Sayısal yöntemlere giriş. “Matematiksel modelleme, sayısal yöntemler ve yazılım paketleri

MİNİMUM PROGRAM

uzmanlık aday sınavı

05.13.18 “Matematiksel modelleme,
sayısal yöntemler ve yazılım paketleri"

kimyasal, jeolojik ve mineralojik
ve biyolojik bilimler

giriiş

Bu program aşağıdaki disiplinlere dayanmaktadır: bilgisayar bilimi; Hesaplamalı Matematik; bilgisayarlar; kimya ve kimya teknolojisinde sibernetik yöntemleri; kimyasal teknolojik sistemlerin analizi ve sentezi; kimyasal teknolojide yapay zeka teorisi ve hibrit uzman sistemler; kimyasal teknolojik süreçlerin matematiksel modellenmesi; teknolojik sistemlerin güvenilirliği ve verimliliği.

Program, Rusya Kimya Teknolojisi Üniversitesi'nin katılımıyla Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı Yüksek Tasdik Komisyonu'nun kimya (inorganik kimya) uzman konseyi tarafından geliştirildi. .

1. Hesaplamalı matematik yöntemleri

Fark şemaları teorisinden genel bilgiler. Temel kavramlar ve tanımlar. Yaklaşıklık. Kararlılığı saymak. Yakınsama teoremi. Matematiksel fiziğin bazı problemlerinin sonlu farklar analogları.

Diferansiyel denklemlerin çözümü için fark şemaları oluşturma yöntemleri. Matematiksel fizikte varyasyonel yöntemler. Tek boyutlu problemlerin çözümü için temel fonksiyonların oluşturulması. Çok boyutlu problemlerin çözümü için temel fonksiyonların oluşturulması. Varyasyonel fark ve projeksiyon ızgara şemaları. Projeksiyon ızgara yöntemini kullanarak durağan olmayan problemler için şemaların oluşturulması.

Izgara fonksiyonlarının enterpolasyonu. Durağan olmayan yinelemeli yöntemler. Bölme yöntemi. Tekil matrisli sistemler için yinelemeli yöntemler.

Durağan olmayan problemleri çözme yöntemleri. Zamana bağlı operatörlerle ikinci dereceden yaklaşımın fark şemaları. Evrimsel türden homojen olmayan denklemler. Durağan olmayan problemleri bölme yöntemleri. Çok bileşenli görev bölme. Hiperbolik tip denklemleri çözme yöntemleri.

Eşlenik denklemler ve pertürbasyon yöntemleri. Temel ve eşlenik denklemler. Pertürbasyon algoritmaları. Özdeğer problemleri için pertürbasyon teorisi yöntemi. Doğrusal fonksiyoneller için eşlenik denklemler ve pertürbasyon teorisi.

Bazı ters problemlerin çözümü için formülasyon ve sayısal yöntemler. Temel tanımlar ve örnekler. Sabit bir operatörle ters evrim problemlerinin çözümü. Zamana bağlı operatörlü ters evrim problemi. Pertürbasyon teorisi yöntemlerine dayalı ters problemlerin formülasyonu.

2. Matematiksel analizin sayısal yöntemleri

Enterpolasyon yöntemleri ve sayısal türev. Fonksiyon yaklaşım probleminin ifadesi. Lagrange interpolasyon polinomu. Lagrange enterpolasyon polinomunun kalan teriminin tahmini. Ayrılmış farklar ve özellikleri. Newton'un bölünmüş fark enterpolasyonu formülü. Bölünmüş farklar ve çoklu düğümlerle enterpolasyon. Sonlu farklarda denklemler. Chebyshev polinomları. İnterpolasyon formülünün kalan süresinin tahmininin en aza indirilmesi. Sonlu farklar. Sabit aralıklı tablolar için enterpolasyon formülleri. Tabloların derlenmesi. Enterpolasyon sırasındaki yuvarlama hatası hakkında. İnterpolasyon aparatının uygulamaları. Ters enterpolasyon. Sayısal farklılaşma. Sayısal türev formüllerinin hesaplama hatası üzerine. Rasyonel enterpolasyon.

Sayısal entegrasyon için yöntemler ve algoritmalar. En basit kareleme formülleri. Belirsiz katsayılar yöntemi. Dörtlü hata tahminleri. Newton-Cotes kareleme formülleri. Ortogonal polinomlar. Gauss kareleme formülleri. Temel karesel formüllerdeki hatanın pratik tahmini. Hızla salınan fonksiyonların entegrasyonu. Segmenti eşit parçalara bölerek entegrasyon doğruluğunu arttırmak. Optimizasyon problemlerinin formülasyonları üzerine. Karesel optimizasyon probleminin ifadesi. Kareleme formülünün düğümlerinin dağılımının optimizasyonu. Düğüm dağıtımının optimizasyonuna örnekler. Baş hata terimi. Pratik hata değerlendirmesi için Runge kuralı. Sonucun daha yüksek dereceli enterpolasyonla iyileştirilmesi. Düzensiz durumda integrallerin hesaplanması. Otomatik adım seçimiyle standart programlar oluşturmanın ilkeleri.

Fonksiyon yaklaşım yöntemleri. Doğrusal normlu uzayda en iyi yaklaşımlar. Hilbert uzayında en iyi yaklaşım ve onun pratik yapısında ortaya çıkan sorular. Trigonometrik enterpolasyon. Ayrık Fourier dönüşümü. Hızlı Fourier dönüşümü. En iyi düzgün yaklaşım. En iyi düzgün yaklaşım örnekleri. En iyi düzgün yaklaşım için bir polinom oluşturmaya yönelik yinelemeli yöntem. Spline'ları kullanarak enterpolasyon ve yaklaşım. Entropi ve e - entropi.

Çok boyutlu problemler. Belirsiz katsayılar yöntemi. En küçük kareler yöntemi ve düzenlileştirme. Düzenlileştirme örnekleri. Çok boyutlu problemleri tek boyutlu problemlere indirgemek. Üçgende fonksiyonların interpolasyonu. Düzgün bir ızgarada sayısal entegrasyon hatasının tahmini. Sayısal entegrasyon hatası için daha düşük tahmin. Monte Carlo yöntemi. Sorunların çözümünde deterministik olmayan yöntemlerin kullanılmasının yasallığının tartışılması. Monte Carlo yönteminin yakınsamasını hızlandırmak.

Cebirin sayısal yöntemleri. Bilinmeyenlerin sıralı olarak hariç tutulmasına yönelik yöntemler. Yansıma yöntemi. Basit yineleme yöntemi. Basit yineleme yönteminin bilgisayarda uygulanmasının özellikleri. b2-hatanın pratik tahmini ve yakınsamanın hızlandırılması süreci. Yinelemeli süreçlerin yakınsama oranının optimizasyonu. Seidel yöntemi. En dik eğim iniş yöntemi. Eşlenik gradyan yöntemi. Spektral eşdeğer operatörleri kullanan yinelemeli yöntemler. Bir denklem sisteminin yaklaşık çözümünde hata ve matrislerin koşulluluğu. Düzenleme. Özdeğerler sorunu. QR algoritmasını kullanarak özdeğer probleminin tamamını çözme.

Doğrusal olmayan denklem sistemlerini ve optimizasyon problemlerini çözme. Basit yineleme yöntemi ve ilgili konular. Doğrusal olmayan denklemleri çözmek için Newton'un yöntemi. İniş yöntemleri. Çok boyutlu problemleri daha düşük boyutlu problemlere indirgemek için diğer yöntemler. Durağan problemleri kurarak çözmek.

Adi diferansiyel denklemler için Cauchy problemini çözmeye yönelik sayısal yöntemler. Taylor formülünü kullanarak Cauchy problemini çözme. Runge-Kutta yöntemleri. Adım hatası kontrollü yöntemler. Tek adımlı yöntemler için hata tahminleri. Sonlu fark yöntemleri. Belirsiz katsayılar yöntemi. Sonlu farklar yöntemlerinin özelliklerinin model problemler üzerinde incelenmesi. Sonlu fark yöntemlerinin hata tahmini. Denklem sistemlerinin entegrasyonunun özellikleri. İkinci dereceden denklemlerin sayısal entegrasyon yöntemleri.

Adi diferansiyel denklemler için sınır değer problemlerini çözmek için sayısal yöntemler.İkinci dereceden bir denklem için sınır değer problemini çözmenin en basit yöntemleri. Grid sınır değeri probleminin Green fonksiyonu. En basit sınır değer grid probleminin çözümü. Hesaplamalı algoritmaların kapanışları. Birinci mertebeden doğrusal sistemler için sınır değer problemlerinin formülasyonlarının tartışılması. Birinci mertebeden denklem sistemleri için sınır değer problemlerini çözmeye yönelik algoritmalar. Doğrusal olmayan sınır değer problemleri. Özel tipte yaklaşımlar. Özdeğerlerin bulunmasında sonlu fark yöntemleri. Entegrasyon düğümlerinin dağıtımının optimizasyonu. Varyasyon ilkelerini kullanarak sayısal yöntemlerin oluşturulması. Düzensiz durumda varyasyonel yöntemlerin yakınsamasının iyileştirilmesi. Sonlu fark denkleminin yazılma biçimine bağlı olarak hesaplama hatasının etkisi.

Kısmi diferansiyel denklemleri çözme yöntemleri. Izgara yöntemi teorisinin temel kavramları. En basit hiperbolik problemlerin yaklaşımı. Dondurulmuş oranlar ilkesi. Doğrusal olmayan problemlerin süreksiz çözümlerle sayısal çözümü. Tek boyutlu parabolik denklem için fark şemaları. Eliptik denklemlerin fark yaklaşımı. Çeşitli uzaysal değişkenlere sahip parabolik denklemlerin çözülmesi. Izgara eliptik denklemlerini çözme yöntemleri.

İntegral denklemlerin çözümü için sayısal yöntemler.İntegral denklemlerini, integrali karesel toplamla değiştirerek çözme. Çekirdeği dejenere bir çekirdekle değiştirerek integral denklemleri çözme. Birinci türden Fredholm integral denklemi.

3. Doğrusal programlama yöntemleri

Doğrusal eşitsizlikler teorisinin temelleri.

Doğrusal programlama problemlerinin matematiksel formülasyonu.

Doğrusal programlama problemlerinin çözümü için Simpleks yöntemi. Simpleks yöntemi. Tablo biçiminde Simpleks yöntemi. Değiştirilmiş simpleks yöntemi. İkili simpleks yöntemi.

Doğrusal eşitsizliklerin ve doğrusal programlamanın kayıt uzunluğu ve teorik karmaşıklığı.

İkili yöntem, eleme yöntemi ve gevşeme yöntemi. Doğrudan ikili yöntem. Fourier-Motzkin eleme yöntemi. Gevşeme yöntemi.

Doğrusal programlamada polinom çözülebilirliğine ilişkin ek sonuçlar. Karmarkar tarafından geliştirilen polinom doğrusal programlama algoritması. Güçlü polinom algoritmaları. Megiddo algoritması, sabit boyutlu doğrusal. Politopların ince kırpılması ve yuvarlanması.

4. Doğrusal olmayan programlamanın yöntemleri ve algoritmaları

Kısıtsız optimizasyon yöntemleri. Türev kullanmadan doğrusal arama. Türev kullanarak doğrusal arama. Doğrusal aramanın algoritmik eşlemelerinin kapalılığı. Türev kullanmadan çok boyutlu arama. Çok boyutlu arama kullanarak. Eşlenik yönleri kullanan yöntemler.

Ceza yöntemleri ve bariyer fonksiyonları. Ceza fonksiyonu kavramı. Ceza fonksiyonları yöntemi. Bariyer yöntemi.

Olası yönlerin yöntemleri. Zeutendijk yöntemi. Zeutendijk yönteminin yakınsama analizi. Rosen Gradyan Projeksiyon Yöntemi. Wolfe'un azaltılmış gradyan yöntemi. Dışbükey simpleks Zangwill yöntemi.

Doğrusal tamamlayıcılık. İkinci dereceden, ayrılabilir kesirli doğrusal programlama. Doğrusal tamamlayıcılık problemi. İkinci dereceden programlama. Ayrılabilir programlama Kesirli doğrusal programlama.

5. Olasılık teorisinin unsurları
ve matematiksel istatistikler

Olasılık teorisinin temel kavramları. Etkinlik. Bir olayın olasılığı. Olasılıkların doğrudan hesaplanması. Bir olayın sıklığı veya istatistiksel olasılığı. Rastgele değer. Neredeyse imkansız ve pratik olarak kesin olaylar. Pratik kesinlik ilkesi.

Olasılık teorisinin temel teoremleri. Ana teoremlerin amacı. Olayların toplamı ve çarpımı. Olasılık toplama teoremi. Olasılık çarpımı teoremi. Toplam olasılık formülü. Hipotez teoremi (Bayes formülü).

Tekrarlanan deneyler. Deneylerin tekrarına ilişkin özel teorem. Deneylerin tekrarına ilişkin genel teorem.

Rastgele değişkenler ve dağılım yasaları. Dağıtım serisi. Dağıtım poligonu. Dağıtım işlevi. Rastgele bir değişkenin belirli bir alana düşme olasılığı. Dağıtım yoğunluğu. Rasgele değişkenlerin sayısal özellikleri. Rolleri ve amaçları. Konum özellikleri (matematiksel beklenti, mod, medyan). Anlar. Dağılım. Standart sapma. Düzgün yoğunluk kanunu. Poisson yasası.

Normal dağılım kanunu. Normal yasa ve parametreleri. Normal dağılım momentleri. Normal yasaya tabi bir rastgele değişkenin belirli bir alana düşme olasılığı. Normal dağılım fonksiyonu. Olası (ortalama) sapma.

Deneysel verilere dayanarak rastgele değişkenlerin dağılım yasalarının belirlenmesi. Matematiksel istatistiğin temel problemleri. Basit bir istatistiksel popülasyon. İstatistiksel dağılım fonksiyonu. İstatistik serisi. Grafik çubuğu. İstatistiksel dağılımın sayısal özellikleri. İstatistiksel serilerin hizalanması. Onay kriterleri.

Olasılık teorisinin limit teoremleri. Büyük sayılar kanunu ve merkezi limit teoremi. Chebyshev eşitsizliği. Büyük sayılar kanunu (Chebyshev teoremi). Genelleştirilmiş Chebyshev teoremi. Markov'un teoremi. Büyük sayılar yasasının sonucu: Bernoulli ve Poisson teoremleri. Kütle rastgele olayları ve merkezi limit teoremi. Karakteristik fonksiyonlar. Aynı şekilde dağıtılan terimler için merkezi limit teoremi. Merkezi limit teoremini ifade eden ve pratik uygulamasında karşılaşılan formüller.

Deneylerin işlenmesi. Sınırlı sayıda deneyin işlenmesinin özellikleri. Dağıtım yasasının bilinmeyen parametreleri için tahminler. Beklenti ve varyans tahminleri. Güven aralığı. Güven olasılığı. Normal bir yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişkenin parametreleri için güven aralıkları oluşturmaya yönelik kesin yöntemler. Frekansa göre olasılık tahmini. Rasgele değişkenlerden oluşan bir sistemin sayısal özelliklerine ilişkin tahminler. Ateşleme işlemi. En küçük kareler yöntemi kullanılarak deneysel bağımlılıkların yumuşatılması.

6. Matematiksel modelleme problemlerinin çözümünde bilgi teknolojilerinin ve standart yazılım paketlerinin kullanımının genel özellikleri

Bilgi CASE teknolojilerinin amacı ve özellikleri.

Bilgi CAPE teknolojilerinin amacı ve özellikleri.

Bilgi CALS teknolojilerinin amacı ve özellikleri.

Matematiksel modelleme problemlerini çözmek için İNTERNET kullanmanın durumu ve beklentileri.

Matematiksel modelleme programlarının komplekslerini oluşturmaya yönelik araçlar olarak nesne yönelimli programlama dilleri ve görsel programlama araçları.

7. Kimyasal teknolojik süreçlerin matematiksel modellemesinin teorik temelleri

Karmaşık kimyasal reaksiyonların matematiksel modellenmesi. Reaksiyon mekanizması ile ilgili hipotezlerin test edilmesi ve kinetik sabitlerin tahmin edilmesi. Kinetik parametrelerin iyileştirilmesi ve kinetik hipotezlerin ayrıştırılması.

İzotermal reaktörlerin matematiksel modelleri. Borulu reaktörlerin (tapa akışlı reaktörler) ve kesikli reaktörlerin modelleri. Karıştırıcılı akış reaktörlerinin modelleri (ideal karıştırma reaktörü). Karıştırma dikkate alınarak boru şeklinde akışlı reaktörlerin modelleri (difüzyon tipi reaktör).

İzotermal olmayan reaktörlerin matematiksel modelleri . Psödohomojen modeller. İki fazlı modeller. Tipik reaktör modlarının stabilite analizi. Politropik bir reaktörün optimal sıcaklık profilinin belirlenmesi. Ototermal reaktörlerin modelleri.

Heterojen katalitik reaktörlerin matematiksel modelleri. Basit reaksiyonların kinetiği için denklem biçimlerinin gerekçelendirilmesi. Basit reaksiyonların kinetik denklemlerinin yeterliliğinin deneysel olarak doğrulanması için metodoloji.

Matematik geliştirmek için deneysel ve istatistiksel yöntemler Fiziksel ve kimyasal süreçlerin modelleri. Regresyon ve korelasyon analizi yöntemleri. Optimal deneyleri planlama yöntemleri: tam faktöriyel deney; kesirli kopyalar; ikinci dereceden ortogonal planlar; ikinci dereceden dönebilen planlar; Deneyleri planlamak için simpleks yöntemi.

Yeterli matematiksel modelleri kontrol etme yöntemleri . Tabloların, histogramların ve dağıtım fonksiyonlarının oluşturulması ve analizi. Momentlerin yöntemi. En küçük kareler yöntemi.

Tipik kimyasal teknolojik süreçlerin matematiksel modelleri . Tipik akış yapılarının matematiksel modelleri: ideal yer değiştirme modelleri; ideal karıştırma modelleri; tek parametreli ve iki parametreli difüzyon modelleri; hücre modeli; kombine modeli. Tipik ısı transfer işlemlerinin matematiksel modelleri: Fourier-Kirchhoff konvektif transfer denklemleri; Fourier ısı denklemi; Newton denklemi; ideal yer değiştirme modeli; ideal karıştırma modeli; hücresel ve difüzyon modelleri. Isı değiştiricilerin matematiksel modelleri (boru içinde boru). Tipik kütle transfer süreçlerinin matematiksel modelleri: Moleküler ve konvektif taşınma için Fick denklemleri; Newton denklemi. İkili ve çok bileşenli karışımların damıtma kolonlarında ayırma işlemlerinin matematiksel modelleri. Grafik teorisine dayalı moleküllerin benzerliğini analiz etme yöntemleri.

8. Matematiksel modelleme yöntemleri, kimyasal teknolojik sistemlerin analizi ve sentezi için algoritmalar

Kimyasal teknolojik sistemlerin (CTS) matematiksel modelleme ve analizinin ilkeleri ). CTS'nin operatör-sembolik matematiksel modeli. Statik CTS modlarını tanımlamak için doğrudan yöntemler. Matematiksel modelleme, kimyasal ekipmanların tasarım ve işletim problemlerini çözmenin ana yöntemidir. Kimya mühendisliği analiz problemlerinin çözümü ve ilkeleri. CTS analizinin blok ilkesinin özellikleri. Kimyasal maddelerin madde-ısı dengelerinin denklem sistemine genel bakış. Malzeme ve ısı dengeleri denklem sistemlerinin derlenmesi için başlangıç ​​verilerinin hazırlanması. Malzeme ve ısı dengeleri denklem sistemlerine bir çözümün varlığına dair işaretler. CTS'nin serbestlik derecesinin belirlenmesi. CTS'nin düzenlenmiş ve optimize edici bilgi değişkenlerinin seçimine yönelik öneriler.

CTS'nin topolojik modellerini oluşturma ilkeleri . Kimyasal yapıların topolojik modellerinin sınıflandırılması ve amacı. Grafik teorisinin temelleri. Grafiklerin matris gösterimi. XTS akış grafikleri. Parametrik akış grafikleri. Malzeme akış grafikleri. Termal akış grafikleri. Ekserji akış grafikleri. Döngüsel akış grafikleri. XTS'nin bilgi akış grafikleri. İki parçalı bilgi grafikleri. Bilgi grafikleri. XTS sinyal grafikleri. CTS'nin yapısal grafikleri.

Karmaşık kimyasal sistemlerin analizi ve optimizasyonu için ayrıştırma-topolojik yöntemler. Kimyasal maddelerin analizinde kullanılan sayısal yöntemlerin genel özellikleri. Doğrusal olmayan denklem sistemlerinin çözümü için sayısal yöntemler ve algoritmalar: basit yineleme yöntemi ve modifikasyonları; Newton'un yöntemi; yarı-Newton yöntemleri; minimizasyon yöntemi; Parametreye göre farklılaşma yöntemi. Lineer denklem sistemlerini çözme yöntemleri: Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için sayısal yöntemlerin genel özellikleri; Doğrudan yinelemeli yöntemler. Kimya mühendisliğinin cebirsel denklem sistemlerini çözmek için çeşitli sayısal yöntemlerin etkinliği. Problemin matematiksel formülasyonu ve KTS optimizasyon yöntemlerinin sınıflandırılması. Karmaşık kimyasal sistemleri optimize etmek için iki seviyeli yöntemler: iki seviyeli yöntemlerin genel stratejisi; ara değişkenleri sabitleme yöntemi; fiyat yöntemi; CTS'nin dijital modellenmesine yönelik özel programların genel özellikleri.

9. Yapay Zeka Yöntemleri
uzman sistem oluşturma ilkeleri ve ilkeleri

Yapay zeka, uzman sistemler oluşturmanın bilimsel temelidir . Yapay zeka alanında bilimsel araştırmanın modern yönleri. Bilimsel ve teknik faaliyetlerin resmi olmayan görevleri ve bilgi temsil modellerinin sınıflandırılması. Kimyada resmi olmayan problemler. Kimyasal teknolojik sistemlerin tasarımında resmi olmayan görevler. Kimyasal-teknolojik sistemlerin işletilmesinde resmi olmayan görevler. Sezgisel programlama ve otomatik öğrenme.

Gayri resmi sorunlara çözüm bulmaya yönelik bilgi temsil modellerinin ve prosedürlerinin genel özellikleri. Bilgi temsilinin mantıksal ve mantıksal-dilbilimsel modelleri. Bilgi temsilinin ağ yapısal-dilsel modelleri. Çerçevelerin genel özellikleri ve üretim kuralları. Bilgi temsil modelleri ile veri modelleri arasındaki ilişki. Gayri resmi sorunlara çözüm bulmaya yönelik yöntem ve prosedürler. Doğal dil modellerine giriş. Sinir ağları kavramı ve kimyasal teknolojideki uygulamaları.

Bulanık bilgi temsil modelleri ve deterministik olmayan karar çıkarım prosedürleri . Kimya ve kimya teknolojisinde bulanık bilgi kavramı. Güvenilmez verilerle kesin olmayan muhakeme yöntemleri. Bulanık ve olasılıksal mantık hakkında genel bilgi. Bulanık küme teorisinin temel kavramları. Bulanık kümeler teorisine dayalı bilgi temsil modelleri.

Bilgi temsilinin yapısal ve dilsel modelleri ve çözüm üretme prosedürü . Çerçeve geliştirmenin sınıflandırılması ve ilkeleri. Çerçevelerin ve çıkarım prosedürlerinin temel özellikleri. Çeşitli anlamsal ağ sınıflarını oluşturmanın ilkeleri. Anlamsal ağları kullanarak çözüm çıkarma prosedürleri.

Bilgi temsilinin mantıksal modelleri ve mantıksal çıkarım prosedürleri . Yüklem hesabına dayalı bilgi temsili modelleri. Tümdengelimli sistemlerde biçimsel çıkarım prosedürleri. Çözünürlük ilkesine dayalı çıkarım prosedürleri. Yüklem hesabının yazılım uygulaması.

Ürün sistemleri ve karar çıktı kontrol işlemleri. Biçimsel bilgi temsil sistemleri olarak üretim sistemlerinin temel kavramları. Üretim sistemlerinin programlama sistemleri olarak işlevsel yapısı. Üretim sistemlerinde çözüm çıkarma stratejileri. Çözümler için sıralı sınırlı arama işlemleri.

Uzman sistemlerin mimarisi ve akıllı programlama dilleri . Uzman sistemlerin temel özellikleri. Uzman sistemlerin mimarisi. Uzman sistemlerin çalışma şekilleri ve sınıflandırılması. Uzman sistem geliştirmenin ana aşamaları.

Yapay zeka programlama dilleri uzman sistemlerin geliştirilmesine yönelik araçlardır. Dil-yazılım araçlarının temel kavramları ve sınıflandırılması. Fonksiyonel programlama dillerinin genel özellikleri. Mantıksal programlama dilleri hakkında temel bilgiler. Nesneye yönelik programlama kavramı. Nesneye yönelik programlama dillerinin özellikleri.

Bilgi temsil dillerinin genel özellikleri . Bilgi gösterimi için çerçeve dilleri. Ürün odaklı programlama dilleri. Dilbilgisi-anlamsal metin işleme dili kavramı.

Kimyasal teknolojideki ana uzman sistem türlerinin özellikleri . Optimum kimyasal teknolojik sistemlerin otomatik sentezi için uzman sistemler. Kimyasal teknolojide uzman sistemlere danışmanlık. Kimyasal teknolojik süreçlerin otomatik kontrolü ve teşhisi için uzman sistemler. Kimyada uzman sistemler. Ana gaz taşımacılığının durumsal kontrolü için akıllı otomatik sistemler. Uzman sistemler için teknolojik metinlerin anlamını anlamanın anlamsal-matematiksel modeli.

Gaz ayırma sistemlerinin sentezi için hibrit uzman sistem oluşturma ilkeleri . Gaz ayırma sistemlerinin sentezi için resmi olmayan bir problemin beyanı. Gaz ayırma sistemlerinin otomatik sentezi için bilgi temsilinin ürün çerçevesi modelleri. Gaz ayırma sistemlerinin sentezi için ayrıştırma buluşsal üretim prosedürü. Hedef ürünleri izole etmek için en uygun diziyi oluşturmaya yönelik üretken-hesaplamalı algoritma.

Enstrümantal hibrit uzman sistem “Ekran-XTS”nin geliştirilmesi ve uygulanması. Amaç, yetenekler ve çalışma modları. Mimari ve operasyonlar. Kullanıcı ile uzman sistem arasındaki akıllı diyalog.

Ana literatür

Hesaplamalı matematiğin Marchuk'u: Proc. ödenek. M.: Nauka, 1989.

Hesaplamalı matematikte Ryabenky. M.: Nauka, 1994.

Kobelkov yöntemleri. Ders Kitabı ödenek. M.: Nauka, 1987.

Kahaner D., Mowler K., Nash S. Sayısal yöntemler ve yazılım. M.: Mir, 1998.

Problemlerde ve alıştırmalarda Timokhov optimizasyonu. M.: Nauka, 1991.

Skrayver A. Doğrusal ve tamsayı programlama teorisi. 2 ciltte. Başına. İngilizceden M.: Mir, 1991.

Bazara M., Shetty K. Doğrusal olmayan programlama. Teori ve algoritmalar. Başına. İngilizceden M.: Mir, 1982.

Kimya teknolojisinde karıştırıcı sistemler. Teorinin temelleri, geliştirme ve uygulama deneyimi. M.: Kimya, 1995.

Meşalkin ve kimyasal-teknolojik sistemlerin sentezi. M.: Kimya, 1991.

Olasılıkların Wentzel'i. Ders Kitabı üniversiteler için. 6. baskı. silinmiş M.: Yüksekokul, 1999.

Modern dünyada matematik, bir kişinin etrafındaki dünyayı anlaması için giderek daha önemli araçlardan biri haline geliyor. Matematik, doğa bilimleri ve teknolojide teorik araştırmanın ana yöntemi ve pratik bir araçtır; matematik olmadan ciddi bilimsel ve mühendislik hesaplamaları yapmak tamamen imkansızdır. Alman klasik felsefesinin kurucusu Immanuel Kant'ın (1742 - 1804) "her bireysel doğa biliminde, ancak onda matematik bulunabildiği sürece uygun bilimi bulabileceğini" iddia etmesi sebepsiz değildir. Bir bilim olarak matematik, pratik problemleri çözme ihtiyacıyla bağlantılı olarak ortaya çıktı: yerde ölçümler, navigasyon vb. Bu nedenle matematik her zaman sayısal matematik olmuştur ve amacı problemlere sayı biçiminde çözümler elde etmektir. Bilgisayarların yaratılması matematiğin gelişimine yeni bir ivme kazandırdı, yeni disiplinler ortaya çıktı: “matematiksel ekonomi”, “matematiksel kimya”, “matematiksel dilbilim” vb. “Matematiksel modelleme” kavramı ortaya çıktı. Kelime " modeli"Latince'den geliyor modus(kopya, resim, taslak). Modelleme, bir A nesnesinin (orijinal) başka bir B nesnesi (model) ile değiştirilmesidir.

Matematiksel model, matematiksel kavramları kullanarak gerçekliğin basitleştirilmiş bir açıklamasıdır. Matematiksel modelleme, gerçek süreç ve olayların matematiksel modellerini oluşturma ve inceleme sürecidir; Matematik dilindeki yaklaşık tanımlarını kullanarak gerçek dünyadaki nesneleri ve süreçleri incelemek için bir yöntem - matematiksel modeller. Geçmişin en büyük bilim adamları, çalışmalarında hem doğal olayların matematiksel bir tanımının (matematiksel modeller) inşasını hem de araştırmasını birleştirdi. Karmaşık modellerin analizi, problemlerin çözümü için yeni, genellikle sayısal yöntemlerin yaratılmasını gerektiriyordu.

Akademisyen A.A. Samarsky, haklı olarak yerli matematiksel modellemenin kurucusu olarak kabul edilir. Matematiksel modellemenin metodolojisini ünlü üçlüyle ifade etti. « modeli– algoritma– programı».

1. Aşama. Modeli. İncelenmekte olan nesnenin en önemli özelliklerini matematiksel biçimde yansıtan bir modeli seçilir veya oluşturulur. Tipik olarak, gerçek süreçlerin matematiksel modelleri oldukça karmaşıktır ve doğrusal olmayan fonksiyonel diferansiyel denklem sistemlerini içerir. Matematiksel bir modelin özü genellikle kısmi diferansiyel denklemlerdir. Nesne hakkında ön bilgi edinmek için oluşturulan model, uygulamalı matematiğin geleneksel analitik araçları kullanılarak incelenir.

sahne. Algoritma. Oluşturulan modeli bir bilgisayarda uygulamak için, modelin temel özelliklerini bozmaması gereken ve çözülen problemlerin ve kullanılan hesaplama araçlarının özelliklerine uyarlanabilir olması gereken bir hesaplamalı algoritma seçilir veya geliştirilir. Oluşturulan matematiksel model, hesaplamalı matematik yöntemleri kullanılarak incelenir.

Sahne 3. programı. Model ve algoritmanın bilgisayarda uygulanması için yazılım oluşturulur. Oluşturulan yazılım ürünü, bir dizi matematiksel model kullanma ihtiyacı ve hesaplamaların çok değişkenliği ile ilişkili matematiksel modellemenin en önemli özelliklerini dikkate almalıdır. Sonuç olarak araştırmacı, bir dizi deneme problemini çözerek ilk önce hata ayıklaması yapılan, test edilen ve kalibre edilen evrensel, esnek ve ucuz bir araç elde eder. Daha sonra incelenen nesnenin gerekli niteliksel ve niceliksel özelliklerini ve özelliklerini elde etmek için matematiksel modelin geniş ölçekli bir çalışması gerçekleştirilir. Önerilen metodoloji teknoloji şeklinde geliştirildi “ hesaplamalı deney " Hesaplamalı deney, tam ölçekli bir deneyin imkansız olduğu (örneğin, insan sağlığını incelerken), veya çok tehlikeli (örneğin, çevresel olayları incelerken) veya çok pahalı olduğu durumlarda, çevredeki dünyadaki olayları incelemek için tasarlanmış bir bilgi teknolojisidir. ve karmaşık (örneğin, astrofiziksel olayların incelenmesi sırasında). Bilgisayarların matematiksel modellemede yaygın kullanımı, geliştirilen teori ve önemli pratik sonuçlar, bilimsel ve pratik araştırma için yeni bir teknoloji ve metodoloji olarak hesaplamalı deneyden bahsetmemize olanak sağlar. Hesaplamalı deneylerin mühendislikte ciddi şekilde uygulanması henüz çok yaygın değildir, ancak gerçekte gerçekleştiği yerde (havacılık ve uzay endüstrilerinde), meyveleri çok önemlidir. Hesaplamalı deneyin doğal deneyle karşılaştırıldığında bazı avantajlarına dikkat çekelim. Hesaplamalı bir deney genellikle fiziksel bir deneyden daha ucuzdur. Bu deneye kolaylıkla ve güvenli bir şekilde müdahale edilebilir. Gerektiğinde tekrar tekrarlanabilir ve istenildiği zaman ara verilebilir. Bu deney laboratuvarda oluşturulamayan koşulları simüle edebilir. Bazı durumlarda tam ölçekli bir deney yapmak zor ve bazen imkansızdır. Çoğu zaman, tam ölçekli bir doğal deney yürütmek, felaketle veya öngörülemeyen sonuçlarla (nükleer savaş, Sibirya nehirlerinin saptırılması) veya insan hayatı veya sağlığı için tehlikeyle ilişkilendirilir. Çoğunlukla felaket olaylarının (nükleer reaktör kazası, küresel ısınma veya iklimin soğuması, tsunami, deprem) araştırılması ve tahmin edilmesi gerekir. Bu durumlarda, hesaplamalı bir deney araştırmanın ana aracı haline gelebilir. Onun yardımıyla yeni, henüz yaratılmamış yapıların ve malzemelerin özelliklerini tasarım aşamasında tahmin etmek mümkün hale geliyor. Aynı zamanda, bir hesaplamalı deneyin sonuçlarının uygulanabilirliğinin, benimsenen matematiksel modelin çerçevesi ile sınırlı olduğu da unutulmamalıdır. Tam ölçekli araştırmalardan farklı olarak, hesaplamalı deney, kişinin belirli bir dizi problemin incelenmesinden elde edilen sonuçları biriktirmesine ve daha sonra bunları diğer alanlardaki problemlerin çözümünde etkili bir şekilde uygulamasına olanak tanır. Örneğin, doğrusal olmayan termal iletkenlik denklemi yalnızca termal süreçleri değil aynı zamanda maddenin difüzyonunu, yeraltı suyunun hareketini ve gözenekli ortamda gaz filtrasyonunu da açıklar. Bu denklemde yer alan büyüklüklerin yalnızca fiziksel anlamı değişir. Hesaplamalı deneyin ilk aşamasından sonra modelin iyileştirilmesi gerekebilir. İkinci aşamada, incelenen olgudaki ek etkiler ve bağlantılar dikkate alınır ya da bazı kalıp ve bağlantıların ihmal edilmesi zorunlu hale gelir. Daha sonra bu süreç, modelin incelenen nesneye uygun olduğu doğrulanıncaya kadar tekrarlanır. Genellikle matematiksel modelleme ve hesaplamalı deney sürecine profesyonel matematikçiler ve programcıların yanı sıra belirli bir konu alanındaki (biyoloji, kimya, tıp vb.) uzmanlar da katılır. İlk ciddi hesaplama deneyi, 1968 yılında SSCB'de akademisyenler A.N. Tikhonov ve A.A. liderliğindeki bir grup bilim adamı tarafından gerçekleştirildi. Samara. Bu, aslında hiç kimsenin gözlemlemediği bir fenomen olan T katmanı etkisinin (MHD jeneratörlerinde oluşan plazmadaki sıcaklık akımı katmanı) keşfiydi. Ve yalnızca birkaç yıl sonra, T katmanı deneysel fizik laboratuvarlarına kaydedildi ve MHD jeneratörünün T katmanıyla çalışma prensibi nihayet teknoloji uzmanları ve mühendisler için netleşti. Son yıllarda kimya, tıp, ekonomi ve temel parçacık fiziği dallarında çok sayıda Nobel Ödülü, metodolojik temeli matematiksel modelleme olan çalışmalara verildi. Matematiksel modeller, mekanik, fizik ve diğer kesin bilimlerde incelenen olayları tanımlamak için uzun süredir kullanılmaktadır. 3-4 bin yıl önce alan ve hacimlerin hesaplanması, en basit mekanizmaların hesaplanması ile ilgili uygulamalı matematik problemlerini çözdüler. Basit aritmetik, cebir ve geometri problemleriyle. Hesaplama araçları kendi parmakları ve ardından abaküstü. Hesaplamaların çoğu yuvarlama olmadan doğru bir şekilde gerçekleştirildi. 17. yüzyılda Isaac Newton, gezegenlerin Güneş çevresindeki hareket modellerini tam olarak tanımladı, jeodezi problemlerini çözdü ve mekanik yapıların hesaplamalarını gerçekleştirdi. Sorunlar sıradan diferansiyel denklemlere veya çok sayıda bilinmeyen içeren cebirsel sistemlere indirgendi, hesaplamalar 8 anlamlı rakama kadar oldukça yüksek bir doğrulukla gerçekleştirildi. Hesaplamalarda temel fonksiyon tabloları, toplama makinesi ve hesap cetveli kullanıldı; Bu dönemin sonunda oldukça iyi, elektrik motorlu klavyeli makineler ortaya çıktı. Şu anda, hesaplamalı matematik cephaneliğinde hala onurlu bir yer tutan sayısal yöntemlere yönelik algoritmalar geliştirildi. Böylece Newton, cebirsel denklemleri çözmek için etkili bir sayısal yöntem önerdi ve Euler, sıradan diferansiyel denklemleri çözmek için sayısal bir yöntem önerdi. Sayısal yöntemlerin uygulanmasına klasik bir örnek Neptün gezegeninin keşfidir. Uranüs, yüzyıllar boyunca en uzak gezegen olarak kabul edilen Satürn'ün yanındaki gezegendir. 19. yüzyılın 40'lı yıllarına gelindiğinde. Doğru gözlemler, bilinen tüm gezegenlerden gelen rahatsızlıklar dikkate alındığında, Uranüs'ün izlemesi gereken yoldan neredeyse fark edilmeyecek kadar saptığını göstermiştir. Le Verrier (Fransa'da) ve Adams (İngiltere'de), eğer bilinen gezegenlerden gelen rahatsızlıklar Uranüs'ün hareketindeki sapmayı açıklamıyorsa, bunun henüz bilinmeyen bir cismin çekiminin ona etki ettiği anlamına geldiğini öne sürdüler. Uranüs'ün arkasında nerede, yerçekimiyle bu sapmaları üreten bilinmeyen bir cismin olması gerektiğini neredeyse aynı anda hesapladılar. Bilinmeyen gezegenin yörüngesini, kütlesini hesapladılar ve bilinmeyen gezegenin o sırada bulunması gereken gökyüzündeki yerini gösterdiler. Bu gezegen 1846 yılında teleskopla gösterdikleri yerde bulunmuş. Adı Neptün'müş. Neptün'ün yörüngesini hesaplamak Le Verrier'in altı ayını aldı. Uygulamalı problemlerin sayısal çözümü her zaman matematikçilerin ilgisini çekmiştir. Sayısal yöntemlerin geliştirilmesi, zamanlarının en büyük bilim adamları tarafından gerçekleştirildi: Newton, Euler, Lobachevsky, Gauss, Hermite, Chebyshev, vb. Onlar tarafından geliştirilen sayısal yöntemler kendi adlarını taşıyor. Sayısal yöntemlerin geliştirilmesi, matematiğin diğer bilimsel disiplinlerdeki uygulama kapsamının ve uygulamalı gelişmelerin sürekli genişlemesine katkıda bulunmuştur. Bilgisayarların ortaya çıkışı, sayısal yöntemlerin bilimsel ve teknik hesaplama uygulamalarına daha da geniş bir şekilde dahil edilmesine güçlü bir ivme kazandırdı. Hesaplamalı işlemlerin hızı milyonlarca kat arttı ve bu da daha önce pratik olarak çözülemeyen çok çeşitli matematik problemlerinin çözülmesini mümkün kıldı. Hesaplamalı algoritmaların geliştirilmesi ve araştırılması, bunların belirli problemlerin çözümüne uygulanması, modern matematiğin - hesaplamalı matematiğin - büyük bir bölümünün içeriğini oluşturur. Bağımsız bir matematik disiplini olarak hesaplamalı matematik, yirminci yüzyılın başında kuruldu. Hesaplamalı matematik genel olarak bilgisayar kullanımıyla ilgili çok çeşitli konuları inceleyen bir matematik dalı olarak tanımlanır. Dar anlamda hesaplamalı matematik, ortaya atılan matematik problemlerini çözmeye yönelik sayısal yöntemler ve algoritmaların teorisi olarak tanımlanır. Dersimizde hesaplamalı matematiği terimin dar anlamıyla anlayacağız. Modern bilgisayar odaklı sayısal yöntemler, çeşitli ve sıklıkla çelişen gereksinimleri karşılamalıdır. Tipik olarak, belirli bir matematiksel model için sayısal bir yöntemin oluşturulması iki aşamaya ayrılır: orijinal matematik probleminin ayrıklaştırılması ve ayrık probleme bir çözüm bulmayı sağlayan bir hesaplama algoritmasının geliştirilmesi. Sayısal yöntemler için iki grup gereksinim vardır. İlk grup, ayrık modelin orijinal matematik problemine yeterliliğiyle, ikincisi ise sayısal yöntemin mevcut bilgisayar teknolojisine uygulanabilirliğiyle ilişkilidir. İlk grup, sayısal yöntemin yakınsaması, koruma yasalarının ayrık analoglarının uygulanması ve ayrık bir soruna yönelik çözümün niteliksel olarak doğru davranışı gibi gereksinimleri içerir. Bir matematik probleminin ayrık modelinin çok sayıda cebirsel denklemden oluşan bir sistem olduğunu varsayalım. Genellikle bir çözüme ne kadar doğru ulaşmak istersek, o kadar fazla denklem almamız gerekir. Denklem sayısında sınırsız bir artışla ayrık problemin çözümü orijinal problemin çözümüne yöneliyorsa sayısal bir yöntemin yakınsadığını söylüyorlar. Gerçek bir bilgisayar yalnızca sınırlı sayıda denklem üzerinde çalışabildiğinden, pratikte yakınsama genellikle sağlanamaz. Bu nedenle ayrık modeli oluşturan denklem sayısına bağlı olarak yöntemin hatasını tahmin edebilmek çok önemlidir. Aynı nedenle, nispeten az sayıda denklemle bile orijinal problemin çözümünün niteliksel davranışını doğru şekilde yansıtacak şekilde ayrık bir model oluşturmaya çalışırlar. Bu nedenle, matematiksel fizik problemlerini ayrıklaştırırken, doğrusal veya doğrusal olmayan cebirsel denklem sistemleri olan fark şemalarına gelirler. Matematiksel fiziğin diferansiyel denklemleri integral korunum yasalarının sonuçlarıdır. Bu nedenle, fark şeması için bu tür koruma yasalarının benzerlerinin karşılanmasını talep etmek doğaldır. Bu gereksinimi karşılayan fark şemalarına muhafazakar şemalar denir. Ayrık bir problemdeki aynı sayıda denklem için muhafazakar fark şemalarının, orijinal fark problemine yönelik çözümün davranışını muhafazakar olmayan şemalara göre daha doğru yansıttığı ortaya çıktı. Sayısal bir yöntemin yakınsaması onun doğruluğuyla yakından ilgilidir. Orijinal matematik probleminin doğru şekilde formüle edilmesine izin verin, yani. çözümü benzersiz ve sürekli olarak girdi verilerine bağlıdır. O halde bu problemin ayrık modeli doğruluk özelliği korunacak şekilde oluşturulmalıdır. Sonuç olarak, sayısal bir yöntemin doğruluğu kavramı, karşılık gelen denklem sisteminin benzersiz çözülebilirliği ve kararlılığının özelliklerini içerir. Kararlılık, girdi verilerine sürekli bağımlılık anlamına gelir. Sayısal yöntemlere ilişkin ikinci gereksinim grubu, belirli bir ayrık modelin belirli bir bilgisayarda uygulanması olasılığıyla ilgilidir; Kabul edilebilir bir sürede sayısal bir çözüm elde etme yeteneği ile. Tipik olarak, fiziksel ve teknik problemlerin incelenmesi sırasında ortaya çıkan karmaşık hesaplama problemleri, bir takım temel problemlere bölünür. Temel problemlerin çoğu basittir, iyi çalışılmışlardır, bunlar için sayısal çözüm yöntemleri halihazırda geliştirilmiştir ve standart çözüm programları mevcuttur. Bu bölümün amacı cebir ve matematiksel analizin temel sayısal yöntemlerini oluşturma ve inceleme metodolojisini ve problemlerin sayısal çözümünde ortaya çıkan problemleri tanıtmaktır.

Bir nesnenin veya olgunun modelini oluşturmak, onun en temel özelliklerini ve özelliklerini belirlemek ve bunları matematiksel ilişkiler kullanarak açıklamakla başlar. Daha sonra matematiksel bir model oluşturulduktan sonra matematiksel yöntemler kullanılarak incelenir. Formüle edilmiş bir matematik problemini çözer.

Matematik madalyasının yapımı, bir nesnenin incelenmesindeki en zor ve önemli aşamalardan biridir. Matematiksel bir model hiçbir zaman incelenen nesneyle aynı değildir ve onun tüm özelliklerini ve özelliklerini aktarmaz. Basitleştirmeye, idealleştirmeye dayanır ve nesnenin tanımına bir yaklaşımdır. Bu nedenle bu modele dayanarak elde edilen sonuçlar her zaman yaklaşık değerlerdedir. Doğrulukları, modelin ve nesnenin yazışma derecesine ve yeterliliğine göre belirlenir. Uygulamalı matematikte doğruluk sorunu en önemli konudur. Ancak bu tamamen matematiksel bir soru değildir ve matematiksel yöntemler kullanılarak çözülemez. Gerçeğin ana kriteri deneydir, yani. matematiksel bir model temelinde elde edilen sonuçların söz konusu nesneyle karşılaştırılması. Yalnızca uygulama, çeşitli varsayımsal modelleri karşılaştırmayı ve en basit ve en güvenilir olanı seçmeyi, çeşitli modellerin uygulanabilirlik alanlarını ve iyileştirme yönlerini belirtmeyi mümkün kılar. Belirli bir açıyla başlangıç ​​hızıyla serbest bırakılan bir cismin yörüngesinin belirlenmesine ilişkin iyi bilinen balistik problem örneğini kullanarak modelin gelişimini ele alalım. ufka doğru. Başlangıç ​​olarak hızın olduğunu varsayalım. ve vücudun uçuş menzili küçüktür. O halde Galileo'nun aşağıdaki varsayımlara dayanan matematiksel modeli bu problem için geçerli olacaktır:

1) Dünya eylemsiz bir sistemdir;

2) serbest düşüş ivmesi
;

3) Dünya düz bir cisimdir;

4) hava direnci yoktur.

Bu durumda vücudun eksenler boyunca hareket hızının bileşenleri X Ve en eşit

ve onların yolları

, (6.2)

Nerede T - hareket süresi.

İlk denklemden t'yi belirleyip bunu ikinciye koyarak, bir parabol olan cismin yörüngesinin denklemini elde ederiz.

(6.3)

durumdan
vücudun uçuş menzilini elde ederiz

(6.4)

Ancak uygulamanın gösterdiği gibi, bu modele dayanarak elde edilen sonuçlar yalnızca vücudun düşük başlangıç ​​​​hızlarında geçerlidir. v<30м/с. С увеличением скоростиuçuş menzili formül (6.1) ile verilen değerden daha az olur.

T Deney ile hesaplama formülü (6.1) arasındaki bu tutarsızlık, Galileo'nun hava direncini hesaba katmayan modelinin hatalı olduğunu gösterir.

Pirinç. 6.1 - Gövde uçuş yolu

Newton balistik problemin modelini hava direncini dikkate alarak daha da geliştirdi. Bu, önemli başlangıç ​​hızlarıyla ateşlenen güllelerin yörüngelerinin yeterli doğrulukla hesaplanmasını mümkün kıldı.

Pürüzsüz silahtan yivli silahlara geçiş, mermilerin hızının, menzilinin ve irtifasının arttırılmasını mümkün kıldı ve bu da problemin matematiksel modelinin daha da geliştirilmesine neden oldu. Yeni matematiksel modelde Galileo'nun modelinde yapılan tüm varsayımlar revize edildi; Dünya artık düz ve eylemsiz bir sistem olarak görülmüyordu ve yerçekimi kuvvetinin sabit olduğu varsayılmıyordu.

Sorunun matematiksel modelinin daha sonra iyileştirilmesi, olasılık teorisi yöntemlerinin kullanılmasıyla ilişkilidir. Bunun nedeni, mermilerin, silahların, yüklerin ve çevrenin parametrelerinin toleranslar ve diğer nedenlerden dolayı değişmeden kalmaması, ancak rastgele dalgalanmalara maruz kalmasıydı.

Art arda yapılan iyileştirmeler ve iyileştirmeler sonucunda, dış balistik problemini en eksiksiz ve doğru şekilde tanımlayan bir matematiksel model oluşturuldu. Verilerinin çekim sonuçlarıyla karşılaştırılması iyi bir uyum gösterdi.

Bu örnek, sürekli olarak uygulamayla karşılaştırma ve doğrulamanın eşlik ettiği bir nesnenin matematiksel modelinin oluşturulması, geliştirilmesi ve iyileştirilmesi aşamalarını gösterir; gerçek nesne veya olgunun kendisi ile. Modelin sağladığı sonuçlar ile nesne arasındaki yeterince iyi olmayan uyum, modelin daha da geliştirilmesine neden olur.

Sayfa 1

Sayısal modelleme yöntemleri, ısı transferi ve akışkan akışı ile karakterize edilen teknik cihazların analizinde ve geliştirilmesinde önemli bir rol oynamaktadır. Uygun hesaplamalı programlarda uygulanan bu tür yöntemler, hızlı uygulanmaları ve maliyet etkinlikleri nedeniyle deneysel ölçümlere gerçek bir alternatif teşkil etmektedir. Sayısal analiz, geometrik özellikler, malzeme özellikleri, sınır koşulları hakkında gerçek veriler içerebilir ve sıcaklık alanları, hız ve diğer niceliklerin yanı sıra bunlarla ilgili akışlar hakkında tam ve ayrıntılı bilgi sağlayabilir. Uygulamada bazı durumlarda cihazların analiz ve tasarımı tamamen bir bilgisayar programı kullanılarak gerçekleştirilebilmektedir. Bazı deneysel araştırmaların istendiği durumlarda, deneylerin tasarımında ve tasarımında sayısal simülasyon kullanılarak deneylerin maliyeti önemli ölçüde azaltılabilir ve sonuçları genişletilip zenginleştirilebilir.  

Dinamik sayısal modelleme yöntemleri, model sistemlerin belirli koşullar altındaki davranışını simüle eder ve bu açıdan sayısal modelleme gerçek deneylere benzer.  

Moleküler sistemlerin sayısal modelleme yöntemleri (sayısal deneyler) fiziksel ve kimyasal araştırma uygulamalarında giderek daha fazla kullanılmaktadır. Bununla birlikte, en gelişmiş bilgisayar teknolojisiyle bile, birbiriyle etkileşim halinde olan birkaç binden fazla parçacıktan oluşan sistemlerin davranışını ayrıntılı olarak simüle etmek imkansızdır. Modelleme için en uygun nesneler nispeten az sayıda molekülden oluşan sistemlerdir. Bu çalışmada su molekülü kümelerinin modellenmesinden bahsedeceğiz ve bu tür kümelerin yapısal özelliklerine asıl dikkati vereceğiz.  

Bölüm 5, sınır katmanları, jetler ve kanallardaki akışların sayısal modellenmesine yönelik yöntemlere ayrılmıştır.  

Monografi, hesaplamalı mekanik ve matematiksel optimizasyonun modern başarılarını kullanarak ana boru hattı sistemlerinin güvenliğini ve işletme verimliliğini artırmaya yönelik sorunları çözmek için tasarlanmış bilimsel kavramı, bilgi işlem teknolojilerini ve sayısal modelleme yöntemlerini özetlemektedir. Monografta sunulan materyal, okuyucunun ana boru hatlarının sayısal modellemesinin önerilen temellerini ayrıntılı olarak incelemesine olanak tanır.  

Fiziğin başka hiçbir alanı sayısal modelleme yöntemleriyle plazma fiziği kadar derinlemesine nüfuz etmemiştir. Günümüzde, sayısal modelleme yöntemlerine başvurmadan, yalnızca modern teorik fiziğin analitik yöntemlerine dayanarak plazma süreçlerini yeterince tam olarak tanımlamak düşünülemez. Bu, bir yandan plazma süreçlerinin karmaşıklığı ve çeşitliliği, diğer yandan bu süreçlerin yardımıyla iyi kurulmuş bir plazma dinamiği modelinin (Vlasov-Maxwell modeli) varlığıyla açıklanmaktadır. herhangi bir doğruluk derecesi ile niceliksel olarak tanımlanabilmektedir. Bu nedenle, çok karmaşık ve pahalı fiziksel deneyler yapmaktan kaçınmak için, plazma fiziği alanındaki araştırmacılar, 25 yıldan daha uzun bir süre önce, Vlasov-Maxwell modeline dayalı plazma süreçlerini analiz etmek için etkili sayısal yöntemler geliştirmeye başladılar ve Sayısal deneylerde büyük başarı elde etti.  

Bu deneysel yöntemlere ek olarak, sayısal modelleme yöntemleri kullanılarak özdifüzyon katsayılarının hesaplanmasına yönelik yöntemler de bulunmaktadır. Moleküler dinamik yöntemi son derece verimlidir. Her ne kadar model sistemlerle çalışsa da, elde edilen sonuçlar moleküler hareketlilik mekanizmalarını ve durum parametrelerinin etki kalıplarını aydınlatmak için kullanışlıdır. Moleküller arası potansiyel fonksiyonlarının doğru seçilmesi durumunda deneysel sonuçlara yakın sonuçlar elde edilir.  

Bu kitabın yayına hazırlanması sırasında, Navier-Stokes denklemlerine dayalı hidrodinamik süreçlerin sayısal modellenmesi, ısı ve kütle transferine yönelik yöntemler ile ilgili birçok yeni yayın ortaya çıktı. Burada ele alınan konulara en yakın olan sadece birkaç ekleme yapacağız. Bu çalışmada, akış fonksiyonuna göre dördüncü dereceden bir denklemin durağan problemlerini çözmek için alternatif üçgen yöntemi kullanılmıştır.  

Bulutların ve bulut atmosferinin özelliklerine bağlı olarak güneş ışınımı akılarının davranış kalıpları, sayısal modelleme yöntemleri (Monte Carlo yöntemi), taşıma denklemlerinin sayısal çözümleri ve asimptotik ilişkilerin kullanımı kullanılarak incelenmiştir.  

Kitap, hem plazma fiziği teorisi yöntemlerinde hem de sayısal modelleme yöntemlerinde, özellikle de plazma fiziğinde en yaygın olan büyük parçacık yönteminde akıcı olan yüksek nitelikli uzmanlar tarafından çevrildi. Plazma fiziği okuyan öğrencilerden bu kitapta kendileri için pek çok yararlı ve ilginç şey bulacak bilim adamlarına kadar oldukça geniş bir okuyucu kitlesine yöneliktir.  

Bizim görüşümüze göre, analitik yaklaşımları, tahmin problemlerinin sayısal modelleme yöntemlerine tamamen uygulanabilir, alternatif veya etkili bir eklenti haline getiren şey tam olarak bilgi tabanının zayıflıklarıydı. Tahminin en önemli unsuru olan şematizasyona gelince, burada analitik yöntemlere genellikle açık bir şekilde tercih edilmelidir.  

Kozmik ışın taşınımı denklemi ile gerçekçi hidrodinamik arasındaki bağlantı ilk önce kendine benzer bir hidrodinamik çözüm kullanılarak kuruldu, ancak şimdi bu bağlantı sayısal simülasyon yöntemleri kullanılarak elde ediliyor. Ek olarak, şok dalgasındaki hızlanmanın, süpernova enerjisinin korunduğu ve şok cephesinin içinde kaldığı kendine benzer Sedov aşaması sırasında meydana geldiği varsayımı altında, beklenen kozmik ışınların gerçekçi bir spektrumunu hesaplamak mümkün olmuştur.  

Işını simüle eden parçacıkların sayısının 102 mertebesinde olduğuna dikkat edilmelidir; bu, tam sayısal simülasyon yönteminde gereken parçacık sayısından iki kat daha azdır. Bu nedenle, bir plazmadaki monoenerjetik düşük yoğunluklu elektron ışınının gevşemesi, hız uzayındaki dağıtım fonksiyonunun, yarı doğrusal yaklaşımın kullanımı için yeterli vTb değerlerine ve fazların fazlarına oldukça hızlı bir şekilde genişlemesine yol açar. dalgaların kaotik hale gelmek için zamanları vardır.  

Burada sayısal modelleme yöntemlerinin kullanılması oldukça faydalıdır.  

Yerçekimi kararsızlığı teorisine dayanan Evrenin yapısının oluşumuna ilişkin modeller, genel anlamda karbon oluşumunu oldukça iyi tanımlamaktadır. Bu sürecin sayısal modelleme yöntemleri kullanılarak daha ayrıntılı bir şekilde incelenmesi, hesaplamaların büyük hacmi nedeniyle zordur. .  

1.Matematiksel modelleme ve uygulamalı problemlerin çözümünde bilgisayar kullanımı.

Modern bilim ve teknolojide matematiksel modelleme, deneylerin yerini alarak önemli bir rol oynamaktadır. gerçek nesneler onlarla deneyler Matematiksel modeller.

Matematiksel modellerçevreleyen dünyanın fenomenlerini insanın bilişinin ana araçlarından biridir. Matematiksel modeller, incelenen olgunun doğasında bulunan temel modeller ve bağlantılar olarak anlaşılmaktadır. Bunlar formüller veya denklemler, kurallar dizisi veya matematiksel biçimde ifade edilen kurallar olabilir. Çok eski zamanlardan beri matematik, mekanik, fizik ve doğa bilimlerinin diğer kesin bilimlerinde, incelenen olayları tanımlamak için matematiksel modeller kullanıldı. Böylece Newton yasaları, gezegenlerin Güneş etrafındaki hareket kalıplarını tamamen belirler. Mekaniğin temel yasalarını kullanarak, bir uzay aracının, örneğin Dünya'dan Ay'a olan hareketini tanımlayan denklemler oluşturmak nispeten kolaydır. Ancak bunların çözümünü basit formüller halinde elde etmek mümkün değildir.

Matematiksel modelleme için bilgisayarların kullanılması "problem çözme" kavramını değiştirdi. Bundan önce araştırmacı matematiksel bir model yazmakla yetiniyordu. Ve eğer hala prensipte bir çözümün (algoritmanın) var olduğunu kanıtlamayı başardıysa, o zaman modelin incelenen olguyu yeterince tanımladığına a priori inanıldığında bu yeterliydi. Kural olarak, modelin davranışını ve dolayısıyla model tarafından tanımlanan nesneyi tanımlayan basit formüller bulunmadığından, tek yol konuyu hesaplamalara indirgemek ve çözmek için sayısal yöntemlerin kullanılmasıdır. sorunlar.

Şu anda, bilgisayar kullanılarak incelenen nesnenin matematiksel modellerinin oluşturulmasına ve analizine dayanan karmaşık problemleri incelemek için bir teknoloji geliştirilmiştir. Bu araştırma yöntemine denir hesaplamalı deney.

Matematiksel modelleme ve hesaplamalı deney, günümüzde yalnızca kesin bilimler ve teknolojide değil, aynı zamanda ekonomik bilimler, sosyoloji ve geleneksel olarak matematik ve bilgisayarlardan uzak kabul edilen diğer birçok alanda da kullanılmaktadır. Neden hesaplamalı bir deneye ihtiyaç duyulur? Nükleer nesneler, uzay ve diğerleri gibi karmaşık nesnelerin tasarımı çok büyük miktarda hesaplama gerektirir. Örneğin, aerodinamik ve nükleer fiziğin birçok uygulamalı problemini çözmek için,

daha fazla aritmetik işlem. Modern teknolojiler sıklıkla karmaşık doğrusal olmayan faktörlerin dikkate alınmasını gerektiren sınırlayıcı modları kullanır. Genellikle bir nesnenin davranışını incelemek gerekir.

tam ölçekli bir deneyle neredeyse imkansız olan aşırı ve acil durumlar, örneğin nükleer patlamalar, insan yapımı felaketlerin sonuçları ve diğer birçok durumda incelenirken.

2. Hesaplamalı deney ve aşamaları.

Bilgisayarların matematiksel modellemede yaygın kullanımı ve oldukça güçlü bir teorik ve deneysel temel, bilimsel ve uygulamalı araştırmalarda yeni bir teknoloji ve metodoloji olarak hesaplamalı deneyden bahsetmemize olanak sağlar.

Hesaplamalı deney bilgisayardaki bir nesnenin matematiksel modeli üzerinde yapılan, bazı parametrelere dayalı olarak modelin diğer parametrelerinin hesaplanmasından ve bu temelde matematiksel model tarafından tanımlanan olgunun özellikleri hakkında sonuçlar çıkarılmasından oluşan bir deneydir.

Belirli bir konu alanında uzmanlar, teorik matematikçiler, bilgisayar bilimcileri, uygulamalı bilim adamları ve programcılardan oluşan bir araştırmacı ekibi, hesaplamalı bir deneyin yürütülmesine katılır. Bu

ve sonuçların işlenmesi. Burada çalışmayla bir benzetme görebilirsiniz.

kontrol deneyleri, seri deneylerin yapılması, deneysel verilerin işlenmesi ve yorumlanması vb. Bu nedenle, büyük karmaşık hesaplamaların yapılması, bilgisayarda yapılan bir deney veya hesaplamalı bir deney olarak değerlendirilmelidir.

fiziksel, kimyasal vb. hesaplamalı deney;

Hesaplamalı bir deney, tam ölçekli bir deneyle karşılaştırıldığında çok daha ucuz ve daha erişilebilirdir, hazırlanması ve uygulanması daha az zaman gerektirir, tekrarlanması kolaydır ve daha ayrıntılı bilgi sağlar. Ek olarak, hesaplamalı deney sırasında sınırlar ortaya çıkar

doğal koşullarda bir deneyi tahmin etmeye olanak tanıyan matematiksel bir modelin uygulanabilirliği. Bu nedenle, hesaplamalı deneyin kullanımı, araştırmaya dahil olan matematiksel modellerle sınırlıdır. Bu nedenle hesaplamalı bir deney tam ölçekli bir deneyin yerini tamamen alamaz ve bu durumdan çıkış yolu bunların makul kombinasyonunda yatmaktadır. Bu durumda, karmaşık bir deneyi yürütmek için çok çeşitli matematiksel modeller kullanılır: doğrudan problemler, ters problemler, optimizasyon problemleri, tanımlama problemleri.

Karmaşık uygulamalı problemleri çözme aracı olarak hesaplamalı deneyin kullanılması, her özel görev ve her özel bilimsel ekip için kendine özgü özelliklere sahiptir. Ancak yine de ortak karakteristik temel özelliklerin her zaman açıkça görülebilmesi, bu sürecin bütünleşik bir yapısından bahsetmemize olanak sağlıyor. Şu anda, bir hesaplamalı deneyin teknolojik döngüsü genellikle bir dizi teknolojik aşamaya bölünmüştür. Ve bu ayrım büyük ölçüde keyfi olmasına rağmen, bu teorik araştırma yürütme yönteminin özünü daha iyi anlamamızı sağlar.

Bu nedenle, herhangi bir deney gibi, hesaplamalı bir deney de belirli davranış kurallarına uyar. Şematik olarak, hesaplamalı deneyin aşamaları şu şekilde temsil edilebilir:

Pirinç. B. 1. Hesaplamalı deneyin şeması

Hesaplamalı deneyin temeli üçlüdür: model – yöntem (algoritma) – program. İlk olarak bazı varsayımlarla inşa edildi Nesnenin fiziksel modeli. Fiziksel bir model, söz konusu olguya uygulanan bir dizi kısıtlama, varsayım ve basitleştirmedir. Aşağıdakiler açıklanmaktadır matematiksel model. Matematiksel model, fiziksel durumu tanımlayan denklemler, bir denklem sistemi veya bir dizi denklem sistemidir.

modeli. Daha sonra bu denklem sistemlerinin çözülmesi gerekir. Daha önce de belirtildiği gibi, genellikle kullanmanız gerekir Sayısal yöntemler. Sayısal yöntem bir küme olarak anlaşılır ayrık model bilgisayarda uygulanan ve hesaplamalı algoritma, ayrıklaştırılmış bir sorunu çözmenize olanak tanır. Sayısal yöntemi uygulamak için programlama dillerinden birinde bir program geliştirmek veya hazır bir uygulama programları paketi kullanmak gerekir. Şu anda MathCAD, Matlab, Maple, Mathematica ve diğerleri gibi pratikte karşılaşılan sorunların çoğunu çözmenize olanak tanıyan uygulama yazılım paketleri bulunmaktadır. Ancak problemin yetkin bir şekilde formüle edilmesi, çözüm yönteminin rasyonel seçimi ve sonuçların doğru yorumlanması, ciddi sayısal yöntemler bilgisi gerektirir. Hata ayıklamanın ardından programlar üretilir bilgisayar hesaplamaları(genellikle hesaplamalı bir deney planlamanın gerekli olduğu birçok hesaplama çeşidinin yapılması gerekir) ve sonuçların analizi. Sonuçlar elde edildikten sonra, hesaplamalı deneyin sonuçlarının gerçek nesnenin işleyiş süreci ile uygunluğu incelenir ve gerekirse hesaplamalı deney şemasının bileşenleri, tatmin edici sonuçlar elde edilene kadar rafine edilir (Şekil B.1). Elde edilen.

3. Sayısal yöntemler

Geniş anlamda, yukarıda bahsedildiği gibi sayısal bir yöntem, bir bilgisayarda uygulanan ayrı bir model ile ayrıklaştırılmış bir problemin çözülmesine izin veren bir hesaplama algoritmasının birleşimi olarak anlaşılmaktadır.

Bir ve aynı matematiksel model, birçok ayrık model ve hesaplamalı algoritmalarla, yani sayısal yöntemlerle ilişkilendirilebilir. Sayısal bir yöntem seçerken iki grup gereksinimin dikkate alınması gerekir:

ayrık model matematiksel modele uygun olmalıdır;

Sayısal yöntemin doğru olması ve bilgisayarda uygulanabilir olması gerekir.

Yeterliliği sağlamak için ayrık modelin aşağıdaki özelliklere sahip olması gerekir: sayısal yöntemin yakınsaması, ayrık koruma analoglarının uygulanması ve çözümün niteliksel olarak doğru davranışı.

Örneğin sayısal bir yöntemin yakınsaması, entegrasyon aralığının bölümlendirme adımı azaldıkça sayısal entegrasyonun doğruluğunun arttığı anlamına gelir. Çeşitli matematiksel modeller fiziksel korunum yasalarının ifadeleridir, dolayısıyla ayrık bir model için korunum yasalarının da karşılanması gerekir. Ayrık bir modelin niteliksel olarak doğru davranışı, modelin davranışının ayrık doğasından dolayı, gerçek sistemin davranışının bazı ayrıntılarının kaybolmadığı anlamına gelir.

Sayısal yöntemin doğruluğu ayrık problemin benzersiz bir şekilde çözülebilir olması ve girdi verisi hatalarına ve hesaplama hatalarına karşı dayanıklı olması gerektiği anlamına gelir. Sayısal yöntemin bilgisayarda gerçekleştirilebilirliği Bellek miktarı ve bilgisayarın hızı ile sınırlıdır. Hesaplamalı algoritma bilgisayar kaynakları üzerinde makul taleplerde bulunmalıdır. Örneğin, Cramer'in doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için kullandığı matematiksel açıdan doğru yöntem, gerçek problemlerin çözümüne kesinlikle uygulanamaz: eğer her aritmetik işlemin 10 - 6 saniyede gerçekleştirildiğini varsayarsak, o zaman Cramer'in yönteminin bir problemi çözmesi bir milyon yıldan fazla zaman alacaktır. 20 bilinmeyenli sistem Aynı zamanda en basit Gauss yöntemi kullanılarak bu sistem saniyeden çok daha kısa bir sürede çözülecektir.

Dar anlamda, altında Sayısal yöntemler Sayılar üzerinde sonlu sayıda temel işlemin gerçekleştirilmesine indirgenen matematik problemlerinin yaklaşık çözüm yöntemlerini anlayın. Temel işlemler, genellikle yaklaşık olarak gerçekleştirilen aritmetik işlemlerin yanı sıra yardımcı işlemleri (ara sonuçların kaydedilmesi, tablolardan seçim yapılması vb.) içerir. Sayılar, bazı konumsal sayı sistemlerinde (ondalık, ikili vb.) sınırlı bir basamak kümesiyle belirtilir. Bu nedenle, sayısal yöntemlerde sayı doğrusu, ayrık bir sayı sistemi (ızgara) ile değiştirilir; sürekli argüman işlevi, ızgaradaki değerlerinin bir tablosuyla değiştirilir; sürekli fonksiyonlar üzerinde çalışan analiz işlemlerinin yerini, griddeki fonksiyonların değerleri üzerinde cebirsel işlemler almaktadır.

"Sayısal Yöntemler" dersinin amacı teorik temelleri incelemek ve hesaplama problemlerini çözme ve hesaplamalı deneyler yapma konusunda pratik beceriler kazanmaktır.