İkinci dereceden bir ifadeyi çevrimiçi basitleştirin. Çevrimiçi hesap makinesi Polinomların çarpılması.

Çoğu zaman görevler basitleştirilmiş bir cevap gerektirir. Hem basitleştirilmiş hem de basitleştirilmiş cevaplar doğru olsa da, cevabınızı basitleştirmezseniz eğitmeniniz notunuzu düşürebilir. Üstelik basitleştirilmiş matematiksel ifadeyle çalışmak çok daha kolaydır. Bu nedenle ifadeleri basitleştirmeyi öğrenmek çok önemlidir.

Adımlar

Matematiksel işlemlerin doğru sırası

Matematiksel işlemleri gerçekleştirmek için doğru sırayı unutmayın. Matematiksel bir ifadeyi basitleştirirken bazı matematiksel işlemler diğerlerinden öncelikli olduğundan ve önce yapılması gerektiğinden belirli bir işlem sırası takip edilmelidir (aslında işlem sırasını doğru takip etmemek yanlış sonuca yol açacaktır). Matematiksel işlemlerin şu sırasını hatırlayın: parantez içindeki ifade, üs alma, çarpma, bölme, toplama, çıkarma.
- İşlemlerin doğru sırasını bilmenin çoğu basit ifadeyi basitleştirmenize olanak sağlayacağını, ancak bir polinomu (değişkenli bir ifade) basitleştirmek için özel hileler bilmeniz gerektiğini unutmayın (sonraki bölüme bakın).
Parantez içindeki ifadeyi çözerek başlayın. Matematikte parantezler öncelikle içlerindeki ifadenin değerlendirilmesi gerektiğini belirtir. Bu nedenle, herhangi bir matematiksel ifadeyi basitleştirirken, parantez içindeki ifadeyi çözerek başlayın (parantez içinde hangi işlemleri yapmanız gerektiği önemli değildir). Ancak parantez içine alınmış bir ifadeyle çalışırken işlem sırasını izlemeniz gerektiğini, yani parantez içindeki terimlerin önce çarpıldığını, bölündüğünü, toplandığını, çıkarıldığını vb. unutmayın.
- Örneğin ifadeyi basitleştirelim 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Burada parantez içindeki ifadelerle başlıyoruz: 5 + 2 = 7 ve 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
  - İkinci parantez çiftindeki ifade 5'e sadeleştirilir çünkü 4/2'nin önce bölünmesi gerekir (doğru işlem sırasına göre). Bu sırayı takip etmezseniz yanlış cevabı alırsınız: 3 + 4 = 7 ve 7 ÷ 2 = 7/2.
- Parantez içinde başka bir parantez çifti varsa, iç parantez içindeki ifadeyi çözerek basitleştirmeye başlayın ve ardından dış parantez içindeki ifadeyi çözmeye geçin.
Üsselleştirme. Parantez içindeki ifadeleri çözdükten sonra üs alma işlemine geçin (bir kuvvetin üssü ve tabanı olduğunu unutmayın). Karşılık gelen ifadeyi (veya sayıyı) bir kuvvete yükseltin ve sonucu size verilen ifadenin yerine koyun.
- Örneğimizde üssü olan tek ifade (sayı) 3 2: 3 2 = 9'dur. Size verilen ifadede 3 2'yi 9 ile değiştirirseniz şunu elde edersiniz: 2x + 4(7) + 9 - 5.
Çarpmak.Çarpma işleminin şu sembollerle temsil edilebileceğini unutmayın: "x", "∙" veya "*". Ancak sayı ile değişken arasında (örneğin 2x) ya da sayı ile parantez içindeki sayı arasında (örneğin 4(7)) herhangi bir sembol yoksa bu da bir çarpma işlemidir.
- Örneğimizde iki çarpma işlemi vardır: 2x (“x” değişkeniyle ikinin çarpımı) ve 4(7) (dörtün yediyle çarpımı). X'in değerini bilmediğimizden 2x ifadesini olduğu gibi bırakacağız. 4(7) = 4 x 7 = 28. Şimdi size verilen ifadeyi şu şekilde yeniden yazabilirsiniz: 2x + 28 + 9 - 5.
