Belirli bir maddi nesneler sisteminin sabit bir koordinat sistemine göre hareketini ele alalım. Sistem özgür olmadığında, sisteme dayatılan bağlantıları atarsak ve onların eylemlerini karşılık gelen reaksiyonlarla değiştirirsek, serbest olarak kabul edilebilir.

Sisteme uygulanan tüm kuvvetleri dış ve iç olarak ayıralım; her ikisi de atılan reaksiyonları içerebilir

bağlantılar. A noktasına göre dış kuvvetlerin ana vektörünü ve ana momentini gösterelim.

1. Momentumdaki değişime ilişkin teorem. Sistemin hareket miktarı ise (bkz.)

yani teorem geçerlidir: Sistemin momentumunun zamana göre türevi, tüm dış kuvvetlerin ana vektörüne eşittir.

Sistemin kütlesi, kütle merkezinin hızı olan ifadesi ile vektörün yerine geçerek denklem (4.1)'e farklı bir form verilebilir:

Bu eşitlik, sistemin kütle merkezinin, kütlesi sistemin kütlesine eşit olan ve sistemin tüm dış kuvvetlerinin ana vektörüne geometrik olarak eşit bir kuvvetin uygulandığı maddi bir nokta gibi hareket etmesi anlamına gelir. Son ifadeye sistemin kütle merkezinin (atalet merkezi) hareketine ilişkin teorem denir.

O halde (4.1)'den momentum vektörünün büyüklük ve yön bakımından sabit olduğu sonucu çıkar. Bunu koordinat eksenine yansıtarak, sistemin çift tepe noktasının diferansiyel denklemleri olan üç skaler birinci integral elde ederiz:

Bu integrallere momentum integralleri denir. Kütle merkezinin hızı sabit olduğunda, yani düzgün ve doğrusal olarak hareket eder.

Dış kuvvetlerin ana vektörünün herhangi bir eksendeki, örneğin bir eksendeki izdüşümü sıfıra eşitse, o zaman bir birinci integralimiz olur veya ana vektörün iki izdüşümü sıfıra eşitse, o zaman iki tane vardır. Momentumun integralleri.

2. Kinetik momentumdaki değişime ilişkin teorem. A'nın uzayda herhangi bir rastgele nokta (hareketli veya sabit) olduğunu varsayalım; bu nokta, tüm hareket süresi boyunca sistemin herhangi bir spesifik maddi noktasıyla mutlaka çakışmasın. Sabit bir koordinat sistemindeki hızını şu şekilde gösteririz: Bir malzeme sisteminin A noktasına göre kinetik momentindeki değişime ilişkin teorem şu şekildedir:

A noktası sabitse eşitlik (4.3) daha basit bir biçim alır:

Bu eşitlik, bir sistemin açısal momentumunun sabit bir noktaya göre değişimi hakkındaki teoremi ifade eder: Sistemin açısal momentumunun sabit bir noktaya göre hesaplanan zamana göre türevi, tüm dış kuvvetlerin göreceli temel momentine eşittir. bu noktaya.

O halde (4.4)'e göre açısal momentum vektörünün büyüklüğü ve yönü sabittir. Bunu koordinat eksenlerine yansıtarak, çift sistemin diferansiyel denklemlerinin skaler birinci integrallerini elde ederiz:

Bu integrallere momentum integralleri veya alan integralleri denir.

A noktası sistemin kütle merkezi ile çakışırsa, eşitliğin sağ tarafındaki ilk terim (4.3) kaybolur ve açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem, aşağıdaki durumda olduğu gibi aynı yazı biçimine (4.4) sahip olur. sabit bir A noktası. Söz konusu durumda, eşitliğin (4.4) sol tarafındaki sistemin mutlak açısal momentumunun, sistemin eşit açısal momentumu ile değiştirilebileceğine dikkat edin (bkz. s. 4 § 3). kütle merkezine göre hareket halindedir.

Sistemin kütle merkezinden geçen sabit bir eksen veya sabit doğrultuda bir eksen olsun ve sistemin bu eksene göre kinetik momenti olsun. (4.4)'ten şu sonuç çıkıyor

eksene göre dış kuvvetlerin momenti nerede. Tüm hareket boyunca ilk integrale sahipsek

S.A. Chaplygin'in çalışmalarında, kinetik momentumdaki değişime ilişkin teoremin çeşitli genellemeleri elde edildi ve bunlar daha sonra yuvarlanan toplarla ilgili bir dizi problemi çözmek için uygulandı. Mekanik momentteki değişime ilişkin teoremin daha ileri genellemeleri ve bunların katı cisim dinamiği problemlerindeki uygulamaları çalışmalarda yer almaktadır. Bu çalışmaların ana sonuçları, sürekli olarak hareketli bir A noktasından geçen hareketli bir momentuma göre kinetik momentumun değişmesine ilişkin teorem ile ilgilidir. Bu eksen boyunca yönlendirilmiş bir birim vektör olsun. Eşitliğin (4.3) her iki tarafıyla skaler olarak çarpılıp terimi iki kısmına ekleyerek şunu elde ederiz:

Kinematik koşul karşılandığında

Denklem (4.5), (4.7)'den gelmektedir. Ve eğer (4.8) koşulu tüm hareket boyunca sağlanırsa, o zaman birinci integral (4.6) mevcuttur.

