Olasılık teorisi: formüller ve problem çözme örnekleri. Olasılık teorisi

Olayların olası, olası ve rastgele olarak sınıflandırılması. Basit ve karmaşık temel olay kavramları. Olaylara ilişkin işlemler. Rastgele bir olayın olasılığının klasik tanımı ve özellikleri. Olasılık teorisinde kombinatorik unsurları. Geometrik olasılık. Olasılık teorisinin aksiyomları.

Olay sınıflandırması

Olasılık teorisinin temel kavramlarından biri olay kavramıdır. Altında etkinlik Bir deneyim ya da test sonucunda ortaya çıkabilecek her türlü gerçeği anlayabilir. Altında deneyim, veya Ölçek, belirli bir dizi koşulun uygulanmasını ifade eder.

Olay örnekleri:

Buna benzer sayısız örnek verilebilir. Olaylar Latin alfabesinin büyük harfleriyle vb. gösterilir.

Ayırt etmek ortak etkinlikler Ve uyumsuz. Birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini engellemiyorsa bu olaylara ortak olaylar denir. Aksi takdirde olaylara uyumsuz denir. Örneğin iki zar atılıyor. Olay, ilk zarda üç puan kaybı, ikinci zarda ise üç puan kaybıdır. ve - ortak etkinlikler. Mağazanın aynı stil ve bedende ancak farklı renklerde bir grup ayakkabı almasına izin verin. Etkinlik - rastgele alınan bir kutuda siyah ayakkabılar bulunur, bir etkinlik - kutuda kahverengi ayakkabılar bulunur ve - uyumsuz etkinlikler.

Olayın adı güvenilir Belirli bir deneyin koşulları altında meydana geleceği kesin ise.

Belirli bir deneyimin koşulları altında gerçekleşemeyen bir olaya imkansız denir. Örneğin, standart parçalardan oluşan bir partiden standart bir parçanın alınması durumu güvenilirdir ancak standart olmayan bir parçanın alınması imkansızdır.

Olayın adı olası, veya rastgele, eğer deneyimin bir sonucu olarak görünebilirse de görünmeyebilir. Rastgele bir olaya örnek olarak, bir bitmiş ürün grubunun denetimi sırasında ürün kusurlarının belirlenmesi, işlenmiş ürünün boyutu ile belirtilen ürün arasındaki tutarsızlık veya otomatik kontrol sistemindeki bağlantılardan birinin arızası verilebilir.

Olaylar denir eşit derecede mümkün, eğer test koşullarına göre bu olaylardan hiçbiri nesnel olarak diğerlerinden daha mümkün değilse. Örneğin, bir mağazaya birden fazla üretim tesisi tarafından eşit miktarda ampul tedarik edilsin. Bu fabrikaların herhangi birinden ampul satın alınmasını içeren etkinlikler de aynı derecede mümkündür.

Önemli bir kavram tam bir etkinlik grubu. Belirli bir deneydeki birçok olay, eğer deney sonucunda bunlardan en az birinin ortaya çıkacağından eminse, tam bir grup oluşturur. Örneğin, bir kavanozda altısı kırmızı, dördü beyaz ve beşi sayılara sahip on top vardır. - bir çekilişte kırmızı bir topun ortaya çıkması, - beyaz bir topun ortaya çıkması, - üzerinde rakam bulunan bir topun ortaya çıkması. Etkinlikler, ortak etkinliklerin tam bir grubunu oluşturur.

Karşıt veya ek olay kavramını tanıtalım. Altında zıt Bir olay, bir olayın meydana gelmemesi durumunda mutlaka meydana gelmesi gereken bir olay olarak anlaşılmaktadır. Zıt olaylar uyumsuzdur ve mümkün olan tek olaylardır. Tam bir olay grubu oluştururlar. Örneğin, üretilen ürünlerin bir partisi iyi ve kusurlu ürünlerden oluşuyorsa, o zaman bir ürün çıkarıldığında, bunun iyi bir olay ya da kusurlu bir olay olduğu ortaya çıkabilir.

Olaylara ilişkin işlemler

Olasılık teorisinde rastgele olayları incelemek için bir aparat ve metodoloji geliştirirken, olayların toplamı ve çarpımı kavramı çok önemlidir.

Birkaç olayın toplamı veya birleşimi, bu olaylardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

Olayların toplamı şu şekilde gösterilir:

Örneğin, bir olay hedefi ilk atışla vuruyorsa, bir olay - ikinciyle, o zaman olay genel olarak hedefi vuruyorsa, hangi atışla olduğu önemli değildir - birinci, ikinci veya her ikisi birlikte.

Birkaç olayın ürünü veya kesişimi, tüm bu olayların ortaklaşa meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

Olayların üretimi belirtilir

Örneğin ilk atışta hedefin vurulması olayı varsa, ikinci atışta hedefin vurulması olayı ise her iki atışta hedefin vurulması olayıdır.

Olayların toplamı ve çarpımı kavramlarının açık bir geometrik yorumu vardır. Olay bölgeye giren bir noktadan ibaret olsun, olay bölgeye giren noktadan oluşsun, o halde olay Şekil 2'de gölgelenen bölgeye giren noktadan oluşsun. Şekil 1'de gösterilen olay, bir noktanın Şekil 2'de gölgelenen alana çarpmasıdır. 2.

Rastgele bir olayın olasılığının klasik tanımı

Olayları, meydana gelme olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırmak için, olayın olasılığı adı verilen sayısal bir ölçüm uygulanır.

Bir olayın olasılığı, bir olayın meydana gelmesinin nesnel olasılığının ölçüsünü ifade eden bir sayıdır.

Bir olayın olasılığı sembolü ile gösterilecektir.

Bir olayın olasılığı, benzersiz şekilde mümkün, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumların toplam sayısı içinden, kendisi için uygun olan durumların sayısına oranına eşittir. yani.

Bu olasılığın klasik tanımıdır. Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını göz önünde bulundurarak, benzersiz bir şekilde mümkün, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumlardan oluşan bir dizi bulmak, bunların toplam sayısını, belirli bir durum için uygun olan durumların sayısını hesaplamak gerekir. olayı belirleyin ve ardından formül (1.1)'i kullanarak hesaplamayı yapın.

Formül (1.1)'den, bir olayın olasılığının negatif olmayan bir sayı olduğu ve olumlu vaka sayısının toplam vaka sayısına oranına bağlı olarak sıfırdan bire değişebileceği sonucu çıkar:

Olasılığın Özellikleri

Mülk 1. Belirli bir olay için tüm durumlar uygunsa, o zaman bu olayın gerçekleşmesi kesindir. Sonuç olarak, söz konusu olay güvenilirdir ve gerçekleşme olasılığı da bu durumda olduğundan

Mülk 2. Bir olayın tek bir olumlu durumu yoksa bu olayın tecrübe sonucu meydana gelmesi mümkün değildir. Sonuç olarak, söz konusu olay imkansızdır ve gerçekleşme olasılığı şudur: Bu durumda:

Mülk 3. Tam bir grubu oluşturan olayların meydana gelme olasılığı bire eşittir.

Mülk 4. Ters olayın meydana gelme olasılığı, olayın meydana gelme olasılığı ile aynı şekilde belirlenir:

zıt olayın meydana gelmesine elverişli vakaların sayısı nerede? Dolayısıyla zıt olayın meydana gelme olasılığı, birlik ile olayın meydana gelme olasılığı arasındaki farka eşittir:

Bir olayın olasılığının klasik tanımının önemli bir avantajı, onun yardımıyla bir olayın olasılığının deneyime başvurmadan, ancak mantıksal akıl yürütmeye dayanarak belirlenebilmesidir.

Örnek 1. Abone, telefon numarasını çevirirken bir rakamı unutup rastgele çevirmiştir. Doğru numaranın çevrilme olasılığını bulun.

