x aradı

1.2.3. Kısaltılmış çarpma kimliklerini kullanma

Örnek. Faktör x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Bir polinomun köklerini kullanarak çarpanlara ayrılması

Teorem. P x polinomunun kökü x 1 olsun. O zaman bu polinom şu şekilde çarpanlara ayrılabilir: P x x x 1 S x , burada S x derecesi bir eksik olan bir polinomdur

Değerleri dönüşümlü olarak P x ifadesine dönüştürerek x 2'yi elde ederiz.

ifade 0'a dönecek, yani P 2 0, bu da x 2'nin bir çoklu sayının kökü olduğu anlamına gelir.

üye. P x polinomunu x 2'ye bölün.

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10x	x2 x12
	24 10x

12x2412x24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Tam bir kare seçme

Tam bir kareyi seçme yöntemi şu formüllerin kullanımına dayanır: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Tam bir kareyi izole etmek, belirli bir üç terimlinin, iki terimlinin karesinin toplamı veya farkı ve bazı sayısal veya alfabetik ifadeler olarak temsil edildiği bir kimlik dönüşümüdür.

Bir değişkene göre bir kare trinomial, formun bir ifadesini verir

ax 2 bx c , burada a , b ve c'ye sayılar verilmiştir ve a 0 .

İkinci dereceden trinomial ax 2 bx c'yi aşağıdaki gibi dönüştürelim.

x2:

katsayı

Daha sonra b x ifadesini 2b x (çarpımın iki katı) olarak temsil ederiz.

x):birx

Parantez içindeki ifadeye sayıyı ekleyip çıkarıyoruz

bu bir sayının karesidir

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Şimdi fark ediyorum ki

Aldık

4a 2

Örnek. Tam bir kare seçin.

2x12

2x2 4x5 2x2 2x5

2x2 2x1 15

2x12 7.

4 ve 2,

1.4. Çeşitli değişkenlerde polinomlar

Tek değişkenli polinomlar gibi çeşitli değişkenlerdeki polinomlar da toplanabilir, çarpılabilir ve doğal kuvvete yükseltilebilir.

Bir polinomun çeşitli değişkenlerde önemli bir kimlik dönüşümü çarpanlara ayırmadır. Burada ortak çarpanı parantez dışına çıkarmak, gruplandırmak, kısaltılmış çarpma özdeşliklerini kullanmak, tam kareyi ayırmak, yardımcı değişkenleri tanıtmak gibi çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılır.

1. P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 polinomunu çarpanlarına ayırın.

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz'yi çarpanlara ayırın. Gruplama yöntemini uygulayalım

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. P x ,y x 4 4y 4'ü çarpanlara ayırın. Tam bir kare seçelim:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Herhangi bir rasyonel üssü olan bir derecenin özellikleri

Herhangi bir rasyonel üslü bir derece aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

	a r 1a r 2a r 1r 2,
3. a r 1r 2 a r 1r 2,
4. Ab 1 ar 1 br 1,
	bir r 1	saat 1


		br 1

burada a 0;b 0;r 1;r 2 keyfi rasyonel sayılardır.

1. 8'i çarpın

x 3 12x 7.

24x23.

8x3 12x7x8x12x8 12x24

2. Çarpanlara Ayırma

2x3

1.6. Kendi başınıza yapabileceğiniz egzersizler

1. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak eylemler gerçekleştirin. 1) bir 52;

2) 3 ve 72;

3) a nb n2 .

4) 1x3;

	3 ve 3;

7) 8a 2 8a2;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Kısaltılmış çarpma kimliklerini kullanarak hesaplayın:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Kimlikleri kanıtlayın:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Aşağıdaki polinomları çarpanlarına ayırın:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5a 4b 2 64a2;

9) 121n23n2t2;

10) 4 t 2 20 tn 25n 2 36;

11) p46p2k9k2;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6;

13) 6x3 36x2 72x48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;

16) 5p2nqn15p5nq2n;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7x24y2223x28y22;

19) 1000 ton 3 27 ton 6 .

5. En basit şekilde hesaplayın:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Bir polinomun bölümünü ve kalanını bulma P x polinomlaQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2 .