Sistemin bağlantıları idealse ve sanal yer değiştirmeler arasında sistemin eksen etrafında katı bir cisim olarak dönmesine izin veriyorsa ve o zaman reaksiyonların eksene göre ana momenti sıfıra eşitse ve ardından değer Denklemin (4.5) sağ tarafı tüm dış aktif kuvvetlerin eksene göre ana momentini temsil eder ve . Bu momentin sıfıra eşitliği ve (4.8) ilişkisinin geçerliliği, integralin (4.6) varlığı için yeterli koşulların dikkate alınması durumunda olacaktır.

Eksen yönü sabit ise (4.8) koşulu şu şekilde yazılacaktır:

Bu eşitlik, kütle merkezinin hızı ile A noktasının hızının eksen ve buna dik düzlem üzerindeki izdüşümlerinin paralel olduğu anlamına gelir. S.A. Chaplygin'in çalışmasında (4.9) yerine, X'in keyfi bir sabit değer olduğu daha az genel bir koşulun yerine getirilmesi gerekmektedir.

(4.8) koşulunun noktasının seçimine bağlı olmadığına dikkat edin. Aslında P eksen üzerinde keyfi bir nokta olsun. Daha sonra

ve bu nedenle

Sonuç olarak, Rézal'in (4.1) ve (4.4) denklemlerine ilişkin geometrik yorumuna dikkat ediyoruz: vektörlerin uçlarının mutlak hız vektörleri ve sırasıyla, A noktasına göre tüm dış kuvvetlerin ana vektörüne ve ana momentine eşittir. .

BELARUS CUMHURİYETİ TARIM VE GIDA BAKANLIĞI

Eğitim kurumu "BELARUS DEVLET TARIM

TEKNİK ÜNİVERSİTE"

Teorik Mekanik ve Mekanizmalar ve Makineler Teorisi Bölümü

TEORİK MEKANİK

uzmanlık öğrencileri için metodolojik kompleks

74 06 Tarım Mühendisliği

2 bölüm halinde Bölüm 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Tarafından düzenlendi:

Fiziksel ve Matematik Bilimleri Adayı, Doçent Yu. S. Biza, teknik bilimler adayı, doçent N. L. Rakova, kıdemli öğretim görevlisi. A. Taraseviç

İnceleyenler:

"Belarus Ulusal Teknik Üniversitesi" Eğitim Kurumu Teorik Mekanik Bölümü (Başkan)

Teorik Mekanik Bölümü BNTU Fizik ve Matematik Bilimleri Doktoru, Profesör A. V. Chigarev);

Devlet Bilim Kurumu Mekanik Sistemlerin Titreşimden Korunması Laboratuvarı'nın Lider Araştırmacısı Birleşik Makine Mühendisliği Enstitüsü

Belarus NAS", teknik bilimler adayı, doçent A. M. Goman

Teorik mekanik. "Dinamik" Bölümü: eğitici

T33 yöntemi. karmaşık. 2 bölüm halinde Bölüm 1 / derleyen: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – Minsk: BGATU, 2013. – 120 s.

ISBN 978-985-519-616-8.

Eğitimsel ve metodolojik kompleks, “Teorik Mekanik” disiplininin bir parçası olan “Dinamik” bölümünün 1. bölümünü incelemek için materyaller sunar. Bir ders dersi, pratik derslerin gerçekleştirilmesi için temel materyaller, bağımsız çalışma için ödevler ve ödev örnekleri ve tam zamanlı ve yarı zamanlı öğrencilerin eğitim faaliyetlerinin izlenmesini içerir.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

GİRİİŞ

Teorik mekanik, mekanik hareketin, dengenin ve maddi cisimlerin etkileşiminin genel yasalarının bilimidir.

Bu, temel genel bilimsel fiziko-matematik disiplinlerinden biridir. Modern teknolojinin teorik temelidir.

Diğer fiziksel ve matematiksel disiplinlerle birlikte teorik mekaniğin incelenmesi bilimsel ufukların genişletilmesine, somut ve soyut düşünme yeteneğinin geliştirilmesine ve geleceğin uzmanının genel teknik kültürünün geliştirilmesine yardımcı olur.

Tüm teknik disiplinlerin bilimsel temeli olan teorik mekanik, tarım ve arazi ıslahı makine ve ekipmanlarının işletimi, onarımı ve tasarımı ile ilgili mühendislik problemlerine akılcı çözüm bulma becerilerinin geliştirilmesine katkıda bulunur.

Ele alınan problemlerin doğasına bağlı olarak mekanik, statik, kinematik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

İÇİNDE eğitimsel ve metodolojik Kompleks (UMK), bir ders dersi, pratik çalışma için temel materyaller, bağımsız çalışma için ödevler ve örnekler ve tam zamanlı ve yarı zamanlı öğrencilerin eğitim faaliyetlerinin izlenmesini içeren “Dinamik” bölümünü incelemek için materyaller sunar.

