Abc üçgenine bc kenarının denklemini yazın. Üçgenin köşelerinin koordinatları verildiğinde

“Düzlemde analitik geometri” standart çalışmasından bazı görevlerin çözülmesine bir örnek

Köşeler verilir,
,
ABC üçgeni. Bulmak:

Bir üçgenin tüm kenarlarının denklemleri;

Bir üçgeni tanımlayan doğrusal eşitsizlikler sistemi ABC;

Tepe noktasından çizilen bir üçgenin yükseklik, kenarortay ve açıortay denklemleri A;

Üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası;

Üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası;

Yüksekliğin uzunluğu yana indirildi AB;

Köşe A;

Çizim yapmak.

Üçgenin köşelerinin koordinatları olsun: A (1; 4), İÇİNDE (5; 3), İLE(3; 6). Hemen bir çizim çizelim:

1. Bir üçgenin tüm kenarlarının denklemlerini yazmak için, koordinatları verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemini kullanırız ( X 0 , sen 0 ) Ve ( X 1 , sen 1 ):

Yani ( yerine) yerine koyma X 0 , sen 0 ) nokta koordinatları A ve bunun yerine ( X 1 , sen 1 ) nokta koordinatları İÇİNDE doğrunun denklemini elde ederiz AB:

Ortaya çıkan denklem düz çizginin denklemi olacaktır. AB, genel formda yazılmıştır. Benzer şekilde düz çizginin denklemini de buluruz AC:

Ve ayrıca düz çizginin denklemi Güneş:

2. Üçgenin noktaları kümesinin ABCüç yarım düzlemin kesişimini temsil eder ve her yarım düzlem doğrusal bir eşitsizlik kullanılarak tanımlanabilir. Her iki tarafın denklemini alırsak ∆ ABC, Örneğin AB, o zaman eşitsizlikler

bir çizginin karşıt taraflarında bulunan noktaları tanımlamak AB. C noktasının bulunduğu yarım düzlemi seçmemiz gerekiyor. Koordinatlarını her iki eşitsizliğin yerine koyalım:

İkinci eşitsizlik doğru olacaktır, bu da gerekli noktaların eşitsizlik tarafından belirlendiği anlamına gelir.

Aynısını BC düz çizgisi için de yapıyoruz, denklemi
. A (1, 1) noktasını test noktası olarak kullanıyoruz:

Bu, gerekli eşitsizliğin şu şekilde olduğu anlamına gelir:

AC düz çizgisini (test noktası B) kontrol edersek şunu elde ederiz:

Bu, gerekli eşitsizliğin şu şekilde olacağı anlamına gelir:

Sonunda bir eşitsizlik sistemi elde ediyoruz:

“≤”, “≥” işaretleri, üçgenin kenarlarında bulunan noktaların da üçgeni oluşturan noktalar kümesine dahil olduğu anlamına gelir. ABC.

3. a) Tepe noktasından düşen yüksekliğin denklemini bulmak için A tarafa Güneş, kenar denklemini düşünün Güneş:
. Koordinatlı vektör
kenara dik Güneş dolayısıyla yüksekliğe paraleldir. Bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazalım A vektöre paralel
:

Bu, t'den çıkarılan yüksekliğin denklemidir. A tarafa Güneş.

b) Kenarın ortasının koordinatlarını bulun Güneş formüllere göre:

Burada
– bunlar t'nin koordinatlarıdır. İÇİNDE, A
– t koordinatları. İLE. Yerine koyalım ve şunu elde edelim:

Bu noktadan ve noktadan geçen düz çizgi A gerekli medyan:

c) İkizkenar üçgende yükseklik, kenarortay ve üçgenin bir köşesinden tabanına inen açıortayın eşit olduğu gerçeğine dayanarak açıortay denklemini arayacağız. İki vektör bulalım
Ve
ve uzunlukları:

Daha sonra vektör
vektörle aynı yöne sahiptir
ve uzunluğu
Benzer şekilde birim vektör
vektör ile aynı yönde çakışır
Vektör toplamı

açının ortayıyla çakışan bir vektör var A. Böylece istenilen açıortayın denklemi şu şekilde yazılabilir:

4) Yüksekliklerden birinin denklemini zaten oluşturduk. Başka bir yükseklik için, örneğin tepe noktasından itibaren bir denklem oluşturalım İÇİNDE. Taraf AC denklem tarafından verilen
Yani vektör
dik AC ve böylece istenilen yüksekliğe paralel olur. O zaman tepe noktasından geçen doğrunun denklemi İÇİNDE vektör yönünde
(yani dikey AC), şu forma sahiptir:

Üçgenin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiği bilinmektedir. Özellikle bu nokta bulunan yüksekliklerin kesişimidir, yani. Denklem sisteminin çözümü:

- bu noktanın koordinatları.

5. Orta AB koordinatları var
. Medyan denklemini kenara yazalım AB. Bu çizgi (3, 2) ve (3, 6) koordinatlarına sahip noktalardan geçer, bu da denkleminin şu şekilde olduğu anlamına gelir:

Düz bir çizgi denklemindeki bir kesrin paydasındaki sıfırın, bu düz çizginin ordinat eksenine paralel olduğu anlamına geldiğine dikkat edin.

Medyanların kesişme noktasını bulmak için denklem sistemini çözmek yeterlidir:

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasının koordinatları vardır
.

6. Yüksekliğin uzunluğu yana doğru indirildi AB, noktaya olan uzaklığa eşit İLE düz bir çizgiye AB denklem ile
ve aşağıdaki formülle bulunur:

7. Açının kosinüsü A vektörler arasındaki açının kosinüsü formülü kullanılarak bulunabilir Ve bu vektörlerin skaler çarpımının uzunluklarının çarpımına oranına eşittir:

1. AB ve BC kenarlarının denklemi ve açısal katsayıları.
Atama, bu çizgilerin geçtiği noktaların koordinatlarını verir, dolayısıyla verilen iki noktadan geçen bir çizginin denklemini kullanacağız $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ yerine koy ve denklemleri al
AB doğrusunun denklemi $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ AB düz çizgisinin eğimi şuna eşittir: $k_(AB) = -\frac(3)(4)$
BC çizgisinin denklemi $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ BC çizgisinin eğimi eşittir \ (k_( BC) = -7\)

2. İki haneli doğrulukla radyan cinsinden B açısı
B açısı, AB ve BC çizgileri arasındaki açıdır ve $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$, açısal katsayıların değerlerinin yerine geçen formülle hesaplanır. bu satırlardan $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \yaklaşık 0,79$$
3.AB tarafının uzunluğu
AB kenarının uzunluğu, noktalar arasındaki mesafe olarak hesaplanır ve şuna eşittir: $d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$ => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. CD yüksekliği ve uzunluğunun denklemi.
Yükseklik denklemini, belirli bir C(4;13) noktasından belirli bir yönde geçen, AB düz çizgisine dik olan düz bir çizginin formülünü kullanarak $y-y_0=k(x-x_0) formülünü kullanarak bulacağız. $. Dik doğruların özelliğini kullanarak $k_(CD)$ açısal yükseklik katsayısını bulalım $k_1=-\frac(1)(k_2)$ şunu elde ederiz: $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Denklemde düz bir çizgi koyarsak, $$y elde ederiz - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Yüksekliğin uzunluğunu şu şekilde arayacağız: payda $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ formülünü kullanarak C(4;13) noktasından AB düz çizgisine olan mesafe denklemdir AB düz çizgisinin uzunluğunu bu forma indirelim $y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0$ , elde edilen sonucu yerine koyalım denklemi ve noktanın koordinatlarını formüle ekleyin $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$

5. Ortanca AE'nin denklemi ve K noktasının koordinatları, bu ortancanın CD yüksekliği ile kesişimi.
Medyan denklemini, verilen iki A(-6;8) ve E noktasından geçen düz bir çizginin denklemi olarak arayacağız; burada E noktası, B ve C noktalarının orta noktasıdır ve koordinatları aşağıdaki formüle göre bulunur: formül $E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))$ $E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))$ = > $E(5; 6)$, bu durumda medyan AE'nin denklemi şu şekilde olacaktır: $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Kesişim noktasının koordinatlarını bulalım. yükseklikler ve ortanca, yani ortak noktalarını bulalım. Bunu yapmak için $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac sistem denklemini oluşturacağız. (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(case)=>\begin(case)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(case)=>$$$ $\begin(case)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(case)=> \begin(case)25y =175\\3y = 4x+23\end(case)=> $$ $$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Kesişme noktasının koordinatları $K(-\frac(1)(2);7) )$