Çözüm. İstenilen numaranın çevrilmesi olayını belirtelim. Abone 10 rakamdan herhangi birini çevirebilir, dolayısıyla olası sonuçların toplam sayısı 10'dur. Bu sonuçlar tek olasıdır (rakamlardan biri çevrilmelidir) ve eşit derecede mümkündür (rakam rastgele aranır). Olayı destekleyen yalnızca bir sonuç vardır (gerekli yalnızca bir sayı vardır). Gerekli olasılık, olay için olumlu sonuçların sayısının tüm sonuçların sayısına oranına eşittir:

Kombinatorik elemanları

Olasılık teorisinde yerleşimler, permütasyonlar ve kombinasyonlar sıklıkla kullanılır. Bir set verilirse, o zaman yerleştirme (kombinasyon) elemanların by kümesinin elemanlarının herhangi bir sıralı (sırasız) alt kümesidir. Yerleştirildiğinde çağrılır yeniden düzenleme elementlerden.

Örneğin bir küme verilmiş olsun. Bu ikili kümenin üç elemanının yerleşimleri , , , , , ; kombinasyonlar - , , .

İki kombinasyon en az bir öğe açısından farklılık gösterir ve yerleşimler ya öğelerin kendisinde ya da göründükleri sıraya göre farklılık gösterir. Elementlerin kombinasyonlarının sayısı formülle hesaplanır.

elemanların yerleşim sayısıdır; - elemanların permütasyon sayısı.

Örnek 2. 10 parçalık bir partide 7 standart parça vardır. Rastgele alınan 6 parçadan tam olarak 4 tanesinin standart parça olma olasılığını bulun.

Çözüm. Testin olası sonuçlarının toplam sayısı, 10 parçadan 6 parçanın çıkarılabileceği yolların sayısına, yani 6'nın 10 öğesinin kombinasyon sayısına eşittir. Olay için uygun olan sonuçların sayısı (aralarında) alınan 6 parça tam 4 standart parçadır) şu şekilde belirlenir: 7 standart parçadan farklı şekillerde 4 standart parça alınabilir; bu durumda geri kalan parçalar standart dışı olmalıdır; Standart olmayan parçalardan standart olmayan 2 parçayı çıkarmanın yolları vardır. Bu nedenle, olumlu sonuçların sayısı eşittir. Başlangıç olasılığı, olaya uygun sonuçların sayısının tüm sonuçların sayısına oranına eşittir:

Olasılığın istatistiksel tanımı

Formül (1.1), yalnızca deneyimin bir vaka modeline indirgenmesi durumunda olayların olasılıklarını doğrudan hesaplamak için kullanılır. Pratikte, olasılığın klasik tanımı genellikle iki nedenden dolayı uygulanamaz: Birincisi, olasılığın klasik tanımı, toplam vaka sayısının sonlu olması gerektiğini varsayar. Aslında çoğu zaman sınırlı değildir. İkincisi, bir deneyin sonuçlarını eşit derecede olası ve uyumsuz olaylar biçiminde sunmak çoğu zaman imkansızdır.

Tekrarlanan Deneyler sırasında olayların meydana gelme sıklığı, bazı sabit değerler etrafında istikrar kazanma eğilimindedir. Böylece, belirli bir sabit değer, frekansların etrafında gruplandırıldığı ve deneylerin gerçekleştirildiği koşullar kümesi ile olay arasındaki nesnel bağlantının bir özelliği olan, söz konusu olayla ilişkilendirilebilir.

Rastgele bir olayın olasılığı, deneme sayısı arttıkça bu olayın frekanslarının etrafında gruplandırıldığı sayıdır.

Olasılığın bu tanımına denir istatistiksel.

Olasılığı belirlemeye yönelik istatistiksel yöntemin avantajı, gerçek bir deneye dayanmasıdır. Bununla birlikte, önemli dezavantajı, olasılığı belirlemek için çok sayıda deney yapılmasının gerekli olmasıdır ve bunlar sıklıkla malzeme maliyetleriyle ilişkilidir. Bir olayın olasılığının istatistiksel tanımı, bu kavramın içeriğini tam olarak ortaya koysa da, olasılığın gerçekte hesaplanmasını mümkün kılmaz.

Olasılığın klasik tanımı, sonlu sayıda eşit derecede olası olayların tam grubunu dikkate alır. Pratikte çoğu zaman olası test sonuçlarının sayısı sonsuzdur. Bu gibi durumlarda klasik olasılık tanımı geçerli değildir. Ancak bazen bu gibi durumlarda başka bir olasılık hesaplama yöntemi kullanabilirsiniz. Kesinlik sağlamak için kendimizi iki boyutlu durumla sınırlandırıyoruz.

Düzlemde başka bir alan bölgesini içeren belirli bir alan bölgesi verilsin (Şekil 3). Alana rastgele bir nokta atılır. Bölgeye bir noktanın düşme olasılığı nedir? Rastgele atılan bir noktanın bölgedeki herhangi bir noktaya çarpabileceği, bölgenin herhangi bir yerine çarpma olasılığının parçanın alanıyla orantılı olduğu, konumuna ve şekline bağlı olmadığı varsayılmaktadır. Bu durumda alana girme olasılığı

Dolayısıyla genel durumda, bir noktanın belirli bir alan içindeki bir çizgi, düzlem veya uzayda rastgele görünme olasılığı, bu alanın konumu ve sınırları ile değil, yalnızca boyutuyla, yani uzunluğuyla belirlenirse. , alan veya hacim, ardından Rastgele bir noktanın belirli bir bölgeye düşme olasılığı, bu bölgenin boyutunun, belirli bir noktanın görünebileceği tüm bölgenin boyutuna oranı olarak tanımlanır. Bu olasılığın geometrik tanımıdır.

Örnek 3. Yuvarlak bir hedef sabit açısal hızla dönmektedir. Hedefin beşte biri yeşile, geri kalanı beyaza boyanmıştır (Şek. 4). Hedefe öyle bir atış yapılır ki, hedefi vurmak güvenilir bir olaydır. Yeşil renkli hedef sektörü vurma olasılığını belirlemeniz gerekiyor.

Çözüm. "Atış yeşil renkli sektöre çarptı" ifadesini kullanalım. Daha sonra . Olasılık, hedefin herhangi bir kısmını vurmak eşit derecede mümkün olduğundan, hedefin yeşil boyalı kısmının alanının hedefin tüm alanına oranı olarak elde edilir.

Olasılık teorisinin aksiyomları

Rastgele bir olayın olasılığının istatistiksel tanımından, bir olayın olasılığının, bu olayın deneysel olarak gözlemlenen frekanslarının etrafında gruplandırıldığı sayı olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle olasılık teorisinin aksiyomları, bir olayın olasılığının frekansın temel özelliklerine sahip olmasını sağlayacak şekilde tanıtılmıştır.

Aksiyom 1. Her olay, koşulu karşılayan ve olasılığı adı verilen belirli bir sayıya karşılık gelir.

Nizhny Novgorod Devlet Teknik Üniversitesi

onlara. A.E. Alekseeva

Disiplin olasılık teorisinin özeti

Tamamlayan: Ruchina N.A gr 10MEnz

Kontrol eden: Gladkov V.V.

Nijniy Novgorod, 2011

Olasılık teorisi……………………………………

Olasılık teorisinin konusu…………………………

Olasılık teorisinin temel kavramları……………

Rastgele olaylar, olayların olasılıkları………………………………………………………………

Limit teoremleri……………………………………

Rastgele süreçler………………………………………………………

Tarihsel referans…………………………………

Kullanılmış Kitaplar……………………………………………

Olasılık teorisi

Olasılık teorisi - Bazı rastgele olayların olasılıklarından, birinciyle bir şekilde ilişkili olan diğer rastgele olayların olasılıklarını bulmayı sağlayan bir matematik bilimi.

