Denklemin işaretini ters çevirin. Eşitsizlikler

Sayısal eşitsizlikleri kullandığımız okulda eşitsizlikleri öğrendik. Bu yazıda, onlarla çalışma ilkelerinin oluşturulduğu sayısal eşitsizliklerin özelliklerini ele alacağız.

Eşitsizliklerin özellikleri sayısal eşitsizliklerin özelliklerine benzer. Özellikleri, gerekçeleri ele alınacak ve örnekler verilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sayısal eşitsizlikler: tanım, örnekler

Eşitsizlik kavramını tanıtırken kayıt türüne göre tanımının yapıldığını görüyoruz. ≠ işaretli cebirsel ifadeler vardır,< , >, ≤ , ≥ . Bir tanım verelim.

Tanım 1

Sayısal eşitsizlik her iki tarafın da sayılara ve sayısal ifadelere sahip olduğu eşitsizlik denir.

Doğal sayıları öğrendikten sonra okulda sayısal eşitsizlikleri dikkate alıyoruz. Bu tür karşılaştırma işlemleri adım adım incelenmektedir. İlk olanlar 1'e benziyor< 5 , 5 + 7 >3. Kurallar tamamlandıktan ve eşitsizlikler daha karmaşık hale geldikten sonra 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 formundaki eşitsizlikleri elde ederiz. 73 - 17 2< 0 .

Sayısal eşitsizliklerin özellikleri

Eşitsizliklerle doğru şekilde çalışmak için sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kullanmanız gerekir. Eşitsizlik kavramından geliyorlar. Bu kavram “daha fazla” veya “daha az” şeklinde ifade edilen bir ifade kullanılarak tanımlanır.

Tanım 2

a - b farkı pozitif bir sayı olduğunda a sayısı b'den büyüktür;
a - b farkı negatif bir sayı olduğunda a sayısı b'den küçüktür;
a - b farkı sıfır olduğunda a sayısı b'ye eşittir.

Tanım, “küçük veya eşit”, “büyük veya eşit” ilişkileriyle eşitsizliklerin çözümünde kullanılır. bunu anladık

Tanım 3

a - b negatif olmayan bir sayı olduğunda a, b'den büyük veya ona eşittir;
a - b pozitif olmayan bir sayı olduğunda a, b'den küçük veya ona eşittir.

Tanımlar sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kanıtlamak için kullanılacaktır.

Temel özellikler

3 ana eşitsizliğe bakalım. İşaretlerin kullanımı< и >aşağıdaki özelliklerin karakteristiği:

Tanım 4

yansıma önleyici, bu da eşitsizliklerden herhangi bir a sayısının a olduğunu söylüyor< a и a >a yanlış kabul edilir. Herhangi bir a için a − a = 0 eşitliğinin sağlandığı bilinmektedir, dolayısıyla a = a sonucunu elde ederiz. Yani bir< a и a >a yanlıştır. Örneğin, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 yanlıştır.
asimetri. A ve b sayıları a olacak şekilde olduğundaa ve eğer a > b ise b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a A. İkinci kısmı da benzer şekilde ispatlanmıştır.

örnek 1

Örneğin, 5 eşitsizliği verildiğinde< 11 имеем, что 11 >5, yani sayısal eşitsizliği − 0, 27 > − 1, 3, − 1, 3 olarak yeniden yazılacaktır< − 0 , 27 .

Bir sonraki özelliğe geçmeden önce, asimetrinin yardımıyla eşitsizliği sağdan sola veya tam tersi şekilde okuyabileceğinizi unutmayın. Bu şekilde sayısal eşitsizlikler değiştirilebilir ve değiştirilebilir.

Tanım 5

geçişlilik. a, b, c sayıları a koşulunu karşıladığındab ve b > c , ardından a > c .

Kanıt 1

İlk ifade kanıtlanabilir. Koşul a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Geçişlilik özelliğinin bulunduğu ikinci kısım da benzer şekilde kanıtlanır.

Örnek 2

Analiz edilen özelliği eşitsizlik örneğini kullanarak ele alıyoruz - 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 ve 1 8 > 1 32, bundan 1 2 > 1 32 sonucu çıkar.