Bölmek. Bölme işleminin şu sembollerle temsil edilebileceğini unutmayın: “/”, “÷” veya “–” (bu son karakteri kesirlerde görebilirsiniz). Örneğin 3/4, üç bölü dörde eşittir.
- Örneğimizde parantez içindeki ifadeyi çözerken zaten 4'e 2 (4/2) böldüğünüz için artık bölme işlemi yapılmamaktadır. Böylece bir sonraki adıma geçebilirsiniz. Çoğu ifadenin matematiksel işlemlerin tamamını (yalnızca bazılarını) içermediğini unutmayın.
Katlamak. Bir ifadenin terimlerini eklerken en uzaktaki (soldaki) terimden başlayabilir veya kolayca eklenen terimleri ilk önce ekleyebilirsiniz. Örneğin 49 + 29 + 51 +71 ifadesinde önce 49 + 51 = 100, sonra 29 + 71 = 100 ve son olarak 100 + 100 = 200 eklemek daha kolaydır. Şu şekilde eklemek çok daha zordur: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.
- Örneğimizde 2x + 28 + 9 + 5'te iki toplama işlemi vardır. En dıştaki (soldaki) terimle başlayalım: 2x + 28; "x" değişkeninin değerini bilmediğiniz için 2x ve 28'i ekleyemezsiniz. Bu nedenle 28 + 9 = 37 ekleyin. Şimdi ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: 2x + 37 - 5.
Çıkar. Bu, matematiksel işlemleri gerçekleştirmenin doğru sırasına göre yapılan son işlemdir. Bu aşamada negatif sayılar da ekleyebilir veya bunu terim ekleme aşamasında yapabilirsiniz - bu, nihai sonucu hiçbir şekilde etkilemeyecektir.
- Örneğimizde 2x + 37 - 5 yalnızca bir çıkarma işlemi vardır: 37 - 5 = 32.
Bu aşamada tüm matematiksel işlemleri yaptıktan sonra basitleştirilmiş bir ifade elde etmelisiniz. Ancak size verilen ifade bir veya daha fazla değişken içeriyorsa değişkenin bulunduğu terimin olduğu gibi kalacağını unutmayın. Bir ifadeyi değişkenle çözmek (basitleştirmek değil), o değişkenin değerini bulmayı içerir. Bazen değişken ifadeleri özel yöntemler kullanılarak basitleştirilebilir (sonraki bölüme bakın).
- Örneğimizde son cevap 2x + 32'dir. "x" değişkeninin değerini öğrenene kadar iki terimi ekleyemezsiniz. Değişkenin değerini öğrendikten sonra bu binom ifadesini kolaylıkla basitleştirebilirsiniz.
Karmaşık ifadeleri basitleştirme
1. Benzer terimlerin eklenmesi. Yalnızca benzer terimleri, yani aynı değişkene ve aynı üsse sahip terimleri çıkarma ve ekleme yapabileceğinizi unutmayın. Örneğin 7x ve 5x'i toplayabilirsiniz ancak 7x ve 5x 2'yi ekleyemezsiniz (üsler farklı olduğundan).
  - Bu kural birden fazla değişkene sahip üyeler için de geçerlidir. Örneğin, 2xy 2 ve -3xy 2 ekleyebilirsiniz ancak 2xy 2 ve -3x 2 y veya 2xy 2 ve -3y 2 ekleyemezsiniz.
  - Bir örneğe bakalım: x 2 + 3x + 6 - 8x. Burada benzer terimler 3x ve 8x olduğundan bunlar toplanabilir. Basitleştirilmiş bir ifade şuna benzer: x 2 - 5x + 6.
2. Sayı kesrini basitleştirin. Böyle bir kesirde hem pay hem de payda sayılar içerir (değişkensiz). Bir sayı kesri çeşitli şekillerde basitleştirilebilir. Öncelikle paydayı paya bölün. İkinci olarak pay ve paydayı çarpanlara ayırın ve benzer çarpanları iptal edin (çünkü bir sayıyı kendisine bölmek size 1 değerini verecektir). Başka bir deyişle, hem pay hem de payda aynı çarpana sahipse, onu bırakıp basitleştirilmiş bir kesir elde edebilirsiniz.
