Her dalga bir salınımdır. Bir sıvı, bir elektromanyetik alan veya başka herhangi bir ortam titreşebilir. Günlük yaşamda, her insan günlük olarak bir veya başka bir dalgalanma tezahürüyle karşı karşıya kalır. Peki duran dalga nedir?

İçine suyun döküldüğü geniş bir kap düşünün; bu bir leğen, kova veya küvet olabilir. Şimdi sıvıyı avucunuzla hafifçe vurursanız, dalga benzeri çıkıntılar darbenin merkezinden her yöne doğru ilerleyecektir. Bu arada, onlara yürüyen dalgalar deniyor. Karakteristik özelliği enerji aktarımıdır. Bununla birlikte, alkışların sıklığını değiştirerek, neredeyse tamamen gözle görülür şekilde kaybolmalarını sağlayabilirsiniz. Görünüşe göre su kütlesi jöle benzeri bir hal alıyor ve hareket yalnızca aşağı ve yukarı doğru gerçekleşiyor. Durağan dalga bu yer değiştirmedir. Bu fenomen, çarpışmanın merkezinden uzaklaşan her dalganın kabın duvarlarına ulaşması ve ters yönde hareket eden ana dalgalarla kesiştiği (engellendiği) yerde geri yansıtılması nedeniyle oluşur. Duran dalga yalnızca yansıyan ve doğrudan dalgalar aynı fazda ancak genlikleri farklı olduğunda ortaya çıkar. Aksi takdirde, farklı karakteristiklere sahip dalga bozukluklarının özelliklerinden biri de birbirini bozmadan aynı hacimde bir arada bulunabilmesi olduğundan yukarıdaki girişim oluşmaz. Duran bir dalganın, hızlarının sıfıra düşmesine yol açan, zıt yönde hareket eden iki dalganın toplamı olduğu iddia edilebilir.

Yukarıdaki örnekte su neden dikey yönde salınmaya devam ediyor? Çok basit! Aynı parametrelere sahip dalgalar üst üste bindirildiğinde, belirli zamanlarda salınımlar antinod adı verilen maksimum değerlerine ulaşır, diğer zamanlarda ise tamamen sönümlenir (düğümler). Alkış sıklığını değiştirerek yatay dalgaları tamamen bastırabilir veya dikey yer değiştirmeleri artırabilirsiniz.

Duran dalgalar sadece uygulayıcıların değil aynı zamanda teorisyenlerin de ilgisini çekmektedir. Özellikle modellerden biri, herhangi bir maddi parçacığın bir tür titreşimle karakterize edildiğini belirtir: bir elektron salınır (titreşir), bir nötrino salınır, vb. Ayrıca hipotez çerçevesinde söz konusu titreşimin, çevrede henüz keşfedilmemiş bazı bozuklukların müdahalesinin bir sonucu olduğu varsayılmıştır. Başka bir deyişle yazarlar, bu muhteşem dalgaların durağan dalgalar oluşturduğu yerde maddenin ortaya çıktığını savunuyorlar.

Schumann Rezonansı olgusu da daha az ilginç değil. Bu, belirli koşullar altında (önerilen hipotezlerin hiçbiri henüz tek doğru olarak kabul edilmemiştir), dünya yüzeyi ile iyonosferin alt sınırı arasındaki boşlukta frekansları uzanan duran elektromanyetik dalgaların ortaya çıkması gerçeğinde yatmaktadır. düşük ve ultra düşük aralıklarda (7 ila 32 hertz arası). “Yüzey - iyonosfer” boşluğunda oluşan dalga, gezegenin etrafında dolaşarak rezonansa (faz çakışması) girerse, uzun süre zayıflamadan, kendi kendini idame ettirerek var olabilir. Schumann rezonansı özellikle ilgi çekicidir çünkü dalgaların frekansı insan beyninin doğal alfa ritimleriyle neredeyse aynıdır. Örneğin Rusya'da bu fenomenle ilgili araştırmalar sadece fizikçiler tarafından değil aynı zamanda İnsan Beyni Enstitüsü gibi büyük bir kuruluş tarafından da yürütülüyor.

Parlak mucit Nikola Tesla, ayakta duranlara dikkat çekti. Bu fenomeni bazı cihazlarında kullanabileceğine inanılıyor. Fırtınalar, atmosferdeki görünümlerinin kaynaklarından biri olarak kabul edilir. Elektriksel deşarjlar bir elektromanyetik alanı harekete geçirir ve dalgalar üretir.

Tutulan uç keskin bir şekilde yukarı doğru çekilir ve ardından orijinal konumuna getirilir. Tüp üzerinde oluşan çıkıntı, tüp boyunca yansıdığı duvara doğru hareket eder. Bu durumda, yansıyan dalga bir çöküntü şekline sahiptir, yani orijinal antinod yukarıdayken tüpün ortalama konumunun altında bulunur. Bu farkın nedeni nedir?

Duvara sabitlenmiş bir lastik borunun ucunu hayal edin. Sabit olduğundan hareket edemez. Gelen itici gücün yukarıya yönelik kuvveti, onu yukarı doğru hareket etmeye zorlama eğilimindedir (şekle bakın). Ancak hareket edemediği için destekten çıkan ve kauçuk tüpün ucuna uygulanan aşağı doğru eşit ve zıt bir kuvvetin olması gerekir ve bu nedenle yansıyan darbe antinod aşağıda olacak şekilde konumlandırılır. Yansıyan ve orijinal darbeler arasındaki faz farkı 180°'dir.