Bir olayın olasılık dahilinde gerçekleştiğini belirten ifade , Örneğin 0,75'e eşit olması tek başına nihai bir değeri temsil etmez, çünkü güvenilir bilgi için çabalıyoruz. Nihai bilişsel değer, herhangi bir olayın meydana gelme olasılığının olduğunu ifade etmemizi sağlayan olasılık teorisinin sonuçlarıdır. A birliğe çok yakın veya (aynı şey) olayın gerçekleşmeme olasılığı Açok küçük. "Yeterince küçük olasılıkların ihmal edilmesi" ilkesi uyarınca böyle bir olayın pratikte kesin olduğu kabul edilir. Bilimsel ve pratik açıdan ilgi çekici olan bu tür sonuçlar genellikle bir olayın meydana gelip gelmediği varsayımına dayanmaktadır. A birbirleriyle çok az ilişkili olan çok sayıda rastgele faktöre bağlıdır . Dolayısıyla olasılık teorisinin çok sayıda rastgele faktörün etkileşimi sırasında ortaya çıkan örüntüleri aydınlatan bir matematik bilimi olduğunu da söyleyebiliriz.

Olasılık teorisinin konusu

Olasılık teorisinin konusu. Belirli koşullar arasındaki doğal ilişkiyi tanımlamak S ve olay A, Belirli koşullar altında oluşup oluşmaması kesin olarak belirlenebilen doğa bilimleri genellikle aşağıdaki iki şemadan birini kullanır:

a) Koşullar karşılandığında S bir olay geliyor A.Örneğin bu form, başlangıç koşulları ve bir cisim veya cisimler sistemi üzerine etki eden kuvvetler verildiğinde, hareketin benzersiz şekilde tanımlanmış bir şekilde gerçekleşeceğini belirten klasik mekaniğin tüm yasalarına sahiptir.

b) Koşullar altında S etkinlik A belli bir olasılık var P(GİBİ), eşittir R. Dolayısıyla, örneğin radyoaktif radyasyon yasaları, her radyoaktif madde için, belirli bir zaman diliminde belirli miktardaki maddeden bazılarının bozunma olasılığının belirli olduğunu belirtir. N atomlar.

Buna olayın sıklığı diyelim A bu seride N testler (yani N koşulların tekrar tekrar uygulanması S) davranış h = m/n sayılar M bu testler hangi A toplam sayılarına ulaştılar N. Etkinliğin kullanılabilirliği A koşullar altında S belirli bir olasılık eşittir R, hemen hemen her yeterince uzun test serisinde olayın sıklığının artmasıyla kendini gösterir. A yaklaşık olarak eşit R.

İstatistiksel modeller, yani (b) tipi bir şemayla tanımlanan modeller, ilk olarak zar gibi kumar oyunlarında keşfedildi. Doğum ve ölüme ilişkin istatistiksel kalıplar da çok uzun zamandır bilinmektedir (örneğin, yeni doğmuş bir bebeğin erkek olma olasılığı 0,515'tir). 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın 1. yarısı. fizik, kimya, biyoloji vb. alanlarda çok sayıda istatistiksel yasanın keşfiyle işaretlenmiştir.

Olasılık teorisi yöntemlerinin birbirinden çok uzak bilim alanlarıyla ilgili istatistiksel modellerin incelenmesine uygulanma olasılığı, olayların olasılıklarının her zaman belirli basit ilişkileri sağlaması gerçeğine dayanmaktadır. Olay olasılıklarının özelliklerinin bu basit ilişkiler temelinde incelenmesi olasılık teorisinin konusudur.

Olasılık teorisinin temel kavramları

Olasılık teorisinin temel kavramları. Matematiksel bir disiplin olarak olasılık teorisinin temel kavramları, en basit şekilde, temel olasılık teorisi olarak adlandırılan çerçeve içerisinde tanımlanır. Her test T, Temel olasılık teorisinde dikkate alınan olaylardan yalnızca biriyle sonuçlanacak şekildedir. e 1 , E 2 ,..., E S (duruma bağlı olarak öyle ya da böyle). Bu olaylara deneme sonuçları denir. Her sonuçla e k pozitif sayı ilişkili R İle - bu sonucun olasılığı. Sayılar P k bire kadar eklemelisiniz. Daha sonra olaylar değerlendirilir A,“meydana gelir veya e Ben , veya e J ,..., veya e k" Sonuçlar e Ben , E J ,..., E k uygun denir A, ve tanım gereği olasılığı varsayıyorlar R(A) olaylar A, kendisi için uygun olan sonuçların olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A) =P Ben +P S +… +P k . (1)

Özel durum P 1 =P 2 =...P s = 1/S formüle yol açar

R(A) =r/s.(2)

Formül (2), bir olayın olasılığının buna göre klasik olasılık tanımını ifade eder. A sayının oranına eşit R olumlu sonuçlar A, numaraya S tüm “eşit derecede mümkün” sonuçlar. Olasılığın klasik tanımı, “olasılık” kavramını sadece “eşit olasılık” kavramına indirgemekte ve net bir tanım yapılmamaktadır.

Örnek. İki zar atıldığında 36 olası sonuçtan her biri () ile gösterilebilir. Ben,J), Nerede Ben- ilk zarda atılan puanların sayısı, J-İkincisinde. Sonuçların eşit derecede olası olduğu varsayılmaktadır. Etkinlik A -“puanların toplamı 4” ise üç sonuç olumludur (1; 3), (2; 2), (3; 1). Buradan, R(A) = 3/36= 1/12.

Verilen herhangi bir olaya dayanarak iki yeni olay belirlenebilir: bunların birleşimi (toplam) ve kombinasyonu (çarpım).

Etkinlik İÇİNDE olay havuzu denir A 1 , A 2 ,..., A R ,-, şu şekilde ise: “gelir veya A 1 , veya A 2 ,..., veya A R ».

C olayına olayların birleşimi denir A 1 , A. 2 ,..., A R , eğer şu şekildeyse: “gelir ve A 1 , Ve A 2 ,..., Ve A R » . Olayların birleşmesi  işaretiyle, birleşimi ise  işaretiyle gösterilir. Böylece şunu yazıyorlar:

B = bir 1  A 2  …  A R , C = A 1  A 2  …  A R .

Olaylar A Ve İÇİNDE Eş zamanlı uygulanması imkansızsa, yani test sonuçları arasında tek bir olumlu sonuç yoksa uyumsuz olarak adlandırılır ve A Ve İÇİNDE.

Olayların birleştirilmesi ve birleştirilmesiyle ilgili tanıtılan işlemler, olasılık teorisinin iki ana teoremi ile ilişkilidir - olasılıkların toplanması ve çarpılması teoremleri.

Olasılık toplama teoremi: Eğer olaylar A 1 ,A 2 ,...,A R her ikisi de uyumsuz ise birleşme olasılıkları olasılıklarının toplamına eşittir.

Yani, yukarıdaki iki zar atma örneğinde olay İÇİNDE -“puanların toplamı 4'ü geçmiyor”, birbiriyle bağdaşmayan üç olayın birleşimi var A 2 ,A 3 ,A 4, puanların toplamının sırasıyla 2, 3, 4'e eşit olması gerçeğinden oluşur. Bu olayların olasılığı 1/36'dır; 2/36; 3/36. Toplama teoremine göre olasılık R(İÇİNDE) eşittir

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Olaylar A 1 ,A 2 ,...,A Her birinin koşullu olasılığı, diğerlerinden herhangi birinin gerçekleşmesi koşuluyla, "koşulsuz" olasılığına eşitse bağımsız olarak adlandırılır.

Olasılık çarpımı teoremi: Olayları birleştirme olasılığı A 1 ,A 2 ,...,A r olayın olasılığına eşittir A 1 , olayın olasılığı ile çarpılır A 2 şartla alındı A 1 meydana geldi,..., olayın olasılığı ile çarpıldı Aşu şartla ki A 1 ,A 2 ,...,A r-1 geldi. Bağımsız olaylar için çarpma teoremi şu formüle yol açar:

P(A 1 A 2 …A R) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A R), (3)

yani bağımsız olayların bir araya gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Formül (3) her iki kısmında da bazı olayların karşıtlarıyla değiştirilmesi durumunda geçerliliğini korur.

Örnek. Atış başına isabet olasılığı 0,2 olan hedefe 4 atış yapılır. Farklı atışlardan elde edilen hedef isabetlerinin bağımsız olaylar olduğu varsayılır. Hedefi tam olarak üç kez vurma olasılığı nedir?

