Bir düzlemin denklemi. Bir düzlemin denklemi nasıl yazılır?
Uçakların karşılıklı düzenlenmesi. Görevler

Uzaysal geometri “düz” geometriden çok daha karmaşık değildir ve uzaydaki uçuşlarımız bu makaleyle başlıyor. Konuya hakim olmak için iyi bir anlayışa sahip olmanız gerekir. vektörler Ek olarak, düzlemin geometrisine aşina olmanız tavsiye edilir - pek çok benzerlik, birçok benzetme olacak, böylece bilgiler çok daha iyi sindirilecektir. Bir dizi dersimde 2 boyutlu dünya bir makaleyle açılıyor Düzlemde düz bir çizginin denklemi. Ama şimdi Batman düz TV ekranını terk etti ve Baykonur Kozmodromundan fırlatılıyor.

Çizimler ve sembollerle başlayalım. Şematik olarak düzlem, uzay izlenimi yaratan bir paralelkenar şeklinde çizilebilir:

Düzlem sonsuzdur ama biz onun sadece bir parçasını tasvir etme imkanına sahibiz. Pratikte paralelkenarın yanı sıra bir oval veya hatta bir bulut da çizilir. Teknik nedenlerden dolayı uçağı tam olarak bu şekilde ve tam olarak bu konumda tasvir etmek benim için daha uygun. Pratik örneklerde ele alacağımız gerçek uçaklar herhangi bir şekilde yerleştirilebilir - çizimi zihinsel olarak elinize alın ve uzayda döndürerek uçağa herhangi bir eğim, herhangi bir açı verin.

Tanımlar: Uçaklar, görünüşe göre onları karıştırmamak için genellikle küçük Yunanca harflerle gösterilir. uçakta düz çizgi veya ile uzayda düz çizgi. Mektubu kullanmaya alışkınım. Çizimde "sigma" harfi var, hiç delik yok. Her ne kadar delikli uçak kesinlikle oldukça komik olsa da.

Bazı durumlarda, uçakları belirtmek için aynı Yunan harflerini daha düşük alt simgelerle kullanmak uygundur, örneğin .

Düzlemin aynı doğru üzerinde yer almayan üç farklı nokta tarafından benzersiz bir şekilde tanımlandığı açıktır. Bu nedenle, uçakların üç harfli tanımları oldukça popülerdir - örneğin kendilerine ait noktalara göre vb. Çoğu zaman harfler parantez içine alınır: Düzlemi başka bir geometrik şekille karıştırmamak için.

Deneyimli okuyucular için vereceğim hızlı erişim menüsü:

• Bir nokta ve iki vektör kullanarak bir düzlemin denklemi nasıl oluşturulur?
• Bir nokta ve normal bir vektör kullanarak bir düzlemin denklemi nasıl oluşturulur?

ve uzun süre beklemekten vazgeçmeyeceğiz:

Genel düzlem denklemi

Düzlemin genel denklemi katsayıların aynı anda sıfıra eşit olmadığı şeklindedir.

Bir takım teorik hesaplamalar ve pratik problemler hem alışılagelmiş ortonormal baz hem de uzayın afin esası için geçerlidir (eğer petrol petrol ise derse geri dönün) Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli). Basitlik açısından, tüm olayların ortonormal temelde ve Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde gerçekleştiğini varsayacağız.

Şimdi mekansal hayal gücümüzü biraz deneyelim. Seninki kötüyse sorun değil, şimdi onu biraz geliştireceğiz. Sinirlerle oynamak bile eğitim gerektirir.

En genel durumda sayılar sıfıra eşit olmadığında düzlem üç koordinat eksenini de keser. Örneğin şöyle:

Uçağın her yöne süresiz olarak devam ettiğini bir kez daha tekrar ediyorum, sadece bir kısmını tasvir etme fırsatımız var.

Düzlemlerin en basit denklemlerini ele alalım:

Bu denklem nasıl anlaşılır? Bir düşünün: "X" ve "Y"nin herhangi bir değeri için "Z" HER ZAMAN sıfıra eşittir. Bu "yerel" koordinat düzleminin denklemidir. Aslında denklem resmi olarak şu şekilde yeniden yazılabilir: Buradan “x” ve “y”nin hangi değerleri alacağının bizi ilgilendirmediğini açıkça görebilirsiniz, “z”nin sıfıra eşit olması önemlidir.