Lastik boruyu tutan el yukarı aşağı hareket ettiğinde ve hareketin sıklığı giderek arttığında tek bir antinodun elde edildiği bir noktaya ulaşılır (Şekil a). Kol titreşiminin frekansındaki daha fazla artış, çift antinodun oluşmasına yol açacaktır (Şekil 6). El hareketlerinizin sıklığını ayarlarsanız sıklığının iki katına çıktığını göreceksiniz. Elinizi daha hızlı hareket ettirmek zor olduğundan mekanik vibratör kullanmak daha iyidir (Şek. c).

Elektromanyetik bobinin içindeki metal çubuk, jeneratör tarafından kontrol edilen bir frekansta titreşir. Üretilen dalgalara denir duran veya sabit dalgalar. Yansıyan dalganın gelen dalganın üzerine binmesi nedeniyle oluşurlar. Bu fenomen olarak bilinir. Burada iki dalga var: olay ve yansıyan. Aynı özelliklere sahipler ancak zıt yönlere yayılmışlar. Bu seyahat eden dalgalar ancak birbirlerine müdahale ederler ve böylece duran dalgalar oluştururlar.



Bunun aşağıdaki sonuçları vardır:

a) her yarım dalga boyundaki tüm parçacıklar aynı fazda salınır, yani hepsi aynı anda aynı yönde hareket eder;

b) her parçacık bir sonraki parçacığın genliğinden farklı bir genliğe sahiptir;

c) Bir yarım dalganın parçacıklarının titreşimleri ile bir sonraki yarım dalganın parçacıklarının titreşimleri arasındaki faz farkı 180°'dir.

Bu basitçe, ya aynı anda zıt yönlere mümkün olduğu kadar saptıkları ya da kendilerini orta konumda bulurlarsa zıt yönlere doğru hareket etmeye başladıkları anlamına gelir. Bu, bazı parçacıkların (N etiketli) hareket etmediğini (sıfır genliğe sahip) görebildiğiniz şekilde gösterilmiştir, çünkü onlara etki eden kuvvetler her zaman eşit ve zıttır.

Bu noktalara düğüm noktaları veya düğümler denir ve birbirini takip eden iki düğüm arasındaki mesafe dalga boyunun yarısı kadardır, yani 1/2 λ.

Maksimum hareket A ile işaretlenen noktalarda meydana gelir ve bu noktaların genliği gelen dalganın genliğinin iki katıdır. Bu noktalara denir antinotlar ve birbirini takip eden iki antinod arasındaki mesafe dalga boyunun yarısı kadardır. Bir düğüm ile bir sonraki antinod arasındaki mesafe dalga boyunun dörtte biridir, yani 1/4 λ.

durağan dalga koşmaktan farklıdır. İÇİNDE ilerleyen dalga:

a) tüm parçacıklar aynı titreşim genliğine sahiptir;

Eşit genliğe sahip düzlem dalgalar üst üste bindirildiğinde çok önemli bir girişim durumu ortaya çıkar. Ortaya çıkan salınım sürecine denir durağan dalga.

Dalgalar engellerden yansıdığında neredeyse duran dalgalar ortaya çıkar. Bir engelin üzerine düşen bir dalga ve ona doğru koşan yansıyan dalga, birbirinin üzerine binerek duran bir dalga verir.

Zıt yönlerde yayılan, aynı genliğe sahip iki sinüzoidal düzlem dalganın girişiminin sonucunu ele alalım.

Akıl yürütmeyi kolaylaştırmak için, her iki dalganın da başlangıç ​​noktasında aynı fazda salınımlara neden olduğunu varsayalım.

Bu salınımların denklemleri şu şekildedir:

.

Her iki denklemi topladığımızda ve sinüs toplamı formülünü kullanarak sonucu dönüştürdüğümüzde:

- duran dalga denklemi.

Bu denklemi harmonik salınım denklemiyle karşılaştırdığımızda ortaya çıkan salınımların genliğinin şuna eşit olduğunu görüyoruz:

.

O zamandan beri ve o zamandan beri.

.

Ortamda titreşimin olmadığı noktalarda; . Bu noktalara denir duran dalga düğümleri.

Salınımların genliğinin en büyük değere sahip olduğu noktalarda, eşittir. Bu noktalara denir duran dalga antinotları. Antinotların koordinatları durumdan bulunur, çünkü , O .

Buradan:

Benzer şekilde düğümlerin koordinatları şu koşuldan bulunur:

.

Nerede:

.

Düğümlerin ve antinotların koordinat formüllerinden, bitişik antinodlar arasındaki mesafenin yanı sıra bitişik düğümler arasındaki mesafelerin de eşit olduğu anlaşılmaktadır. Antinotlar ve düğümler birbirlerine göre dalga boyunun dörtte biri kadar kaydırılır.

Duran ve ilerleyen dalgalardaki salınımların doğasını karşılaştıralım. İlerleyen bir dalgada her nokta, genliği diğer noktaların genliğinden farklı olmayan salınımlara maruz kalır. Ancak çeşitli noktalarda salınımlar meydana gelir farklı aşamalar.

Duran dalgada, iki komşu düğüm arasında bulunan ortamın tüm parçacıkları aynı fazda ancak farklı genliklerle salınır. Bir düğümden geçerken salınım fazı aniden değişir, çünkü işaret değişir.

Grafiksel olarak duran bir dalga şu şekilde temsil edilebilir:

O anda ortamın tüm noktaları maksimum yer değiştirmeye sahiptir ve yönü işaretiyle belirlenir. Bu yer değiştirmeler şekilde düz oklarla gösterilmiştir.

