X)=26/81.

5.4. A) İle=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.

B) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.

B) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( X)= 1,893.

5.7. a)c = ; B)

5.8. A) İle=1/2; B)

5.9. a)1/4; b) 0.

5.10. a)3/5; 1.

5.11. A) İle= 2; B) M(X)= 2; 1-'de içinde 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. A) M(X)= π /2; b) 1/2

Bölüm 1. Ayrık rassal değişken

§ 1. Rastgele değişken kavramları.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası.

Tanım : Rastgele, test sonucunda önceden bilinmeyen ve rastgele nedenlere bağlı olarak olası bir değer kümesinden yalnızca bir değeri alan bir niceliktir.

İki tür rastgele değişken vardır: kesikli ve sürekli.

Tanım : Rastgele değişken X'e denir ayrık (süreksiz) değerlerinin kümesi sonlu veya sonsuz ancak sayılabilirse.

Başka bir deyişle, ayrık bir rastgele değişkenin olası değerleri yeniden numaralandırılabilir.

Rastgele bir değişken, dağıtım yasası kullanılarak tanımlanabilir.

Tanım : Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunların olasılıkları arasındaki yazışmayı çağırın.

Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası, ilk satırda rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin artan sırada gösterildiği ve ikinci satırda bunlara karşılık gelen olasılıkların gösterildiği bir tablo şeklinde belirtilebilir. değerler, yani

burada р1+ р2+…+ рn=1

Böyle bir tabloya ayrık rastgele değişkenin dağılım serisi denir.

Bir rastgele değişkenin olası değerleri kümesi sonsuzsa, p1+ p2+…+ pn+… serisi yakınsar ve toplamı 1'e eşittir.

Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası, dikdörtgen bir koordinat sisteminde sıralı olarak noktaları (xi; pi), i=1,2,…n koordinatlarıyla birleştiren kesikli bir çizginin oluşturulduğu grafiksel olarak gösterilebilir. Ortaya çıkan satıra denir dağıtım poligonu (Şekil 1).

Organik kimya" href = "/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel = "bookmark">organik kimya sırasıyla 0,7 ve 0,8'dir. Rastgele değişken X - öğrencinin geçeceği sınav sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm. İnceleme sonucunda dikkate alınan rastgele değişken X şu değerlerden birini alabilir: x1=0, x2=1, x3=2.

Bu değerlerin olasılığını bulalım. Olayları gösterelim:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width = "259" height = "66 src = ">

Dolayısıyla, X rastgele değişkeninin dağılım yasası aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kontrol: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Dağıtım işlevi

Rastgele bir değişkenin tam bir açıklaması da dağılım fonksiyonu tarafından verilmektedir.

Tanım: Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu her bir x değeri için X rastgele değişkeninin x'ten daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen bir F(x) fonksiyonu olarak adlandırılır:

F(x)=P(X<х)

Geometrik olarak dağılım fonksiyonu, X rastgele değişkeninin sayı doğrusunda x noktasının solunda yer alan bir nokta tarafından temsil edilen değeri alma olasılığı olarak yorumlanır.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x), (-∞;+∞) üzerinde azalmayan bir fonksiyondur;

3) F(x) - sol tarafta x= xi (i=1,2,...n) noktalarında sürekli ve diğer tüm noktalarda sürekli;

4) F(-∞)=P(X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Ayrık bir rasgele değişken X'in dağılım yasası bir tablo şeklinde verilirse:

daha sonra dağılım fonksiyonu F(x) aşağıdaki formülle belirlenir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1 için 0,

р1 x1'de< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 x2’de< х≤ х3

x>xn için 1.

Grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir:

§ 3. Ayrık bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri.

Önemli sayısal özelliklerden biri matematiksel beklentidir.

Tanım: Matematiksel beklenti M(X) ayrık rastgele değişken X, tüm değerlerinin çarpımlarının ve bunlara karşılık gelen olasılıkların toplamıdır:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin ortalama değerinin bir özelliği olarak hizmet eder.

Matematiksel beklentinin özellikleri:

1)M(C)=C, burada C sabit bir değerdir;

2)M(CX)=CM(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir;

5)M(X±C)=M(X)±C, burada C sabit bir değerdir;

Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin ortalama değeri etrafındaki dağılım derecesini karakterize etmek için dağılım kullanılır.

