Güç fonksiyonu ve grafikleri. Temel temel fonksiyonlar: özellikleri ve grafikleri

Temel temel fonksiyonlar, bunların doğal özellikleri ve bunlara karşılık gelen grafikler, çarpım tablosuna benzer önemde matematiksel bilginin temellerinden biridir. Temel işlevler, tüm teorik konuların incelenmesi için temel ve destektir.

Aşağıdaki makale temel temel işlevler konusunda önemli materyaller sunmaktadır. Terimleri tanıtacağız, tanımlarını vereceğiz; Her tür temel fonksiyonu ayrıntılı olarak inceleyelim ve özelliklerini analiz edelim.

Aşağıdaki temel temel fonksiyon türleri ayırt edilir:

Tanım 1

• sabit fonksiyon (sabit);
• n'inci kök;
• güç fonksiyonu;
• üstel fonksiyon;
• logaritmik fonksiyon;
• trigonometrik fonksiyonlar;
• kardeş trigonometrik fonksiyonlar.

Sabit bir fonksiyon şu formülle tanımlanır: y = C (C belirli bir gerçek sayıdır) ve ayrıca bir adı vardır: sabit. Bu fonksiyon, bağımsız değişken x'in herhangi bir gerçek değerinin, y değişkeninin aynı değerine - C'nin değerine - uygunluğunu belirler.

Bir sabitin grafiği apsis eksenine paralel olan ve koordinatları (0, C) olan bir noktadan geçen düz bir çizgidir. Açıklık sağlamak için, y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 sabit fonksiyonlarının grafiklerini sunuyoruz (çizimde sırasıyla siyah, kırmızı ve mavi renklerle gösterilmiştir).

Tanım 2

Bu temel fonksiyon y = x n (n, birden büyük bir doğal sayıdır) formülüyle tanımlanır.

Fonksiyonun iki varyasyonunu ele alalım.

1. n'inci kök, n – çift sayı

Açıklık sağlamak için, bu tür fonksiyonların grafiklerini gösteren bir çizimi gösteriyoruz: y = x, y = x 4 ve y = x8. Bu özellikler renk kodludur: sırasıyla siyah, kırmızı ve mavi.

Çift dereceli bir fonksiyonun grafikleri, üssün diğer değerleri için benzer bir görünüme sahiptir.

Tanım 3

N'inci kök fonksiyonunun özellikleri, n bir çift sayıdır

• tanım alanı - negatif olmayan tüm gerçek sayılar kümesi [ 0 , + ∞) ;
• x = 0 olduğunda fonksiyon y = x n'nin değeri sıfıra eşittir;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne çift ne de tektir);
• aralık: [ 0 , + ∞) ;
• bu fonksiyon y = x n çift kök üsler için tüm tanım alanı boyunca artar;
• fonksiyonun tüm tanım alanı boyunca yukarı yönlü bir dışbükeyliği vardır;
• hiçbir dönüm noktası yok;
• asimptot yok;
• çift ​​n için fonksiyonun grafiği (0; 0) ve (1; 1) noktalarından geçer.

1. n'inci kök, n – tek sayı

Böyle bir fonksiyon tüm reel sayılar kümesi üzerinde tanımlanır. Netlik sağlamak için fonksiyonların grafiklerini göz önünde bulundurun y = x 3 , y = x 5 ve x 9. Çizimde renklerle belirtilmiştir: sırasıyla siyah, kırmızı ve mavi eğrilerin renkleridir.

Y = x n fonksiyonunun kök üssünün diğer tek değerleri benzer tipte bir grafik verecektir.

Tanım 4

N'inci kök fonksiyonunun özellikleri, n tek bir sayıdır

• tanım alanı - tüm gerçek sayılar kümesi;
• bu işlev tuhaftır;
• değer aralığı – tüm gerçek sayılar kümesi;
• tek kök üsler için y = x n fonksiyonu tüm tanım alanı boyunca artar;
• fonksiyonun (- ∞ ; 0 ] aralığında içbükeyliği ve [ 0 , + ∞ aralığında dışbükeyliği vardır;
• bükülme noktasının koordinatları vardır (0; 0);
• asimptot yok;
• Tek n için fonksiyonun grafiği (- 1 ; - 1), (0 ; 0) ve (1 ; 1) noktalarından geçer.

Güç fonksiyonu

Güç fonksiyonu y = x a formülüyle tanımlanır.

Grafiklerin görünümü ve fonksiyonun özellikleri üssün değerine bağlıdır.

• bir kuvvet fonksiyonu bir tamsayı üssü a'ya sahip olduğunda, kuvvet fonksiyonunun grafiğinin türü ve özellikleri, üssün çift mi yoksa tek mi olduğuna ve üssün hangi işarete sahip olduğuna bağlıdır. Tüm bu özel durumları aşağıda daha detaylı ele alalım;
• üs kesirli veya irrasyonel olabilir - buna bağlı olarak grafiklerin türü ve fonksiyonun özellikleri de değişir. Özel durumları çeşitli koşullar belirleyerek analiz edeceğiz: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• bir kuvvet fonksiyonunun üssü sıfır olabilir; bu durumu aşağıda daha ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Güç fonksiyonunu analiz edelim y = x a, a tek pozitif bir sayı olduğunda, örneğin a = 1, 3, 5...

Açıklık sağlamak için, bu tür güç fonksiyonlarının grafiklerini gösteriyoruz: y = x (grafik rengi siyah), y = x 3 (grafiğin mavi rengi), y = x 5 (grafiğin kırmızı rengi), y = x 7 (grafik rengi yeşil). a = 1 olduğunda, y = x doğrusal fonksiyonunu elde ederiz.

Tanım 6

Üs tek pozitif olduğunda bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri

• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; + ∞) için artıyor;
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; 0 ] için dışbükeyliğe ve x ∈ [ 0 ; + ∞) için içbükeyliğe sahiptir (doğrusal fonksiyon hariç);
• bükülme noktasının koordinatları vardır (0; 0) (doğrusal fonksiyon hariç);
• asimptot yok;
• Fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Güç fonksiyonunu analiz edelim y = x a, a çift pozitif bir sayı olduğunda, örneğin a = 2, 4, 6...

Açıklık sağlamak için, bu tür güç fonksiyonlarının grafiklerini gösteriyoruz: y = x 2 (grafik rengi siyah), y = x 4 (grafiğin mavi rengi), y = x 8 (grafiğin kırmızı rengi). a = 2 olduğunda grafiği ikinci dereceden bir parabol olan ikinci dereceden bir fonksiyon elde ederiz.

Tanım 7

Üs çift pozitif olduğunda bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• x ∈ için azalan (- ∞ ; 0 ] ;
• fonksiyonun x ∈ (- ∞ ; + ∞) için içbükeyliği vardır;
• hiçbir dönüm noktası yok;
• asimptot yok;
• Fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Aşağıdaki şekilde güç fonksiyonu grafiklerinin örnekleri gösterilmektedir a tek negatif bir sayı olduğunda y = x a: y = x - 9 (grafik rengi siyah); y = x - 5 (grafiğin mavi rengi); y = x - 3 (grafiğin kırmızı rengi); y = x - 1 (grafik rengi yeşil). a = - 1 olduğunda grafiği hiperbol olan ters orantı elde ederiz.

Tanım 8

Üs tek negatif olduğunda bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri:

x = 0 olduğunda ikinci türden bir süreksizlik elde ederiz, çünkü a = - 1, - 3, - 5, … için lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞. Dolayısıyla x = 0 düz çizgisi dikey bir asimptottur;

• aralık: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• fonksiyon tektir çünkü y (- x) = - y (x);
• fonksiyon x ∈ - ∞ için azalıyor; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; 0) için dışbükeyliğe ve x ∈ (0 ; + ∞) için içbükeyliğe sahiptir;
• hiçbir dönüm noktası yok;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, a = - 1, - 3, - 5, olduğunda. . . .

• fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Aşağıdaki şekilde a çift negatif bir sayı olduğunda y = x a kuvvet fonksiyonunun grafik örnekleri gösterilmektedir: y = x - 8 (grafik rengi siyah); y = x - 4 (grafiğin mavi rengi); y = x - 2 (grafiğin kırmızı rengi).

Tanım 9

Üs çift negatif olduğunda bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

x = 0 olduğunda ikinci türden bir süreksizlik elde ederiz, çünkü a = - 2, - 4, - 6, … için lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞. Dolayısıyla x = 0 düz çizgisi dikey bir asimptottur;

• fonksiyon çifttir çünkü y(-x) = y(x);
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; 0) için artıyor ve x ∈ 0 için azalıyor; + ∞ ;
• fonksiyonun x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) noktasında içbükeyliği vardır;
• hiçbir dönüm noktası yok;
• yatay asimptot – düz çizgi y = 0, çünkü:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 olduğunda a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• Fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

En başından itibaren şu hususa dikkat edin: a'nın paydası tek olan pozitif bir kesir olması durumunda, bazı yazarlar - ∞ aralığını bu kuvvet fonksiyonunun tanım tanım kümesi olarak alırlar; + ∞ , a üssünün indirgenemez bir kesir olduğunu şart koşuyor. Şu anda, cebir ve analiz ilkeleri üzerine birçok eğitici yayının yazarları, üssün argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir olduğu güç fonksiyonlarını TANIMLAMAZ. Ayrıca tam olarak bu pozisyona bağlı kalacağız: [ 0 ; + ∞) . Öğrencilere öneri: Anlaşmazlıkları önlemek için öğretmenin bu konudaki görüşünü öğrenin.

Şimdi güç fonksiyonuna bakalım y = x a , üs rasyonel veya irrasyonel bir sayı olduğunda, 0 olması koşuluyla< a < 1 .

Güç fonksiyonlarını grafiklerle gösterelim a = 11 12 olduğunda y = x a (grafik rengi siyah); a = 5 7 (grafiğin kırmızı rengi); a = 1 3 (grafiğin mavi rengi); a = 2 5 (grafiğin yeşil rengi).

a üssünün diğer değerleri (0 şartıyla)< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Tanım 10

0'daki güç fonksiyonunun özellikleri< a < 1:

• aralık: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• fonksiyon x ∈ [ 0 için artıyor; + ∞) ;
• fonksiyon x ∈ (0 ; + ∞) için dışbükeydir;
• hiçbir dönüm noktası yok;
• asimptot yok;

Güç fonksiyonunu analiz edelim y = x a, a > 1 olması şartıyla üs tamsayı olmayan rasyonel veya irrasyonel bir sayı olduğunda.

Güç fonksiyonunu grafiklerle gösterelim Aşağıdaki fonksiyonları örnek olarak kullanarak verilen koşullar altında y = x a: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (grafiklerin siyah, kırmızı, mavi, yeşil rengi, sırasıyla).

a > 1 olması şartıyla a üssünün diğer değerleri de benzer bir grafik verecektir.

Tanım 11

a > 1 için kuvvet fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• aralık: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• fonksiyon x ∈ [ 0 için artıyor; + ∞) ;
• fonksiyonun x ∈ (0 ; + ∞) için içbükeyliği vardır (1 olduğunda)< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• hiçbir dönüm noktası yok;
• asimptot yok;
• Fonksiyonun geçiş noktaları: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Lütfen dikkat! a, paydası tek olan negatif bir kesir olduğunda, bazı yazarların çalışmalarında bu durumda tanım alanının - ∞ aralığı olduğu yönünde bir görüş vardır; 0 ∪ (0 ; + ∞), a üssünün indirgenemez bir kesir olduğu uyarısıyla. Şu anda, cebir ve analiz ilkeleri üzerine eğitim materyallerinin yazarları, argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir biçimindeki üslü güç fonksiyonlarını TANIMLAMAZ. Ayrıca, biz tam olarak bu görüşe bağlıyız: (0 ; + ∞) kümesini kesirli negatif üslü güç fonksiyonlarının tanım bölgesi olarak alıyoruz. Öğrencilere öneri: Anlaşmazlıkları önlemek için öğretmeninizin vizyonunu bu noktada netleştirin.

Konuya devam edelim ve güç fonksiyonunu analiz edelim y = x a şu şartla: - 1< a < 0 .

Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerinin bir çizimini sunalım: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (siyah, kırmızı, mavi, yeşil renk) sırasıyla satırlar).

Tanım 12

- 1'deki güç fonksiyonunun özellikleri< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ - 1 olduğunda< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• aralık: y ∈ 0; + ∞ ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• hiçbir dönüm noktası yok;

Aşağıdaki çizimde güç fonksiyonlarının grafikleri y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (eğrilerin sırasıyla siyah, kırmızı, mavi, yeşil renkleri) gösterilmektedir.