Aynı şekilde:
– koordinat düzleminin denklemi;
– koordinat düzleminin denklemi.

Sorunu biraz karmaşıklaştıralım, bir düzlem düşünün (burada ve paragrafın ilerisinde sayısal katsayıların sıfıra eşit olmadığını varsayıyoruz). Denklemi şu şekilde yeniden yazalım: . Bunu nasıl anlamalıyız? “X” HER ZAMAN, “Y” ve “Z”nin herhangi bir değeri için belirli bir sayıya eşittir. Bu düzlem koordinat düzlemine paraleldir. Örneğin bir düzlem bir düzleme paraleldir ve bir noktadan geçer.

Aynı şekilde:
– Koordinat düzlemine paralel olan bir düzlemin denklemi;
– Koordinat düzlemine paralel olan bir düzlemin denklemi.

Üye ekleyelim: . Denklem şu şekilde yeniden yazılabilir: yani "zet" herhangi bir şey olabilir. Bu ne anlama geliyor? "X" ve "Y", düzlemde belirli bir düz çizgi çizen ilişkiyle bağlanır (öğreneceksiniz) düzlemdeki bir doğrunun denklemi?). "Z" herhangi bir şey olabileceğinden, bu düz çizgi herhangi bir yükseklikte "çoğaltılır". Böylece denklem koordinat eksenine paralel bir düzlemi tanımlar

Aynı şekilde:
– Koordinat eksenine paralel olan bir düzlemin denklemi;
– Koordinat eksenine paralel olan bir düzlemin denklemi.

Serbest terimler sıfırsa, düzlemler doğrudan karşılık gelen eksenlerden geçecektir. Örneğin klasik “doğru orantılılık”: . Düzlemde düz bir çizgi çizin ve bunu zihinsel olarak yukarı ve aşağı doğru çarpın (“Z” herhangi bir şey olduğundan). Sonuç: Denklemin tanımladığı düzlem koordinat ekseninden geçer.

İncelemeyi tamamlıyoruz: düzlemin denklemi orijinden geçer. Burada noktanın bu denklemi sağladığı oldukça açık.

Ve son olarak, çizimde gösterilen durum: – düzlem tüm koordinat eksenleriyle dosttur, ancak her zaman sekiz sekizliden herhangi birinde bulunabilen bir üçgeni “keser”.

Uzayda doğrusal eşitsizlikler

Bilgileri anlamak için iyi çalışmanız gerekir düzlemdeki doğrusal eşitsizliklerçünkü pek çok şey benzer olacak. Materyal pratikte oldukça nadir olduğundan paragraf, birkaç örnek içeren kısa bir genel bakış niteliğinde olacaktır.

Denklem bir düzlemi tanımlıyorsa eşitsizlikler
sormak yarım boşluklar. Eşitsizlik katı değilse (listedeki son ikisi), o zaman eşitsizliğin çözümü yarım uzaya ek olarak düzlemin kendisini de içerir.

Örnek 5

Düzlemin birim normal vektörünü bulun .

Çözüm: Birim vektör, uzunluğu bir olan bir vektördür. Bu vektörü ile gösterelim. Vektörlerin doğrusal olduğu kesinlikle açıktır:

İlk önce normal vektörü düzlemin denkleminden çıkarıyoruz: .

Birim vektör nasıl bulunur? Birim vektörü bulmak için ihtiyacınız olan şey Her vektör koordinatını vektör uzunluğuna böl.

Normal vektörü formda yeniden yazalım ve uzunluğunu bulalım:

Yukarıdakilere göre:

Cevap:

Doğrulama: Doğrulanması gerekenler.

Dersin son paragrafını dikkatle inceleyen okuyucular muhtemelen şunu fark etmişlerdir: birim vektörün koordinatları tam olarak vektörün yön kosinüsleridir:

Eldeki soruna biraz ara verelim: sıfır olmayan rastgele bir vektör verildiğinde ve duruma göre yön kosinüslerini bulmak gerekir (dersin son problemlerine bakın) Vektörlerin nokta çarpımı), o zaman aslında buna eşdoğrusal bir birim vektör bulursunuz. Aslında bir şişede iki görev.

