Kesirlerin azaltılmasının ne olduğunu, kesirlerin neden ve nasıl azaltılacağını anlayalım ve kesirleri azaltma kuralını ve kullanım örneklerini verelim.

Yandex.RTB R-A-339285-1

"Kesirleri azaltmak" nedir

Bir kesri azaltmak, payını ve paydasını pozitif ve birden farklı ortak bir faktöre bölmektir.

Bu işlem sonucunda orijinal kesire eşit, yeni pay ve paydaya sahip bir kesir elde edilecektir.

Örneğin 6 24 ortak kesirini alıp azaltalım. Payı ve paydayı 2'ye bölün, sonuçta 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 elde edilir. Bu örnekte orijinal kesri 2 azalttık.

Kesirlerin indirgenemez forma indirgenmesi

Önceki örnekte 6 24 kesirini 2 azaltıp 3 12 kesirini elde ettik. Bu oranın daha da azaltılabileceğini görmek kolaydır. Tipik olarak kesirleri azaltmanın amacı indirgenemez bir kesir elde etmektir. Bir kesir indirgenemez formuna nasıl indirgenir?

Bu, pay ve paydayı en büyük ortak faktöre (GCD) göre azaltarak yapılabilir. O zaman en büyük ortak bölenin özelliği gereği pay ve payda karşılıklı olarak asal sayılara sahip olacak ve kesir indirgenemez olacaktır.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Bir kesri indirgenemez bir forma indirgemek

Bir kesri indirgenemez bir forma indirmek için payını ve paydasını gcd'lerine bölmeniz gerekir.

İlk örnekten 6 24 kesrine dönelim ve indirgenemez formuna getirelim. 6 ve 24 sayılarının en büyük ortak böleni 6'dır. Kesri azaltalım:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Büyük sayılarla çalışmamak için kesirlerin azaltılmasının kullanılması uygundur. Genel olarak matematikte söylenmemiş bir kural vardır: Herhangi bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, bunu yapmanız gerekir. Bir kesri azaltmak çoğu zaman onu indirgenemez bir forma indirgemek anlamına gelir ve onu basitçe pay ve paydanın ortak böleniyle azaltmak anlamına gelmez.

Kesirleri azaltma kuralı

Kesirleri azaltmak için iki adımdan oluşan kuralı hatırlamanız yeterlidir.

Kesirleri azaltma kuralı

Bir kısmı azaltmak için ihtiyacınız olan:

1. Pay ve paydanın gcd'sini bulun.
2. Pay ve paydayı gcd'lerine bölün.

Pratik örneklere bakalım.

Örnek 1. Kesri azaltalım.

182 195 kesri göz önüne alındığında. Kısaltalım.

Pay ve paydanın gcd'sini bulalım. Bunu yapmak için bu durumda Öklid algoritmasını kullanmak en uygunudur.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 NOD (182, 195) = 13

Pay ve paydayı 13'e bölün. Şunu elde ederiz:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Hazır. Orijinal kesire eşit indirgenemez bir kesir elde ettik.

Kesirleri başka nasıl azaltabilirsiniz? Bazı durumlarda pay ve paydayı asal çarpanlara ayırmak ve ardından kesirin üst ve alt kısımlarından tüm ortak çarpanları çıkarmak uygun olur.

Örnek 2. Kesri azaltın

360 2940 kesri göz önüne alındığında. Kısaltalım.

Bunu yapmak için orijinal kesri şu şekilde hayal edin:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Pay ve paydadaki ortak faktörlerden kurtulalım, sonuçta:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Son olarak kesirleri azaltmanın başka bir yoluna bakalım. Bu sözde sıralı azalmadır. Bu yöntemi kullanarak indirgeme, her birinde fraksiyonun bazı bariz ortak faktörlerle azaltıldığı birkaç aşamada gerçekleştirilir.

Örnek 3. Kesri azaltın

2000 4400 kesrini azaltalım.

Pay ve paydanın ortak 100 çarpanına sahip olduğu hemen anlaşılıyor. Kesri 100'e indiririz ve şunu elde ederiz:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Ortaya çıkan sonucu tekrar 2 oranında azaltıyoruz ve indirgenemez bir kesir elde ediyoruz:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Kesirler

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Kesirler lisede pek sıkıntı yaratmaz. Şu an için. Ta ki rasyonel üslü ve logaritmalı kuvvetlerle karşılaşıncaya kadar. Ve orada... Hesap makinesine basarsınız ve basarsınız ve hesap makinesi bazı sayıların tam ekranını gösterir. Üçüncü sınıftaki gibi kafanla düşünmek zorundasın.

Sonunda kesirleri bulalım! Peki, bunlarla ne kadar kafan karışabilir!? Üstelik her şey basit ve mantıklı. Bu yüzden, kesirler nedir?