Her test sonucu dört harften oluşan bir diziyle gösterilebilir [örneğin, (y, n, n, y), birinci ve dördüncü atışların isabet ettiği (başarılı) ve ikinci ve üçüncü atışların isabet etmediği (başarısız) anlamına gelir). Toplam 2·2·2·2 = 16 sonuç olacaktır. Bireysel atış sonuçlarının bağımsızlığı varsayımına uygun olarak, bu sonuçların olasılıklarını belirlemek için formül (3) ve buna ilişkin bir not kullanılmalıdır. Bu nedenle, sonucun olasılığı (y, n. n, n) 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024'e eşit olarak ayarlanmalıdır; burada 0,8 = 1-0,2 tek atışta ıskalama olasılığıdır. “Hedefe üç kez vurulması” olayı (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) sonuçları tarafından tercih edilmektedir. (n, y, y, y), her birinin olasılığı aynıdır:

0,2 0,2 0,2 0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 0,2 = 0,0064;

bu nedenle gerekli olasılık eşittir

4·0,0064 = 0,0256.

Analiz edilen örneğin mantığını özetleyerek olasılık teorisinin temel formüllerinden birini türetebiliriz: eğer olaylar A 1 , A 2 ,..., A N bağımsızdır ve her olasılığa sahiptir R, o zaman gerçekleşme olasılığı tam olarak M hangisi eşittir

P N (M)=C N M P M (1 - s) n-m ; (4)

Burada C N M kombinasyon sayısını ifade eder N tarafından elemanlar M. Genel olarak N formül (4) kullanılarak yapılan hesaplamalar zorlaşır.

Temel olasılık teorisinin temel formülleri arasında aynı zamanda sözde toplam olasılık formülü: eğer olaylar A 1 , A 2 ,..., A R ikili olarak uyumsuzdur ve birleşmeleri güvenilir bir olaydır, o halde herhangi bir olay için İÇİNDE olasılığı bunların toplamına eşittir.

Olasılık çarpım teoremi özellikle bileşik testler dikkate alındığında faydalıdır. Bunun bir test olduğunu söylüyorlar T testlerden oluşan T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T N, Eğer her test sonucu T bazı sonuçların bir kombinasyonu var A Ben ,B J ,..., X k , Y ben ilgili testler T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T N. Şu ya da bu nedenle olasılıklar sıklıkla bilinir

P(A Ben), P(B J /A Ben), …,P(e ben /A Ben B J …X k). (5)

Çarpma teoremi kullanılarak olasılıklardan (5) olasılıklar belirlenebilir R(e) tüm sonuçlar için e bileşik test ve aynı zamanda bu testle ilişkili tüm olayların olasılığı. Pratik açıdan bakıldığında, iki tür bileşik test en önemlileri gibi görünmektedir:

a) Testin bileşenleri bağımsızdır, yani olasılıklar (5) koşulsuz olasılıklara eşittir P(A Ben), P(B J),..., P(e ben);

b) herhangi bir testin sonuçlarının olasılıkları yalnızca hemen önceki testin sonuçlarından etkilenir, yani olasılıklar (5) sırasıyla eşittir: P(A Ben), P(B J /A Ben),..., P(e Ben /X k). Bu durumda Markov zincirine bağlı testlerden bahsediyoruz. Bileşik bir testle ilgili tüm olayların olasılıkları burada tamamen başlangıç olasılıkları tarafından belirlenir. R(A Ben) ve geçiş olasılıkları P(B J /A Ben),..., P(e ben /X k).

Olasılık teorisindeki temel formüller

Olasılık teorisinin formülleri.

1. Kombinatoriklerin temel formülleri

a) permütasyonlar.

\b) yerleştirme

c) kombinasyonlar .

2. Olasılığın klasik tanımı.

Olay için olumlu sonuçların sayısı nerede, eşit derecede olası tüm temel sonuçların sayısıdır.

3. Olayların toplamının olasılığı

Uyumsuz olayların olasılıklarını eklemek için teorem:

Ortak olayların olasılıklarını eklemek için teorem:

4. Olayların gerçekleşme olasılığı

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpmak için teorem:

Bağımlı olayların olasılıklarını çarpmak için teorem:

Olayın meydana geldiği göz önüne alındığında, bir olayın koşullu olasılığı

Olayın meydana geldiği göz önüne alındığında, bir olayın koşullu olasılığı.

Kombinatorik, verilen nesnelerden belirli koşullara bağlı olarak kaç farklı kombinasyonun yapılabileceğiyle ilgili soruları inceleyen bir matematik dalıdır. Kombinatoriğin temelleri rastgele olayların olasılıklarını tahmin etmek için çok önemlidir, çünkü Olayların gelişimi için temelde mümkün olan farklı seçeneklerin sayısını hesaplamamıza izin verenler onlardır.

Kombinatoriklerin temel formülü

K tane element grubu olsun ve i'inci grup ni elementten oluşsun. Her gruptan bir öğe seçelim. Daha sonra böyle bir seçimin yapılabileceği yolların toplam sayısı N, N=n1*n2*n3*...*nk ilişkisiyle belirlenir.

Örnek 1. Bu kuralı basit bir örnekle açıklayalım. İki element grubu olsun ve ilk grup n1 elementten, ikincisi ise n2 elementten oluşsun. Bu iki gruptan, her gruptan bir eleman bulunacak şekilde kaç farklı eleman çifti oluşturulabilir? Diyelim ki birinci gruptan ilk elemanı aldık ve onu değiştirmeden tüm olası çiftleri inceledik, yalnızca ikinci grubun elemanlarını değiştirdik. Bu eleman için böyle n2 tane çift var. Daha sonra birinci gruptan ikinci elemanı alıyoruz ve onun için mümkün olan tüm çiftleri de oluşturuyoruz. Ayrıca bu türden n2 tane çift olacaktır. İlk grupta yalnızca n1 öğe bulunduğundan toplam olası seçenekler n1*n2 olacaktır.

Örnek 2. Eğer rakamlar tekrarlanabiliyorsa, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından kaç tane üç basamaklı çift sayı yapılabilir?

Çözüm: n1=6 (çünkü 1, 2, 3, 4, 5, 6'dan herhangi bir sayıyı ilk rakam olarak alabilirsiniz), n2=7 (çünkü 0'dan herhangi bir sayıyı ikinci rakam olarak alabilirsiniz, 1, 2) , 3, 4, 5, 6), n3=4 (çünkü 0, 2, 4, 6'dan herhangi bir sayı üçüncü rakam olarak alınabilir).

Yani N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

Tüm grupların aynı sayıda öğeden oluşması durumunda; n1=n2=...nk=n her seçimin aynı gruptan yapıldığını ve seçimden sonraki elemanın gruba geri döndüğünü varsayabiliriz. O halde tüm seçim yöntemlerinin sayısı nk'ye eşittir. Bu seçim yöntemine geri dönüşlü örnekleme adı verilir.

Örnek. 1, 5, 6, 7, 8 rakamlarından kaç tane dört basamaklı sayı oluşturulabilir?

Çözüm. Dört basamaklı bir sayının her basamağı için beş olasılık vardır, bu da N=5*5*5*5=54=625 anlamına gelir.

N elemandan oluşan bir küme düşünün. Bu kümeye genel popülasyon adını vereceğiz.

Tanım 1. n öğenin m'ye göre düzenlenmesi, n öğeden oluşan bir popülasyondan seçilen m farklı öğeden oluşan herhangi bir sıralı kümedir.

Örnek. Üç elemanın (1, 2, 3) ikişer ikişer farklı düzenlemeleri (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) kümeleri olacaktır. , 2 ). Yerleşimler hem öğeler hem de sıralama açısından birbirinden farklı olabilir.

Yerleştirme sayısı A, n'den m ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Not: n!=1*2*3*...*n (okuyun: "en faktöriyel"), ayrıca 0!=1 olduğu varsayılır.

Örnek 5. Onlar basamağı ile birler basamağı farklı ve tek olan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?