Dönemin dörtte birinden sonra tüm noktaların yer değiştirmeleri sıfıra eşit olur. Parçacıklar hattan farklı hızlarda geçer.

Dönemin bir başka çeyreğinden sonra, parçacıklar yine maksimum yer değiştirmeye sahip olacaklardır, ancak bunlar ters yöndedir (noktalı oklar).

Elastik sistemlerde salınımlı süreçleri tanımlarken, yalnızca yer değiştirme değil, aynı zamanda parçacık hızı ve ortamın bağıl deformasyonu da salınım miktarı olarak alınabilir.

Duran dalganın hızındaki değişim yasasını bulmak için duran dalganın yer değiştirme denklemiyle türev alırız ve deformasyonun değişim yasasını bulmak için duran dalga denklemiyle türev alırız.

.

Bu denklemleri analiz ettiğimizde, hızın düğümleri ve antinodlarının yer değiştirmenin düğümleri ve antinodları ile çakıştığını görüyoruz; deformasyonun düğümleri ve antinotları sırasıyla hız ve yer değiştirmenin antinotları ve düğümleriyle çakışır.

Dize titreşimleri

Her iki ucuna sabitlenmiş gerilmiş bir ipte, enine titreşimler uyarıldığında duran dalgalar oluşur ve ipin sabitlendiği yerlere düğümler yerleştirilmelidir. Bu nedenle, telde yalnızca bu tür titreşimler uyarılır; bu titreşimlerin uzunluğunun yarısı, telin uzunluğu boyunca bir tamsayıya uyar.

Bu, aşağıdaki koşulu ifade eder:

dizenin uzunluğu nerede.

Veya başka. Bu dalga boyları frekanslara karşılık gelir , dalganın faz hızı nerede. Büyüklüğü ipin gerilme kuvveti ve kütlesi tarafından belirlenir.

At - temel frekans.

At - telin titreşimlerinin doğal frekansları veya imalar.

Doppler etkisi

Dalgaların kaynağının ve gözlemcinin ortama göre aynı düz çizgi üzerinde hareket ettiği en basit durumları ele alalım:

1. Ses kaynağı ortama göre belirli bir hızda hareket eder, ses alıcısı hareketsizdir.

Bu durumda, salınım süresi boyunca ses dalgası kaynaktan belli bir mesafede uzaklaşacak ve kaynağın kendisi de eşit bir mesafede hareket edecektir.

Kaynak alıcıdan çıkarılırsa; dalga yayılma yönünün tersi yönde hareket eder, ardından dalga boyu .

Ses kaynağı alıcıya yaklaştırılırsa; dalga yayılımı yönünde hareket edin, o zaman .

Alıcı tarafından algılanan ses frekansı:

Her iki durumda da değerlerini değiştirelim:

Kaynağın salınım frekansının nerede olduğu dikkate alındığında eşitlik şu şekilde olacaktır::

Bu kesrin hem payını hem de paydasını 'a bölelim:

2. Ses kaynağı sabittir ve alıcı ortama göre .

Bu durumda ortamdaki dalga boyu değişmez ve hala eşittir. Aynı zamanda, hareketli alıcıya ulaşan ve zaman içinde bir salınım periyodu kadar farklılık gösteren ardışık iki genlik, dalganın alıcıyla belirli bir süre karşılaştığı anda değeri daha büyük veya daha az olacaktır. alıcının ses kaynağına yaklaşmasına veya uzaklaşmasına bağlı olarak. Zamanla ses bir mesafe kat eder ve alıcı da bir mesafe kat eder. Bu miktarların toplamı bize dalga boyunu verir:

Alıcı tarafından algılanan salınımların periyodu, bu salınımların frekansıyla şu oranda ilişkilidir:

Bunun yerine eşitlik (1)'deki ifadeyi değiştirerek şunu elde ederiz:

.

Çünkü , kaynağın salınım frekansı nerede ve o zaman:

3. Sesin kaynağı ve alıcısı ortama göre hareket eder. Önceki iki durumda elde edilen sonuçları birleştirerek şunu elde ederiz:

Ses dalgaları

Havada yayılan elastik dalgaların frekansı 20 ila 20.000 Hz arasında ise insan kulağına ulaştığında ses hissine neden olurlar. Bu nedenle bu frekans aralığında yer alan dalgalara ses adı verilir. Frekansı 20 Hz'den küçük olan elastik dalgalara denir kızılötesi . Frekansı 20.000 Hz'den büyük olan dalgalara denir ultrason. İnsan kulağı ultrason ve infrasound seslerini duyamaz.

Ses duyumları perde, tını ve ses seviyesi ile karakterize edilir. Sesin perdesi titreşimin frekansına göre belirlenir. Bununla birlikte, ses kaynağı yalnızca bir tane değil, tam bir frekans spektrumu yayar. Belirli bir seste mevcut olan titreşim frekansları kümesine onun adı verilir. akustik spektrum. Titreşim enerjisi akustik spektrumun tüm frekansları arasında dağıtılır. Bir sesin perdesi bir tanesi tarafından belirlenir - ana frekans, eğer bu frekans diğer frekansların payından önemli ölçüde daha fazla enerjiye sahipse.

Spektrum ile arasındaki frekans aralığında yer alan birçok frekanstan oluşuyorsa, böyle bir spektrum denir. sağlam(örnek - gürültü).

Spektrum ayrı frekanslardan oluşan bir dizi salınımdan oluşuyorsa, böyle bir spektrum denir. hüküm sürdü(örnek - müzikal sesler).