Kesir türleri. Dönüşümler.

Üç tür kesir vardır.

1. Ortak kesirler , Örneğin:

Bazen yatay çizgi yerine eğik çizgi koyarlar: 1/2, 3/4, 19/5, vb. Burada bu yazımı sıklıkla kullanacağız. En üstteki numara aranır pay, daha düşük - payda. Eğer bu isimleri sürekli karıştırıyorsanız (olur...), kendinize şu cümleyi söyleyin: " Zzzzz Unutma! Zzzzz payda - bak zzzzz ah!" Bak, her şey hatırlanacak.)

Yatay veya eğimli çizgi şu anlama gelir: bölümüstteki sayıyı (pay) aşağıya (payda) doğru. Bu kadar! Kısa çizgi yerine bölme işareti koymak oldukça mümkündür - iki nokta.

Tam bölünme mümkün olduğunda bu yapılmalıdır. Yani “32/8” kesri yerine “4” sayısını yazmak çok daha keyifli. Onlar. 32 basitçe 8'e bölünür.

32/8 = 32: 8 = 4

"4/1" kesirinden bahsetmiyorum bile. Bu da sadece "4". Tamamen bölünemiyorsa kesir olarak bırakıyoruz. Bazen tam tersi işlemi yapmanız gerekir. Tam sayıyı kesire dönüştürün. Ancak daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi vereceğiz.

2. Ondalık Sayılar , Örneğin:

Bu formda “B” görevlerinin cevaplarını yazmanız gerekecektir.

3. Karışık sayılar , Örneğin:

Lisede karışık sayılar pratikte kullanılmaz. Onlarla çalışabilmek için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Ancak bunu kesinlikle yapabilmeniz gerekiyor! Aksi takdirde bir problemde böyle bir sayıyla karşılaşırsınız ve donarsınız... Bir anda. Ancak bu prosedürü hatırlayacağız! Biraz daha aşağıda.

En çok yönlü ortak kesirler. Onlarla başlayalım. Bu arada, eğer bir kesir her türlü logaritmayı, sinüsü ve diğer harfleri içeriyorsa, bu hiçbir şeyi değiştirmez. Bir anlamda her şey Kesirli ifadelere sahip eylemlerin sıradan kesirli eylemlerden hiçbir farkı yoktur!

Bir kesrin temel özelliği.

O zaman hadi gidelim! Başlangıç ​​olarak sizi şaşırtacağım. Tüm kesir dönüşümleri tek bir özellik tarafından sağlanır! Buna denir bir kesrin temel özelliği. Hatırlamak: Bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa (bölülürse) kesir değişmez. Onlar:

Yüzün morarıncaya kadar yazmaya devam edebileceğin açık. Sinüs ve logaritmaların kafanızı karıştırmasına izin vermeyin, bunlarla daha ayrıntılı olarak ilgileneceğiz. Önemli olan tüm bu çeşitli ifadelerin aynı kesir . 2/3.

Bütün bu dönüşümlere ihtiyacımız var mı? Ve nasıl! Şimdi kendiniz göreceksiniz. Başlangıç ​​olarak kesrin temel özelliğini kullanalım. kesirlerin azaltılması. Bu basit bir şey gibi görünebilir. Pay ve paydayı aynı sayıya bölün, işte bu kadar! Hata yapmak imkansızdır! Ama... insan yaratıcı bir varlıktır. Her yerde hata yapabilirsiniz! Hele ki 5/10 gibi bir kesri değil, her türlü harften oluşan kesirli bir ifadeyi azaltmanız gerekiyorsa.

Ekstra çalışma yapmadan kesirlerin doğru ve hızlı bir şekilde nasıl azaltılacağı özel Bölüm 555'te okunabilir.

Normal bir öğrenci pay ve paydayı aynı sayıya (veya ifadeye) bölme zahmetine girmez! Yukarıda ve aşağıda aynı olan her şeyin üstünü çiziyor! Tipik bir hatanın, deyim yerindeyse, bir gafın gizlendiği yer burasıdır.

Örneğin, ifadeyi basitleştirmeniz gerekir:

Burada düşünecek bir şey yok, üstteki “a” harfinin ve alttaki “2” harfinin üzerini çizin! Şunu elde ederiz:

Her şey doğru. Ama gerçekten bölünmüşsün Tümü pay ve Tümü payda "a"dır. Sadece üstünü çizmeye alışkınsanız, aceleyle ifadedeki "a" harfinin üstünü çizebilirsiniz.

ve tekrar al

Bu kategorik olarak doğru olmazdı. Çünkü burada Tümü"a" üzerindeki pay zaten paylaşmıyor! Bu oran azaltılamaz. Bu arada, böyle bir azalma öğretmen için ciddi bir zorluktur. Bu affedilmez! Hatırlıyor musun? Küçültürken bölmeniz gerekir Tümü pay ve Tümü payda!