Çözüm: çünkü Beş tek rakam varsa, yani 1, 3, 5, 7, 9, bu görev, beş farklı rakamdan ikisini seçip iki farklı konuma yerleştirmekten ibarettir; belirtilen sayılar şöyle olacaktır:

Tanım 2. m'nin n öğesinin birleşimi, n öğeden oluşan bir popülasyondan seçilen m farklı öğeden oluşan herhangi bir sırasız kümedir.

Örnek 6. Bir (1, 2, 3) kümesi için kombinasyonlar (1, 2), (1, 3), (2, 3)'tür.

Kombinasyonların sayısı Cnm ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Tanım 3. N elemanlı bir permütasyon, bu elemanların herhangi bir sıralı kümesidir.

Örnek 7a. Üç elemandan (1, 2, 3) oluşan bir kümenin tüm olası permütasyonları şunlardır: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

N elemanın farklı permütasyonlarının sayısı Pn ile gösterilir ve Pn=n! formülüyle hesaplanır.

Örnek 8. Farklı yazarların yedi kitabı bir rafta tek sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm: Bu problem yedi farklı kitabın permütasyon sayısı ile ilgilidir. Kitapları düzenlemenin P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 yolu vardır.

Tartışma. Olası kombinasyon sayısının farklı kurallara (permütasyonlar, kombinasyonlar, yerleşimler) göre hesaplanabileceğini ve sonucun farklı olacağını görüyoruz çünkü Hesaplama prensibi ve formüllerin kendisi farklıdır. Tanımlara dikkatlice baktığınızda sonucun aynı anda birçok faktöre bağlı olduğunu fark edeceksiniz.

Öncelikle kümelerini kaç elementten birleştirebiliriz (elemanların toplamı ne kadar büyük).

İkinci olarak sonuç, ihtiyacımız olan eleman setlerinin boyutuna bağlıdır.

Son olarak kümedeki elemanların sırasının bizim için önemli olup olmadığını bilmek önemlidir. Son faktörü aşağıdaki örnekle açıklayalım.

Örnek. Veli toplantısında 20 kişi bulunuyor. Eğer 5 kişiden oluşması gerekiyorsa veli komitesinin oluşumu için kaç farklı seçenek vardır?

Çözüm: Bu örnekte komite listesindeki isimlerin sırası ile ilgilenmiyoruz. Sonuç olarak aynı kişilerin bu işin bir parçası olduğu ortaya çıkarsa, o zaman bizim açımızdan bu da aynı seçenektir. Bu nedenle, 5'in 20 elementinin kombinasyon sayısını saymak için bir formül kullanabiliriz.

Her komite üyesinin başlangıçta belirli bir çalışma alanından sorumlu olması durumunda işler farklı olacaktır. O halde, komitenin aynı liste bileşimine sahip olması durumunda, içinde muhtemelen 5 kişi vardır! önemli olan permütasyonlar. Farklı (hem kompozisyon hem de sorumluluk alanı açısından) seçeneklerin sayısı bu durumda 20 elementin 5'lik yerleşim sayısına göre belirlenir.

Olasılığın geometrik tanımı

Rastgele bir testin, bir G geometrik bölgesine (düz bir çizgi, düzlem veya uzay üzerinde) rastgele bir nokta atılması olarak hayal edilsin. Temel sonuçlar G'nin bireysel noktalarıdır, herhangi bir olay bu alanın bir alt kümesidir, G'nin temel sonuçların uzayıdır. G'nin tüm noktalarının “eşit” olduğunu varsayabiliriz ve bu durumda bir noktanın belirli bir alt kümeye düşme olasılığı şöyledir: ölçüsüyle (uzunluk, alan, hacim) orantılıdır ve konumuna ve şekline bağlı değildir.

A olayının geometrik olasılığı aşağıdaki ilişkiyle belirlenir: burada m(G), m(A), temel sonuçların ve A olayının tüm uzayının geometrik ölçümleridir (uzunluklar, alanlar veya hacimler).

Örnek. Yarıçapı r () olan bir daire, grafiği 2d genişliğinde paralel şeritlerle çizilen ve eksen çizgileri arasındaki mesafe 2D'ye eşit olan bir düzlem üzerine rastgele atılıyor. Çemberin belirli bir şeritle kesişme olasılığını bulun.

Çözüm. Bu testin temel sonucu olarak, dairenin merkezinden daireye en yakın şeridin merkez çizgisine kadar olan x mesafesini dikkate alacağız. O halde temel sonuçların tüm uzayı bir segmenttir. Bir dairenin bir şeritle kesişmesi, merkezi şeridin içine düşerse, yani veya şeridin kenarından yarıçaptan daha az bir mesafede bulunursa, yani.

İstenilen olasılık için şunu elde ederiz: .

1. Olayların sınıflandırılması

Olasılık teorisinin temel kavramlarından biri olay kavramıdır. Bir olay, bir deneyim veya test sonucunda ortaya çıkabilecek herhangi bir olgudur. Deneyim veya test derken, belirli bir dizi koşulun uygulanmasını kastediyoruz.

Olay örnekleri:

- silahla ateş edildiğinde hedefi vurmak (deneyim - atış yapmak; olay - hedefi vurmak);

– üç kez yazı tura atıldığında iki amblemin kaybı (deneyim - üç kez yazı tura atma; olay - iki amblemin kaybı);

– bir hedefe olan mesafeyi ölçerken, belirlenen sınırlar dahilinde bir ölçüm hatasının ortaya çıkması (deneyim - menzil ölçümü; olay - ölçüm hatası).

Buna benzer sayısız örnek verilebilir. Olaylar Latin alfabesinin büyük harfleriyle vb. gösterilir.

Ortak ve ortak olmayan olaylar arasında bir ayrım yapılır. Birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini engellemiyorsa bu olaylara ortak olaylar denir. Aksi takdirde olaylara uyumsuz denir. Örneğin iki zar atılıyor. Olay - ilk zara düşen üç puan, olay - ikinci zara düşen üç puan ve - ortak olaylar. Mağazanın aynı stil ve bedende ancak farklı renklerde bir grup ayakkabı almasına izin verin. Etkinlik - Rastgele alınan bir kutunun içinde siyah ayakkabılar olduğu ortaya çıkar, bir etkinlik - kutunun kahverengi ayakkabılar içerdiği ortaya çıkar ve - uyumsuz olaylar.

Belirli bir deneyimin koşulları altında gerçekleşeceği kesin olan bir olaya güvenilir denir.

Bir olay, deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkabiliyor ancak görünmeyebilirse, olası veya rastgele olarak adlandırılır. Rastgele bir olaya örnek olarak, bir bitmiş ürün grubunun denetimi sırasında ürün kusurlarının belirlenmesi, işlenmiş ürünün boyutu ile belirtilen ürün arasındaki tutarsızlık veya otomatik kontrol sistemindeki bağlantılardan birinin arızası verilebilir.

Test koşullarına göre bu olaylardan hiçbiri nesnel olarak diğerlerinden daha olası değilse, olaylara eşit derecede mümkün denir. Örneğin, bir mağazaya birden fazla üretim tesisi tarafından eşit miktarda ampul tedarik edilsin. Bu fabrikaların herhangi birinden ampul satın alınmasını içeren etkinlikler de aynı derecede mümkündür.

Önemli kavram olayların tam grubudur. Belirli bir deneydeki birçok olay, eğer deney sonucunda bunlardan en az birinin ortaya çıkacağından eminse, tam bir grup oluşturur. Örneğin, bir kavanozda altısı kırmızı, dördü beyaz ve beşi sayılara sahip on top vardır. - bir çekilişte kırmızı bir topun ortaya çıkması, - beyaz bir topun ortaya çıkması, - üzerinde rakam bulunan bir topun ortaya çıkması. Etkinlikler, ortak etkinliklerin tam bir grubunu oluşturur.

Karşıt veya ek olay kavramını tanıtalım. Zıt bir olay, bir olayın meydana gelmemesi durumunda mutlaka gerçekleşmesi gereken bir olaydır. Zıt olaylar uyumsuzdur ve mümkün olan tek olaylardır. Tam bir olay grubu oluştururlar. Örneğin, eğer üretilmiş bir ürün grubu iyi ve kusurlu ürünlerden oluşuyorsa, o zaman bir ürün çıkarıldığında, bunun ya iyi bir olay, ya da kusurlu bir olay olduğu ortaya çıkabilir.