İÇİNDE “Dinamik” bölümünün incelenmesinin bir sonucu olarak, öğrenci dinamiğin teorik temellerine hakim olmalı ve dinamik problemlerini çözmenin temel yöntemlerine hakim olmalıdır:

Dinamik problemlerin çözüm yöntemlerini, dinamiğin genel teoremlerini, mekaniğin ilkelerini bilir;

Kendisine etki eden kuvvetlere bağlı olarak vücut hareketinin yasalarını belirleyebilme; problemleri çözmek için mekaniğin yasalarını ve teoremlerini uygulayabilir; Bedenlerin hareketini sınırlayan bağlantıların statik ve dinamik tepkilerini belirler.

“Teorik Mekanik” disiplininin müfredatı, “Dinamik” bölümünün incelenmesi için 36 saat dahil olmak üzere toplam 136 ders saati sağlar.

1. EĞİTİM VE METODOLOJİK KOMPLEKSİN BİLİMSEL VE ​​TEORİK İÇERİĞİ

1.1. Sözlük

Statik, genel kuvvet doktrinini ortaya koyan, karmaşık kuvvet sistemlerinin en basit biçimine indirgenmesini inceleyen ve çeşitli kuvvet sistemlerinin denge koşullarını belirleyen bir mekaniğin dalıdır.

Kinematik, maddi nesnelerin hareketini, bu harekete neden olan sebeplerden, yani bu nesnelere etki eden kuvvetlerden bağımsız olarak inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin (noktaların) hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

Önemli nokta– noktaların hareketindeki fark önemsiz olan maddi bir gövde.

Bir cismin kütlesi, belirli bir cismin içerdiği madde miktarına bağlı olan ve öteleme hareketi sırasındaki atalet ölçüsünü belirleyen skaler pozitif bir niceliktir.

Referans sistemi, başka bir cismin hareketinin incelendiği bir cisimle ilişkili bir koordinat sistemidir.

Atalet sistemi– Dinamiğin birinci ve ikinci yasalarının karşılandığı bir sistem.

Kuvvet impulsu, kuvvetin belirli bir zaman içindeki etkisinin vektör ölçüsüdür.

Maddi bir noktanın momentumu – noktanın kütlesi ile hız vektörünün çarpımına eşit olan, hareketinin vektör ölçüsü.

Kinetik enerji– mekanik hareketin skaler ölçüsü.

Temel kuvvet işi kuvvet vektörünün skaler çarpımına ve kuvvetin uygulama noktasının sonsuz küçük yer değiştirme vektörüne eşit sonsuz küçük bir skaler niceliktir.

Kinetik enerji– mekanik hareketin skaler ölçüsü.

Maddi bir noktanın kinetik enerjisi skaler bir enerjidir

Bir noktanın kütlesi ile hızının karesinin çarpımının yarısına eşit olan pozitif bir nicelik.

Mekanik bir sistemin kinetik enerjisi - aritme-

Bu sistemin tüm maddi noktalarının kinetik enerjilerinin toplamı.

Kuvvet, cisimlerin mekanik etkileşiminin, yoğunluğunu ve yönünü karakterize eden bir ölçüsüdür.

1.2. Ders konuları ve içeriği

Bölüm 1. Dinamiğe giriş. Temel konseptler

Klasik mekanik

Konu 1. Maddi bir noktanın dinamiği

Maddi bir noktanın dinamiği kanunları (Galileo – Newton kanunları). Maddi bir noktanın diferansiyel hareket denklemleri. Maddi açıdan dinamiğin iki ana problemi. Dinamiğin ikinci probleminin çözümü; İntegral sabitleri ve bunların başlangıç ​​koşullarına göre belirlenmesi.

Literatür:, s. 180-196, , s. 12-26.

Konu 2. Malzemenin bağıl hareketinin dinamiği

Maddi bir noktanın bağıl hareketi. Bir noktanın bağıl hareketinin diferansiyel denklemleri; taşınabilir ve Coriolis atalet kuvvetleri. Klasik mekaniğin görelilik ilkesi. Göreceli bir barış durumu.

Literatür: , s. 180-196, , s. 127-155.

Konu 3. Kütlelerin geometrisi. Mekanik bir sistemin kütle merkezi

Sistem kütlesi. Sistemin kütle merkezi ve koordinatları.

Literatür:, s. 86-93, s. 264-265

Konu 4. Katı bir cismin eylemsizlik momentleri

Katı bir cismin eksene ve direğe göre atalet momentleri. Atalet yarıçapı. Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri teoremi. Bazı cisimlerin eksenel atalet momentleri.

Vücut asimetrisinin bir özelliği olarak merkezkaç atalet momentleri.

Literatür: , s. 265-271, , s. 155-173.

Bölüm 2. Maddi bir noktanın dinamiği üzerine genel teoremler

ve mekanik sistem

Konu 5. Sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin teorem

Sistemin kütle merkezinin hareketi ile ilgili teorem. Sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin teoremin sonuçları.

Literatür: , s. 274-277, , s. 175-192.

Konu 6. Maddi bir noktanın momentumu

ve mekanik sistem

Maddi bir noktanın ve mekanik sistemin hareket miktarı. Sonlu bir süre boyunca temel dürtü ve kuvvet dürtüsü. Diferansiyel ve integral formlardaki bir noktanın ve sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem. Momentumun korunumu kanunu.