Tanım 13

Bir güç fonksiyonunun özellikleri< - 1:

• tanım alanı: x ∈ 0; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ ne zaman a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• aralık: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• fonksiyon x ∈ 0 için azalıyor; + ∞ ;
• fonksiyonun x ∈ 0 için içbükeyliği vardır; + ∞ ;
• hiçbir dönüm noktası yok;
• yatay asimptot – düz çizgi y = 0;
• Fonksiyonun geçiş noktası: (1; 1) .

a = 0 ve x ≠ 0 olduğunda, (0; 1) noktasının hariç tutulduğu doğruyu tanımlayan y = x 0 = 1 fonksiyonunu elde ederiz (0 0 ifadesine herhangi bir anlam verilmeyeceği konusunda anlaşmaya varılmıştır) ).

Üstel fonksiyon şu şekildedir: y = a x, burada a > 0 ve a ≠ 1'dir ve bu fonksiyonun grafiği, a tabanının değerine bağlı olarak farklı görünür. Özel durumları ele alalım.

Öncelikle üstel fonksiyonun tabanının sıfırdan bire (0) kadar bir değere sahip olduğu duruma bakalım.< a < 1) . Buna iyi bir örnek, a = 1 2 (eğrinin mavi rengi) ve a = 5 6 (eğrinin kırmızı rengi) için fonksiyonların grafikleridir.

Üstel fonksiyonun grafikleri, 0 koşulu altında tabanın diğer değerleri için benzer bir görünüme sahip olacaktır.< a < 1 .

Tanım 14

Tabanı birden küçük olduğunda üstel fonksiyonun özellikleri:

• aralık: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• tabanı birden küçük olan üstel bir fonksiyon tüm tanım alanı boyunca azalmaktadır;
• hiçbir dönüm noktası yok;
• yatay asimptot - x değişkeninin + ∞'a yöneldiği düz çizgi y = 0;

Şimdi üstel fonksiyonun tabanının birden büyük olduğu durumu düşünün (a > 1).

Bu özel durumu y = 3 2 x (eğrinin mavi rengi) ve y = e x (grafiğin kırmızı rengi) üstel fonksiyonlarının grafiğiyle örnekleyelim.

Tabanın diğer değerleri, daha büyük birimler, üstel fonksiyonun grafiğine benzer bir görünüm verecektir.

Tanım 15

Taban birden büyük olduğunda üstel fonksiyonun özellikleri:

• tanım alanı - tüm gerçek sayılar kümesi;
• aralık: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• tabanı birden büyük olan bir üstel fonksiyon x ∈ - ∞ kadar artmaktadır; + ∞ ;
• fonksiyonun x ∈ - ∞'da içbükeyliği vardır; + ∞ ;
• hiçbir dönüm noktası yok;
• yatay asimptot - x değişkeninin - ∞'a yöneldiği düz çizgi y = 0;
• Fonksiyonun geçiş noktası: (0; 1) .

Logaritmik fonksiyon y = log a (x) formundadır; burada a > 0, a ≠ 1'dir.

Böyle bir işlev yalnızca argümanın pozitif değerleri için tanımlanır: x ∈ 0 için; + ∞ .

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği, a tabanının değerine bağlı olarak farklı bir görünüme sahiptir.

Öncelikle 0 olduğu durumu ele alalım.< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Tabanın daha büyük birimler değil diğer değerleri de benzer türde bir grafik verecektir.

Tanım 16

Tabanı birden küçük olduğunda logaritmik bir fonksiyonun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ 0; + ∞ . X sağdan sıfıra doğru yöneldikçe fonksiyon değerleri +∞'a doğru yönelir;
• aralık: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• logaritmik
• fonksiyonun x ∈ 0 için içbükeyliği vardır; + ∞ ;
• hiçbir dönüm noktası yok;
• asimptot yok;

Şimdi logaritmik fonksiyonun tabanının birden büyük olduğu özel duruma bakalım: a > 1 . Aşağıdaki çizimde y = log 3 2 x ve y = ln x logaritmik fonksiyonlarının grafikleri gösterilmektedir (grafiklerin sırasıyla mavi ve kırmızı renkleri).

Tabanın birden büyük diğer değerleri de benzer tipte bir grafik verecektir.

Tanım 17

Tabanı birden büyük olduğunda logaritmik bir fonksiyonun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ 0; + ∞ . X sağdan sıfıra doğru yöneldikçe fonksiyon değerleri - ∞'a doğru yönelir;
• aralık: y ∈ - ∞ ; + ∞ (gerçek sayılar kümesinin tamamı);
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• x ∈ 0 için logaritmik fonksiyon artıyor; + ∞ ;
• fonksiyon x ∈ 0 için dışbükeydir; + ∞ ;
• hiçbir dönüm noktası yok;
• asimptot yok;
• Fonksiyonun geçiş noktası: (1; 0) .

Trigonometrik fonksiyonlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanttır. Her birinin özelliklerine ve karşılık gelen grafiklere bakalım.

Genel olarak, tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiklik özelliği ile karakterize edilir; fonksiyonların değerleri bağımsız değişkenin farklı değerleri için tekrarlandığında, f (x + T) = f (x) (T periyottur) dönemi kadar farklılık gösterir. Böylece trigonometrik fonksiyonların özellikleri listesine “en küçük pozitif periyot” maddesi eklenmiştir. Ek olarak, karşılık gelen fonksiyonun sıfır olduğu argümanın değerlerini de göstereceğiz.

1. Sinüs fonksiyonu: y = sin(x)

Bu fonksiyonun grafiğine sinüs dalgası denir.

Tanım 18

Sinüs fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - ∞ gerçek sayılar kümesinin tamamı; + ∞ ;
• x = π · k olduğunda fonksiyon kaybolur; burada k ∈ Z (Z, tamsayılar kümesidir);
• fonksiyon x ∈ - π 2 + 2 π · k için artıyor; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ve x ∈ π 2 + 2 π · k için azalan; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• sinüs fonksiyonunun π 2 + 2 π · k noktalarında yerel maksimumları vardır; 1 ve yerel minimumlar - π 2 + 2 π · k noktalarında; - 1, k ∈ Z;
• x ∈ - π + 2 π · k olduğunda sinüs fonksiyonu içbükeydir; 2 π · k, k ∈ Z ve x ∈ 2 π · k olduğunda dışbükey; π + 2 π k, k ∈ Z;
• asimptot yoktur.

1. Kosinüs fonksiyonu: y = cos(x)

Bu fonksiyonun grafiğine kosinüs dalgası denir.

Tanım 19

Kosinüs fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• en küçük pozitif periyot: T = 2 π;
• değer aralığı: y ∈ - 1; 1;
• y (- x) = y (x) olduğundan bu fonksiyon çifttir;
• fonksiyon x ∈ - π + 2 π · k için artıyor; 2 π · k, k ∈ Z ve x ∈ 2 π · k için azalan; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinüs fonksiyonu 2 π · k noktalarında yerel maksimuma sahiptir; 1, k ∈ Z ve π + 2 π · k noktalarındaki yerel minimumlar; - 1, k ∈ z;
• x ∈ π 2 + 2 π · k olduğunda kosinüs fonksiyonu içbükeydir; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ve x ∈ - π 2 + 2 π · k olduğunda dışbükey; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• bükülme noktalarının koordinatları π 2 + π · k'dir; 0 , k ∈ Z
• asimptot yoktur.

1. Teğet fonksiyonu: y = tg(x)

Bu fonksiyonun grafiği denir teğet.

Tanım 20

Teğet fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, burada k ∈ Z (Z tam sayılar kümesidir);
• Tanım tanım kümesinin sınırındaki teğet fonksiyonun davranışı lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dolayısıyla, x = π 2 + π · k k ∈ Z düz çizgileri dikey asimptotlardır;
• k ∈ Z için x = π · k olduğunda fonksiyon kaybolur (Z tam sayılar kümesidir);
• aralık: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• bu fonksiyon tektir, çünkü y (- x) = - y (x) ;
• fonksiyon - π 2 + π · k olarak artmaktadır; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• tanjant fonksiyonu x ∈ [π · k için içbükeydir; π 2 + π · k) , k ∈ Z ve x ∈ için dışbükey (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• bükülme noktalarının koordinatları π · k'dir; 0 , k ∈ Z ;

1. Kotanjant fonksiyonu: y = c t g (x)

Bu fonksiyonun grafiğine kotanjantoid denir. .

Tanım 21

Kotanjant fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ (π · k ; π + π · k) , burada k ∈ Z (Z, tam sayılar kümesidir);

Kotanjant fonksiyonunun tanım kümesinin sınırındaki davranışı lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dolayısıyla, x = π · k k ∈ Z düz çizgileri dikey asimptotlardır;

• en küçük pozitif periyot: T = π;
• k ∈ Z için x = π 2 + π · k olduğunda fonksiyon kaybolur (Z tamsayılar kümesidir);
• aralık: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• bu fonksiyon tektir, çünkü y (- x) = - y (x) ;
• fonksiyon x ∈ π · k için azalıyor; π + π k, k ∈ Z;
• kotanjant fonksiyonu x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z için içbükeydir ve x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z için dışbükeydir;
• bükülme noktalarının koordinatları π 2 + π · k'dir; 0 , k ∈ Z ;
• Eğik veya yatay asimptot yoktur.

Ters trigonometrik fonksiyonlar arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjanttır. Çoğu zaman, adında "yay" önekinin bulunması nedeniyle, ters trigonometrik fonksiyonlara yay fonksiyonları denir. .

1. Ark sinüs fonksiyonu: y = a r c sin (x)

Tanım 22

Arcsinüs fonksiyonunun özellikleri:

• bu fonksiyon tektir, çünkü y (- x) = - y (x) ;
• arksinüs fonksiyonunun x ∈ 0 için içbükeyliği vardır; 1 ve x ∈ - 1 için dışbükeylik; 0;
• bükülme noktalarının koordinatları (0; 0) vardır; bu aynı zamanda fonksiyonun sıfırıdır;
• asimptot yoktur.

1. Ark kosinüs fonksiyonu: y = a r c cos (x)

Tanım 23

Ark kosinüs fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - 1; 1;
• aralık: y ∈ 0; π;
• bu fonksiyon genel bir formdadır (ne çift ne de tek);
• fonksiyon tüm tanım alanı boyunca azalmaktadır;
• ark kosinüs fonksiyonu x ∈ - 1'de içbükeydir; 0 ve x ∈ 0 için dışbükeylik; 1;
• bükülme noktalarının koordinatları 0'dır; π2;
• asimptot yoktur.

1. Arktanjant fonksiyonu: y = a r c t g (x)

Tanım 24

Arktanjant fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• değer aralığı: y ∈ - π 2 ; π2;
• bu fonksiyon tektir, çünkü y (- x) = - y (x) ;
• fonksiyon tanımın tüm alanı boyunca artmaktadır;
• arktanjant fonksiyonu x ∈ (- ∞ ; 0 ] için içbükeyliğe ve x ∈ [ 0 ; + ∞) için dışbükeyliğe sahiptir;
• bükülme noktası aynı zamanda fonksiyonun sıfırı olan koordinatlara (0; 0) sahiptir;
• yatay asimptotlar x → - ∞ olarak y = - π 2 ve x → + ∞ olarak y = π 2 düz çizgilerdir (şekilde asimptotlar yeşil çizgilerdir).

1. Ark tanjant fonksiyonu: y = a r c c t g (x)

Tanım 25

Arkkotanjant fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• aralık: y ∈ (0; π) ;
• bu fonksiyon genel bir formdadır;
• fonksiyon tüm tanım alanı boyunca azalmaktadır;
• yay kotanjant fonksiyonu x ∈ [ 0 ; + ∞) ve x ∈ (- ∞ ; 0 ] için dışbükeylik;
• bükülme noktasının koordinatları 0'dır; π2;
• yatay asimptotlar x → - ∞'da (çizimdeki yeşil çizgi) y = π ve x → + ∞'da y = 0 düz çizgileridir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Güç fonksiyonunun tanım alanında y = x p aşağıdaki formüller geçerlidir:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri

Üssü sıfıra eşit olan güç fonksiyonu, p = 0

Güç fonksiyonunun üssü y = x p sıfıra eşitse, p = 0, bu durumda güç fonksiyonu tüm x ≠ 0 için tanımlanır ve bire eşit bir sabittir:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Doğal tek üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = 1, 3, 5, ...