6. K noktasından AB kenarına paralel geçen doğrunun denklemi.
Düz çizgi paralelse açısal katsayıları eşittir, yani. $k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)$, $K(-\frac(1)(2);7)$ noktasının koordinatları da bilinmektedir. yani . Düz bir çizginin denklemini bulmak için, belirli bir noktadan belirli bir yönde geçen düz çizgi denklemi formülünü uygularız $y - y_0=k(x-x_0)$, verileri yerine koyarız ve $ elde ederiz $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. A noktasına CD düz çizgisine göre simetrik olan M noktasının koordinatları.
M noktası AB doğrusu üzerindedir çünkü CD bu tarafın yüksekliğidir. CD ve AB'nin kesişme noktasını bulalım; bunu yapmak için denklem sistemini çözelim $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(case) =>\begin(case)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(case) => $$$$\begin(case )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(case) =>
\begin(case)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(case) => $$$$\begin(case)x=-2\\y=5 \end(case)$$ D(-2;5) noktasının koordinatları. AD=DK koşuluna göre, noktalar arasındaki bu mesafe Pisagor formülüyle bulunur $d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$, burada AD ve DK, eşit dik üçgenlerin hipotenüsleri ve $Δx =x_2-x_1$ ve $Δy=y_2-y_1$ bu üçgenlerin bacaklarıdır, yani. bacaklarını bulalım ve M noktasının koordinatlarını bulalım. $Δx=x_D-x_A = -2+6=4$ ve $Δy=y_D-y_A = 5-8=-3$, sonra koordinatları M noktasının uzunluğu eşit olacaktır \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \) ve $y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 $, $ M(2;2)$ noktasının koordinatlarını bulduk.

1. Bir üçgenin köşeleri verildiğinde ABC.A(–9; –2), İÇİNDE(3; 7), İLE(1; –7).

1) kenar uzunluğu AB;

2) tarafların denklemleri AB Ve AC ve açısal katsayıları;

3) açı A radyan cinsinden;

4) yükseklik denklemi İLED ve uzunluğu;

5) yüksekliği olan bir dairenin denklemi İLED bir çap var;

6) bir üçgeni tanımlayan doğrusal eşitsizlikler sistemi ABC.

Çözüm. Bir çizim yapalım.

1. AB kenarının uzunluğunu bulalım.İki nokta arasındaki mesafe formülle belirlenir

2. Kenarların denklemlerini bulalımAB VeAC ve açısal katsayıları.

İki noktadan geçen doğrunun denklemini yazalım.

Bu bir doğrunun genel denklemidir. Bunu y'ye göre çözelim, şunu elde ederiz:

, doğrunun eğimi eşittir

Benzer şekilde AC tarafı için de elimizde.

doğrunun eğimi eşittir

3. BulacağızköşeA radyan cinsinden. Bu iki vektör arasındaki açıdır
Ve
. Vektörlerin koordinatlarını yazalım. Vektörler arasındaki açının kosinüsü eşittir

4. Bulacağızyükseklik denklemiİLE D ve uzunluğu.
bu nedenle açısal katsayıları şu ilişkiyle ilişkilidir:
.

Yükseklik denklemini açısal katsayı üzerinden yazalım.

Nokta
CD doğrusuna aittir, dolayısıyla koordinatları doğrunun denklemini karşılar, dolayısıyla elimizde

Nihayet
veya

Yüksekliğin uzunluğunu C noktasından AB düz çizgisine olan mesafe olarak hesaplıyoruz

5. Çemberin denklemini bulalım, hangi yükseklik içinİLE D bir çap var.

Denklemleri bilinen AB ve CD düz çizgilerinin kesişme noktası olarak D noktasının koordinatlarını buluyoruz.