Sesin akustik spektrumu, doğasına ve enerjinin frekanslar arasındaki dağılımına bağlı olarak, sesin tınısı adı verilen ses duyusunun orijinalliğini belirler. Farklı müzik enstrümanlarının farklı akustik spektrumları vardır; ses tınısı bakımından farklılık gösterir.

Sesin yoğunluğu çeşitli niceliklerle karakterize edilir: ortamdaki parçacıkların titreşimleri, hızları, basınç kuvvetleri, içlerindeki gerilimler vb.

Bu miktarların her birinin salınımlarının genliğini karakterize eder. Ancak bu büyüklükler birbiriyle ilişkili olduğundan tek bir enerji karakteristiğinin tanıtılması tavsiye edilir. Her tür dalga için bu karakteristik 1877'de önerildi. ÜZERİNDE. Umovov.

Hareket eden dalganın önünden zihinsel olarak bir platform keselim. Zaman içerisinde bu alan dalga hızı kadar bir mesafe hareket edecektir.

Salınımlı ortamın birim hacminin enerjisini gösterelim. O zaman tüm hacmin enerjisi eşit olacaktır.

Bu enerji zamanla bölgede yayılan bir dalga tarafından aktarıldı.

Bu ifadeyi ve'ye bölerek dalganın birim zamanda birim alandan aktardığı enerjiyi elde ederiz. Bu miktar bir harfle gösterilir ve denir Umov vektörü

Ses alanı için vektör Umov sesin kuvveti denir.

Ses yoğunluğu, ses yoğunluğunun fiziksel bir özelliğidir. Subjektif olarak değerlendiriyoruz hacim ses. İnsan kulağı, gücü belirli bir minimum değeri aşan, farklı frekanslarda farklı olan sesleri algılar. Bu değer denir işitme eşiği ses. Hz mertebesindeki ortalama frekanslar için işitme eşiği mertebesindedir.

Ses şiddeti oldukça yüksek olan ses, kulak dışındaki dokunma organları tarafından da algılanarak kulakta ağrıya neden olur.

Bunun meydana geldiği yoğunluk değerine denir Ağrı eşiği. Ağrı eşiği ve işitme eşiği frekansa bağlıdır.

İnsan, sesleri algılamak için oldukça karmaşık bir aygıta sahiptir. Ses titreşimleri kulak kepçesi tarafından toplanır ve işitme kanalı yoluyla kulak zarına etki eder. Titreşimleri koklea adı verilen küçük bir boşluğa iletilir. Kohleanın içinde farklı uzunluk ve gerilimlere ve dolayısıyla farklı doğal titreşim frekanslarına sahip çok sayıda lif bulunur. Sese maruz kaldığında, fiberlerin her biri, frekansı fiberin doğal frekansıyla çakışan bir tonda rezonansa girer. İşitme cihazındaki rezonans frekansları seti, algıladığımız ses titreşimlerinin alanını belirler.

Kulaklarımız tarafından subjektif olarak değerlendirilen ses seviyesi, ses dalgalarının yoğunluğundan çok daha yavaş artar. Yoğunluk katlanarak artarken hacim aritmetik olarak artar. Buna dayanarak, ses seviyesi, belirli bir sesin yoğunluğunun orijinal olarak alınan yoğunluğa oranının logaritması olarak belirlenir.

Ses yüksekliği birimine denir beyaz. Daha küçük birimler de kullanılır - desibel(Beyazdan 10 kat daha az).

ses emme katsayısı nerede.

Ses yutma katsayısının değeri ses frekansının karesiyle orantılı olarak artar, dolayısıyla düşük sesler yüksek seslerden daha uzağa gider.

Büyük odaların mimari akustiğinde önemli bir rol oynar. yankılanma veya yankılı odalar. Çevreleyen yüzeylerden çoklu yansımalar yaşayan sesler, dinleyici tarafından oldukça uzun bir süre boyunca algılanır. Bu bize ulaşan sesin gücünü artırır ancak yankılanmanın çok uzun olması durumunda tek tek sesler üst üste biner ve konuşma artık net olarak algılanmaz. Bu nedenle salonların duvarları yankılanmayı azaltacak özel ses emici malzemelerle kaplanmaktadır.

Ses titreşimlerinin kaynağı titreşen herhangi bir cisim olabilir: bir zil dili, bir diyapazon, bir keman teli, nefesli çalgılardaki bir hava sütunu vb. Aynı cisimler, çevresel titreşimlerin etkisi altında hareket ettiklerinde ses alıcısı olarak da görev yapabilirler.

ultrason

Yön almak için, yani. Düz bir dalgaya yakın olduğunda, yayıcının boyutları dalga boyundan birçok kez daha büyük olmalıdır. Havadaki ses dalgalarının uzunluğu 15 m'ye kadardır; sıvı ve katı cisimlerde dalga boyu daha da uzundur. Bu nedenle, bu kadar uzunlukta yönlendirilmiş bir dalga yaratacak bir radyatör inşa etmek neredeyse imkansızdır.

Ultrasonik titreşimlerin frekansı 20.000 Hz'in üzerinde olduğundan dalga boyları çok kısadır. Dalga boyu azaldıkça kırınımın dalga yayılım sürecindeki rolü de azalır. Bu nedenle ultrasonik dalgalar, ışık ışınlarına benzer şekilde yönlendirilmiş ışınlar şeklinde üretilebilir.

Ultrasonik dalgaları uyarmak için iki olay kullanılır: ters piezoelektrik etki Ve manyetostriksiyon.