2. Olaylara ilişkin işlemler

Olasılık teorisinde rastgele olayları incelemek için bir aparat ve metodoloji geliştirirken, olayların toplamı ve çarpımı kavramı çok önemlidir.

Olasılık teorisinin ortaya çıkışı, matematikçilerin kumarbazlar tarafından ortaya atılan ve şimdiye kadar matematikte incelenmeyen problemlerle ilgilenmeye başladığı 17. yüzyılın ortalarına kadar uzanır. Bu problemlerin çözümü sürecinde olasılık ve matematiksel beklenti gibi kavramlar kristalleşti. Aynı zamanda, o zamanın bilim adamları - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) ve Bernoulli (1654-1705) büyük rastgelelik temelinde net modellerin ortaya çıkabileceğine ikna olmuşlardı. olaylar. Ve yalnızca doğa biliminin durumu, kumarın uzun süre olasılık teorisi kavram ve yöntemlerinin oluşturulduğu temelde tek somut materyal olarak kalmaya devam etmesine yol açtı. Bu durum aynı zamanda olasılık teorisinde ortaya çıkan problemlerin çözüldüğü resmi matematik aygıtına da damgasını vurdu: yalnızca temel aritmetik ve kombinatoryal yöntemlere indirgendi.

Doğa bilimlerinden ve sosyal uygulamalardan gelen ciddi talepler (gözlem hataları teorisi, atış teorisi sorunları, istatistik sorunları, öncelikle nüfus istatistikleri), olasılık teorisinin daha da geliştirilmesi ve daha gelişmiş bir analitik aygıtın kullanılması ihtiyacını doğurdu. Olasılık teorisinin analitik yöntemlerinin geliştirilmesinde özellikle önemli bir rol Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840) tarafından oynandı. Biçimsel analitik açıdan bakıldığında, Öklid dışı geometrinin yaratıcısı Lobaçevski'nin (1792-1856) çalışması, bir küre üzerindeki ölçümlerdeki hatalar teorisine adanmıştır ve evrene hakim olan geometrik sistemi kurma hedefiyle gerçekleştirilmiştir. , aynı yöne bitişiktir.

Olasılık teorisi, matematiğin diğer dalları gibi, uygulamanın ihtiyaçlarından yola çıkılarak geliştirilmiştir: soyut biçimde, kitlesel nitelikteki rastgele olayların doğasında bulunan kalıpları yansıtır. Bu modeller fizikte ve doğa bilimlerinin diğer alanlarında, çeşitli teknik disiplinlerde, ekonomide, sosyolojide ve biyolojide son derece önemli bir rol oynamaktadır. Seri ürünler üreten işletmelerin yaygın gelişimi ile bağlantılı olarak, olasılık teorisinin sonuçları yalnızca halihazırda üretilmiş ürünleri reddetmek için değil, aynı zamanda üretim sürecinin kendisini organize etmek için de (üretimde istatistiksel kontrol) kullanılmaya başlandı.

Olasılık teorisinin temel kavramları

Olasılık teorisi, rastgele olayları ve rastgele değişkenleri yöneten çeşitli kalıpları açıklar ve araştırır. Etkinlik gözlem veya deneyim sonucu ifade edilebilecek herhangi bir gerçektir. Gözlem veya deneyim, bir olayın meydana gelebileceği belirli koşulların farkına varılmasıdır.

Deneyim, söz konusu koşulların bilinçli olarak yaratıldığı anlamına gelir. Gözlem sırasında, bu koşulların gözlem kompleksi onu yaratmaz veya etkilemez. Ya doğanın güçleri ya da diğer insanlar tarafından yaratılmıştır.

Olayların olasılıklarını belirlemek için bilmeniz gerekenler

İnsanların kendilerini gözlemlediği veya yarattığı tüm olaylar şu şekilde ayrılır:

güvenilir olaylar;
imkansız olaylar;
rastgele olaylar.

Güvenilir etkinlikler her zaman belirli koşullar yaratıldığında ortaya çıkar. Örneğin çalışırsak bunun için bir ödül alırız; sınavları geçersek ve yarışmayı geçersek öğrenci sayısına dahil olacağımızdan emin olabiliriz. Fizik ve kimyada güvenilir olaylar gözlemlenebilir. İktisatta güvenilir olaylar mevcut toplumsal yapı ve mevzuatla ilişkilendirilir. Örneğin, bir bankaya para yatırmışsak ve onu belirli bir süre içinde almak istediğimizi ifade etmişsek, parayı alırız. Bu güvenilir bir olay olarak kabul edilebilir.

İmkansız olaylar belli koşullar yaratılmışsa kesinlikle oluşmaz. Örneğin sıcaklık artı 15 santigrat derece olduğunda su donmaz, elektrik olmadan üretim yapılmaz.

Rastgele olaylar Belirli bir koşullar dizisi gerçekleştiğinde bunlar oluşabilir veya oluşmayabilir. Örneğin parayı bir kez atarsak arma düşebilir veya düşmeyebilir, piyango bileti kazanabilir veya kazanmayabilir, üretilen bir ürün kusurlu olabilir veya olmayabilir. Kusurlu bir ürünün ortaya çıkması, uygun ürünlerin üretilmesinden daha nadir görülen rastgele bir olaydır.

Rastgele olayların beklenen gerçekleşme sıklığı olasılık kavramıyla yakından ilgilidir. Rastgele olayların oluşma ve oluşmama kalıpları olasılık teorisi ile incelenir.

Eğer bir dizi gerekli koşul yalnızca bir kez gerçekleşirse, o zaman rastgele bir olay hakkında yetersiz bilgi alırız, çünkü bu olay meydana gelebilir veya gelmeyebilir. Bir dizi koşul birçok kez uygulanırsa bilinen modeller ortaya çıkar. Örneğin bir mağazada bir sonraki müşterinin hangi kahve makinesine ihtiyaç duyacağını asla bilmek mümkün değildir, ancak uzun süredir en çok talep gören kahve makinelerinin markaları biliniyorsa bu verilere dayanarak Talebi karşılamak için üretim veya tedariki organize etmek.

Kitlesel rastgele olayları yöneten kalıpların bilgisi, bu olayların ne zaman gerçekleşeceğini tahmin etmemizi sağlar. Örneğin, daha önce de belirtildiği gibi, yazı tura atmanın sonucunu önceden tahmin etmek imkansızdır, ancak yazı tura birçok kez atılırsa armanın düşeceğini tahmin etmek mümkündür. Hata küçük olabilir.

Olasılık teorisi yöntemleri, doğa bilimlerinin çeşitli dallarında, teorik fizikte, jeodezide, astronomide, otomatik kontrol teorisinde, hata gözlem teorisinde ve diğer birçok teorik ve pratik bilimde yaygın olarak kullanılmaktadır. Olasılık teorisi, üretim planlama ve organizasyon, ürün kalite analizi, teknolojik süreç analizi, sigorta, nüfus istatistikleri, biyoloji, balistik ve diğer endüstrilerde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Rastgele olaylar genellikle Latin alfabesinin A, B, C vb. büyük harfleriyle gösterilir.

Rastgele olaylar şunlar olabilir:

uyumsuz;
eklem yeri.

A, B, C... olaylarına denir uyumsuz , eğer bir test sonucunda bu olaylardan biri meydana gelebiliyorsa ancak iki veya daha fazla olay meydana gelemiyorsa.

Rastgele bir olayın meydana gelmesi başka bir olayın meydana gelmesini engellemiyorsa bu tür olaylara denir. eklem yeri . Örneğin, bir taşıma bandından başka bir parça çıkarılırsa ve A olayı "parçanın standardı karşıladığı" anlamına gelirken B olayı "parçanın standardı karşılamadığı" anlamına gelirse, bu durumda A ve B uyumsuz olaylardır. C olayı “II. derecenin bir kısmının alındığı” anlamına geliyorsa bu olay A olayıyla ortaktır ancak B olayıyla bağdaşmaz.