Birim normal vektörü bulma ihtiyacı bazı matematiksel analiz problemlerinde ortaya çıkar.

Normal bir vektörü nasıl bulacağımızı bulduk, şimdi tam tersi soruyu cevaplayalım:

Bir nokta ve normal bir vektör kullanarak bir düzlemin denklemi nasıl oluşturulur?

Normal bir vektörün ve bir noktanın bu katı yapısı dart tahtası tarafından iyi bilinmektedir. Lütfen elinizi öne doğru uzatın ve zihinsel olarak uzayda rastgele bir nokta seçin; örneğin büfedeki küçük bir kedi. Açıkçası, bu noktadan elinize dik olan tek bir düzlem çizebilirsiniz.

Vektöre dik bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Bir düzlemin genel denklemini elde etmek için belirli bir noktadan geçen düzlemi analiz edelim.

Uzayda zaten bildiğimiz üç koordinat ekseni olsun - Öküz, Oy Ve Oz. Kağıdı düz kalacak şekilde tutun. Düzlem, sayfanın kendisi ve her yöne devamı olacaktır.

İzin vermek P uzayda rastgele düzlem. Kendisine dik olan her vektöre denir. normal vektör bu uçağa. Doğal olarak sıfır olmayan bir vektörden bahsediyoruz.

Düzlemdeki herhangi bir nokta biliniyorsa P ve buna normal bir vektör varsa, bu iki koşulla uzaydaki düzlem tamamen tanımlanır(belirli bir noktadan belirli bir vektöre dik tek bir düzlem çizebilirsiniz). Düzlemin genel denklemi şöyle olacaktır:

Yani düzlemin denklemini tanımlayan koşullar şunlardır. Kendine gelmek için düzlem denklemi yukarıdaki forma sahip olarak uçağa binin P keyfi nokta M değişken koordinatlarla X, sen, z. Bu nokta yalnızca şu durumlarda düzleme aittir: vektör vektöre dik(Şekil 1). Bunun için vektörlerin diklik şartına göre bu vektörlerin skaler çarpımının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir, yani

Vektör koşulla belirtilir. Formülü kullanarak vektörün koordinatlarını buluyoruz :

.

Şimdi vektör formülünün skaler çarpımını kullanarak , skaler çarpımı koordinat biçiminde ifade ederiz:

noktadan beri M(x; y; z) düzlemde keyfi olarak seçilirse, son denklem düzlemde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanır. P. Bir noktaya kadar N, belirli bir düzlemde yatmamak, yani. eşitlik (1) ihlal edilmiştir.

Örnek 1. Bir noktadan geçen ve vektöre dik olan bir düzlemin denklemini yazınız.

Çözüm. Formül (1)'i kullanalım ve tekrar bakalım:

Bu formüldeki sayılar A , B Ve C vektör koordinatları ve sayılar X0 , sen0 Ve z0 - noktanın koordinatları.

Hesaplamalar çok basit: Bu sayıları formülde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

Çarpılması gereken her şeyi çarpıyoruz ve sadece sayıları (harf içermeyen) ekliyoruz. Sonuç:

.

Bu örnekte gerekli düzlem denkleminin değişken koordinatlara göre birinci dereceden genel bir denklemle ifade edildiği ortaya çıktı. x, y, z düzlemin keyfi noktası.

Yani, formun bir denklemi

isminde genel düzlem denklemi .

Örnek 2. Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde denklemle verilen bir düzlem oluşturun .

Çözüm. Bir düzlem oluşturmak için, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan herhangi üç noktasından (örneğin düzlemin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları) bilinmesi gerekli ve yeterlidir.

Bu noktalar nasıl bulunur? Eksenle kesişme noktasını bulmak için Oz, problem tanımında verilen denklemde X ve Y'nin yerine sıfırları koymanız gerekir: X = sen= 0. Bu nedenle alıyoruz z= 6. Böylece verilen düzlem eksenle kesişir Oz noktada A(0; 0; 6) .