Literatür: , s. 280-284, , s. 192-207.

Konu 7. Maddi bir noktanın momentumu

ve merkeze ve eksene göre mekanik sistem

Bir noktanın merkeze ve eksene göre momentum momenti. Bir noktanın açısal momentumundaki değişime ilişkin teorem. Mekanik bir sistemin merkeze ve eksene göre kinetik momenti.

Dönen katı bir cismin dönme eksenine göre kinetik momenti. Bir sistemin açısal momentumundaki değişime ilişkin teorem. Açısal momentumun korunumu kanunu.

Literatür: , s. 292-298, , s. 207-258.

Konu 8. İş ve kuvvetlerin gücü

Temel kuvvet işi, analitik ifadesi. Bir kuvvetin son yol üzerinde yaptığı iş. Yer çekimi işi, elastik kuvvet. Katı bir cisme etki eden iç kuvvetlerin yaptığı işin toplamı sıfıra eşittir. Sabit bir eksen etrafında dönen katı bir cisme uygulanan kuvvetlerin işi. Güç. Yeterlik.

Literatür: , s. 208-213, , s. 280-290.

Konu 9. Maddi bir noktanın kinetik enerjisi

ve mekanik sistem

Maddi bir noktanın ve mekanik sistemin kinetik enerjisi. Katı bir cismin hareketinin çeşitli durumlarında kinetik enerjisinin hesaplanması. Koenig teoremi. Diferansiyel ve integral formlarda bir noktanın kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem. Diferansiyel ve integral formlarda mekanik bir sistemin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem.

Literatür: , s. 301-310, , s. 290-344.

Konu 10. Potansiyel kuvvet alanı ve potansiyel

Güç alanı kavramı. Potansiyel kuvvet alanı ve kuvvet fonksiyonu. Bir kuvvetin potansiyel kuvvet alanındaki bir noktanın son yer değiştirmesi üzerindeki işi. Potansiyel enerji.

Literatür: , s. 317-320, , s. 344-347.

Konu 11. Katı cisim dinamiği

Katı bir cismin öteleme hareketinin diferansiyel denklemleri. Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketinin diferansiyel denklemi. Fiziksel sarkaç. Katı bir cismin düzlemsel hareketinin diferansiyel denklemleri.

Literatür: , s. 323-334, , s. 157-173.

Bölüm 1. Dinamiğe giriş. Temel konseptler

Klasik mekanik

Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin (noktaların) hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

malzeme gövdesi- kütlesi olan bir cisim.

Önemli nokta– noktaların hareketindeki fark önemsiz olan maddi bir gövde. Bu, hareketi sırasında boyutları ihmal edilebilecek bir cisim olabileceği gibi öteleme hareketi yapıyorsa sonlu boyutlarda bir cisim de olabilir.

Maddi noktalara, katı bir cismin bazı dinamik özelliklerini belirlerken zihinsel olarak parçalandığı parçacıklar da denir. Maddi noktalara örnekler (Şekil 1): a – Dünyanın Güneş etrafındaki hareketi. Dünya maddi bir noktadır; b – katı bir cismin öteleme hareketi. Sağlam vücut - anne

bir nokta, çünkü V B = V A; bir B = bir Bir; c – vücudun bir eksen etrafında dönmesi.

Bir cismin parçacığı maddi bir noktadır.

Atalet, maddi cisimlerin, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında hareket hızlarını daha hızlı veya daha yavaş değiştirme özelliğidir.

Bir cismin kütlesi, belirli bir cismin içerdiği madde miktarına bağlı olan ve öteleme hareketi sırasındaki atalet ölçüsünü belirleyen skaler pozitif bir niceliktir. Klasik mekanikte kütle sabit bir miktardır.

Kuvvet, cisimler arasındaki veya bir cisim (nokta) ile bir alan (elektrik, manyetik vb.) arasındaki mekanik etkileşimin niceliksel bir ölçüsüdür.

Kuvvet, büyüklük, uygulama noktası ve yön (etki çizgisi) ile karakterize edilen bir vektör miktarıdır (Şekil 2: A - uygulama noktası; AB - kuvvetin etki çizgisi).

Pirinç. 2

Dinamikte, sabit kuvvetlerin yanı sıra, t zamanına, hızϑ'ya, mesafeye veya bu büyüklüklerin bir kombinasyonuna bağlı olabilen değişken kuvvetler de vardır;

F = sabit;

F = F(t) ;

F = F(ϑ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

elektrikli lokomotif; c − F = F (r) – O merkezinden itme kuvveti veya ona doğru çekim.

Referans sistemi, başka bir cismin hareketinin incelendiği bir cisimle ilişkili bir koordinat sistemidir.

Atalet sistemi, dinamiğin birinci ve ikinci yasalarının karşılandığı bir sistemdir. Bu sabit bir koordinat sistemi veya düzgün ve doğrusal hareket eden bir sistemdir.

Mekanikte hareket, bir cismin diğer cisimlere göre uzay ve zamandaki konumunun değişmesidir.