  - Örneğin 36/60 kesrini ele alalım. Bir hesap makinesi kullanarak 0,6 değerini elde etmek için 36'yı 60'a bölün. Ancak pay ve paydayı çarpanlara ayırarak bu kesri başka bir şekilde basitleştirebilirsiniz: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). 6/6 = 1 olduğundan sadeleştirilmiş kesir: 1 x 6/10 = 6/10. Ancak bu kesir aynı zamanda basitleştirilebilir: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.
3. Bir kesir bir değişken içeriyorsa, değişkenle benzer faktörleri iptal edebilirsiniz. Hem payı hem de paydayı çarpanlara ayırın ve değişkeni içerseler bile benzer faktörleri iptal edin (buradaki benzer faktörlerin değişkeni içerebileceğini veya içermeyebileceğini unutmayın).
  - Bir örneğe bakalım: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Bu ifade şu biçimde yeniden yazılabilir (çarpanlarına ayrılabilir): (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). 3x terimi hem payda hem de paydada olduğundan, basitleştirilmiş bir ifade vermek için onu iptal edebilirsiniz: (x + 1)/(5 - x). Başka bir örneğe bakalım: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
  - Lütfen herhangi bir terimi iptal edemeyeceğinizi unutmayın; yalnızca hem payda hem de paydada bulunan aynı faktörler iptal edilir. Örneğin, (x(x + 2))/x ifadesinde, "x" değişkeni (faktör) hem payda hem de paydadadır, dolayısıyla basitleştirilmiş bir ifade elde etmek için "x" azaltılabilir: (x + 2)/1 = x + 2. Ancak (x + 2)/x ifadesinde “x” değişkeni azaltılamaz (“x” payda bir faktör olmadığı için).
4. Parantez açın. Bunu yapmak için, parantez dışındaki terimi parantez içindeki her terimle çarpın. Bazen bu karmaşık bir ifadeyi basitleştirmeye yardımcı olur. Bu, hem asal sayı olan üyeler hem de değişken içeren üyeler için geçerlidir.
  - Örneğin, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 ve 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
  - Kesirli ifadelerde pay ve paydanın çarpanları aynı ise parantez açmaya gerek yoktur. Örneğin, (3(x 2 + 8))/3x ifadesinde parantezleri genişletmeye gerek yoktur, çünkü burada 3'ün faktörünü iptal edebilir ve basitleştirilmiş (x 2 + 8)/x ifadesini elde edebilirsiniz. Bu ifadeyle çalışmak daha kolaydır; parantezleri açtığınızda şu karmaşık ifadeyi elde edersiniz: (3x 3 + 24x)/3x.
5. Faktör polinomları. Bu yöntemi kullanarak bazı ifadeleri ve polinomları basitleştirebilirsiniz. Faktoring, parantez açma işleminin tersidir, yani bir ifade, her biri parantez içine alınmış iki ifadenin çarpımı olarak yazılır. Bazı durumlarda çarpanlara ayırma aynı ifadeyi azaltmanıza olanak tanır. Özel durumlarda (genellikle ikinci dereceden denklemler), çarpanlara ayırma denklemi çözmenize olanak tanır.
  - x 2 - 5x + 6 ifadesini düşünün. Çarpanlarına alınır: (x - 3)(x - 2). Dolayısıyla, örneğin (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)) ifadesi verilirse, bunu (x - 3)(x - 2)/(2(x) olarak yeniden yazabilirsiniz. - 2)), (x - 2) ifadesini azaltın ve basitleştirilmiş bir (x - 3)/2 ifadesi elde edin.
  - Çarpanlarına ayırma polinomları denklemleri çözmek (kökleri bulmak) için kullanılır (bir denklem 0'a eşit bir polinomdur). Örneğin, x 2 - 5x + 6 = 0 denklemini düşünün. Bunu çarpanlara ayırdığınızda (x - 3)(x - 2) = 0 elde edersiniz. 0 ile çarpılan herhangi bir ifade 0'a eşit olduğundan, bunu şu şekilde yazabiliriz: bu : x - 3 = 0 ve x - 2 = 0. Böylece x = 3 ve x = 2 yani size verilen denklemin iki kökünü bulmuş olursunuz.