Her gözlemde (testte) uyumsuz rastgele olaylardan yalnızca birinin meydana gelmesi gerekiyorsa, bu olaylar olayların tam seti (sistemi) .

Güvenilir bir olay tam bir olaylar dizisinden en az bir olayın meydana gelmesidir.

Olayların tamamını oluşturan olaylar ise ikili tutarsız O zaman gözlem sonucunda bu olaylardan yalnızca biri meydana gelebilir. Örneğin, bir öğrencinin iki test problemini çözmesi gerekir. Aşağıdaki olaylardan biri ve yalnızca biri mutlaka gerçekleşecektir:

birinci sorun çözülecek, ikinci sorun çözülmeyecek;
ikinci sorun çözülecek, birinci sorun çözülmeyecek;
her iki sorun da çözülecek;
sorunların hiçbiri çözülmeyecek.

Bu olaylar şekil tam bir uyumsuz olaylar dizisi .

Olayların tamamı yalnızca iki uyumsuz olaydan oluşuyorsa, bunlara denir. karşılıklı zıt veya alternatif olaylar.

Olayın karşısındaki olay ile gösterilir. Örneğin, bir yazı tura atılması durumunda, değer () veya arması () görünebilir.

Olaylar denir eşit derecede mümkün , eğer hiçbirinin nesnel avantajları yoksa. Bu tür olaylar aynı zamanda olayların tamamını oluşturur. Bu, bir gözlem veya test sonucunda eşit derecede olası olaylardan en az birinin mutlaka gerçekleşmesi gerektiği anlamına gelir.

Örneğin, bir yazı tura atıldığında mezhep ve amblemin kaybolması, basılı bir metin sayfasında 0, 1, 2, 3 ve 3'ten fazla hatanın bulunmasıyla tam bir olaylar grubu oluşur.

Olasılığın tanımları ve özellikleri

Olasılığın klasik tanımı. Bir fırsat veya olumlu bir durum, belirli bir dizi koşulun uygulanması sırasında bir olayın meydana geldiği durumdur. A olmak. Olasılığın klasik tanımı, olumlu durumların veya fırsatların sayısının doğrudan hesaplanmasını içerir.

Klasik ve istatistiksel olasılık. Olasılık formülleri: klasik ve istatistiksel

Olayın olasılığı A Bu olay için elverişli fırsatların sayısının eşit derecede mümkün olan tüm uyumsuz olayların sayısına oranını çağırın N tek bir deneme veya gözlem sonucunda ortaya çıkabilir. Olasılık formülü olaylar A:

Bir olayın hangi olasılığından bahsettiğimiz tamamen açıksa, olasılık küçük bir harfle gösterilir. P, olay tanımını belirtmeden.

Klasik tanıma göre olasılığı hesaplamak için eşit derecede olası tüm uyumsuz olayların sayısını bulmak ve bunlardan kaçının olayın tanımına uygun olduğunu belirlemek gerekir. A.

Örnek 1. Bir zar atıldığında 5 sayısının gelme olasılığını bulunuz.

Çözüm. Altı yüzün de zirveye çıkma şansının aynı olduğu biliniyor. 5 rakamı yalnızca bir tarafta işaretlenmiştir. Eşit derecede olası uyumsuz olayların sayısı 6'dır ve bunlardan yalnızca bir tanesi 5 sayısıdır ( M= 1). Bu, 5 sayısını yuvarlamanın istenen olasılığı anlamına gelir.

Örnek 2. Bir kutuda aynı büyüklükte 3 kırmızı ve 12 beyaz top vardır. Bir top bakmadan alındı. Kırmızı topun alınma olasılığını bulunuz.

Çözüm. Gerekli olasılık

Olasılıkları kendiniz bulun ve ardından çözümü görün

Örnek 3. Zarlar atılır. Etkinlik B- çift sayıyı yuvarlamak. Bu olayın olasılığını hesaplayınız.

Örnek 5. Bir torbada 5 beyaz ve 7 siyah top vardır. Rastgele 1 top çekiliyor. Etkinlik A- beyaz bir top çekilir. Etkinlik B- siyah bir top çekiliyor. Bu olayların olasılıklarını hesaplayınız.

Klasik olasılık, bir teste veya gözleme başlamadan önce hesaplandığı için önceki olasılık olarak da adlandırılır. Klasik olasılığın a priori doğasından dolayı, ana dezavantajı şu şekildedir: yalnızca nadir durumlarda, gözlemin başlamasından önce, olumlu olaylar da dahil olmak üzere eşit derecede olası tüm uyumsuz olaylar hesaplanabilir. Bu tür fırsatlar genellikle oyunlara benzer durumlarda ortaya çıkar.

Kombinasyonlar. Olayların sırası önemli değilse olası olayların sayısı kombinasyon sayısı olarak hesaplanır:

Örnek 6. Grupta 30 öğrenci bulunmaktadır. Üç öğrenci bilgisayar ve projektör alıp getirmek için bilgisayar bilimleri bölümüne gitmelidir. Belirli üç öğrencinin bunu yapma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Olası olayların sayısını formül (2) kullanarak hesaplıyoruz:

Belirli üç öğrencinin bölüme gitme olasılığı:

Örnek 7. 10 adet cep telefonu satılıktır. 3 tanesinde arıza var. Alıcı 2 telefon seçti. Seçilen her iki telefonun da kusurlu olma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Eşit derecede olası tüm olayların sayısı formül (2) kullanılarak bulunur:

Aynı formülü kullanarak bir etkinlik için uygun fırsatların sayısını buluruz:

Seçilen her iki telefonun da kusurlu olması istenen olasılık.

Sözdeyi yöneten yasaların doktrini. rastgele fenomenler. Rus dilinde yer alan yabancı kelimeler sözlüğü. Chudinov A.N., 1910 ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

olasılık teorisi- - [L.G. Bilgi teknolojisi üzerine İngilizce-Rusça sözlük. M.: Devlet Teşebbüsü TsNIIS, 2003.] Genel olarak bilgi teknolojisi konuları EN olasılık teorisi şansolasılık hesaplama teorisi ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Olasılık teorisi- çeşitli olayların olasılıkları (bkz. Olasılık ve İstatistik) arasındaki ilişkileri inceleyen matematiğin bir parçasıdır. Bu bilimle ilgili en önemli teoremleri sıralayalım. Birkaç uyumsuz olaydan birinin meydana gelme olasılığı eşittir... ... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. Efron

OLASILIK TEORİSİ- matematiksel Bazı rastgele olayların olasılıklarından (bkz.), k.l. ile ilişkili rastgele olayların olasılıklarını bulmayı sağlayan bir bilim. ilkleriyle aynı şekilde. Modern T.v. A. N. Kolmogorov'un aksiyomatiklerine dayanmaktadır (bkz. Aksiyomatik yöntem). Üzerinde… … Rus Sosyoloji Ansiklopedisi

Olasılık teorisi- Bazı rastgele olayların verilen olasılıklarına dayanarak, birinciyle bir şekilde ilişkili diğer olayların olasılıklarının bulunduğu bir matematik dalı. Olasılık teorisi aynı zamanda rastgele değişkenleri ve rastgele süreçleri de inceler. Analardan biri... ... Modern doğa biliminin kavramları. Temel terimler sözlüğü

olasılık teorisi- tikimybių teori durumu T sritis fizika atitikmenys: engl. olasılık teorisi vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. olasılık teorisi, f pranc. olasılık teorisi, f … Fizikos terminų žodynas

Olasılık teorisi- ... Vikipedi

Olasılık teorisi- Rastgele olayların kalıplarını inceleyen bir matematik disiplini... Modern doğa biliminin başlangıcı

OLASILIK TEORİSİ- (olasılık teorisi) bkz. Olasılık... Büyük açıklayıcı sosyolojik sözlük

Olasılık teorisi ve uygulamaları- (“Olasılık Teorisi ve Uygulamaları”), SSCB Bilimler Akademisi Matematik Bölümü'nün bilimsel dergisi. Olasılık teorisi, matematiksel istatistiğin genel konuları ve bunların doğa bilimlerindeki uygulamaları üzerine orijinal makaleler ve kısa bildiriler yayınlar ve... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Kitabın

Olasılık teorisi. , Ventzel E.S.. Kitap, normal üniversite dersleri kapsamında matematiğe aşina olan ve olasılık teorisinin teknik uygulamalarıyla ilgilenen kişiler için hazırlanmış bir ders kitabıdır... 1993 UAH için satın alın (yalnızca Ukrayna)
Olasılık teorisi. , Ventzel E.S.. Bu kitap, Print-on-Demand teknolojisi kullanılarak siparişinize uygun olarak üretilecektir. Kitap, sıradan kapsamda matematiğe aşina olan kişilere yönelik bir ders kitabıdır...