Ters piezoelektrik etki, bazı kristallerin (rochelle tuzu, kuvars, baryum titanat vb.) plakasının bir elektrik alanının etkisi altında hafifçe deforme olmasıdır. Alternatif voltajın uygulandığı metal plakaların arasına yerleştirilerek plakanın zorlanmış titreşimlerine neden olunabilir. Bu titreşimler ortama iletilir ve içinde ultrasonik bir dalga oluşur.

Manyetostriksiyon, ferromanyetik maddelerin (demir, nikel, alaşımları vb.) manyetik alanın etkisi altında deforme olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, ferromanyetik bir çubuğun alternatif bir manyetik alana yerleştirilmesiyle mekanik titreşimler uyarılabilir.

Yüksek akustik hız ve ivme değerlerinin yanı sıra ultrasonik titreşimleri incelemek ve almak için iyi geliştirilmiş yöntemler, bunların birçok teknik sorunu çözmek için kullanılmasını mümkün kılmıştır. Bunlardan bazılarını listeleyelim.

1928'de Sovyet bilim adamı S.Ya. Sokolov, kusur tespiti amacıyla ultrasonun kullanılmasını önerdi; metal ürünlerdeki boşluklar, çatlaklar, gevşeklikler, cüruf kalıntıları vb. gibi gizli iç kusurları tespit etmek için. Kusurun boyutu ultrasonun dalga boyunu aşarsa, ultrasonik darbe kusurdan yansıtılır ve geri döner. Bir ürüne ultrasonik darbeler göndererek ve yansıyan yankı sinyallerini kaydederek, yalnızca ürünlerdeki kusurların varlığını tespit etmek değil, aynı zamanda bu kusurların boyutunu ve yerini de yargılamak mümkündür. Şu anda bu yöntem endüstride yaygın olarak kullanılmaktadır.

Yönlü ultrasonik ışınlar konum amaçları için geniş uygulama alanı bulmuştur; Sudaki nesneleri tespit etmek ve onlara olan mesafeyi belirlemek için. Ultrasonik konum fikri ilk olarak seçkin bir Fransız fizikçi tarafından önerildi. P. Langevin Birinci Dünya Savaşı sırasında denizaltıları tespit etmek için onun tarafından geliştirildi. Şu anda buzdağlarını, balık sürülerini vb. tespit etmek için sonar prensipleri kullanılıyor. Bu yöntemler aynı zamanda geminin dibi altındaki denizin derinliğini de belirleyebilmektedir (yankı sireni).

Yüksek genlikli ultrasonik dalgalar şu anda katı malzemelerin mekanik olarak işlenmesi, sıvıya yerleştirilen küçük nesnelerin (saat parçaları, boru hatları vb.) Temizlenmesi, gazdan arındırılması vb. için teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.

Geçişleri sırasında ortamda güçlü basınç titreşimleri yaratan ultrasonik dalgalar, bir dizi spesifik olaya neden olur: sıvı içinde asılı kalan parçacıkların öğütülmesi (dağılması), emülsiyon oluşumu, difüzyon işlemlerinin hızlanması, kimyasal reaksiyonların aktivasyonu, biyolojik nesneler üzerindeki etkiler , vesaire.

Duran dalgalar. 6.1 Elastik bir ortamda duran dalgalar

6.1 Elastik bir ortamda duran dalgalar

Süperpozisyon ilkesine göre, birkaç dalga elastik bir ortamda aynı anda yayıldığında, bunların süperpozisyonları meydana gelir ve dalgalar birbirini etkilemez: ortam parçacıklarının salınımları, parçacıkların yapacağı salınımların vektör toplamıdır. Dalgaların her biri ayrı ayrı yayıldığında.

Uzayın her noktasında aralarındaki faz farkları sabit olan, ortamın salınımlarını yaratan dalgalara denir. tutarlı.

Tutarlı dalgalar eklendiğinde bu fenomen ortaya çıkar parazit yapmak uzayda bazı noktalarda dalgaların birbirini güçlendirmesi, diğer noktalarda ise birbirini zayıflatması gerçeğinden oluşur. Aynı frekans ve genliğe sahip iki karşıt yayılan düzlem dalga üst üste bindirildiğinde önemli bir girişim durumu gözlemlenir. Ortaya çıkan salınımlara denir durağan dalga. Çoğu zaman, ilerleyen bir dalga bir engelden yansıdığında duran dalgalar ortaya çıkar. Bu durumda gelen dalga ve ona doğru yansıyan dalga toplandığında duran dalgayı verir.

Duran dalga denklemini elde ederiz. Eksen boyunca birbirine doğru yayılan iki düzlem harmonik dalgayı ele alalım. X ve aynı frekans ve genliğe sahip:

Nerede – birinci dalganın geçişi sırasında ortam noktalarının salınım aşaması;

– ikinci dalganın geçişi sırasında ortamdaki noktaların salınım aşaması.

Eksen üzerindeki her noktada faz farkı X ağ zamana bağlı olmayacaktır, yani. sabit olacaktır:

Bu nedenle her iki dalga da tutarlı olacaktır.

Söz konusu dalgaların eklenmesinden kaynaklanan ortam parçacıklarının titreşimi aşağıdaki gibi olacaktır:

Açıların kosinüslerinin toplamını kural (4.4)'e göre dönüştürelim ve şunu elde edelim:

Faktörleri yeniden gruplandırdığımızda şunu elde ederiz:

İfadeyi basitleştirmek için referans noktasını faz farkının eşit olacağı şekilde seçiyoruz. ve aşamaların toplamı sıfıra eşit olacak şekilde zaman sayımının başlangıcı: .