Herhangi bir dili kullanarak aynı bilgiyi farklı kelime ve ifadelerle ifade edebilirsiniz. Matematik dili bir istisna değildir. Ancak aynı ifade aynı şekilde farklı şekillerde de yazılabilir. Bazı durumlarda girdilerden biri daha basittir. Bu dersimizde ifadeleri sadeleştirme hakkında konuşacağız.

İnsanlar farklı dillerde iletişim kurarlar. Bizim için önemli bir karşılaştırma “Rus dili - matematik dili” çiftidir. Aynı bilgiler farklı dillerde iletilebilir. Ancak bunun yanı sıra aynı dilde farklı şekillerde de telaffuz edilebilir.

Örneğin: "Petya Vasya ile arkadaştır", "Vasya Petya ile arkadaştır", "Petya ve Vasya arkadaştır". Farklı söyledi ama aynı şey. Bu ifadelerin herhangi birinden neden bahsettiğimizi anlarız.

Şu ifadeye bakalım: "Petya oğlan ve Vasya oğlan arkadaş." Ne hakkında konuştuğumuzu anlıyoruz. Ancak bu ifadenin tonu hoşumuza gitmiyor. Bunu basitleştiremez miyiz, aynı şeyi ama daha basit diyebilir miyiz? "Oğlan ve oğlan" - bir kez şunu söyleyebilirsiniz: "Oğlanlar Petya ve Vasya arkadaştır."

“Erkekler”... Kız olmadıkları isimlerinden anlaşılmıyor mu? "Oğlanları" kaldırıyoruz: "Petya ve Vasya arkadaş." Ve "arkadaşlar" kelimesi "arkadaşlar" ile değiştirilebilir: "Petya ve Vasya arkadaştır." Sonuç olarak, ilk, uzun, çirkin ifadenin yerini, söylemesi ve anlaması daha kolay, eşdeğer bir ifade aldı. Bu ifadeyi basitleştirdik. Basitleştirmek, daha basit bir şekilde söylemek anlamına gelir, ancak anlamı kaybetmemek veya çarpıtmak anlamına gelmez.

Matematik dilinde de kabaca aynı şey olur. Aynı şey farklı yazılarak da söylenebilir. Bir ifadeyi basitleştirmek ne anlama gelir? Bu, orijinal ifade için birçok eşdeğer ifadenin, yani aynı anlama gelen ifadelerin olduğu anlamına gelir. Ve tüm bu çeşitlilik arasından bize göre en basitini veya sonraki amaçlarımız için en uygun olanı seçmeliyiz.

Örneğin sayısal ifadeyi düşünün. 'a eşdeğer olacaktır.

Aynı zamanda ilk ikisine de eşdeğer olacaktır: .

İfadelerimizi sadeleştirdiğimiz ve en kısa eşdeğer ifadeyi bulduğumuz ortaya çıktı.

Sayısal ifadeler için her zaman her şeyi yapmanız ve eşdeğer ifadeyi tek sayı olarak almanız gerekir.

Bir gerçek ifade örneğine bakalım . Açıkçası daha basit olacak.

Gerçek ifadeleri basitleştirirken mümkün olan tüm eylemleri gerçekleştirmek gerekir.

Bir ifadeyi basitleştirmek her zaman gerekli midir? Hayır, bazen eşdeğer ama daha uzun bir giriş yapmamız bizim için daha uygun olacaktır.

Örnek: Bir sayıdan bir sayı çıkarmanız gerekir.

Hesaplamak mümkündür, ancak ilk sayı eşdeğer notasyonuyla temsil edilseydi: o zaman hesaplamalar anlık olurdu: .

Yani basitleştirilmiş bir ifade, ilerideki hesaplamalarda her zaman işimize yaramıyor.

Bununla birlikte, sıklıkla "ifadeyi basitleştirme" gibi görünen bir görevle karşı karşıya kalıyoruz.

Ifadeyi basitleştir: .

Çözüm

1) Birinci ve ikinci parantezdeki eylemleri gerçekleştirin: .

2) Çarpımları hesaplayalım: .

Açıkçası, son ifade ilk ifadeden daha basit bir forma sahiptir. Bunu basitleştirdik.

İfadeyi basitleştirmek için eşdeğer (eşit) ile değiştirilmelidir.

