Olayların toplamı teoremi. Olasılık teorisindeki problemleri çözerken yapılan tipik hatalar

Ders 7. Olasılık teorisi

TOPLAMA VE ÇARPLAMA TEOREMLERİNİN SONUÇLARI

Ortak olayların olasılıklarını eklemek için teorem

için toplama teoremi uyumsuz olaylar. Burada toplama teoremini sunacağız. eklem yeri olaylar.

İki olay denir eklem yeri Eğer bunlardan birinin ortaya çıkması diğerinin aynı duruşmada görünmesini engellemiyorsa.

örnek 1 . A – zar atıldığında dört noktanın ortaya çıkması; B – çift sayıda noktanın görünümü. A ve B olayları ortaktır.

A ve B olayları ortak olsun ve bu olayların olasılıkları ve birlikte gerçekleşme olasılıkları verilsin. A ve B olaylarından en az birinin gerçekleşeceği A + B olayının olasılığı nasıl bulunur? Bu sorunun cevabı ortak olayların olasılıklarının eklenmesine ilişkin teorem tarafından verilmektedir.

Teorem. İki ortak olaydan en az birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların ortak meydana gelme olasılıkları hariç olasılıklarının toplamına eşittir: P(A + B) = P(A) + P(B) – P (AB).

Kanıt . A ve B olayları koşul itibariyle uyumlu olduğundan, aşağıdaki üç uyumsuz olaydan birinin meydana gelmesi durumunda A + B olayı meydana gelecektir: . Uyumsuz olayların olasılıklarının eklenmesi teoremine göre:

P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB).(*)

İki uyumsuz olaydan birinin meydana gelmesi durumunda A olayı meydana gelecektir: A
veya AB. Uyumsuz olayların olasılıklarının eklenmesi teoremi ile elimizdeki

P(A) = P(A) + P(AB).

P(A)=P(A) – P(AB).(**)

Benzer şekilde bizde de var

P(B) = P(ĀB) + P(AB).

P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)

(**) ve (***)'yi (*) yerine koyarsak, sonunda şunu elde ederiz:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).(****)

Q.E.D.

Not 1. Ortaya çıkan formülü kullanırken, A ve B olaylarının her ikisinden biri olabileceği akılda tutulmalıdır. bağımsız, Bu yüzden bağımlı.

Bağımsız etkinlikler için

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B);

Bağımlı olaylar için

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*PA (B).

Not 2. A ve B olayları ise uyumsuz ise bunların kombinasyonu imkansız bir olaydır ve bu nedenle P(AB) = 0'dır.

Uyumsuz olaylar için formül (****) şu şekli alır:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Uyumsuz olaylar için yine toplama teoremini elde ettik. Dolayısıyla formül (****) hem ortak hem de uyumsuz olaylar için geçerlidir.

Örnek 2. Birinci ve ikinci silahı ateşlerken hedefi vurma olasılıkları sırasıyla eşittir: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Tek salvoyla isabet olasılığını bulun
(her iki silahtan da) silahlardan en az biriyle.

Çözüm . Her silahın hedefi vurma olasılığı diğer silahtan yapılan ateşin sonucuna bağlı değildir, bu nedenle A (ilk silahın vurması) ve B (ikinci silahın vurması) olayları bağımsızdır.

AB olayının olasılığı (her iki silah da isabet aldı)

P(AB) = P(A) * P(B) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

İstenilen olasılık P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Not 3. Bu örnekte A ve B olayları bağımsız olduğundan P = 1 – q 1 q 2 formülünü kullanabiliriz.

Aslında A ve B olaylarının tersi olayların olasılıkları, yani. kaçırma olasılıkları şunlardır:

q1 = 1 – p1 = 1 – 0,7 = 0,3;

q2 = 1 – p2 = 1 – 0,8 = 0,2;

Bir salvoda en az bir silahın vurulması için gereken olasılık şuna eşittir:

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

Beklediğiniz gibi aynı sonuç elde edildi.

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.
Eğitimsel görevler:
- rastgele bir olay kavramını, bir olayın olasılığını vermek;
- bir olayın olasılıklarının nasıl hesaplanacağını öğretmek; klasik tanıma göre rastgele olayların olasılıkları;
- problemleri çözmek için olasılıkların toplama ve çarpma teoremlerinin nasıl uygulanacağını öğretmek;
- olayların olasılıklarını doğrudan hesaplamak için klasik olasılık tanımını kullanarak problemleri çözerek matematiğe olan ilgiyi geliştirmeye devam etmek;
- tarihi materyalleri kullanarak matematiğe ilgi uyandırmak;
- Öğrenme sürecine karşı bilinçli bir tutum geliştirmek, bilginin kalitesi konusunda sorumluluk duygusu aşılamak, egzersizleri çözme ve tasarlama süreci üzerinde öz kontrol uygulamak.

Sınıfların sağlanması:
- Bireysel sorgulamaya yönelik görev kartları;
- test çalışması için görev kartları;
- sunum.

Öğrenci şunları bilmelidir:
- permütasyon, yerleşim ve kombinasyon sayısına ilişkin tanımlar ve formüller;
- olasılığın klasik tanımı;
- olayların toplamını, olayların ürününü belirlemek; olasılıkların toplama ve çarpma teoremlerinin formülasyonları ve formülleri.

Öğrenci şunları yapabilmelidir:
- permütasyonları, yerleşimleri ve kombinasyonları hesaplamak;
- klasik tanım ve kombinatorik formülleri kullanarak bir olayın olasılığını hesaplamak;
- olasılıkların toplanması ve çarpılması teoremlerini kullanarak problemleri çözer.