Tanım: Varyans D ( X ) Rastgele değişken X, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir:

Dispersiyon özellikleri:

1)D(C)=0, burada C sabit bir değerdir;

2)D(X)>0, burada X rastgele bir değişkendir;

3)D(C X)=C2 D(X), burada C sabit bir değerdir;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir;

Varyansı hesaplamak için genellikle aşağıdaki formülü kullanmak uygundur:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

burada M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

D(X) varyansı, karesi alınmış rastgele değişken boyutuna sahiptir ve bu her zaman uygun değildir. Bu nedenle √D(X) değeri aynı zamanda bir rastgele değişkenin olası değerlerinin dağılımının bir göstergesi olarak da kullanılır.

Tanım: Standart sapma σ(X) Rastgele değişken X'e varyansın karekökü denir:

Görev No.2. Ayrık rastgele değişken X, dağıtım yasasıyla belirtilir:

P2'yi, F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve M(X), D(X), σ(X)'in yanı sıra grafiğini çizin.

Çözüm: X rastgele değişkeninin olası değerlerinin olasılıklarının toplamı 1'e eşit olduğundan, o zaman

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

F(x)=P(X dağılım fonksiyonunu bulalım.

Geometrik olarak bu eşitlik şu şekilde yorumlanabilir: F(x), rastgele değişkenin sayı ekseninde x noktasının solunda yer alan noktanın temsil ettiği değeri alma olasılığıdır.

Eğer x≤-1 ise F(x)=0 olur, çünkü bu rastgele değişkenin (-∞;x) üzerinde tek bir değeri yoktur;

-1 ise<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

0 ise<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) x1=-1 ve x2=0 olmak üzere iki değer vardır;

Eğer 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

2 ise<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Eğer x>3 ise F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, çünkü dört değer x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) ve x5=3 aralığına düşer.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0, x≤-1'de,

-1'de 0,1<х≤0,

0,2'de 0<х≤1,

F(x)= 0,5, 1'de<х≤2,

2'de 0,7<х≤3,

x>3'te 1

F(x) fonksiyonunu grafiksel olarak temsil edelim (Şekil 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Binom dağılım yasası

ayrık rasgele değişken, Poisson yasası.

Tanım: Binom ayrı bir rastgele değişken X'in dağılım yasası olarak adlandırılır - A olayının n bağımsız tekrarlanan denemede meydana gelme sayısı; her birinde A olayı p olasılığıyla meydana gelebilir veya q = 1-p olasılığıyla gerçekleşmeyebilir. Daha sonra P(X=m) - A olayının n denemede tam olarak m kez meydana gelme olasılığı Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanır:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

İkili yasaya göre dağıtılan X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi, dağılımı ve standart sapması sırasıyla aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> A olayının olasılığı - her denemede "beş atma" aynı ve 1/6'ya eşittir , yani P(A)=p=1/6, sonra P(A)=1-p=q=5/6, burada

- "beş üzerinden düşmek."

Rastgele değişken X şu değerleri alabilir: 0;1;2;3.

Bernoulli formülünü kullanarak X'in olası değerlerinin her birinin olasılığını buluyoruz:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

O. X rastgele değişkeninin dağılım yasası şu şekildedir:

Kontrol: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulalım:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Görev No.4. Otomatik bir makine parçaları damgalar. Üretilen bir parçanın arızalı olma olasılığı 0,002'dir. Seçilen 1000 parça arasında aşağıdakilerin olma olasılığını bulun:

a) 5 kusurlu;

b) en az biri kusurlu.

Çözüm: n=1000 sayısı büyüktür, kusurlu bir parça üretme olasılığı p=0,002 küçüktür ve söz konusu olaylar (parçanın kusurlu olduğu ortaya çıkar) bağımsızdır, dolayısıyla Poisson formülü geçerlidir:

Pn(m)= e- λ λm

λ=np=1000 0,002=2'yi bulalım.

a) 5 adet hatalı parçanın olma olasılığını bulun (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) En az bir parçanın arızalı olma olasılığını bulun.

A olayı - "seçilen parçalardan en az biri arızalı" olayı - "seçilen parçaların tümü arızalı değil" olayının tersidir. Bu nedenle, P(A) = 1-P(). Dolayısıyla istenen olasılık şuna eşittir: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1-e-2=1-0,13534≈0,865.