İhtiyacınız olan eşdeğer ifadeyi belirlemek için:

1) mümkün olan tüm eylemleri gerçekleştirin,

2) hesaplamaları basitleştirmek için toplama, çıkarma, çarpma ve bölme özelliklerini kullanır.

Toplama ve çıkarmanın özellikleri:

1. Toplamanın değişme özelliği: terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamı değiştirmez.

2. Toplamanın birleştirici özelliği: İki sayının toplamına üçüncü bir sayı eklemek için ikinci ve üçüncü sayıların toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz.

3. Bir sayıdan toplam çıkarma özelliği: Bir sayıdan toplam çıkarmak için her terimi ayrı ayrı çıkarabilirsiniz.

Çarpma ve bölmenin özellikleri

1. Çarpmanın değişme özelliği: çarpanların yeniden düzenlenmesi çarpımı değiştirmez.

2. Birleşimsel özellik: Bir sayıyı iki sayının çarpımı ile çarpmak için önce onu birinci faktörle çarpabilir, ardından elde edilen ürünü ikinci faktörle çarpabilirsiniz.

3. Çarpmanın dağılma özelliği: Bir sayıyı bir toplamla çarpmak için onu her terimle ayrı ayrı çarpmanız gerekir.

Zihinsel hesaplamaları gerçekte nasıl yaptığımızı görelim.

Hesaplamak:

Çözüm

1) Nasıl olduğunu hayal edelim

2) Birinci faktörü bit terimlerinin toplamı olarak düşünelim ve çarpma işlemini yapalım:

3) çarpma işlemini nasıl ve gerçekleştireceğinizi hayal edebilirsiniz:

4) İlk faktörü eşdeğer bir toplamla değiştirin:

Dağıtım kanunu ters yönde de kullanılabilir: .

Bu adımları takip et:

1) 2)

Çözüm

1) Kolaylık sağlamak için, dağıtım yasasını kullanabilirsiniz, yalnızca ters yönde kullanın - ortak faktörü parantezlerden çıkarın.

2) Parantez içindeki ortak çarpanı çıkaralım

Mutfak ve koridor için muşamba satın almak gereklidir. Mutfak alanı - , koridor - . Üç tür muşamba vardır: için ve ruble için. Üç tür linolyumun her birinin maliyeti ne kadar olacak? (Şekil 1)

Pirinç. 1. Sorun bildirimi için örnek resim

Çözüm

Yöntem 1. Mutfak için linolyum satın almanın ne kadar paraya ihtiyaç duyacağını ayrı ayrı öğrenebilir ve ardından koridorda elde edilen ürünleri toplayabilirsiniz.

Örneğin sayısal ifadeyi düşünün. 'a eşdeğer olacaktır.

Aynı zamanda ilk ikisine de eşdeğer olacaktır: .

İfadelerimizi sadeleştirdiğimiz ve en kısa eşdeğer ifadeyi bulduğumuz ortaya çıktı.

Sayısal ifadeler için her zaman her şeyi yapmanız ve eşdeğer ifadeyi tek sayı olarak almanız gerekir.

Bir gerçek ifade örneğine bakalım . Açıkçası daha basit olacak.

Gerçek ifadeleri basitleştirirken mümkün olan tüm eylemleri gerçekleştirmek gerekir.

Bir ifadeyi basitleştirmek her zaman gerekli midir? Hayır, bazen eşdeğer ama daha uzun bir giriş yapmamız bizim için daha uygun olacaktır.

Örnek: Bir sayıdan bir sayı çıkarmanız gerekir.

Hesaplamak mümkündür, ancak ilk sayı eşdeğer notasyonuyla temsil edilseydi: o zaman hesaplamalar anlık olurdu: .

Yani basitleştirilmiş bir ifade, ilerideki hesaplamalarda her zaman işimize yaramıyor.

Bununla birlikte, sıklıkla "ifadeyi basitleştirme" gibi görünen bir görevle karşı karşıya kalıyoruz.

Ifadeyi basitleştir: .

Çözüm

1) Birinci ve ikinci parantezdeki eylemleri gerçekleştirin: .

2) Çarpımları hesaplayalım: .

Açıkçası, son ifade ilk ifadeden daha basit bir forma sahiptir. Bunu basitleştirdik.