Klasik mekanikte uzay üç boyutludur ve Öklid geometrisine uyar.

Zaman, herhangi bir referans sisteminde eşit olarak akan skaler bir niceliktir.

Birim sistemi, fiziksel büyüklüklerin bir dizi ölçüm birimidir. Tüm mekanik büyüklükleri ölçmek için üç temel birim yeterlidir: uzunluk, zaman, kütle veya kuvvet birimleri.

Mekanik büyüklüklerin diğer tüm ölçüm birimleri bunlardan türetilir. İki tür birim sistemi kullanılır: uluslararası SI birim sistemi (veya daha küçük - GHS) ve teknik birim sistemi - ICGSS.

Konu 1. Maddi bir noktanın dinamiği

1.1. Maddi bir noktanın dinamiği yasaları (Galileo-Newton yasaları)

Birinci yasa (eylemsizlik yasası).

Dış etkilerden izole edilmiş bir maddesel nokta, uygulanan kuvvetler onu bu durumu değiştirmeye zorlayana kadar durgun durumunu korur veya düzgün ve doğrusal olarak hareket eder.

Bir noktanın kuvvetlerin yokluğunda veya dengeli bir kuvvet sisteminin etkisi altında yaptığı harekete atalet hareketi denir.

Örneğin, bir cismin pürüzsüz bir yüzey boyunca hareketi (sürtünme kuvveti sıfırdır)

yatay yüzey (Şekil 4: G – vücut ağırlığı; N – normal düzlem reaksiyonu).

G = − N olduğundan, G + N = 0 olur.

ϑ 0 ≠ 0 olduğunda cisim aynı hızla hareket eder; ϑ 0 = 0 olduğunda vücut hareketsizdir (ϑ 0 başlangıç ​​hızıdır).

İkinci yasa (dinamiğin temel yasası).

Bir noktanın kütlesi ile belirli bir kuvvetin etkisi altında aldığı ivmenin çarpımı, bu kuvvete büyüklükte eşittir ve yönü, ivmenin yönü ile çakışmaktadır.

bir b

Matematiksel olarak bu yasa vektör eşitliğiyle ifade edilir.

F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = sabit olduğunda nokta düzgün ve doğrusal olarak hareket eder veya ϑ 0 = 0'da hareketsizdir (eylemsizlik yasası). Saniye

yasa, dünya yüzeyine yakın bir yerde bulunan bir cismin kütlesi m ile ağırlığı arasında bir bağlantı kurmamıza izin verir. G .G = mg, burada g

yerçekimi ivmesi.

Üçüncü yasa (etki ve tepki eşitliği yasası). İki maddi nokta birbirine eşit büyüklükte ve onları birleştiren düz çizgi boyunca yönlendirilmiş kuvvetlerle etki eder.

bu noktalar zıt yönlerdedir.

F 1 = − F 2 kuvvetleri farklı noktalara uygulandığından (F 1 , F 2 ) kuvvetler sistemi dengeli değildir, yani (F 1 , F 2 )≈ 0 (Şekil 6).

Etkileşen noktaların kütleleri ivmeleriyle ters orantılıdır.

Dördüncü yasa (kuvvetlerin eyleminin bağımsızlığı yasası). Bir noktaya aynı anda etki edildiğinde alınan ivme

ancak, her bir kuvvet kendisine ayrı ayrı uygulandığında noktanın alacağı ivmelerin geometrik toplamına eşit birkaç kuvvet.

Açıklama (Şekil 7).

t ve n

a 1 a kF n

Bileşik kuvvet R (F 1 ,...Fk ,...Fn ) .

ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = man olduğuna göre, o zaman

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, yani dördüncü yasa eşdeğerdir

k = 1

kuvvetlerin toplamı kuralı.

1.2. Maddi bir noktanın diferansiyel hareket denklemleri

Maddi bir noktaya, aralarında hem sabit hem de değişken olan birçok kuvvetin aynı anda etki ettiğini varsayalım.

Dinamiğin ikinci yasasını şu şekilde yazalım:

(1.2) r'nin türevlerini içerir ve maddi bir noktanın vektör formundaki diferansiyel hareket denklemi veya maddi bir noktanın dinamiğinin temel denklemidir.

Vektör eşitliğinin projeksiyonları (1.2): - Kartezyen koordinatların ekseninde (Şekil 8, a)

Doğal eksende (Şekil 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Denklemler (1.3) ve (1.4), maddi bir noktanın sırasıyla Kartezyen koordinat eksenlerinde ve doğal eksenlerdeki diferansiyel hareketi denklemleridir; yani, yörüngesi eğer bir noktanın eğrisel hareketi için genellikle kullanılan doğal diferansiyel denklemlerdir. nokta ve eğrilik yarıçapı bilinmektedir.

1.3. Maddi bir nokta için dinamiğin iki ana problemi ve bunların çözümü

İlk (doğrudan) görev.

Hareket yasasını ve noktanın kütlesini bilerek, noktaya etkiyen kuvveti belirleyin.

Bu sorunu çözmek için noktanın ivmesini bilmeniz gerekir. Bu tür problemlerde doğrudan belirlenebileceği gibi bir noktanın hareket yasası da belirlenerek buna göre belirlenebilir.

