Tg, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Dar açının sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantı

Talimatlar

Yöntem 1. Pisagor teoremini kullanma. Teorem şunu belirtir: Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir. Bundan, bir dik üçgenin kenarlarından herhangi birinin, diğer iki kenarı bilinerek hesaplanabileceği sonucu çıkar (Şekil 2).

Yöntem 2. Hipotenüse çizilen medyanın kendi aralarında 3 benzer üçgen oluşturması gerçeğinden çıkar (Şekil 3). Bu şekilde ABC, BCD ve ACD üçgenleri benzerdir.

Örnek 6: Koordinatları Bulmak İçin Birim Çemberleri Kullanmak

İlk önce verilen açıya karşılık gelen referans açısını buluyoruz. Daha sonra referans açısının sinüs ve kosinüs değerlerini alıyoruz ve onlara çeyreğin y ve x değerlerine karşılık gelen işaretler veriyoruz. Daha sonra verilen açının kosinüsünü ve sinüsünü bulacağız.

Elek açısı, açı üçgeni ve küp kökü

Not: Pergel ve cetvel kullanılarak elek açısı oluşturulamaz. Bir küpün kenar uzunluğunun küp kökü 2 ile çarpılması, hacminin iki katı olan bir küpün kenar uzunluğunu verir. Fransız matematikçi Évariste Galois'in öncü teorisini kullanarak, her üç klasik problem için de daire ve cetvelle hesaplamanın imkansız olduğu gösterilebilir.

Hipotenüs, dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. Uzunluğunu hesaplamak için bacaklardan birinin uzunluğunu ve üçgenin dar açılarından birinin boyutunu bilmek yeterlidir.

Lütfen dikkat: Üç parçalı açı ve küp kök yapımı pergel ve cetvelle mümkün değildir.

Öte yandan, Cardano formülü kullanılarak üçüncü dereceden bir denklemin çözümü, açının küp köküne bölünmesiyle temsil edilebilir. İleride daire ve cetvelle bir açı oluşturacağız. Ancak bu açının üçgeni ve küp kökü belirlendikten sonra pergel ve cetvel kullanılarak elek kare tasarımı tamamlanabilir.

Bu hesaplamaya göre bir kafes döşemesi oluşturmak

İnşaat probleminin cebirsel formülasyonu, yapısal analizi üçlü yapının inşası hakkında ek bilgi sağlayacak bir denkleme yol açar. Burada bir açının kosinüsüne bire bir ilişkisi kullanılır: eğer açının büyüklüğü biliniyorsa, açının kosinüsünün uzunluğu birim daire üzerinde benzersiz bir şekilde çizilebilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Talimatlar

Bilinen bir bacak ve bir dik üçgenin dar açısı göz önüne alındığında, hipotenüsün boyutu, bu açı ona karşıt/komşu ise, bacağın bu açının kosinüs/sinüs oranına eşit olabilir:

h = C1(veya C2)/sinα;

h = C1 (veya C2)/cosα.

Örnek: AB hipotenüsü ve C dik açısına sahip bir ABC dik üçgeni verilsin. B açısı 60 derece ve A açısı 30 derece olsun. AB hipotenüsünün uzunluğunu bulmamız gerekiyor. . Bunu yapmak için yukarıda önerilen yöntemlerden herhangi birini kullanabilirsiniz:

Bu bire bir görev, açıyı belirlemekten açının kosinüsünü belirlemeye geçmenizi sağlar. Aşağıda 3φ bölünecek açıyı belirtmektedir. Dolayısıyla φ, değeri belirli bir 3 φ'de belirlenmesi gereken bir açıdır. Trigonometriden bilinen bağlantılarla başlayarak.

Belirli bir 3 φ açıyla takip eder. Üç boyutlu bir denklemin çözülebilirliğinin cebirsel olarak ele alınması, doğrudan çözüm oluşturma olasılığı sorununa ve sonuç olarak, belirli bir açının yapıcı üçlü açısının olasılığı veya imkansızlığı sorununa yol açar.

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Hipotenüs, dik açının karşısında bulunan dik üçgenin tarafıdır. Bir dik üçgenin en uzun kenarıdır. Pisagor teoremi kullanılarak veya trigonometrik fonksiyonların formülleri kullanılarak hesaplanabilir.

Çıkış açısının büyüklüğü, üçüncü açıyı bağlama olasılığı üzerinde büyük bir etkiye sahiptir, çünkü bu, mutlak bir terim olarak, üç boyutlu denklemdeki çözümlerin türünü kesin olarak belirler. Bir üçgenleme denkleminin rasyonel işlemlerle veya belirli bir başlangıç ​​açısı için karekökler çizilerek elde edilebilecek en az bir gerçek çözümü varsa, bu çözüm yapıcıdır.

Breidenbach, üç saniyelik açının yalnızca üç bölümlü bir denklemin rasyonel çözümünde yorumlanabileceğini bir kriter olarak formüle etti. Eğer böyle bir çözüm mevcut değilse, üç parçalı tasarım probleminin pergel ve cetvelle bağdaşması mümkün değildir. Kümeleme analizi, büyük bir veri setinden küçük grupları bir araya getirmeye yönelik genel bir tekniktir. Diskriminant analizine benzer şekilde, küme analizi de gözlemleri gruplar halinde sınıflandırmak için kullanılır. Öte yandan, ayrımcı analiz, sınıflandırma kuralını türetmek için kullanılan durumlarda grup üyeliklerinin bilinmesini gerektirir.

Talimatlar

Dik üçgenin dik açıya bitişik kenarlarına bacak denir. Şekilde bacaklar AB ve BC olarak gösterilmiştir. Her iki bacağın uzunlukları verilsin. Bunları |AB| olarak gösterelim. ve |BC|. |AC| hipotenüsünün uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanırız. Bu teoreme göre bacakların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir; şeklimizin gösteriminde |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Formülden AC hipotenüsünün uzunluğunun |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

Kümeleme analizi daha ilkel bir yöntemdir çünkü grup sayısı veya grup üyeliği hakkında herhangi bir varsayımda bulunmaz. Sınıflandırma Küme analizi, çok sayıda değişken ve gözlemde potansiyel ilişkileri keşfetmenin ve sistematik yapı oluşturmanın bir yolunu sağlar. Hiyerarşik küme analizi, ölçülen özelliklere dayalı olarak nispeten homojen vaka kümelerini bulmaya yönelik temel bir istatistiksel yöntemdir. Her vakayla ayrı bir küme olarak başlar.

Daha sonra kümeler sırayla birleştirilir ve yalnızca bir küme kalana kadar her adımda küme sayısı azalır. Kümeleme yöntemi, kümeler oluşturmak için nesneler arasındaki farkları kullanır. Hiyerarşik küme analizi küçük örnekler için en uygunudur.