Bağımsız çalışma için görevler.

1.1

1.2. Dağınık rastgele değişken X, dağıtım yasasıyla belirtilir:

p4'ü, F(X) dağılım fonksiyonunu bulun ve M(X), D(X), σ(X)'in yanı sıra grafiğini çizin.

1.3. Kutuda 2'si artık yazmayan 9 adet kalem bulunmaktadır. Rastgele 3 işaretçi alın. Rastgele değişken X, alınanlar arasındaki yazı işaretlerinin sayısıdır. Rasgele bir değişkenin dağılım yasasını çizin.

1.4. Bir kütüphane rafında 4'ü ciltli olmak üzere rastgele dizilmiş 6 ders kitabı bulunmaktadır. Kütüphaneci rastgele 4 ders kitabı alır. Rastgele değişken X, alınanlar arasında ciltli ders kitaplarının sayısıdır. Rasgele bir değişkenin dağılım yasasını çizin.

1.5. Bilette iki görev var. İlk problemi doğru çözme olasılığı 0,9, ikincisi ise 0,7'dir. Rastgele değişken X, biletteki doğru çözülmüş problemlerin sayısıdır. Bir dağılım yasası çizin, bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayın ve ayrıca F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini oluşturun.

1.6. Üç atıcı bir hedefe ateş ediyor. Tek atışta hedefi vurma olasılığı birinci atışta 0,5, ikinci atışta 0,8, üçüncü atışta ise 0,7'dir. Rastgele değişken X, atıcıların bir kerede tek atış yapması durumunda hedefe isabet eden isabet sayısıdır. Dağıtım yasasını bulun, M(X),D(X).

1.7. Bir basketbolcu, her atışta isabet olasılığı 0,8 olacak şekilde topu sepete atıyor. Her vuruşta 10 puan alır, kaçırırsa puan verilmez. Bir basketbolcunun 3 atışta aldığı puanların sayısı olan X rastgele değişkeni için bir dağılım kanunu çizin. M(X),D(X)'i ve 10'dan fazla puan alma olasılığını bulun.

1.8. Kartların üzerine toplam 5 sesli ve 3 sessiz harf olmak üzere harfler yazılmaktadır. Rastgele 3 kart seçilir ve her seferinde alınan kart geri verilir. Rastgele değişken X, alınanlar arasındaki sesli harflerin sayısıdır. Bir dağılım kanunu çizin ve M(X),D(X),σ(X)'i bulun.

1.9. Ortalama olarak sözleşmelerin %60'ında sigorta şirketi, sigorta konusu olayın meydana gelmesiyle bağlantılı olarak sigorta tutarlarını öder. Rastgele seçilen dört sözleşme arasında sigorta tutarının ödendiği sözleşme sayısı olan X rastgele değişkeni için bir dağıtım yasası hazırlayın. Bu miktarın sayısal özelliklerini bulun.

1.10. Radyo istasyonu, iki yönlü iletişim sağlanana kadar belirli aralıklarla (en fazla dört) çağrı işareti gönderir. Bir çağrı işaretine yanıt alma olasılığı 0,3'tür. Rastgele değişken X, gönderilen çağrı işaretlerinin sayısıdır. Bir dağıtım yasası çizin ve F(x)'i bulun.

1.11. 3 anahtar var ve bunlardan sadece biri kilide uyuyor. Denenen anahtar sonraki denemelere katılmazsa, kilidi açmaya yönelik X sayısı rastgele değişkeninin dağılımı için bir yasa hazırlayın. M(X),D(X)'i bulun.

1.12. Güvenilirlik için üç cihazın ardışık bağımsız testleri gerçekleştirilir. Sonraki her cihaz, yalnızca bir öncekinin güvenilir olduğu ortaya çıktığında test edilir. Her cihazın testi geçme olasılığı 0,9'dur. Test edilen cihazların rastgele değişken X sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

1.13 .Ayrık rasgele değişken X'in üç olası değeri vardır: x1=1, x2, x3 ve x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Elektronik cihaz bloğu 100 özdeş eleman içerir. T süresi boyunca her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,002'dir. Elemanlar bağımsız olarak çalışır. T süresi boyunca en fazla iki elemanın arızalanma olasılığını bulun.