Çemberin merkezi olan O noktasının koordinatlarını bulalım. Burası CD bölümünün ortasıdır.

Çemberin yarıçapı

Çemberin denklemini yazalım.

6) Bir üçgen tanımlayalımABC doğrusal eşitsizlikler sistemi.

CB doğrusu denklemini bulalım.

Doğrusal eşitsizlik sistemi şöyle görünecek.

2. Bu denklem sistemini Cramer formüllerini kullanarak çözün. Ortaya çıkan çözümü kontrol edin.

Çözüm. Bu sistemin determinantını hesaplayalım:

Belirleyicileri bulalım
ve sistemi çözün:

Muayene:

Cevap:

3. Denklem sistemini matris formunda yazın ve kullanarak çözün.

ters matris. Ortaya çıkan çözümü kontrol edin

Çözüm.

A matrisinin determinantını bulalım

matris tekil değildir ve tersi vardır. Tüm cebirsel tamamlayıcıları bulalım ve bir birleşim matrisi oluşturalım.

Ters matris şu şekildedir:

Çarpma işlemini yapalım
ve çözümlerin vektörünü bulun.

Sınav

.
Cevap:

Çözüm.

N = (2, 1). Normal vektöre dik bir seviye çizgisi çizin ve onu normal yönünde hareket ettirin,

Amaç fonksiyonu minimumuna A noktasında, maksimumuna B noktasında ulaşır. Bu noktaların koordinatlarını, kesişimlerinde bulundukları doğruların denklemlerini ortak çözerek buluruz.

5. Bir seyahat şirketinin daha fazlasına ihtiyacı yok Aüç tonluk otobüsler ve artık yok V

beş tonluk otobüsler. Birinci markanın otobüslerinin satış fiyatı 20.000 Dolar, ikinci markanın otobüsleri

40000 ABD Doları Bir seyahat şirketi en fazla tahsis edebilir İle cu.u.

Toplamlarının olabilmesi için her markadan kaç adet otobüsün ayrı ayrı satın alınması gerekir?

(toplam) yük kapasitesi maksimumdu. Sorunu grafiksel olarak çözün.

A= 20 V= 18 İle= 1000000

Çözüm. Sorunun matematiksel bir modelini oluşturalım . ile belirtelim
- Satın alınacak her tonajdaki otobüs sayısı. Tedarikin amacı, satın alınan makinelerin hedef fonksiyonuyla tanımlanan maksimum taşıma kapasitesine sahip olmaktır.

Görevin sınırlamaları satın alınan otobüslerin sayısına ve maliyetlerine göre belirlenir.

Sorunu grafiksel olarak çözelim. . Sorunun uygun çözüm bölgesini ve seviye çizgilerinin normalini oluşturuyoruz N = (3, 5). Normal vektöre dik bir seviye çizgisi çizin ve onu normal yönünde hareket ettirin.

Hedef fonksiyonu bu noktada maksimuma ulaşır.
hedef fonksiyonu değeri alır.

Çözüm. 1. Fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.

2, Fonksiyon ne çift ne de tektir.

3. x=0 olduğunda, y=20

4. Fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceliyoruz.

Türevin sıfırlarını bulalım

Bir fonksiyonun durağan noktaları.

Ox ekseni üzerinde durağan noktalar çizelim ve eksenin her bölümünde türevin işaretlerini kontrol edelim.

–maksimum nokta
;
-minimum nokta

5. Fonksiyonun grafiğini dışbükeylik ve içbükeylik açısından inceliyoruz. 2. türevi alalım

Bir fonksiyon grafiğinin dönüm noktası.

Şu tarihte:
- fonksiyon dışbükeydir; en
- fonksiyon içbükeydir.

Fonksiyonun grafiği şuna benziyor

6. Fonksiyonun [-1; aralığındaki en büyük ve en küçük değerini bulun. 4]

Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerini hesaplayalım
Minimum noktada fonksiyon değerleri alır, dolayısıyla segmentteki en küçük değer [-1; 4] fonksiyon minimum noktada ve maksimumu aralığın sol sınırında alır.