1. Yani bir noktanın hareketi Kartezyen koordinatlarda belirtilirse

x = f 1 (t), y = f 2 (t) ve z = f 3 (t), o zaman ivme projeksiyonları belirlenir

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu

"Kuban Devlet Teknoloji Üniversitesi"

Teorik mekanik

Bölüm 2 dinamikleri

Yayın ve Yayın Komitesi tarafından onaylandı

üniversite konseyi olarak

öğretim yardımı

Krasnodar

UDC 531.1/3 (075)

Teorik mekanik. Bölüm 2. Dinamik: Ders Kitabı / L.I. Kuban. durum technol.un.t. Krasnodar, 2011. 123 s.

ISBN 5-230-06865-5

Teorik materyal kısa bir biçimde sunulur, çoğu gerçek teknik sorunları yansıtan problem çözme örnekleri verilir ve rasyonel bir çözüm yönteminin seçimine dikkat edilir.

İnşaat, ulaştırma ve makine mühendisliği alanlarında yazışma ve uzaktan eğitim lisans öğrencileri için tasarlanmıştır.

Masa 1 Hasta. 68 Kaynakça 20 başlık

Bilimsel editör Teknik Bilimler Adayı, Doçent. V.F.Melnikov

Hakemler: Teorik Mekanik ve Mekanizmalar ve Makineler Teorisi Bölüm Başkanı, Kuban Tarım Üniversitesi prof. F.M. Kanarev; Doçent, Teorik Mekanik Bölümü, Kuban Devlet Teknoloji Üniversitesi M.E. Multık

Kuban Devlet Teknoloji Üniversitesi Yayın ve Yayın Kurulu kararıyla yayınlandı.

Yeniden yayınlama

ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998

Önsöz

Bu ders kitabı inşaat, ulaştırma ve makine mühendisliği uzmanlık alanlarındaki yarı zamanlı öğrencilere yöneliktir, ancak diğer uzmanlık alanlarındaki yarı zamanlı öğrencilerin yanı sıra tam zamanlı öğrenciler tarafından teorik mekanik dersinin “Dinamik” bölümünü incelerken kullanılabilir. bağımsız çalışıyor.

Kılavuz, teorik mekanik dersinin mevcut müfredatına uygun olarak derlenmiştir ve dersin ana bölümünün tüm konularını kapsamaktadır. Her bölüm, sorunların çözümünde kullanılmasına yönelik resimler ve metodolojik önerilerle birlikte kısa teorik materyal içermektedir. Kılavuz, gerçek teknik sorunları yansıtan ve bağımsız çözüm için test görevlerine karşılık gelen 30 sorunun çözümlerini içerir. Her problem için çözümü açıkça gösteren bir hesaplama şeması sunulmaktadır. Çözümün biçimlendirmesi, yarı zamanlı öğrenciler için test kağıtlarının biçimlendirilmesine ilişkin gereksinimleri karşılar.

Yazar, Kuban Tarım Üniversitesi Teorik Mekanik ve Mekanizmalar ve Makineler Teorisi Bölümü öğretmenlerinin yanı sıra Kuban Devlet Teknolojik Fakültesi Teorik Mekanik Bölümü öğretmenlerinin ders kitabını incelemedeki büyük çalışmaları için derin şükranlarını sunar. Ders kitabının yayına hazırlanmasına ilişkin değerli yorumlarınız ve tavsiyeleriniz için Üniversiteye teşekkür ederiz.

Gelecekte tüm eleştirel yorum ve öneriler yazar tarafından şükranla kabul edilecektir.

giriiş

Dinamik, teorik mekaniğin en önemli bölümüdür. Mühendislik uygulamalarında karşılaşılan spesifik problemlerin çoğu dinamikle ilgilidir. Statik ve kinematiğin sonuçlarını kullanan dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin genel hareket yasalarını oluşturur.

En basit maddi nesne maddi bir noktadır. Herhangi bir şekle sahip bir maddi gövde, söz konusu problemde boyutları ihmal edilebilecek maddi bir nokta olarak alınabilir. Belirli bir problem için noktalarının hareketindeki fark önemli değilse, sonlu boyutlu bir cisim maddi bir nokta olarak alınabilir. Bu, vücudun boyutlarının, vücut noktalarının kat ettiği mesafelere kıyasla küçük olması durumunda meydana gelir. Katı bir cismin her parçacığı maddi bir nokta olarak düşünülebilir.

Bir noktaya veya maddi bir gövdeye uygulanan kuvvetler, dinamik etkilerine göre, yani maddi nesnelerin hareketinin özelliklerini nasıl değiştirdiklerine göre dinamik olarak değerlendirilir.

Maddi nesnelerin zaman içindeki hareketi, belirli bir referans çerçevesine göre uzayda gerçekleşir. Newton'un aksiyomlarına dayanan klasik mekanikte uzay üç boyutlu kabul edilir, özellikleri içinde hareket eden maddi nesnelere bağlı değildir. Böyle bir uzayda bir noktanın konumu üç koordinatla belirlenir. Zamanın uzayla ve maddi nesnelerin hareketi ile ilgisi yoktur. Tüm referans sistemleri için aynı kabul edilir.