Zayıf eşitsizlik işaretleri kullanılarak yazılan sayısal eşitsizlikler yansıma özelliğine sahiptir çünkü a ≤ a ve a ≥ a, a = a eşitliği durumuna sahip olabilir. Asimetri ve geçişlilik ile karakterize edilirler.

Tanım 6

Yazısında ≤ ve ≥ işaretleri bulunan eşitsizlikler aşağıdaki özelliklere sahiptir:

dönüşlülük a ≥ a ve a ≤ a gerçek eşitsizlikler olarak kabul edilir;
antisimetri, a ≤ b olduğunda b ≥ a olur ve a ≥ b olduğunda b ≤ a olur.
geçişlilik, a ≤ b ve b ≤ c olduğunda a ≤ c olur ve ayrıca a ≥ b ve b ≥ c ise a ≥ c olur.

Kanıt benzer şekilde gerçekleştirilir.

Sayısal eşitsizliklerin diğer önemli özellikleri

Eşitsizliklerin temel özelliklerini desteklemek için pratik önemi olan sonuçlar kullanılır. Yöntemin prensibi, eşitsizlikleri çözme ilkelerinin dayandığı ifadelerin değerlerini tahmin etmek için kullanılır.

Bu paragraf, katı eşitsizliğin bir işareti için eşitsizliklerin özelliklerini ortaya koymaktadır. Aynı şey katı olmayanlar için de yapılır. Eşitsizliği formüle eden bir örneğe bakalım:< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

a > b ise a + c > b + c;
a ≤ b ise a + c ≤ b + c;
a ≥ b ise a + c ≥ b + c olur.

Uygun bir sunum için, yazılı olan ve kanıtların verildiği ilgili ifadeyi veriyoruz, kullanım örnekleri gösteriliyor.

Tanım 7

Her iki tarafa da sayı eklemek veya hesaplamak. Başka bir deyişle, a ve b, a eşitsizliğine karşılık geldiğinde< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Kanıt 2

Bunu kanıtlamak için denklemin a koşulunu sağlaması gerekir.< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Örnek 3

Örneğin, 7 > 3 eşitsizliğinin her iki tarafını da 15 artırırsak, 7 + 15 > 3 + 15 sonucunu elde ederiz. Bu 22 > 18'e eşittir.

Tanım 8

Eşitsizliğin her iki tarafı aynı c sayısıyla çarpıldığında veya bölündüğünde gerçek bir eşitsizlik elde edilir. Negatif bir sayı alırsanız işaret ters yönde değişir. Aksi takdirde şöyle görünür: a ve b için eşitsizlik a olduğunda geçerlidirM.Ö.

Kanıt 3

c > 0 durumu olduğunda eşitsizliğin sol ve sağ tarafları arasındaki farkı oluşturmak gerekir. O zaman a · c − b · c = (a − b) · c olduğunu elde ederiz. A koşulundan0 ise (a − b) · c çarpımı negatif olacaktır. Bundan şu sonuç çıkar: a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Kanıtlarken, bir tam sayıya bölme, verilen sayının tersiyle, yani 1 c ile çarpılarak değiştirilebilir. Belirli sayılardaki bir özellik örneğine bakalım.

Örnek 4

4 eşitsizliğinin her iki tarafına da izin verilir< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Şimdi eşitsizliklerin çözümünde kullanılan aşağıdaki iki sonucu formüle edelim:

Sonuç 1. Sayısal bir eşitsizliğin parçalarının işaretleri değiştirildiğinde eşitsizlik işaretinin kendisi de tersine değişir.- b . Bu, her iki tarafı da -1 ile çarpma kuralını takip eder. Geçiş için geçerlidir. Örneğin, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
Sonuç 2. Sayısal bir eşitsizliğin parçalarını zıt sayılarla değiştirirken işareti de değişir ve eşitsizlik doğru kalır. Dolayısıyla elimizde a ve b pozitif sayılardır, a1b.

Eşitsizliğin her iki tarafını bölerken3 2 elimizde 1 5 var< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a 1b yanlış olabilir.

Örnek 5

Örneğin, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 yanlış bir denklem.

Tüm noktalar, eşitsizliğin bazı kısımları üzerindeki eylemlerin çıktıda doğru eşitsizliği vermesiyle birleşiyor. Başlangıçta birkaç sayısal eşitsizliğin olduğu ve sonucunun parçalarının eklenmesi veya çarpılmasıyla elde edildiği özellikleri ele alalım.