Doğal tek üssü n = 1, 3, 5, ... olan bir y = x p = xn güç fonksiyonunu düşünün. Bu gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k + 1, burada k = 0, 1, 2, 3, ... negatif olmayan bir tam sayıdır. Aşağıda bu tür fonksiyonların özellikleri ve grafikleri verilmiştir.

Üssün çeşitli değerleri için doğal tek üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 1, 3, 5, ....

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: -∞ < y < ∞
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
-∞'da< x < 0 выпукла вверх
0'da< x < ∞ выпукла вниз
Eğilme noktaları: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = 1 için fonksiyon onun tersidir: x = y
n ≠ 1 için ters fonksiyon n derecesinin köküdür:

Doğal çift üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = 2, 4, 6, ...

Doğal çift üssü n = 2, 4, 6, ... olan bir y = x p = xn güç fonksiyonunu düşünün. Bu gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k, burada k = 1, 2, 3, ... - doğal. Bu fonksiyonların özellikleri ve grafikleri aşağıda verilmiştir.

Üssün çeşitli değerleri için doğal çift üslü y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = 2, 4, 6, ....

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: 0 ≤ y< ∞
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x ≤ 0 için monoton olarak azalır
x ≥ 0 için monoton olarak artar
Aşırılıklar: minimum, x = 0, y = 0
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0'da, y(0) = 0 n = 0
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = 2 için karekök:
n ≠ 2 için, n derecesinin kökü:

Negatif tam sayı üslü kuvvet fonksiyonu, p = n = -1, -2, -3, ...

Tamsayı negatif üssü n = -1, -2, -3, ... olan bir y = x p = xn güç fonksiyonunu düşünün. Eğer k = 1, 2, 3, ... bir doğal sayı olmak üzere n = -k koyarsak, o zaman şu şekilde temsil edilebilir:

Üssün çeşitli değerleri için negatif tamsayı üssü olan y = x n güç fonksiyonunun grafiği n = -1, -2, -3, ... .

Tek üs, n = -1, -3, -5, ...

Aşağıda tek negatif üssü n = -1, -3, -5, ... olan y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y ≠ 0
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вверх
x > 0 için: aşağı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = -1 olduğunda,
n'de< -2 ,

Çift üs, n = -2, -4, -6, ...

Aşağıda çift negatif üslü n = -2, -4, -6, ... olan y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y > 0
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно возрастает
x > 0 için: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza: y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = -2'de,
n'de< -2 ,

Rasyonel (kesirli) üslü kuvvet fonksiyonu

Rasyonel (kesirli) üssü olan bir y = x p kuvvet fonksiyonunu düşünün; burada n bir tamsayı, m > 1 ise bir doğal sayıdır. Üstelik n, m'nin ortak bölenleri yoktur.

Kesirli göstergenin paydası tektir

Kesirli üssün paydası tek olsun: m = 3, 5, 7, ... . Bu durumda, x argümanının hem pozitif hem de negatif değerleri için x p kuvvet fonksiyonu tanımlanır. p üssü belirli sınırlar içinde olduğunda bu tür güç fonksiyonlarının özelliklerini ele alalım.

P değeri negatiftir, p< 0

Rasyonel üssün (paydası tek olan m = 3, 5, 7, ...) sıfırdan küçük olmasına izin verin: .

Üssün çeşitli değerleri için rasyonel bir negatif üsle güç fonksiyonlarının grafikleri; burada m = 3, 5, 7, ... tektir.

Tek pay, n = -1, -3, -5, ...

Y = x p kuvvet fonksiyonunun özelliklerini rasyonel bir negatif üsle sunuyoruz; burada n = -1, -3, -5, ... tek bir negatif tam sayıdır, m = 3, 5, 7 ... bir tek doğal tamsayı.

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y ≠ 0
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вверх
x > 0 için: aşağı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = -2, -4, -6, ...

Rasyonel negatif üslü y = x p kuvvet fonksiyonunun özellikleri; burada n = -2, -4, -6, ... çift negatif bir tam sayıdır, m = 3, 5, 7 ... tek bir doğal tam sayıdır .

İhtisas: x ≠ 0
Çoklu anlamlar: y > 0
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно возрастает
x > 0 için: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
İmza: y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1 için, y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:

P değeri pozitif, birden küçük, 0< p < 1

Rasyonel üssü (0) olan bir güç fonksiyonunun grafiği< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Tek pay, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

İhtisas: -∞ < x < +∞
Çoklu anlamlar: -∞ < y < +∞
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вниз
x > 0 için: yukarı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: x = 0, y = 0
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
İmza:
x'te< 0, y < 0
x > 0 için, y > 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = -1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = 2, 4, 6, ...

Rasyonel üssü 0 olan y = x p güç fonksiyonunun özellikleri sunulmuştur.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

İhtisas: -∞ < x < +∞
Çoklu anlamlar: 0 ≤ y< +∞
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно убывает
x > 0 için: monoton olarak artar
Aşırılıklar: x = 0'da minimum, y = 0
Dışbükey: x ≠ 0 için yukarı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
İmza: x ≠ 0 için, y > 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = 1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

P indeksi birden büyüktür, p > 1

Üssün çeşitli değerleri için rasyonel üslü (p > 1) bir güç fonksiyonunun grafiği, burada m = 3, 5, 7, ... - tek.

Tek pay, n = 5, 7, 9, ...

Rasyonel üssü birden büyük olan y = x p kuvvet fonksiyonunun özellikleri: . Burada n = 5, 7, 9, ... - tek doğal, m = 3, 5, 7 ... - tek doğal.

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: -∞ < y < ∞
Parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: HAYIR
Dışbükey:
-∞'da< x < 0 выпукла вверх
0'da< x < ∞ выпукла вниз
Eğilme noktaları: x = 0, y = 0
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = -1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = 4, 6, 8, ...

Rasyonel üssü birden büyük olan y = x p kuvvet fonksiyonunun özellikleri: . Burada n = 4, 6, 8, ... - çift doğal, m = 3, 5, 7 ... - tek doğal.

İhtisas: -∞ < x < ∞
Çoklu anlamlar: 0 ≤ y< ∞
Parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 монотонно убывает
x > 0 için monoton olarak artar
Aşırılıklar: x = 0'da minimum, y = 0
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de, y(-1) = 1
x = 0'da, y(0) = 0
x = 1 için, y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Kesirli göstergenin paydası çifttir

Kesirli üssün paydası çift olsun: m = 2, 4, 6, ... . Bu durumda argümanın negatif değerleri için kuvvet fonksiyonu x p tanımlanmamıştır. Özellikleri, irrasyonel üslü bir kuvvet fonksiyonunun özellikleriyle örtüşmektedir (sonraki bölüme bakınız).

İrrasyonel üslü kuvvet fonksiyonu

İrrasyonel p üssüne sahip bir y = x p kuvvet fonksiyonunu düşünün. Bu tür fonksiyonların özellikleri yukarıda tartışılanlardan farklıdır çünkü x argümanının negatif değerleri için tanımlanmamıştır. Argümanın pozitif değerleri için özellikler yalnızca p üssünün değerine bağlıdır ve p'nin tam sayı, rasyonel veya irrasyonel olmasına bağlı değildir.

Negatif üslü p ile kuvvet fonksiyonu< 0

İhtisas: x > 0
Çoklu anlamlar: y > 0
Monoton: monoton olarak azalır
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: HAYIR
Sınırlar: ;
Özel anlamı: x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Pozitif üssü p > 0 olan kuvvet fonksiyonu

Gösterge birden az 0< p < 1

İhtisas: x ≥ 0
Çoklu anlamlar: y ≥ 0
Monoton: monoton olarak artar
Dışbükey: yukarı doğru dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
Özel değerler: x = 0 için y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Gösterge birden büyük p > 1

İhtisas: x ≥ 0
Çoklu anlamlar: y ≥ 0
Monoton: monoton olarak artar
Dışbükey: aşağı dışbükey
Eğilme noktaları: HAYIR
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: x = 0, y = 0
Sınırlar:
Özel değerler: x = 0 için y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

Bilgi temel temel fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleriçarpım tablosunu bilmekten daha az önemli değil. Onlar temel gibidir, her şey onların üzerine kuruludur, her şey onlardan inşa edilmiştir ve her şey onlara inmiştir.

Bu yazıda tüm temel temel fonksiyonları listeleyeceğiz, grafiklerini sunacağız ve sonuç veya kanıt olmadan vereceğiz temel temel fonksiyonların özelliklerişemaya göre:

• bir fonksiyonun tanım alanının sınırlarındaki davranışı, dikey asimptotlar (gerekirse, bir fonksiyonun süreksizlik noktalarının sınıflandırılması makalesine bakın);
• çift ​​ve tek;
• dışbükeylik aralıkları (yukarı doğru dışbükeylik) ve içbükeylik (aşağıya doğru dışbükeylik), bükülme noktaları (gerekirse, bir fonksiyonun dışbükeyliği, dışbükeylik yönü, bükülme noktaları, dışbükeylik ve bükülme koşulları makalesine bakın);
• eğik ve yatay asimptotlar;
• fonksiyonların tekil noktaları;
• bazı fonksiyonların özel özellikleri (örneğin, trigonometrik fonksiyonların en küçük pozitif periyodu).

Veya ile ilgileniyorsanız, teorinin bu bölümlerine gidebilirsiniz.

Temel temel işlevlerşunlardır: sabit fonksiyon (sabit), n'inci kök, kuvvet fonksiyonu, üstel, logaritmik fonksiyon, trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonlar.

Sayfada gezinme.

Kalıcı işlev.

Tüm gerçek sayılar kümesinde sabit bir fonksiyon aşağıdaki formülle tanımlanır; burada C bir gerçek sayıdır. Bir sabit fonksiyon, bağımsız değişken x'in her gerçek değerini, bağımlı değişken y'nin aynı değeri olan C değeriyle ilişkilendirir. Sabit bir fonksiyona sabit de denir.

Sabit bir fonksiyonun grafiği, x eksenine paralel ve koordinatları (0,C) olan noktadan geçen düz bir çizgidir. Örnek olarak, aşağıdaki şekilde sırasıyla siyah, kırmızı ve mavi çizgilere karşılık gelen y=5, y=-2 ve sabit fonksiyonlarının grafiklerini göstereceğiz.

Sabit bir fonksiyonun özellikleri.

• Etki Alanı: Gerçek sayılar kümesinin tamamı.
• Sabit fonksiyon çifttir.
• Değer aralığı: C tekil sayısından oluşan bir küme.
• Sabit bir fonksiyon artmayan ve azalmayan bir fonksiyondur (bu yüzden sabittir).
• Bir sabitin dışbükeyliği ve içbükeyliğinden bahsetmenin bir anlamı yok.
• Asimptot yok.
• Fonksiyon koordinat düzleminin (0,C) noktasından geçer.

n'inci kök.

n'nin birden büyük bir doğal sayı olduğu formülle verilen temel temel fonksiyonu ele alalım.

N'inci derecenin kökü, n bir çift sayıdır.

Kök üssü n'nin çift değerleri için n'inci kök fonksiyonuyla başlayalım.

Örnek olarak burada fonksiyon grafiklerinin resimlerini içeren bir resim bulunmaktadır. ve siyah, kırmızı ve mavi çizgilere karşılık gelirler.

Çift dereceli kök fonksiyonlarının grafikleri, üssün diğer değerleri için de benzer bir görünüme sahiptir.

n çift için n'inci kök fonksiyonunun özellikleri.

N'inci kök, n tek bir sayıdır.

Tek kök üssü n olan n'inci kök işlevi, tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlanır. Örneğin, burada fonksiyon grafikleri var ve siyah, kırmızı ve mavi eğrilere karşılık gelirler.

Kök üssünün diğer tek değerleri için fonksiyon grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Tek n için n'inci kök fonksiyonunun özellikleri.

Güç fonksiyonu.

Güç fonksiyonu formdaki bir formülle verilir.

Üssün değerine bağlı olarak bir kuvvet fonksiyonunun grafik biçimini ve bir kuvvet fonksiyonunun özelliklerini ele alalım.

Tam sayı üssü a olan bir kuvvet fonksiyonuyla başlayalım. Bu durumda kuvvet fonksiyonlarının grafiklerinin görünümü ve fonksiyonların özellikleri, üssün işaretine olduğu kadar düzgünlüğüne veya tekliğine de bağlıdır. Bu nedenle, önce a üssünün tek pozitif değerleri için, sonra çift pozitif üsler için, sonra tek negatif üsler için ve son olarak da negatif a için kuvvet fonksiyonlarını ele alacağız.