Kesirlerin azaltılması hayatı çok daha kolaylaştırır. Bir yerde bir kesir elde edeceksiniz, örneğin 375/1000. Artık onunla çalışmaya nasıl devam edebilirim? Hesap makinesi olmadan mı? Çarp, diyelim, topla, karesini al!? Ve eğer çok tembel değilseniz ve dikkatlice beşe, beşe daha ve hatta kısaltılırken... kısaltırsanız, kısacası. Hadi 3/8'i alalım! Çok daha hoş, değil mi?

Bir kesrin ana özelliği, sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürmenize ve bunun tersini yapmanıza olanak tanır hesap makinesi olmadan! Bu Birleşik Devlet Sınavı için önemli, değil mi?

Kesirler bir türden diğerine nasıl dönüştürülür?

Ondalık kesirlerle her şey basittir. Nasıl duyulursa öyle yazılır! 0,25 diyelim. Bu sıfır virgül yirmi beş yüzde bir. O halde şunu yazıyoruz: 25/100. Azaltıyoruz (pay ve paydayı 25'e bölüyoruz), normal kesri elde ediyoruz: 1/4. Tüm. Bu olur ve hiçbir şey azalmaz. 0.3 gibi. Bu onda üç, yani. 3/10.

Tamsayılar sıfır değilse ne olur? Önemli değil. Kesirin tamamını yazıyoruz virgül olmadan payda ve paydada - duyulanlar. Örneğin: 3.17. Bu üç virgül bin yedidir. Payda 317, paydada 100 yazarsak 317/100 elde ederiz. Hiçbir şey azalmaz, bu her şey demektir. Cevap bu. Temel Watson! Bütün söylenenlerden, yararlı bir sonuç: herhangi bir ondalık kesir ortak bir kesire dönüştürülebilir .

Ancak bazı kişiler hesap makinesi olmadan sıradan ondalık sayıya ters dönüşümü yapamazlar. Ve bu gerekli! Birleşik Devlet Sınavının cevabını nasıl yazacaksınız!? Dikkatlice okuyun ve bu süreçte uzmanlaşın.

Ondalık kesrin özelliği nedir? Onun paydası Her zaman maliyeti 10 veya 100 veya 1000 veya 10000 vb. Ortak kesirinizin paydası böyleyse sorun yok. Örneğin 4/10 = 0,4. Veya 7/100 = 0,07. Veya 12/10 = 1,2. Peki ya “B” bölümündeki görevin cevabı 1/2 olursa? Cevap olarak ne yazacağız? Ondalık sayılar gerekli...

Hatırlayalım bir kesrin temel özelliği ! Matematik, pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmanıza olumlu bir şekilde izin verir. Bu arada, herhangi bir şey! Sıfır hariç elbette. O halde gelin bu özelliği lehimize kullanalım! Payda neyle çarpılabilir, yani? 2 yani 10 mu, 100 mü yoksa 1000 mi (daha küçükse daha iyidir elbette...)? Tabii ki saat 5'te. Paydayı çarpmaktan çekinmeyin (bu biz gerekli) 5 ile. Ancak bu durumda payın da 5 ile çarpılması gerekir. Bu zaten matematik talepler! 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5 elde ederiz. Bu kadar.

Ancak her türlü payda karşımıza çıkıyor. Örneğin 3/16 kesiriyle karşılaşabilirsiniz. 16'yı neyle çarparak 100 veya 1000 olacağını bulmaya çalışın... İşe yaramıyor mu? Daha sonra 3'e 16'ya bölebilirsiniz. Hesap makinesinin yokluğunda, ilkokulda öğretildiği gibi bir kağıt parçası üzerinde köşeyle bölmeniz gerekecektir. 0,1875 elde ediyoruz.

Ayrıca çok kötü paydalar da var. Örneğin 1/3 kesirini iyi bir ondalık sayıya dönüştürmenin bir yolu yoktur. Hem hesap makinesinde hem de bir kağıt parçasında şunu elde ederiz: 0,3333333... Bu, 1/3'ün tam bir ondalık kesir olduğu anlamına gelir tercüme etmiyor. 1/7, 5/6 vb. ile aynı. Çevrilemeyen birçoğu var. Bu bizi başka bir yararlı sonuca getiriyor. Her kesir ondalık sayıya dönüştürülemez !

Bu arada, bu kendi kendini test etmek için yararlı bir bilgidir. "B" bölümünde cevabınızda ondalık kesir yazmalısınız. Ve örneğin 4/3'ü elde ettiniz. Bu kesir ondalık sayıya dönüşmez. Bu, yol boyunca bir yerde hata yaptığınız anlamına gelir! Geri dönün ve çözümü kontrol edin.