Öğrencilerin bilişsel aktivitelerinin motivasyonu.
Öğretmen olasılık teorisinin ortaya çıkışının 17. yüzyılın ortalarına kadar dayandığını belirtiyor. B. Pascal, P. Fermat ve H. Huygens'in (1629-1695) araştırmalarıyla ilişkilendirilmiştir. Olasılık teorisinin gelişimindeki önemli bir adım, J. Bernoulli'nin (1654-1705) çalışmasıyla ilişkilidir. Olasılık teorisinin en önemli hükümlerinden biri olan büyük sayılar kanununun ilk kanıtıdır. Teorinin geliştirilmesindeki bir sonraki aşama, A. Moivre (1667-1754), C. Gauss, P. Laplace (1749-1827), S. Poisson (1781-1840) isimleriyle ilişkilidir. St.Petersburg okulunun bilim adamları arasında A.M. Lyapunov (1857-1918) ve A.A Markov (1856-1922). Bu matematikçilerin çalışmalarından sonra olasılık teorisi tüm dünyada “Rus bilimi” olarak anılmaya başlandı. 20'li yılların ortalarında A.Ya. Khinchin (1894-1959) ve A.N. Kolmogorov, Moskova Olasılık Teorisi Okulu'nu yarattı. Acad'ın katkısı. A.N. Kolmogorov - Lenin Ödülü sahibi, adını taşıyan uluslararası ödül. Çok sayıda yabancı akademisyenin üyesi olduğu B. Bolzano, modern matematik alanında muazzam bir isimdir. A.N. Kolmogorov'un değeri yalnızca yeni bilimsel teorilerin geliştirilmesinde değil, aynı zamanda yetenekli bilim adamlarından oluşan bir galaksinin tamamını eğitmiş olmasında yatmaktadır (Ukrayna SSR Bilimler Akademisi Akademisyeni B.V. Gnedenko, Akademisyen Yu.V. Prokhorov, B.A. Sevastyanov ve diğerleri).
Rastgele değişkenlerin kalıplarını inceleyen bir matematik bilimi olan olasılık teorisi, son on yılda modern bilim ve teknolojinin ana yöntemlerinden biri haline geldi. Otomatik kontrol teorisinin hızlı gelişimi, rastgele faktörlerden etkilenen süreçlerin olası seyrinin aydınlatılmasıyla ilgili çok sayıda sorunun çözülmesi ihtiyacını doğurmuştur. Olasılık teorisi, fizikçiler, biyologlar, doktorlar, ekonomistler, mühendisler, askeri personel, üretim yöneticileri vb. gibi çok çeşitli uzmanlar için gereklidir.

Dersin ilerleyişi.

BEN. Zamanı organize etmek.

II. Ödev kontrol ediliyor
Soruların cevapları şeklinde ön anket yapın:

Alıştırmaların çözümünü kontrol edin:

10 kişilik bir listeyi kaç farklı şekilde yapabilirsiniz?
15 işçiden her biri 5 kişilik ekipler oluşturmak için kaç farklı şekilde kullanılabilir?
30 öğrenci birbirleriyle fotoğraf kartı alışverişinde bulundu. Toplamda kaç adet fotoğraf kartı dağıtıldı?

III. Yeni materyal öğrenme.
S.I.'nin açıklayıcı sözlüğünde. Ozhegov ve N.Yu. Shvedova'yı okuyoruz: "Olasılık, gerçekleşme olasılığıdır, bir şeyin yapılabilirliğidir." Günlük yaşamda sıklıkla "muhtemelen", "daha muhtemel", "inanılmaz" ifadelerini kullanırız ve bu gerçekleşme olasılığına ilişkin belirli niceliksel tahminleri hiç aklımızda tutmayız.
Modern olasılık teorisinin kurucusu A.N. Kolmogorov olasılık hakkında şunları yazdı: "Matematiksel olasılık, herhangi bir belirli olayın belirli belirli koşullarda meydana gelme olasılığının derecesinin sınırsız sayıda tekrarlanabilen sayısal bir özelliğidir."
Yani matematikte olasılık bir sayıyla ölçülür. Çok yakında bunun tam olarak nasıl yapılabileceğini öğreneceğiz. Ancak hangi olayların “matematiksel olasılığa” sahip olduğunu ve bu “sınırsız sayıda tekrarlanabilen belirli koşulların” neler olduğunu tartışarak başlayacağız. Bu nedenle rastgele olayları ve rastgele deneyleri ele alacağız.
Olasılık teorisinin, matematiğin başka hiçbir alanı gibi çelişkiler ve paradokslarla dolu olmadığı söylenmelidir. Bunun açıklaması çok basit; bizi çevreleyen gerçek gerçeklikle çok yakından bağlantılı. Uzun bir süre, tamamen uygulamalı bilimler olarak kabul edilerek, matematiksel istatistikle birlikte matematiksel disiplinler olarak sınıflandırmak bile istemediler.
Sadece geçen yüzyılın ilk yarısında, esas olarak büyük yurttaşımız A.N.'nin çalışmaları sayesinde. Yukarıda adı geçen Kolmogorov, olasılık teorisinin matematiksel temellerini inşa ederek bilimin kendisini uygulamalarından ayırmayı mümkün kıldı. Kolmogorov tarafından önerilen yaklaşım artık genel olarak aksiyomatik olarak adlandırılıyor, çünkü içindeki olasılık (veya daha doğrusu olasılık alanı), belirli bir aksiyom sistemini karşılayan belirli bir matematiksel yapı olarak tanımlanıyor.
Mevcut tüm matematik öğretmenlerinin aynı anda geçtiği modern üniversite olasılık teorisi dersi bu yaklaşım üzerine inşa edilmiştir. Ancak okulda olasılık (ve genel olarak matematik) çalışmalarına böyle bir yaklaşım pek makul değildir. Bir üniversitede asıl vurgu olasılıksal modelleri incelemek için matematiksel aparatların incelenmesi ise, o zaman okulda öğrenci bu modelleri oluşturmayı öğrenmeli, analiz edin, gerçek durumlara uygunluklarını kontrol edin. Bu bakış açısı bugün okul matematik eğitimi sorunlarıyla ilgilenen bilim adamlarının çoğunluğu tarafından paylaşılmaktadır.
Modern okul ders kitaplarında aşağıdaki tanımı bulabilirsiniz: bir olaya denir rastgele Aynı koşullar altında gerçekleşebilir de olmayabilir de. Örneğin “Zar atıldığında 6 puan ortaya çıkacak” olayı rastgele olacaktır.
Yukarıdaki tanımda üstü kapalı olarak vurgulanması gereken önemli bir gereklilik vardır: Belirli bir olayın gözlemlendiği koşulların aynısını tekrar tekrar üretir(örneğin, bir küpü fırlatmak) - aksi takdirde rastgeleliğini yargılamak imkansızdır.
Bu nedenle, herhangi bir rastgele olaydan bahsederken, her zaman belirli koşulların varlığını kastediyoruz, bu olmadan bu olay hakkında konuşmanın hiçbir anlamı yok. Bu koşullar dizisine denir rastgele deneyim veya rastgele deney.
Daha öte rastgele bir deneyle ilişkili herhangi bir olayı rastgele olarak adlandıracağız. Bir deneyden önce, kural olarak, belirli bir olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceğinden emin olmak imkansızdır - bu ancak tamamlandıktan sonra netleşir. Ancak "kural olarak" ifadesini koymamız sebepsiz değildir: Olasılık teorisinde, rastgele bir deneyle ilişkili tüm olayların rastgele olduğunu düşünmek gelenekseldir; buna aşağıdakiler de dahildir:

imkansız bu asla olamaz;
güvenilir, bu tür her deneyde meydana gelen şey.

Örneğin “Zar 7 puan atacak” olayı imkansızdır ancak “Zar 7 puandan az atacak” olayı güvenilirdir. Tabii üzerinde 1'den 6'ya kadar sayıların yazılı olduğu bir küpten bahsediyorsak.
Olaylar denir uyumsuz her seferinde yalnızca birinin görünmesi mümkünse. Olaylar denir eklem yeri, eğer belirli koşullar altında bu olaylardan birinin meydana gelmesi, aynı deneme sırasında diğerinin de meydana gelmesini engellemiyorsa (Çantada iki top vardır - beyaz ve siyah, siyah bir topun ortaya çıkması olayın meydana gelmesini engellemez) aynı deneme sırasında beyaz olanın). Olaylar denir zıt, eğer testin koşulları altında, testin tek sonuçları olan bunlar uyumsuzsa. Bir olayın olasılığı, rastgele bir olayın meydana gelme olasılığının objektif bir ölçüsü olarak kabul edilir.

Tanımlar:
Rastgele olaylar (Latin alfabesinin büyük harfleriyle): A,B,C,D,.. (veya ). "Rastgele" atlanır ve sadece "olaylar" denir.
Belirli bir olayın meydana gelmesine elverişli sonuçların sayısı – m;
Tüm sonuçların (deneylerin) sayısı n'dir.
Olasılığın klasik tanımı.
Olasılık A olayı, bu olayın gerçekleşmesini destekleyen m sonuçlarının sayısının tüm sonuçların (tutarsız, yalnızca mümkün ve eşit derecede mümkün) n sayısına oranıdır;
– rastgele bir olayın olasılığı
Herhangi bir olayın olasılığı sıfırdan küçük ve birden büyük olamaz; 0≤P(A)≤1
İmkansız bir olay P(A)=0 olasılığına karşılık gelir ve güvenilir bir olay P(A)=1 olasılığına karşılık gelir

Olasılık toplama teoremleri.
Uyumsuz olayların olasılıklarını toplamak için teorem.
Hangisi olursa olsun, birkaç ikili uyumsuz olaydan birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Ortak olayların olasılıklarının eklenmesine ilişkin teorem.
İki ortak olaydan en az birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların ortak gerçekleşme olasılıkları hariç olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Üç ortak etkinlik için formül geçerlidir:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

A olayının karşısındaki olay (yani A olayının gerçekleşmemesi) ile gösterilir. İki zıt olayın olasılıklarının toplamı bire eşittir: P(A)+P()=1

B olayının halihazırda meydana geldiği varsayımıyla hesaplanan A olayının gerçekleşme olasılığına denir. şartlı olasılık olaylar A, B'ye tabidir ve (A) veya P(A/B) ile gösterilir.
A ve B bağımsız olaylar ise, o zaman
P(B)-(B)=(B).

A,B,C,... olaylarına denir toplamda bağımsız, diğer olayların ayrı ayrı veya bunların birleşiminden dolayı her birinin olasılığı değişmiyorsa.

Olasılık çarpım teoremleri.
Bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması için teorem.
İki bağımsız olayın birlikte meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir:
P(AB)=P(A) P(B)

Toplamda bağımsız olan birkaç olayın meydana gelme olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır:
P()=P() P()… P().

Bağımlı olayların olasılıklarının çarpılması için teorem.
İki bağımlı olayın birlikte meydana gelme olasılığı, bunlardan birinin çarpımına ve ikincisinin koşullu olasılığına eşittir:
P(AB)=P(A) (B)=P(B) (A)

IV. Tipik problemlerin çözümünde bilginin uygulanması
Görev 1.
1000 biletlik bir piyangoda 200 kazanan vardır. Bir bilet rastgele alınır. Bu biletin kazanma olasılığı nedir?
Çözüm: Etkinlik A bileti kazanıyor. Farklı sonuçların toplam sayısı n=1000'dir
Kazanmaya elverişli sonuçların sayısı m=200'dür. P(A)= formülüne göre P(A)== = 0,2 = 0,147 elde ederiz.

Sorun 4.
Kutu içerisinde 5'i standart olmak üzere rastgele düzenlenmiş 20 parça bulunmaktadır. Bir işçi rastgele 3 parça alıyor. Alınan parçalardan en az birinin standart olma olasılığını bulun.