Kesirli ve irrasyonel üslü güç fonksiyonlarının özellikleri (ve bu tür güç fonksiyonlarının grafiklerinin türü), a üssünün değerine bağlıdır. Bunları ilk olarak a'dan bire kadar, ikinci olarak birden büyük için, üçüncü olarak a eksi birden sıfıra kadar, dördüncü olarak eksi birden küçük için ele alacağız.

Bu bölümün sonunda, konuyu tamamlamak için sıfır üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu tanımlayacağız.

Tek pozitif üslü kuvvet fonksiyonu.

Tek pozitif üssü olan, yani a = 1,3,5,... olan bir kuvvet fonksiyonunu düşünelim.

Aşağıdaki şekilde güç fonksiyonlarının grafikleri gösterilmektedir - siyah çizgi, - mavi çizgi, - kırmızı çizgi, - yeşil çizgi. a=1 için elimizde doğrusal fonksiyon y=x.

Tek pozitif üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Çift pozitif üslü kuvvet fonksiyonu.

Çift pozitif üssü olan, yani a = 2,4,6,... için bir kuvvet fonksiyonunu düşünelim.

Örnek olarak güç fonksiyonlarının grafiklerini veriyoruz – siyah çizgi, – mavi çizgi, – kırmızı çizgi. a=2 için grafiği şu şekilde olan ikinci dereceden bir fonksiyona sahibiz: ikinci dereceden parabol.

Çift pozitif üslü bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Tek negatif üslü kuvvet fonksiyonu.

Üssün tek negatif değerleri için, yani a = -1, -3, -5,... için güç fonksiyonunun grafiklerine bakın.

Şekilde güç fonksiyonlarının grafikleri örnek olarak gösterilmektedir - siyah çizgi, - mavi çizgi, - kırmızı çizgi, - yeşil çizgi. a=-1 için elimizde ters orantı, kimin grafiği hiperbol.

Tek negatif üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Çift negatif üslü kuvvet fonksiyonu.

a=-2,-4,-6,… için kuvvet fonksiyonuna geçelim.

Şekilde güç fonksiyonlarının grafikleri gösterilmektedir – siyah çizgi, – mavi çizgi, – kırmızı çizgi.

Çift negatif üslü bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Değeri sıfırdan büyük ve birden küçük olan rasyonel veya irrasyonel üssü olan bir kuvvet fonksiyonu.

Not! Eğer a, paydası tek olan pozitif bir kesir ise, bazı yazarlar güç fonksiyonunun tanım kümesinin aralık olduğunu düşünürler. a üssünün indirgenemez bir kesir olduğu öngörülmektedir. Artık cebir ve analiz ilkeleri üzerine birçok ders kitabının yazarları, argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir biçimindeki üslü güç fonksiyonlarını TANIMLAMAZ. Biz de tam olarak bu görüşe bağlı kalacağız, yani kümeyi, kesirli pozitif üslü güç fonksiyonlarının tanım alanları olarak ele alacağız. Anlaşmazlıkların önlenmesi için öğrencilerin bu ince nokta hakkında öğretmeninizin görüşünü öğrenmelerini öneririz.

Rasyonel veya irrasyonel üssü a ve olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.

a=11/12 (siyah çizgi), a=5/7 (kırmızı çizgi), (mavi çizgi), a=2/5 (yeşil çizgi) için güç fonksiyonlarının grafiklerini sunalım.

Tamsayı olmayan rasyonel veya irrasyonel üssü birden büyük olan bir kuvvet fonksiyonu.

Tamsayı olmayan rasyonel veya irrasyonel üssü a ve olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.

Formüllerle verilen güç fonksiyonlarının grafiklerini sunalım (sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil çizgiler).

a üssünün diğer değerleri için fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Güç fonksiyonunun özellikleri.

Gerçek üssü eksi birden büyük ve sıfırdan küçük olan bir kuvvet fonksiyonu.

Not! Eğer a, paydası tek olan negatif bir kesir ise, bazı yazarlar bir kuvvet fonksiyonunun tanım tanım kümesinin aralık olduğunu düşünürler. . a üssünün indirgenemez bir kesir olduğu öngörülmektedir. Artık cebir ve analiz ilkeleri üzerine birçok ders kitabının yazarları, argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir biçimindeki üslü güç fonksiyonlarını TANIMLAMAZ. Tam olarak bu görüşe bağlı kalacağız, yani kesirli kesirli negatif üslü güç fonksiyonlarının tanım alanlarını sırasıyla bir küme olarak ele alacağız. Anlaşmazlıkların yaşanmaması adına öğrencilerin bu ince nokta hakkında öğretmeninizin görüşünü öğrenmelerini öneririz.

Hadi güç fonksiyonuna geçelim, kgod.

Güç fonksiyonlarının grafiklerinin şekli hakkında iyi bir fikir sahibi olmak için, fonksiyon grafiklerine örnekler veriyoruz. (sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil eğriler).

Üssü a olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Tamsayı olmayan gerçek üssü eksi birden küçük olan bir kuvvet fonksiyonu.

Güç fonksiyonlarının grafiklerine örnekler verelim. sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil çizgilerle gösterilmiştir.

Tamsayı olmayan negatif üssü eksi birden küçük olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

a = 0 olduğunda, bir fonksiyonumuz olur - bu, (0;1) noktasının hariç tutulduğu düz bir çizgidir (0 0 ifadesine herhangi bir anlam verilmemesi kararlaştırıldı).

Üstel fonksiyon.

Temel temel fonksiyonlardan biri üstel fonksiyondur.

Üstel fonksiyonun grafiği, burada ve a tabanının değerine bağlı olarak farklı biçimler alır. Bunu çözelim.

Öncelikle üstel fonksiyonun tabanının sıfırdan bire kadar bir değer aldığı durumu düşünün, yani.

Örnek olarak a = 1/2 – mavi çizgi, a = 5/6 – kırmızı çizgi için üstel fonksiyonun grafiklerini sunuyoruz. Üstel fonksiyonun grafikleri, aralığın tabanının diğer değerleri için benzer bir görünüme sahiptir.

Tabanı birden küçük olan üstel bir fonksiyonun özellikleri.

Üstel fonksiyonun tabanının birden büyük olduğu duruma yani ’ye geçelim.

Örnek olarak üstel fonksiyonların (mavi çizgi ve - kırmızı çizgi) grafiklerini sunuyoruz. Tabanın birden büyük diğer değerleri için üstel fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Tabanı birden büyük olan üstel bir fonksiyonun özellikleri.

Logaritmik fonksiyon.

Bir sonraki temel temel fonksiyon logaritmik fonksiyondur; burada , . Logaritmik fonksiyon yalnızca argümanın pozitif değerleri için, yani .

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği a tabanının değerine bağlı olarak farklı biçimler alır.

Ne zaman olacağıyla başlayalım.

Örnek olarak a = 1/2 – mavi çizgi, a = 5/6 – kırmızı çizgi için logaritmik fonksiyonun grafiklerini sunuyoruz. Tabanın biri aşmayan diğer değerleri için logaritmik fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Tabanı birden küçük olan logaritmik bir fonksiyonun özellikleri.

Logaritmik fonksiyonun tabanının birden büyük olduğu duruma geçelim ().

Logaritmik fonksiyonların grafiklerini gösterelim - mavi çizgi, - kırmızı çizgi. Tabanın birden büyük diğer değerleri için logaritmik fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Tabanı birden büyük olan logaritmik fonksiyonun özellikleri.

Trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.

Tüm trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant) temel temel fonksiyonlara aittir. Şimdi onların grafiklerine bakıp özelliklerini listeleyeceğiz.

Trigonometrik fonksiyonlar şu kavrama sahiptir: sıklık(dönem itibariyle birbirinden farklı olan farklı argüman değerleri için fonksiyon değerlerinin yinelenmesi , burada T dönemdir), bu nedenle trigonometrik fonksiyonların özellikleri listesine bir öğe eklenmiştir. "en küçük pozitif dönem". Ayrıca her trigonometrik fonksiyon için, ilgili fonksiyonun sıfırlandığı argümanın değerlerini de göstereceğiz.

Şimdi sırayla tüm trigonometrik fonksiyonları ele alalım.

Sinüs fonksiyonu y = sin(x) .

Sinüs fonksiyonunun bir grafiğini çizelim, buna “sinüs dalgası” denir.

Sinüs fonksiyonunun özellikleri y = sinx.

Kosinüs fonksiyonu y = cos(x) .

Kosinüs fonksiyonunun ("kosinüs" olarak adlandırılır) grafiği şuna benzer:

Kosinüs fonksiyonunun özellikleri y = cosx.

Teğet fonksiyonu y = tan(x) .

Teğet fonksiyonunun ("teğetoid" olarak adlandırılır) grafiği şuna benzer:

Teğet fonksiyonunun özellikleri y = tanx.

Kotanjant fonksiyonu y = ctg(x) .

Kotanjant fonksiyonunun bir grafiğini çizelim (“kotanjantoid” olarak adlandırılır):

Kotanjant fonksiyonunun özellikleri y = ctgx.

Ters trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.

Ters trigonometrik fonksiyonlar (ark sinüs, ark kosinüs, ark tanjant ve ark kotanjant) temel temel fonksiyonlardır. Genellikle "yay" öneki nedeniyle ters trigonometrik fonksiyonlara yay fonksiyonları denir. Şimdi onların grafiklerine bakıp özelliklerini listeleyeceğiz.

Arksinüs fonksiyonu y = arksin(x) .

Ark sinüs fonksiyonunun grafiğini çizelim:

Kaynakça.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders Kitabı. 10-11 sınıflar için. genel eğitim kurumları.
• Vygodsky M.Ya. İlköğretim Matematik El Kitabı.
• Novoselov S.I. Cebir ve temel fonksiyonlar.
• Tumanov S.I. Temel cebir. Kendi kendine eğitim için bir el kitabı.

Fonksiyonlara aşina mısınız? y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x vb. Tüm bu işlevler güç fonksiyonunun özel durumlarıdır, yani fonksiyon y=x P burada p belirli bir gerçek sayıdır. Bir güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, gerçek üslü bir gücün özelliklerine ve özellikle de hangi değerlere önemli ölçüde bağlıdır? X Ve P derece mantıklı X P. Üsse bağlı olarak çeşitli durumları benzer şekilde ele alalım. P.

Dizin p=2n-çift bir doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y=x 2n, Nerede N- bir doğal sayı, aşağıdakilere sahiptir

özellikler:

tanım alanı - tüm gerçek sayılar, yani R kümesi;

değerler kümesi - negatif olmayan sayılar, yani y, 0'dan büyük veya ona eşittir;

işlev y=x 2n hatta çünkü X 2n =(-x) 2n

fonksiyon aralıkta azalıyor X<0 ve aralıkta artıyor x>0.

Bir fonksiyonun grafiği y=x 2nörneğin bir fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y=x 4 .

2. Gösterge p=2n-1- tek doğal sayı Bu durumda kuvvet fonksiyonu y=x 2n-1 Bir doğal sayı olan , aşağıdaki özelliklere sahiptir:

tanım alanı - R kümesi;

değerler kümesi - R'yi ayarlayın;

işlev y=x 2n-1 tuhaf, çünkü (- X) 2n-1 =X 2n-1 ;

fonksiyon tüm reel eksende artmaktadır.

Bir fonksiyonun grafiği y=x2n-1örneğin bir fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y=x3.

3.Gösterge p=-2n, Nerede N- doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y=x -2n =1/x 2n aşağıdaki özelliklere sahiptir:

değerler kümesi - pozitif sayılar y>0;

fonksiyon y =1/x 2n hatta çünkü 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

fonksiyon x aralığında artıyor<0 и убывающей на промежутке x>0.

y fonksiyonunun grafiği =1/x 2nörneğin y fonksiyonunun grafiğiyle aynı forma sahiptir =1/x 2 .

4.Gösterge p=-(2n-1), Nerede N- doğal sayı. Bu durumda güç fonksiyonu y=x -(2n-1) aşağıdaki özelliklere sahiptir:

tanım alanı - x=0 hariç R'yi ayarlayın;

değerler kümesi - y=0 hariç R'yi ayarlayın;

işlev y=x -(2n-1) tuhaf, çünkü (- X) -(2n-1) =-X -(2n-1) ;

fonksiyon aralıklarla azalıyor X<0 Ve x>0.

Bir fonksiyonun grafiği y=x -(2n-1)örneğin bir fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y=1/x 3 .