7. Polinomun olduğunu kanıtlayın x 2 2x 2'nin gerçek kökü yoktur.

8. Polinomun köklerini bulun:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Faktör:

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2 x 32 4 x 3 3 x 2;

3)x3 6x2 11x6.

10. Tam bir kareyi izole ederek denklemleri çözün:

1)x22x30;

2) x 2 13x 30 0 .

11. İfadelerin anlamlarını bulun:

		4 3 85

		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Hesaplayın:

16 0,25

Tanım

2 x 2 + 3 x + 5 formundaki ifadelere ikinci dereceden üç terimli ifadeler denir. Genel olarak, bir kare trinomial a, b, c a, b, c'nin keyfi sayılar olduğu ve a ≠ 0 olduğu a x 2 + b x + c formunun bir ifadesidir.

İkinci dereceden üç terimli x 2 - 4 x + 5'i düşünün. Bunu şu biçimde yazalım: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Bu ifadeye 2 2 ekleyelim ve 2 2'yi çıkaralım, şunu elde ederiz: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2 olduğuna dikkat edin, yani x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Yaptığımız dönüşümün adı “Mükemmel bir kareyi ikinci dereceden bir üç terimliden ayırmak”.

İkinci dereceden üç terimli 9 x 2 + 3 x + 1'den mükemmel kareyi belirleyin.

9 x 2 = (3 x) 2, "3x=2*1/2*3x" olduğuna dikkat edin. Sonra '9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1'. Ortaya çıkan ifadeye `(1/2)^2` ekleyin ve çıkarın, şunu elde ederiz:

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Mükemmel bir kareyi ikinci dereceden bir üç terimliden ayırma yönteminin, bir kare üç terimliyi çarpanlara ayırmak için nasıl kullanıldığını göstereceğiz.

İkinci dereceden üç terimliyi 4 x 2 - 12 x + 5'e ayırın.

İkinci dereceden üç terimliden tam kareyi seçiyoruz: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Şimdi a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) formülünü uygularsak şunu elde ederiz: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ).

İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayırın - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Şimdi 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2 olduğunu fark ediyoruz.

9 x 2 - 12 x ifadesine 2 2 terimini eklersek şunu elde ederiz:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Kareler farkı formülünü uyguladığımızda:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

İkinci dereceden üç terimliyi 3 x 2 - 14 x - 5'e ayırın.

3 x 2 ifadesini herhangi bir ifadenin karesi olarak gösteremeyiz çünkü bunu henüz okulda öğrenmedik. Bunu daha sonra ele alacaksınız ve Görev No. 4'te karekökleri inceleyeceğiz. Belirli bir ikinci dereceden üç terimliyi nasıl çarpanlara ayırabileceğinizi gösterelim:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)='

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) '.

İkinci dereceden bir üç terimlinin en büyük veya en küçük değerini bulmak için tam kare yöntemini nasıl kullanacağınızı size göstereceğiz.
İkinci dereceden üç terimli x 2 - x + 3'ü düşünün. Tam bir kare seçin:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. "x=1/2" olduğunda ikinci dereceden üç terimlinin değerinin "11/4" olduğunu ve "x!=1/2" olduğunda "11/4" değerine pozitif bir sayı eklendiğini unutmayın. '11/4'ten büyük bir sayı alın. Böylece ikinci dereceden trinomiyalin en küçük değeri '11/4' olur ve 'x=1/2' olduğunda elde edilir.

İkinci dereceden üç terimlinin en büyük değerini bulun - 16 2 + 8 x + 6.

İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kare seçiyoruz: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

'x=1/4' olduğunda ikinci dereceden trinomiyalin değeri 7 olduğunda ve 'x!=1/4' olduğunda 7 sayısından pozitif bir sayı çıkarıldığında, yani 7'den küçük bir sayı elde ederiz. Böylece 7 sayısı ikinci dereceden trinomiyalin en büyük değeri olup 'x=1/4' ile elde edilir.

`(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` kesirinin payını ve paydasını çarpanlarına ayırın ve kesri azaltın.