Görev 5.
Rastgele seçilen iki basamaklı bir sayının 3'ün, 5'in veya her ikisinin katı olma olasılığını bulun

Görev 6.
Bir torbada 4 beyaz ve 8 siyah top, diğerinde ise 3 beyaz ve 9 siyah top bulunmaktadır. Her torbadan bir top alındı. Her iki topun da beyaz olma olasılığını bulun.
Çözüm: A, birinci torbadaki beyaz topun görünümü ve B, ikinci torbadaki beyaz topun görünümü olsun. A ve B olaylarının bağımsız olduğu açıktır. P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4'ü bulalım, şunu elde ederiz:
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0,083

Görev 7.
Kutuda 8'i standart olmak üzere 12 parça bulunmaktadır. Bir işçi rastgele iki parçayı birbiri ardına alır. Her iki parçanın da standart olma olasılığını bulun.
Çözüm: Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: A – alınan ilk kısım standarttır; B – alınan ikinci kısım standarttır. İlk parçanın standart olma olasılığı P(A)=8/12=2/3'tür. Birinci parçanın standart olması şartıyla, alınan ikinci parçanın standart olma olasılığı, yani. B olayının koşullu olasılığı (B)=7/11'e eşittir.
Her iki parçanın da standart çıkma olasılığı, bağımlı olayların olasılıklarını çarpma teoremi kullanılarak bulunur:
P(AB)=P(A) (B)=(2/3) (7/11)=14/33=0,424

Bilgi, beceri ve yeteneklerin bağımsız uygulanması.
Seçenek 1.

40 ile 70 arasında rastgele seçilen bir tam sayının 6'nın katı olma olasılığı nedir?
Bir para beş kez havaya atıldığında üç kez yere düşme olasılığı nedir?

Seçenek 2.

1 ile 30 (dahil) arasında rastgele seçilen bir tam sayının 30'a bölen olma olasılığı nedir?
Araştırma enstitüsünde 70'i İngilizce, 60'ı Almanca ve 50'si her ikisini de bilen 120 kişi çalışıyor. Rastgele seçilen bir çalışanın tek bir yabancı dil bilmeme olasılığı nedir?

VI. Dersi özetlemek.

VII. Ev ödevi:
G.N. Yakovlev, matematik, kitap 2, § 24.1, 24.2, s. 365-386. Alıştırmalar 24.11, 24.12, 24.17

Olasılık teorisinin incelenmesi, olasılıkların toplanması ve çarpılmasıyla ilgili problemlerin çözümüyle başlar. Bir öğrencinin bu bilgi alanında uzmanlaşırken bir sorunla karşılaşabileceğini hemen belirtmekte fayda var: eğer fiziksel veya kimyasal süreçler görsel olarak temsil edilebiliyor ve ampirik olarak anlaşılabiliyorsa, o zaman matematiksel soyutlama düzeyi çok yüksektir ve burada anlayış sadece gelir. tecrübe ile.

Bununla birlikte, oyun muma değer çünkü formüller - hem bu makalede tartışılanlar hem de daha karmaşık olanlar - bugün her yerde kullanılıyor ve işte faydalı olabilir.

Menşei

İşin tuhafı, matematiğin bu dalının gelişmesinin itici gücü kumardı. Aslında zar, yazı tura, poker, rulet, olasılıkların toplanması ve çarpılmasının kullanıldığı tipik örneklerdir. Bu, herhangi bir ders kitabındaki problem örnekleri kullanıldığında açıkça görülebilir. İnsanlar kazanma şanslarını nasıl artıracaklarını öğrenmekle ilgileniyorlardı ve bazılarının bunu başardığını da söylemek gerekir.

Örneğin, zaten 21. yüzyılda, adını açıklamayacağımız bir kişi, yüzyıllar boyunca biriken bu bilgiyi kumarhaneyi kelimenin tam anlamıyla "temizlemek" için kullandı ve rulette birkaç on milyonlarca dolar kazandı.

Ancak konuya olan ilginin artmasına rağmen, “teoremi” tamamlayan teorik bir çerçeve ancak 20. yüzyılda geliştirildi. Bugün neredeyse her bilim dalında olasılıksal yöntemleri kullanan hesaplamalar bulunabilir.

Uygulanabilirlik

Olasılıkları ve koşullu olasılığı toplamak ve çarpmak için formüller kullanırken önemli bir nokta, merkezi limit teoreminin karşılanabilirliğidir. Aksi takdirde öğrenci farkına varmasa da tüm hesaplamalar ne kadar akla yatkın görünürse görünsün hatalı olacaktır.

Evet, motivasyonu yüksek bir öğrenci her fırsatta yeni bilgiyi kullanma eğilimindedir. Ancak bu durumda biraz yavaşlamak ve uygulanabilirliğin kapsamını kesin olarak özetlemek gerekir.

Olasılık teorisi, ampirik açıdan deneylerin sonuçlarını temsil eden rastgele olaylarla ilgilenir: altı yüzlü bir zarı atabiliriz, desteden bir kart çekebiliriz, bir partideki kusurlu parçaların sayısını tahmin edebiliriz. Ancak bazı sorularda matematiğin bu bölümündeki formüllerin kullanılması kesinlikle yasaktır. Bir olayın olasılıklarını dikkate almanın özelliklerini, olayların toplama ve çarpma teoremlerini yazının sonunda ele alacağız, ancak şimdilik örneklere dönelim.

Temel konseptler

Rastgele bir olay, bir deneyin sonucunda ortaya çıkabilecek veya çıkmayabilecek bazı süreç veya sonuçları ifade eder. Örneğin, bir sandviçi fırlatıyoruz; tereyağlı kısmı yukarıya veya tereyağlı kısmı aşağıya düşebilir. Her iki sonuçtan biri rastgele olacaktır ve hangisinin gerçekleşeceğini önceden bilemeyiz.

Olasılıkların toplanması ve çarpımı üzerinde çalışırken iki kavrama daha ihtiyacımız olacak.

Birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini engellemeyen bu tür olaylara ortak denir. Diyelim ki iki kişi aynı anda hedefe ateş ediyor. Bunlardan biri başarılı bir tane üretirse, bu, ikincisinin hedefi vurma veya ıskalama yeteneğini hiçbir şekilde etkilemeyecektir.

Uyumsuz olaylar, aynı anda gerçekleşmesi imkansız olan olaylar olacaktır. Örneğin bir kutudan yalnızca bir top çıkarırsanız hem maviyi hem de kırmızıyı aynı anda alamazsınız.