İfadeyi basitleştirmek için eşdeğer (eşit) ile değiştirilmelidir.

İhtiyacınız olan eşdeğer ifadeyi belirlemek için:

1) mümkün olan tüm eylemleri gerçekleştirin,

2) hesaplamaları basitleştirmek için toplama, çıkarma, çarpma ve bölme özelliklerini kullanır.

Toplama ve çıkarmanın özellikleri:

1. Toplamanın değişme özelliği: terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamı değiştirmez.

2. Toplamanın birleştirici özelliği: İki sayının toplamına üçüncü bir sayı eklemek için ikinci ve üçüncü sayıların toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz.

3. Bir sayıdan toplam çıkarma özelliği: Bir sayıdan toplam çıkarmak için her terimi ayrı ayrı çıkarabilirsiniz.

Çarpma ve bölmenin özellikleri

1. Çarpmanın değişme özelliği: çarpanların yeniden düzenlenmesi çarpımı değiştirmez.

2. Birleşimsel özellik: Bir sayıyı iki sayının çarpımı ile çarpmak için önce onu birinci faktörle çarpabilir, ardından elde edilen ürünü ikinci faktörle çarpabilirsiniz.

3. Çarpmanın dağılma özelliği: Bir sayıyı bir toplamla çarpmak için onu her terimle ayrı ayrı çarpmanız gerekir.

Zihinsel hesaplamaları gerçekte nasıl yaptığımızı görelim.

Hesaplamak:

Çözüm

1) Nasıl olduğunu hayal edelim

2) Birinci faktörü bit terimlerinin toplamı olarak düşünelim ve çarpma işlemini yapalım:

3) çarpma işlemini nasıl ve gerçekleştireceğinizi hayal edebilirsiniz:

4) İlk faktörü eşdeğer bir toplamla değiştirin:

Dağıtım kanunu ters yönde de kullanılabilir: .

Bu adımları takip et:

1) 2)

Çözüm

1) Kolaylık sağlamak için, dağıtım yasasını kullanabilirsiniz, yalnızca ters yönde kullanın - ortak faktörü parantezlerden çıkarın.

2) Parantez içindeki ortak çarpanı çıkaralım

Pirinç. 1. Sorun bildirimi için örnek resim

Çözüm

Yöntem 1. Mutfak için linolyum satın almanın ne kadar paraya ihtiyaç duyacağını ayrı ayrı öğrenebilir ve ardından koridorda elde edilen ürünleri toplayabilirsiniz.

Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin yanı sıra harfli ifadelerin de kullanıldığı cebirsel ifadeye kesirli cebirsel ifade denir. Bunlar, örneğin, ifadeler

İki tamsayı cebirsel ifadenin (örneğin, tek terimli veya polinom) bölümünün bölümü biçiminde olan cebirsel bir ifadeye cebirsel bir kesir diyoruz. Bunlar, örneğin, ifadeler

İfadelerden üçüncüsü).

Kesirli cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümleri çoğunlukla onları cebirsel bir kesir biçiminde temsil etmeyi amaçlamaktadır. Ortak paydayı bulmak için, kesirlerin paydalarının çarpanlara ayrılması - en küçük ortak katlarını bulmak için kullanılan terimler - kullanılır. Cebirsel kesirleri azaltırken, ifadelerin kesin kimliği ihlal edilebilir: indirgemenin yapıldığı faktörün sıfır olduğu miktarların değerlerini hariç tutmak gerekir.

Kesirli cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümlerine örnekler verelim.

Örnek 1: Bir ifadeyi basitleştirme

Tüm terimler ortak bir paydaya indirgenebilir (son terimin paydasındaki işareti ve önündeki işareti değiştirmek uygundur):

İfademiz bu değerler dışındaki tüm değerler için bire eşittir; tanımsızdır ve kesri azaltmak yasaktır).

Örnek 2. İfadeyi cebirsel kesir olarak temsil edin

Çözüm. İfade ortak bir payda olarak alınabilir. Sırayla buluyoruz:

Egzersizler

1. Belirtilen parametre değerleri için cebirsel ifadelerin değerlerini bulun:

2. Çarpanlara ayırın.