Aynı şekilde düzlemin eksenle kesişme noktasını da buluyoruz Oy. Şu tarihte: X = z= 0 elde ederiz sen= −3, yani nokta B(0; −3; 0) .

Ve son olarak düzlemimizin eksenle kesişme noktasını buluyoruz Öküz. Şu tarihte: sen = z= 0 elde ederiz X= 2, yani bir nokta C(2; 0; 0) . Çözümümüzde elde edilen üç noktaya dayanarak A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) ve C(2; 0; 0) verilen düzlemi oluşturun.

Şimdi düşünelim genel düzlem denkleminin özel durumları. Bunlar, denklem (2)'nin belirli katsayılarının sıfır olduğu durumlardır.

1. Ne zaman d= 0 denklem noktanın koordinatları olduğundan orijinden geçen bir düzlemi tanımlar 0 (0; 0; 0) bu denklemi karşılar.

2. Ne zaman bir= 0 denklem eksene paralel bir düzlemi tanımlar Öküz, bu düzlemin normal vektörü eksene dik olduğundan Öküz(eksen üzerine izdüşümü Öküz sıfıra eşit). Benzer şekilde, ne zaman B= 0 düzlem eksene paralel Oy, ve ne zaman C= 0 düzlem eksene paralel Oz.

3. Ne zaman bir=D= 0 denklemi eksenden geçen bir düzlemi tanımlar Öküz eksene paralel olduğundan Öküz (bir=d= 0). Benzer şekilde düzlem eksenden geçer Oy ve eksenden geçen düzlem Oz.

4. Ne zaman A=B= 0 denklemi koordinat düzlemine paralel bir düzlemi tanımlar xOy eksenlere paralel olduğundan Öküz (A= 0) ve Oy (B= 0). Benzer şekilde düzlem düzleme paraleldir yOz ve uçak uçaktır xOz.

5. Ne zaman A=B=D= 0 denklemi (veya z = 0) koordinat düzlemini tanımlar xOy düzleme paralel olduğundan xOy (A=B= 0) ve orijinden geçer ( d= 0). Aynı şekilde Denk. y= Uzayda 0 koordinat düzlemini tanımlar xOz ve denklem x = 0 - koordinat düzlemi yOz.

Örnek 3. Düzlemin denklemini oluşturun P, eksenden geçen Oy ve dönem.

Çözüm. Yani düzlem eksenden geçer Oy. Bu nedenle denkleminde sen= 0 ve bu denklem şu şekildedir: Katsayıları belirlemek için A Ve C noktanın düzleme ait olmasından yararlanalım P .

Bu nedenle, koordinatları arasında, daha önce türettiğimiz () düzlem denklemine ikame edilebilecek olanlar vardır. Noktanın koordinatlarına tekrar bakalım:

M0 (2; −4; 3) .

Aralarında X = 2 , z= 3 . Bunları genel denklemde yerine koyarız ve özel durumumuz için denklemi elde ederiz:

2A + 3C = 0 .

2'den ayrıl A denklemin sol tarafında 3'ü hareket ettirin C sağ tarafa ve alıyoruz

A = −1,5C .

Bulunan değerin değiştirilmesi A denklemde şunu elde ederiz

veya .

Örnek koşulda gerekli olan denklem budur.

Düzlem denklem problemini kendiniz çözün ve sonra çözüme bakın

Örnek 4. Düzlem(ler) denklem tarafından verilmişse, koordinat eksenlerine veya koordinat düzlemlerine göre bir düzlem (veya birden fazla varsa düzlemler) tanımlayın.

Testler sırasında ortaya çıkan tipik problemlerin çözümleri “Düzlemdeki problemler: paralellik, diklik, üç düzlemin bir noktada kesişimi” ders kitabında bulunmaktadır.

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

Daha önce de belirtildiği gibi, bir düzlem oluşturmak için bir nokta ve normal vektöre ek olarak gerekli ve yeterli koşul, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadır.