Tanım

Olasılık kavramı Latin büyük harfi P ile gösterilir. Sonraki parantez içinde belirli olayları ifade eden argümanlar yer alır.

Toplama teoremi, koşullu olasılık ve çarpma teoremi formüllerinde parantez içindeki ifadeleri göreceksiniz, örneğin: A+B, AB veya A|B. Çeşitli şekillerde hesaplanacaklar ve şimdi onlara döneceğiz.

Ek

Olasılıkları toplama ve çarpma formüllerinin kullanıldığı durumları ele alalım.

Uyumsuz olaylar için en basit toplama formülü uygundur: Rastgele sonuçlardan herhangi birinin olasılığı, bu sonuçların her birinin olasılıklarının toplamına eşit olacaktır.

Diyelim ki 2 mavi, 3 kırmızı ve 5 sarı bilyeden oluşan bir kutu var. Kutu içerisinde toplam 10 adet ürün bulunmaktadır. Mavi veya kırmızı bir top çekeceğimiz ifadesinin doğruluğu nedir? 2/10 + 3/10 yani yüzde elli olacaktır.

Uyumsuz olaylar durumunda, ek bir terim eklendiğinden formül daha karmaşık hale gelir. Başka bir formülü ele aldıktan sonra bir paragrafta buna dönelim.

Çarpma işlemi

Bağımsız olayların olasılıklarının toplanması ve çarpılması farklı durumlarda kullanılır. Deneyin koşullarına göre olası iki sonuçtan herhangi biri bizi tatmin ediyorsa toplamı hesaplayacağız; Eğer iki kesin sonucu arka arkaya elde etmek istiyorsak farklı bir formüle başvuracağız.

Önceki bölümdeki örneğe dönersek, önce mavi topu, sonra kırmızı topu çizmek istiyoruz. İlk sayıyı biliyoruz; 2/10. Sonra ne olur? 9 top kaldı ve hala aynı sayıda kırmızı top var - üç. Hesaplamalara göre 3/9 veya 1/3 olacaktır. Peki şimdi iki sayıyla ne yapmalı? Doğru cevap 2/30 elde etmek için çarpmaktır.

Ortak etkinlikler

Artık ortak etkinlikler için tekrar toplam formülüne dönebiliriz. Konudan neden uzaklaştık? Olasılıkların nasıl çarpıldığını bulmak için. Şimdi bu bilgiye ihtiyacımız olacak.

İlk iki terimin ne olacağını zaten biliyoruz (daha önce tartışılan toplama formülündekiyle aynı), ancak şimdi hesaplamayı öğrendiğimiz olasılıkların çarpımını çıkarmamız gerekiyor. Açıklık sağlamak için şu formülü yazalım: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Olasılıkların hem toplanmasının hem de çarpımının tek bir ifadede kullanıldığı ortaya çıktı.

Diyelim ki kredi alabilmek için iki sorundan herhangi birini çözmemiz gerekiyor. Birincisini 0,3 olasılıkla, ikincisini ise 0,6 olasılıkla çözebiliriz. Çözüm: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Sadece buradaki sayıları toplamanın yeterli olmayacağını unutmayın.

Şartlı olasılık

Son olarak, argümanları parantez içinde gösterilen ve dikey bir çubukla ayrılan koşullu olasılık kavramı vardır. P(A|B) girişi şu şekildedir: "B olayı verildiğinde A olayının olasılığı."

Bir örneğe bakalım: Bir arkadaşınız size bir cihaz veriyor, telefon olsun. Kırık (%20) veya sağlam (%80) olabilir. Elinize geçen herhangi bir cihazı 0,4 olasılıkla onarırsınız ya da onaramazsınız (0,6). Son olarak eğer cihaz çalışır durumda ise 0,7 olasılıkla doğru kişiye ulaşabilirsiniz.

Bu durumda koşullu olasılığın nasıl işlediğini görmek kolaydır: Telefonu bozuksa bir kişiye ulaşamazsınız, ancak çalışıyorsa onu tamir etmenize gerek yoktur. Bu nedenle, “ikinci seviyede” herhangi bir sonuç elde etmek için, ilkinde hangi olayın gerçekleştirildiğini bulmanız gerekir.

Hesaplamalar

Önceki paragraftaki verileri kullanarak olasılıkların toplanması ve çarpılmasıyla ilgili problem çözme örneklerine bakalım.

Öncelikle size verilen cihazı tamir etme olasılığınızı bulalım. Bunun için öncelikle arızalı olması, ikinci olarak ise onu düzeltebilmeniz gerekir. Bu, çarpma işleminin kullanıldığı tipik bir problemdir: 0,2 * 0,4 = 0,08 elde ederiz.

Hemen doğru kişiye ulaşma olasılığınız nedir? Bu kadar basit: 0,8*0,7 = 0,56. Bu durumda telefonun çalıştığını gördünüz ve aramayı başarıyla yaptınız.

Son olarak şu senaryoyu düşünün: Bozuk bir telefon alırsınız, tamir edersiniz, sonra bir numara çevirirsiniz ve karşı taraftaki kişi telefonu açar. Burada zaten üç bileşeni çarpmamız gerekiyor: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Aynı anda çalışmayan iki telefonunuz varsa ne yapmalısınız? Bunlardan en az birini düzeltme olasılığınız nedir? ortak olaylar kullanıldığından olasılıkların toplanması ve çarpılması üzerine. Çözüm: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Böylece, iki cihazınız bozulursa vakaların %64'ünde tamir edebileceksiniz.

Dikkatli Kullanım

Yazının başında da belirttiğimiz gibi olasılık teorisinin kullanımı bilinçli ve bilinçli olmalıdır.