Bölüm 5 İFADELER VE DENKLEMLER

Bu bölümde şunları öğreneceksiniz:

ü o ifadeler ve bunların basitleştirilmesi;

ü eşitliklerin özellikleri nelerdir;

ü eşitliklerin özelliklerine göre denklemlerin nasıl çözüleceği;

ü denklemler kullanılarak ne tür problemlerin çözüldüğü; dik çizgiler nedir ve nasıl oluşturulur;

ü hangi çizgilere paralel denir ve bunların nasıl oluşturulacağı;

ü koordinat düzlemi nedir?

ü düzlemdeki bir noktanın koordinatlarının nasıl belirleneceği;

ü Büyüklükler arasındaki ilişkinin grafiği nedir ve nasıl oluşturulacağı;

ü çalışılan materyalin pratikte nasıl uygulanacağı

§ 30. İFADELER VE BASİTLEŞTİRİLMESİ

Harfli ifadelerin ne olduğunu zaten biliyorsunuz ve bunları toplama ve çarpma yasalarını kullanarak nasıl basitleştireceğinizi biliyorsunuz. Örneğin, 2a ∙ (-4 b ) = -8 ab . Ortaya çıkan ifadede -8 sayısına ifadenin katsayısı denir.

İfade mi CD katsayısı? Bu yüzden. 1'e eşittir çünkü cd - 1 ∙ cd .

Parantezli bir ifadeyi parantezsiz bir ifadeye dönüştürmeye parantezleri genişletme adı verildiğini hatırlayın. Örneğin: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Bu örnekteki ters işlem, ortak çarpanı parantezlerden çıkarmaktır.

Aynı harf faktörlerini içeren terimlere benzer terimler denir. Ortak çarpanı parantezlerden çıkararak benzer terimler ortaya çıkar:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

Bx+ 7y - 5.

Parantez açma kuralları

1. Parantezlerin önünde “+” işareti varsa parantez açılırken parantez içindeki terimlerin işaretleri korunur;

2. Parantezlerin önünde “-” işareti varsa parantez açıldığında parantez içindeki terimlerin işaretleri ters yönde değişir.

Görev 1. Ifadeyi basitleştir:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 yıl -(-8 + 7 yıl ).

Çözümler. 1. Parantezlerin önünde bir “+” işareti vardır, bu nedenle parantezleri açarken tüm terimlerin işaretleri korunur:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Parantezlerin önünde “-” işareti vardır, dolayısıyla parantezleri açarken: tüm terimlerin işaretleri terstir:

15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.

Parantezleri açmak için çarpmanın dağılma özelliğini kullanın: a( b + c ) = ab + ac. a > 0 ise terimlerin işaretleri B ve değiştirmeyin. Eğer bir< 0, то знаки слагаемых B ve tam tersine değiştirin.

Görev 2. İfadeyi basitleştirin:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5x) + 12.

Çözümler. 1. Parantezlerin önündeki 2 faktörü pozitiftir, dolayısıyla parantezleri açarken tüm terimlerin işaretlerini koruruz: 2(6) y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Parantezlerin önündeki -5 faktörü negatiftir, dolayısıyla parantezleri açarken tüm terimlerin işaretlerini ters yönde değiştiririz:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Daha fazlasını bul

1. “Toplam” kelimesi Latinceden gelir toplam , "toplam", "toplam tutar" anlamına gelir.

2. “Artı” kelimesi Latinceden gelir artı "daha fazla" anlamına gelir ve "eksi" kelimesi Latince'den gelir eksi "Daha az" ne anlama geliyor? Toplama ve çıkarma işlemlerini belirtmek için “+” ve “-” işaretleri kullanılır. Bu işaretler, Çek bilim adamı J. Widman tarafından 1489 yılında “Tüm tüccarlar için hızlı ve hoş bir hesap” kitabında tanıtıldı.(Şekil 138).