Bir örneğe bakalım. Bacakların uzunlukları |AB| olsun = 13, |BC| = 21. Pisagor teoremini kullanarak |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610 olduğunu buluruz. Hipotenüsün uzunluğunu elde etmek için, şunun karekökünü çıkarmak gerekir: bacakların karelerinin toplamı, yani. 610 numaradan: |AC| = √610. Tam sayıların kareleri tablosunu kullanarak 610 sayısının herhangi bir tam sayının tam karesi olmadığını buluruz. Hipotenüs uzunluğunun nihai değerini elde etmek için kök işaretinin altındaki tam kareyi çıkarmaya çalışalım. Bunu yapmak için 610 sayısını çarpanlarına ayıralım. 610 = 2 * 5 * 61. Asal sayılar tablosunu kullanarak 61'in asal sayı olduğunu görürüz. Bu nedenle √610 sayısının daha da azaltılması mümkün değildir. Son cevabı alıyoruz |AC| = √610.
Hipotenüsün karesi örneğin 675 olsaydı, o zaman √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Böyle bir azalma mümkünse, sonucun karesini alarak ters bir kontrol yapın ve bunu orijinal değerle karşılaştırın.

Hiyerarşik küme analizi, homojen değişken grupların oluşumunu gözlemlemenin yalnızca bir yoludur. Analiziniz için küme sayısını ayarlamanın belirli bir yolu yoktur. İyi bir küme çözümü elde etmek için kümelerin özelliklerinin yanı sıra dendrograma da bakmanız ve ardından sayıyı adım adım ayarlamanız gerekebilir.

Değişkenler farklı ölçeklerde ölçüldüğünde değişkenleri standartlaştırmanın üç yolu vardır. Sonuç olarak, değişkenlerin varyansı hakkındaki bilgileri kaybedebilseniz bile, tüm değişkenler mesafe ölçümüne yaklaşık olarak eşit oranlarda katkıda bulunur.

Bacaklardan birini ve ona bitişik açıyı bize bildirin. Daha spesifik olmak gerekirse, bunlar |AB| tarafı olsun. ve açı α. Daha sonra trigonometrik fonksiyon kosinüs formülünü kullanabiliriz - bir açının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranına eşittir. Onlar. gösterimimizde çünkü α = |AB| / |AC|. Bundan |AC| hipotenüsünün uzunluğunu elde ederiz. = |AB| / çünkü α.
|BC| tarafını biliyorsak ve açı α ise, açının sinüsünü hesaplamak için formülü kullanacağız - açının sinüsü karşı kenarın hipotenüse oranına eşittir: sin α = |BC| / |AC|. Hipotenüs uzunluğunun |AC| olduğunu buluyoruz. = |BC| / çünkü α.

Öklid mesafesi: Öklid mesafesi en yaygın ölçüm yöntemidir. Kare Öklid Mesafesi: Kare Öklid mesafesi, dikkati birbirinden daha uzaktaki nesnelere odaklar. Şehir bloğu mesafesi: Hem şehir bloğu hem de Öklid mesafesi Minkowski metriğinin özel durumlarıdır. Öklid mesafesi iki nokta arasındaki en kısa yolun uzunluğuna karşılık gelirken, blok mesafesi her boyut boyunca olan mesafelerin toplamıdır. Pearson korelasyon mesafesi 1 ile iki gözlemin kosinüs katsayısı arasındaki fark. Kosinüs katsayısı, iki vektör arasındaki açının kosinüsüdür. Jaccard mesafesi İki gözlem için 1 ile Jaccard katsayısı arasındaki fark. İkili veriler için Jaccard katsayısı, örtüşme miktarının iki gözlemin toplamına oranıdır. En Yakın Komşu Bu yöntem, iki küme arasındaki mesafenin, en yakın komşularındaki nesneler arasındaki mesafeye karşılık geldiğini varsayar. En İyi Komşu Bu yöntemde iki küme arasındaki mesafe, farklı kümelerdeki iki nesne arasındaki maksimum mesafeye karşılık gelir. Grup Ortalaması: Bu yöntemle iki küme arasındaki mesafe, farklı kümelerdeki tüm nesne çiftleri arasındaki ortalama mesafeye karşılık gelir. Bu yöntem genellikle daha fazla bilgi içerdiğinden tavsiye edilir. Medyan Bu yöntem, ağırlıklandırılmaması dışında ağırlık merkezi yöntemiyle aynıdır. Daha sonra her durum için küme ortalamalarına ikinci dereceden Öklid mesafesi hesaplanır. Birleştirilmesi gereken küme en az miktarı artıran kümedir. Yani bu yöntem kümeler içindeki mesafelerin kareleri toplamındaki artışı en aza indirir. Bu yöntem daha küçük kümeler oluşturma eğilimindedir.

• Bu çok boyutlu uzayda geometrik bir mesafedir.
• Yalnızca sürekli değişkenler için uygundur.
• Kosinüs Uzaklığı İki değer vektörü arasındaki açının kosinüsü.
• Elle çizilmiş kümeler çizilirken bu yöntem önerilir.
• Çizilen kümeler benzersiz "kümeler" oluşturuyorsa yöntem uygundur.
• Bir kümenin ağırlık merkezi, çok boyutlu uzayda orta noktadır.
• Küme boyutları çok farklıysa kullanılmamalıdır.
• Tüm değişkenler için Ward Ortalamaları her küme için hesaplanır.
• Bu mesafeler tüm durumlar için toplanır.

Açıklık sağlamak için bir örneğe bakalım. Bacağın uzunluğu |AB| verilsin. = 15. Ve α açısı = 60°. |AC| elde ederiz = 15 / çünkü 60° = 15 / 0,5 = 30.
Pisagor teoremini kullanarak sonucunuzu nasıl kontrol edebileceğinize bakalım. Bunu yapmak için ikinci bacağın |BC| uzunluğunu hesaplamamız gerekiyor. tan açısının tanjantı formülünü kullanma α = |BC| / |AC|, |BC|'yi elde ederiz = |AB| * ten rengi α = 15 * ten rengi 60° = 15 * √3. Daha sonra Pisagor teoremini uyguladığımızda 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 elde ederiz. Kontrol tamamlandı.

Sinüs fonksiyonu, açının her zaman radyan cinsinden ifade edilmesi gerektiği göz önüne alındığında sinüs kavramından tanımlanır. Sinüs fonksiyonunun çeşitli özelliklerini gözlemleyebiliriz.

• Alanınız tüm gerçek olanları içerir.
• Bu durumda fonksiyonun periyodu 2π olan periyodik olduğu söylenir.

Kosinüs fonksiyonunun çeşitli özelliklerini gözlemleyebiliriz. Yani 2π periyodik periyodudur. . Sınırlama formülün genelliğini ortadan kaldırmaz çünkü ikinci, üçüncü ve dördüncü çeyreğin açılarını her zaman birinciye indirgeyebiliriz. Egzersiz yapmak. - Hesap makinesi kullanmadan 15°'nin sinüsünü hesaplayın.