1. Ters trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.

Ters trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.Ters trigonometrik fonksiyonlar (dairesel fonksiyonlar, yay fonksiyonları) - trigonometrik fonksiyonların tersi olan matematiksel fonksiyonlar.

1. arksin işlevi

Bir fonksiyonun grafiği .

arksinüs sayılar M bu açı değerine denir X, hangisi için

Fonksiyon süreklidir ve sayı doğrusu boyunca sınırlıdır. İşlev kesin olarak artıyor.

1. [Düzenle]Arcsin fonksiyonunun özellikleri

1. [Düzenle]Arcsin fonksiyonunu alma

Verilen fonksiyon Tümü boyunca tanım alanı o olur parçalı monoton ve dolayısıyla ters yazışma bir fonksiyon değildir. Bu nedenle kesinlikle arttığı ve tüm değerleri aldığı segmenti dikkate alacağız. değer aralığı- . Aralıktaki bir fonksiyon için argümanın her değeri fonksiyonun tek bir değerine karşılık geldiğinden, bu aralıkta ters fonksiyon grafiği, bir doğru parçasına göre bir parça üzerindeki bir fonksiyonun grafiğine simetrik olan

1. Konuyla ilgili eğitim literatürünün analizi: “Güç fonksiyonunun özellikleri”

Kuvvet fonksiyonlarının incelenmesi 7. sınıfta özel durumlarla başlar ve tüm cebir dersi boyunca devam eder. 11. sınıfa kadar güç fonksiyonu hakkındaki bilgiler genelleştirilir, genişletilir ve sistemleştirilir.

Bu eğitim literatürü analizine dayalı bir didaktik el kitabının içeriğini oluşturmak için 9. sınıf için eğitim literatürünün bir analizi yapılmalıdır.

Ders Kitabı: “Cebir. 9. sınıf." Mordkovich A.G., Semenov P.V. (Mnemosyne, 2009)

Ders kitabı kuvvet fonksiyonlarını tamsayı üssüyle tartışıyor. “Kuvvet fonksiyonu” konusuna ilişkin teorik materyal, hem fonksiyonları hem de özelliklerini ve grafiklerini tartışan “Sayısal fonksiyonlar” bölümünde ayrı paragraflarda yer almaktadır.

Materyalin sunumu okul çocukları için erişilebilirdir; 1. bölümde (ders kitabında) ayrıntılı ve kapsamlı çözümler içeren çok sayıda örnek yer almaktadır ve 2. bölümde (problem kitabında) bağımsız çalışmaya yönelik alıştırmalar yer almaktadır.

Çalışma materyalinin yapısı:

BÖLÜM 3. Sayısal Fonksiyonlar

§12. Fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.

§13. Fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.

§14. Fonksiyon, özellikleri ve grafiği.

Daha sonra kuvvet fonksiyonları doğal üslü fonksiyonlar olarak tanımlanır (öncelikle kuvvet fonksiyonlarının özel durumları verilir, ardından genel formül ortaya çıkarılır). Çift üslü güç fonksiyonları ve bunların grafikleri dikkate alınır ve bunların özellikleri daha sonra ortaya çıkar (değer aralığı ve fonksiyonun tanım alanı, çift ve tek, monotonluk, süreklilik, fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri, dışbükeylik) ). Daha sonra, tek üslü kuvvet fonksiyonlarını, bunların grafiklerini ve özelliklerini ele alacağız.

§ 13'te negatif üslü kuvvet fonksiyonları tanımlanmıştır: önce çift fonksiyonlar, sonra tek fonksiyonlar. Doğal üslü kuvvet fonksiyonlarına benzer şekilde özel durumlar verilmiştir:

Genel formül ortaya çıktıktan sonra grafikler ve özellikler de dikkate alınır.

§ 14'te fonksiyon tanıtıldı

rasyonel üssü n = olan bir güç fonksiyonunun özel bir durumu olarak özellikleri ve grafiği

Grafiklerin dönüşümü (simetri), çift bir fonksiyonun grafiğinin ordinat eksenine göre simetrik olduğu ve tek bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrik olduğu gerçeğine iner. Bu nedenle, bozkır fonksiyonları için, belirli bir ışın üzerinde belirli bir fonksiyon dikkate alınır, grafiği oluşturulur ve simetri kullanılarak tüm sayı doğrusu üzerinde bir grafik oluşturulur. Daha sonra grafik okunur, yani grafik, fonksiyonun özelliklerini şemaya göre listeler:

1) tanımın kapsamı;

2) çift, tek;

3) monotonluk;

4) aşağıdan, yukarıdan sınırlama;

5) fonksiyonun en küçük ve en büyük değerleri;

6) süreklilik;

7) değer aralığı;

8) dışbükeylik.

a) orijini x = 0 ve y = 0 değerlerinin elde edildiği noktada olan yardımcı koordinat sistemine gider.

b) fonksiyonu yeni bir koordinat sistemine "bağlar".

Örnek 3. Bir fonksiyonun grafiğini çizin

Çözüm. Başlangıç ​​noktası (-1;-2) olan yardımcı koordinat sistemine geçelim (Şekil 117'de kesikli çizgiler) ve fonksiyonu yeni koordinat sistemine “bağlayalım”. Gerekli grafiği alıyoruz (Şekil 117)

Problem kitabında “Cebir. 9. sınıf." Mordkovich A.G. ve Semenov P.V. tarafından düzenlenmiş, çeşitli bir egzersiz sistemi sunulmaktadır. Alıştırma seti iki bloğa ayrılmıştır: birincisi iki temel seviyedeki görevleri içerir: sözlü (yarı sözlü) ve orta zorlukta görevler; ikinci blok, ortalamanın üzerinde veya artan zorluk seviyesindeki görevleri içerir. İkinci ve üçüncü seviyedeki sorunların çoğuna cevaplar verilmiştir. Problem kitabı, çeşitli güç fonksiyonlarının grafiklerini oluşturmak ve bir fonksiyonun özelliklerini grafiğinden belirlemek için çok sayıda farklı görev içerir. Örneğin:

12.10. Fonksiyonun grafiğini çizin:

12.15. Denklemi grafiksel olarak çözün

12.19. Fonksiyonun grafiğini çizin ve okuyun

Fonksiyonun grafiğini çizin ve okuyun

Ders Kitabı: “Cebir. 9. sınıf." Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. (Aydınlanma, 2006)

Bu ders kitabı aynı zamanda ek materyallerin ve karmaşık görevlerin dikkate alınmasının gerekmediği genel eğitim sınıfları için de tasarlanmıştır. Yeterli saat varsa, sınıf matematiğe ilgi gösteriyorsa, ders kitabındaki bölümlerin sonuna yapılan eklemelerin yanı sıra, normal genel eğitim sınıflarında isteğe bağlı olan puanlar ve yıldız işaretli bireysel görevler nedeniyle, Çalışılan materyalin içeriğini, programın derinlemesine matematik çalışması içeren dersler için sağladığı ölçüde genişletmek ve derinleştirmek mümkündür. Yani ders kitabı hem normal derslerde hem de derinlemesine matematik çalışması yapılan derslerde kullanılabilir.

Çalışma materyalinin yapısı:

BÖLÜM II. Derecesi

§4. Kök derecesi

4.1 Fonksiyon özellikleri

4.2 Bir fonksiyonun grafiği

4.3 Derece kökü kavramı

4.4 Çift ve tek güçlerin kökleri

4.5 Aritmetik kök

4.6 Derece köklerinin özellikleri

4.7 *Bir doğal sayının kökü

4.8 *İşlev

Konuyu incelemek, fonksiyonun özellikleri (n = 2 ve n = 3 örneğini kullanarak) ve grafiğiyle başlar. Daha sonra, n kökü, aritmetik kökü ve n kökün özelliklerinin yanı sıra bunların ifade dönüşümüne uygulamaları da incelenecektir. Matematiğin derinlemesine çalışıldığı derslerde ayrıca şu konular ele alınır: “Fonksiyon”, “Rasyonel üssü olan üs ve özellikleri”.

Fonksiyonların bir takım özdeş özelliklere (tanım alanı, fonksiyonun sıfırları, eşlik, teklik, süreklilik, monotonluk aralıkları) sahip olduğu ileri sürülmektedir. Bu nedenle, genel durumda, bazı doğal sayıların olduğu fonksiyonun dikkate alınması tavsiye edilir. Bir fonksiyonun grafiğinin tanımı, bir parabolün tanımı yoluyla tanıtılmaktadır. Yani, bir fonksiyonun grafiğinin bir parabol olduğu bilinen gerçeğine göre, bu grafiğe ikinci dereceden parabol, bir fonksiyonun grafiğine 1. dereceden parabol denir veya kısaca, bir parabol. Fonksiyon özellikleri sadece bazı ispatlarla negatif olmayanlar için dikkate alınır.

Bir fonksiyonun grafiğini oluşturma çalışması, fonksiyonların grafiklerini yalnızca negatif olmayan değerler için bir koordinat düzleminde tasvir etmekle başlar.

Bir fonksiyonun incelenmesi, bir derecenin aritmetik kökü hakkında önceden edinilmiş bilgilere dayanmaktadır. Bir fonksiyonun grafiği Kartezyen koordinat sisteminde çizilmiştir. Başlangıç ​​olarak, bir güç fonksiyonunu ve grafiğinin O koordinat sistemindeki yapısını ele alıyoruz. Böylece, fonksiyonun grafiğinin bir güç parabolünün parçası olduğu kanıtlanmıştır.

1) Eğer x = 0 ise y = 0 olur.

2) Eğer öyleyse.

3) Fonksiyon artar.

4) Eğer öyleyse.

5) Fonksiyon süreklidir.

“Güç fonksiyonu” konulu alıştırma sistemi çeşitlidir. Hem sözlü hem de yazılı eğitim görevlerini içerir. Örneğin:

No. 316. Verilen işlev

Bu fonksiyonu keşfedin ve grafiğini çizin.

Hayır. 318. Fonksiyonun grafiğini çizin

No. 321. Bir koordinat sisteminde fonksiyonların grafiklerini oluşturun

Hayır. 441. Aşağıdaki fonksiyonun grafiğini çizin:

Hayır. 442. Aşağıdaki fonksiyonun grafiğini çizin:

Ders Kitabı: “Cebir. 9. sınıf." Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova (Aydınlanma, 2009)

Bu ders kitabı ortaöğretim okullarına yöneliktir.

Çalışma materyalinin yapısı:

BÖLÜM IV. Rasyonel üslü kuvvet

§9. Güç fonksiyonu

21. Çift ve tek fonksiyonlar

22. İşlev

§10. n'inci kök

23. N'inci kökün belirlenmesi

24. n'inci derecenin aritmetik kökünün özellikleri

on bir. Rasyonel üslü kuvvet ve özellikleri

25. Kesirli Üslü Derecenin Belirlenmesi

26. Rasyonel üssü olan özellikler

27. Kesirli üslü kuvvetler içeren ifadeleri dönüştürme

Güç fonksiyonunun incelenmesi, bir fonksiyonun değerlerini argümanın iki zıt değeriyle karşılaştırma örneklerini kullanarak çift ve tek fonksiyon kavramlarının tanıtılmasıyla başlar. Daha sonra çift ve tek fonksiyonların tanımı ilgili grafiklerin yapısıyla birlikte verilmektedir.

= 1, 2 ve 3 için kuvvet fonksiyonlarının (yani fonksiyonların), özelliklerinin ve grafiklerinin daha önce çalışıldığı söyleniyor. Daha sonra kuvvet fonksiyonunun özellikleri ve herhangi bir doğal sayı için grafiğinin özellikleri açıklığa kavuşturulmuştur. Üs n'nin çift sayı olduğu, bu durumda n'nin tek sayı olduğu fonksiyonları düşünün. Özellikler şemaya göre örnekler kullanılarak analiz edilir:

1. Tanımın kapsamı;

2. Anlam aralığı;

3. Fonksiyon sıfırları;

4. Parite;

5. Tek parite;

6. Fonksiyonun monotonluğu.

Bölümün bir sonraki paragrafı, tanımın tanıtıldığı ve özelliklerin tartışıldığı n'inci köke ayrılmıştır.