Kesirin paydasının x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 olduğuna dikkat edin. Tam bir kareyi bir kare trinomiyalden ayırma yöntemini kullanarak kesrin payını çarpanlarına ayıralım. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Bu kesir `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` formuna indirgenir, (x - 3) ile indirgendikten sonra `(x+5)/(x-3) elde edilir )`.

Polinom x 4 - 13 x 2 + 36'yı çarpanlarına ayırın.

Bu polinoma tam kareyi yalnız bırakma yöntemini uygulayalım. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4='

Cevrimici hesap makinesi.
Bir binomun karesini yalnız bırakmak ve bir kare trinomiyi çarpanlarına ayırmak.

Bu matematik programı kare binom'u kare trinomiyalden ayırır yani şöyle bir dönüşüm yapar:
$ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $ ve ikinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırır: $ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $

Onlar. problemler $p, q$ ve $n, m$ sayılarını bulmaktan ibarettir

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm sürecini de gösteriyor.

Bu program, genel eğitim okullarındaki lise öğrencileri için test ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavı öncesinde bilgileri test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

İkinci dereceden bir trinomiye girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

İkinci dereceden polinom girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, vb.

Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir.
Üstelik kesirli sayılar yalnızca ondalık sayı biçiminde değil aynı zamanda sıradan kesir biçiminde de girilebilir.

Ondalık kesir girme kuralları.
Ondalık kesirlerde kesirli kısım bütün kısımdan nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin ondalık kesirleri şu şekilde girebilirsiniz: 2,5x - 3,5x^2

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Sonuç: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2$

Bir ifade girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda, çözerken tanıtılan ifade ilk önce basitleştirilir.
Örneğin: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Ayrıntılı çözüm örneği

Bir binomun karesini ayırma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \sağ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \sağ)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Cevap:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizasyon.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\sol(x^2+x-2 \sağ) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \sağ) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Cevap:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Karar vermek

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, o zaman bunun hakkında şuraya yazabilirsiniz: Geri bildirim formu.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Bir binomun karesini bir kare trinomiyalden ayırma

Eğer kare trinomiyal ax 2 +bx+c a(x+p) 2 +q olarak temsil ediliyorsa, burada p ve q gerçel sayılardır, o zaman şunu söyleriz: kare trinomial, binomun karesi vurgulanır.

Üç terimli 2x 2 +12x+14'ten binomun karesini çıkarıyoruz.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Bunu yapmak için, 6x'in 2*3*x'in çarpımı olduğunu hayal edin ve ardından 3 2'yi ekleyip çıkarın. Şunu elde ederiz:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

O. Biz kare binomunu kare trinomiyalden çıkarmak ve şunu gösterdi:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma

Eğer kare trinomiyal ax 2 +bx+c, n ve m'nin gerçel sayılar olduğu a(x+n)(x+m) formunda temsil ediliyorsa, bu durumda işlemin gerçekleştirildiği söylenir. ikinci dereceden bir üç terimlinin çarpanlara ayrılması.

Bu dönüşümün nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.

İkinci dereceden trinomial 2x 2 +4x-6'yı çarpanlarına ayıralım.

a katsayısını parantezlerin dışına alalım; 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Parantez içindeki ifadeyi dönüştürelim.
Bunu yapmak için 2x'i 3x-1x farkı, -3'ü -1*3 farkı olarak hayal edin. Şunu elde ederiz:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

O. Biz İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayırdı ve şunu gösterdi:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırmanın yalnızca bu üç terimliye karşılık gelen ikinci dereceden denklemin kökleri olması durumunda mümkün olduğunu unutmayın.
Onlar. bizim durumumuzda, ikinci dereceden 2x 2 +4x-6 =0 denkleminin kökleri varsa, trinomial 2x 2 +4x-6'yı çarpanlarına ayırmak mümkündür. Çarpanlara ayırma sürecinde 2x 2 + 4x-6 = 0 denkleminin 1 ve -3 olmak üzere iki kökü olduğunu tespit ettik, çünkü bu değerlerle 2(x-1)(x+3)=0 denklemi gerçek eşitliğe dönüşür.