O zaman dalgaların toplamına ilişkin denklem şu şekli alacaktır:

Denklem (6.6) denir duran dalga denklemi. Duran dalganın frekansının ilerleyen dalganın frekansına eşit olduğunu ve genliğin, ilerleyen dalganın aksine orijinden olan mesafeye bağlı olduğunu gösterir:

. (6.7)

(6.7) dikkate alındığında, duran dalga denklemi aşağıdaki formu alır:

. (6.8)

Böylece ortamın noktaları, ilerleyen dalganın frekansı ve genliği ile çakışan bir frekansta salınır. A noktanın eksen üzerindeki konumuna bağlı olarak X. Buna göre genlik kosinüs yasasına göre değişir ve maksimum ve minimum değerlerine sahiptir (Şekil 6.1).

Genliğin minimum ve maksimumlarının konumunu görselleştirmek için, (5.29)'a göre dalga sayısını değeriyle değiştiririz:

Daha sonra genlik için ifade (6.7) şu formu alacaktır:

(6.10)

Bundan, yer değiştirme genliğinin maksimum olduğu açıkça ortaya çıkıyor , yani koordinatları koşulu karşılayan noktalarda:

, (6.11)

Nerede

Buradan yer değiştirme genliğinin maksimum olduğu noktaların koordinatlarını elde ederiz:

; (6.12)

Ortamın titreşim genliğinin maksimum olduğu noktalara denir. dalganın antinotları.

Dalganın genliği bazı noktalarda sıfırdır. . Bu tür noktaların koordinatları denir dalga düğümleri, koşulu karşılıyor:

, (6.13)

Nerede

(6.13)'ten düğümlerin koordinatlarının aşağıdaki değerlere sahip olduğu açıktır:

, (6.14)

İncirde. Şekil 6.2, düğümlerin ve antinotların konumunu işaretleyen duran dalganın yaklaşık bir görünümünü göstermektedir. Komşu düğümlerin ve yer değiştirme antinodlarının birbirlerinden aynı mesafede aralıklı olduğu görülebilir.

Komşu antinotlar ve düğümler arasındaki mesafeyi bulalım. (6.12)'den antinodlar arasındaki mesafeyi elde ediyoruz:

(6.15)

Düğümler arasındaki mesafe (6.14)'ten elde edilir:

(6.16)

Elde edilen (6.15) ve (6.16) bağıntılarından, komşu düğümler arasındaki mesafenin yanı sıra komşu antinodlar arasındaki mesafenin sabit ve eşit olduğu açıktır; düğümler ve antinotlar birbirlerine göre kaydırılır (Şekil 6.3).

Dalga boyunun tanımından, duran dalganın uzunluğu için bir ifade yazabiliriz: Bu, ilerleyen dalganın uzunluğunun yarısına eşittir:

Düğümlerin ve antinotların koordinatları için ifadeleri (6.17) dikkate alarak yazalım:

, (6.18)

, (6.19)

Duran bir dalganın genliğini belirleyen faktör, sıfır değerinden geçerken işaretini değiştirir, bunun sonucunda düğümün farklı taraflarındaki salınımların fazı farklılık gösterir. Sonuç olarak, düğümün karşıt taraflarında bulunan tüm noktalar antifazda salınır. Komşu düğümler arasında bulunan tüm noktalar aynı fazda salınım yapar.

Düğümler koşullu olarak çevreyi, harmonik salınımların bağımsız olarak meydana geldiği özerk bölgelere böler. Bölgeler arasında hareket aktarımı olmadığı için bölgeler arasında enerji akışı da olmaz. Yani eksen boyunca herhangi bir bozulma iletimi yoktur. Bu nedenle dalgaya duran dalga adı verilir.

Böylece, eşit frekans ve genliğe sahip iki zıt yönlü ilerleyen dalgadan bir duran dalga oluşur. Bu dalgaların her birinin Umov vektörleri eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür ve toplandığında sıfır verir. Sonuç olarak, duran bir dalga enerji aktarmaz.

6.2 Duran dalga örnekleri

6.2.1 Bir ipte duran dalga

Bir uzunluk dizisi düşünelim L, her iki uçtan sabitlenmiştir (Şekil 6.4).

İp boyunca bir eksen yerleştirelim X böylece dizenin sol ucu koordinata sahip olur x=0 ve doğru olanı – x=L. İpte aşağıdaki denklemle açıklanan salınımlar meydana gelir:

Söz konusu dize için sınır koşullarını yazalım. Uçları sabit olduğundan koordinatları olan noktalarda x=0 Ve x=L tereddütsüz:

(6.22)

Yazılı sınır koşullarına göre sicim salınımlarının denklemini bulalım. İpin sol ucu için (6.21) denklemini (6.21) dikkate alarak yazalım:

(6.23) bağıntısı her zaman sağlanır T iki durumda:

1. . İpte () titreşim yoksa bu mümkündür. Bu dava bizi ilgilendirmiyor ve dikkate almayacağız.

2. . İşte aşama. Bu durum sicim titreşimlerinin denklemini elde etmemizi sağlayacaktır.

Elde edilen faz değerini dizenin sağ ucu için sınır koşuluna (6.22) koyalım:

. (6.25)

Hesaba katıldığında

, (6.26)

(6.25)'ten şunu elde ederiz:

Yine (6.27) ilişkisinin sağlandığı iki durum ortaya çıkar. İpte () titreşim olmadığı durumu dikkate almayacağız.