Tanım 9

a, b, c, d sayıları a eşitsizlikleri için geçerli olduğunda< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Kanıt 4

(a + c) − (b + d)'nin negatif bir sayı olduğunu kanıtlayalım ve sonra a + c sonucunu elde edelim.< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Özellik üç, dört veya daha fazla sayısal eşitsizliğin dönem dönem eklenmesi için kullanılır. a 1 , a 2 , … , an n ve b 1 , b 2 , … , b n sayıları a 1 eşitsizliklerini karşılar< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Örnek 6

Örneğin, aynı işarete sahip üç sayısal eşitsizlik verildiğinde - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Tanım 10

Her iki tarafın terimsel çarpımı pozitif bir sayıyla sonuçlanır. Zaman< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Kanıt 5

Bunu kanıtlamak için eşitsizliğin her iki tarafına da ihtiyacımız var.< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Bu özellik, eşitsizliğin her iki tarafının çarpılması gereken sayıların sayısı için geçerli kabul edilir. Daha sonra bir 1, bir 2,…, bir n Ve b 1, b 2, …, b n pozitif sayılardır, burada a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · bir n< b 1 · b 2 · … · b n .

Eşitsizlikleri yazarken pozitif olmayan sayıların bulunduğunu ve bunların terim terim çarpımının yanlış eşitsizliklere yol açtığını unutmayın.

Örnek 7

Örneğin eşitsizlik 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Sonuçlar: Eşitsizliklerin terimsel çarpımı a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Sayısal eşitsizliklerin özellikleri

Sayısal eşitsizliklerin aşağıdaki özelliklerini ele alalım.

A< a , a >a - yanlış eşitsizlikler,
a ≤ a, a ≥ a gerçek eşitsizliklerdir.
Eğer bira - antisimetri.
Eğer bir< b и b < c то a < c - транзитивность.
Eğer bir< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
Eğer birM.Ö.

Sonuç 1: Eğer bir-B.

Sonuç 2: a ve b pozitif sayılar ise ve a1b.

1 ise< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
Eğer 1 ise 2 ise . . . , bir n , b 1 , b 2 , . . . , b n pozitif sayılardır ve a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Sonuç 1: Eğer A< b , a Ve B pozitif sayılardır, o zaman bir n< b n .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Tüm gerçek sayılar kümesi, üç kümenin birleşimi olarak temsil edilebilir: pozitif sayılar kümesi, negatif sayılar kümesi ve bir sayıdan oluşan küme - sıfır sayısı. Sayının olduğunu belirtmek için A olumlu, kaydı kullanın a > 0, negatif bir sayıyı belirtmek için başka bir gösterim kullanın A< 0 .

Pozitif sayıların toplamı ve çarpımı da pozitif sayılardır. eğer sayı A negatifse sayı -A pozitif (ve tam tersi). Herhangi bir pozitif sayı için pozitif bir rasyonel sayı vardır R, Ne R< а . Bu gerçekler eşitsizlik teorisinin temelini oluşturur.

Tanım gereği a > b eşitsizliği (veya aynısı olan b)< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, yani a - b sayısı pozitifse.

Özellikle eşitsizliği düşünün A< 0 . Bu eşitsizlik ne anlama geliyor? Yukarıdaki tanıma göre, şu anlama gelir: 0 - a > 0, yani -a > 0 veya başka bir deyişle sayı nedir? -A olumlu. Ancak bu ancak ve ancak sayının A olumsuz. Yani eşitsizlik A< 0 sayı anlamına gelir ama olumsuz.

Gösterim de sıklıkla kullanılır ab(veya aynı olan şey, ba).
Kayıt ab tanım gereği şu anlama gelir: a > b, veya a = b. Rekoru dikkate alırsak ab belirsiz bir ifade olarak matematiksel mantığın gösteriminde şunu yazabiliriz:

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Örnek 1. 5 0, 0 0 eşitsizlikleri doğru mu?

5 0 eşitsizliği, mantıksal "veya" (ayrılma) bağlacı ile birbirine bağlanan iki basit ifadeden oluşan karmaşık bir ifadedir. Ya 5 > 0 ya da 5 = 0. İlk ifade 5 > 0 doğrudur, ikinci ifade 5 = 0 ise yanlıştır. Ayrılığın tanımı gereği böylesine karmaşık bir ifade doğrudur.