Deney serisi ne kadar büyük olursa, teorik olarak tahmin edilen değer pratikte elde edilen değere o kadar yaklaşır. Örneğin bozuk para atıyoruz. Teorik olarak olasılıkları toplama ve çarpma formüllerinin varlığını bilerek, deneyi 10 kez yaparsak kaç kez yazı ve tura geleceğini tahmin edebiliriz. Bir deney yaptık ve tesadüfen çizilen kenarların oranı 3'e 7 oldu. Ancak 100, 1000 veya daha fazla deneme serisi yaparsak, dağılım grafiğinin teorik olana giderek yaklaştığı ortaya çıkıyor: 44 ila 56, 482 ila 518 vb.

Şimdi bu deneyin madeni parayla değil, olasılığını bilmediğimiz bazı yeni kimyasal maddelerin üretimiyle yapıldığını hayal edin. 10 deney yapacağız ve başarılı bir sonuç alamadan şöyle bir genelleme yapabiliriz: “maddeyi elde etmek imkansızdır.” Ama kim bilir, on birinci denemeyi yapsaydık hedefe ulaşır mıydık?

Yani bilinmeyene, keşfedilmemiş bir alana gidiyorsanız olasılık teorisi geçerli olmayabilir. Bu durumda sonraki her girişim başarılı olabilir ve "X yoktur" veya "X imkansızdır" gibi genellemeler erken olacaktır.

Son söz

Böylece iki tür toplama işlemine, çarpma ve koşullu olasılıklara baktık. Bu alanın daha fazla incelenmesiyle, her bir özel formülün kullanıldığı durumları ayırt etmeyi öğrenmek gerekir. Ek olarak, olasılıksal yöntemlerin probleminizin çözümünde genel olarak uygulanabilir olup olmadığını da hayal etmeniz gerekir.

Pratik yaparsanız bir süre sonra gerekli tüm işlemleri yalnızca zihninizde yapmaya başlayacaksınız. Kart oyunlarıyla ilgilenenler için bu beceri son derece değerli sayılabilir - yalnızca belirli bir kartın veya rengin düşme olasılığını hesaplayarak kazanma şansınızı önemli ölçüde artıracaksınız. Ancak edinilen bilgilerin diğer faaliyet alanlarında kolaylıkla uygulanmasını bulabilirsiniz.

Olasılık ekleme teoremi

Uyumsuz rastgele olayları ele alalım.

Aynı denemedeki uyumsuz rastgele olayların $A$ ve $B$'ın sırasıyla $P\left(A\right)$ ve $P\left(B\right)$ oluşma olasılıklarına sahip olduğu bilinmektedir. Bu olayların $A+B$ toplamının olasılığını, yani en az birinin gerçekleşme olasılığını bulalım.

Teorem 1

Birbiriyle bağdaşmayan iki olayın toplamının olasılığı, bunların olasılıklarının toplamına eşittir.

Not 1

Sonuç 1. Herhangi bir sayıda uyumsuz olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir.

Sonuç 2. Tam bir uyumsuz olaylar grubunun olasılıklarının toplamı (tüm temel olayların olasılıklarının toplamı) bire eşittir.

Sonuç 3. Zıt olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir çünkü bunlar tam bir uyumsuz olaylar grubu oluşturur.

örnek 1

Şehre bir süre hiç yağmur yağmama olasılığı $p=0,7$'dır. Aynı süre içinde şehre en az bir kez yağmur yağması $q$ olasılığını bulun.

“Şehre bir süre hiç yağmur yağmadı” ile “bir süre şehre en az bir kez yağmur yağdı” olayları birbirine zıt. Dolayısıyla $p+q=1$, dolayısıyla $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Ortak rastgele olayları ele alalım.

Aynı denemedeki ortak rastgele olayların $A$ ve $B$'ın sırasıyla $P\left(A\right)$ ve $P\left(B\right)$ oluşma olasılıklarına sahip olduğu bilinmektedir. Bu olayların $A+B$ toplamının olasılığını, yani en az birinin gerçekleşme olasılığını bulalım.

Belirli bir testte eşit derecede olası tüm temel olayların sayısının $n$ olduğunu varsayalım. Bunlardan $A$ ve $B$ olayları, sırasıyla $m_(A) $ ve $m_(B) $ temel olaylar tarafından tercih edilir. $A$ ve $B$ olayları uyumlu olduğundan, $m_(A) +m_(B) $ temel olaylarının toplam sayısından belirli sayıda $m_(AB) $, her iki $A olayını da destekler. $ ve $B$ olayı, yani bunların ortak oluşumu ($A\cdot B$ olaylarının üretimi). Bu $m_(AB) $ miktarı aynı anda hem $m_(A) $ hem de $m_(B) $ olarak girilir. Yani $A+B$ olayı $m_(A) +m_(B) -m_(AB) tarafından tercih edilir $ temel olaylar. Elimizde: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\ doğru) $.

Teorem 2

İki ortak olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamından bunların çarpımının olasılığının çıkarılmasına eşittir.

Yorum. Eğer $A$ ve $B$ olayları tutarsızsa, bu durumda bunların ürünü $A\cdot B$ imkansız bir olaydır ve olasılığı $P\left(A\cdot B\right)=0$'dır. Sonuç olarak, uyumsuz olayların olasılıklarını toplama formülü, ortak olayların olasılıklarını toplama formülünün özel bir durumudur.

Örnek 2

İki zar aynı anda atıldığında en az bir kez 5 sayısının gelme olasılığını bulun.

Aynı anda iki zar atıldığında, eşit derecede olası tüm temel olayların sayısı $n=36$ olur, çünkü ilk zarın her numarası için ikinci zarın altı sayısı görünebilir. Bunlardan $A$ olayı (ilk zarda 5 sayısının düşmesi) 6 kez gerçekleşirken, $B$ (ikinci zarda 5 sayısının düşmesi) olayı da 6 kez gerçekleşir. On iki defadan 5 rakamı her iki zarda da bir kez belirir. Böylece, $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .

Olasılık çarpım teoremi

Bağımsız olayları ele alalım.

İki ardışık denemede meydana gelen $A$ ve $B$ olayları, $B$ olayının meydana gelme olasılığı $A$ olayının meydana gelip gelmemesine bağlı değilse bağımsız olarak adlandırılır.