1.15. Ders kitabı 50.000 adet basıldı. Ders kitabının yanlış ciltlenme olasılığı 0,0002'dir. Dolaşımın aşağıdakileri içerme olasılığını bulun:

a) Dört kusurlu kitap,

b) ikiden az kusurlu kitap.

1 .16. PBX'e her dakikada gelen çağrıların sayısı Poisson yasasına göre λ=1,5 parametresiyle dağıtılır. Bir dakika içinde aşağıdakilerin gelme olasılığını bulun:

a) iki çağrı;

b) en az bir çağrı.

1.17.

Z=3X+Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun.

1.18. İki bağımsız rastgele değişkenin dağılım yasaları verilmiştir:

Z=X+2Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun.

Yanıtlar:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; x≤-2'de 0,

-2'de 0,3<х≤0,

0'da F(x)= 0,5<х≤2,

2'de 0,9<х≤5,

1 x>5'te

1.2. p4=0.1; x≤-1'de 0,

-1'de 0,3<х≤0,

0'da 0,4<х≤1,

1'de F(x)= 0,6<х≤2,

2'de 0,7<х≤3,

x>3'te 1

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0, x≤0'da,

0,03'te 0<х≤1,

1'de F(x)= 0,37<х≤2,

x>2 için 1

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a)0,0189; b) 0,00049

1.16. a)0,0702; b)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Bölüm 2. Sürekli rastgele değişken

Tanım: Sürekli Tüm olası değerleri sayı doğrusunda sonlu veya sonsuz bir aralığı tamamen dolduran bir miktara denir.

Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.

Sürekli bir rastgele değişken, bir dağılım fonksiyonu kullanılarak belirtilebilir.

Tanım: F dağıtım işlevi sürekli bir rastgele değişken X'e F(x) fonksiyonu adı verilir ve bu, her değer için xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> değerini belirler. R

Dağıtım fonksiyonuna bazen kümülatif dağılım fonksiyonu da denir.

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Sürekli bir rastgele değişken için, dağılım fonksiyonu herhangi bir noktada süreklidir ve bireysel noktalar dışında her yerde türevlenebilir.

3) X rastgele değişkeninin (a;b), [a;b], [a;b] aralıklarından birine düşme olasılığı, F(x) fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. a ve b noktalarında, yani R(a)<Х

4) Sürekli bir rastgele değişken olan X'in ayrı bir değer alma olasılığı 0'dır.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Bir dağıtım fonksiyonunu kullanarak sürekli bir rastgele değişken belirlemek tek yol değildir. Olasılık dağılım yoğunluğu (dağıtım yoğunluğu) kavramını tanıtalım.

Tanım : Olasılık dağılım yoğunluğu F ( X ) sürekli bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonunun türevidir, yani:

Olasılık yoğunluk fonksiyonuna bazen diferansiyel dağılım fonksiyonu veya diferansiyel dağılım yasası denir.

Olasılık yoğunluk dağılımı f(x) grafiğine denir olasılık dağılım eğrisi .

Olasılık yoğunluk dağılımının özellikleri:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height adresinde ="62 src="> 0, x≤2'de,

2'de f(x)= c(x-2)<х≤6,

x>6 için 0.

Bul: a) c'nin değeri; b) dağılım fonksiyonu F(x) ve grafiğini çizin; c) P(3≤x<5)

Çözüm:

+ ∞

a) c'nin değerini normalleştirme koşulundan buluyoruz: ∫ f(x)dx=1.

Bu nedenle -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height = "38 src = "> -∞ 2 2 x

eğer 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" genişlik = "14" yükseklik = "62"> 0, x≤2'de,

F(x)= (x-2)2/16, 2'de<х≤6,

x>6 için 1.

F(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 3'te gösterilmektedir.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" genişlik = "14" yükseklik = "62 src = "> x≤0'da 0,

F(x)= (3 arctan x)/π 0'da<х≤√3,

x>√3 için 1.

Diferansiyel dağılım fonksiyonunu f(x) bulun

Çözüm: f(x)= F’(x) olduğundan, o zaman

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Daha önce dağılmış rastgele değişkenler için tartışılan matematiksel beklenti ve dağılımın tüm özellikleri, sürekli olanlar için de geçerlidir.

Görev No.3. Rastgele değişken X, f(x) diferansiyel fonksiyonu ile belirtilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Bağımsız çözüm için problemler.