00 girişi de benzer şekilde tartışılmaktadır.

Form eşitsizlikleri a > b, a< b onlara katı diyeceğiz ve formdaki eşitsizlikler ab, ab- sıkı değil.

Eşitsizlikler a > b Ve c > d(veya A< b Ve İle< d ) aynı anlamdaki eşitsizlikler ve eşitsizlikler olarak adlandırılacaktır a > b Ve C< d - zıt anlam eşitsizlikleri. Bu iki terimin (aynı ve zıt anlamdaki eşitsizlikler) bu eşitsizliklerin ifade ettiği gerçekleri değil, yalnızca eşitsizliklerin yazılma biçimini ifade ettiğini unutmayın. Yani eşitsizlikle ilgili olarak A< b eşitsizlik İle< d aynı anlama sahip bir eşitsizliktir ve gösterimde d>c(aynı anlama gelir) - zıt anlamın eşitsizliği.

Formdaki eşitsizliklerle birlikte a>b, ab sözde çift eşitsizlikler kullanılır, yani formun eşitsizlikleri A< с < b , AC< b , A< cb ,
Acb. Tanım gereği bir kayıt

A< с < b (1)
her iki eşitsizliğin de geçerli olduğu anlamına gelir:

A< с Ve İle< b.

Eşitsizliklerin benzer bir anlamı var acb, ac< b, а < сb.

Çift eşitsizlik (1) şu şekilde yazılabilir:

(A< c < b) [(a < c) & (c < b)]

ve çift eşitsizlik a ≤ c ≤ b aşağıdaki biçimde yazılabilir:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Şimdi bu makalede mektupların yer aldığı konusunda hemfikir olarak, eşitsizliklere ilişkin temel özelliklerin ve eylem kurallarının sunumuna geçelim. a, b, c gerçek sayıları temsil eder ve N doğal sayı anlamına gelir.

1) Eğer a > b ve b > c ise a > c (geçişlilik).

Kanıt.

Koşul gereği a > b Ve b > c, ardından sayılar a - b Ve M.Ö pozitiftir ve bu nedenle sayı a - c = (a - b) + (b - c) Pozitif sayıların toplamı da pozitiftir. Bu, tanım gereği şu anlama gelir: a > c.

2) Eğer a > b ise, herhangi bir c için a + c > b + c eşitsizliği geçerlidir.

Kanıt.

Çünkü a > b, ardından sayı a - b olumlu. Bu nedenle sayı (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b aynı zamanda pozitiftir, yani
a + c > b + c.

3) a + b > c ise a > b - c, yani herhangi bir terim, bu terimin işaretinin tersiyle değiştirilmesiyle eşitsizliğin bir kısmından diğerine aktarılabilir.

Kanıt özellik 2'den gelir) eşitsizliğin her iki tarafı için de yeterlidir a + b > c numara ekle - B.

4) a > b ve c > d ise a + c > b + d, yani aynı anlama sahip iki eşitsizlik toplandığında aynı anlama sahip bir eşitsizlik elde edilir.

Kanıt.

Eşitsizliğin tanımı gereği, farkın olduğunu göstermek yeterlidir.
(a + c) - (b + c) pozitif. Bu fark şu şekilde yazılabilir:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Sayının durumuna göre a - b Ve c-d olumludur o zaman (a + c) - (b + d) pozitif bir sayı da var.

Sonuçlar. Kural 2) ve 4)'ten eşitsizliklerin çıkarılmasına ilişkin aşağıdaki Kural şöyledir: a > b, c > d, O a - d > b - c(kanıt için eşitsizliğin her iki tarafını da uygulamak yeterlidir a + c > b + d numara ekle - c - d).

5) Eğer a > b ise, c > 0 için ac > bc olur ve c için< 0 имеем ас < bc.

Yani bir eşitsizliğin her iki tarafı çarpıldığında ne pozitif sayı olur, eşitsizlik işareti korunur (yani aynı anlamda bir eşitsizlik elde edilir), ancak negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik işareti ters yönde değişir. (yani zıt anlamın bir eşitsizliği elde edilir.