Böylece sıradan ve ondalık kesirleri bulduk. Geriye karışık sayılarla uğraşmak kalıyor. Onlarla çalışmak için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Nasıl yapılır? Bir altıncı sınıf öğrencisini yakalayıp ona sorabilirsiniz. Ancak altıncı sınıf öğrencisi her zaman elinizin altında olmayacak... Bunu kendiniz yapmak zorunda kalacaksınız. Zor değil. Kesirli kısmın paydasını tam kısımla çarpmanız ve kesirli kısmın payını eklemeniz gerekir. Bu ortak kesrin payı olacaktır. Payda ne olacak? Payda aynı kalacaktır. Kulağa karmaşık geliyor ama gerçekte her şey basit. Bir örneğe bakalım.

Diyelim ki problemdeki sayıyı dehşetle gördünüz:

Sakince, paniğe kapılmadan düşünüyoruz. Parçanın tamamı 1. Birimdir. Kesirli kısım 3/7'dir. Dolayısıyla kesirli kısmın paydası 7'dir. Bu payda adi kesrin paydası olacaktır. Payını sayıyoruz. 7'yi 1 ile (tamsayı kısmı) çarpıyoruz ve 3'ü (kesirli kısmın payı) ekliyoruz. 10 alıyoruz. Bu ortak kesrin payı olacak. Bu kadar. Matematiksel gösterimde daha da basit görünüyor:

Açık mı? O halde başarınızı güvence altına alın! Sıradan kesirlere dönüştürün. 10/7, 7/2, 23/10 ve 21/4 almalısınız.

Uygunsuz bir kesri karışık bir sayıya dönüştürmek olan ters işlem, lisede nadiren gereklidir. Eğer öyleyse... Eğer lisede değilseniz özel Bölüm 555'e bakabilirsiniz. Bu arada burada bileşik kesirleri de öğreneceksiniz.

Eh, neredeyse hepsi bu. Kesir türlerini hatırladınız ve anladınız Nasıl bunları bir türden diğerine aktarın. Geriye şu soru kalıyor: Ne için yap? Bu derin bilgiyi nerede ve ne zaman uygulamalı?

Cevaplıyorum. Herhangi bir örneğin kendisi gerekli eylemleri önerir. Örnekte sıradan kesirler, ondalık sayılar ve hatta karışık sayılar birbirine karıştırılırsa, her şeyi sıradan kesirlere dönüştürürüz. Her zaman yapılabilir. Eğer 0,8 + 0,3 gibi bir şey söylüyorsa, o zaman herhangi bir çeviri yapmadan bu şekilde sayarız. Neden ekstra çalışmaya ihtiyacımız var? Uygun olan çözümü seçiyoruz biz !

Eğer görev tamamen ondalık kesirlerden oluşuyorsa, ama um... bazı kötü olanlar, sıradan olanlara gidin ve deneyin! Bak her şey yoluna girecek. Örneğin 0,125 sayısının karesini almanız gerekecek. Hesap makinesi kullanmaya alışmadıysanız bu o kadar kolay değil! Bir sütundaki sayıları çarpmanın yanı sıra virgülü nereye koyacağınızı da düşünmeniz gerekir! Kesinlikle kafanızda işe yaramayacak! Peki ya sıradan bir kesire geçersek?

0,125 = 125/1000. Bunu 5 oranında azaltıyoruz (bu yeni başlayanlar içindir). 25/200 alıyoruz. Bir kez daha 5'e kadar. 5/40 elde ederiz. Ah, hala küçülüyor! 5'e geri dönelim! 1/8 elde ederiz. Kolayca karesini alabiliriz (aklımızda!) ve 1/64 elde edebiliriz. Tüm!

Bu dersi özetleyelim.

1. Üç tür kesir vardır. Ortak, ondalık ve karışık sayılar.

2. Ondalık sayılar ve karışık sayılar Her zaman sıradan kesirlere dönüştürülebilir. Ters aktarım her zaman değil mevcut.

3. Bir görevde kullanılacak kesir türünün seçimi, görevin kendisine bağlıdır. Bir görevde farklı kesir türleri varsa en güvenilir şey sıradan kesirlere geçmektir.

Artık pratik yapabilirsiniz. Öncelikle bu ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Bunun gibi yanıtlar almalısınız (karmaşa içinde!):

Burada bitirelim. Bu dersimizde kesirlerle ilgili önemli noktalarda hafızamızı tazeledik. Ancak yenilenecek özel bir şey olmadığı da olur...) Birisi tamamen unutmuşsa veya henüz ustalaşmamışsa... O zaman özel bir Bölüm 555'e gidebilirsiniz. Tüm temel bilgiler burada ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Birçoğu aniden her şeyi anlamak başlıyorlar. Ve kesirleri anında çözerler).