Hipotenüsü hesapladıktan sonra elde edilen değerin Pisagor teoremini karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.

Kaynaklar:

• 1'den 10000'e kadar asal sayılar tablosu

Bacaklar boyutu 90° olan tepe noktasını oluşturan dik üçgenin iki kısa kenarıdır. Böyle bir üçgenin üçüncü kenarına hipotenüs denir. Üçgenin tüm bu kenarları ve açıları, diğer birkaç parametre biliniyorsa bacağın uzunluğunu hesaplamayı mümkün kılan belirli ilişkilerle birbirine bağlanır.

İki açının toplamının kosinüsü

İki açı farkının kosinüsü

Egzersiz yapmak. Bugünkü yazımızda çok spesifik bir alt kümeye bakacağız: trigonometrik fonksiyonlar. Matematiğin sunduğu her şeyin tadını çıkarmak için onu içe aktarmalıyız. Bir sonraki makalede, her birinin kendi avantajları ve dezavantajları olan diğer içe aktarma stillerini göreceğiz. Ancak bu basit talimatla, bugün ele alacaklarımız da dahil olmak üzere düzinelerce fonksiyonla dolu matematik modülü ad alanının tamamına zaten erişebileceksiniz.

Talimatlar

Bir dik üçgenin diğer iki tarafının (B ve C) uzunlukları biliniyorsa, (A) bacağının uzunluğunu hesaplamak için Pisagor Teoremini kullanın. Bu teorem, bacakların kare uzunluklarının toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir. Bundan, her bir kenarın uzunluğunun, hipotenüs ile ikinci kenarın uzunluklarının kareleri arasındaki farkın kareköküne eşit olduğu sonucu çıkar: A=√(C²-B²).

Temel olarak bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının yanı sıra ters fonksiyonlarını da hesaplamamız gerekecek. Ek olarak, karşılık gelen dönüştürme fonksiyonlarını da kullanabilmek için hem radyan hem de derece cinsinden çalışabilmek istiyoruz.

Bu işlevlerin argümanın derece değil radyan cinsinden sağlanmasını beklediğini aklınızda bulundurmalısınız. Bu amaçla aşağıdaki sabite sahip olduğunuzu bilmek ilginizi çekecektir. Yani sayısal bir değer yerine bu ifadeyi kullanabiliriz.

Kosekant, sekant ve kotanjant için doğrudan bir fonksiyon yoktur çünkü bunlar sırasıyla sinüs, kosinüs ve tanjantın tersidir. Daha önce olduğu gibi, döndürülen açı da radyan cinsindendir. Matematiğin bir başka yararlı işlevi de, dik üçgenin bacaklarına bakıldığında hipotenüs değerini bulmamızı sağlar; bu da bacakların karelerinin toplamının karekökünü hesaplamamızı sağlar.

Hesaplanan bacağın karşısındaki açının (α) büyüklüğü ve hipotenüsün uzunluğu (C) biliniyorsa, dar açı için doğrudan trigonometrik fonksiyon "sinüs" tanımını kullanın. Bu tanım, bilinen bu açının sinüsünün, istenen kenarın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına eşit olduğunu belirtir. Bu, istenen kenarın uzunluğunun hipotenüs uzunluğu ile bilinen açının sinüsünün çarpımına eşit olduğu anlamına gelir: A=C∗sin(α). Bilinen aynı büyüklükler için kosekant fonksiyonunun tanımını da kullanabilir ve hipotenüsün uzunluğunu bilinen A=C/cosec(α) açısının kosekantına bölerek gereken uzunluğu hesaplayabilirsiniz.

Hipotenüs uzunluğuna (C) ek olarak istenen ayağa bitişik dar açının (β) büyüklüğü de biliniyorsa, doğrudan trigonometrik kosinüs fonksiyonunun tanımını kullanın. Bu açının kosinüsü, istenilen kenarın uzunluklarının hipotenüse oranı olarak tanımlanır ve bundan, bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğu ile bilinenin kosinüsünün çarpımına eşit olduğu sonucuna varabiliriz. açı: A=C∗cos(β). Sekant fonksiyonunun tanımını kullanabilir ve hipotenüsün uzunluğunu bilinen A=C/sn(β) açısının sekantına bölerek istenen değeri hesaplayabilirsiniz.

İstenilen bacağın (A) karşısındaki dar açının (a) değerine ek olarak ikinci bacağın (B) uzunluğu biliniyorsa, trigonometrik fonksiyonun teğetinin türevi için benzer bir tanımdan gerekli formülü türetin. . İstenilen bacağın karşısındaki açının tanjantı, bu bacağın uzunluğunun ikinci bacağın uzunluğuna oranıdır. Bu, istenen değerin bilinen bacağın uzunluğu ile bilinen açının tanjantının çarpımına eşit olacağı anlamına gelir: A=B∗tg(α). Kotanjant fonksiyonunun tanımını kullanırsak, bu bilinen niceliklerden başka bir formül türetilebilir. Bu durumda bacağın uzunluğunu hesaplamak için bilinen bacağın uzunluğunun bilinen açının kotanjantına oranını bulmak gerekecektir: A=B/ctg(α).

Konuyla ilgili video

"Kathet" kelimesi Yunancadan Rusça'ya geldi. Tam tercümede, çekül hattı anlamına gelir, yani dünya yüzeyine dik. Matematikte bacaklar dik bir üçgenin dik açısını oluşturan kenarlardır. Bu açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. “Katet” terimi mimaride ve kaynak teknolojisinde de kullanılmaktadır.

Bir dik üçgen DIA çizin. Bacaklarını a ve b, hipotenüsünü ise c olarak etiketleyin. Bir dik üçgenin tüm kenarları ve açıları belirli ilişkilerle birbirine bağlıdır. Akut açılardan birinin karşısındaki bacağın hipotenüse oranına bu açının sinüsü denir. Bu üçgende sinCAB=a/c. Kosinüs, bitişik kenarın hipotenüsüne olan orandır, yani cosCAB=b/c. Ters ilişkilere sekant ve kosekant denir.

Bu açının sekantı, hipotenüsün bitişik kenara bölünmesiyle elde edilir, yani secCAB = c/b. Sonuç kosinüsün tersidir, yani secCAB=1/cosSAB formülü kullanılarak ifade edilebilir.
Kosekant, hipotenüsün karşı tarafa bölünmesine eşittir ve sinüsün tersidir. cosecCAB=1/sinCAB formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Her iki bacak da teğet ve kotanjant ile bağlanır. Bu durumda teğet, a tarafının b tarafına, yani karşı tarafın bitişik kenara oranı olacaktır. Bu ilişki tgCAB=a/b formülüyle ifade edilebilir. Buna göre ters oran kotanjant olacaktır: ctgCAB=b/a.