Dinamik yasaları, maddi nesnelerin hareketini, geleneksel olarak sabit olarak kabul edilen mutlak koordinat eksenlerine göre tanımlar. Mutlak koordinat sisteminin kökeni Güneş'in merkezinde alınır ve eksenler uzak, koşullu olarak sabit yıldızlara yönlendirilir. Birçok teknik problemi çözerken, Dünya'ya bağlı koordinat eksenleri şartlı olarak hareketsiz kabul edilebilir.

Maddi nesnelerin dinamikteki mekanik hareketinin parametreleri, klasik mekaniğin temel yasalarından matematiksel türetmelerle belirlenir.

Birinci yasa (eylemsizlik yasası):

Maddi bir nokta, bazı kuvvetlerin etkisi onu bu durumdan çıkarana kadar dinlenme durumunu veya düzgün ve doğrusal hareket durumunu korur.

Bir noktanın düzgün ve doğrusal hareketine eylemsizlik hareketi denir. Dinlenme, bir noktanın hızının sıfır olduğu atalet yoluyla hareketin özel bir durumudur.

Her maddi noktanın eylemsizliği vardır, yani bir dinlenme durumunu veya düzgün doğrusal hareketi korumaya çalışır. Atalet yasasının geçerli olduğu referans sistemine atalet denir ve bu sisteme göre gözlemlenen harekete mutlak denir. Eylemsiz bir sisteme göre ötelemeli doğrusal ve düzgün hareket gerçekleştiren herhangi bir referans sistemi de eylemsiz bir sistem olacaktır.

İkinci yasa (dinamiğin temel yasası):

Bir maddi noktanın eylemsiz referans çerçevesine göre ivmesi, noktaya uygulanan kuvvetle orantılıdır ve şu yöndeki kuvvetle çakışır:
.

Dinamiğin temel yasasından şunu takip eder: kuvvetle
hızlanma
. Bir noktanın kütlesi, bir noktanın hızındaki değişikliklere karşı direnç derecesini karakterize eder, yani maddi bir noktanın ataletinin bir ölçüsüdür.

Üçüncü Kanun (Etki ve Tepki Kanunu):

İki cismin birbirine etki ettiği kuvvetler eşit büyüklüktedir ve zıt yönlerde bir düz çizgi boyunca yönlendirilir.

Etki ve tepki adı verilen kuvvetler farklı cisimlere uygulandığından dengeli bir sistem oluşturmazlar.

Dördüncü yasa (kuvvetlerin bağımsızlığı yasası):

Birkaç kuvvetin eşzamanlı etkisi ile, maddi bir noktanın ivmesi, noktanın her bir kuvvetin ayrı ayrı etkisi altında sahip olacağı ivmelerin geometrik toplamına eşittir:

, Nerede
,
,…,
.

(MEKANİK SİSTEMLER) – IV seçeneği

1. Maddi bir noktanın dinamiğinin temel denklemi bilindiği gibi denklem ile ifade edilir. Serbest olmayan bir mekanik sistemin keyfi noktalarının, kuvvetleri bölmenin iki yöntemine göre diferansiyel hareket denklemleri iki biçimde yazılabilir:

(1) , burada k=1, 2, 3, … , n – malzeme sisteminin nokta sayısı.

(2)

k'inci noktanın kütlesi nerede; - k'inci noktanın yarıçap vektörü, - k'inci noktaya etki eden belirli bir (aktif) kuvvet veya k'inci noktaya etki eden tüm aktif kuvvetlerin bileşkesi. - k'inci noktaya etki eden bağ reaksiyon kuvvetlerinin sonucu; - k'inci noktaya etki eden iç kuvvetlerin bileşkesi; - k'inci noktaya etki eden dış kuvvetlerin bileşkesi.

Denklemler (1) ve (2) kullanılarak dinamiğin hem birinci hem de ikinci problemleri çözülmeye çalışılabilir. Ancak bir sistemin ikinci dinamik problemini çözmek, yalnızca matematiksel açıdan değil, aynı zamanda temel zorluklarla karşı karşıya olduğumuz için de çok karmaşık hale gelir. Hem sistem (1) hem de sistem (2) için denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısından önemli ölçüde az olması gerçeğinden oluşurlar.

Yani, eğer (1)'i kullanırsak, o zaman ikinci (ters) problem için bilinen dinamikler ve olacaktır ve bilinmeyenler ve olacaktır. Vektör denklemleri " N”ve bilinmeyenler - “2n”.

Denklem sisteminden (2) devam edersek, dış kuvvetlerin bir kısmı bilinmektedir. Neden ayrılalım? Gerçek şu ki, dış kuvvetlerin sayısı aynı zamanda bilinmeyen bağlantıların dış reaksiyonlarını da içermektedir. Ayrıca .

Böylece hem sistem (1) hem de sistem (2) KAPALI değildir. Bağlantı denklemlerini dikkate alarak denklemler eklemek gerekir ve belki de bağlantıların kendilerine de bazı kısıtlamalar getirmek gerekir. Ne yapalım?