Aynı doğru üzerinde olmayan üç farklı nokta verilsin. Belirtilen üç nokta aynı çizgide bulunmadığından, vektörler eşdoğrusal değildir ve bu nedenle düzlemdeki herhangi bir nokta, noktalarla aynı düzlemde yer alır ve ancak ve ancak vektörler , ve eş düzlemli, yani o zaman ve yalnızca ne zaman bu vektörlerin karışık çarpımı sıfıra eşittir.

Koordinatlardaki karışık çarpım ifadesini kullanarak düzlemin denklemini elde ederiz.

(3)

Determinant ortaya çıktıktan sonra, bu denklem (2) formunun bir denklemi haline gelir, yani Düzlemin genel denklemi.

Örnek 5. Aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini yazınız:

ve eğer varsa bir doğrunun genel denkleminin özel bir durumunu belirleyin.

Çözüm. Formül (3)'e göre elimizde:

Normal düzlem denklemi. Noktadan düzleme uzaklık

Bir düzlemin normal denklemi, şu şekilde yazılmış denklemidir:

Bu makale, üç boyutlu uzayda belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlem için denklemin nasıl oluşturulacağı hakkında bir fikir vermektedir. Tipik problemlerin çözümü örneğini kullanarak verilen algoritmayı analiz edelim.

Belirli bir çizgiye dik olarak uzayda belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulma

İçinde üç boyutlu bir uzay ve O x y z dikdörtgen koordinat sistemi verilsin. M 1 noktası (x 1, y 1, z 1), a doğrusu ve M 1 noktasından a doğrusuna dik olarak geçen α düzlemi de verilmiştir. α düzleminin denklemini yazmak gerekir.

Bu problemi çözmeye başlamadan önce, 10-11. sınıflar için müfredattaki geometri teoremini hatırlayalım:

Tanım 1

Üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan, belirli bir düz çizgiye dik olan tek bir düzlem geçer.

Şimdi başlangıç ​​noktasından geçen ve verilen doğruya dik olan bu tek düzlemin denklemini nasıl bulacağımıza bakalım.

Bir düzlemin normal vektörünün koordinatları kadar, bu düzleme ait bir noktanın koordinatları da biliniyorsa, bu düzlemin genel denklemini yazmak mümkündür.

Problemin koşulları bize α düzleminin geçtiği M1 noktasının x 1, y 1, z 1 koordinatlarını verir. α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını belirlersek gerekli denklemi yazabileceğiz.

α düzleminin normal vektörü, sıfırdan farklı olduğundan ve a çizgisi üzerinde, α düzlemine dik olduğundan, a çizgisinin herhangi bir yön vektörü olacaktır. Böylece, a düzleminin normal vektörünün koordinatlarını bulma problemi, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleme problemine dönüştürülür.

Düz çizgi a'nın yön vektörünün koordinatlarının belirlenmesi farklı yöntemlerle gerçekleştirilebilir: bu, başlangıç ​​koşullarında düz çizgi a'nın belirtilmesi seçeneğine bağlıdır. Örneğin, eğer problem ifadesindeki düz çizgi a, şu formdaki kanonik denklemlerle veriliyorsa

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

veya formun parametrik denklemleri:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

o zaman düz çizginin yön vektörü a x, a y ve a z koordinatlarına sahip olacaktır. Düz çizgi a'nın iki M 2 (x 2, y 2, z 2) ve M 3 (x 3, y 3, z 3) noktasıyla temsil edilmesi durumunda, yön vektörünün koordinatları şu şekilde belirlenecektir: ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Tanım 2

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulma algoritması:

A düz çizgisinin yön vektörünün koordinatlarını belirliyoruz: bir → = (a x, a y, a z) ;

α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatları olarak tanımlarız:

n → = (A , B , C) , burada A = a x, B = a y, C = a z;

M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından geçen ve normal vektöre sahip düzlemin denklemini yazıyoruz n → = (A, B, C) A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 formunda. Bu, uzayda belirli bir noktadan geçen ve belirli bir çizgiye dik olan bir düzlemin gerekli denklemi olacaktır.

Düzlemin sonuçta ortaya çıkan genel denklemi şöyledir: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0, parçalar halindeki düzlemin denklemini veya düzlemin normal denklemini elde etmeyi mümkün kılar.