Örnek: Bir torbada 2 beyaz ve 2 siyah top olsun. Test topu geri almaktır. $A$ olayı "ilk denemede beyaz topun çekilmesidir." Olasılık $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. İlk testin ardından top yerine yerleştirildi ve ikinci bir test yapıldı. Etkinlik $B$ -- ``İkinci denemede beyaz top çekiliyor''. Olasılık $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. $P\left(B\right)$ olasılığı, $A$ olayının gerçekleşip gerçekleşmediğine bağlı değildir, dolayısıyla $A$ ve $B$ olayları bağımsızdır.

Ardışık iki denemedeki bağımsız rastgele olaylar $A$ ve $B$'ın sırasıyla $P\left(A\right)$ ve $P\left(B\right)$ gerçekleşme olasılıklarına sahip olduğu bilinmektedir. Bu olayların $A\cdot B$ çarpımının olasılığını, yani bunların ortak gerçekleşme olasılığını bulalım.

İlk testte eşit derecede olası tüm temel olayların sayısının $n_(1) $ olduğunu varsayalım. Bunlardan $A$ olayı, $m_(1)$ temel olaylar tarafından tercih edilir. Ayrıca ikinci testte eşit derecede olası tüm temel olayların sayısının $n_(2) $ olduğunu varsayalım. Bunlardan $B$ olayı, $m_(2)$ temel olaylar tarafından tercih edilir. Şimdi birinci ve ikinci testlerdeki olayların ardışık olarak ortaya çıkmasından oluşan yeni bir temel olayı düşünün. Bu tür eşit derecede olası temel olayların toplam sayısı $n_(1) \cdot n_(2) $'a eşittir. $A$ ve $B$ olayları bağımsız olduğundan, bu sayıdan $A$ olayı ve $B$ olayının ($A\cdot B$ olaylarının çarpımı) ortak oluşumu $m_(1) \ tarafından tercih edilir. cdot m_(2) $ olaylar . Elimizde: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Teorem 3

İki bağımsız olayın çarpımının olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.

Bağımlı olaylara bakalım.

Ardışık iki denemede $A$ ve $B$ olayları meydana gelir. $B$ olayının meydana gelme olasılığı $A$ olayının gerçekleşip gerçekleşmemesine bağlıysa, $B$ olayı $A$ olayına bağımlı olarak adlandırılır. Daha sonra, $A$ olayının gerçekleşmesi koşuluyla hesaplanan $B$ olayının olasılığına, $A$ verildiğinde $B$ olayının koşullu olasılığı denir ve $P\left(B/A\ doğru)$.

Örnek: Bir torbada 2 beyaz ve 2 siyah top olsun. Test topun çıkarılmasıdır. $A$ olayı "ilk denemede beyaz topun çekilmesidir." Olasılık $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Birinci testten sonra top geri konulmaz ve ikinci test yapılır. Etkinlik $B$ -- ``İkinci denemede beyaz top çekiliyor''. İlk denemede beyaz bir top çekilirse, olasılık $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $ olur. İlk denemede siyah bir top çekildiyse, olasılık $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $'dır. Dolayısıyla, $B$ olayının olasılığı $A$ olayının gerçekleşip gerçekleşmediğine bağlıdır, dolayısıyla $B$ olayı $A$ olayına bağlıdır.

$A$ ve $B$ olaylarının ardışık iki denemede gerçekleştiğini varsayalım. $A$ olayının $P\left(A\right)$ gerçekleşme olasılığının olduğu bilinmektedir. Ayrıca $B$ olayının $A$ olayına bağlı olduğu ve verilen $A$ koşullu olasılığının $P\left(B/A\right)$'a eşit olduğu da bilinmektedir.

Teorem 4

Bir $A$ olayı ile bağımlı bir $B$ olayının çarpımının olasılığı, yani bunların ortak olarak ortaya çıkma olasılığı, $P\left(A\cdot B\right)=P\ formülüyle bulunabilir. left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

$P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ simetrik formülü de geçerlidir; burada $A$ olayının gerçekleştiği varsayılır. $B$ olayına bağımlı olmak.

Son örneğin koşulları için her iki denemede de beyaz topun çekilme olasılığını buluyoruz. Böyle bir olay $A$ ve $B$ olaylarının ürünüdür. Olasılığı şuna eşittir: $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \ frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Olay kavramı ve olayın olasılığı. Güvenilir ve imkansız olaylar. Olasılığın klasik tanımı. Olasılık toplama teoremi. Olasılık çarpımı teoremi. Olasılıkların eklenmesini kullanarak olasılığı belirlemenin en basit problemlerini çözme.

Konu 3.1 için yönergeler:

Olay kavramı ve olayın olasılığı. Güvenilir ve imkansız olaylar. Olasılıkların klasik tanımı:

Her olgunun gözlem veya deney sırasına göre incelenmesi, belirli bir dizi koşulun (testler) uygulanmasıyla ilişkilidir. Bir testin her sonucu veya sonucu denir etkinlik.

Bir olay belirli koşullar altında gerçekleşebilir veya gerçekleşemez ise buna denir. rastgele. Bir olayın olacağı kesinse buna denir güvenilir ve bunun açıkça gerçekleşemeyeceği durumda, - imkansız.

Olaylar denir uyumsuz her seferinde yalnızca birinin görünmesi mümkünse. Olaylar denir eklem yeri, Belirli koşullar altında bu olaylardan birinin meydana gelmesi, aynı test sırasında bir diğerinin meydana gelmesini dışlamıyorsa.

Olaylar denir zıt, eğer testin koşulları altında, testin tek sonuçları olan bunlar uyumsuzsa.

Bir olayın olasılığı, rastgele bir olayın meydana gelme olasılığının objektif bir ölçüsü olarak kabul edilir.

Olasılık olayların sonuç sayısının oranı denir M, belirli bir olayın gerçekleşmesi için tüm sonuçların n sayısına kadar uygun (uyumsuz, yalnızca mümkün ve eşit derecede mümkün), yani.