Hipotenüsün boyutları ile her iki bacak arasındaki ilişki eski Yunan matematikçi Pisagor tarafından belirlendi. İnsanlar hâlâ onun adını taşıyan teoremi kullanıyor. Hipotenüsün karesinin kenarların karelerinin toplamına eşit olduğunu söylüyor, yani c2 = a2 + b2. Buna göre her bir bacak, hipotenüsün kareleri ile diğer bacağın kareleri arasındaki farkın kareköküne eşit olacaktır. Bu formül b=√(c2-a2) şeklinde yazılabilir.

Bacağın uzunluğu sizin bildiğiniz ilişkilerle de ifade edilebilir. Sinüs ve kosinüs teoremlerine göre bir bacak, hipotenüsün çarpımına ve bu işlevlerden birine eşittir. Ayrıca teğet veya kotanjant yoluyla da ifade edilebilir. A ayağı, örneğin a = b*tan CAB formülü kullanılarak bulunabilir. Aynı şekilde verilen teğet veya kotanjanta bağlı olarak ikinci bacak belirlenir.

"Katet" terimi mimaride de kullanılmaktadır. İyonik bir başkente uygulanır ve sırtının ortasından geçen bir çekül çizgisini belirtir. Yani bu durumda bu terim belirli bir çizgiye dik olanı ifade eder.

Kaynak teknolojisinde “fileto kaynak ayağı” kavramı vardır. Diğer durumlarda olduğu gibi bu en kısa mesafedir. Burada kaynak yapılan parçalardan birinin diğer parçanın yüzeyinde bulunan dikiş sınırına kadar olan boşluğundan bahsediyoruz.

Konuyla ilgili video

Kaynaklar:

• kenar ve hipotenüs nedir?

Konuyla ilgili video

Not

Bir dik üçgenin kenarlarını hesaplarken, özelliklerine ilişkin bilgi önemli bir rol oynayabilir:
1) Bir dik açının kenarı 30 derecelik bir açının karşısında yer alıyorsa, hipotenüsün yarısına eşittir;
2) Hipotenüs her zaman bacakların herhangi birinden daha uzundur;
3) Bir dik üçgenin çevresine bir daire çiziliyorsa, merkezi hipotenüsün ortasında olmalıdır.

Dik üçgenin çözümüyle ilgili problemler göz önüne alındığında, sinüs ve kosinüs tanımlarını ezberlemek için bir teknik sunacağıma söz verdim. Bunu kullanarak, hangi tarafın hipotenüse (komşu veya karşı) ait olduğunu her zaman hızlı bir şekilde hatırlayacaksınız. Uzun süre ertelememeye karar verdim, gerekli materyal aşağıda, lütfen okuyun 😉

Gerçek şu ki 10-11. sınıf öğrencilerinin bu tanımları hatırlamakta ne kadar zorlandıklarını defalarca gözlemledim. Bacağın hipotenüsü ifade ettiğini çok iyi hatırlıyorlar ama hangisi olduğunu unutuyorlar ve kafası karışmış. Sınavda bildiğiniz gibi hatanın bedeli kaybedilen puandır.

Doğrudan matematiğe sunacağım bilgilerin matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Figüratif düşünme ve sözel-mantıksal iletişim yöntemleriyle ilişkilidir. Tam olarak böyle hatırlıyorum, ilk ve son kez tanım verileri. Bunları unutursanız, sunulan teknikleri kullanarak her zaman kolayca hatırlayabilirsiniz.

Size dik üçgende sinüs ve kosinüs tanımlarını hatırlatmama izin verin:

Kosinüs Bir dik üçgende dar açı, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır:

Sinüs Bir dik üçgende dar açı, karşı kenarın hipotenüse oranıdır:

Peki kosinüs kelimesiyle ne gibi çağrışımlarınız var?

Muhtemelen herkesin kendine ait bir yeri vardır 😉 Bağlantıyı unutmayın:

Böylece ifade hemen hafızanızda görünecektir -

«… YANINDAKİ bacağın hipotenüse oranı».

Kosinüs belirleme sorunu çözüldü.

Dik üçgende sinüs tanımını hatırlamanız gerekiyorsa, o zaman kosinüs tanımını hatırlayarak, dik üçgendeki akut açının sinüsünün karşı tarafın hipotenüse oranı olduğunu kolayca belirleyebilirsiniz. Sonuçta, yalnızca iki bacak vardır; eğer bitişik bacak kosinüs tarafından "işgal edilmişse", o zaman yalnızca karşı bacak sinüste kalır.

Peki ya teğet ve kotanjant? Karışıklık aynı. Öğrenciler bunun bir bacak ilişkisi olduğunu biliyorlar, ancak sorun hangisinin hangisine atıfta bulunduğunu hatırlamaktır - ya bitişik olanın tersi ya da tam tersi.

Tanımlar:

Teğet Bir dik üçgende dar açı, karşı tarafın bitişik kenara oranıdır:

Kotanjant Bir dik üçgende dar açı, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır:

Nasıl hatırlanır? İki yol var. Biri aynı zamanda sözlü-mantıksal bir bağlantı kullanıyor, diğeri ise matematiksel bir bağlantı kullanıyor.

MATEMATİKSEL YÖNTEM

Böyle bir tanım var - akut açının tanjantı, açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:

*Formülü ezberledikten sonra, bir dik üçgendeki dar açının tanjantının karşı kenarın bitişik kenara oranı olduğunu her zaman belirleyebilirsiniz.

Aynı şekilde. Akut açının kotanjantı, açının kosinüsünün sinüsüne oranıdır:

Bu yüzden! Bu formülleri hatırlayarak her zaman şunu belirleyebilirsiniz:

Bir dik üçgende dar açının tanjantı, karşı kenarın komşu kenara oranıdır

Bir dik üçgende dar açının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranıdır.

KELİME-MANTIK YÖNTEMİ

Teğet hakkında. Bağlantıyı unutmayın:

Yani teğetin tanımını hatırlamanız gerekiyorsa, bu mantıksal bağlantıyı kullanarak ne olduğunu kolayca hatırlayabilirsiniz.

“... karşı tarafın bitişik tarafa oranı”

Kotanjant hakkında konuşursak, tanjant tanımını hatırlayarak kotanjant tanımını kolayca dile getirebilirsiniz -

“...bitişik tarafın karşı tarafa oranı”

Web sitesinde teğet ve kotanjantı hatırlamanın ilginç bir yolu var " Matematiksel tandem " , Bakmak.

EVRENSEL YÖNTEM

Sadece ezberleyebilirsin. Ancak uygulamanın gösterdiği gibi, sözel-mantıksal bağlantılar sayesinde kişi, yalnızca matematiksel olanları değil, bilgileri uzun süre hatırlar.

Umarım materyal sizin için yararlı olmuştur.