Olasılık teorisi Rastgele olayların kalıplarını inceleyen bir matematik bilimi. Rastgele olaylar, belirli bir koşullar dizisi tekrar tekrar üretildiğinde ortaya çıkan, sonucu belirsiz olan olaylar olarak anlaşılır.

Örneğin parayı attığınızda hangi tarafa düşeceğini tahmin edemezsiniz. Yazı tura atmanın sonucu rastgeledir. Ancak yeterince fazla sayıda yazı tura atıldığında belirli bir model vardır (arma ve karma işareti yaklaşık olarak aynı sayıda düşecektir).

Olasılık teorisinin temel kavramları

Test (deneyim, deneme) - şu veya bu olgunun gözlemlendiği ve şu veya bu sonucun kaydedildiği belirli bir dizi koşulun uygulanması.

Örneğin: bir zar atıp belirli sayıda puan almak; hava sıcaklığı farkı; hastalığı tedavi etme yöntemi; Bir kişinin hayatının bir dönemi.

Rastgele olay (veya yalnızca bir olay) – test sonucu.

Rastgele olaylara örnekler:

zar atıldığında bir puan almak;

yaz aylarında hava sıcaklığında keskin bir artışla birlikte koroner kalp hastalığının alevlenmesi;

yanlış tedavi yöntemi seçimi nedeniyle hastalığın komplikasyonlarının gelişimi;

Okuldaki başarılı eğitimin ardından üniversiteye kabul.

Etkinlikler Latin alfabesinin büyük harfleriyle belirtilmiştir: A , B , C , …

Olayın adı güvenilir , eğer test sonucunda mutlaka oluşması gerekiyorsa.

Olayın adı imkansız , eğer test sonucunda hiç gerçekleşemiyorsa.

Örneğin, bir partideki tüm ürünler standart ise, o zaman bundan standart bir ürün çıkarmak güvenilir bir olaydır, ancak aynı koşullar altında kusurlu bir ürünü çıkarmak imkansız bir olaydır.

OLASILIĞIN KLASİK TANIMI

Olasılık, olasılık teorisinin temel kavramlarından biridir.

Klasik olay olasılığı bir olayın lehine olan vaka sayısının oranı denir toplam vaka sayısına göre, yani

, (5.1)

Nerede
- olayın olasılığı ,

- olayın lehine olan vakaların sayısı ,

- toplam vaka sayısı.

Olay olasılığının özellikleri

Herhangi bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasındadır, yani.

Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir, yani.

İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır, yani.

(Birkaç basit problemi sözlü olarak çözmeyi teklif edin).

OLASILIĞIN İSTATİSTİKSEL BELİRLENMESİ

Uygulamada olayların olasılıklarının tahmin edilmesi genellikle belirli bir olayın gerçekleştirilen testlerde ne sıklıkta gerçekleşeceğine dayanır. Bu durumda olasılığın istatistiksel tanımı kullanılır.

Bir olayın istatistiksel olasılığı bağıl sıklık sınırı (vaka sayısının oranı) olarak adlandırılır M bir olayın meydana gelmesine elverişli , toplam sayıya gerçekleştirilen testler), test sayısı sonsuza doğru gittiğinde, yani.

Nerede
- bir olayın istatistiksel olasılığı ,
- olayın ortaya çıktığı deneme sayısı , - toplam test sayısı.

Klasik olasılıktan farklı olarak istatistiksel olasılık, deneysel olasılığın bir özelliğidir. Klasik olasılık, bir olayın belirli koşullar altında olasılığının teorik olarak hesaplanmasına hizmet eder ve gerçekte testlerin yapılmasını gerektirmez. İstatistiksel olasılık formülü, bir olayın olasılığını deneysel olarak belirlemek için kullanılır; testlerin gerçekten yapıldığı varsayılmaktadır.

İstatistiksel olasılık yaklaşık olarak rastgele bir olayın göreceli frekansına eşittir, bu nedenle pratikte göreceli frekans istatistiksel olasılık olarak alınır, çünkü istatistiksel olasılığı bulmak neredeyse imkansızdır.

Olasılığın istatistiksel tanımı aşağıdaki özelliklere sahip rastgele olaylara uygulanabilir:

Olasılık toplama ve çarpma teoremleri

Temel konseptler

a) Olası tek olaylar

Olaylar
Her test sonucunda en az bir tanesinin kesinlikle gerçekleşmesi durumunda, bunlara mümkün olan tek şey denir.

Bu olaylar tam bir olaylar grubunu oluşturur.

Örneğin, bir zar atıldığında olası olaylar yalnızca bir, iki, üç, dört, beş ve altı puanlı taraflardır. Tam bir olay grubu oluştururlar.

b) Olaylara uyumsuz denir Bunlardan birinin meydana gelmesi, aynı duruşmada diğer olayların meydana gelmesini dışlıyorsa. Aksi takdirde bunlara ortak denir.

c) Karşıt Tam bir grup oluşturan benzersiz iki olası olayı adlandırın. Atamak Ve .

G) Olaylara bağımsız denir bunlardan birinin ortaya çıkma olasılığı diğerlerinin komisyonuna veya tamamlanmamasına bağlı değilse.

Etkinliklerle ilgili eylemler

Birkaç olayın toplamı, bu olaylardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

Eğer Ve – ortak olaylar, ardından bunların toplamı
veya
A olayının veya B olayının ya da her iki olayın birlikte meydana gelmesini belirtir.

Eğer Ve – uyumsuz olaylar, ardından bunların toplamı
meydana gelme veya olaylar anlamına gelir veya olaylar .

Miktar olaylar şu anlama gelir:

Birkaç olayın ürünü (kesişmesi), tüm bu olayların ortaklaşa meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

İki olayın çarpımı şu şekilde gösterilir:
veya
.

İş olaylar temsil eder

Uyumsuz olayların olasılıklarını eklemek için teorem

İki veya daha fazla uyumsuz olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

İki etkinlik için;

- İçin olaylar.

Sonuçlar:

a) Zıt olayların olasılıklarının toplamı Ve bire eşit:

Ters olayın olasılığı şu şekilde gösterilir: :
.

b) Olasılıkların toplamı Tam bir olaylar grubunu oluşturan olayların sayısı bire eşittir: veya
.

Ortak olayların olasılıklarını eklemek için teorem

İki ortak olayın toplamının olasılığı, bu olayların kesişme olasılıkları hariç olasılıklarının toplamına eşittir, yani.

Olasılık çarpım teoremi

a) İki bağımsız etkinlik için:

b) İki bağımlı olay için

Nerede
– bir olayın koşullu olasılığı yani bir olayın olasılığı olayın gerçekleşmesi koşuluyla hesaplanır olmuş.

c) İçin bağımsız olaylar:

d) Olaylardan en az birinin gerçekleşme olasılığı , tam bir bağımsız etkinlik grubu oluşturur:

Şartlı olasılık

Olayın olasılığı , olayın meydana geldiği varsayılarak hesaplanır olayın koşullu olasılığı denir ve belirlenmiş
veya
.

Klasik olasılık formülünü kullanarak koşullu olasılığı hesaplarken, sonuçların sayısı Ve
olayın meydana gelmesinden önce olduğu gerçeği dikkate alınarak hesaplanır bir olay meydana geldi .