Herhangi bir olayın olasılığı sıfırdan küçük ve birden büyük olamaz; . İmkansız bir olay bir olasılığa, güvenilir bir olay ise bir olasılığa karşılık gelir.

Örnek 1. 1000 biletlik bir piyangoda 200 kazanan vardır. Bir bilet rastgele alınır. Bu biletin kazanma olasılığı nedir?

Farklı sonuçların toplam sayısı N= 1000. Kazanmaya elverişli sonuçların sayısı M= 200. Formüle göre şunu elde ederiz:

Örnek 2. İçinde 5 beyaz ve 3 siyah top bulunan bir torbadan bir top çekiliyor. Topun siyah olma olasılığını bulunuz.

Siyah topun ortaya çıkması olayını ile gösterelim. Toplam vaka sayısı. Vaka sayısı M Olayın gerçekleşmesi için uygun olan 3'e eşittir. Formülü kullanarak şunu elde ederiz.

Örnek 3. İçinde 12 beyaz ve 8 siyah top bulunan bir torbadan rastgele iki top çekiliyor. Her iki topun da siyah olma olasılığı nedir?

İki siyah topun ortaya çıkması olayını ile gösterelim. Olası vakaların toplam sayısı N 20 elementin (12 + 8) iki ile kombinasyon sayısına eşittir:

Vaka sayısı M olayın lehine,

Formülü kullanarak iki siyah topun ortaya çıkma olasılığını buluyoruz:

Olasılık toplama teoremi. Olasılık toplama teoremini kullanarak olasılığı belirlemenin en basit problemlerini çözme:

Uyumsuz olayların olasılıklarını toplamak için teorem. Hangisi olursa olsun, birkaç ikili uyumsuz olaydan birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

Ortak olayların olasılıklarının eklenmesine ilişkin teorem.İki ortak olaydan en az birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların ortak gerçekleşme olasılıkları hariç olasılıklarının toplamına eşittir:

Örnek 4. Bir kutuda beşi standart olmak üzere rastgele düzenlenmiş 20 parça bulunmaktadır. Bir işçi rastgele üç parça alıyor. Seçilen parçalardan en az birinin standart olma olasılığını bulun.

Açıkçası, üç uyumsuz olaydan herhangi birinin meydana gelmesi durumunda alınan parçalardan en az biri standart olacaktır: B- bir parça standart, iki parça standart değil; C- iki standart parça, biri standart olmayan ve D- üç parça standarttır.

Yani olay A bu üç olayın toplamı olarak temsil edilebilir: A = B + C + D. Elimizdeki toplama teoremi ile P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Bu olayların her birinin olasılığını bulun:

Bulunan değerleri ekleyerek şunu elde ederiz:

Örnek 5. Rastgele seçilen iki basamaklı bir sayının 3'ün, 5'in ya da her ikisinin katı olma olasılığını bulun.

İzin vermek A- Rastgele seçilen bir sayının 3'ün katı olmasından oluşan bir olay ve B- 5'in katı mı? Hadi bulalım. A Ve B ortak etkinlikler varsa şu formülü kullanırız:

Toplamda 90 adet iki basamaklı sayı vardır: 10, 11, 98, 99. Bunlardan 30'u 3'ün katıdır (olayın gerçekleşmesini desteklemektedir) A); 18 - 5'in katları (bir olayın gerçekleşmesini destekler) B) ve 6 - 3 ve 5'in katları aynı anda (olayın gerçekleşmesini destekler) AB). Böylece, yani.

Olasılık çarpımı teoremi:

Bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması için teorem.İki bağımsız olayın birlikte meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir:

Toplamda bağımsız olan birkaç olayın meydana gelme olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Bağımlı olayların olasılıklarının çarpılması için teorem.İki bağımlı olayın birlikte meydana gelme olasılığı, bunlardan birinin çarpımına ve ikincisinin koşullu olasılığına eşittir:

Örnek 6. Bir torbada 4 beyaz ve 8 siyah top, diğerinde ise 3 beyaz ve 9 siyah top bulunmaktadır. Her torbadan bir top alındı. Her iki topun da beyaz olma olasılığını bulun.

Birinci torbadan beyaz bir topun görünmesine izin verin ve ikinci torbadan beyaz bir topun görünmesine izin verin. Olayların bağımsız olduğu açıktır. Bulacağız

Elde ettiğimiz formülü kullanarak:

Konu 3.1 ile ilgili kendi kendine test soruları:

1. Etkinlik nedir?

2. Hangi olaylara güvenilir denir?

3. Hangi olaylara imkansız denir?

4. Olasılığı tanımlayın.

5. Olasılıkların eklenmesine ilişkin teoremi formüle edin.

6. Olasılık çarpım teoremini formüle edin.

Konu 3.1'de bağımsız çözüme yönelik görevler:

1. Bir kutuda 4'ü standart olmak üzere rastgele sırayla 10 parça bulunur. Müfettiş rastgele 3 parça aldı. Alınan parçalardan en az birinin standart çıkma olasılığını bulunuz.

2. Bir kavanozda 10 beyaz, 15 siyah, 20 mavi ve 25 kırmızı top bulunmaktadır. Çekilen topun: 1) beyaz olma olasılığını bulun; 2) siyah veya kırmızı.

3. Rastgele seçilen iki basamaklı bir sayının 4'ün, 5'in ya da her ikisinin katı olma olasılığını bulun.

4. Bir işçi birbirinden bağımsız çalışan iki makineye hizmet veriyor. Birinci makinenin bir saat içinde işçi müdahalesine ihtiyaç duymama olasılığı 0,8, ikinci makine için ise bu olasılık 0,7'dir. Bir saat içinde tek bir makinenin bile bir işçinin ilgisine ihtiyaç duymama olasılığını bulun.

5. Vazoda 3'ü beyaz olmak üzere 6 top bulunmaktadır. Ard arda rastgele iki top çekiliyor. Her iki topun da beyaz olma olasılığını hesaplayın.

6. Bir kavanozda 10 beyaz ve 6 siyah top bulunmaktadır. Art arda rastgele çekilen üç topun siyah çıkma olasılığını bulun.