2.1. Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilir:

x≤0'da 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0,

F(x)= - çünkü π/6'da 3x<х≤ π/3,

x> π/3 için 1.

Diferansiyel dağılım fonksiyonunu f(x) bulun ve ayrıca

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2'de 0,

f(x)= c x 2'de<х≤4,

x>4 için 0.

2.4. Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım yoğunluğuyla belirtilir:

x≤0'da 0,

0'da f(x)= c √x<х≤1,

x>1 için 0.

Bul: a) c sayısı; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x'te,

x'te 0.

Şunu bulun: a) F(x) ve grafiğini çizin; b) M(X),D(X), σ(X); c) Dört bağımsız denemede X değerinin (1;4) aralığına ait değerin tam olarak 2 katını alma olasılığı.

2.6. Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir:

x'te f(x)= 2(x-2),

x'te 0.

Şunu bulun: a) F(x) ve grafiğini çizin; b) M(X),D(X), σ(X); c) Üç bağımsız denemede X'in değerinin segmente ait değerin tam olarak 2 katını alma olasılığı.

2.7. f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" genişlik = "43" yükseklik = "38 src = ">.jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" genişlik = "45" yükseklik = "36 src = "> .jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">[- π /4 ; π /4].

Bul: a) fonksiyonun bazı rastgele değişken X'in olasılık yoğunluğu olacağı sabit c'nin değeri; b) dağılım fonksiyonu F(x).

2.9. (3;7) aralığında yoğunlaşan rastgele değişken X, F(x)= dağılım fonksiyonu tarafından belirtilir. olasılığını bulun

Rastgele değişken X şu değeri alacaktır: a) 5'ten az, b) 7'den az değil.

2.10. Rastgele değişken X, (-1;4) aralığına yoğunlaşmıştır,

F(x)= dağılım fonksiyonu ile verilir. olasılığını bulun

Rastgele değişken X şu değeri alacaktır: a) 2'den küçük, b) 4'ten az değil.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" genişlik = "43" yükseklik = "44 src = "> .jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">.

Bul: a) c sayısı; b) M(X); c) olasılık P(X> M(X))

2.12. Rastgele değişken diferansiyel dağılım fonksiyonu ile belirlenir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width = "60" height = "38 src = ">.jpg" width = "16 yükseklik = 15" yükseklik = "15"> .

Bul: a) M(X); b) olasılık P(X≤M(X))

2.13. Rem dağılımı olasılık yoğunluğu ile verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 için.

f(x)'in gerçekten bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu kanıtlayın.

2.14. Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width = "174" height = "136 src = ">(Şek. 4) (Şekil 5)

2.16. Rastgele değişken X, (0;4) aralığında “dik üçgen” yasasına göre dağıtılır (Şekil 5). Tüm sayı doğrusundaki f(x) olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun.

Yanıtlar

x≤0'da 0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0,

F(x)= 3sin 3x, π/6'da<х≤ π/3,

x> π/3 için 0. Sürekli bir rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu f(x) bu aralıkta sabitse ve bunun dışında 0'a eşitse, X'in tüm olası değerlerini içeren belirli bir aralıkta (a;b) düzgün bir dağılım yasasına sahiptir. , yani

x≤a için 0,

f(x)= a için<х

x≥b için 0.

f(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 2’de gösterilmektedir. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a için 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Görev No.1. Rastgele değişken X, segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Bulmak:

a) olasılık dağılım yoğunluğu f(x) ve grafiğini çizin;

b) dağılım fonksiyonu F(x) ve grafiğini çizin;

c) M(X),D(X), σ(X).

Çözüm: Yukarıda tartışılan formülleri kullanarak a=3, b=7 ile şunları buluruz:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7'de,

x>7 için 0

Grafiğini oluşturalım (Şekil 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" genişlik = "14" yükseklik = "86 src = "> x≤3'te 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width = "203" height = "119 src = ">Şek. 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width = "14" height = "49 src = "> 0, x'te<0,

x≥0 için f(x)= λе-λх.

Üstel yasaya göre dağıtılan X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu aşağıdaki formülle verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" genişlik = "191" yükseklik = "126 src = ">fig..jpg" genişlik = "22" yükseklik = "30">, D(X)=, σ (Х)=

Dolayısıyla üstel dağılımın matematiksel beklentisi ve standart sapması birbirine eşittir.