Pirinç. 138

ÖNEMİNİ UNUTMAYIN

1. Hangi terimlere benzer denir? Benzer terimler nasıl oluşturulur?

2. Başında “+” işareti bulunan parantezleri nasıl açarsınız?

3. Başında “-” işareti bulunan parantezleri nasıl açarsınız?

4. Başına pozitif faktör gelen parantez nasıl açılır?

5. Başına negatif faktör gelen parantezleri nasıl açarsınız?

1374". İfadenin katsayısını adlandırın:

1)12a; 3) -5.6xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Yalnızca katsayıya göre farklılık gösteren terimleri adlandırın:

1) 10a+76-26+a; 3) 5n+5m-4n+4;

2) bc -4 d - bc + 4 d; 4)5x + 4y-x + y.

Bu terimlere ne denir?

1376". İfadede benzer terimler var mı:

1)11a+10a; 3)6n+15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12m+m; 6)8k +10k - n ?

1377". İfadedeki parantezleri açarak parantez içindeki terimlerin işaretlerini değiştirmek gerekir mi:

1)4 + (a+ 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. İfadeyi basitleştirin ve katsayının altını çizin:

1379°. İfadeyi basitleştirin ve katsayının altını çizin:

1380°. Benzer terimleri birleştirin:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d;

2) 4b-5b+4+5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Benzer terimleri birleştirin:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5'ler + 4-2'ler-3'ler;

2)9b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarın:

1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t;

2) 0,5 sn + 5 gün; 4) 1,2 n - 1,8m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarın:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 sn + 14 gün; A) 3p - 0,9 bin + 2,7 ton.

1384°. Parantezleri açın ve benzer terimleri birleştirin;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5c - d) + (4d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Parantezleri açın ve benzer terimleri birleştirin:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5) d) - (- d + 5c);

2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Parantezleri açın ve ifadenin anlamını bulun:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Parantezleri açın ve ifadenin anlamını bulun:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Parantez açın:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 gün) ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 T);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 bin -6 ton) ∙ (-2a).

1389°. Parantez açın:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. İfadeyi basitleştirin:

1391. İfadeyi basitleştirin:

1392. Benzer terimleri azaltın:

1393. Benzer terimleri birleştirin:

1394. İfadeyi basitleştirin:

1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. İfadeyi basitleştirin:

1396. İfadenin anlamını bulun;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), eğer a = -5 ise;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), eğer = -0,8 ise;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. İfadenin anlamını bulun:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), eğer x = -0,25;

1398*. Çözümdeki hatayı bulun:

1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Parantezleri açın ve ifadeyi basitleştirin:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Doğru eşitliği elde etmek için parantezleri düzenleyin:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Herhangi bir a ve sayısı için bunu kanıtlayın b eğer a > b , o zaman eşitlik geçerlidir:

1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Bu eşitlik aşağıdaki durumlarda doğru olur mu: a) a< B ; b) a = 6?

1402*. Herhangi bir a doğal sayısı için önceki ve sonraki sayıların aritmetik ortalamasının a sayısına eşit olduğunu kanıtlayın.

UYGULAMAYA KOYUN

1403. Üç kişiye meyve tatlısı hazırlamak için ihtiyacınız olan şeyler: 2 elma, 1 portakal, 2 muz ve 1 kivi. Misafirlere tatlı hazırlamak için gereken meyve miktarını belirleyen harf ifadesi nasıl oluşturulur? Aşağıdaki durumlarda Marin'in ne kadar meyve alması gerektiğini hesaplamasına yardımcı olun: 1) 5 arkadaşı onu ziyarete gelirse; 2) 8 arkadaş.

1404. Aşağıdaki durumlarda matematik ödevinizi tamamlamak için gereken süreyi belirlemek için bir harf ifadesi yazın:

1) sorunları çözmek için bir dakika harcandı; 2) İfadelerin basitleştirilmesi problemlerin çözümünden 2 kat daha fazladır. Vasilko problemleri çözmek için 15 dakika harcadıysa ödevine ne kadar zaman harcadı?

1405. Okul kafeteryasında öğle yemeği salata, pancar çorbası, lahana sarması ve kompostodan oluşmaktadır. Salata maliyeti tüm öğle yemeğinin toplam maliyetinin% 20'si, pancar çorbası -% 30, lahana ruloları -% 45, komposto -% 5'tir. Okul kantininde öğle yemeğinin ücretini bulan ifadeyi yazınız. Salata fiyatı 2 UAH ise öğle yemeği ücreti ne kadardır?

SORUNLARI İNCELEYİN

1406. Denklemi çözün: