Genel formda Bernoulli denklemi. Bernoulli diferansiyel denklemi

şeklinde bir diferansiyel denkleme Bernoulli denklemi denir.

Bunu varsayarak Bernoulli denkleminin her iki tarafını da 'ye böleriz. Sonuç olarak şunu elde ediyoruz: (8.1) Yeni bir fonksiyon tanıtalım. Daha sonra . Denklem (8.1) ile çarpıp fonksiyona geçelim. z(x): yani fonksiyon için z(x) 1. dereceden doğrusal homojen olmayan bir denklem elde edildi. Bu denklem önceki paragrafta tartışılan yöntemler kullanılarak çözülür. Bunun yerine genel çözümünü yerine koyalım z(x) ifadesi ile Bernoulli denkleminin genel integralini elde ederiz; bu integrale göre kolayca çözülebilir. sen. Bir çözüm eklendiğinde y(x)=0. Bernoulli denklemi, ikame yoluyla doğrusal bir denkleme geçiş yapılmadan, Bernoulli yöntemi kullanılarak da çözülebilir.

Toplam diferansiyellerde diferansiyel denklemler.

Tanım. Denklemde ise. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(9.1) sol taraf bazı fonksiyonların toplam diferansiyelidir U(x,y) ise buna toplam diferansiyel denklem denir. Bu denklem şu şekilde yeniden yazılabilir: du(x,y)=0 dolayısıyla genel integrali u(x,y)=c.

Örneğin, denklem xdy+ydx=0şeklinde yeniden yazılabildiği için toplam diferansiyellerde bir denklem vardır. d(xy)=0. Genel integral şu ​​şekilde olacaktır: xy=c.

Teorem. Diyelim ki fonksiyonlar M Ve N basit bağlantılı bir alanda tanımlanmış ve sürekli D ve sırasıyla sürekli kısmi türevlere sahiptir. sen ve tarafından X. O halde denklem (9.1)'in toplam diferansiyellerde denklem olabilmesi için özdeşliğin (9.2) geçerli olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. Bu şartın gerekliliğinin delili açıktır. Bu nedenle (9.2) koşulunun yeterliliğini kanıtlıyoruz. Böyle bir fonksiyonun bulunabileceğini gösterelim u(x,y), bu ve .

Gerçekten o zamandan beri (9.3) , burada keyfi türevlenebilir bir fonksiyondur. (9.3)’ün türevini alalım y: . Ancak bu nedenle şunu varsayalım: ve sonra .Böylece fonksiyon oluşturuldu , bunun için , a .

Bütünleştirici faktör.

Denklem ise M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 toplam diferansiyel denklem değildir ve bir fonksiyon vardır µ = µ(x,y)öyle ki denklemin her iki tarafını bununla çarptıktan sonra denklemi elde ederiz

µ(Mdx + Ndy) = 0 toplam diferansiyellerde, yani µ(Mdx + Ndy)du, ardından fonksiyon µ(x,y) denklemin integrasyon faktörü denir. Denklemin zaten toplam diferansiyellerde bir denklem olduğu durumda, şunu varsayıyoruz: u = 1.

İntegral faktörü bulunursa µ , o zaman bu denklemin entegrasyonu her iki tarafının da çarpılmasına indirgenir µ ve elde edilen denklemin toplam diferansiyellerde genel integralinin bulunması.

Eğer µ sürekli türevlenebilir bir fonksiyonudur X Ve sen, O .

Bundan şu sonuç çıkıyor: bütünleştirici faktör µ aşağıdaki 1. dereceden kısmi diferansiyel denklemi karşılar: (10.1). Eğer önceden biliniyorsa µ= µ(ω) , Nerede ω – verilen fonksiyon X Ve sen, daha sonra denklem (10.1), bilinmeyen bir fonksiyona sahip sıradan (ve ayrıca doğrusal) bir denkleme indirgenir µ bağımsız değişken üzerinde ω : (10.2), burada , yani kesir yalnızca ω .

Denklem (10.2)'yi çözerek integral faktörünü buluruz, İle= 1. Özellikle denklem M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 yalnızca şunlara bağlı olan bir bütünleştirici faktöre sahiptir: X(ω = x) veya yalnızca itibaren sen(ω = y), sırasıyla aşağıdaki koşullar karşılanırsa: , veya , .

10. İkinci dereceden LDE'lerin çözümlerinin özellikleri (kanıtlı). 2. dereceden doğrusal diferansiyel denklem (LDE) aşağıdaki forma sahiptir: , (2.1)

burada , , ve çözümün arandığı aralıkta sürekli olan fonksiyonlar verilmiştir. a 0 (x) ≠ 0 olduğunu varsayarak (2.1)'i bölüyoruz ve katsayılar için yeni gösterimler ekledikten sonra denklemi şu şekilde yazıyoruz: (2.2)

(2.2)'nin herhangi bir başlangıç ​​koşulunu sağlayan bir aralık üzerinde, eğer söz konusu aralıkta ve fonksiyonları sürekli ise, tek bir çözümü olduğunu kanıtlamadan kabul edelim. Eğer ise denklem (2.2) homojen olarak adlandırılır, aksi takdirde denklem (2.2) homojen değildir. 2. dereceden damarın çözümlerinin özelliklerini ele alalım.

Tanım. Fonksiyonların doğrusal bir kombinasyonu, keyfi sayıların yer aldığı ifadedir.

Teorem. Eğer ve Lod'un (2.3) bir çözümü ise, bunların doğrusal birleşimi de bu denklemin çözümü olacaktır.

Gerçek bir akışkan hareket ettiğinde viskozitesinden dolayı aşılması enerji gerektiren hidrolik dirençler vardır. Bu enerji ısıya dönüşür ve hareket eden akışkan tarafından daha da dağıtılır.

Gerçek bir akışkan akışı için Bernoulli denklemi şu şekildedir:

Nerede ─ kesit uzunluğu boyunca basınç kaybı iki bölüm arasındaki akışın ekseni boyunca.

Gerçek sıvı akışı için Bernoulli denklemi şöyledir:

(3.9)

Nerede
─ Coriolis katsayıları, gerçek bir sıvı akışının farklı kesit noktalarındaki hız farklarını dikkate alır.

Pratikte
: yuvarlak borularda laminer sıvı akışı için
; türbülanslı mod için
.

Bernoulli denklemi kullanılarak pratik hidrolik problemlerinin çoğu çözülür. Bunu yapmak için akışın uzunluğu boyunca iki bölüm seçin, böylece bunlardan biri için değerler
, diğer bölüm için ise bir veya değerler belirlenecekti. İkinci bölüm için iki bilinmeyenli sabit akışkan akışı denklemi kullanılmıştır. υ 1 ω 1 = υ 2 ω 2 .

Hidrolik direnç

Yolu boyunca hareket eden bir sıvı akışı, sıvının bir borunun veya kanalın duvarlarına karşı sürtünme kuvvetlerinin ve çeşitli yerel dirençlerin üstesinden gelir ve bunun sonucunda belirli enerji kayıpları meydana gelir. İki tür basınç kaybı vardır:

Akış uzunluğu boyunca kayıp ;

Yerel direnişlerin üstesinden gelmek için kayıplar
.

Toplam basınç kayıpları tüm kayıpların toplamına eşittir

(3.10)

Uzunluk boyunca kafa kaybı

Borularda düzgün hareketle, hem türbülanslı hem de laminer hareket sırasında uzunluk boyunca basınç kaybı, Darcy formülü kullanılarak yuvarlak borular için belirlenir.

(3.11)

ve formüle göre başka herhangi bir kesit şekline sahip borular için

(3.12)

Bazı durumlarda formül de kullanılır

(3.13)

Uzunluk boyunca sürtünme nedeniyle basınç kaybı
, Pa, formülle belirlenir

(3.14)

Nerede ─ boru veya kanal bölümünün uzunluğu, m;

─eşdeğer çap, m;

─ortalama mevcut hız, m/s;

─borunun hidrolik yarıçapı, m;

─hidrolik sürtünme katsayısı;

─Chezy katsayısı, bağımlılıklara göre hidrolik sürtünme katsayısıyla ilgili

;

Sürüş moduna bağlı olarak hidrolik sürtünme katsayısının belirlenmesinde farklı formüller kullanılır.

Yuvarlak borular boyunca laminer hareket sırasında hidrolik sürtünme katsayısı formülle belirlenir.

(3.15)

ve herhangi bir kesit şekline sahip borular için

(3.16)

Nerede A─ sayısal değeri borunun kesit şekline bağlı olan katsayı.

Daha sonra laminer modda uzunluk boyunca basınç kaybını belirleme formülü şu şekli alır:

(3.17)

İlk kez tanımına ilişkin en kapsamlı çalışmalar I.I.'ye verildi. Deneysel verilere dayanarak bir bağımlılık grafiği oluşturan Nikuradze
itibaren
bir dizi değer için
. Nikuradze'nin deneyleri, belirli büyüklükteki kum tanelerinin boru hattının iç duvarlarına yapıştırılmasıyla elde edilen, yapay olarak belirlenmiş pürüzlü borular üzerinde gerçekleştirildi. Bu çalışmaların sonuçları, bağımlılıkların gösterildiği Şekil 3.5'te sunulmaktadır.
itibaren
bir dizi değer için
.

Düz çizgi I, ifade (3.15)'e göre akışkan hareketinin laminer moduna karşılık gelir.

Türbülanslı modda, Nikuradze tarafından yürütülen deneyler sonucunda belirlenen üç hidrolik direnç alanı ayırt edilir (bkz. Şekil 3.5).

Şekil 3.5 ─ Nikuradze grafiği

İlk alan küçük alandır
Ve
, burada katsayı pürüzlülüğe bağlı değildir, yalnızca sayıyla belirlenir
(Şekil 3.5'te düz II olarak işaretlenmiştir).

Bu hidrolik olarak pürüzsüz alan borular. Reynolds sayısı aralık katsayısı içindeyse yarı ampirik Blasius formülüyle belirlenir

. (3.18)

Konu 7

Bernoulli denkleminin analizi ve uygulaması

1. Hidrolikte süreklilik denklemi. Tüketim.

2. Bernoulli denkleminin analizi.

3. Bernoulli denkleminin enerji anlamı.

4. Bernulia denkleminin uygulanabilirlik sınırı.

5. Bernoulli denkleminin uygulama örnekleri.

5.1. Venturi akış ölçer.

5.2. Hız ölçümü (Pitot tüpü).

5.3. Kavitasyon.

5.4. Toricelli'nin formülü.

6. Hidrolikte süreklilik denklemi. Tüketim.

7.1. Tüketim. Hidrolikte süreklilik denklemi

Canlı bölümler 1,2 arasındaki sabit akışı ele alalım (Şekil 26).

canlı kesit alanı nerede, kesitteki ortalama hızdır.

Bu süre zarfında yaşam bölümü 2'den bir hacim sıvı akıyor

canlı bölüm 2'nin alanı nerede, bölüm 2'deki ortalama hızdır.

Hacim 1-2'nin şekli zamanla değişmediğinden sıvı sıkıştırılamaz, sıvının hacmi dışarı akan hacme eşit olmalıdır.

Bu nedenle yazabiliriz

Bu denklem denir Süreklilik denklemi.

Süreklilik denkleminden şu sonuç çıkar:

Ortalama hızlar karşılık gelen bölümlerin alanlarıyla ters orantılıdır.

7.2. Bernoulli denkleminin analizi

İdeal sıkıştırılabilir bir akışkanın barotropisi () koşulu altında kütle kuvvetleri alanında sürekli hareketi için Bernoulli denklemini yazalım.

,

entegre olduktan sonra elimizde

.

Potansiyel akış için Bernoulli denklemi sabiti tüm akış bölgesi boyunca sabittir. İdeal bir akışkanın girdap hareketinde sabit İLE Bernoulli integralinde, dönmeyen akış durumunda olduğu gibi tüm uzay için değil, yalnızca belirli bir girdap çizgisi için sabit bir değer korunur.

Bernoulli denklemi, akışın ana parametrelerindeki (sıvının basıncı, hızı ve yüksekliği) değişimi belirlediği için akışkanlar dinamiğindeki ana denklemlerden biridir.

Akışın son kısmı için Bernoulli diferansiyel denklemini entegre edelim 1-2

.

İntegral, bir kilogram sıvıyı basınçla 1. bölgeden hareket ettirmek için basınç kuvvetlerinin işini ifade eder. R 1'den alan 2'ye basınçla R 2 .

İntegralin değeri, sıvının gerçekleştirdiği işlem türüne (termodinamik), yani bağımlılık türüne bağlı olarak değişir.

İzobarik süreci ele alalım (Şekil 27)

İzokorik bir süreçte

Dış ortamla mekanik iş değişimi olmadan akan sıkıştırılamaz bir akışkan için Bernoulli denkleminden elde ederiz:

,

veya ile çarpılarak R

,

veya bölerek RG

,

burada sabitler aşağıdaki fiziksel anlama sahiptir:

İLE- bir kilogram sıvının toplam mekanik enerjisi veya tam basınç, ,

Hacmi metreküp olan bir sıvı kütlesinin toplam mekanik enerjisi veya tam basınç, veya Baba. ,

- toplam mekanik enerji veya tam basınç belirli bir sıvının metre sütunu cinsinden.

Her üç nicelik de aynı fiziksel anlama sahiptir; bunlardan herhangi birine bir ad verilir; Tam baş.

Bir sıvının toplam mekanik enerjisinin bileşenleri, sıvı kolonunun metre cinsinden en açık şekilde gösterilir ve ölçülür.

G z,Rgz,z- Rastgele seçilen bir yatay tesviye düzleminden ölçülen, akışkan konumunun potansiyel enerjisi veya geometrik kafa, ,

Sıvı basıncının potansiyel enerjisi veya piyezometrik kafa,,

-sıvının potansiyel enerjisi veya hidrostatik kafa,,

- sıvının kinetik enerjisi veya ifade etmek basınç, .

Piezometrik kafa R tam vakumdan ölçülebilir p=0 veya örneğin çevresel baskıdan. Mutlak veya aşırı basınç denklemin her iki tarafında da değiştirilmelidir.

Enerjinin başlangıç ​​noktası keyfidir ancak denklemlerin her iki tarafı için de aynı olmalıdır.

7.3. Bernoulli denkleminin enerji anlamı

Sıkıştırılamaz akışkanın birim kütlesi başına toplam mekanik enerjinin korunumu yasasını oluşturmaktan oluşur

a) uzaydaki herhangi bir nokta için potansiyel akışla,

b) bir girdapla - yalnızca girdap akış çizgisi ve temel boyunca

Bu yasa bazen üç yükseklik teoremi olarak formüle edilir.

Verilen koşullar altında üç yüksekliğin (geometrik, piyezometrik ve dinamik) toplamı değişmeden kalır.

Bu durumda toplam enerjinin bileşenleri birbirine dönüştürülebilir.

Temel bir akış boyunca sıkıştırılamaz bir akışkanın kinetik enerjisindeki değişimin keyfi olarak belirlenemeyeceği akılda tutulmalıdır: süreklilik denklemine göre, bu değişiklik, kesit alanındaki değişiklikle benzersiz bir şekilde belirlenir. Kanal

Yatay bir jetteki akış büyük pratik öneme sahiptir; motor nozullarında gerçekleştirilir. Bernoulli denklemini şu şekilde yazalım: z= yapı

.

Dolayısıyla, yatay bir temel akışta sıkıştırılamaz bir akışkanın hızındaki bir artışa her zaman basınçta bir azalma eşlik eder ve hızdaki bir azalmaya her zaman basınçta bir artış eşlik eder. v= 0. Bu nedenle, örneğin soğutma sistemine su sağlamak, kayaları kırmak vb. için yüksek hızlı basınç yaygın olarak kullanılır.

Sıkıştırılamaz bir akışkanın hızının yalnızca kesit alanındaki bir değişiklik nedeniyle azalabileceği gerçeği nedeniyle, sıkıştırılamaz bir akışkanın akışı sırasındaki akım çizgilerinin modelinin yalnızca hızdaki değişimi değil, benzersiz bir şekilde belirlediği önemli sonuca varıyoruz. Aynı zamanda statik basınç da vardır: Akım çizgileri yoğunlaştığında basınç azalır, genleşmeyle birlikte artar. Bu kural, sıvının hareketinin ve cisimlerle etkileşiminin analizinde yaygın olarak kullanılır.

7.4. Sürekliliğin uygulanabilirlik sınırı ve Bernoulli denklemleri

Bir sıvı bir kanaldan sabit ve isteğe bağlı olarak değişen bir alan 2'de aktığında, öyle görünüyor ki

.

Ancak Bernoulli denklemine göre

,

basınç eksi sonsuz değerini almak gerekir ki bu hiç mantıklı değildir: mutlak basınç sıfırdan küçük olamaz.

Dolayısıyla süreklilik ve Bernoulli denklemleri yalnızca akıştaki minimum basınç sıfırdan büyük kaldığı sürece geçerlidir.

Bernoulli denklemi akışkanlar mekaniğinin temel yasalarından biri olarak kabul edilir; akışkan akışındaki basınç ile hidrolik sistemlerdeki hareketinin hızı arasında bir bağlantı kurar: akışın hızı arttıkça içindeki basınç düşmelidir. . Birçok hidrodinamik etkinin açıklanmasına yardımcı olur. Bazı iyi bilinenlere bakalım. Bir sprey şişesinde sıvının kaldırılması ve püskürtülmesi (Şekil 1), sıvı içeren bir kaba indirilen bir tüp üzerinden yüksek hızda geçen hava akımındaki azaltılmış basınç nedeniyle meydana gelir. Sıvı, hava akımındaki basınçtan daha büyük olan atmosferik basınç nedeniyle yukarı doğru yükselir.
Bir pinpon topu (Şekil 2), dikey bir hava akışında sabit bir şekilde yüzer, çünkü akıştaki basınç, topu akışa doğru bastırarak düşmesini önleyen atmosferik basınçtan azdır.
Paralel rotada seyreden gemiler (Şekil 3) birbirlerini çekerler ve bu da birçok deniz felaketinin nedenidir. Bu, aralarındaki daralmış boşlukta suyun hızının artması nedeniyle gemiler arasındaki basıncın azalmasıyla açıklanmaktadır.
Kanadın kaldırılması (Şekil 4), basınç farkının varlığından kaynaklanmaktadır p1 Ve p2 hız farkından dolayı V1 Ve V2, Ne zaman V1 az V2Çünkü kanadın üzerinde bulunan hava parçacıkları, kanadın ucunda buluşmadan önce, aşağıda bulunan parçacıklara göre daha uzun bir mesafe kat eder.
Birbirine temas eden iki kağıt yaprağının arasına üflerseniz (Şekil 5), olması gerektiği gibi ayrılmayacaklar, tam tersine birbirlerine baskı yapacaklardır.
Böylece Bernoulli denkleminin birçok hidrodinamik olayı açıklamak için geniş bir uygulama alanına sahip olduğunu görüyoruz. Daniel Bernoulli, uzun yıllar süren düşünce ve araştırma, araştırma ve şüpheden sonra 1738'de yayınladı. Bir sıvıdaki statik basıncı hareket hızıyla ilişkilendiren keşfettiği yasanın doğruluğundan kesinlikle emindi.
Bu denklemin, tüm ders kitaplarında verildiği gibi, temel bir sıvı akışı (akış çizgisi) için, ideal sıkıştırılamaz bir akışkanın sabit bir laminer akışı için türetilmesini ele alalım. Yer çekiminin sıvının hareketi üzerindeki etkisini ortadan kaldırmak için borunun yatay bir bölümünü alıyoruz (Şekil 6) ve ayrıca temel akışı yatay olarak yerleştiriyoruz.
Uzunluğa göre belirlenen bir akışkan elemanın hareketini ele alalım. l1. Sıvının seçilen kısmı statik basıncın yarattığı itici güçten etkilenecektir. p1:
, (1)
Nerede S1- sıvının seçilen bölümünün sol tarafındaki kesit alanı ve statik basınç tarafından belirlenen direnç kuvveti p2:
, (2)
Nerede S2- sitenin sağ tarafındaki kesit alanı.
Yazarlara göre akışkan elemanının yan yüzeyine etki eden basınç yer değiştirmelere diktir ve herhangi bir iş yapmayacaktır.
Bu iki kuvvetin etkisiyle sıvının serbest kalan kısmı soldan sağa doğru hareket edecektir. Kısa bir mesafe hareket ettiğini ve uzunluğa göre belirlenen bir pozisyon aldığını varsayalım. l2 akışkan elemanın sol ucu D miktarı kadar hareket edecektir. l1 ve D değerine göre doğru olan l2.
Mekanik yasalarına uygun olarak, bir akışkan elemanın hareketi, kinetik enerjisindeki değişimin, ona etki eden tüm kuvvetlerin çalışmasına eşit olmasıyla karakterize edilecektir:
, (3)
Nerede M- seçilen akışkan elemanının kütlesi ve - kütle merkezinin son ve başlangıç ​​hızları.
Seçilen elemanın her iki konumunda da aynı kinetik enerjiye sahip olacak ortak bir parçanın (Şekil 6'da gölgelenmemiş) bulunmasına dikkat edilirse ifadenin (3) sağ tarafı dönüştürülebilir. Enerjinin bu kısmı sağ tarafa eklenip çıkarılarak denklem (3)'e girilebilir:
(4)
Nerede mtoplam- ortak parçanın kütlesi, - ortak parçanın kütle merkezinin hızı.
Parantez içindeki ifadeler D uzunluğundaki taralı alanların kinetik enerjilerini temsil eder. l1 ve D l2, küçük boyutları nedeniyle tüm noktalarda sabit hızlarla hareket ediyor V1 Ve V2. Bu nedenle denklem (4) şu şekli alacaktır:
, (5)
Nerede DM1 Ve DM2- sıvının gölgeli alanlarının kütleleri.
Sıvı akışının sürekliliği nedeniyle gölgeli kısımların hacimleri ve kütleleri eşit olacaktır:
, (6)
Nerede R- sıvı yoğunluğu.
İfadeyi (5) bölme S1Dl1=S2Dl2, forma dönüştürün:
(7)
Terimler yeniden düzenlendikten sonra denklem şu şekli alacaktır:
(8)
Bu Bernoulli denklemidir. Bir akışkan elemanı akışın herhangi bir yerine ve herhangi bir uzunluğa alınabileceğinden Bernoulli denklemi aşağıdaki şekilde yazılabilir:
, (9)
burada p ve V, temel sıvı akışının herhangi bir yerindeki statik basınç ve hareket hızıdır. İfade rV2/ 2'ye dinamik basınç denir.
Denklem (9)'dan, hızın daha büyük olduğu noktalarda statik basıncın daha az olacağı ve bunun tersinin de geçerli olacağı sonucu çıkmaktadır. Durumun gerçekten de böyle olduğu deneyimlerle doğrulanmıştır. Örnek olarak bir Venturi tüpünü ele alalım (Şekil 7). Gösterge tüplerindeki sıvı seviyeleri, akış hızının daha yüksek olduğu daralma ucunda statik basıncın daha az olduğunu açıkça göstermektedir. Ayrıca elde edilen sonucun, çalışmada belirtildiği gibi, Newton'un ikinci yasasının doğrudan bir sonucu olmasıyla da bu durum doğrulanabilir. Nitekim bir akışkan geniş bir kısımdan dar bir kısma doğru hareket ettiğinde hızı artar ve ivmesi hareket yönünde yönlendirilir. Hızlanma, sol ve sağdaki akışkan elemanına etki eden basınç farkıyla belirlendiğinden, tüpün geniş kısmındaki basınç dar kısma göre daha büyük olmalıdır. Doğru, burada ivmenin basınçla değil kuvvetle belirlendiğini ve kuvvetin yalnızca basınca değil aynı zamanda kesit alanına da bağlı olduğunu fark edebilirsiniz. Bu nedenle, daha az basınçla daha büyük kuvvet elde edilebilir, dolayısıyla sunulan argüman ikna edici değildir.
Yani yukarıdaki akıl yürütmede her şey mantıklı görünüyor. Ancak tüm hidrodinamik etkileri farklı şekilde açıklamak mümkündür. Gerçek şu ki, her zaman bir idealle değil, tamamen farklı davranan viskoz bir sıvıyla karşı karşıyayız.
Bir borudan akan viskoz bir sıvıya ne olacağını düşünelim (Şekil 8). Sıvı akışı ile borunun duvarları arasında ve ayrıca sıvının kendi katmanları arasında sürtünmenin varlığı nedeniyle, sıvı parçacıklarının hızı, akışın aynı bölümünde farklı noktalarda farklı olacaktır: merkezde borunun maksimum değeri olacak, duvarların yakınında sıfır olacaktır. Sonuç olarak, sıvı akışının kesitindeki hız alanı şu ifadeyle belirlenecektir:
, (10)
Nerede V- akışın merkezindeki hız, R- mevcut yarıçap, R borunun yarıçapıdır ve Şekil 8'de gösterilen forma sahip olacaktır. Kinetik enerjinin skaler alanı hız alanıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır ve bu ifadeyle karakterize edilir:
, (11)
Nerede Erozyon- serbest bırakılan temel kütlenin kinetik enerjisi DMşu ifadeyle belirlenir:
(12)
Burada: Dben- eksenel yönde temel uzunluk, R- sıvı yoğunluğu.
Kinetik enerji alanı düzgün olmadığından, sıvının temel parçacığına akışın merkezine doğru yönlendirilen bir kuvvet etki edecektir:
(13)
Bu kuvvet parçacık yüzeyinin silindirik kısmıyla ilgilidir. dS, normalde kuvvetin yakınında bulunur:
, (14)
belirli bir kuvvetin etkisi altında akışın belirli bir noktasında ortaya çıkan basıncı belirleyecektir:
(15)
Bu basınç yalnızca temel kuvvete bağlıdır dF, dolayısıyla buna diferansiyel basınç denilebilir. Sıvının belirli bir noktasındaki toplam basınç, sıvının diğer parçacıklarına etki eden temel eylemsizlik kuvvetlerine bağlı olacaktır. Çünkü tüm güç dF Radyal bir yöne sahip olan ve akışın merkezine doğru yönlendirilen noktalardaki toplam basınç, aynı yarıçap üzerinde yer alan ve söz konusu noktanın dışındaki tarafta bulunan kuvvetler tarafından belirlenecektir. Bu nedenle toplam basınç, (15) ifadesinin integrali alınarak bulunabilir. R arasında değişen Rönce R:
(16)
Burada eksi işareti sıkıştırmanın yönünü (kesitin merkezine doğru) gösterir.
Sonuç şaşırtıcıydı çünkü bu ifade temel kütlenin hacmiyle ilgili kinetik enerji (11) ifadesine benzerdi. DM:
, (17)
onlar. toplam basınç, söz konusu noktanın yakınındaki belirli bir temel hacimdeki kinetik enerjinin yoğunluğudur.
İfadeden (16) akış ekseninde ( R=0) basınç maksimum olacak ve sınırında ( R=R) sıfıra eşit olacaktır.
Radyal kuvvetlerin etkisi altında akış, eksenine doğru sıkıştırılacak ve bunun sonucunda boru duvarları üzerindeki basınç azalacaktır, yani. değeri ifadenin (16) radyal ortalaması olarak bulunabilecek negatif bir basınç görünecektir. Bunu yapmak için 0 ile 0 arasında bir değere entegre ediyoruz. R ve şuna böl: R:
. (18)
İfade (13)'ü kullanarak, borunun yüzeyinin temel alanına etki eden ve bu ifadenin dikkate alındığı borunun merkez çizgisine yönlendirilen kuvveti bulursak aynı sonuç elde edilecektir. ifade (12), 0 ila aralığında entegre edilmelidir R:
(19)
Bu kuvveti temel alanın büyüklüğüne bölersek:
, (20)
borunun iç yüzeyindeki negatif basıncın değerini elde ederiz:
.
Bu basınç nedeniyle boru duvarlarının yakınındaki statik basınç azalacaktır. Ortaya çıkan statik basınç şu ifadeyle belirlenir:
(21)
Negatif basıncın büyüklüğü hızın karesine bağlı olduğundan, akışının dar kısmındaki değerinin geniş olana göre önemli ölçüde daha büyük olması oldukça doğaldır. Bu nedenle Venturi tüpünün dar kısmında basınç göstergeleri geniş kısmına göre daha az basınç gösterecektir. Boru duvarlarındaki negatif basıncın büyüklüğünün suyun hareket hızına bağımlılığı Şekil 9'da gösterilmektedir.
Başka bir örnek olarak, bir gaz akımı bir kaptaki sıvıyı emdiğinde püskürtme tabancasının çalışma prensibini düşünebiliriz (bkz. Şekil 1). Hızından dolayı gaz akışındaki basıncın, sıvıyı kaptan dışarı sıkıştıran atmosferik basınçtan daha düşük olması ve gaz akışının onu birlikte taşıması nedeniyle sıvının emildiğine inanılmaktadır. Bununla birlikte, aynı etki, püskürtme memesinden kaçan bir gaz akımının akışında düzgün olmayan bir kinetik enerji alanının mevcudiyeti nedeniyle negatif basıncın mevcudiyetinden de kaynaklanacaktır. Ek olarak, jet, çevredeki havanın parçacıklarını taşıyacak ve bu, kendi kinetik enerji alanının ortaya çıkmasına yol açacak ve bu, gradyanı, sıvının kaptan emilmesinin nedeni olacaktır.
O zaman şu soru ortaya çıkıyor: Venturi tüpündeki basınçtaki ve püskürtme tabancasındaki emmedeki azalmanın nedeni, hareketli sıvı veya gaz akışındaki basınçtaki bir azalma değilse, o zaman Bernoulli denkleminin özünü nasıl anlayabiliriz? Sonuçta, akışın daraltılmış kısmındaki sıvının hızı aslında artıyor ve öyle görünüyor ki, bu yalnızca karşı tepkinin azalmasıyla mümkün oluyor ve deneyler, akıştaki basıncın atmosferik basınçtan daha düşük olabileceğini gösteriyor. manometrik tüpte sıvı, atmosferik basınca karşılık gelen seviyenin üzerine çıkar (Şekil 10). Ancak diğer taraftan akışın daraltılmasının harekete karşı direnci arttırması ve dolayısıyla akışkan akışı içindeki basıncı da arttırması gerektiği de yadsınamaz. Bu durumda akış hızındaki bir artış yalnızca itici kuvvetteki bir artışa bağlı olarak meydana gelebilir, yani. vurgulanan akış elemanının sol tarafındaki basınç. Aslında denklem (7)'ye dönersek benzer bir sonuca varılabilir:

Bu denklemin izole ettiğimiz ve bir bütün olarak ele aldığımız sıvı hacminin tamamı için geçerli olduğunu unutmamalıyız. Bu nedenle ifade (9)'da yapıldığı gibi ayrıştırılması mümkün değildir. Bunu hatırlamak çok önemlidir. İfadeden (7) artan hız ile şu sonucu çıkar: V2 sabit hızda V1 basınç farkı artacaktır p1 Ve p2. Bu artış bir azalma nedeniyle de meydana gelebilir. p2 ve artış nedeniyle p1. Bernoulli denklemini analiz ederken basınçtaki azalmadan bahsetmeyi tercih ediyorlar p2. Ama baskı nedir p2? Bu, bir sıvının veya gazın hareketini engelleyen basınçtır. Nasıl belirlenir? Örnek olarak bir boru hattı için konik bir ağızlığı ele alalım (Şekil 11). Geri baskının olduğu açık p2 Basınç atmosfer basıncından daha az olamaz, aksi takdirde sıvı nozülden dışarı akmayacaktır. Belirli bir nozuldaki sıvının akış hızını arttırmak istiyorsak, o zaman denklem (7)'ye göre basıncı arttırmalıyız. p1. Ama hepsi bu değil. Hızdan beri V1 Ve V2 artan hızla birbirine bağımlı V2 hız da artacak V1 ve ardından basınç farkı p1 Ve p2 azalmalı, bu da basınçtaki bir artışa karşılık gelir p2 sabit basınçta p1.
Dolayısıyla Bernoulli denkleminin analizi, onun özünü anlamada bir sorunu ortaya çıkarmaktadır. Bu sorunu daha iyi anlamak için, konik bir ağızlıktaki sıvının hareketini incelemek için denklem (7)'yi uygulayalım (bkz. Şekil 11). Akış sürekliliği koşulundan, bölüm 1 ve 2'deki hızların aşağıdaki ilişkiyle ilişkili olduğu sonucu çıkar:
, (22)
Nerede R1 Ve R2- Bölüm 1 ve 2'deki kesitlerin yarıçapları.
Bu hız değerini ifade (7)'de yerine koymak ve bunu hız için çözmek V2, şunu elde ederiz:
(23)
Bu ifadeyi analiz edelim. Sınırlayıcı ilişkileri ele alalım R2/R1. Şu tarihte: R2/R1=0 hız V2şuna eşit olacaktır:
, (24)
oysa sıfıra eşit olması gerektiği kesinlikle açıktır. Doğru, sağduyu bu baskıyı emrediyor p1 Ve p2 Pascal yasasına göre eşit olmaları ve farklarının sıfıra eşit olması gerekir. Ancak bu durum ifadeden (24) çıkmamaktadır.
Şu tarihte: R2/R1=1 hız V2 sonsuza eşit olacaktır:
, (25)
ki bu elbette doğru olamaz. Ancak burada da baskının devam ettiğini ilan ederek bir çıkış yolu bulabilirsiniz. p1 Ve p2 Hızın sabit olması gerektiğinden eşit olacaktır. Ancak hızın büyüklüğünü bulamayacağız. V2çünkü sıfırların oranıyla belirlenecektir.
Peki ya oranın ara değerleri? R2/R1? Basınç farkı olamaz p1 Ve p2 her zaman sıfıra eşit olsun. Bu fark nasıl değişecek? Bu soruların cevabı yok. Tek bir şey açıklığa kavuşuyor: Bernoulli denklemi, ideal bir akışkan için bile doğru değildir ve hızları veya basınçları hesaplamak için kullanılamaz; içinde bir şeyler eksiktir. Bu, dijital hesaplamalarla ele alınması gereken bir sorudur.
Bu tür hesaplamalar, yaklaşık olmasına rağmen, sıvının tanktan çıkışı için mevcuttur (Şekil 12). Bu durumda Bernoulli denklemi, sıvının ağırlığından kaynaklanan potansiyel enerjiyi hesaba katarak şu şekildedir:
(26)
burada g=9,81 m/s2 yerçekimi ivmesidir ve z koordinatları 1 ve z 2 Sorunu çözerken yalnızca aralarındaki farka ihtiyaç duyulduğundan, keyfi bir düzeyden sayılırlar: H=z 1 -z 2 . Öyle kabul ediliyor V1=0, çünkü V1<<V2, sonra ifadeden (26) ortaya çıkıyor:
, (27)
Nerede p2 atmosfer basıncına eşittir.
Eğer p1 eşit olacak p2 o zaman formül (27) daha da basit bir biçim alacaktır:
, (28)
buradan sıvı çıkış hızının katı bir cismin H yüksekliğinden serbest düşme hızına eşit olduğu sonucu çıkar.
Bu ifade Bernoulli'den 100 yıl önce Toricelli tarafından elde edilmiştir ve bu nedenle Toricelli formülü olarak adlandırılmaktadır.
Ancak burada bile, bu denklemin türetilmesinin açık olmasına rağmen, cevabı olmayan sorular ortaya çıkıyor: örneğin, sıvı akış hızı deliğin boyutuna mı yoksa değiştirilebilen konik ağızlığın boyutuna mı bağlı olacak? tanka takılı mı (bkz. Şekil 12,b )? Sıvının küçük bir delikten akışı serbest düşüşüne benzer olabilir mi? Elbette bu, hızın yaklaşık bir tespiti için bile çok şüphelidir.
Bu sorunun analizini basitleştirmek için, içine sıvının aktığı ve dışarı aktığı ve seviyesinin her zaman aynı kalacağı dikey olarak yerleştirilmiş konik bir tankı (Şekil 13) alalım. Bernoulli denklemindeki (22) ilişkisini dikkate alarak şunu elde ederiz:
(29)
Bu ifadeden şu sonuç çıkıyor: R2/R1=0 hız V2 yalnızca şu durumlarda sıfıra eşit olacaktır:
, (30)
buradan:
, (31)
bu, sorunun koşullarından hiç de kaynaklanmıyor.
Şu tarihte: R2/R1=1 V2=¥ , atmosfer basıncına eşit olacak dış basınçla karşılaştırıldığında sıvının düşeceği oldukça açık olsa da: p2=p0 ve düşme oranının çok özel bir değeri olmalıdır.
Böylece baskının olduğunu tespit ettik. p2 bir sıvı akışındaki orana bağlı olarak değişmelidir R2/R1 içinde:
, (32)
bilmediğimiz değişim kanunu.
Bu ilişkiyi kurmak için öncelikle içinde gazın bir miktar basınç altında olduğu kapalı konik bir kabı ele alalım (Şekil 14). Bu durumda gazın ağırlığı, küçük olmasından dolayı göz ardı edilebilir. Pascal kanununa göre kabın her noktasındaki gaz basıncı aynı olacaktır. Kaptaki basıncın birinci bölümün yanından kuvvet tarafından oluşturulduğunu varsayacağız. F1 değeri şuna eşit olacaktır:
, (33)
Nerede S1- birinci bölümdeki kesit alanı. İkinci bölümde gaz tabana bir kuvvetle etki edecektir. F2, eşittir:
, (34)
Nerede p2=p1, S2- alt alan.
Bölgeden beri S2 daha az alan S1, güç F2 daha az güç olacak F1. Bu kuvvetler arasındaki fark oldukça açıktır:
(35)
geminin yan duvarlarından gelen dirençle telafi edilecektir.
Böylece damarın daralması kuvvete karşı ilave direnç sağlar F1 bunun sonucunda tabana daha az kuvvet etki edecektir.
Şimdi kabın altını çıkaralım. Kaptaki gaz, atmosfer basıncından daha büyük bir basınç altında olacağından belli bir hızla kaptan dışarı akmaya başlayacaktır. Bu hareket ancak gaz basıncının azalması nedeniyle meydana gelebilir, çünkü gaz hareketinin kinetik enerjisi ancak basıncının potansiyel enerjisinden dolayı ortaya çıkabilir. Bu durumda, birinci ve ikinci bölümlerdeki basınç arasındaki ilişkinin değişmesi gerektiği açıktır, çünkü içlerindeki gaz parçacıklarının hareket hızları farklı olacaktır ve bu nedenle potansiyel enerji (basınç) miktarı hareketin kinetik enerjisine dönüştürülecektir. da farklı olacaktır.
Şimdi geriye kalan tek şey, eğer gaz hızları sırasıyla eşitse, her iki bölümdeki basınçların nasıl değişeceğini tahmin etmektir. V1 Ve V2 ve statik basınç p1 sabit bir seviyede tutulacaktır. Hareketin kaynağı yalnızca gaz basıncı olduğundan, hareket enerjisinin ortaya çıktığı potansiyel enerjinin azalması nedeniyle, enerji kaybının olmadığı varsayılarak enerjinin korunumu yasasını kullanmak oldukça mantıklıdır. Bu arada, Bernoulli denklemini türetirken bu yasayı da kullandı, çünkü basınç kuvvetlerinin tüm işi hareketin kinetik enerjisine dönüştü.
Enerjinin korunumu yasasına uygun olarak, birinci ve ikinci bölümlerdeki statik basınçlar, içlerindeki hacimsel kinetik enerji yoğunluklarının miktarına göre başlangıçtaki basınçlardan daha az olacaktır:
; (36)
, (37)
Çünkü p2=p1.
Bu ilişkilerden her iki kesimdeki basınçlar ve hızlar arasında bir bağlantı kurduğumuz ve ikinci kesimdeki basıncın birinci kesimdeki basınca bağlı olacağı açıktır. Hızlar V1 Ve V2 aynı zamanda birbirine bağımlıdır. Dolayısıyla baskıların birbirine bağlı olduğu ileri sürülebilir.
Basınçlara, kinetik hareket enerjisine dönüştürülen potansiyel enerji kayıplarını da eklersek, birinci ve ikinci bölümdeki statik basınç birbirine eşit ve eşit olacaktır. p1, yani:
, (38)
bu Bernoulli denkleminin bir benzeridir.
Böylece ideal bir akışkanın sabit akışı için enerjinin korunumu yasasına dayanan Bernoulli denklemini elde ettik. Aslında Pascal yasasını hareketli bir akışkana aktararak kapsamını genişlettik.
Birinci ve ikinci bölümlerdeki basınç değişikliği nedeniyle bunlara etki eden kuvvetler de değişir. (36) ve (37) numaralı ifadelere göre bu kuvvetlerin büyüklüğü şuna eşit olacaktır:
; (39)
(40)
Bakalım karşı kuvvette neler olacak D.F. Bunu kuvvetler ve arasındaki fark olarak tanımladığımızda şunları buluruz:
, (41)
bundan duvarların direnç kuvvetinin arttığı sonucu çıkar.
Ele alınan örnekten ve yaptığımız varsayımlardan aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir.
İlk olarak, içinden bir sıvı veya gazın geçtiği kanaldaki herhangi bir daralma, bu harekete karşı bir direnç gösterir ve bunun büyüklüğü, daralmanın derecesine bağlıdır; daralma ne kadar büyük olursa direnç de o kadar büyük olur. Ve bu direncin varlığı, sıvının hangi kanaldan - geniş bir borudan veya temel bir akıştan - aktığına bağlı olmayacaktır. Direnç miktarı aynı zamanda formül (41)'de belirtildiği gibi farklı bölümlerdeki akış hızlarının oranına da bağlı olacaktır. Bernoulli denklemi türetilirken bu direnç dikkate alınmaz.
İkinci olarak, ikinci kısımdaki basınç birinci kısımdaki basınca bağlıdır ve şuna eşittir:

İkinci bölümdeki basınç da sıvı akışının hızına bağlı olacak ve bir miktar azalacaktır. Bundan, basıncın, sıvının seçilen bir elemanına göre harici bir direnç olmadığı, söz konusu sıvının bir kısmının dahili bir özelliği olduğu sonucu çıkar. Ve bu, özünde, sıvının serbest bırakılan elemanının, sıvının daha sonra atılan kısmına uyguladığı basınçtır, yani. Sıvının sonraki bölümlerinin hareketine neden olan bir kuvvet yaratır. Ve çok önemli olan, bu basıncın, sıvının atılan sonraki kısmından seçilen sıvı elemanının dışındaki basınca doğrudan bağlı olmayacağıdır; bunu ile gösteririz. Burada bağımlılık dolaylı olacaktır: hızlar basınca bağlı olacaktır V1 Ve V2 ve zaten hızdan V2 basınç bağlı olacaktır. Basıncın bileşenlerinden birinin genellikle çevresel basınç, özellikle de atmosferik basınç olacağı unutulmamalıdır. Bu doğrudan sıvı akışındaki basıncın atmosferik basınçtan daha az olamayacağı gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Dolayısıyla, yukarıdakilerin hepsinden, Bernoulli denklemini türetirken, direnç kuvvetinin ortaya çıkmasının nedeni olarak basıncın dikkate alınmaması gerektiği sonucu çıkar - direnç kuvveti yalnızca basınç tarafından yaratılacaktır.
Üçüncüsü, sürükleme kuvveti D F Kanalın daralması nedeniyle ortaya çıkan, yalnızca birinci ve ikinci bölümlerdeki kuvvet farkıyla belirlenir ve doğrudan kuvvete karşı koyar, yani. birinci bölümde uygulandığını varsayabiliriz. Çünkü kuvvet, basınca bağlı olarak basınçla belirlenir. p1, o zaman karşıt kuvvet D F aynı zamanda basınca da bağlıdır p1 ve bu nedenle, daralmış kısımda hareket ettiğinde sıvı akışının kendi kendini frenleme kuvvetidir. Bu nedenle Bernoulli denklemi türetilirken D kuvveti F, öncelikle dikkate alınmalı ve ikinci olarak, çalışmasını belirlemek için sıvı D'nin sol ucunun hareketi ile çarpılmalıdır. l1.
Sonuç olarak, seçilen akışkan elemanın hareketini uçlarında bulunan iki küçük bölüm olarak değil, tek bir bütün gövde olarak değerlendirdiğimiz için yaptığımız tüm sonuçların mümkün olduğunu söylemek gerekir. Bu yaklaşımın eldeki görevi en doğru şekilde yerine getirdiği oldukça açıktır.
Şimdi konik bir tanktan su çıkışı problemini ele almaya dönelim (bkz. Şekil 13). Sıvı içeren bir tankta, ikinci bölümde reaksiyon kuvvetinin belirleneceği basınç vardır. DF basınç hariç p1 aynı zamanda baskıyla da belirlenecek rn sıvının ağırlığı tarafından oluşturulan:
, (42)
Nerede N- (36) ve (37) ifadelerinin şu şekli alacağı ile bağlantılı olarak, üst seviyesinden ölçülen sıvı kolonunun yüksekliği:
; (43)
(44)
Yukarıdakilerle bağlantılı olarak seçilen akışkan elemanına etki eden kuvvetleri belirleyebiliriz:
; (45)
; (46)
(47)
Ek olarak, sıvının atılan sonraki kısmından gelen direnç kuvvetini de hesaba katmalıyız:
, (48)
bu durumda atmosfer basıncına eşit olacaktır ro.
Söz konusu sıvının hacmi için hareket denklemini oluştururken, kuvvetin bir direnç kuvveti olmadığı yukarıda gösterildiğinden yalnızca ve kuvvetlerini hesaba katmalıyız. Ayrıca kuvvetlerin ve D'nin işini bulurken de gösterildi. F birinci bölümdeki sıvının hareketi ile çarpılmalıdır - D l1. Direnç kuvvetiyle nasıl başa çıkılacağı sorusunu açıklığa kavuşturmak kalıyor: D'nin ne kadar yer değiştirmesi ben D ile çarpılmalıdır l1 veya D l2? Bu sorunu çözmek için D kuvvetlerini birleştirelim. F Ve :
(49)
buradan parantez içindeki ikinci ifadenin ikinci bölümdeki basınca göre aşırı sıvı basıncını temsil ettiğini elde ederiz:
(50)
Buradan bir kuvvetin işinin yer değiştirmeyle çarpılmasıyla belirlenmesi gerektiği sonucu çıkar. Dl1.
Böylece, bu problem için kinetik enerjideki değişim yasası formundaki hareket denklemi şu ifadeyle belirlenir:
(51)
(45) ve (49) ifadeleriyle belirlenen kuvvetlerin karşılık gelen değerleri değiştirildikten sonra ifade (51) şu şekle dönüştürülür:
(52)
ürüne göre bölündükten sonra S1 D l1 ve karşılık gelen dönüşümler şu şekli alacaktır:
(53)
Hızı ifade etme V1 hız sayesinde V2 ifade (22)'ye ve hıza ilişkin denklemin (53) çözülmesine göre V2 hesaplama formülünü elde ederiz:
(54)
Bu formülü analiz edelim. Şu tarihte: R2/R1=0 hız V2 Pay sıfıra ve payda bire eşit olacağından sıfıra eşit olacaktır. Şu tarihte: R2/R1=1 hız V2şuna eşit olacaktır:
, (55)
bu ifade (27) ile örtüşmektedir. Ve bu ifade bu durumda gerçekten sıvının serbest düşüşüne karşılık gelecektir, çünkü R2=R1. Oranın ara değerlerinde R2/R1 hız V2 bu ilişkiye karşılık gelen bir anlam taşıyacaktır. Bu hızın === n/m2 değerlerinde ve N=10,2 m Şekil 15'te gösterilmektedir. Beklenebileceği gibi artan oranda R2/R1 hız, sıfırdan serbest düşüşe karşılık gelen maksimum değere sorunsuz bir şekilde artar. Ek olarak formül (44) kullanılarak konik bir tanktan akan sıvı akışındaki basınç bulunabilir. Bu formülün analizi şunu gösteriyor: V2=0 sıvıdaki basınç şuna eşit olacaktır:

ve serbest düşüşe karşılık gelen , =. Basınç =+= için hesaplanan eğri Şekil 15'te sunulmakta olup buradan dışarı akan jetteki basıncın tüm yarıçap oranları için atmosferik basınçtan daha büyük olacağı görülebilmektedir. R2/R1 Bu basınçların eşit olduğu durumlar hariç.
Belirtilen her şeyi daha inandırıcı kılmak için, ideal bir akışkanın seçilmiş bir elemanına etki eden eylemsizlik kuvvetlerini hesaba katarak hareket denkleminin başka bir türevini vereceğiz. Bu durumda mekanik kanunlarına göre söz konusu akışkan elemanına etki eden kuvvetler dengede olacaktır.
Atalet kuvvetini belirlemek için sıvının hareket ettiği konik kanalın bir kısmını düşünün (Şekil 16). Sıvının temel hacmini seçelim DM kütle merkezinin hızını değerden değere değiştirerek birinci konumdan ikinciye hareket edecek. Ortaya çıkan temel eylemsizlik kuvveti aşağıdaki formülle belirlenebilir:
, (56)
Nerede
, (57)
ve eksi işareti eylemsizlik kuvvetinin yönünü gösterir.
Temel kütlenin dikkate alınan iki konumundaki hızlar arasındaki ilişki DMşu ifadeyle belirlenir:
, (58)
Nerede
(59)
Bu ilişkiyi kullanarak şunu elde ederiz:
(60)
Binomun dördüncü kuvvetine yükseltilmesi ve her terimin D'ye bölünmesi ls ve sonra D'yi kabul ediyorum ls sıfıra eşit olduğunda, temel eylemsizlik kuvveti için bir ifade buluruz:
(61)
Diyelim ki nokta Si uzakta ben ilk bölümden itibaren bu noktalardaki bölümlerin hızlarının ve yarıçaplarının oranı şu şekilde olacaktır:
; (62)

(63)
Bu hız ve yarıçap değerlerini ifadeye (61) değiştirerek şunu elde ederiz:
(64)
Şimdi, seçilen hareketli akışkan hacminin tamamı üzerindeki temel atalet kuvvetlerini özetlemek gerekir; uzunluğa göre ben. Kütle değerini ifadeye koyma (64) DM:
(65)
ve (64) ifadesinin integralinin 0 ila Lİtici kuvvetin uygulandığı ilk bölümde hareket eden akışkan kütlesinin tamamından etki eden atalet kuvvetini bulalım. F1:
(66)
Nerede .
İfadeden (66), ikinci ve birinci bölümlerdeki enerji yoğunluklarındaki fark (parantez içindeki ifade) birinci bölümün alanı ile çarpıldığından eylemsizlik kuvvetinin aslında birinci bölüme uygulandığı sonucu çıkar.
Böylece, serbest bırakılan sıvı hacmine aşağıdaki kuvvetler etki edecektir:
;
;
;
, (67)
Mekanik yasalarına uygun olarak tarafımızca tek bir cisim olarak kabul edilen bu sıvı hacminin etkisi altında dengede olacaktır, yani. aşağıdaki koşul karşılanacaktır:
, (68)
tüm kuvvetlerin değerleri değiştirildikten sonra şu forma dönüştürülür:
(69)
Terimleri azaltıp böldükten sonra S1 ifade (69) şu şekli alacaktır:
,
bu daha önce elde edilen ifadeyle (53) tamamen örtüşmektedir. Bu nedenle muhakememiz adildi ve hızı belirlemek için ortaya çıkan formüller V2 ve basınçlar doğrudur.
Böylece sıvı akış hızını bulma problemini çözmüş gibiyiz. Ancak durumu mekanik kanunları açısından ele alırsak ortaya çıkan formüllerin geçerliliği konusunda şüpheler ortaya çıkar. Aslında, örnek olarak, sabit kesitli bir borudan dışarı akan dikey olarak düşen sıvı akışına bakarsak (Şekil 17), o zaman sıvı akışının borunun dışında bile hareket ettiğini hemen fark edebiliriz. Borunun içindeki sıvı tek bir gövde halindedir ve bu nedenle tüm noktalarında aynı hıza sahip olmalıdır. Bu olmazsa, yerçekiminin etkisi altına girdiğinde hızın sürekli artması gerektiğinden akış kesilecektir. Ancak uygulamada böyle bir boşluk görülmemektedir. Bu durum sıvı molekülleri arasında yapışma kuvvetlerinin (kohezyon) varlığından kaynaklanır ve bu kuvvetler oldukça büyük olabilir. Yani yabancı maddeler içermeyen saf suyun çekme mukavemeti 3107 N/m2'ye ulaşır, bu da 300 atm'ye veya 3000 m'lik bir su sütununa karşılık gelir. İdeal bir sıvıda kohezyon kuvvetlerinin bulunması gerektiği oldukça açıktır. Bu nedenle, herhangi bir akışkan elemanı r hareket ettiğinde M yerçekimi dışında F şeridi direniş gücü de harekete geçecek Direnç sıvının üst kısımlarından ve itici güçten Fdv alt taraftan. Akışkan elemanı r'nin serbest düşmesinin bir sonucu olarak M olmayacak ve kendisine uygulanan kuvvetlerin etkisi altındaki elemanın kendisi, enine yönde sıkıştırılacağı ve bir bütün olarak akışın tamamı daralacağı için çekme deformasyonları yaşayacaktır (Şekil 17'de daralma akışın kesiti kesikli nokta çizgileriyle gösterilir). Bu daralma nedeniyle elemanın hızı DM düştükçe değişmeli ve ne hız V1 ne de hız V2 bizim tarafımızdan bilinmiyor ve muhakememize göre yukarıdaki formüller kullanılarak bulunamıyor.
Bu durumdan bir şekilde kurtulmak için, en azından yaklaşık olarak, borunun dışındaki akışın dışarı akan kısmının boru içinde bulunan sıvı üzerindeki etkisini dikkate alalım. Bu dış etki çekici olacaktır, yani. biraz ek baskı yaratacak üçüncü akışta, hareketini kolaylaştırır. Dış çekme kuvvetinin büyüklüğü, borunun dışında bulunan sıvı sütununun ağırlığına göre belirlenecektir. Akış düştükçe daraldığı için sıvı kolonunun ağırlığı su konisinin ağırlığına eşit olacaktır (Şekil 18):
, (70)
Nerede mh- sıvı sütununun kütlesi, R2 Ve Rh- akışın dikkate alınan kısmının başlangıcında ve sonunda kolonun yarıçapları. Kutup yüksekliği H Açıkçası, akışın belirli bir yüksekliğe, örneğin bir kaba düşmesine veya akış bireysel damlalar halinde parçalanmaya başladığında, inceltildiğinde sıvının parçacıkları arasındaki yapışma kaybına bağlıdır. Bize değer verilecek H Bu konu özel araştırma gerektirdiğinden, jetin bozulması için kritik olan durumları dikkate almadan keyfi olarak.
Sıvı bir sütunun ağırlığını bulmak için yarıçapı bilinen bir şey gereklidir. R2 yarıçapı bul Rh düşme yüksekliğine karşılık gelen H. Bu yarıçapı yaklaşık olarak belirlemek için, kütleli bir sıvı elementinin düşüşünü düşünün. DM yüksekten H sadece kendi ağırlığının etkisi altındadır, her ne kadar hem üst hem de alt taraftan gelen yapışma kuvvetlerine maruz kalacak olsa da, seçilen eleman düştükçe aralarındaki oran değişecektir.
Newton'un ikinci yasasına göre elimizde:
(71)
Bu denklemi başlangıç ​​koşullarıyla çözüyoruz:
(72)
Sonuç olarak şunu elde ederiz:
; (73)
(74)
İfade (74)'ten sonbahar zamanını buluyoruz T:
(75)
Bu değeri değiştirmek T(73) ifadesine, düşme hızının bağımlılığını elde ederiz Vh koordinattan H:
(76)
Akış sürekliliği koşulunu kullanarak:
, (77)
şunu elde ederiz:
(78)
İncirde. Şekil 19'da oran hesaplamaları sonucunda elde edilen sıvı jetlerinin şekilleri gösterilmektedir. Rh/R2 egzoz hızları için formül (78)'e göre V2 düşme yüksekliğine bağlı olarak 0,1 m/s ve 0,5 m/s'ye eşittir H. Şekillerden düşük çıkış hızında jetin daralmasının daha keskin olacağı açıkça görülmektedir.
İlave itici kuvvetin akışın hızı ve içindeki basınç üzerindeki etkisini hesaba katmak için elde ettiğimiz denklemlerde dikkate alınması gerekir. Bu, basıncın belirlediği itici gücün etki ettiği ilk bölüme atanarak yapılabilir. p1 ve kesit alanı S1. O zaman bu ek kuvvetin yarattığı basınç şuna eşit olacaktır:
(79)
Bu ifadeyi şu şekilde sunmak daha uygundur:
, (80)
çünkü o zaman tutum gh/S2 basit formu alacaktır:
, (81)
ve ifade (80) şu forma dönüştürülür:
(82)
Daha sonra ikinci bölümdeki hız ve basınç hesaplama formülleri adezyonu dikkate alarak daha önce elde ettiğimiz formüllere göre aşağıdaki ifadeyle belirlenecektir:
; (83)
(84)
Şu tarihte: R2/R1=1 formülü (83) şu şekli alacaktır:
, (85)
ve ne zaman ==:
, (86)
Şekil 20 ve 21, sıvının 10.32875 m ve 1 m'de aktığı konik kabın yüksekliğinde sıvı içindeki yapışmayı hesaba katmadan ve hesaba katmadan hız ve basınç hesaplamalarının sonuçlarını göstermektedir. Birinci yükseklik atmosferik yüksekliğe karşılık gelir. basınç. Her iki durumda da yükseklik H eşit alındı N Ve N/R1=10, =.
Eğrilerden de görülebileceği gibi düşme yüksekliğinden dolayı debi önemli ölçüde artabilmektedir. H. Bu, çıkış hızının değerini Toricelli formülüyle belirlenen sonuca yaklaştıracaktır. Akış hızındaki artış nedeniyle kaybedilen basıncın (potansiyel enerji) bir kısmı eklenen basınçla telafi edildiğinden jet içindeki basınç artacaktır. Ancak sıvının serbest düşüşüyle R2/R1=1 basınç her iki durumda da atmosfer basıncına eşit olur.
Böylece elde ettiğimiz formüller, çeşitli kesitlerdeki akış hızlarını yaklaşık olarak belirlemek için kullanılabilir ve bu hızlar büyük ölçüde büyüklüğüne bağlı olacaktır. H(bkz. Şekil 22, a ve b).