İkinci durumda eşitliğin sağlanması gerekir:

ve bu yalnızca sinüs argümanı bir tam sayının katı olduğunda mümkündür:

Değeri atıyoruz çünkü bu durumda ve bu, dizenin sıfır uzunluğunda olduğu anlamına gelir ( L=0) veya dalga numarası k=0. Dalga sayısı ile dalga boyu arasındaki bağlantı (6.9) dikkate alındığında, dalga sayısının sıfıra eşit olabilmesi için dalga boyunun sonsuz olması gerektiği ve bunun da salınımların olmadığı anlamına geleceği açıktır.

(6.28)'den, her iki ucunda sabitlenmiş bir ipin salınımı sırasındaki dalga sayısının yalnızca belirli ayrık değerleri alabileceği açıktır:

(6.9)’u hesaba katarak (6.30)’u şu şekilde yazıyoruz:

buradan dizedeki olası dalga boyları için ifadeyi elde ederiz:

Başka bir deyişle, dizenin uzunluğu boyunca L bir tamsayıya sığmalıdır N yarım dalgalar:

Karşılık gelen salınım frekansları (5.7)'den belirlenebilir:

(5.102)'ye göre ipin doğrusal yoğunluğuna ve ipin gerilme kuvvetine bağlı olarak dalganın faz hızı şöyledir:

(6.34)'ü (6.33)'e değiştirerek, telin olası titreşim frekanslarını tanımlayan bir ifade elde ederiz:

, (6.36)

Frekanslar denir doğal frekanslar Teller. Frekans (de N = 1):

(6.37)

isminde temel frekans(veya ana ton) Teller. Frekanslar şu tarihte belirlendi: n>1 arandı imalar veya harmonikler. Harmonik numarası n-1. Örneğin, frekans:

birinci harmoniğe ve frekansa karşılık gelir:

ikinci harmoniğe vb. karşılık gelir. Bir dizi sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip ayrık bir sistem olarak temsil edilebildiğinden, her bir harmonik moda tel titreşimleri. Genel durumda, sicim titreşimleri modların üst üste binmesini temsil eder.

Her harmoniğin kendi dalga boyu vardır. Ana ton için (ile n= 1) dalga boyu:

sırasıyla birinci ve ikinci harmonikler için ( n= 2 ve n= 3) dalga boyları şöyle olacaktır:

Şekil 6.5 bir ip tarafından gerçekleştirilen çeşitli titreşim modlarının görünümünü göstermektedir.

Böylece, sabit uçları olan bir sicim, klasik fizik çerçevesinde istisnai bir durumu, titreşim frekanslarının (veya dalga boylarının) ayrık bir spektrumunu gerçekleştirir. Bir veya her iki ucu kelepçeli olan elastik bir çubuk ve borulardaki hava sütununun salınımları, sonraki bölümlerde ele alınacak şekilde aynı şekilde davranır.

6.2.2 Başlangıç ​​koşullarının harekete etkisi

sürekli dize. Fourier analizi

Salınım frekanslarının ayrık spektrumuna ek olarak, uçları kenetlenmiş bir telin salınımları başka bir önemli özelliğe sahiptir: telin salınımlarının spesifik biçimi, salınımların uyarılma yöntemine bağlıdır, yani. başlangıç ​​koşullarından. Hadi daha yakından bakalım.

Bir dizideki duran dalganın bir modunu tanımlayan denklem (6.20), diferansiyel dalga denkleminin (5.61) özel bir çözümüdür. Bir sicimin titreşimi olası tüm modlardan (bir sicim için - sonsuz sayıda) oluştuğundan, dalga denkleminin (5.61) genel çözümü sonsuz sayıda kısmi çözümden oluşur:

, (6.43)

Nerede Ben– titreşim modu numarası. İfade (6.43), dizenin uçlarının sabit olduğu dikkate alınarak yazılmıştır:

ve ayrıca frekans bağlantısını da dikkate alarak Ben-th modu ve dalga numarası:

(6.46)

Burada - dalga sayısı Ben bu moda;

– 1. modun dalga numarası;

Her salınım modu için başlangıç ​​fazının değerini bulalım. Bunun için şu anda t=0 dizeye fonksiyon tarafından tanımlanan bir şekil verelim F 0 (X)(6.43)'ten elde ettiğimiz ifade:

. (6.47)

İncirde. Şekil 6.6, fonksiyon tarafından tanımlanan bir dizenin şeklinin bir örneğini göstermektedir F 0 (X).

Zamanın bir anında t=0 dize hala hareketsizdir, yani. tüm noktalarının hızı sıfırdır. (6.43)'ten sicim noktalarının hızı için bir ifade buluyoruz:

ve onun yerine koyarak t=0 ile, zamanın ilk anında ip üzerindeki noktaların hızı için bir ifade elde ederiz:

. (6.49)

Zamanın ilk anında hız sıfıra eşit olduğundan, eğer (6.49) ifadesi dizenin tüm noktaları için sıfıra eşit olacaktır. Bundan, tüm modlar için başlangıç ​​​​fazının da sıfır () olduğu sonucu çıkar. Bunu dikkate alarak ipin hareketini tanımlayan ifade (6.43) şu şekli alır:

, (6.50)

ve dizenin başlangıç ​​şeklini tanımlayan ifade (6.47) şöyle görünür:

. (6.51)

Bir ipteki duran dalga, ipin iki uzunluğuna eşit olan aralık boyunca periyodik olan bir fonksiyonla tanımlanır (Şekil 6.7):

Bu, bir aralıktaki periyodikliğin şu anlama geldiği gerçeğinden görülebilir:

Buradan,

bu da bizi (6.52) ifadesine götürür.