(1)'den başlarsak, birinci türden Lagrange denklemlerini oluşturma yolunu takip edebiliriz. Ancak bu yol rasyonel değildir çünkü problem ne kadar basitse (serbestlik derecesi ne kadar azsa), onu matematiksel açıdan çözmek o kadar zor olur.

O zaman dikkatimizi -'nin her zaman bilinmediği sistem (2)'ye çevirelim. Bir sistemi çözmenin ilk adımı bu bilinmeyenleri ortadan kaldırmaktır. Unutulmamalıdır ki, kural olarak, sistem hareket ederken iç kuvvetlerle ilgilenmiyoruz, yani sistem hareket ettiğinde, sistemin her noktasının nasıl hareket ettiğini bilmek gerekli değildir, ancak yeterlidir. sistemin bir bütün olarak nasıl hareket ettiğini bilmek.

Dolayısıyla, bilinmeyen kuvvetleri sistem (2)'den çeşitli şekillerde hariç tutarsak, bazı ilişkiler elde ederiz, yani sistem için bazı genel özellikler ortaya çıkar, bunların bilgisi sistemin genel olarak nasıl hareket ettiğini yargılamamıza olanak tanır. Bu özellikler sözde kullanılarak tanıtılır. dinamiğin genel teoremleri. Bu tür dört teorem vardır:

1. Teorem mekanik bir sistemin kütle merkezinin hareketi;

2. Teorem Mekanik bir sistemin momentumundaki değişim;

3. Teorem mekanik sistemin kinetik momentindeki değişim;

4. Hakkında Teorem mekanik bir sistemin kinetik enerjisindeki değişim.

Çoğu zaman, diferansiyel hareket denklemleri sisteminin entegrasyonuna başvurmadan, mekanik bir sistemin hareketinin önemli özelliklerini belirlemek mümkündür. Bu, genel dinamik teoremlerinin uygulanmasıyla elde edilir.

5.1. Temel kavramlar ve tanımlar

Dış ve iç kuvvetler. Mekanik bir sistemdeki bir noktaya etki eden herhangi bir kuvvet mutlaka ya aktif bir kuvvettir ya da bir birleşme reaksiyonudur. Sistemin noktalarına etki eden kuvvetlerin tamamı farklı iki sınıfa ayrılabilir: dış kuvvetler ve iç kuvvetler (e ve i endeksleri - Latince externus - dış ve internus - iç kelimelerinden). Dış kuvvetler, söz konusu sistemin parçası olmayan noktalardan ve cisimlerden bir sistemin noktalarına etki eden kuvvetlerdir. Söz konusu sistemin noktaları ve gövdeleri arasındaki etkileşim kuvvetlerine iç denir.

Bu bölüm, araştırmacı tarafından incelenen mekanik sisteme hangi malzeme noktalarının ve gövdelerinin dahil edildiğine bağlıdır. Sistemin bileşimini ek noktalar ve gövdeler ekleyerek genişletirsek, önceki sistem için dışsal olan bazı kuvvetler, genişletilmiş sistem için içsel hale gelebilir.

İç kuvvetlerin özellikleri. Bu kuvvetler sistemin parçaları arasındaki etkileşim kuvvetleri olduğundan, etki-tepki aksiyomuna göre organize edilmiş “ikili” olarak tüm iç kuvvetler sistemine girerler. Bu “iki”nin her birinin güçlü yanları vardır

ana vektör ve keyfi bir merkeze göre ana moment sıfıra eşittir. Tüm iç kuvvetler sistemi yalnızca “ikililerden” oluştuğuna göre, o zaman

1) İç kuvvetler sisteminin ana vektörü sıfırdır,

2) iç kuvvetler sisteminin keyfi bir noktaya göre ana momenti sıfıra eşittir.

Sistemin kütlesi, sistemi oluşturan tüm noktaların ve cisimlerin mk kütlelerinin aritmetik toplamıdır:

Kütle merkezi Mekanik bir sistemin (atalet merkezi), yarıçap vektörü ve koordinatları formüllerle belirlenen geometrik bir C noktasıdır.

sistemi oluşturan noktaların yarıçap vektörleri ve koordinatları nerededir?

Düzgün bir yerçekimi alanında bulunan katı bir cisim için, kütle merkezinin ve ağırlık merkezinin konumları çakışır; diğer durumlarda bunlar farklı geometrik noktalardır.

Atalet referans sistemiyle birlikte, öteleme hareketi yapan eylemsiz olmayan bir referans sistemi sıklıkla aynı anda dikkate alınır. Koordinat eksenleri (König eksenleri), C orijini sürekli olarak mekanik sistemin kütle merkeziyle çakışacak şekilde seçilir. Tanıma uygun olarak kütle merkezi Koenig eksenlerinde sabittir ve koordinatların orijininde yer alır.

Sistemin eylemsizlik momenti bir eksene göre, sistemin tüm noktalarının mk kütlelerinin çarpımlarının eksene olan mesafelerinin kareleriyle toplamına eşit bir skaler miktardır:

Mekanik sistem katı bir cisim ise 12'yi bulmak için formülü kullanabilirsiniz.

yoğunluk nerede, vücudun kapladığı hacim.