Gerçek ve sanal sayılar. Karmaşık sayı nedir? Örnekler

İkinci dereceden bir denklemin özelliklerini incelerken bir kısıtlama getirildi - sıfırdan küçük bir diskriminant için çözüm yok. Hemen bir takım gerçek sayılardan bahsettiğimiz belirtildi. Bir matematikçinin meraklı zihni, gerçek değerlerle ilgili maddede hangi sırrın yer aldığıyla ilgilenecektir?

Zamanla matematikçiler, eksi birin ikinci kökünün koşullu değerinin bir olarak alındığı karmaşık sayılar kavramını ortaya attılar.

Tarihsel referans

Matematik teorisi basitten karmaşığa doğru sırayla gelişir. “Karmaşık sayı” denilen kavramın nasıl ortaya çıktığını ve buna neden ihtiyaç duyulduğunu bulalım.

Çok eski zamanlardan beri matematiğin temeli sıradan sayma olmuştur. Araştırmacılar yalnızca doğal değerler dizisini biliyorlardı. Toplama ve çıkarma basitti. Ekonomik ilişkiler karmaşıklaştıkça aynı değerleri toplamak yerine çarpma yöntemi kullanılmaya başlandı. Çarpmanın ters işlemi ortaya çıktı - bölme.

Doğal sayı kavramı aritmetik işlemlerin kullanımını sınırladı. Tüm bölme problemlerini bir tamsayı değerleri kümesiyle çözmek imkansızdır. önce rasyonel değerler kavramına, sonra da irrasyonel değerlere yol açtı. Rasyonel olarak bir noktanın bir çizgi üzerindeki tam yerini belirtmek mümkünse, irrasyonel olarak böyle bir noktayı belirtmek imkansızdır. Konum aralığını yalnızca yaklaşık olarak belirtebilirsiniz. Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi, belirli bir ölçekte belirli bir çizgi olarak temsil edilebilecek gerçek bir küme oluşturdu. Doğru üzerindeki her adım bir doğal sayıdır ve aralarında rasyonel ve irrasyonel değerler bulunur.

Teorik matematik çağı başladı. Astronomi, mekanik ve fiziğin gelişimi giderek karmaşıklaşan denklemlerin çözümünü gerektirdi. Genel formda ikinci dereceden denklemin kökleri bulundu. Daha karmaşık bir kübik polinomu çözerken bilim adamları bir çelişkiyle karşılaştılar. Negatif küp kök kavramı mantıklıdır ancak karekök için belirsizlikle sonuçlanır. Üstelik ikinci dereceden denklem kübik denklemin yalnızca özel bir durumudur.

1545'te İtalyan G. Cardano, sanal sayı kavramını tanıtmayı önerdi.

Bu sayı eksi birin ikinci kökü oldu. Karmaşık sayı terimi nihayet yalnızca üç yüz yıl sonra ünlü matematikçi Gauss'un çalışmalarında oluşturuldu. Tüm cebir yasalarını resmi olarak hayali bir sayıya genişletmeyi önerdi. Gerçek çizgi bir düzleme doğru genişledi. Dünya büyüdü.

Temel konseptler

Gerçek kümede kısıtlamaları olan bir dizi fonksiyonu hatırlayalım:

y = arcsin(x), negatif ve pozitif birlik arasındaki değer aralığında tanımlanır.
y = ln(x), pozitif argümanlar için anlamlıdır.
karekök y = √x, yalnızca x ≥ 0 için hesaplanır.

i = √(-1) şeklinde sanal sayı gibi bir kavramı tanıtıyoruz; bu, yukarıdaki fonksiyonların tanım alanındaki tüm kısıtlamaları kaldırmamıza olanak sağlayacaktır. y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) gibi ifadeler belirli bir karmaşık sayılar uzayında anlam kazanır.

Cebirsel form, x ve y gerçek değerleri kümesinde z = x + i×y ve i 2 = -1 olarak yazılabilir.

Yeni konsept, herhangi bir cebirsel fonksiyonun kullanımına ilişkin tüm kısıtlamaları ortadan kaldırıyor ve görünümü, gerçek ve sanal değerlerin koordinatlarında düz bir çizgi grafiğine benziyor.

Karmaşık düzlem

Karmaşık sayıların geometrik biçimi, onların birçok özelliğini görselleştirmeyi mümkün kılar. Re(z) ekseni boyunca x'in gerçek değerlerini, y'nin Im(z) - hayali değerleri boyunca işaretleriz, ardından düzlemdeki z noktası gerekli karmaşık değeri gösterecektir.

Tanımlar:

Re(z) - gerçek eksen.
Im(z) - hayali eksen anlamına gelir.
z, karmaşık bir sayının koşullu noktasıdır.
Vektörün sıfır noktasından z noktasına kadar olan uzunluğunun sayısal değerine modül denir.
Gerçek ve sanal eksenler düzlemi dörde böler. Pozitif bir koordinat değeriyle - çeyreklik. Gerçek eksenin argümanı 0'dan küçük olduğunda ve hayali eksen 0'dan büyük olduğunda - ikinci çeyrek. Koordinatlar negatif olduğunda - III çeyrek. Son IV çeyreği birçok pozitif gerçek değer ve negatif sanal değer içerir.

Böylece, x ve y koordinatlarına sahip bir düzlemde, karmaşık bir sayının bir noktasını her zaman görsel olarak tasvir edebilirsiniz. Gerçek kısmı sanal kısımdan ayırmak için i sembolü eklenmiştir.

Özellikler

Sanal argümanın sıfır değeriyle, gerçek eksende yer alan ve gerçek kümeye ait olan bir sayıyı (z = x) elde ederiz.
Gerçek argümanın değerinin sıfır olduğu özel bir durum, z = i×y ifadesi, noktanın sanal eksen üzerindeki konumuna karşılık gelir.
Genel form z = x + i×y, argümanların sıfır olmayan değerleri için olacaktır. Çeyreklerden birinde karmaşık bir sayıyı karakterize eden noktanın konumunu belirtir.

Trigonometrik gösterim

Kutupsal koordinat sistemini ve sin ve cos tanımını hatırlayalım. Açıkçası, bu işlevleri kullanarak düzlemdeki herhangi bir noktanın konumunu tanımlayabilirsiniz. Bunu yapmak için kutup ışınının uzunluğunu ve gerçek eksene olan eğim açısını bilmek yeterlidir.

Tanım. ∣z ∣ biçimindeki notasyonun cos(ϴ) trigonometrik fonksiyonları ve i ×sin(ϴ) sanal kısmının toplamı ile çarpılmasına trigonometrik karmaşık sayı denir. Burada gerçek eksene olan eğim açısını kullanıyoruz

ϴ = arg(z) ve r = ∣z∣, ışın uzunluğu.

Trigonometrik fonksiyonların tanımı ve özelliklerinden çok önemli bir Moivre formülü şöyledir:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Bu formülü kullanarak trigonometrik fonksiyonlar içeren birçok denklem sistemini çözmek uygundur. Özellikle üstel alma sorunu ortaya çıktığında.

Modül ve faz

Karmaşık bir kümenin tanımını tamamlamak için iki önemli tanım öneriyoruz.

Pisagor teoremini bilerek ışının uzunluğunu kutupsal koordinat sisteminde hesaplamak kolaydır.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), karmaşık uzayda böyle bir gösterime "modül" denir ve 0'dan düzlemdeki bir noktaya olan mesafeyi karakterize eder.

Karmaşık ışının gerçek çizgiye (ϴ) olan eğim açısına genellikle faz denir.

Tanımdan, gerçek ve sanal kısımların döngüsel fonksiyonlar kullanılarak tanımlandığı açıktır. Yani:

x = r × cos(ϴ);
y = r × sin(ϴ);

Tersine, fazın aşağıdaki formül aracılığıyla cebirsel değerlerle bağlantısı vardır:

ϴ = arktan(x / y) + µ, geometrik fonksiyonların periyodikliğini hesaba katmak için µ düzeltmesi uygulanır.

Euler'in formülü

Matematikçiler sıklıkla üstel formu kullanırlar. Karmaşık düzlemin sayıları ifade olarak yazılır

z = r × e i × ϴ, Euler formülünden gelir.

Bu gösterim, fiziksel büyüklüklerin pratik hesaplamasında yaygınlaştı. Üstel karmaşık sayılar biçimindeki temsil biçimi, sinüzoidal akımlara sahip devrelerin hesaplanmasına ihtiyaç duyulan ve belirli bir süreye sahip fonksiyonların integrallerinin değerinin bilinmesi gereken mühendislik hesaplamaları için özellikle uygundur. Hesaplamaların kendisi çeşitli makine ve mekanizmaların tasarımında bir araç görevi görür.

İşlemleri Tanımlama

Daha önce belirtildiği gibi, temel matematiksel fonksiyonlarla çalışmanın tüm cebirsel yasaları karmaşık sayılar için geçerlidir.

Toplama işlemi

Karmaşık değerleri eklerken bunların gerçek ve sanal kısımları da toplanır.

z = z 1 + z 2, burada z 1 ve z 2 genel formdaki karmaşık sayılardır. İfadeyi dönüştürerek, parantezleri açıp gösterimi basitleştirdikten sonra, gerçek argüman x = (x 1 + x 2), sanal argüman y = (y 1 + y 2) elde ederiz.

Grafikte, iyi bilinen paralelkenar kuralına göre iki vektörün toplamı gibi görünüyor.

Çıkarma işlemi

Bir sayının pozitif, diğerinin negatif olması, yani ayna çeyreğinde yer alması, toplamanın özel bir durumu olarak kabul edilir. Cebirsel gösterim, gerçek ve sanal kısımlar arasındaki farka benzer.

z = z 1 - z 2 veya argümanların değerlerini dikkate alarak toplama işlemine benzer şekilde, gerçek değerler için x = (x 1 - x 2) ve hayali değerler y = elde ederiz (y 1 - y 2).

Karmaşık düzlemde çarpma

Polinomlarla çalışma kurallarını kullanarak karmaşık sayıları çözmek için bir formül türeteceğiz.

Genel cebir kurallarını z=z 1 ×z 2 takip ederek, her argümanı tanımlıyor ve benzerlerini sunuyoruz. Gerçel ve sanal kısımlar şu şekilde yazılabilir:

x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Üstel karmaşık sayılar kullanırsak daha güzel görünür.

İfade şuna benzer: z = z 1 × z 2 = r 1 × e ben ϴ 1 × r 2 × e ben ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Bölüm

Bölme işlemini çarpma işleminin tersi olarak ele aldığımızda üstel gösterimde basit bir ifade elde ederiz. Z 1 değerinin z 2'ye bölünmesi, modüllerinin ve faz farkının bölünmesinin sonucudur. Resmi olarak, karmaşık sayıların üstel formunu kullanırken şöyle görünür:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e ben ϴ 1 / r 2 × e ben ϴ 2 = r 1 / r 2 × e ben(ϴ 1- ϴ 2) .

Cebirsel gösterim biçiminde, sayıları karmaşık düzlemde bölme işlemi biraz daha karmaşık yazılır:

Argümanları açıklayarak ve polinomların dönüşümlerini gerçekleştirerek sırasıyla x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 değerlerini elde etmek kolaydır, ancak y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 tanımlanan uzay çerçevesinde z 2 ≠ 0 ise bu ifade anlamlıdır.

Kökün çıkarılması

Yukarıdakilerin tümü daha karmaşık cebirsel fonksiyonları tanımlamak için kullanılabilir - herhangi bir kuvvete yükseltme ve bunun tersi - kökü çıkarma.

Genel kavramı n'ye yükseltme kavramını kullanarak şu tanımı elde ederiz:

z n = (r × e ben ϴ) n .

Genel özellikleri kullanarak onu şu şekilde yeniden yazıyoruz:

z n = r n × e ben ϴ n .

Karmaşık bir sayının üssünü yükseltmek için basit bir formül elde ettik.

Derecenin tanımından çok önemli bir sonuç elde ederiz. Sanal birimin çift kuvvetleri her zaman 1'e eşittir. Sanal birimin herhangi bir tek kuvveti her zaman -1'e eşittir.

Şimdi ters fonksiyonu inceleyelim - kökü çıkaralım.

Gösterimin basitliği için n = 2 alıyoruz. C karmaşık düzlemindeki z karmaşık değerinin karekökü w genellikle sıfırdan büyük veya sıfıra eşit herhangi bir gerçek argüman için geçerli olan z = ± ifadesi olarak kabul edilir. w ≤ 0 için çözüm yoktur.

En basit ikinci dereceden denklem z 2 = 1'e bakalım. Karmaşık sayılara yönelik formülleri kullanarak r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0'u yeniden yazarız. Kayıttan r 2 = 1 ve ϴ = 0 olduğu açıktır, dolayısıyla 1'e eşit tek bir çözümümüz vardır. Ancak bu, z = -1 kavramının aynı zamanda karekök tanımına da karşılık geldiği kavramıyla çelişir.

Neleri hesaba katmadığımızı bulalım. Trigonometrik gösterimi hatırlarsak, ifadeyi geri yükleyeceğiz - ϴ fazındaki periyodik bir değişiklikle karmaşık sayı değişmez. Dönemin değerini p sembolüyle gösterelim, o zaman aşağıdakiler doğrudur: r 2 × e ben 2ϴ = e ben (0+ p), buradan 2ϴ = 0 + p veya ϴ = p / 2. Bu nedenle, e i 0 = 1 ve e ben p /2 = -1 . Karekökün genel anlayışına karşılık gelen ikinci çözümü elde ettik.

Dolayısıyla, karmaşık bir sayının keyfi bir kökünü bulmak için prosedürü izleyeceğiz.

Üstel formu w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) olarak yazalım, k keyfi bir tamsayıdır.
Gerekli sayıyı z = r × e i ϴ Euler formunu kullanarak da temsil edebiliriz.
Kök çıkarma fonksiyonunun genel tanımını kullanalım r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
Modüllerin ve argümanların eşitliğinin genel özelliklerinden r n = ∣w∣ ve nϴ = arg (w) + p×k yazıyoruz.
Karmaşık bir sayının köküne ilişkin son gösterim, z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n formülüyle tanımlanır.
Yorum. Tanım gereği ∣w∣ değeri pozitif bir gerçek sayıdır, bu da herhangi bir kuvvetin kökünün anlamlı olduğu anlamına gelir.

Saha ve dostum

Sonuç olarak, karmaşık sayılarla uygulamalı problemlerin çözümünde pek önemi olmayan, ancak matematik teorisinin daha da geliştirilmesi için gerekli olan iki önemli tanımı veriyoruz.

Toplama ve çarpma ifadelerinin, z karmaşık düzleminin herhangi bir elemanı için aksiyomları karşılamaları durumunda bir alan oluşturduğu söylenir:

Karmaşık terimlerin yerlerinin değiştirilmesi karmaşık toplamı değiştirmez.
İfade doğrudur; karmaşık bir ifadede, iki sayının herhangi bir toplamı, onların değeriyle değiştirilebilir.
Z + 0 = 0 + z = z'nin doğru olduğu nötr bir 0 değeri vardır.
Herhangi bir z için, toplamı sıfır veren bir zıt -z vardır.
Karmaşık faktörlerin yerleri değiştirildiğinde karmaşık çarpım değişmez.
Herhangi iki sayının çarpımı, değerleri ile değiştirilebilir.
Karmaşık sayıyı değiştirmeyen 1 nötr değeri vardır.
Her z ≠ 0 için, z -1 ile çarpıldığında 1 sonucunu veren ters bir değer vardır.
İki sayının toplamını üçte bir ile çarpmak, her birini bu sayıyla çarpıp sonuçları toplama işlemine eşdeğerdir.
0 ≠ 1.

z 1 = x + i×y ve z 2 = x - i×y sayılarına eşlenik denir.

Teorem. Eşleştirme için aşağıdaki ifade doğrudur:

Bir toplamın eşleniği, eşlenik elemanların toplamına eşittir.
Bir ürünün eşleniği, eşleniklerin çarpımına eşittir.
sayının kendisine eşittir.

Genel cebirde bu tür özelliklere genellikle alan otomorfizmleri denir.

Örnekler

Karmaşık sayılar için verilen kuralları ve formülleri takip ederek bunlarla kolayca işlem yapabilirsiniz.

En basit örneklere bakalım.

Görev 1. 3y +5 x i= 15 - 7i denklemini kullanarak x ve y'yi belirleyin.

Çözüm. Karmaşık eşitliklerin tanımını hatırlayalım, o zaman 3y = 15, 5x = -7. Dolayısıyla x = -7 / 5, y = 5.

Görev 2. 2 + i 28 ve 1 + i 135 değerlerini hesaplayın.

Çözüm. Açıkçası, 28, karmaşık bir sayının tanımının sonucunda sahip olduğumuz kuvvet i 28 = 1'e kadar çift bir sayıdır, bu da ifadenin 2 + i 28 = 3 olduğu anlamına gelir. İkinci değer, i 135 = -1, o zaman 1 + i 135 = 0.

Görev 3. 2 + 5i ve 4 + 3i değerlerinin çarpımını hesaplayın.

Çözüm. Karmaşık sayıların çarpımının genel özelliklerinden (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20) elde ederiz. Yeni değer -7 + 26i olacaktır.

Görev 4. z 3 = -i denkleminin köklerini hesaplayın.

Çözüm. Karmaşık bir sayıyı bulmak için birkaç seçenek olabilir. Olası olanlardan birini ele alalım. Tanım gereği, ∣ - i∣ = 1, -i'nin fazı -p / 4'tür. Orijinal denklem r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk olarak yeniden yazılabilir, buradan z = e - p / 12 + pk /3 , herhangi bir k tamsayısı için.

Çözüm kümesi şu şekildedir (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Karmaşık sayılara neden ihtiyaç duyulur?

Tarih, bir teori üzerinde çalışan bilim adamlarının sonuçlarının pratik uygulamasını bile düşünmedikleri birçok örneği bilir. Matematik her şeyden önce bir akıl oyunudur, sebep-sonuç ilişkilerine sıkı sıkıya bağlılıktır. Hemen hemen tüm matematiksel yapılar integral ve diferansiyel denklemlerin çözülmesine indirgenir ve bunlar da bir miktar yaklaşımla polinomların köklerinin bulunmasıyla çözülür. Burada ilk kez sanal sayılar paradoksuyla karşılaşıyoruz.

Tamamen pratik problemleri çözen, çeşitli denklemlerin çözümlerine başvuran bilimsel doğa bilimcileri, matematiksel paradoksları keşfederler. Bu paradoksların yorumlanması tamamen şaşırtıcı keşiflere yol açmaktadır. Elektromanyetik dalgaların ikili doğası buna bir örnektir. Karmaşık sayılar, özelliklerinin anlaşılmasında belirleyici bir rol oynar.

Bu da optik, radyo elektroniği, enerji ve diğer birçok teknolojik alanda pratik uygulama alanı buldu. Başka bir örnek, fiziksel olayları anlamak çok daha zor. Antimadde kalemin ucunda tahmin ediliyordu. Ve ancak yıllar sonra onu fiziksel olarak sentezleme girişimleri başlıyor.

Bu tür durumların sadece fizikte var olduğunu düşünmemek gerekir. Canlı doğada, makromoleküllerin sentezi sırasında ve yapay zeka çalışmaları sırasında daha az ilginç keşifler yapılmaz. Ve tüm bunlar, doğal niceliklerin basit toplama ve çıkarma işlemlerinden uzaklaşarak bilincimizin genişlemesi sayesinde.

§1. Karışık sayılar

1°. Tanım. Cebirsel gösterim.

Tanım 1. Karışık sayılar reel sayıların sıralı çiftlerine denir Ve , eğer onlar için eşitlik kavramı, toplama ve çarpma işlemleri tanımlanmışsa, aşağıdaki aksiyomları karşılar:

1) İki sayı
Ve
eşit ancak ve ancak
,
, yani


,
.

2) Karmaşık sayıların toplamı
Ve

ve eşit
, yani

+
=
.

3) Karmaşık sayıların çarpımı
Ve
ile gösterilen sayıdır
ve eşit, yani

∙=.

Karmaşık sayılar kümesi gösterilir C.

Formdaki sayılar için formüller (2), (3)
formu al

buradan şu sonuç çıkıyor: formdaki sayılar için toplama ve çarpma işlemleri
Gerçel sayılar için toplama ve çarpma ile çakışır formun karmaşık sayısı
gerçek sayıyla tanımlanan .

Karmaşık sayı
isminde hayali birim ve belirlenmiş , yani
Daha sonra (3)'ten

(2), (3) 'den bu şu anlama gelir:

İfade (4) denir cebirsel gösterim karmaşık sayı.

Cebirsel gösterimde toplama ve çarpma işlemleri şu şekli alır:

Karmaşık bir sayı şu şekilde gösterilir:
,– gerçek kısım, – hayali kısım, tamamen sanal bir sayıdır. Tanım:
,
.

Tanım 2. Karmaşık sayı
isminde birleşik karmaşık bir sayı ile
.

Kompleks konjugasyonun özellikleri.

2)
.

3) Eğer
, O
.

4)
.

5)
- gerçek Numara.

Kanıt doğrudan hesaplama ile gerçekleştirilir.

Tanım 3. Sayı
isminde modül karmaşık sayı
ve belirlenmiş
.

Açıkça görülüyor ki
, Ve

. Formüller de açıktır:
Ve
.

2°. Toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri.

1) Değişebilirlik:
,
.

2) İlişkisellik:,
.

3) Dağıtıcılık: .

İspat 1) – 3) reel sayılar için benzer özelliklere dayalı doğrudan hesaplamalarla gerçekleştirilir.

4)
,
.

5) , C ! , denklemi tatmin etmek
. Bu

6) ,C, 0, ! :
. Bu denklem ile çarpılarak bulunur

.

Örnek. Karmaşık bir sayı hayal edelim
cebirsel formda. Bunu yapmak için kesrin payını ve paydasını paydanın eşlenik sayısıyla çarpın. Sahibiz:

3°. Karmaşık sayıların geometrik yorumu. Karmaşık bir sayının trigonometrik ve üstel biçimi.

Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi belirtilsin. Daha sonra
C düzlemdeki bir noktayı koordinatlarla eşleştirebilirsiniz
.(bkz. Şekil 1). Böyle bir yazışmanın birebir olduğu açıktır. Bu durumda, gerçek sayılar apsis ekseninde yer alır ve tamamen sanal sayılar ordinat ekseninde bulunur. Bu nedenle apsis ekseni denir gerçek eksen ve ordinat ekseni – hayali eksen. Karmaşık sayıların bulunduğu düzleme denir karmaşık düzlem.

Dikkat Ve
orijine göre simetriktir ve Ve Ox'a göre simetrik.

Her karmaşık sayı (yani düzlemdeki her nokta), başlangıcı O noktasında ve sonu O noktasında olan bir vektörle ilişkilendirilebilir.
. Vektörler ve karmaşık sayılar arasındaki yazışma bire birdir. Bu nedenle karmaşık bir sayıya karşılık gelen vektör , aynı harfle gösterilir

D vektör çizgisi
karmaşık bir sayıya karşılık gelen
, eşittir
, Ve
,
.

Vektör yorumunu kullanarak, vektörün olduğunu görebiliriz.
− vektörlerin toplamı Ve , A
− vektörlerin toplamı Ve
.(bkz. Şekil 2). Bu nedenle aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir: ,

Uzunluk ile birlikte vektör hadi açıyı tanıtalım vektör arasında ve Ox ekseninin pozitif yönünden sayılan Ox ekseni: eğer sayım saat yönünün tersine ise, o zaman açının işareti pozitif kabul edilir, eğer saat yönünde ise o zaman negatiftir. Bu açıya denir karmaşık sayı argümanı ve belirlenmiş
. Köşe kesin olarak değil kesin olarak belirlenir
…. İçin
argüman tanımlanmamıştır.

Formüller (6) sözde şunları tanımlar: trigonometrik gösterim karmaşık sayı.

(5)'ten şu sonuç çıkıyor:
Ve
O

,
.

(5)'den
ne dersin Ve karmaşık bir sayı benzersiz bir şekilde belirlenir. Bunun tersi doğru değil: yani karmaşık bir sayı üzerinden onun modülü benzersizdir ve argüman , (7)'ye göre, − doğrulukla
. Ayrıca (7)'den şu argüman çıkar: denklemin çözümü olarak bulunabilir

Ancak bu denklemin tüm çözümleri (7)'nin çözümü değildir.

Karmaşık bir sayının argümanının tüm değerleri arasından, argümanın ana değeri olarak adlandırılan ve gösterilen bir tanesi seçilir.
. Genellikle argümanın ana değeri aralıkta seçilir.
veya aralıkta

Çarpma ve bölme işlemlerini trigonometrik formda yapmak uygundur.

Teorem 1. Karmaşık sayıların çarpım modülü Ve modüllerin çarpımına eşittir ve argüman, argümanların toplamıdır, yani.

, A .

Aynı şekilde

Kanıt.İzin vermek ,. Daha sonra doğrudan çarpma işlemiyle şunu elde ederiz:

Aynı şekilde

.■

Sonuçlar(Moivre'nin formülü). İçin
Moivre'nin formülü geçerlidir

P örnek. Noktanın geometrik konumunu bulalım.
. Teorem 1'den şu sonuç çıkıyor.

Bu nedenle, onu oluşturmak için önce bir nokta oluşturmalısınız. inversiyon olan birim çembere göreli bir nokta bulun ve ardından Ox eksenine göre ona simetrik bir nokta bulun.

İzin vermek
,onlar.
Karmaşık sayı
ile gösterilir
, yani R Euler formülü geçerlidir

Çünkü
, O
,
. Teorem 1'den
fonksiyonla ne alakası var
normal bir üstel fonksiyonla olduğu gibi çalışabilirsiniz; eşitlikler geçerlidir

,
,
.

(8)'den
açıklayıcı notasyon karmaşık sayı

, Nerede
,

Örnek. .

4°. Kökler Karmaşık bir sayının -inci kuvveti.

Denklemi düşünün

,
İLE ,
N .

İzin vermek
ve denklemin (9) çözümü şu şekilde aranır:
. Daha sonra (9) formunu alır
, bunu nereden bulacağız
,
, yani

,
,
.

Dolayısıyla denklem (9)'un kökleri vardır

,
.

(10) arasında tam olarak olduğunu gösterelim. farklı kökler. Gerçekten mi,

farklılar çünkü argümanları farklı ve daha az farklı
. Daha öte,
, Çünkü
. Aynı şekilde
.

Böylece, denklem (9)
tam olarak var kökler
, normalin köşelerinde bulunur -yarıçaplı bir daire içine yazılmış bir üçgen merkezi T.O.

Böylece kanıtlanmıştır

Teorem 2. Kök çıkarma karmaşık bir sayının -inci kuvveti
Bu her zaman mümkündür. Tüm kök anlamları derecesi doğrunun köşelerinde bulunur -gon merkezi sıfır ve yarıçapı olan bir dairenin içine yazılmıştır
. burada,

Sonuçlar. Kökler 1'in -inci kuvveti formülle ifade edilir

1'in iki kökünün çarpımı bir kök, 1 bir köktür -birliğin gücü, kök
:
.

Karmaşık sayılarla ilgili gerekli bilgileri hatırlayalım.

Karmaşık sayı formun bir ifadesidir A + bi, Nerede A, B gerçek sayılardır ve Ben- Lafta hayali birim karesi –1'e eşit olan bir sembol, yani Ben 2 = –1. Sayı A isminde gerçek kısım ve numara B - sanal kısım karmaşık sayı z = A + bi. Eğer B= 0, bunun yerine A + 0Ben basitçe yazıyorlar A. Gerçek sayıların karmaşık sayıların özel bir durumu olduğu görülmektedir.

Karmaşık sayılarla ilgili aritmetik işlemler gerçek sayılarla aynıdır: bunlar birbirleriyle toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir. Toplama ve çıkarma kuralına göre yapılır ( A + bi) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)Ben ve çarpma kuralı takip eder ( A + bi) · ( C + di) = (AC – BD) + (reklam + M.Ö)Ben(burada şu kullanılıyor Ben 2 = –1). Sayı = A – bi isminde karmaşık eşlenikİle z = A + bi. Eşitlik z · = A 2 + B 2, bir karmaşık sayıyı başka bir (sıfır olmayan) karmaşık sayıya nasıl böleceğinizi anlamanızı sağlar:

(Örneğin, .)

Karmaşık sayıların kullanışlı ve görsel bir geometrik temsili vardır: sayı z = A + bi koordinatları olan bir vektör ile temsil edilebilir ( A; B) Kartezyen düzlemde (veya neredeyse aynı şey olan bir nokta - bu koordinatlara sahip bir vektörün sonu). Bu durumda, iki karmaşık sayının toplamı karşılık gelen vektörlerin toplamı olarak gösterilir (paralelkenar kuralı kullanılarak bulunabilir). Pisagor teoremine göre, koordinatlı vektörün uzunluğu ( A; B) eşittir . Bu miktara denir modül karmaşık sayı z = A + bi ve | ile gösterilir z|. Bu vektörün x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açıya (saat yönünün tersine sayılır) denir. argüman karmaşık sayı z ve Arg ile gösterilir z. Bağımsız değişken benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır, ancak yalnızca 2'nin katı olan bir değerin eklenmesine kadar π radyan (veya derece olarak sayılırsa 360°) - sonuçta, başlangıç noktası etrafında böyle bir açıyla dönmenin vektörü değiştirmeyeceği açıktır. Ama eğer uzunluk vektörü R bir açı oluşturur φ x ekseninin pozitif yönü ile koordinatları şuna eşittir: ( Rçünkü φ ; R günah φ ). Buradan anlaşılıyor trigonometrik gösterim karmaşık sayı: z = |z| · (çünkü(Arg z) + Ben günah(Arg z)). Hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirdiği için karmaşık sayıları bu biçimde yazmak genellikle uygundur. Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde çarpmak çok basittir: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (çünkü(Arg z 1 + Arg z 2) + Ben günah(Arg z 1 + Arg z 2)) (iki karmaşık sayıyı çarparken modülleri çarpılır ve argümanları toplanır). Buradan takip edin Moivre'nin formülleri: zn = |z|N· (çünkü( N· (Arg z)) + Ben günah( N· (Arg z))). Bu formülleri kullanarak karmaşık sayılardan herhangi bir derecedeki köklerin nasıl çıkarılacağını öğrenmek kolaydır. z'nin n'inci kökü- bu karmaşık bir sayıdır w, Ne sen = z. Açık ki , Ve nerede k(0, 1, ...,) kümesinden herhangi bir değer alabilir N-1). Bu her zaman tam olarak var olduğu anlamına gelir N kökler N karmaşık bir sayının derecesi (düzlemde normal sayının köşelerinde bulunurlar) N-gon).