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Karşı kenarın hipotenüse oranına denir akut açı sinüsü sağ üçgen.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü

Bitişik bacağın hipotenüse oranına denir dar açının kosinüsü sağ üçgen.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Bir dik üçgenin dar açısının tanjantı

Karşı tarafın bitişik kenara oranına denir dar açının tanjantı sağ üçgen.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Bir dik üçgenin dar açısının kotanjantı

Bitişik kenarın karşı kenara oranına denir dar açının kotanjantı sağ üçgen.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Keyfi bir açının sinüsü

Birim çember üzerinde \alfa açısının karşılık geldiği bir noktanın ordinatına ne ad verilir? keyfi bir açının sinüsü döndürme \alpha .

\sin \alpha=y

Keyfi bir açının kosinüsü

Birim çember üzerinde \alfa açısının karşılık geldiği bir noktanın apsisine denir keyfi bir açının kosinüsü döndürme \alpha .

\çünkü \alfa=x

Keyfi bir açının tanjantı

Rastgele bir dönme açısı \alfa'nın sinüsünün kosinüsüne oranına denir. keyfi bir açının tanjantı döndürme \alpha .

tan \alfa = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Rastgele bir açının kotanjantı

Rastgele bir dönme açısı \alpha'nın kosinüsünün sinüsüne oranına denir keyfi bir açının kotanjantı döndürme \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Keyfi bir açı bulma örneği

Eğer \alpha, M'nin birim çember üzerinde bir nokta olduğu bir AOM açısı ise, o zaman

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Örneğin, eğer \angle AOM = -\frac(\pi)(4), o zaman: M noktasının ordinatı şuna eşittir: -\frac(\sqrt(2))(2), apsis eşittir \frac(\sqrt(2))(2) ve bu yüzden

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Kotanjantların teğetlerinin kosinüs sinüslerinin değerleri tablosu

Sıklıkla meydana gelen ana açıların değerleri tabloda verilmiştir:

Hayatta sıklıkla matematik problemleriyle uğraşmak zorunda kalacağız: okulda, üniversitede ve ardından çocuğumuzun ev ödevlerine yardım etmek. Belirli mesleklerdeki insanlar matematikle günlük olarak karşılaşacaklardır. Bu nedenle matematik kurallarını ezberlemek veya hatırlamakta fayda var. Bu yazıda bunlardan birine bakacağız: Dik üçgenin kenarını bulma.

Dik üçgen nedir

Öncelikle dik üçgenin ne olduğunu hatırlayalım. Dik üçgen, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan noktaları birleştiren üç parçadan oluşan geometrik bir şekildir ve bu şeklin açılarından biri 90 derecedir. Dik açıyı oluşturan kenarlara bacaklar, dik açının karşısındaki kenara ise hipotenüs adı verilir.

Dik üçgenin ayağını bulma

Bacağın uzunluğunu bulmanın birkaç yolu vardır. Bunları daha ayrıntılı olarak ele almak istiyorum.

Dik üçgenin kenarını bulmak için Pisagor teoremi

Hipotenüsü ve kenarı biliyorsak, bilinmeyen kenarın uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulabiliriz. Şöyle geliyor: "Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir." Formül: c²=a²+b², burada c hipotenüs, a ve b ise kenarlardır. Formülü dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz: a²=c²-b².

Örnek. Hipotenüs 5 cm, kenar ise 3 cm'dir. Formülü dönüştürüyoruz: c²=a²+b² → a²=c²-b². Sonra çözüyoruz: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Dik üçgenin kenarını bulmak için trigonometrik oranlar

Bir dik üçgenin diğer kenarları ve herhangi bir dar açısı biliniyorsa, bilinmeyen bir kenar da bulabilirsiniz. Trigonometrik fonksiyonları kullanarak bir bacak bulmak için dört seçenek vardır: sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant. Sorunları çözmek için aşağıdaki tablo bize yardımcı olacaktır. Bu seçenekleri değerlendirelim.

Sinüs kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Bir açının sinüsü (sin), karşı tarafın hipotenüse oranıdır. Formül: sin=a/c, burada a verilen açının karşısındaki kenardır ve c hipotenüstür. Daha sonra formülü dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz: a=sin*c.

Örnek. Hipotenüs 10 cm, A açısı 30 derecedir. Tabloyu kullanarak A açısının sinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşittir. Daha sonra dönüştürülmüş formülü kullanarak şunu çözeriz: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Kosinüs kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Bir açının kosinüsü (cos), bitişik kenarın hipotenüse oranıdır. Formül: cos=b/c, burada b, belirli bir açıya bitişik kenardır ve c, hipotenüstür. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: b=cos*c.

Örnek. A açısı 60 dereceye eşittir, hipotenüs 10 cm'ye eşittir. Tabloyu kullanarak A açısının kosinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşit. Sonra çözüyoruz: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Teğet kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Bir açının tanjantı (tg), karşı tarafın bitişik kenara oranıdır. Formül: tg=a/b, burada a, açının karşısındaki kenardır ve b, bitişik kenardır. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: a=tg*b.

Örnek. A açısı 45 dereceye eşittir, hipotenüs 10 cm'ye eşittir. Tabloyu kullanarak A açısının tanjantını hesaplıyoruz, şuna eşittir: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Kotanjant kullanarak dik üçgenin kenarını bulun

Açı kotanjantı (ctg), bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Formül: ctg=b/a, burada b, açıya bitişik bacak ve karşı bacaktır. Başka bir deyişle, kotanjant "tersine çevrilmiş bir teğettir". Şunu elde ederiz: b=ctg*a.

Örnek. A açısı 30 derece, karşı kenar ise 5 cm'dir. Tabloya göre A açısının tanjantı √3'tür. Hesaplıyoruz: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Artık dik üçgende bir bacağı nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Gördüğünüz gibi o kadar da zor değil, asıl önemli olan formülleri hatırlamak.

Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir, dik üçgeni anlamanıza yardımcı olacaktır.

Dik üçgenin kenarlarına ne denir? Aynen öyle, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır (örneğimizde bu \(AC\) kenarıdır); bacaklar kalan iki taraf \(AB\) ve \(BC\)'dir (dik açıya bitişik olanlar) ve bacakları \(BC\) açısına göre düşünürsek, o zaman bacak \(AB\) bitişik bacak ve bacak \(BC\) zıttır. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir?

Açının sinüsü– bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.

Üçgenimizde:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Açının kosinüsü– bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.

Üçgenimizde:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Açının tanjantı– bu, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.

Üçgenimizde:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Açının kotanjantı– bu, bitişik (yakın) bacağın karşıt (uzak) bacağına oranıdır.

Üçgenimizde:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için bunu açıkça anlamalısınız. teğet Ve kotanjant yalnızca bacaklar oturur ve hipotenüs yalnızca sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:

Kosinüs→dokunma→dokunma→bitişik;

Kotanjant → dokunma → dokunma → bitişik.

Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları bu kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı olmadığından sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın olduğunu hatırlamanız gerekir. İnanma? Daha sonra resme bakarak emin olun:

Örneğin \(\beta \) açısının kosinüsünü düşünün. Tanım gereği, bir \(ABC\) üçgeninden: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \) ancak \(\beta \) açısının kosinüsünü \(AHI \) üçgeninden hesaplayabiliriz: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüsünün değeri aynı. Dolayısıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.

Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve bunları pekiştirin!

Aşağıdaki şekilde gösterilen \(ABC\) üçgeni için şunu buluruz: \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Peki, anladın mı? O halde kendiniz deneyin: \(\beta \) açısı için de aynısını hesaplayın.

Yanıtlar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Birim (trigonometrik) daire

Derece ve radyan kavramlarını anlayarak, yarıçapı \(1\)'e eşit olan bir daire düşündük. Böyle bir daireye denir Bekar. Trigonometri çalışırken çok faydalı olacaktır. Bu nedenle biraz daha detaylı bakalım.

Gördüğünüz gibi bu daire Kartezyen koordinat sistemine göre inşa edilmiştir. Çemberin yarıçapı bire eşittir, çemberin merkezi koordinatların orijininde yer alırken, yarıçap vektörünün başlangıç ​​konumu \(x\) ekseninin pozitif yönü boyunca sabittir (örneğimizde bu yarıçaptır (AB\)).

Çember üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: \(x\) ekseni boyunca koordinat ve \(y\) ekseni boyunca koordinat. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, bunların elimizdeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik üçgeni hatırlamamız gerekir. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgeni görüyorsunuz. \(ACG\) üçgenini düşünün. \(CG\), \(x\) eksenine dik olduğundan dikdörtgendir.

\(ACG \) üçgeninden \(\cos \ \alpha \) nedir? Bu doğru \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ayrıca \(AC\)'nin birim çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz, yani \(AC=1\) . Bu değeri kosinüs formülümüzde yerine koyalım. İşte olanlar:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(ACG \) üçgeninden \(\sin \ \alpha \) neye eşittir? Tabii ki \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! \(AC\) yarıçapının değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Peki çembere ait \(C\) noktasının koordinatlarının ne olduğunu söyleyebilir misiniz? Peki, mümkün değil mi? Peki ya \(\cos \ \alpha \) ve \(\sin \alpha \)'nin yalnızca sayı olduğunu fark ederseniz? \(\cos \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Tabii ki koordinat \(x\)! Peki \(\sin \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Doğru, koordinat \(y\)! Yani asıl nokta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

O halde \(tg \alpha \) ve \(ctg \alpha \) neye eşittir? Aynen öyle, teğet ve kotanjantın karşılık gelen tanımlarını kullanalım ve şunu elde edelim \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Ya açı daha büyükse? Örneğin bu resimdeki gibi:

Bu örnekte ne değişti? Hadi çözelim. Bunu yapmak için tekrar dik üçgene dönelim. Bir dik üçgen düşünün \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : açı (açıya komşu olarak \(\beta \) ). Bir açı için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın değeri nedir? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Doğru, trigonometrik fonksiyonların ilgili tanımlarına uyuyoruz:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Gördüğünüz gibi açının sinüs değeri hala \(y\) koordinatına karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri - koordinat \(x\) ; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Dolayısıyla bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanır.

Yarıçap vektörünün başlangıç ​​konumunun \(x\) ekseninin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şu ana kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük ama saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belli bir değerde bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürdüğümüzde, şunu elde ederiz: pozitif açılar, ve saat yönünde döndürüldüğünde – olumsuz.

Yani, yarıçap vektörünün daire etrafındaki tüm devriminin \(360()^\circ \) veya \(2\pi \) olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü \(390()^\circ \) veya \(-1140()^\circ \) kadar döndürmek mümkün mü? Tabii ki yapabilirsin! İlk durumda, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \) dolayısıyla yarıçap vektörü bir tam dönüş yapacak ve \(30()^\circ \) veya \(\dfrac(\pi )(6) \) konumunda duracaktır.

İkinci durumda, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \) yani yarıçap vektörü üç tam devir yapacak ve \(-60()^\circ \) veya \(-\dfrac(\pi )(3) \) konumunda duracaktır.

Dolayısıyla, yukarıdaki örneklerden, \(360()^\circ \cdot m \) veya \(2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tamsayıdır) kadar farklı olan açıların olduğu sonucuna varabiliriz. yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık gelir.

Aşağıdaki şekil \(\beta =-60()^\circ \) açısını göstermektedir. Aynı görüntü köşeye karşılık gelir \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vesaire. Bu listeye süresiz olarak devam edilebilir. Bütün bu açılar genel formülle yazılabilir. \(\beta +360()^\circ \cdot m\) veya \(\beta +2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tam sayıdır)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Şimdi temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak değerlerin ne olduğunu cevaplamaya çalışın:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

İşte size yardımcı olacak bir birim çember:

Zorluk mu yaşıyorsunuz? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)

Buradan belirli açı ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: köşedeki \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\left(0;1 \right) \) koordinatlarına sahip bir noktaya karşılık gelir, dolayısıyla:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- bulunmuyor;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Ayrıca aynı mantığa bağlı kalarak köşelerin de olduğunu görüyoruz. \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) koordinatlı noktalara karşılık gelir \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text() )\left(0 ;1 \sağ) \), sırasıyla. Bunu bilerek trigonometrik fonksiyonların değerlerini karşılık gelen noktalarda belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, sonra cevapları kontrol edin.

Yanıtlar:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- bulunmuyor

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- bulunmuyor

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- bulunmuyor

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- bulunmuyor

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Böylece aşağıdaki tabloyu yapabiliriz:

Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Bunu hatırlamanız veya görüntüleyebilmeniz gerekir!! \) !}

Ancak açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri ve \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) Aşağıdaki tabloda verilenleri hatırlamanız gerekir:

Korkmayın, şimdi size karşılık gelen değerlerin oldukça basit bir şekilde ezberlenmesine ilişkin bir örnek göstereceğiz:

Bu yöntemi kullanmak için, her üç açı ölçüsünün sinüs değerlerini hatırlamak çok önemlidir ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)) ve \(30()^\circ \) cinsinden açının tanjantının değeri. Bu \(4\) değerleri bilerek, tablonun tamamını geri yüklemek oldukça basittir - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\end(dizi)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) bunu bilerek değerleri geri yükleyebilirsiniz. \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" payı \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \)'ye karşılık gelir ve "\(\sqrt(\text(3)) \)" paydası şuna karşılık gelir: \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara uygun olarak aktarılır. Bunu anlayıp okların olduğu diyagramı hatırlarsanız tablodan sadece \(4\) değeri hatırlamanız yeterli olacaktır.

Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları

Dairenin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilerek bir daire üzerinde bir nokta (koordinatları) bulmak mümkün müdür? Tabii ki yapabilirsin! Bir noktanın koordinatlarını bulmak için genel bir formül türetelim. Örneğin önümüzde bir daire var:

Bize bu nokta verildi \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- dairenin merkezi. Çemberin yarıçapı \(1,5\)'dir. \(O\) noktasının \(\delta \) derece döndürülmesiyle elde edilen \(P\) noktasının koordinatlarını bulmak gerekir.

Şekilden görülebileceği gibi, \(P\) noktasının \(x\) koordinatı \(TP=UQ=UK+KQ\) doğru parçasının uzunluğuna karşılık gelir. \(UK\) segmentinin uzunluğu dairenin merkezinin \(x\) koordinatına karşılık gelir, yani \(3\)'e eşittir. \(KQ\) segmentinin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Sonra \(P\) noktası için koordinatı elde ederiz. \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Aynı mantığı kullanarak \(P\) noktasının y koordinatının değerini buluyoruz. Böylece,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Dolayısıyla genel olarak noktaların koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Nerede

\(((x)_(0))),((y)_(0)) \) - dairenin merkezinin koordinatları,

\(r\) - dairenin yarıçapı,

\(\delta \) - vektör yarıçapının dönüş açısı.

Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim daire için, merkezin koordinatları sıfıra ve yarıçap bire eşit olduğundan bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \\delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Öğrencilerin en çok uğraştığı matematik alanlarından biri trigonometridir. Şaşırtıcı değil: Bu bilgi alanında özgürce ustalaşmak için, mekansal düşünmeye, sinüsleri, kosinüsleri, teğetleri, formülleri kullanarak kotanjantları bulma yeteneğine, ifadeleri basitleştirmeye ve pi sayısını kullanabilmeniz gerekir. hesaplamalar. Ayrıca teoremleri ispatlarken trigonometriyi kullanabilmeniz gerekir ve bu da ya gelişmiş bir matematik hafızası ya da karmaşık mantıksal zincirler türetme yeteneği gerektirir.

Trigonometrinin kökenleri

Bu bilimle tanışmak bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımıyla başlamalıdır, ancak önce genel olarak trigonometrinin ne yaptığını anlamanız gerekir.

Tarihsel olarak, matematik biliminin bu dalındaki çalışmanın ana amacı dik üçgenlerdi. 90 derecelik bir açının varlığı, söz konusu şeklin tüm parametrelerinin değerlerinin iki kenar ve bir açı veya iki açı ve bir kenar kullanılarak belirlenmesine olanak tanıyan çeşitli işlemlerin gerçekleştirilmesini mümkün kılar. Geçmişte insanlar bu modeli fark etmiş ve bina yapımında, navigasyonda, astronomide ve hatta sanatta aktif olarak kullanmaya başlamışlardır.

İlk aşama

Başlangıçta insanlar açılar ve kenarlar arasındaki ilişkiden yalnızca dik üçgen örneğini kullanarak bahsettiler. Daha sonra matematiğin bu dalının günlük yaşamdaki kullanım sınırlarını genişletmeyi mümkün kılan özel formüller keşfedildi.

Bugün okulda trigonometri çalışması dik üçgenlerle başlıyor, ardından öğrenciler edindikleri bilgileri fizikte kullanıyor ve lisede başlayan soyut trigonometrik denklemleri çözüyorlar.

Küresel trigonometri

Daha sonra bilim bir sonraki gelişme düzeyine ulaştığında, farklı kuralların geçerli olduğu ve bir üçgendeki açıların toplamının her zaman 180 dereceden fazla olduğu küresel geometride sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantlı formüller kullanılmaya başlandı. Bu bölüm okulda incelenmiyor, ancak en azından dünyanın yüzeyi ve başka herhangi bir gezegenin yüzeyi dışbükey olduğu için varlığını bilmek gerekir, bu da herhangi bir yüzey işaretinin üç ayda "yay şeklinde" olacağı anlamına gelir. boyutlu uzay.

Küreyi ve ipliği alın. İpliği küre üzerindeki herhangi iki noktaya gergin olacak şekilde takın. Lütfen dikkat - bir yay şeklini almıştır. Küresel geometri, jeodezi, astronomi ve diğer teorik ve uygulamalı alanlarda kullanılan bu tür formlarla ilgilenir.

Sağ üçgen

Trigonometri kullanma yolları hakkında biraz bilgi sahibi olduktan sonra sinüs, kosinüs, tanjantın ne olduğunu, bunların yardımıyla hangi hesaplamaların yapılabileceğini ve hangi formüllerin kullanılacağını daha iyi anlamak için temel trigonometriye dönelim.

İlk adım dik üçgenle ilgili kavramları anlamaktır. Öncelikle hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. Bu en uzun olanıdır. Pisagor teoremine göre sayısal değerinin diğer iki tarafın karelerinin toplamının köküne eşit olduğunu hatırlıyoruz.

Örneğin iki kenar sırasıyla 3 ve 4 santimetre ise hipotenüsün uzunluğu 5 santimetre olacaktır. Bu arada, eski Mısırlılar bunu yaklaşık dört buçuk bin yıl önce biliyorlardı.

Dik açı oluşturan kalan iki tarafa bacak denir. Ayrıca dikdörtgen koordinat sistemindeki bir üçgenin açılarının toplamının 180 dereceye eşit olduğunu unutmamalıyız.

Tanım

Son olarak, geometrik temelin sağlam bir şekilde anlaşılmasıyla, sinüs, kosinüs ve bir açının tanjantının tanımına dönülebilir.

Bir açının sinüsü, karşı bacağın (yani istenen açının karşısındaki tarafın) hipotenüse oranıdır. Bir açının kosinüsü, komşu kenarın hipotenüse oranıdır.

Ne sinüs ne de kosinüsün birden büyük olamayacağını unutmayın! Neden? Hipotenüs varsayılan olarak en uzun olduğundan, bacak ne kadar uzun olursa olsun hipotenüsten daha kısa olacaktır, bu da oranlarının her zaman birden küçük olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, bir soruna verdiğiniz yanıtta 1'den büyük bir sinüs veya kosinüs değeri alırsanız, hesaplamalarda veya akıl yürütmede bir hata olup olmadığına bakın. Bu cevap açıkça yanlıştır.

Son olarak, bir açının tanjantı, karşı kenarın komşu kenara oranıdır. Sinüsün kosinüse bölünmesi aynı sonucu verecektir. Bakın: formüle göre kenar uzunluğunu hipotenüse bölüyoruz, sonra ikinci kenarın uzunluğuna bölüyoruz ve hipotenüsle çarpıyoruz. Böylece teğetin tanımındaki ilişkinin aynısını elde ederiz.

Buna göre kotanjant, köşeye bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Birini teğete bölerek de aynı sonucu elde ederiz.