X'in (a;b) aralığına düşme olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır:

P(bir<Х

Görev No.2. Cihazın ortalama arızasız çalışma süresi 100 saattir. Cihazın arızasız çalışma süresinin üstel dağılım yasasına sahip olduğunu varsayarak, şunu bulun:

a) olasılık dağılım yoğunluğu;

b) dağıtım işlevi;

c) Cihazın arızasız çalışma süresinin 120 saati aşma ihtimali.

Çözüm: Koşula göre, x'te M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 matematiksel dağılımı<0,

a) x≥0 için f(x)= 0,01e -0,01x.

b) x'te F(x)= 0<0,

x≥0'da 1-e -0,01x.

c) İstenilen olasılığı dağılım fonksiyonunu kullanarak buluruz:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3.

§ 3.Normal dağıtım kanunu

Tanım: Sürekli bir rastgele değişken X'in sahip olduğu normal dağılım yasası (Gauss yasası), dağıtım yoğunluğu şu şekilde ise:

,

burada m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Normal dağılım eğrisi denir normal veya Gauss eğrisi (Şek.7)

Normal eğri x=m düz çizgisine göre simetriktir, x=a'da maksimuma sahiptir, eşittir.

Normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu, aşağıdaki formüle göre Laplace fonksiyonu Ф (x) aracılığıyla ifade edilir:

,

Laplace fonksiyonu nerede.

Yorum: Ф(x) fonksiyonu tektir (Ф(-х)=-Ф(х)) ayrıca x>5 için Ф(х) ≈1/2 olduğunu varsayabiliriz.

F(x) dağılım fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" genişlik = "218" yükseklik = "33">

Sapmanın mutlak değerinin pozitif bir δ sayısından küçük olma olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Özellikle m=0 için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

"Üç Sigma Kuralı"

Eğer bir X rastgele değişkeni m ve σ parametreleriyle normal bir dağılım yasasına sahipse, bu durumda değerinin (a-3σ; a+3σ) aralığında yer alması neredeyse kesindir, çünkü

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width = "157" height = "57 src = ">a)

b) Formülü kullanalım:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" genişlik = "369" yükseklik = "38 src = ">

Ф(х) fonksiyon değerleri tablosundan Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413'ü buluyoruz.

Yani istenilen olasılık:

P(28

Bağımsız çalışma için görevler

3.1. Rastgele değişken X, (-3;5) aralığında düzgün bir şekilde dağıtılır. Bulmak:

b) dağılım fonksiyonu F(x);

c) sayısal özellikler;

d) olasılık P(4)<х<6).

3.2. Rastgele değişken X, segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Bulmak:

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) dağılım fonksiyonu F(x);

c) sayısal özellikler;

d) olasılık P(3≤х≤6).

3.3. Otoyolda otomatik bir trafik ışığı var ve yeşil ışık 2 dakika, sarı ışık 3 saniye, kırmızı ışık 30 saniye vb. yanıyor. Bir araba otoyolda rastgele bir anda ilerliyor. Bir arabanın trafik ışıklarından durmadan geçme olasılığını bulun.

3.4. Metro trenleri düzenli olarak 2 dakikalık aralıklarla çalışmaktadır. Bir yolcu platforma rastgele bir zamanda giriyor. Bir yolcunun tren için 50 saniyeden fazla beklemek zorunda kalma olasılığı nedir? Rastgele değişken X'in (tren için bekleme süresi) matematiksel beklentisini bulun.

3.5. Dağıtım fonksiyonu tarafından verilen üstel dağılımın varyansını ve standart sapmasını bulun:

x'te F(x)= 0<0,

x≥0 için 1.-8x.

3.6. Sürekli bir rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğuyla belirtilir:

x'te f(x)= 0<0,

x≥0'da 0,7 e-0,7x.

a) Söz konusu rastgele değişkenin dağılım yasasını adlandırın.

b) F(X) dağılım fonksiyonunu ve X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulun.

3.7. Rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu tarafından belirlenen üstel yasaya göre dağıtılır:

x'te f(x)= 0<0,

0,4 e-0,4 x, x≥0'da.

Test sonucunda X'in (2.5;5) aralığından bir değer alma olasılığını bulun.

3.8. Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilen üstel yasaya göre dağıtılır:

x'te F(x)= 0<0,

x≥0'da 1.-0,6x

Test sonucunda X'in parçadan değer alma olasılığını bulun.