Matematiksel analizlerden herhangi bir periyodik fonksiyonun yüksek doğrulukla Fourier serisine genişletilebileceği bilinmektedir:

, (6.57)

burada , , Fourier katsayılarıdır.

Bir ortamda birden fazla dalga aynı anda yayılırsa, ortamdaki parçacıkların titreşimleri, dalgaların her biri ayrı ayrı yayıldığında parçacıkların yapacağı titreşimlerin geometrik toplamına eşit olur. Sonuç olarak, dalgalar birbirini rahatsız etmeden üst üste biner. Bu ifadeye dalga süperpozisyonu ilkesi denir.

Ortamın her noktasında bireysel dalgaların neden olduğu salınımların sabit bir faz farkına sahip olması durumunda, dalgalara tutarlı denir. (Tutarlılığın daha kesin bir tanımı § 120'de verilecektir.) Tutarlı dalgalar eklendiğinde, salınımların bazı noktalarda güçlenmesi ve diğer noktalarda birbirini zayıflatması gerçeğinden oluşan girişim olgusu ortaya çıkar.

Aynı genliğe sahip karşıt yayılan iki düzlem dalga üst üste bindirildiğinde çok önemli bir girişim durumu gözlemlenir. Ortaya çıkan salınım sürecine duran dalga denir. Dalgalar engellerden yansıdığında neredeyse duran dalgalar ortaya çıkar. Bir engelin üzerine düşen bir dalga ve ona doğru koşan yansıyan dalga, birbirinin üzerine binerek duran bir dalga oluşturur.

X ekseni boyunca zıt yönlerde yayılan iki düzlem dalganın denklemlerini yazalım:

Bu denklemleri bir araya toplayıp sonucu kosinüslerin toplamı formülünü kullanarak dönüştürdüğümüzde, şunu elde ederiz:

Denklem (99.1) duran dalganın denklemidir. Basitleştirmek için, fark sıfıra eşit olacak şekilde orijini seçiyoruz ve toplam sıfıra eşit olacak şekilde orijini seçiyoruz. Ayrıca k dalga sayısını onun değeriyle değiştiriyoruz.

Daha sonra denklem (99.1) şu formu alacaktır:

(99.2)'den, duran dalga salınımlarının her noktasında karşı yayılan dalgalarla aynı frekansta meydana geldiği ve genliğin x'e bağlı olduğu açıktır:

salınımların genliği maksimum değerine ulaşır. Bu noktalara duran dalga antinodları denir. (99.3)'ten antinotların koordinatlarının değerleri elde edilir:

Bir antinodun tek bir nokta değil, noktaları formül (99.4) ile belirlenen x koordinat değerlerine sahip bir düzlem olduğu unutulmamalıdır.

Koordinatları koşulu sağlayan noktalarda

salınımların genliği sıfır olur. Bu noktalara duran dalga düğümleri denir. Ortamın düğümlerde bulunan noktaları salınım yapmaz. Düğüm koordinatları önemlidir

Bir düğüm, bir antinod gibi, bir nokta değil, noktaları formül (99.5) ile belirlenen x koordinat değerlerine sahip bir düzlemdir.

Formüller (99.4) ve (99.5)'ten, bitişik antinodlar arasındaki mesafenin yanı sıra bitişik düğümler arasındaki mesafenin eşit olduğu sonucu çıkar. Antinotlar ve düğümler birbirlerine göre dalga boyunun dörtte biri kadar kaydırılır.

Tekrar denklem (99.2)'ye dönelim. Çarpan sıfırdan geçerken işaret değiştirir. Buna göre düğümün karşı taraflarındaki salınımların fazı farklılık gösterir. Bu, düğümün karşıt taraflarında bulunan noktaların antifazda salındığı anlamına gelir. İki bitişik düğüm arasında bulunan tüm noktalar aynı fazda (yani aynı fazda) salınır. İncirde. Şekil 99.1, denge konumundan nokta sapmalarının bir dizi "anlık görüntüsünü" sağlar.

İlk “fotoğraf”, sapmaların en büyük mutlak değerine ulaştığı ana karşılık gelir. Sonraki “fotoğraflar” çeyrek dönem aralıklarla çekilir. Oklar parçacık hızlarını gösterir.

Denklemin (99.2) t'ye göre bir kez ve x'e göre başka bir kez farklılaştırılmasıyla, parçacık hızı ve ortamın deformasyonu için ifadeler buluruz:

Denklem (99.6) duran hız dalgasını, (99.7) ise duran deformasyon dalgasını tanımlar.

İncirde. 99.2, 0 zaman anları için yer değiştirme, hız ve deformasyonun "anlık görüntülerini" karşılaştırır ve Grafiklerden, hızın düğümleri ve antinodlarının yer değiştirmenin düğümleri ve antinodları ile çakıştığı açıktır; deformasyonun düğümleri ve antinotları sırasıyla yer değiştirmenin antinotları ve düğümleriyle çakışır. Maksimum değerlere ulaşıldığında sıfıra gider ve bunun tersi de geçerlidir.

Buna göre, periyot başına iki kez, bir duran dalganın enerjisi ya tamamen potansiyele dönüştürülür, esas olarak dalga düğümlerinin yakınında yoğunlaşır (deformasyon antinotlarının bulunduğu yer) ya da tamamen kinetik enerjiye dönüştürülür, esas olarak dalga antinotlarının yakınında yoğunlaşır (burada hız antinotları bulunur). bulunan). Sonuç olarak, enerji her düğümden komşu antinotlara ve geriye doğru aktarılır. Dalganın herhangi bir bölümünde zaman ortalamalı enerji akışı sıfırdır.