Tanım tekrarlanıyor: Bir sayının karekökü, karesi a'ya eşit olan bir sayıdır. Herhangi bir n doğal kuvvetinin kökü de benzer şekilde tanımlanır: bir a sayısının n'inci kökü, n'inci kuvveti a'ya eşit olan bir sayıdır. Bunu yapmak için, önce tek üssü n olan bir kuvvet fonksiyonunu ve bunun grafiğini ele alıyoruz; bu, herhangi bir a sayısı için, n'inci kuvveti a'ya eşit olan benzersiz bir x değeri olduğunu gösterir. Daha sonra çift üslü n'li bir kuvvet fonksiyonunu göz önünde bulundururuz ve eğer x'in iki zıt değeri varsa, çünkü böyle bir sayı vardır (0 sayısı), çünkü böyle sayılar yoktur.

Bölümün sonunda rasyonel üslü bir derece ve onun özellikleri ele alınmıştır.

Egzersiz sistemi çeşitlidir. Örneğin:

503 numara. Fonksiyonun grafiğini çizin

508 numara. Denklemi grafiksel olarak çözün

513 numara. Fonksiyonun grafiğini kullanarak denklemi çözün

580 numara. Fonksiyonun Grafiği

644 numara. Tek olduğunu ve değerinin aşağıdaki formül kullanılarak bulunabileceğini bilerek f fonksiyonunun grafiğini çizin

643 numara. Fonksiyonun Grafiği

663 numara. Fonksiyonun grafiğini çizin. Grafiği kullanarak köklerin değerlerini karşılaştırın

669 numara. Fonksiyonun Grafiği

Ders Kitabı: “Cebir. 9. sınıf." Sh.A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov ve diğerleri (Aydınlanma, 2009)

Bu konuyu incelerken fonksiyonların özelliklerine ve bu özelliklerin grafiklerde gösterilmesine özellikle dikkat edilir. Aynı zamanda fonksiyon grafiklerinin basit dönüşümlerini gerçekleştirmek için başlangıç ​​becerileri geliştirilir.

Çalışma materyalinin yapısı:

BÖLÜM III. Güç fonksiyonu

§12. İşlev Etki Alanı

§13. Arttırma ve azaltma fonksiyonu

§14. Çift ve tek fonksiyon

§15. İşlev

§16. Derece içeren eşitsizlikler ve denklemler

Bu bölümün temel amacı öğrencilere sadece kuvvet fonksiyonunu tanıtmak değil, aynı zamanda fonksiyonun özellikleri hakkında bilinen bilgileri bir bütün olarak genişletmek (tanım alanı, monotonluk, çift ve tek fonksiyonlar), yetenek geliştirmektir. Verilen bir grafiği kullanarak fonksiyonları incelemek,

Bu bölümdeki materyali incelerken öğrencilerin işlevsel anlayışı derinleşir ve önemli ölçüde genişletilir.

§12'de bir işlevin tanımı, argümanı ve bir işlevin tanım alanı formüle edilmiştir. Bir fonksiyonun grafiğinin tanımı ve temel dönüşümlerin kullanımı da dahil olmak üzere yapım yöntemleri hatırlanır.

§13'te güç fonksiyonu kavramını tanıtıyoruz. Örnekler tanımın kapsamını ortaya koymaktadır; artan ve azalan fonksiyonların tanımları hatırlatılarak artan ve azalan kuvvet fonksiyonlarının tanımları verilmiştir.

Çift ve tek fonksiyonlar fikri öğrencilere görsel düzeyde verilmektedir. Ders kitabı ve fonksiyonunun grafiklerini oluşturmanız gereken iki problemi tartışıyor. Bu fonksiyonların özellikleri incelenir ve simetriye dayanarak bir fonksiyonun düzgünlüğü veya tekliği ile ilgili kavramlar verilir.

§15'te öğrenciler k'nin çeşitli değerleri için bir fonksiyon anlayışı kazanırlar, bir fonksiyonun grafiğini çizmeyi ve onu okumayı öğrenirler (yani, bir fonksiyonun özelliklerini grafiğinden belirlerler). Fonksiyon kullanılarak sadece 8. sınıf cebir dersinde bahsedilen ters orantı kavramına açıklık getirilmiştir.

k > 0 için bir fonksiyon incelenirken, fonksiyon ilk olarak bir kuvvet fonksiyonunun özel bir durumu olarak sunulur: k parametresindeki değişiklikler dikkate alınır.

Bu bölümde fonksiyonların grafiklerini oluşturmanın gerekli olduğu dört problem tartışılmaktadır. Problem 1'de, bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, fonksiyonun önceki paragraflarda incelenen tüm özellikleri kullanılmıştır. Görev 2'de, fonksiyon grafikleri oluşturulurken, fonksiyon grafiğinin apsis ekseni boyunca zaten bilinen 2 kat uzatılması kullanılır. Ve bu iki probleme dayanarak fonksiyonun özellikleri formüle edilir.

Görev 4'te, bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak gerekir (görev 1-2'ye dayanarak), yani bu fonksiyonun grafiği, fonksiyonun grafiğinin Ox ekseni boyunca birer sağa kaydırılmasıyla oluşturulabilir ve Oy ekseni boyunca 2 birim aşağı.

Egzersiz sistemi çeşitli görev türleri sunar: hem zorunlu hem de artan karmaşıklığa sahip ek görevler.

Güç fonksiyonlarının grafiklerini oluşturma görevleri arasında aşağıdaki alıştırmalar ayırt edilebilir:

Hayır. 164. Bir grafik oluşturun ve artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulun

No. 166. Fonksiyonun grafiğinin bir taslağını çizin.

Hayır. 171. Bir grafik oluşturun ve artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulun

Hayır. 174. Fonksiyonun grafiğini çizin

Hayır. 179. Fonksiyonun özelliklerini bulun ve grafiğini oluşturun

Hayır. 180. Fonksiyonun grafiğini çizin

Hayır. 191. Fonksiyonun grafiğini çizin

Hayır. 218. Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu öğrenin

Materyal üzerinde çalışan öğrenciler, tanım kümesi, çift ve tek fonksiyonlar, aralıkta artan ve azalan fonksiyonlar gibi kavramlara hakim olurlar.

Öğrenciler 8. sınıf cebir dersinde artan ve azalan fonksiyonlar kavramıyla karşılaşmış, ancak bu kavramların tanımları ancak bu konuyu incelerken oluşturulmakta ve dolayısıyla belirli bir fonksiyonun bir aralıkta arttığını veya azaldığını analitik olarak kanıtlamak mümkün hale gelmektedir. (ancak bu tür kanıtları gerçekleştirmek gerekli becerilerden biri değildir) . Öğrenciler, söz konusu fonksiyonun grafiğini kullanarak bir fonksiyonun artan aralıklarını bulmayı öğrenirler.

Konuyu incelerken, rasyonel üslü kuvvet kavramı bu derste tanıtılmadığından kesirli üslü kuvvet fonksiyonu örnekleri dikkate alınmamıştır.

Her bir özel fonksiyonu (fonksiyonlar dahil) incelerken, öğrenciler söz konusu fonksiyonun grafiğinin bir taslağını çizebilecek ve grafiğe dayalı olarak özelliklerini listeleyebileceklerdir.

Ders Kitabı: “Cebir. Geniş kapsamlı çalışma. 9. sınıf." Mordkovich AG (Mnemosyne, 2006)

Ders kitabını 2006 yılı için aldık, çünkü bu ders kitabı daha sonraki basımlardan farklı olarak derece konusunu rasyonel bir üstel ile içeriyordu. Genel olarak konuşursak, şu anda bu konu lisede çalışılıyor, ancak multimedya el kitabında bunu hazırlık materyali olarak dahil ettik.

Kitap, lisenin 9. sınıfında matematiğin derinlemesine incelenmesi için tasarlanmıştır. Bu ders kitabı genel eğitim kurumlarına yönelik 9. sınıf ders kitabı (A. G. Mordkovich. Cebir-9) temel alınarak yazılmıştır. Aynı programı uygulamaktadır ancak fark, kursun ilgili konularının daha derinlemesine incelenmesidir: basit örneklerin yerini daha karmaşık ve ilginç örnekler alır.

Çalışma materyalinin yapısı:

BÖLÜM 4. Güç fonksiyonları. Güçler ve kökler

§17. Negatif tamsayı üssü olan kuvvet

§18. Fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri

§19. Bir reel sayının n'inci kökü kavramı

§20. Fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri

§21. N'inci kökün özellikleri

§22. Radikal İçeren İfadeleri Dönüştürme

§23. Üs kavramının genelleştirilmesi

§24. Fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri

§ 18'de tamsayı üslü kuvvet işlevlerinden, yani işlevlerden vb. bahsediyoruz. Bu bölüm paragraflara bölünmüştür:

Yazar, böyle bir fonksiyonun en basit durumunun 7. sınıfta ele alındığını hatırlıyor - bu bir fonksiyondu. Bu paragraf işlevin değerlendirilmesiyle başlar. Bir grafik oluşturulur ve bu fonksiyonun özellikleri belirli bir sıraya göre listelenir: 1) tanım alanı; 2) çift, tek; 3) monotonluk; 4) aşağıdan, yukarıdan sınırlama; 5) fonksiyonun en küçük ve en büyük değerleri; 6) süreklilik; 7) değer aralığı; 8) dışbükeylik.

Özellikler bir grafikten okundu; şimdi bu özelliklerin bir kısmının varlığının analitik olarak kanıtlanması önerildi.

Yazar, herhangi bir kuvvet fonksiyonunun grafiğinin bir fonksiyonun grafiğine benzer olduğu, yalnızca dallarının yukarıya doğru dik bir şekilde yönlendirildiği ve parça üzerindeki x eksenine daha fazla bastırıldığı sonucuna varır ve eğrinin bu noktada x eksenine dokunduğunu belirtir. (0;0).

Paragrafın sonunda İnşaat fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmanın bir örneği vardır: 1) (1; -2) noktasında başlayan bir yardımcı koordinat sistemine geçiş; 2) bir eğri çizmek.

1) İşlev

Üssü tek olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri ve grafiği ilk önce grafiği kübik parabol olan bir fonksiyon örneği kullanılarak incelenir.

Yazar, herhangi bir güç fonksiyonunun grafiğinin bir fonksiyonun grafiğine benzer olduğu sonucuna varır, yalnızca üs ne kadar büyük olursa, grafiğin dalları o kadar dik bir şekilde yukarıya (ve buna bağlı olarak aşağıya doğru) yönlendirilir ve eğrinin (0;0) noktasındaki x ekseni.

Aşağıda bir denklemi çözmek için bir güç fonksiyonunun grafiğini kullanmanın bir örneği verilmiştir. Çözüm 4 aşamada gerçekleşir: 1) iki fonksiyon dikkate alınır: ve; 2) bir fonksiyon grafiğinin çizilmesi; 2) doğrusal bir fonksiyonun grafiğini çizmek; 4) kesişme noktasını bulun ve bir kontrol yapın.

2) İşlev

Negatif tam sayı (çift) üssü olan kuvvet fonksiyonlarından bahsediyoruz. İlk önce örnek bir fonksiyona bakalım. Bir grafik oluşturulur ve bu fonksiyonun özellikleri listelenir. Özellikle fonksiyonun azaldığı özelliği kanıtlıyoruz.

multimedya görsel fonksiyon okul matematik

3) İşlev

Bu durumda, negatif tamsayı üssü (tek): vb. olan kuvvet fonksiyonlarını dikkate alıyoruz. Yazar, böyle bir fonksiyonun 8. sınıfta zaten çalışıldığını hatırlıyor - bu. Özellikleri ve grafiği (hiperbol) hatırlanır ve herhangi bir fonksiyonun grafiğinin hiperbole benzer olduğu sonucuna varılır.

§ 19'da bir gerçek sayının n'inci kökü kavramı verilmektedir ve özellikle, negatif olmayan herhangi bir sayıdan herhangi bir derecenin (ikinci, üçüncü, dördüncü vb.) kökünün çıkarılabileceği belirtilmektedir ve Negatif bir sayıdan herhangi bir tek derecenin kökü çıkarılabilir.

§ 20'de verilen bir fonksiyondan bahsediyoruz ve belirli bir örnek (at) kullanarak bu fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini inceliyoruz. Bir fonksiyonun grafiğini ve bir fonksiyonun grafiğini gösteren şekil esas alınarak bu grafiklerin simetrisi belirlenir ve analitik olarak doğrulanır.

Bu bölümde ayrıca herhangi bir değer için tek olması durumunda fonksiyon tartışılmaktadır. Bu fonksiyonun özellikleri tartışılarak bir grafik çizilir.

· eğer çift sayıysa, fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 1;

· tek sayı ise, fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 2.