Bir borunun çıkışında sıvı akışının yukarıya doğru hareketi sorununun dikkate alınması da ilginç görünmektedir (Şekil 23). Bu durumda, bölüm 2-2'de, sıvı akışının dış kısmının yüksekliğine eşit olan ek bir direnç kuvveti akışa etki edecektir. H. Bu kuvvet, ikinci bölümde değeri yaklaşık olarak şuna eşit olacak ek basınç yaratacaktır:
(87)
(akan sıvı sütununun silindirik bir şekle sahip olduğunu varsayıyoruz).
Bu basınç, hesaplama formüllerinde yer alan basıncın bir bileşeni olarak dahil edilecektir. Daha sonra basınç şu ifadeyle belirlenecektir:
(88)
Hızın çok açık olduğu V2 azalacaktır. Ancak hesaplamak V2 kaldırma yüksekliğini bilmeniz gerekiyor H bu da egzoz hızına bağlıdır V2. Bu yüzden H bir şekilde hız cinsinden ifade edilmelidir V2. Aşağıdaki gibi mantık yürüteceğiz. Akış elemanı r M 2. bölümde akışın üst kısmında potansiyele dönüşen bir tür kinetik enerjiye sahiptir. Bu nedenle aşağıdaki ilişkinin sağlanması gerekir:
, (89)
nereden alıyoruz:
(90)
O zaman basınç şöyle görünecektir:
(91)

Bu basınç değeri orijinal denklemde (53) değiştirilmelidir; V2 aşağıdaki ifadeyi verecektir:

(92)
Sabit kesitli bir boru için; en R2/R1=1 ise bu ifade şu şekli alacaktır:
, (93)
ve ne zaman p1=p0şunu elde ederiz:
(94)
Bu hız değerini (90) ifadesine koyarsak şunu buluruz:
(95)
Böylece sıvı yükselişinin yüksekliği, seviyelerindeki farkın iki katı olacaktır. H. Bunların hız için yaklaşık değerler olacağını bir kez daha belirtelim. V2 ve kaldırma yükseklikleri H, çünkü dış akışın kesiti sabit kalmamalıdır: hızdaki düşüş ve akışın sürekliliği koşulu nedeniyle çıkıştan uzaklaştıkça artmalıdır. Ayrıca akışın kesit değeri akışın aşağı kısmından etkilenecek ve bu da akışın hızını artıran bir çekme kuvveti oluşturacaktır.
Tahmini hız değerleri V2, basınç ve yükseklik H su yükselişi Şekil 20 ve 21'de iki durum için gösterilmektedir: N=10,32875m ve N=1m. Bu durumda basınç olağan formülle belirlenir:

Bu durumda akış hızı, su kolonunun ek direnci nedeniyle daha az olacağından, yapışma nedeniyle ek kuvvetin varlığını hesaba katmazsak, basınç, sıvının aşağı doğru aktığı duruma göre daha büyük olacaktır. sıvı parçacıklardan oluşur.
Şimdi ideal bir akışkanın değil, gerçek bir viskoz akışkanın hareketini ele alalım. Sıvı katmanlarının boru duvarlarına ve kendi aralarında frenlenmesi, sıvı parçacıklarının hareket hızının azalmasına ve dolayısıyla akışın kinetik enerjisinin bir kısmının kaybına neden olur. Akışın kinetik enerjisini belirlemek için, keyfi bir bölümün yarıçapı boyunca hız değişimi yasasını şu şekilde tanımlarız:
, (96)
Nerede Vben Ve Rben- sırasıyla akış eksenindeki sıvı hızı ve belirli bir mesafedeki kesit yarıçapı ben ilk bölümden. Kinetik enerji, sıvının hacimsel akış hızından bulunabilen ortalama akış hızından belirlenmelidir. Q:
, (97)
Nerede Sben- belli bir mesafedeki kesit alanı ben. İfade (97)'den şunu elde ederiz:
(98)
Alanı aşağıdaki ifadeyle belirlenen temel halkasal bölümler için ifadeyi (96) kullanarak hacimsel akış hızını bulacağız:
, (99)
Nerede doktor- halka genişliği. Buna göre, temel hacimsel akış hızı şuna eşit olacaktır:
(100)
Bu ifadeyi 0'dan başlayarak R, bölümdeki sıvının toplam hacimsel akış hızını elde ederiz ben:
(101)
Formül (98)'i kullanarak kesitteki ortalama akış hızını buluruz. ben:
(102)
Belirli bir D bölgesindeki akışın kinetik enerjisi ben bu durumda şuna eşit olacaktır:
, (103)
D nerede M-uzunluk D'ye karşılık gelir ben sıvının bir bölümünün kütlesi.
Sürtünme kuvvetini hesaba katan kuvvetlerin toplamı şeklinde seçilen bir sıvı hacminin hareket denklemi Ftrşu ifadeyle belirlenecektir:
(104)
Bu ifade, 1. ve 2. bölümlerdeki kesitsel ortalama akış hızlarını dikkate alır. Sürtünme kuvveti, mevcut deneysel verilerden belirlenmelidir.
Gerekli dönüşümleri yaptıktan sonra ifadeyi (104) şu şekle indiriyoruz:
(105)
hızı nereden bulacağız? V2:
, (106)
Nerede
(107)
uzunluk boyunca basınç kaybı L=H(basınç bu miktarda azalır p1 Bölüm 2'de).
Bu ifadenin analizi şunu gösteriyor: R2/R1=0 hız V2 sıfıra eşit olacak ve ne zaman R2/R1=1 ifadesi (107) şu şekli alacaktır:
(108)
İkinci bölümdeki ortalama akış hızı iki kat daha az olacaktır.
İkinci bölümdeki basınç değeri sürtünme kuvvetlerini yenmek için gereken enerji kaybına bağlı olarak azalacak ve şu ifadeyle belirlenecektir:
(109)
Bir sıvı aşağı doğru hareket ederken moleküller arası uyum dikkate alınmalıdır. Daha sonra hız V2şu ifadeyle belirlenecektir:
(110)
Sıvı dikey olarak yukarı doğru aktığında, yukarıda gösterildiği gibi basınç şu ifadeyle temsil edilebilir:
(111)
Daha sonra hız ifadesi V2şu şekli alacaktır:
(112)
Aşağı ve yukarı hareket ederken sıvının içindeki basınç ifade (109) ile belirlenecektir, sadece hız V2 doğal olarak farklı olacaklar. Bu, baskıların farklı olacağı anlamına gelir.
Sıvının içindeki basınç, sıkıştırma dikkate alındığında, formül (18)'e göre ortalama negatif basınç miktarından daha büyük olacaktır:
,
duvara yakın basınç bu miktarda daha azdır, yani:
; 113)
(114)
Sıvı akış hızını ve içindeki basıncı hesaplamak için sürtünme kuvvetini dikkate alarak sürtünme kuvvetinin belirlenmesi gerekir. Bunu yapmak için laminer akış rejiminde sıvı akış hızını belirleyen Poiseuille formülünü kullanıyoruz:
, (115)
Nerede Q- m3/s cinsinden sıvı akış hızı, p1-p2- silindirik uzunluktaki bir borunun bir bölümü üzerindeki sıvı akışındaki basınç düşüşü L N/m2 cinsinden, M- kg/ms cinsinden sıvının dinamik viskozitesi, D- m cinsinden boru çapı.
Bu ifadeyi kullanarak borunun kesiti üzerindeki ortalama hızı bulabilirsiniz:
, (116)
yukarıda belirtildiği gibi ortalama hızın maksimum eksenel hızın yarısına eşit olduğu durumda V.
(116) ifadesini kullanarak uzunluk boyunca sürtünmeden kaynaklanan basınç kaybını buluruz. L:
(117)
Değişken kesitli bir kap (boru) düşündüğümüz için, (117) ifadesini diferansiyel formda yazıyoruz:
, (118)
Nerede Vben- birinci bölümden belirli bir mesafede bulunan bir bölümdeki eksenel hız ben, Rben- bu bölümün yarıçapı, Dben- temel basınç kaybına karşılık gelen bölümün temel uzunluğu dp(Şek. 24).
Daha ileri dönüşümler için akış sürekliliği koşulunu kullanırız:
,
nerede buluyoruz:
, (119)
Nerede
(120)
Bu ifadeleri kullanarak şunu elde ederiz:
(121)
Ortaya çıkan ifadeyi entegre ederek ben 0 ile 0 arasında değişen L, tüm uzunluk boyunca basınç kaybını bulalım L:
(122)
Parantez içindeki ifade şu olduğundan;
, (123)
bir tg Aşu ifadeyle belirlenir:
, 124)
formül (122) şu şekle dönüştürülür:
(125)
Hızı ifade edelim V1 hız sayesinde V2 akış sürekliliği koşulunu kullanarak:
(126)
ve (125) ifadesini şu forma getirin:
(127)
Elde edilen formüller kullanılarak aşağıdaki konik boru boyutları için üç hesaplama seçeneği yapılmıştır:
1) H=L=10,32875 m (atmosfer basıncına karşılık gelir);
2) H=L=1,0m;
3) Y=U=0,1m
Her durumda oran H/R1 10'a eşit alındı, H=H su, dinamik viskozite katsayısının olduğu bir sıvı olarak alınmıştır. M 0,001 kg/ms'ye eşittir. Hesaplamalar, seçilen boru boyutları için, viskozite varlığında ortalama su akış hızının, Şekil 15'teki grafikte gösterilen ideal bir sıvının hızından neredeyse hiç farklı olmadığını gösterdi. Bunun nedeni, katsayı değerinin küçük olmasıdır. M. Kinetik enerji alanının bir gradyanının varlığı nedeniyle moleküller arasındaki yapışma ve sıkışması dikkate alınmadan jetteki basınç da ideal bir sıvıyla aynı olacaktır. Bu faktörler dikkate alınırsa, jetin içindeki basınç önemli ölçüde artabilir ve duvarın yakınındaki basınç düşerek atmosferik basınçtan daha az ve hatta negatif olabilir. Üç seçeneğe ilişkin hesaplama sonuçları Şekil 25-27'de gösterilmektedir. Şekiller basınçtaki ve basınçtaki değişimi karakterize eden eğrileri göstermektedir.
ilişki fonksiyonları R2/R1, debriyaj dikkate alınmadan akış aşağı doğru hareket ettiğinde
sıvı moleküller arasındaki etkileşimler (eğriler 1), akış moleküler yapışma dikkate alınarak aşağıya doğru hareket ettiğinde (eğriler 2) ve akış yukarıya doğru hareket ettiğinde (eğriler 3). Eğrilerden, basınç değişikliklerinin daha büyük boru boyutları için en belirgin olduğu ve dolayısıyla kolayca gözlemlenebildiği görülebilmektedir.
Böylece değişken kesitli bir borudan bir sıvı aktığında içindeki akış hızının ve basıncının nasıl değiştiğini inceledik. Hesaplamalar, borunun çıkışındaki viskoz sıvıdaki basıncın atmosfer basıncından daha büyük olacağını göstermektedir. Açıkçası, sıvı borunun dışına doğru hareket etse bile bu basınç bir süre atmosferik basınçtan daha yüksek olacaktır. Bu konuya daha yakından bakalım.
Delikten çıkışta sıvının basıncı atmosferik basınçtan büyükse, jetin çıkışta hemen genleşmesi gerekir, ancak bu gerçekleşmez, hatta jet büzülür; Bunun sebebini daha önce tarafımızdan tartışılmıştı. İlk olarak bu, akışın merkezindeki ve henüz düzleşmemiş kenarları boyunca hızlardaki fark nedeniyle kinetik enerji alanı eğiminin korunmasıyla açıklanır. Gradyanın belirlediği kuvvet akışı sıkıştırmaya devam edecektir. İkinci olarak, akışkan akışı, akışkan akımı tarafından taşınan havanın hareketinin oluşturduğu kuvvet tarafından sıkıştırılacaktır. Bu durumda, hava akışında gradyanı etki eden kuvveti belirleyecek bir kinetik enerji alanı da görünecektir.
Havanın bir sıvı akışını sıkıştırdığı basıncı belirleyelim. Şekil 28, aşağıdaki ifadeyle karakterize edilebilecek havadaki hız alanının modelini göstermektedir:
, (128)
Nerede R- jetin merkezine olan mesafe.
O zaman bazı temel kütlelerin kinetik enerjisi DMşuna eşit olacaktır:
, (129)
Nerede
(130)
Burada: rв- hava yoğunluğu.
Bu ifadenin türevi temel kuvveti belirleyecektir. dFв:
,(131)
akışın merkezine doğru yönlendirilir.
Bu kuvvetin temel yüzeye oranı dS=üçüncüjdh Temel kütleye karşılık gelen diferansiyel basıncı belirleyecektir. dpv:
(132)
(eksi işaretini atlıyoruz).
Dışındaki tüm hava parçacıklarından temel kütleye etki eden toplam basınç, r ila aşağıdaki aralıkta r üzerinden alınan ifadenin (132) integrali tarafından belirlenecektir:
(133)
Jetin yüzeyinde ( R=Rh) hava basıncı şuna eşit olacaktır:
(134)
Üçüncüsü, sıvı moleküller arasındaki yapışmanın neden olduğu çekme kuvvetlerinin varlığı ve ayrıca yukarıda belirtildiği gibi yerçekiminin etkisi altında düşme hızının artması nedeniyle jet sıkıştırılacaktır.
Dördüncüsü, yüzey geriliminin varlığı nedeniyle jet sıkışacaktır.
Bu nedenle, bir borudan akan bir sıvı akışı üzerinde, bunların kombinasyonu hem şeklini hem de içindeki basıncı belirleyecek ve etkisinin matematiksel olarak hesaba katılması zor olan birkaç kuvvet etki edecektir.
Ancak bunu en azından yaklaşık olarak yapmaya çalışalım. Jet iyi tanımlanmış bir konik şekle sahip olduğundan, jet içindeki sıvının hareketinin daralan bir kanal (boru) içindeki harekete benzer olacağını varsayabiliriz ve jetin başlangıcındaki ve sonundaki hızları bileceğiz. hareket V2 Ve Vh ve ayrıca jetin borudan çıkışındaki basınç. Hız Vh Yukarıda gösterdiğimiz gibi yerçekiminin etkisi altındaki hareketin neden olduğu yaklaşık ifadeyle belirlenir:

Sorunu çözmek için hızdaki artışın yalnızca jetin potansiyel enerjisinin kullanılmasından kaynaklandığını varsayıyoruz; iç basıncını azaltarak. Bir sıvının yerçekiminin etkisi altındaki hareketinin, parçacıkları (moleküller) arasındaki yapışmanın neden olduğu kuvvetler tarafından önlendiğini hatırlarsak, böyle bir varsayım bir dereceye kadar mümkündür; birleştirici kuvvetler.
Akış hareketi herhangi bir kanal tarafından oluşturulmadığından ve jetin ağırlığı ek basınç yaratmada rol oynamadığından Bernoulli denklemini saf haliyle kullanırız:
, (135)
baskıyı nerede bulabilirsin ph:
(136)
Hız ifadesini kullanma Vh denklemini (136) şu forma dönüştürüyoruz:
(137)
Ortaya çıkan ifade, akış düşüşünün yüksekliğini belirlemek için kullanılabilir. H, hangi basınçta ph atmosferik değere eşit olacaktır:
(138)
İncelediğimiz üç örnekte, H»10m, H=1m ve H=0,1 m değerleri sırasıyla şuna eşit olacaktır:
1) M
2) M
3) M
Her üç durumda da, içindeki iç basıncın atmosferik basınca eşit olacağı jet düşüşünün yüksekliği, yükseklikten yaklaşık 4 kat daha büyük olduğu ortaya çıktı. H=H. Elbette bunlar, daha önce de belirtildiği gibi, deneysel olarak doğrulanması gereken yaklaşık değerler olacaktır.
İncelediğimiz tüm örnekler, hem ideal hem de gerçek sıvının jetindeki basıncın atmosfer basıncından daha düşük olamayacağını ikna edici bir şekilde göstermektedir. Bununla birlikte, duvar basıncı önemli ölçüde daha düşük olabilir ve bu, basınçlı tüpler kullanıldığında ortaya çıkar. İfadeyi (114) kullanarak, sıvı akışındaki basıncı belirlemek için manometrik tüp kullanılarak bulunan basıncı kullanabilirsiniz:
(139)
Bu ifadedeki ikinci terim aslında metodolojik bir ölçüm hatasıdır, çünkü bu bir cihaz hatası veya rastgele bir hata değil, ölçüm yönteminin kendisiyle ilişkili bir hatadır.
Formül (114), deneysel olarak bulunan bilinen bir duvar basıncında bir boru hattındaki sıvı hareketinin hızını belirlemek için kullanılabilir. Bunu yapmak için, (109) ve (107) ifadeleri dikkate alınarak genişletilmiş biçimde sunulmalıdır:
(140)
Şekil 7 ve 10'da sunulan iki basınç ölçümü durumunu ele alalım. İlk durumda (Şekil 7) 1. ve 2. bölümlerde manometrik tüpler tarafından gösterilen basınçlar, bu bölümlerdeki akışkan hızlarındaki farklılıktan dolayı h miktarı kadar farklılık gösterecektir. . Formül (140)'a göre yatay bir boru için duvar basınçları şuna eşit olacaktır:
; (141)
, (142)
bu nedenle aralarındaki fark şu ifadeyle belirlenir:
(143)
İlişkiyi (22) kullanarak, ifadeden (143) hızı buluyoruz V1:
(144)
İkinci durumda (Şekil 10), dar bir kesitte duvar ile atmosferik basınç arasında bir ilişki şeklinde bir ilişki kuruyoruz:
, (145)
Nerede rm- manometrik tüpteki sıvının yoğunluğu, H- tüp içindeki sıvının, atmosferik basınç altında kaptaki sıvı seviyesinin üzerindeki yüksekliği. İfadeden (145) sıvı akış hızını buluyoruz V:
(146)
Şimdi bir prob kullanarak sıvı akışı içindeki basıncı ölçerken hatayı bulalım (Şekil 29). Prob tüpünün akış ekseni boyunca yerleştirildiği durumu ele alalım. Bir tüpün varlığı, akış hareketinin doğasında bir değişikliğe, içindeki hız alanının düzeninde bir değişikliğe yol açacaktır (Şekil 30), çünkü tüp, borunun duvarları gibi yavaşlayacaktır. sıvı akışı. Hız alanı, akış hızının maksimum değerine göre iki kısma ayrılabilir VM: ilk kısım - yarıçap prob tüpünden r3 yarıçapa rm, maksimum hıza karşılık gelir ve ikinci kısım - itibaren rm boru duvarına, yani yarıçapa R.
Bu bölümlerdeki hız alanının aşağıdaki ifadelerle belirleneceğini varsayalım:
; (147)
(148)
Bu ifadelerden şu anlaşılıyor: R=rm hızlar ve aynı değere sahip olacak VM, ve ne zaman R=r3 Ve R=R sıfıra eşit olacaklar.
Karşılık gelen kinetik enerji alanlarının varlığı, prob tüpünden ve tüp duvarından akışın ortasına doğru yönlendirilen radyal atalet kuvvetlerinin ortaya çıkmasına neden olur. Bu kuvvetler akışı sıkıştıracak ve boru duvarında ve prob tüpünün yüzeyinde negatif basınç oluşturacaktır. Bu basınç, prob tarafından ölçülen statik basıncı azaltacaktır. Her iki alandaki negatif basıncın büyüklüğü yukarıda gösterildiği gibi ortalama kinetik enerji yoğunluğuyla belirlenecektir:
(149)
Bu basınç, prob tüpünün çapı arttıkça artacaktır, çünkü akış hızı artacaktır; bunun değeri akış sürekliliği koşulundan bulunabilir:
, (150)
Nerede V- prob tarafından rahatsız edilmeyen sıvı akışının hızı. İfadeden (150) şunu buluyoruz:
(151)
Böylece mevcut ölçüm cihazlarının bir sıvı akışı içindeki basıncı doğru bir şekilde ölçemediği ortaya çıktı. Bu durum, gördüğümüz gibi, basınç ölçüm tekniğinin kendisinden kaynaklanmaktadır.
Akışkanın akış hızının ve içindeki basıncın belirlenmesi problemine ilişkin analizimiz, bu problemin oldukça basit bir çözümü olmadığını göstermektedir. Bunun nedeni, her şeyden önce, bir katının aksine bir sıvının, parçacıkları arasında önemli ölçüde daha az yapışma nedeniyle şeklini kolayca değiştirmesidir. Yine de yapışma kuvvetleri, hem hidrolik sistemin içinde hem de dışında bulunan tüm sıvı hacminin hareketini etkilemek için yeterlidir. Yani, örneğin genişleyen konik bir ağızlıkla sıvı akışı artar, yani. gemiden çıkış hızı artar. Bu olay yalnızca düşen sıvının kütlesindeki artış ve dolayısıyla ilave basınçtaki artışla açıklanabilir. Bu nedenle hidrolik sistemin içindeki ve dışındaki akışkan, sistemin farklı yerlerinde farklı deformasyonlara maruz kalan tek bir gövde olarak düşünülmelidir.
Yukarıdakilerin hepsinin ışığında, bizzat Daniel Bernoulli tarafından elde edilen denklemin fiziksel özüne ilişkin soru ortaya çıkıyor.
Özünü açıklığa kavuşturmak için bu denklemin ifade biçimindeki (8) haline dönelim. Burada p1 Ve p2 Statik ve ve dinamik basınçlardır. Bu denklemden statik ve dinamik basınçların toplamı, yani; toplam basınç, temel akım tüpü için tüm uzunluğu boyunca sabit bir değerdir. Ancak bu ifade yalnızca tek bir koşul altında doğru olacaktır: baskı altında p2 Yukarıda gösterdiğimiz gibi, olarak belirttiğimiz sıvının reddedilen kısmından gelen karşı basınç olarak değil, söz konusu sıvı bölümünün akışındaki basınç olarak anlaşılmalıdır. Bernoulli yasasında bu koşul belirtilmemiş, hatta ima edilmemiştir.
Bernoulli yasasının özü başka bir şekilde yorumlanabilir. Statik basınç, enerjinin korunumu yasasına uygun olarak, bir akışkan hareket ettiğinde dinamik basınç miktarı kadar azalmalıdır, ancak aslında akışkan akışında dinamik bir basınç yoktur, çünkü ifade yalnızca gerçek basınç olarak kendini gösterir. akışın tamamı veya herhangi bir kısmı yavaşladığında. Aslında ifade hacimsel kinetik enerji yoğunluğudur, yani. Hareket eden akışkanın birim hacmi başına kinetik enerji miktarı. Aslında bu ifade, statik basıncın hareket enerjisine dönüşmesi nedeniyle oluşan kaybı temsil etmektedir. Bu nedenle statik basınca gidersek R basınç kaybını ekliyoruz, ardından sıvı hareketi olmadığında oluşacak orijinal statik basınca geri dönüyoruz. Yani baskı p1 Bernoulli denkleminde aslında orijinal basınçtan daha düşük bir basınç var p1. İkinci bölümdeki baskılar için de aynı şeyi söyleyebiliriz. Ancak denklem türetilirken bu durum da belirtilmez. Dolayısıyla, akışın birinci ve ikinci bölümlerinde sıvı hareketinden kaynaklanan karşılık gelen basınç kayıplarını basınçlara eklersek, o zaman denklem (8)'e dayanarak sıvı hareketi olmadığında her iki bölümdeki başlangıç ​​statik basıncının olduğunu söyleyebiliriz. aynıydı . Özünde bu, başlangıçtaki hidrostatik basıncın sabitliği yasasıdır, yani. bu, hareket eden bir akışkan için Pascal yasasının bir benzeridir.
Bernoulli yasasının fiziksel özünü açıklamanın başka bir yolu daha var. İfadenin, hareket eden bir sıvının kinetik enerjisinin hacimsel yoğunluğunu temsil ettiğini daha önce belirtmiştik. Açıkçası aynı şey statik basınç için de söylenebilir R Bu aynı zamanda enerji yoğunluğu olarak da düşünülebilir, ancak kinetik değil potansiyeldir. Ağırlık basıncı ile ilgili rgH o zaman sıvının ağırlığının potansiyel enerji yoğunluğu da düşünülebilir. Bu nedenle Bernoulli kanunu hacimsel enerji yoğunluğunun korunumu kanunu olarak da yorumlanabilir. sıvının birim hacmi başına enerjinin korunumu kanunu.
Dolayısıyla Bernoulli yasasının analizi, bunun enerjinin korunumu yasasıyla bağlantılı çok katı bir fiziksel anlama sahip olduğunu göstermektedir. Bununla birlikte, Bernoulli denklemi, ideal bir akışkan için bile bilinen basınçlardan akışkan akış hızlarını doğrudan bulmak için kullanılamaz veya tam tersi, akış daralma bölümündeki dış direnci ve direnci hesaba katmaz. Bu denklem türetilirken kuvvetlerin işi yanlış hesaplandı, çünkü hepsinin ilk bölüme indirgenmesi ve dolayısıyla yer değiştirme ile çarpılması gerekiyordu. Dl1. Hızları veya basınçları belirlemek için Bernoulli denklemini kullanmak önemli hatalara yol açar. İsteğe bağlı bir delikten sıvı akışının hızını belirlemek için Toricelli formülünü kullanmak da yasa dışıdır, çünkü bu durumda herhangi bir serbest düşüşten söz edilmez.
Sonuç olarak, Bernoulli yasası varlığı boyunca yanlış anlaşılmıştır; aslında mekaniğin efsanelerinden biridir, ancak onun yardımıyla hareket eden bir akışkandaki hemen hemen tüm hidrodinamik olayları (etkileri) açıklamanın mümkün olduğu ortaya çıkmıştır. Ve şaşırtıcı bir şekilde bu fırsat, bu denklemin türetilmesinde yapılan hatalardan dolayı ortaya çıktı. Öyle oldu ki, denklemi türetirken, basınç kuvvetlerinin tüm işi yalnızca eşit hacimdeki sıvının kinetik enerjisini, r kütlesini değiştirmek için harcandı. M Bunun sonucunda, esas olarak potansiyel enerjinin kinetik enerjiye geçişinden ve bunun sonucunda da sıvı akışının tüm bölümlerinde bu enerjilerin toplamının sabitliğinden oluşan fiziksel olarak anlamlı bir sonuç elde edildi.
Bernoulli yasasının yanlış anlaşılması, hareket eden bir akışkandaki kinetik enerji alanı ve buna eşlik eden gradyan kavramının bulunmamasıyla da kolaylaştırıldı.
Sonuç olarak, kohezyon kuvvetlerinin akışkan parçacıkları üzerindeki etkisi nedeniyle dış basıncın doğru bir şekilde bulunamaması nedeniyle elde ettiğimiz formüllerin yalnızca bir akışkan akışı içindeki hız ve basınçların yaklaşık hesaplaması için kullanılabileceğini hatırlamak gerekir.

Belgesel eğitici filmler. Seri "Fizik".

Daniel Bernoulli (29 Ocak (8 Şubat) 1700 - 17 Mart 1782), İsviçreli evrensel fizikçi, mekanik ve matematikçi, gazların kinetik teorisinin, hidrodinamiğin ve matematiksel fiziğin yaratıcılarından biri. St.Petersburg Bilimler Akademisi'nin akademisyeni ve yabancı onur üyesi (1733), Akademilerin üyesi: Bologna (1724), Berlin (1747), Paris (1748), Londra Kraliyet Cemiyeti (1750). Johann Bernoulli'nin oğlu.

Bernoulli yasası (denklem)(en basit durumlarda) ideal (yani iç sürtünmesiz) sıkıştırılamaz bir akışkanın sabit akışı için enerjinin korunumu yasasının bir sonucudur:

Burada

Bernoulli denklemi, hareketli bir akışkanın momentum dengesini ifade eden Euler denkleminin bir sonucu olarak da türetilebilir.

Bilimsel literatürde Bernoulli yasasına genellikle denir. Bernoulli denklemi(Bernoulli'nin diferansiyel denklemiyle karıştırılmamalıdır), Bernoulli teoremi veya Bernoulli integrali.

Sağ taraftaki sabite genellikle denir tam basınç ve genel durumda akış çizgisine bağlıdır.

Tüm terimlerin boyutu, sıvının birim hacmi başına enerji birimidir. Bernoulli integralindeki birinci ve ikinci terimler, sıvının birim hacmi başına kinetik ve potansiyel enerji anlamına gelir. Kökenindeki üçüncü terimin basınç kuvvetlerinin işi olduğu ve herhangi bir özel enerji türünün (“basınç enerjisi”) rezervini temsil etmediği unutulmamalıdır.

Yukarıda verilene yakın bir ilişki 1738 yılında Daniel Bernoulli tarafından elde edilmiştir. Bernoulli integrali. Modern haliyle integral, Johann Bernoulli tarafından 1740 civarında elde edildi.

Yatay bir boru için yükseklik sabittir ve Bernoulli denklemi şu şekli alır: .

Bernoulli denkleminin bu formu, Euler denkleminin sabit yoğunlukta sabit tek boyutlu sıvı akışı için entegre edilmesiyle elde edilebilir: .

Bernoulli kanununa göre, sabit bir akışkan akışındaki toplam basınç, bu akış boyunca sabit kalır.

Toplam basınç ağırlık, statik ve dinamik basınçtan oluşur.

Bernoulli kanununa göre hızdaki artışa, yani dinamik basınca bağlı olarak akış kesiti azaldıkça statik basınç düşer. Magnus etkisinin ana nedeni budur. Bernoulli kanunu laminer gaz akışları için de geçerlidir. Akış hızındaki artışla basınçta azalma olgusu, çeşitli tipteki akış ölçerlerin (örneğin bir Venturi tüpü), su ve buhar jeti pompalarının çalışmasının temelini oluşturur. Ve Bernoulli yasasının tutarlı bir şekilde uygulanması, teknik bir hidromekanik disiplinin - hidrolik - ortaya çıkmasına yol açtı.

Bernoulli kanunu saf haliyle yalnızca viskozitesi sıfır olan sıvılar için geçerlidir. Teknik akışkanlar mekaniğinde (hidrolik) gerçek akışkanların akışını yaklaşık olarak hesaplamak için Bernoulli integrali, yerel ve dağıtılmış dirençlerden kaynaklanan kayıpları hesaba katan terimlerin eklenmesiyle birlikte kullanılır.

Bernoulli integralinin genellemeleri, manyetohidrodinamik ve ferrohidrodinamikteki belirli viskoz akışkan akış sınıfları (örneğin düzlemsel paralel akışlar için) için bilinmektedir.