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Okuldaki çocuklar 6. sınıfta kesirleri azaltma kurallarını öğreniyorlar. Bu yazımızda öncelikle bu eylemin ne anlama geldiğini anlatacağız, ardından indirgenebilir bir kesirin indirgenemez kesire nasıl dönüştürüleceğini açıklayacağız. Bir sonraki nokta kesirleri azaltma kuralları olacak ve ardından yavaş yavaş örneklere geçeceğiz.

"Bir kesri azaltmak" ne anlama geliyor?

Yani hepimiz sıradan kesirlerin iki gruba ayrıldığını biliyoruz: indirgenebilir ve indirgenemez. Zaten isimlerden kasılabilenlerin daraldığını, indirgenemeyenlerin ise büzülmediğini anlayabilirsiniz.

• Bir kesri azaltmak, paydasını ve payını (birden farklı) pozitif bölenine bölmek anlamına gelir. Sonuç elbette daha küçük payda ve paya sahip yeni bir kesirdir. Ortaya çıkan kesir orijinal kesre eşit olacaktır.

"Bir kesri azaltma" görevini içeren matematik kitaplarında bunun, orijinal kesri bu indirgenemez forma indirmeniz gerektiği anlamına geldiğini belirtmekte fayda var. Basit bir ifadeyle, paydayı ve payı en büyük ortak bölenlerine bölmek bir azalmadır.

Bir kesir nasıl azaltılır? Kesirleri azaltma kuralları (6. sınıf)

Yani burada sadece iki kural var.

1. Kesirleri azaltmanın ilk kuralı, öncelikle kesirinizin paydasının ve payının en büyük ortak faktörünü bulmaktır.
2. İkinci kural: paydayı ve payı en büyük ortak bölene bölerek sonuçta indirgenemez bir kesir elde edin.

Uygunsuz bir kesir nasıl azaltılır?

Kesirleri azaltma kuralları, bileşik kesirleri azaltma kurallarıyla aynıdır.

Uygun olmayan bir kesri azaltmak için, öncelikle paydayı ve payı asal çarpanlara ayırmanız ve ancak daha sonra ortak çarpanları azaltmanız gerekir.

Karışık kesirlerin azaltılması

Kesirleri azaltma kuralları, karışık kesirleri azaltma için de geçerlidir. Sadece küçük bir fark var: Parçanın tamamına dokunamıyoruz, kesri azaltıyoruz veya karışık kesri bileşik kesire dönüştürüyoruz, sonra azaltıp tekrar düzgün kesire dönüştürüyoruz.

Karışık fraksiyonları azaltmanın iki yolu vardır.

İlk olarak: kesirli kısmı asal çarpanlara yazın ve ardından tüm kısmı olduğu gibi bırakın.

İkinci yol: önce onu bileşik kesre dönüştürün, sıradan çarpanlara yazın, sonra kesri azaltın. Halihazırda elde edilen bileşik kesri uygun kesire dönüştürün.

Örnekleri yukarıdaki fotoğrafta görebilirsiniz.

Gerçekten size ve çocuklarınıza yardımcı olabildiğimizi umuyoruz. Sonuçta sınıfta genellikle dikkatsizler, bu yüzden evde kendi başlarına daha yoğun çalışmak zorundalar.

Kesirler ve indirgenmeleri 5. sınıfta başlayan konulardan bir diğeridir. Burada bu eylemin temeli oluşturulur ve daha sonra bu beceriler bir iplikle yüksek matematiğe çekilir. Öğrenci anlamıyorsa cebirde sorun yaşayabilir. Bu nedenle, birkaç kuralı kesin olarak anlamak daha iyidir. Ayrıca bir yasağı da hatırlayın ve onu asla ihlal etmeyin.

Kesir ve indirgenmesi

Her öğrenci bunun ne olduğunu bilir. Yatay bir çizgi arasında yer alan herhangi iki rakam anında kesir olarak algılanır. Ancak herkes herhangi bir sayının bu hale gelebileceğini anlamıyor. Eğer bu bir tam sayıysa, o zaman her zaman bire bölünebilir ve sonra uygunsuz bir kesir elde edersiniz. Ancak daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi vereceğiz.

Başlangıç ​​her zaman basittir. Öncelikle uygun bir kesirin nasıl azaltılacağını bulmanız gerekir. Yani payın paydadan küçük olduğu durum. Bunu yapmak için kesrin temel özelliğini hatırlamanız gerekir. Payını ve paydasını aynı anda aynı sayı ile çarptığınızda (aynı zamanda böldüğünüzde) eşdeğer bir kesir elde edildiğini belirtir.

Bu mülk üzerinde gerçekleştirilen ve azalmayla sonuçlanan bölme işlemleri. Yani mümkün olduğu kadar basitleştirmek. Çizginin üstünde ve altında ortak çarpanlar olduğu sürece bir kesir azaltılabilir. Artık orada olmadıklarında, azalma imkansızdır. Ve bu kesrin indirgenemez olduğunu söylüyorlar.

İki yol

1.Adım adım azalma. Her iki sayının öğrencinin fark ettiği minimum ortak faktöre bölündüğü bir tahmin yöntemi kullanır. İlk daralmadan sonra bunun son olmadığı anlaşılırsa bölünme devam eder. Kesir indirgenemez hale gelinceye kadar.

2. Pay ve paydanın en büyük ortak bölenini bulma. Kesirleri azaltmanın en akılcı yolu budur. Pay ve paydayı asal çarpanlara ayırmayı içerir. Bunların arasında daha sonra aynı olanları seçmeniz gerekir. Bunların çarpımı kesrin indirgendiği en büyük ortak faktörü verecektir.

Bu yöntemlerin her ikisi de eşdeğerdir. Öğrencinin bu konularda uzmanlaşması ve en çok hoşuna gideni kullanması teşvik edilir.

Harfler ve toplama-çıkarma işlemleri varsa ne olur?

Sorunun ilk kısmı az çok açıktır. Harfler de sayılar gibi kısaltılabilir. Önemli olan çarpan görevi görmeleridir. Ancak birçok insanın ikincisiyle sorunları var.

Hatırlanması önemli! Yalnızca faktör olan sayıları azaltabilirsiniz. Eğer bunlar özetse, bu imkansızdır.

Cebirsel ifade biçimindeki kesirlerin nasıl azaltılacağını anlamak için kuralı anlamanız gerekir. Öncelikle pay ve paydayı çarpım olarak ifade edelim. Daha sonra ortak faktörler ortaya çıkarsa azaltabilirsiniz. Bunu çarpanlar biçiminde temsil etmek için aşağıdaki teknikler faydalıdır:

• gruplama;
• basamaklama;
• kısaltılmış çarpma özdeşliklerinin uygulanması.

Üstelik ikinci yöntem, terimlerin çarpanlar biçiminde hemen elde edilmesini mümkün kılar. Bu nedenle her zaman bilinen bir desen görünüyorsa kullanılmalıdır.

Ancak bu henüz korkutucu değil, sonra dereceleri ve kökleri olan görevler ortaya çıkıyor. İşte o zaman cesaret kazanmanız ve birkaç yeni kural öğrenmeniz gerekir.

Derece ile ifade

Kesir. Pay ve payda çarpımdır. Harfler ve rakamlar var. Ve aynı zamanda terimlerden veya faktörlerden oluşan bir güce de yükseltilirler. Korkacak bir şey var.

Kesirlerin kuvvetleriyle nasıl azaltılacağını anlamak için iki şeyi öğrenmeniz gerekecek:

• üs bir toplam içeriyorsa, o zaman üsleri orijinal terimler olacak olan faktörlere ayrıştırılabilir;
• fark varsa, o zaman temettü ve bölen, ilkinin eksi kuvvetine, ikincisinin çıkanına sahip olacaktır.

Bu adımları tamamladıktan sonra toplam çarpanlar görünür hale gelir. Bu tür örneklerde tüm kuvvetlerin hesaplanmasına gerek yoktur. Aynı üsler ve tabanlarla dereceleri azaltmak yeterlidir.

Nihayet kesirlerin kuvvetlerle nasıl azaltılacağı konusunda ustalaşmak için çok fazla pratik yapmanız gerekir. Birkaç benzer örnekten sonra eylemler otomatik olarak gerçekleştirilecektir.

Peki ya ifade bir kök içeriyorsa?

Ayrıca kısaltılabilir. Ancak yine kurallara uyarak. Üstelik yukarıda anlatılanların hepsi doğrudur. Genel olarak, soru bir kesirin köklerle nasıl azaltılacağı ise, o zaman bölmeniz gerekir.

İrrasyonel ifadelere de ayrılabilir. Yani, pay ve payda kök işareti altında aynı faktörleri içeriyorsa, bunlar güvenli bir şekilde azaltılabilir. Bu, ifadeyi basitleştirecek ve görevi tamamlayacaktır.

İndirgemeden sonra irrasyonellik kesir çizgisinin altında kalırsa, ondan kurtulmanız gerekir. Başka bir deyişle pay ve paydayı onunla çarpın. Bu operasyon sonrasında ortak faktörler ortaya çıkarsa bunların tekrar azaltılması gerekecektir.

Bu muhtemelen kesirlerin nasıl azaltılacağıyla ilgilidir. Birkaç kural var, ancak yalnızca bir yasak var. Şartları asla kısaltmayın!

Bu makale cebirsel kesirleri dönüştürme konusuna devam ediyor: Cebirsel kesirleri azaltmak gibi bir eylemi düşünün. Terimin kendisini tanımlayalım, bir indirgeme kuralı formüle edelim ve pratik örnekleri analiz edelim.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cebirsel bir kesri azaltmanın anlamı

Ortak kesirler ile ilgili materyallerde indirgenmesine baktık. Bir kesri azaltmayı pay ve paydasını ortak bir çarpana bölmek olarak tanımladık.

Cebirsel bir kesri azaltmak da benzer bir işlemdir.

Tanım 1

Cebirsel bir kesirin azaltılması pay ve paydanın ortak bir faktöre bölünmesidir. Bu durumda, sıradan bir kesirin indirgenmesinin aksine (ortak payda yalnızca bir sayı olabilir), cebirsel bir kesirin pay ve paydasının ortak faktörü bir polinom, özellikle bir tek terimli veya bir sayı olabilir.

Örneğin, 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 cebirsel kesri 3 sayısıyla azaltılabilir, sonuçta: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. Aynı kesri x değişkeni kadar azaltabiliriz ve bu bize 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 ifadesini verecektir. Belirli bir kesri tek terimli bir sayıyla azaltmak da mümkündür 3x veya polinomlardan herhangi biri x + 2y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y veya 3 x 2 + 6 x y.

Cebirsel bir kesri azaltmanın nihai amacı, daha basit bir formun kesiridir, en iyi ihtimalle indirgenemez bir kesirdir.

Tüm cebirsel kesirler indirgenmeye tabi midir?

Yine sıradan kesirler üzerindeki malzemelerden indirgenebilir ve indirgenemez kesirlerin olduğunu biliyoruz. İndirgenemez kesirler pay ve paydasında 1'den başka ortak çarpanı olmayan kesirlerdir.

Cebirsel kesirlerde de durum aynıdır: pay ve paydada ortak çarpanları olabilir veya olmayabilir. Ortak faktörlerin varlığı, orijinal kesri azaltma yoluyla basitleştirmenize olanak tanır. Ortak faktörler olmadığında, belirli bir kesri indirgeme yöntemini kullanarak optimize etmek imkansızdır.

Genel durumlarda kesrin türü göz önüne alındığında azaltılıp azaltılamayacağını anlamak oldukça zordur. Elbette bazı durumlarda pay ve payda arasında ortak bir faktörün varlığı açıktır. Örneğin 3 x 2 3 y cebirsel kesirinde ortak çarpanın 3 sayısı olduğu oldukça açıktır.

- x · y 5 · x · y · z 3 kesirinde, bunun x veya y veya x · y ile azaltılabileceğini de hemen anlarız. Ve yine de, pay ve paydanın ortak faktörünün görülmesi o kadar kolay olmadığında ve hatta daha sıklıkla bulunmadığında cebirsel kesir örnekleri çok daha sık görülür.

Örneğin, x 3 - 1 x 2 - 1 kesrini x - 1 oranında azaltabiliriz, oysa belirtilen ortak faktör girdide mevcut değildir. Ancak pay ve paydanın ortak bir faktörü olmadığı için x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 kesri azaltılamaz.

Bu nedenle, cebirsel bir kesirin indirgenebilirliğini belirleme sorunu o kadar basit değildir ve belirli bir formun bir kesiriyle çalışmak, onun indirgenebilir olup olmadığını bulmaya çalışmaktan genellikle daha kolaydır. Bu durumda, belirli durumlarda pay ve paydanın ortak faktörünü belirlemeyi veya bir kesrin indirgenemezliği hakkında bir sonuca varmayı mümkün kılan bu tür dönüşümler meydana gelir. Bu konuyu yazımızın bir sonraki paragrafında detaylı olarak inceleyeceğiz.

Cebirsel kesirleri azaltma kuralı

Cebirsel kesirleri azaltma kuralı iki ardışık eylemden oluşur:

• pay ve paydanın ortak faktörlerini bulma;
• eğer bulunursa, fraksiyonun azaltılması işlemi doğrudan gerçekleştirilir.

Ortak paydaları bulmanın en uygun yöntemi, belirli bir cebirsel kesirin pay ve paydasında bulunan polinomları çarpanlara ayırmaktır. Bu, ortak faktörlerin varlığını veya yokluğunu anında net bir şekilde görmenizi sağlar.

Cebirsel bir kesri azaltma eylemi, cebirsel bir kesirin tanımsız eşitlikle ifade edilen ana özelliğine dayanır; burada a, b, c bazı polinomlardır ve b ve c sıfır değildir. İlk adım, kesri a · c b · c biçimine indirgemektir; burada c ortak faktörünü hemen fark ederiz. İkinci adım, bir azaltma gerçekleştirmektir, yani. a b formunun bir kesrine geçiş.