Kanıt.

Eğer a > b, O a - b pozitif bir sayıdır. Bu nedenle farkın işareti ac-bc = taksi) sayının işaretiyle eşleşiyor İle: Eğer İle pozitif bir sayıysa fark ac - bc pozitiftir ve bu nedenle ac > bс, ve eğer İle< 0 ise bu fark negatiftir ve dolayısıyla bc - ac pozitif, yani m.ö > ac.

6) a > b > 0 ve c > d > 0 ise ac > bd, yani aynı anlamdaki iki eşitsizliğin tüm terimleri pozitif ise bu eşitsizlikler terim terim çarpıldığında aynı anlamda bir eşitsizlik elde edilir.

Kanıt.

Sahibiz ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Çünkü c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, ardından ac - bd > 0, yani ac > bd.

Yorum. Kanıttan açıkça görülüyor ki durum d > 0özelliğin formülasyonunda 6) önemsizdir: bu özelliğin geçerliliği için koşulların karşılanması yeterlidir a > b > 0, c > d, c > 0. Eğer (eşitsizlikler yerine getirilirse a > b, c > d) sayılar a, b, c hepsi pozitif olmayacak, o zaman eşitsizlik ac > bd yerine getirilmeyebilir. Örneğin, ne zaman A = 2, B =1, C= -2, D= -3 elimizde a > b, c > D, ancak eşitsizlik ac > bd(yani -4 > -3) başarısız oldu. Dolayısıyla 6) numaralı özelliğin formülasyonunda a, b, c sayılarının pozitif olması şartı esastır.

7) a ≥ b > 0 ve c > d > 0 ise (eşitsizliklerin bölünmesi).

Kanıt.

Sahibiz Sağ taraftaki kesrin payı pozitiftir (bkz. özellikler 5), 6)), paydası da pozitiftir. Buradan,. Bu özellik 7)'yi kanıtlar.

Yorum. a = b = 1 ile elde edilen kural 7)'nin önemli bir özel durumuna dikkat edelim: eğer c > d > 0 ise o zaman. Böylece eşitsizliğin terimleri pozitifse, karşıtlara geçtiğimizde zıt anlamda bir eşitsizlik elde ederiz. Okuyucuları bu kuralın 7) durumunda da geçerli olup olmadığını kontrol etmeye davet ediyoruz. Eğer ab > 0 ve c > d > 0 ise (eşitsizliklerin bölünmesi).

Kanıt. O.

Yukarıda işaret kullanılarak yazılan eşitsizliklerin çeşitli özelliklerini kanıtladık. > (Daha). Ancak tüm bu özellikler işareti kullanılarak formüle edilebilir. < (daha az), eşitsizlikten bu yana B< а tanım gereği eşitsizlikle aynı anlama gelir a > b. Ayrıca, doğrulanması kolay olduğu gibi, yukarıda kanıtlanmış özellikler katı olmayan eşitsizlikler için de geçerlidir. Örneğin, katı olmayan eşitsizlikler için özellik 1) aşağıdaki forma sahip olacaktır: if ab ve bc, O AC.

Elbette yukarıdakiler eşitsizliklerin genel özelliklerini sınırlamaz. Ayrıca güç, üstel, logaritmik ve trigonometrik fonksiyonların dikkate alınmasıyla ilgili bir dizi genel eşitsizlik vardır. Bu tür eşitsizliklerin yazılmasındaki genel yaklaşım aşağıdaki gibidir. Eğer bazı işlevler y = f(x) segmentte monoton olarak artar [a, b] o zaman x 1 > x 2 için (burada x 1 ve x 2 bu parçaya aittir) f'ye sahibiz (x1) > f(x 2). Benzer şekilde, eğer fonksiyon y = f(x) aralıkta monoton olarak azalır [a, b], Sonra ne zaman x 1 > x 2 (burada x 1 Ve X 2 tanesi bu segmente ait) elimizde f(x1)< f(x 2 ). Elbette söylenenlerin monotonluğun tanımından hiçbir farkı yok ama bu teknik eşitsizliklerin ezberlenmesi ve yazılması için oldukça uygundur.

Yani, örneğin herhangi bir n doğal sayısı için fonksiyon y = xnışın boyunca monoton olarak artıyor {0} {0} }