Yukarıda elde edilen algoritmayı kullanarak birkaç örneği çözelim.

örnek 1

Düzlemin içinden geçtiği bir M 1 (3, - 4, 5) noktası verilmiştir ve bu düzlem O z koordinat çizgisine diktir.

Çözüm

O z koordinat çizgisinin yön vektörü, k ⇀ = (0, 0, 1) koordinat vektörü olacaktır. Bu nedenle düzlemin normal vektörü (0, 0, 1) koordinatlarına sahiptir. Normal vektörü koordinatları (0, 0, 1) olan belirli bir M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlemin denklemini yazalım:

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Cevap: z – 5 = 0 .

Bu sorunu çözmenin başka bir yolunu düşünelim:

Örnek 2

O z çizgisine dik olan bir düzlem, C z + D = 0, C ≠ 0 formundaki tamamlanmamış bir genel düzlem denklemiyle verilecektir. C ve D değerlerini belirleyelim: uçağın belirli bir noktadan geçtiği değerler. Bu noktanın koordinatlarını C z + D = 0 denkleminde yerine koyarsak: C · 5 + D = 0 elde ederiz. Onlar. sayılar, C ve D - D C = 5 ilişkisi ile ilişkilidir. C = 1 alarak D = - 5 elde ederiz.

Bu değerleri C z + D = 0 denkleminde yerine koyalım ve O z düz çizgisine dik olan ve M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlemin gerekli denklemini elde edelim.

Şöyle görünecektir: z – 5 = 0.

Cevap: z – 5 = 0 .

Örnek 3

Orijinden geçen ve x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 doğrusuna dik olan bir düzlemin denklemini yazın

Çözüm

Problemin koşullarına bağlı olarak, belirli bir doğrunun yön vektörünün, belirli bir düzlemin normal vektörü n → olarak alınabileceği ileri sürülebilir. Böylece: n → = (- 3 , - 7 , 2) . O (0, 0, 0) noktasından geçen ve normal vektörü n → = (- 3, - 7, 2) olan bir düzlemin denklemini yazalım:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Belirli bir doğruya dik koordinatların orijininden geçen bir düzlemin gerekli denklemini elde ettik.

Cevap:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Örnek 4

Üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z verilmiştir, içinde iki A (2, - 1, - 2) ve B (3, - 2, 4) noktası vardır. α düzlemi, A B doğrusuna dik olarak A noktasından geçer. α düzlemi için segmentler halinde bir denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

α düzlemi A B doğrusuna diktir, bu durumda A B → vektörü α düzleminin normal vektörü olacaktır. Bu vektörün koordinatları, B (3, - 2, 4) ve A (2, - 1, - 2) noktalarının karşılık gelen koordinatları arasındaki fark olarak tanımlanır:

Bir B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ Bir B → = (1 , - 1 , 6)

Düzlemin genel denklemi şu şekilde yazılacaktır:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Şimdi düzlemin gerekli denklemini parçalar halinde oluşturalım:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Cevap:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Ayrıca, belirli bir noktadan geçen ve verilen iki düzleme dik bir düzlemin denkleminin yazılması gereken problemlerin de mevcut olduğu unutulmamalıdır. Genel olarak bu problemin çözümü, belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem oluşturmaktır, çünkü kesişen iki düzlem düz bir çizgiyi tanımlar.

Örnek 5

Dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z verilmiştir, içinde bir M 1 (2, 0, - 5) noktası vardır. a düz çizgisi boyunca kesişen 3 x + 2 y + 1 = 0 ve x + 2 z – 1 = 0 iki düzlemin denklemleri de verilmiştir. M1 noktasından a düz çizgisine dik geçen bir düzlem için denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleyelim. Hem n → (1, 0, 2) düzleminin normal vektörü n 1 → (3, 2, 0)'e hem de x + 2 z - düzleminin 3 x + 2 y + 1 = 0 normal vektörüne diktir. 1 = 0 düzlem.