§ 24'te formun bir fonksiyonunu ele alıyoruz - herhangi bir gerçek sayı (kendimizi rasyonel üs durumlarıyla sınırlandırıyoruz).

1. Eğer bir doğal sayı ise, o zaman bir fonksiyon elde ederiz (grafikler ve özellikler bilinmektedir)

2. Eğer öyleyse fonksiyonu elde ederiz, yani . Çift olması durumunda grafik, Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. Şekil 3a'da tek olması durumunda grafik Şekil 3'te gösterilen forma sahiptir. 3b

pirinç.

3. Eğer bir fonksiyondan bahsediyorsak bu bir fonksiyondur.

Bu durum formun herhangi bir güç fonksiyonu için yaklaşık olarak aynıdır; burada:

1. - uygunsuz kesir (pay, paydadan büyüktür). Grafiği parabolün dalına benzer bir eğridir. Gösterge ne kadar yüksek olursa, bu eğri o kadar “dikleşir”. Bir grafik oluşturulur ve özellikler verilir.

2. - uygun kesir () (§ 20). Bir grafik oluşturulur ve özellikler verilir.

Bir grafik oluşturulur ve özellikler verilir.

Problem kitabında “Cebir. Geniş kapsamlı çalışma. 9. sınıf." Zavich L.I., Ryazanovsky A.R. çeşitli bir egzersiz sistemi sunuyor. Seri numaraları arttıkça görevlerin karmaşıklığı da artar. Problem kitabı, çeşitli güç fonksiyonlarının grafiklerini oluşturmaya, özelliklerini incelemeye ve uygulamaya yönelik çok sayıda farklı alıştırma içerir.

Örneğin:

17.05. Tek çizimde fonksiyon grafikleri oluşturun

Fonksiyon Grafiklerini Çiz

17.35. Fonksiyonun Grafiği

ve bir grafik kullanarak monotonluk aralıklarını, ekstrem noktaları, ekstremum değerlerini ve sıfır sayısını belirtin.

Fonksiyonların grafiğini çizin:

19.01. Tek çizimde fonksiyon grafikleri oluşturun

19.04. Fonksiyon Grafiklerini Çiz

19.22. Grafikleri çizin ve fonksiyon araştırması yapın

21.01. Bir çizim üzerinde ve için fonksiyonların grafiklerini oluşturun ve fonksiyonun özelliklerini listeleyin: a) D(y) tanımının alanı; b) E(y) değerleri kümesi; c) fonksiyonun sıfırları; d) monotonluk aralıkları; e) dışbükeylik aralıkları; f) ekstrem noktalar; g) aşırılıklar; h) çift veya tek; i) en büyük ve en küçük değerler.

21.03. Aşağıdaki işlevleri çizin ve inceleyin

21.11. Tek çizimde fonksiyon grafikleri oluşturun

segmentte

21.17. Fonksiyon Grafiklerini Çiz

25.01. Aynı çizim üzerinde aşağıdaki fonksiyon çiftlerinin grafik çizimlerini oluşturun

25.05. Fonksiyonların grafiklerini çizin ve özelliklerini tanımlayın

25.06. Bitişik çizimlerde fonksiyon grafikleri oluşturun

25.18. Fonksiyon Grafiklerini Çiz

25.30. Fonksiyon Grafiklerini Çiz

Eğitim literatürünün analizi bazı sonuçlar çıkarmamızı sağlar

Matematikte temel genel eğitimin standardı göz önüne alındığında, öğrencilerin aşağıdaki kuvvet fonksiyonu türlerini incelemeleri gerektiğini görüyoruz:

Özel durumlar (doğrudan, ters orantı, ikinci dereceden fonksiyon),

Doğal bir göstergeyle,

Bütün bir göstergeyle

Pozitif bir rasyonel üs ile,

Rasyonel bir göstergeyle,

İrrasyonel bir göstergeyle,

Geçerli bir göstergeyle.

Bu konuda önemli bir rol, fonksiyon grafiklerinin görüntüsünün oluşturulmasıyla oynanır. Öğrenciler ayrıca şunları yapabilmelidir: grafiğinden bir fonksiyonun özelliklerini belirleyebilme; Çalışılan fonksiyonların özelliklerini tanımlar, grafiklerini oluşturur. Standardın dikkate alınması, "Güç işlevi" konusunun okul çocuklarının zorunlu minimum bilgi, beceri ve yeteneklerine dahil edildiği ve dolayısıyla buna olan ilgimizin tamamen haklı olduğu sonucuna varmamızı sağlar.

Güç fonksiyonuna ilişkin güçlü beceriler geliştirmek için, devam edeceğimiz “Güç fonksiyonunun özellikleri” konusunun metodolojisini incelemek gerekir.

2. Okulda “Güç fonksiyonunun özellikleri” konusunu incelemenin metodolojik temeli

Bir kuvvet fonksiyonu temel fonksiyonlar sınıfına aittir.

Çalışmanın amacı öğrencileri sadece kuvvet fonksiyonuyla tanıştırmak değil, aynı zamanda genel olarak fonksiyonların özellikleri hakkında bildikleri bilgileri genişletmektir.

“Güç fonksiyonu” konusunu incelerken, esas olarak fonksiyonları incelemenin analitik ve grafiksel yöntemini kullanırlar. Analitik araştırmaların öğrenciler için anlaşılmasının zor olduğu durumlarda grafiksel yöntemler kullanılır, ancak ikincisi kanıt olarak kullanılamaz.

Öğrenciler çok sayıda grafik çalışması gerçekleştirir ve yalnızca uygulamalarının doğruluğu ve kesinliğine değil, aynı zamanda grafik oluşturmanın rasyonel tekniklerine de dikkat edilir.

Güç fonksiyonlarının grafiklerini oluşturma ve okuma konusunda güçlü beceriler geliştirmek ve her öğrencinin temel görev türlerini bağımsız olarak yerine getirebilmesini sağlamak, ancak öğrencilerin yeterli sayıda eğitim alıştırmasını tamamlamasıyla mümkündür.

Örneğin “Okulda Matematik” dergisinde Lopatina, L.V. aşağıdaki atölye dersini sunar:

Ders-atölye öğrencilerin kendi çalışmaları yoluyla bilgi kazanmalarını amaçlamaktadır. Bu, gelişimsel pedagojinin ana motifidir. “Kuvvet Fonksiyonu” konusu tüm sınıfın yaratıcı çalışması için çok uygundur, çünkü bir kuvvet fonksiyonu (burada herhangi bir rasyonel sayıdır) aslında üsse bağlı olarak farklı özelliklere sahip bir dizi fonksiyondur.

Bu özelliklerin tartışılması en iyi şekilde gruplar halinde organize edilir. Bunu yapmak için sınıfı altı gruba ayırmanız önerilir.

Her şeyden önce, öğretmenin "atölyedeki" çalışma sırasını hayal etmesi gerekir:

Aşama I - tümevarım - önceki deneyimlere başvurma;

Aşama III - boşluk - öğrencilerin bilgilerinde kendilerinin doldurması gereken boşluklar olduğunu fark etmeleri gereken an;

Aşama IV - yansıma - asimilasyon derecesinin belirlenmesi.

Dersin her aşamasını daha ayrıntılı olarak açıklayalım.

Aşama I - indüksiyon. Öğretmen sınıfın zaten fonksiyonları, özelliklerini ve grafiklerini incelediğini hatırlatır. Bu işlevler genel olarak şu formülle belirtilebilir: burada - bir tamsayıdır. Böyle bir fonksiyona güç fonksiyonu denir. Sınıfa şu görev verilir: Yeni bir özelliği öğrenirken cevaplamamız gereken soruları listelemek.

Sınıf bu soruları gruplar halinde tartışır ve ardından gruplardaki tüm sorular tek bir listede toplanır:

· Bu fonksiyonun hangi özellikleri var?

· Programı nedir?

· Hangi durumlarda kullanılır?

Son soruyu cevaplayarak başlayalım. Bir güç fonksiyonunun ortaya çıktığı çeşitli durumlara örnekler verelim.

Üç öğrenci sırayla tahtaya gelerek evde hazırlanan mesajları hazırlıyor.

Birinci öğrenci tel çapının kesit alanı olan fonksiyonu ele alır. Öğrenciler bu kuvvet fonksiyonunun aslında ikinci dereceden bir fonksiyon olduğunu ancak argümanın değerinde kısıtlamalar olduğunu fark edeceklerdir.

İkinci öğrenci kütleli iki cisim arasındaki çekim kuvvetinin formülle ifade edildiğini anlatıyor. Bu, bu cisimler arasındaki mesafenin bir fonksiyonudur. Sınıfta bu tür bir fonksiyonu, özel olarak çalışmamış olmamıza rağmen, zaten çizdiğimizi fark edecek bir öğrenci olacaktır.

Üçüncü öğrenci ufkun gözlemciye olan uzaklığını analiz eder: . Bu, gözlemcinin deniz seviyesinden yükseltildiği yüksekliğin bir fonksiyonudur. Çocukların kendileri bunu fark etmediyse öğretmen burada değerin sonsuza kadar artamayacağını vurgulamalıdır. Nitekim gözlemci ne kadar yükseğe kaldırılırsa kaldırılsın, görüş yeteneğinin ve yerkürenin dışbükeyliğinin izin verdiğinden fazlasını göremez. Bu örnek, fonksiyonun değerleri üzerindeki kısıtlamaların uygunluğunu yargılamamıza izin verdiği için özellikle gösterge niteliğindedir. Burada fonksiyonun değerlerine bazı kısıtlamalar getirmeliyiz, ancak teorik olarak değerler sınırsızca artabilir.

Aşama II - konunun tartışılması. Öğrencilere seçtikleri kuvvet fonksiyonlarından birinin özelliklerini analiz etmeleri için biraz zaman verilir. Buradaki asıl sorun fonksiyon seçimidir. Bir grup, kendisini tüm öğrencilerin iyi bildiği bir tür fonksiyonla sınırlandırarak sorunu basitleştirme eğilimindedir. Başka bir grup ise türün işlevine veya belki de her ikisine birden odaklanarak çalışmalarını çok karmaşık hale getiriyor, ancak soruya genel yaklaşım öğrenciler için henüz net değil.

Sonuçta, grafikleri daha önce ele alınan, ancak gerekli vurgu yapılmamış fonksiyonları seçen gruplar var.

İlk grup türün işlevine baktı; tanımının alanına dikkat çekti: ve fonksiyonun sıfır değeri. Adamlar özellikle fonksiyonun tüm tanım alanı boyunca arttığı gerçeğine odaklandılar. Fonksiyonun sıfırdan büyük veya küçük olduğu aralıkları belirledik. Konuşmacılar bu fonksiyonun tek olduğunu ve ne en büyük ne de en küçük değere sahip olduğunu vurguladılar.

Bu gruptan bir öğrenci sınıfa konuşuyor ve grubun araştırmasının sonuçlarını anlatıyor.

İkinci grup dikkate alınacak bir özellik seçti. Adamlar artık 0 sayısını fonksiyonun tanım alanından çıkarmak zorunda kalacaklarını fark ettiler; . Öncekinden farklı olarak bu fonksiyonun sıfırları yoktur. Ancak yukarıda tartışıldığı gibi bu fonksiyon da pozitif ve negatiftir. Tanımın tüm alanı boyunca azalır.

Bu grubun temsilcisi, işlevler arasındaki farklılıkları vurgulamaktadır.

İki öğrenci daha fonksiyonlar hakkında konuşuyor.

Sunumları sırasında tüm sunum yapanların tartışılan fonksiyonların grafiklerini göstermesi gerekir.

Dersin III. aşamasında öğrenciler bilgilerini özetlemelidir. Ve dikkate alınan işlevlerin çeşitliliği karşısında şaşırarak bunu kendi başlarına yapmak zorundalar. “Bu kadar çok varken ve farklılarsa neden onlara tek bir isim veriliyor?” - öğrencilerin kendilerine sorması gereken soru budur. Öğretmenin görevi öğrencileri sessizce bu konuya yönlendirmektir. Adamların bilgilerinin eksikliklerini, sınırlamalarını veya eksikliğini fark etmeleri gereken sözde boşluk anı gelir. Aslında, dikkate alınan işlevlerden birinde sıfır varken diğerinde yoktur. Biri tüm tanım alanı boyunca artar, diğeri artar ve azalır. Mümkün olduğu kadar çok sayıda özel durumu kapsaması için güç fonksiyonunun tamamına hangi karakterizasyonu vermeliyiz?