Böylece sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğuna dair tanımlara baktık ve formüllere geçebiliriz.

En basit formüller

Trigonometride formüller olmadan yapamazsınız - onlar olmadan sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant nasıl bulunur? Ancak sorunları çözerken tam olarak gerekli olan şey budur.

Trigonometriyi incelemeye başladığınızda bilmeniz gereken ilk formül, bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söylüyor. Bu formül Pisagor teoreminin doğrudan bir sonucudur, ancak kenar yerine açının boyutunu bilmeniz gerekiyorsa zaman kazandırır.

Pek çok öğrenci, okul problemlerini çözerken de çok popüler olan ikinci formülü hatırlayamıyor: Bir ile bir açının tanjantının karesinin toplamı, birin açının kosinüsünün karesine bölünmesine eşittir. Daha yakından bakın: Bu, ilk formüldeki ifadenin aynısıdır; yalnızca kimliğin her iki tarafı da kosinüsün karesine bölünmüştür. Basit bir matematiksel işlemin trigonometrik formülü tamamen tanınmaz hale getirdiği ortaya çıktı. Unutmayın: Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu, dönüşüm kurallarını ve birkaç temel formülü bilerek, istediğiniz zaman daha karmaşık formülleri bir kağıt üzerinde türetebilirsiniz.

Çift açı formülleri ve bağımsız değişkenlerin eklenmesi

Öğrenmeniz gereken iki formül daha, açıların toplamı ve farkı için sinüs ve kosinüs değerleriyle ilgilidir. Aşağıdaki şekilde sunulmuştur. Lütfen ilk durumda sinüs ve kosinüsün her iki kez çarpıldığını ve ikincisinde sinüs ve kosinüsün ikili çarpımının toplandığını unutmayın.

Çift açılı argümanlarla ilişkili formüller de vardır. Tamamen öncekilerden türetilmiştir - pratik olarak, alfa açısını beta açısına eşit alarak bunları kendiniz elde etmeye çalışın.

Son olarak çift açı formüllerinin sinüs, kosinüs, tanjant alfanın gücünü azaltacak şekilde yeniden düzenlenebileceğini unutmayın.

Teoremler

Temel trigonometrideki iki ana teorem sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir. Bu teoremlerin yardımıyla sinüs, kosinüs ve tanjantı, dolayısıyla şeklin alanını ve her bir tarafın boyutunu vb. nasıl bulacağınızı kolayca anlayabilirsiniz.

Sinüs teoremi, bir üçgenin her bir kenarının uzunluğunu karşı açıya bölmenin aynı sayıyla sonuçlanacağını belirtir. Üstelik bu sayı, çevrelenen dairenin, yani belirli bir üçgenin tüm noktalarını içeren dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır.

Kosinüs teoremi, Pisagor teoremini herhangi bir üçgene yansıtarak genelleştirir. İki tarafın karelerinin toplamından, çarpımlarının bitişik açının çift kosinüsüyle çarpılmasıyla elde edilen değerin üçüncü tarafın karesine eşit olacağı ortaya çıktı. Böylece Pisagor teoreminin kosinüs teoreminin özel bir durumu olduğu ortaya çıkıyor.

Dikkatsiz hatalar

Sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu bilseniz bile, dalgınlıktan veya en basit hesaplamalardaki hatalardan dolayı hata yapmak kolaydır. Bu tür hatalardan kaçınmak için en popüler olanlara bir göz atalım.

Öncelikle, nihai sonucu elde edene kadar kesirleri ondalık sayılara dönüştürmemelisiniz - koşullarda aksi belirtilmedikçe cevabı kesir olarak bırakabilirsiniz. Böyle bir dönüşüme hata denemez, ancak sorunun her aşamasında yazarın fikrine göre azaltılması gereken yeni köklerin ortaya çıkabileceği unutulmamalıdır. Bu durumda gereksiz matematiksel işlemlerle zamanınızı boşa harcamış olursunuz. Bu özellikle üçün kökü veya ikinin kökü gibi değerler için geçerlidir çünkü bunlar her adımda problemlerle karşılaşır. Aynı şey “çirkin” sayıların yuvarlanması için de geçerli.

Ayrıca, kosinüs teoreminin herhangi bir üçgen için geçerli olduğunu ancak Pisagor teoreminin geçerli olmadığını unutmayın! Yanlışlıkla kenarların çarpımının iki katını aralarındaki açının kosinüsüyle çarpmayı unutursanız, yalnızca tamamen yanlış bir sonuç elde etmekle kalmayacak, aynı zamanda konuyu tam olarak anlamadığınızı da göstereceksiniz. Bu dikkatsiz bir hatadan daha kötüdür.

Üçüncüsü, sinüsler, kosinüsler, teğetler, kotanjantlar için 30 ve 60 derecelik açıların değerlerini karıştırmayın. Bu değerleri unutmayın, çünkü 30 derecenin sinüsü 60'ın kosinüsüne eşittir ve bunun tersi de geçerlidir. Onları karıştırmak kolaydır, bunun sonucunda kaçınılmaz olarak hatalı bir sonuç elde edersiniz.

Başvuru

Pek çok öğrenci trigonometri çalışmaya başlamak için acele etmiyor çünkü pratik anlamını anlamıyorlar. Bir mühendis veya gökbilimci için sinüs, kosinüs, tanjant nedir? Bunlar, uzaktaki yıldızlara olan mesafeyi hesaplayabileceğiniz, bir göktaşının düşüşünü tahmin edebileceğiniz veya başka bir gezegene araştırma sondası gönderebileceğiniz kavramlardır. Onlar olmadan bir bina inşa etmek, bir araba tasarlamak, bir yüzeydeki yükü veya bir nesnenin yörüngesini hesaplamak imkansızdır. Ve bunlar sadece en bariz örnekler! Sonuçta trigonometri şu veya bu şekilde müzikten tıbba kadar her yerde kullanılıyor.

Nihayet

Yani sinüs, kosinüs ve tanjantsınız. Bunları hesaplamalarda kullanabilir ve okul problemlerini başarıyla çözebilirsiniz.

Trigonometrinin asıl amacı, bir üçgenin bilinen parametrelerini kullanarak bilinmeyenleri hesaplamanız gerektiği gerçeğine dayanır. Toplamda altı parametre vardır: üç kenarın uzunluğu ve üç açının boyutu. Görevlerdeki tek fark, farklı giriş verilerinin verilmiş olmasıdır.

Artık bacakların bilinen uzunluklarına veya hipotenüse göre sinüs, kosinüs ve teğetleri nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Bu terimler bir orandan başka bir şey ifade etmediğinden ve oran bir kesir olduğundan, trigonometri probleminin asıl amacı sıradan bir denklemin veya denklem sisteminin köklerini bulmaktır. Ve burada normal okul matematiği size yardımcı olacaktır.