Tipik örnekler

Biraz açık olmasına rağmen, cebirsel bir kesirin pay ve paydasının eşit olduğu özel durumu açıklığa kavuşturalım. Benzer kesirler, bu kesrin değişkenlerinin tüm ODZ'sinde aynı şekilde 1'e eşittir:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; xx = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Sıradan kesirler cebirsel kesirlerin özel bir durumu olduğundan, bunların nasıl indirgendiğini hatırlayalım. Pay ve paydada yazılan doğal sayılar asal çarpanlara ayrılır ve varsa ortak çarpanlar iptal edilir.

Örneğin, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Basit özdeş faktörlerin çarpımı kuvvetler olarak yazılabilir ve bir kesri azaltma sürecinde, kuvvetlerin aynı temellerle bölünmesi özelliğini kullanabiliriz. O zaman yukarıdaki çözüm şöyle olacaktır:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(pay ve paydanın ortak bir faktöre bölünmesi 2 2 3). Veya netlik sağlamak için çarpma ve bölme özelliklerine dayanarak çözüme aşağıdaki formu veririz:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Benzer şekilde, pay ve paydanın tamsayı katsayılı monomlara sahip olduğu cebirsel kesirlerin azaltılması gerçekleştirilir.

örnek 1

Cebirsel kesir verilmiştir - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Azaltılması gerekiyor.

Çözüm

Belirli bir kesrin payını ve paydasını basit faktörlerin ve değişkenlerin çarpımı olarak yazmak ve ardından indirgemeyi gerçekleştirmek mümkündür:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Ancak çözümü kuvvetleri olan bir ifade olarak yazmak daha rasyonel bir yol olacaktır:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Cevap:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Cebirsel bir kesirin payı ve paydası kesirli sayısal katsayılar içerdiğinde, daha fazla işlem yapmanın iki olası yolu vardır: ya bu kesirli katsayıları ayrı ayrı bölün ya da önce pay ve paydayı bir doğal sayıyla çarparak kesirli katsayılardan kurtulun. Son dönüşüm, cebirsel bir kesirin temel özelliği nedeniyle gerçekleştirilir (“Cebirsel bir kesirin yeni bir paydaya indirgenmesi” makalesinde bunu okuyabilirsiniz).

Örnek 2

Verilen kesir 2 5 x 0, 3 x 3'tür. Azaltılması gerekiyor.

Çözüm

Kesri şu şekilde azaltmak mümkündür:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Sorunu farklı bir şekilde çözmeye çalışalım, önce kesirli katsayılardan kurtulalım - pay ve paydayı bu katsayıların paydalarının en küçük ortak katıyla çarpalım, yani. LCM'de (5, 10) = 10. Sonra şunu elde ederiz:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Cevap: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Pay ve paydaların tek terimli ya da polinom olabileceği genel cebirsel kesirleri indirgediğimizde, ortak faktörün her zaman hemen görülemediği bir sorun ortaya çıkabilir. Veya dahası, basitçe mevcut değil. Daha sonra ortak faktörü belirlemek veya yokluğunu kaydetmek için cebirsel kesrin payı ve paydası çarpanlara ayrılır.

Örnek 3

Rasyonel kesir 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 verilmiştir. Azaltılması gerekiyor.

Çözüm

Pay ve paydadaki polinomları çarpanlarına ayıralım. Parantez dışına çıkaralım:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Parantez içindeki ifadenin kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak dönüştürülebildiğini görüyoruz:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Bir kesri ortak bir faktörle azaltmanın mümkün olduğu açıkça görülmektedir. b 2 (a + 7). Bir azaltma yapalım:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Açıklama yapmadan kısa bir çözümü eşitlikler zinciri olarak yazalım:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Cevap: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Ortak faktörlerin sayısal katsayılarla gizlendiği görülür. Daha sonra, kesirleri azaltırken, pay ve paydanın daha yüksek güçlerindeki sayısal faktörleri parantezlerin dışına koymak en uygunudur.

Örnek 4

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 cebirsel kesri verildiğinde. Mümkünse azaltmak gerekir.

Çözüm

İlk bakışta pay ve paydanın ortak bir paydası yoktur. Ancak verilen kesri dönüştürmeye çalışalım. Paydaki x faktörünü çıkaralım:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Şimdi parantez içindeki ifade ile paydadaki ifade arasında x 2 y nedeniyle bazı benzerlikler görebilirsiniz. . Bu polinomların yüksek kuvvetlerinin sayısal katsayılarını çıkaralım:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Artık ortak faktör görünür hale geliyor, azaltmayı gerçekleştiriyoruz:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Cevap: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Rasyonel kesirleri azaltma becerisinin polinomları çarpanlarına ayırma becerisine bağlı olduğunu vurgulayalım.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.