3.9. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin beklenen değeri ve standart sapması sırasıyla 8 ve 2'dir.

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) Test sonucunda X'in (10;14) aralığından bir değer alma olasılığı.

3.10. Rastgele değişken X, 3,5'lik bir matematiksel beklenti ve 0,04'lük bir varyansla normal olarak dağıtılır. Bulmak:

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) Test sonucunda X'in segmentten bir değer alma olasılığı.

3.11. Rastgele değişken X, M(X)=0 ve D(X)=1 ile normal olarak dağıtılır. |X|≤0,6 veya |X|≥0,6 olaylarından hangisinin olasılığı daha yüksektir?

3.12. X rastgele değişkeni M(X)=0 ve D(X)=1 ile normal dağılım gösterir. Hangi aralıktan (-0.5;-0.1) veya (1;2) bir test sırasında değer alma olasılığı daha yüksektir?

3.13. Hisse başına cari fiyat normal dağılım kanunu kullanılarak M(X)=10 den modellenebilir. birimler ve σ(X)=0,3 den. birimler Bulmak:

a) Mevcut hisse fiyatının 9,8 den olma olasılığı. birimler 10,4 güne kadar birimler;

b) “üç sigma kuralını” kullanarak mevcut hisse senedi fiyatının yer alacağı sınırları bulun.

3.14. Madde sistematik hatalar olmadan tartılır. Rastgele tartım hataları, ortalama kare oranı σ=5g olan normal yasaya tabidir. Dört bağımsız deneyde, üç tartımda 3r mutlak değerinde bir hata oluşmama olasılığını bulun.

3.15. Rastgele değişken X, M(X)=12.6 ile normal olarak dağıtılır. Bir rastgele değişkenin (11.4;13.8) aralığına düşme olasılığı 0.6826'dır. Standart sapmayı σ bulun.

3.16. X rastgele değişkeni M(X)=12 ve D(X)=36 ile normal dağılım göstermektedir. Test sonucunda X rastgele değişkeninin düşeceği aralığı 0,9973 olasılıkla bulunuz.

3.17. Otomatik bir makine tarafından üretilen bir parça, kontrol edilen parametresinin nominal değerden X sapması modulo 2 ölçüm birimini aşarsa hatalı olarak kabul edilir. X rastgele değişkeninin M(X)=0 ve σ(X)=0,7 ile normal dağıldığı varsayılmaktadır. Makine kusurlu parçaların yüzde kaçını üretiyor?

3.18. Parçanın X parametresi, nominal değere eşit 2 matematiksel beklentisi ve 0,014 standart sapması ile normal olarak dağıtılır. X'in nominal değerden sapmasının nominal değerin %1'ini aşmama olasılığını bulun.

Yanıtlar

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" genişlik = "14" yükseklik = "110 src = ">

b) x≤-3 için 0,

F(x)= sol">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

Dağılım Olası değerleri Ox ekseninin tamamına ait olan sürekli rastgele değişken X, eşitlikle belirlenir:

Hizmetin amacı. Çevrimiçi hesap makinesi, aşağıdaki durumlardan herhangi birinin meydana geldiği sorunları çözmek için tasarlanmıştır: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağılım fonksiyonu F(x) (örneğe bakın). Genellikle bu tür görevlerde bulmanız gerekir matematiksel beklenti, standart sapma, grafik fonksiyonları f(x) ve F(x).

Talimatlar. Kaynak veri türünü seçin: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağıtım fonksiyonu F(x).

Dağılım yoğunluğu f(x) verilir:

F(x) dağılım fonksiyonu verilir:

Sürekli bir rastgele değişken olasılık yoğunluğuyla belirtilir
(Rayleigh dağıtım yasası - radyo mühendisliğinde kullanılır). M(x) , D(x)'i bulun.

Rastgele değişken X denir sürekli , eğer dağıtım fonksiyonu F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamak için kullanılır:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Ayrıca sürekli bir rastgele değişken için sınırlarının bu aralığa dahil olup olmaması önemli değildir:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Dağıtım yoğunluğu sürekli bir rastgele değişkene fonksiyon denir
f(x)=F’(x) , dağılım fonksiyonunun türevi.

Dağıtım yoğunluğunun özellikleri