Daha sonra, yönlendirici vektör α → a doğrusu olarak, n 1 → ve n 2 → vektörlerinin vektör çarpımını alırız:

a → = n 1 → × n 2 → = ben → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 ben → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Böylece n → = (4, - 6, - 2) vektörü a doğrusuna dik olan düzlemin normal vektörü olacaktır. Düzlemin gerekli denklemini yazalım:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Cevap: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.

Herhangi bir noktadan geçen sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.

Çakışmayan herhangi iki noktadan tek bir doğru çizilebilir.

Bir düzlemde birbirinden farklı iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da

paralel (öncekinin devamı).

Üç boyutlu uzayda iki çizginin göreceli konumu için üç seçenek vardır:

• çizgiler kesişiyor;

• çizgiler paraleldir;

• düz çizgiler kesişir.

Dümdüz astar— birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi

düzlemde birinci dereceden bir denklemle verilir ( Doğrusal Denklem).

Düz bir çizginin genel denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel

bir doğrunun denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B Ve İLE Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

. C = 0, Bir ≠0, B ≠ 0- orijinden düz bir çizgi geçer

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = 0, Bir ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi kuruluş birimi

. B = C = 0, Bir ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor kuruluş birimi

. bir = C = 0, B ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

Düz bir çizginin denklemi verilen herhangi bir duruma bağlı olarak farklı biçimlerde sunulabilir.

başlangıç ​​koşulları.

Bir noktadan ve normal bir vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde vektör(A, B) bileşenleriyle

denklemin verdiği çizgiye dik

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulun bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).

Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini yazalım: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için

Verilen A noktasının koordinatlarını sonuçtaki ifadeye koyalım: 3 - 2 + C = 0, dolayısıyla.

C = -1. Toplam: gerekli denklem: 3x - y - 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) Ve M2 (x 2, y 2, z 2), Daha sonra bir çizginin denklemi,

şu noktalardan geçerek:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık

düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

Eğer x 1 ≠ x 2 Ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .

Kesir = k isminde eğim dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Doğrunun genel denklemi ise Balta + Wu + C = 0şunlara yol açar:

ve atayın , sonra ortaya çıkan denklem denir

eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal vektör boyunca düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetilerek göreve girebilirsiniz.

bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yönlendirici vektörü.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör (a 1, a 2) bileşenleri koşulu karşılayan

Aα 1 + Bα 2 = 0 isminde Bir doğrunun yönlendirici vektörü.

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.

Çözüm. İstenilen çizginin denklemini formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre,

katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.

en x = 1, y = 2 aldık C/A = -3, yani gerekli denklem:

x + y - 3 = 0

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, -С'ye bölerek şunu elde ederiz:

veya nerede

Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişme noktasının koordinatı olmasıdır.

eksenli düz Ah, A B- çizginin eksenle kesişme noktasının koordinatı OU.

Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini segmentler halinde bulun.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı ise Balta + Wu + C = 0 sayıya böl buna denir

normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcosφ + ysinφ - p = 0 -bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti şu şekilde seçilmelidir: µ*C< 0.

R- Başlangıç ​​noktasından düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,

A φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ah.

Örnek. Doğrunun genel denklemi verilmiştir 12x - 5y - 65 = 0. Farklı türde denklemler yazmak için gereklidir

bu düz çizgi.

Bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

Bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)

Bir çizginin denklemi:

çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

eksenlere paralel veya orijinden geçen.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki satır verilirse y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, daha sonra bu çizgiler arasındaki dar açı

olarak tanımlanacak

İki doğru paralel ise k1 = k2. İki çizgi birbirine dik

Eğer k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Doğrudan Balta + Wu + C = 0 Ve bir 1 x + B 1 y + C 1 = 0 katsayılar orantılı olduğunda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Ayrıca C 1 = λС, o zaman çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları

bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi.

Tanım. Bir noktadan geçen çizgi M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b

denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. Bir puan verilirse M(x 0, y 0), daha sonra düz çizgiye olan mesafe Balta + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. Bırakın nokta M 1 (x 1, y 1)- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı M belirli bir süre için

doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M Ve M1:

(1)

Koordinatlar x 1 Ve 1'de denklem sisteminin çözümü olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.

düz çizgi verilmiştir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.