Bu sorunun cevabını ararken, adamlardan biri sonunda kuvvet fonksiyonunun tipinin üssün düzgünlüğü veya tekliği ile uygun bir şekilde ilişkilendirilebileceğini tahmin ediyor.

Şimdi gruplara fonksiyonların özelliklerini tartışmaları için tekrar görev vermek uygun olacaktır.

nerede - tuhaf;

nerede - hatta;

nerede - tek;

nerede eşit.

Fonksiyon araştırma planına bir kez daha dikkat çekiyoruz:

Tanımın kapsamını belirtin.

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu belirleyin (ya da ne çift ne de tek olduğuna dikkat edin).

1. Varsa fonksiyonun sıfırlarını bulun.

2. İşaretin değişmezlik aralıklarını işaretleyin.

3. Artan ve azalan aralıkları bulun.

4. Fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini belirtin.

Sonunda öğrencilere dikkate alınan fonksiyonların = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 grafikleri sunulur. Bu grafikler her grubun temsilcileri tarafından gerçekleştirilir.

Şimdi sınıfla birlikte doğal sayının ve olduğu fonksiyonun grafiklerini oluşturuyoruz.

Bu işlevlerin ortak bir özelliği dikkat çekmektedir: her ikisinin de bir tanım alanı vardır - bir aralık. İkisi de ne çift, ne de tek. Her ikisi de sıfırdan büyüktür.

Ancak bu işlevlerin de farklılıkları vardır. Adamlar bunları özel olarak adlandırıyor: Bir türün işlevi, tanım alanında artar ve bir türün işlevi aynı alanda azalır. Formun bir fonksiyonu sıfır değerine sahiptir ve formun bir fonksiyonu sıfır içermez.

Aşama IV'te öğrenciler derinlemesine düşünmeli, yani. malzemeye hakimiyet derecesinin belirlenmesi. Tüm sınıf, Şekil 1'e göre aşağıdaki görevi alır. 3.

İncirde. 3, a-h, formüllerle verilen fonksiyonların grafikleri şematik olarak gösterilmektedir

Bu listeden hangi formülün a'dan z'ye grafiklerin her birine yaklaşık olarak karşılık geldiğini belirleyin.

“Okulda Matematik” dergisinde Petrova, N.P. “Excel kullanarak güç fonksiyonlarının özelliklerinin incelenmesi” projesini sunuyor:

“Excel elektronik tablolarını kullanarak fonksiyonların özelliklerinin incelenmesi” konulu makalede açıklanan eğitim projesi, lisemizin matematik ve bilgisayar bilimleri öğretmenleri tarafından 9. sınıfta yürütülmüş ve beş ders için tasarlanmıştır.

Projenin amacı, öğrencilere yeni bir konu çalışırken ve daha önce çalışılan materyalleri pratikte uygularken bağımsızlık ve inisiyatif sağlamaktı.

Proje sırasında dokuzuncu sınıf öğrencilerinin şunları göstermesi gerekiyordu:

· proje hedeflerini doğru bir şekilde formüle etme becerisi;

· bilgiyi analiz etme ve sonuç çıkarma yeteneği;

· Elde edilen sonuçları doğru bir şekilde yorumlama ve bunları pratik faaliyetlerde uygulama becerisi.

Öğrenciler, Excel kullanarak fonksiyon grafiklerinin davranışını inceleme ve ardından elde edilen verilere dayanarak fonksiyonların özelliklerini açıklama göreviyle karşı karşıya kaldılar.

Projenin sonuçlarına dayanarak, dokuzuncu sınıf öğrencilerinin fonksiyon grafiklerinin genel formunu öğrenmesi ve bu grafikleri nasıl oluşturup "okuyacağını" öğrenmesinin yanı sıra = f(x) formundaki denklemleri grafiksel olarak çözmesi gerekiyordu.

Bu projedeki çalışmanın, okul çocuklarının farklı değerler için güç fonksiyonları grafiklerindeki ortak özellikleri ve farklılıkları karşılaştırma, tanımlama becerilerinin gelişimini teşvik etmeyi amaçladığını unutmayın.

İşte projenin adım adım açıklaması.

Aşama I. Hazırlık (araştırma aşaması)

Konuşma sırasında öğrencilerin proje konusuna olan ilgisinin uyanması gerçekleşir. Öğrencilerden denklemleri bildikleri yöntemleri kullanarak çözmeleri istenir.

Adamların denklemi iki şekilde çözebilecekleri ortaya çıktı: analitik ve grafiksel, denklem - grafiksel. Kalan denklemleri çözmekte zorlanıyorlar, ancak fonksiyonların grafiklerine aşina olsalardı sorunu grafiksel olarak çözerlerdi.

Konuşmanın sonucu sorunlu bir sorunun formüle edilmesidir: Fonksiyonların grafikleri neye benziyor ve nerede? Bundan sonra, daha fazla çalışma için talimatlar belirlenir ve görevler formüle edilir:

1. Excel'i kullanarak, n çift olduğunda bir fonksiyonun grafiğinin nasıl göründüğünü öğrenin ve bu fonksiyonun özelliklerini açıklayın.

2. Excel'i kullanarak, n tek olduğunda bir fonksiyonun grafiğinin nasıl göründüğünü öğrenin ve bu fonksiyonun özelliklerini açıklayın.

3. Excel'i kullanarak, n çift olduğunda bir fonksiyonun grafiğinin nasıl göründüğünü öğrenin ve bu fonksiyonun özelliklerini açıklayın.

4. Excel'i kullanarak, n tek olduğunda bir fonksiyonun grafiğinin nasıl göründüğünü öğrenin ve bu fonksiyonun özelliklerini açıklayın.

Daha sonra sınıf çalışma gruplarına ayrılır. Öğretmen öğrencileri bağımsız olarak dört gruba ayırmaya (isteğe bağlı) ve her gruptan bir lider seçmeye davet eder. Gruplar oluşturulurken projedeki çalışma alanlarından birini (yukarıda sıralanan görevlere göre) seçerler.

Aşama II. Planlama (analitik aşama)

Öğretmen, grupların seçilen problemi çözmek için bir çalışma planı hazırlamalarına yardımcı olur ve bilgi kaynakları önerir. Öğrenciler gruplar halinde bağımsız olarak roller atarlar. Gruptaki rollerin yaklaşık dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmektedir. Bir gruptaki öğrenci sayısı sınıftaki öğrenci sayısına bağlıdır.

Aynı aşamada, çalışmanın sonuçlarının sunulacağı form tartışılmaktadır. Bu durumda PowerPoint kullanan bir bilgisayar sunumu seçildi.

Aşama III. Araştırma (pratik aşama)

Öğrenciler ödevlerini planlanan çalışma planına uygun olarak tamamlarlar. Öğretmen onların faaliyetlerini izler ve gerekirse öğrencilere tavsiyelerde bulunur.

Örnek olarak 1 numaralı grubun çalışma planını ele alalım.

1. Excel kullanarak fonksiyonların grafiklerini çizmek.

2. Grafiklerin karşılaştırılması, doğal çift sayı için bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için öneri çeşitlerinin formülasyonu.

3. Bir fonksiyonun özelliklerini grafikten belirlemek.

4. Bir fonksiyonun grafiğinin pratik uygulama örneklerinin analizi.

Araştırmaya dayanarak, öğrenciler doğal çift n formundaki fonksiyonların grafiklerinin parabole benzer eğriler olduğu sonucuna varırlar ve bir grafik oluşturmak için önerilerde bulunurlar: grafiğin Oy eksenine göre simetrik olduğu dikkate alınmalıdır, bu nedenle X argümanının pozitif değerleri için fonksiyon değerleri tablosu oluşturmak yeterlidir.

Ayrıca bu aşamada proje ilerledikçe geliştirilecek genel bir sunum senaryosu oluşturulur. Bu scriptte özellikle slayt sayısı, her birinin amacı ve slaytlara yerleştirilmesi gereken ana nesneler belirlenir.

Aşama IV ve V. Proje savunması, sonuçların değerlendirilmesi (sunum ve kontrol aşamaları)

Proje savunması (gruplar halinde) planlanan derslerin sonunda yapılır.

Şimdi bu proje üzerinde çalışmak için ders programını ve her dersin içeriğini sunalım.

Ders 1 (matematik)

· Proje probleminin beyanı. Çalışma alanlarının belirlenmesi, proje hedeflerinin formüle edilmesi.

· Çalışma gruplarına bölünme, gruplar halinde bir liderin seçilmesi.

· Verilen görevleri çözmek için bir çalışma planı hazırlamak, rollerin gruplara dağıtılması, sonuçların sunulması için bir form seçilmesi.

Ders 2 (bilgisayar bilimi)

· Excel elektronik tablolarının amacı hakkında konuşun.

· Excel kullanarak çeşitli fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasının tekrarlanması.

· Çalışılan fonksiyonların grafiklerinin Excel kullanılarak çizilmesi. Alınan bilgilerin analizi, sonuçların çıkarılması.

Ders 3 (matematik)

· Fonksiyon grafiklerinin oluşturulması ve “okunması”

· Formdaki denklemlerin grafiksel olarak çözülmesi.

· Sunum senaryosu oluşturma.

Ders 4 (bilgisayar bilimi)

· Power Point programının amacı ve çalışma ilkelerinin tekrarlanması.

· Sunum oluşturma.

Ders 5 (matematik)

· Proje koruması.

Ayrıca projeyi savunmak için genel bir ders planı da sağlıyoruz.

1. Organizasyon anı.

2. Bir problemi tanımlayarak bilgiyi uygulama motivasyonu.

Öğretmenin açılış konuşması

Bugünkü dersimizde temel çalışma konusu fonksiyonlar ve bunların nerede, özellikleri ve grafikleridir. Kök formülleri kullanarak birinci dereceden (doğrusal) ve ikinci dereceden (ikinci dereceden) denklemleri nasıl çözeceğinizi zaten biliyorsunuz. 3. dereceden denklemler için köklere yönelik özel formüller de vardır, ancak bunlar çok hantaldır ve pratikte nadiren kullanılır. Derecesi üçüncüden büyük olan denklemler için genel kök formülleri yoktur. Sorun ortaya çıkıyor: Bu tür denklemler nasıl çözülebilir? Analitik olmasa da grafiksel olarak ortaya çıkıyor. Ve formdaki denklemleri çözmek için grafiksel yöntemi kullanmak için, fonksiyonların ve nerede grafiklerini oluşturabilmelisiniz.

Dört grup bu fonksiyonların grafiklerini inceledi. Şimdi her biri bizi yapılan işin sonuçlarıyla tanıştıracak.

3. Grup performansları.

Projenin her grup tarafından sunumu (savunması), rakiplerin sorularına cevaplar.

4. Her performansın diğer gruplar tarafından öz değerlendirmesi ve değerlendirilmesi (beş puanlık bir ölçekte).

Ana değerlendirme kriterlerini listeliyoruz:

· içeriğin belirtilen konuya uygunluğu, sunumun doğruluğu ve eksiksizliği;

· hata yok;

· tasarım (tasarım): slayt düzeninin estetik gereksinimleri ne ölçüde karşıladığı;

· Metnin okunması kolay mı? görüntü içeriğe vb. uyuyor mu;

· ikna edicilik, konuşmanın tartışılması; konuşma okuryazarlığı, terminoloji bilgisi;

· soruların cevaplarının eksiksizliği.

Gruptaki etkileşim ayrı olarak değerlendirilir: iletişim becerileri, diğer katılımcılara saygı ve dikkat, aktivite.

Kazanılan toplam puan sayısı ve derecelendirme puanı (aritmetik ortalama puan) hesaplanır; Bunlara dayanarak projeye katılım notu verilir.

5. Her öğrencinin projeye katkısının tartışılması ve not verilmesi.

6. Özetleme (yansıtma).

7. Öğretmenin son sözleri

Bu konuyla ilgili proje faaliyetleri sırasında fonksiyon grafikleri nelerdir sorusunu yanıtladınız ve yapımına yönelik önerilerde bulundunuz. Artık formdaki bazı denklemleri grafiksel olarak çözebilirsiniz. Projenin hedeflerine ulaşmasına katkıda bulunan yaratıcı ve verimli çalışmalarından dolayı tüm öğrencilerimize teşekkür ederiz.

Yukarıdakileri göz önünde bulundurarak el kitabımızda güç fonksiyonlarının incelenmesine sistematik bir yaklaşım yansıtmaya çalıştık. Bilgisayarla çalışmanın zorluklarını en aza indirmek için, rahat ve doğal gezinmeyi sağlamaya ve didaktik yazılımın gereksinimlerini dikkate almaya çalıştık.